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Prof a Ruth Leão Email: [email protected] Capítulo 5 RESSONÂNCIA Circuitos que contêm indutância e capacitância podem apresentar o fenômeno denominado de ressonância, a qual é importante em muitas aplicações. A ressonância é a base para a seletividade de freqüência em sistemas de comunicação. A capacidade de um receptor de rádio ou televisão selecionar uma certa freqüência que é transmitida por uma estação particular e, ao mesmo tempo, eliminar freqüências de outras estações está baseado no princípio da ressonância. Em sistemas de potência, o princípio da ressonância é usado na filtragem de freqüências indesejadas à operação adequada de uma carga. As condições em um circuito RLC que produzem ressonância e as características de circuitos ressonantes são abordadas neste capítulo. A ressonância pode ocorrer em circuitos de estrutura série e paralela. 5.1. Ressonância Série Lembrando que reatância capacitiva varia com o inverso da freqüência e que reatância indutiva varia diretamente com a freqüência, o efeito combinado dessas reatâncias como função da freqüência será examinado nesta seção. No circuito RLC série mostrado na Figura 5.1 será avaliado o comportamento das reatâncias X L e X C e da corrente com a freqüência da fonte de tensão senoidal. Figura 5.1: Circuito Ressonante Série A impedância do circuito é dada por: i

Capítulo 5 - Ressonância

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Capítulo 5

RESSONÂNCIA

Circuitos que contêm indutância e capacitância podem apresentar o fenômeno denominado de ressonância, a qual é importante em muitas aplicações. A ressonância é a base para a seletividade de freqüência em sistemas de comunicação. A capacidade de um receptor de rádio ou televisão selecionar uma certa freqüência que é transmitida por uma estação particular e, ao mesmo tempo, eliminar freqüências de outras estações está baseado no princípio da ressonância. Em sistemas de potência, o princípio da ressonância é usado na filtragem de freqüências indesejadas à operação adequada de uma carga. As condições em um circuito RLC que produzem ressonância e as características de circuitos ressonantes são abordadas neste capítulo. A ressonância pode ocorrer em circuitos de estrutura série e paralela. 5.1. Ressonância Série Lembrando que reatância capacitiva varia com o inverso da freqüência e que reatância indutiva varia diretamente com a freqüência, o efeito combinado dessas reatâncias como função da freqüência será examinado nesta seção. No circuito RLC série mostrado na Figura 5.1 será avaliado o comportamento das reatâncias XL e XC e da corrente com a freqüência da fonte de tensão senoidal.

Figura 5.1: Circuito Ressonante Série A impedância do circuito é dada por:

i

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4-2

θ∠=

−+=

ZjXjXRZ CL (5.1)

Z R

tg L CR

LC

= +

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

1

1

1

ωω

θω ω( / )

(5.2)

Pela equação de Z, verifica-se que para valores baixos de f ou ω, XC é alto e XL é baixo e o circuito assume características capacitivas (ângulo da impedância negativo). À medida que a freqüência cresce, XC decresce e XL aumenta até que XC=XL e as duas reatâncias se cancelam tornando o circuito puramente resistivo. Quando em um circuito RLC série XC=XL é dito que o circuito está em ressonância. A freqüência em que ocorre a ressonância é denominada de freqüência ressonante, ω0. Se a freqüência cresce ainda mais XL torna-se maior do que XC, e o circuito é predominantemente indutivo (ângulo da impedância positivo).

Figura 5.2: Variação da impedância com a freqüência.

Na ressonância a magnitude da impedância é mínima, Z=R, e XL e XC têm a mesma magnitude de modo que a freqüência ressonante é dada por:

CL XX = (5.3)

CapacitivoXC > XL

Indutivo: XL > XC

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4-3

LC21f

π= (5.4)

Considerando que a amplitude da fonte de tensão permanece constante à medida que sua freqüência varia, a amplitude da corrente aproxima-se de zero para valores pequenos e grandes de ω. − O capacitor impede a passagem de corrente a freqüências

baixas. − O indutor impede a passagem de corrente a freqüências altas. A magnitude da corrente no circuito é dada por:

( )22 C/1LR

VI

ωω −+= (5.5)

A corrente atingirá valor máximo quando a freqüência for tal que ω0L=1/ω0C, sendo ω0 a freqüência ressonante do circuito. O ângulo da corrente é definido por:

R)C/1(Ltg

1 ωωθ

−±=

(5.6)

Quando ωL for maior que 1/ωC, o ângulo θ é positivo, do contrário o ângulo é negativo. O gráfico da magnitude e do ângulo da corrente versus freqüência assume a forma mostrada nas Figuras 5.3 e 5.4.

Figura 5.3: Amplitude da corrente variando com a freqüência.

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4-4

Ângulo de Fase da Corrente

ω (rad/s)

(gra

u)

90o

-90o

ωo

Figura 5.4: Ângulo da corrente versus a freqüência.

Para freqüências abaixo de ω0, o circuito é capacitivo (XC>XL), a corrente é adiantada da tensão, e o ângulo da corrente é positivo. Para freqüências acima de ω0, o circuito é indutivo, a corrente é atrasada da tensão, e o ângulo θ é negativo. Na ressonância a corrente é limitada somente pela resistência do circuito como mostra a Figura 5.5. Quanto maior a resistência, menor a corrente na ressonância, e vice-versa.

Figura 5.5: Variação da corrente para R grande e pequeno.

Embora as reatâncias indutiva e capacitiva se anulem na ressonância, a queda de tensão sobre cada um dos componentes RLC do circuito não é nula. Na ressonância série, as tensões sobre

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4-5

o indutor e sobre o capacitor são iguais em magnitude e defasadas de 180º.

Figura 5.6: Diagrama fasorial de circuito RLC série em ressonância.

A queda na resistência é obtida por divisor de tensão:

F22

R V

C1LR

RRIV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

ωω

(5.7)

A tensão no resistor, VR, varia proporcionalmente à corrente⏐I⏐e tem o mesmo perfil da corrente. De modo semelhante, as quedas na capacitância e indutância são, respectivamente.

( )

F22

C V

C1LR

C1

C1IV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

ωω

ωω

(5.8)

F22

L V

C1LR

LLIV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

==

ωω

ωω (5.9)

A Figura 5.7 mostra as curva de queda de tensão na resistência, indutância e capacitância de um circuito série em função da freqüência. A tensão VR tem seu valor máximo na freqüência ressonante. A curva de VR é a imagem da curva I, pois VR=RI.

IXL

IXC

IR

V

I

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4-6

Figura 5.7: Tensão sobre resistor, indutor e capacitor.

Note que a tensão no capacitor é igual a da fonte, VC = VF, quando f=0 porque nesta condição o capacitor oferece oposição infinita à passagem de corrente, ou seja, é aberto. O valor máximo da tensão no capacitor acontece para um valor de freqüência menor do que a freqüência ressonante. Na ressonância XC é decrescente (XC↓, f↑), ao passo que a corrente não varia (a declividade é nula). A queda ⏐VC⏐=⏐I⏐XC deve, portanto, ser decrescente. Conseqüentemente, a queda tem atingido seu valor máximo antes da ressonância.

Figura 5.8: Tensão VR, VL e VC.

Dependendo dos parâmetros do circuito RLC série, a tensão máxima sobre o capacitor é maior que a tensão da fonte, como pode ser visto na Figura 5.8. Para encontrar a freqüência à qual a magnitude de |VC| é máxima, é obtida a derivada de ⏐VC⏐ (Equação 5.8) em relação a ω e então calculado o valor de ω que torna a deriva nula.

ω0

vR

vL

vC

|VF|

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4-7

( ) ( )( )[ ]( )[ ] 23

22222

222FC

CRLC1

CR2LC2LC1221VdVd

ωω

ωωωω +−

+−−−= (5.10)

O valor de ω maior do que zero que torna a derivada nula é:

2

max LR

21

LC1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=ω (5.11)

Observe que ωmax < ω0. Substituindo ωmax em ⏐VC⏐, determina-se o valor máximo de tensão a que o capacitor é submetido, i.é.

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

L4CR1

LCR

VV

22

FmaxC ω (5.12)

O valor de capacitância para o qual a queda de tensão no capacitor é máxima é obtido a partir da derivada de |VC| em relação a C, i.é.

2L

2max

C

C

XRLC

0dX

Vd

+=

= (5.13)

Note também que VL tende a VF quando f tende a infinito, i.é., toda tensão da fonte é transferida para o indutor. A queda máxima de tensão no indutor ocorre após a ressonância. No caso de ⏐VL⏐=⏐I⏐XL, tanto ⏐I⏐ como XL são crescentes antes da ressonância e o produto deve ser crescente. Na ressonância, ⏐I⏐ não está variando, mas XL é crescente e, portanto, a queda é crescente. A queda continua a crescer até que a diminuição de corrente compense o aumento em XL. Este ponto pode ser determinado por:

( )( ) ( )

( ) F2322

2

2122

L V

C1LR

CCLC

1LL

C1LR

LdVd

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

=

ωω

ωωωω

ωωω (5.14)

O valor de ω que torna a derivada nula, e que, portanto corresponde ao valor máximo de ⏐VL⏐ é dado por:

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4-8

22

222

max RC2RC4LL −±

=ω (5.15)

O valor de indutância para o qual a queda de tensão através do indutor é máxima é obtido a partir da derivada de |VL| em relação a L, i.é.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

=

C

2C

2

max

L

L

XXR

f21L

0dX

Vd

π

(5.16)

ou ( )2

C2

max XRCL += (5.17) A ressonância pode ser produzida num circuito série variando-se ou f, ou L, ou C. As características gerais de um circuito em ressonância são as mesmas, indiferentemente de qual seja o parâmetro variado para produzir ressonância.

5.1.1. Banda de Passagem

A banda de passagem é uma importante característica de um circuito ressonante. A banda de passagem é a faixa de freqüências para a qual a corrente em um circuito série ressonante é igual ou maior que 70,7% de seu valor ressonante. Em um circuito RLC série a corrente é máxima na freqüência de ressonância e cai para freqüências inferior e superior a ω0. A Figura 5.9 ilustra a banda de passagem na curva resposta de um circuito RLC série. Note que ω1 anterior a ω0 corresponde ao ponto em que a corrente é 0,707Imax e é comumente chamada de freqüência crítica inferior. A freqüência ω2 acima de ω0 onde a corrente é novamente 0,707Imax é a freqüência critica superior. Outras denominações para ω1 e ω2 são freqüências de corte, freqüências de -3dB, e freqüências de meia potência.

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4-9

Figura 5.9: Banda de passagem em um circuito ressonante série.

A expressão para a banda de passagem é, pois, definida como a diferença de freqüência correspondente a 0,707 do valor máximo.

1212 ff −=−= ωωβ (5.18) Segundo a Figura 5.9, a banda de passagem β corresponde à faixa de freqüência para a qual a amplitude da corrente é dada por:

( )R2

VI

21I F

0 =≥ ω (5.19)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+==C

1LRZR2

2

2

ωω (5.20)

Resolvendo a equação para os dois valores positivos de ω tem-se para as freqüências críticas inferior e superior:

LC1

L2

R2

L2R

LC1

L2

R2

L2R

2

1

++=

++−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω

ω

(5.21)

Substituindo a Equação 5.21 em 5.18, a largura da faixa de passagem torna-se:

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4-10

LR

12 =−= ωωβ [rad/s] (5.22)

As freqüências críticas ω1 e ω2 podem então ser re-escritas em função de β e de ω0:

20

2

2

201

22

2

22

ωββω

ωββω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

(5.23)

A freqüência ressonante é dada pela média geométrica das freqüências de meia potência, i.é.

ω ω ω0 1 2= rad/s (5.24) Em casos ideais (R muito pequeno) a freqüência ressonante está centralizada e pode ser definida como:

221

0ωω

ω+

= (5.25)

5.1.2. Freqüências de Meia Potência

A potência do sinal correspondente à faixa de freqüência Δω = ω2 - ω1 é dada por:

( )R2

V2

IRP

2F

20 =⎟

⎞⎜⎝

⎛⋅≥

ω (5.26)

que corresponde à metade da potência do circuito ressonante.

O ponto de operação em que IVR

=12

é denominado de meia

potência. As freqüências críticas inferior e superior são também denominadas de freqüências de meia potência. Tal denominação advém do fato de que a potência da fonte a essas freqüências é

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4-11

metade da potência da fonte entregue na condição de ressonância, ou seja, na ressonância,

RIP 2maxmax ⋅= (5.27)

A potência em ω1 ou ω2 é:

( ) ( )

max

2max

2max

22max

211

P5,0RI5,0

RI707,0RI707,0

RIP

=

⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

⋅= ωω

(5.28)

5.1.3. Seletividade

Um circuito seletivo restringe sua operação para uma determinada faixa de freqüência, i.é. − Transmite sinais a determinadas freqüências com maior

facilidade do que em outras freqüências. − Elimina sinais de uma faixa de freqüência indesejada. A curva resposta da corrente, mostrada na Figura 5.10, é também denominada de curva de seletividade. A seletividade define quão bem um circuito ressonante responde a uma certa freqüência e discrimina as demais freqüências. Quanto mais estreita a banda de passagem, maior a seletividade. Normalmente assume-se que um circuito ressonante aceita freqüências dentro de sua banda de passagem e elimina completamente as freqüências fora da banda. Na verdade, tal não acontece, uma vez que sinais com freqüências fora da banda de passagem não são completamente eliminados. Suas magnitudes, entretanto, são bastante reduzidas. Quanto mais distante a freqüência estiver das freqüências críticas, maior é a redução na magnitude do sinal.

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4-12

Figura 5.10: Curva de seletividade de um filtro passa banda. Outro elemento que influencia a seletividade é a declividade da curva resposta. Quanto maior a declividade nas freqüências críticas, maior a seletividade do circuito, ou seja, mais estreita é a banda de passagem, como pode ser visto na Figura 5.11.

Figura 5.11: Curvas de seletividade. 5.1.4. Fator de Qualidade

Por definição o fator de qualidade ou grau de seletividade de um circuito é a relação da freqüência ressonante ωo pela largura da faixa de passagem β.

βω oQ = (5.29)

Nota-se que quanto maior o fator de qualidade Q menor é a largura da banda de passagem e, portanto mais seletivo é o circuito.

Freqüências entre ω1 e ω2 passam através do filtro com amplitudes maior ou igual a 70,7% do máximo.

Freqüências fora da banda são reduzidas a menos que 70,7% do máximo e consideradas rejeitadas

ω ω2 ω1

1

Filtro passa banda ideal

β1 β2

Menor seletividade

Maior seletividade

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4-13

Em um circuito série, Q pode ser expresso como:

CL

R1

RLQ 0o ===

ωβ

ω (5.30)

As freqüências críticas ou de meia potência podem também ser expressas em função de ω0 e Q e a Equação 5.23 é re-escrita como:

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

2

0

20

200

2

2

0

20

200

1

Q211

Q21

Q2Q2

Q211

Q21

Q2Q2

ω

ωωω

ω

ω

ωωω

ω

(5.31)

Em um circuito com alto grau de seletividade tem-se que:

2Q2

2Q2

oo

o2

oo

o1

βωωωω

βωωωω

+=+≈

−=−≈

(5.32)

A Equação 5.32 demonstra que circuitos com alto grau de seletividade a freqüência ressonante está centralizada entre as freqüências críticas, podendo ser calculada pela média aritmética de ω1 e ω2. A magnitude da tensão VL e VC à freqüência ressonante em função de Q é definida como:

( )

( )F

o

F

o

oC

FoF

ooL

VQCR

VC

IV

VQLRV

LIV

⋅===

⋅===

ωωω

ωωω (5.33)

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4-14

A Equação 5.33 demonstra as curvas de tensão sobre os componentes do circuito RLC série apresentadas nas Figuras 5.7 e 5.8. Para Q<1 a tensão |VL(ω0)| e |VC(ω0)| são menores que |VF| (Figura 5.7), e para Q>1 tem-se o contrário, |VL(ω0)|= |VC(ω0)|> |VF| (Figura 5.8). O valor máximo de tensão a que o capacitor é submetido pode também ser definido em função de Q. Tem-se, a partir da Equação 5.12 que:

( )

F

22

22

FmaxC

V

Q411

Q1

1

L4CR1

LCR

VV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

(5.34)

Para circuitos com alto grau de seletividade (Q grande) |VC(ωmax)| aproxima-se de Q.|VF|, como mostrado anteriormente, significando que ωmax tende a ω0. 5.1.5. Filtro Passa Banda e Rejeita Banda Como visto na análise dos circuitos RC e RL, o mesmo circuito pode se comportar como dois tipos de filtros diferentes, dependendo do local em que é retirada a tensão de saída. De modo semelhante ocorre para o circuito RLC série. Quando a saída em um circuito RLC série é tomada sobre R, o circuito apresenta comportamento como o da Figura 5.10. Quando a saída em um circuito RLC série é tomada sobre os componentes LC, o circuito deixa passar todos os sinais cujas freqüências estejam fora de uma certa faixa, definida por duas freqüências de corte, e rejeita os sinais cujas freqüências estejam dentro desta faixa. A Figura 5.12 mostra a resposta dos filtros RLC série passa banda e rejeita banda.

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4-15

(a) (b)

Figura 5.12: Filtro passa banda (a) com resposta sobre RLC e filtro rejeita banda (b) com resposta sobre LC

Sabe-se que para ω=0 o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como um circuito aberto, enquanto que para ω=∞ o capacitor se comporta como um curto circuito e o indutor como um circuito aberto. Assim, nota-se na Figura 5.12 (b) que para baixas freqüências, a tensão da fonte (sinal de entrada) está aplicada sobre o capacitor, i.é., sinal de saída igual ao sinal de entrada, e que para altas freqüências, a tensão de entrada está aplicada sobre o indutor, i.é, sinal de saída igual ao de entrada. Na faixa de freqüências entre ω=0 e ω=∞, o indutor e o capacitor têm impedâncias finitas, diferentes de zero e de sinais opostos. À medida que a freqüência aumenta a partir de zero, a impedância do indutor aumenta e a do capacitor diminui. Para algum valor de freqüência entre as duas freqüências de corte, as impedâncias do indutor e do capacitor têm módulos iguais e sinais opostos. Nesta freqüência, a combinação em série do indutor e do capacitor se comporta como um curto circuito e, portanto a tensão de saída é zero. Esta é a freqüência central do filtro de banda de rejeição.

Figura 5.13: Filtro rejeita banda

Filtro rejeita banda ideal

ω1 ω2

1

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4-16

Os filtros de banda de rejeição são caracterizados por parâmetros semelhantes aos de banda de passagem: duas freqüências de corte, freqüência ressonante, banda rejeitada e fator de qualidade. A definição desses parâmetros é exatamente da mesma forma que para o filtro de banda de passagem. Os filtros de banda de passagem e os filtros de banda de rejeição desempenham, portanto papéis complementares no domínio da freqüência. 5.2. Ressonância Paralela Em um circuito paralelo ideal a ressonância ocorre quando XC=XL, como no circuito série.

Figura 5.14: Circuito ressonante paralelo.

Quando XC=XL, a duas correntes IC e IL são iguais em magnitude, e defasadas de 180º. Portanto, as correntes se cancelam e a corrente reativa resultante é nula, I=0. A freqüência a qual ocorre ressonância é a mesma do circuito série.

LC21f

⋅=

π (5.35)

O circuito ressonante paralelo da Figura 5.14 é comumente chamado de circuito tanque ideal. O termos ‘circuito tanque’ refere-se ao fato de que o circuito ressonante paralelo armazena energia no campo magnético da bobina e no campo elétrico do capacitor. A energia armazenada é transferida ciclicamente entre capacitor e bobina a cada meio ciclo. Enquanto em um circuito série ressonante a impedância é mínima, em um circuito ressonante paralelo a impedância é máxima e decresce para pequenas e grandes freqüências como indicado na Figura 5.15.

C VF IL IC

I

L ~

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4-17

Figura 5.15: Curva da impedância em circuito paralelo.

Para freqüências muito baixas, XL é bem pequena e XC muito alta, e a impedância total é essencialmente a do ramo indutivo. Quando a freqüência cresce, a impedância também cresce, e a reatância indutiva domina (porque é menor que XC) até a freqüência ressonante ser alcançada. Na ressonância XC ≅ XL e a impedância é máxima. À medida que a freqüência cresce acima de ω0, a reatância capacitiva domina (porque é menor que XL) e a impedância diminui. A curva da magnitude de impedância da Figura 5.15 mostra que na ressonância a impedância é máxima. Tal condição não assegura que a corrente seja mínima na ressonância. A corrente será mínima na ressonância quando a condutância for constante (G=1/R). Seja o circuito apresentado na Figura 5.16 para o qual serão avaliados a corrente total, a impedância total e o fator de potência do circuito.

V11Vac0Vdc

R15

R21

L153.05m

1

2

C1132.626u

0 Figura 5.16: Circuito paralelo.

A Figura 5.17 mostra que a corrente não é mínima na ressonância – a condutância depende de ωL e de 1/ωC. Note que para freqüências baixas, enquanto a corrente no ramo capacitivo é muito pequena (XC=∞ para f=0), a corrente no ramo indutivo é praticamente resistiva (XL=0 para f=0) e o fator de potência unitário. Situação análoga ocorre para freqüências bem maiores que a freqüência ressonante, fator de potência torna-se unitário.

XL < XC XC < XL

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4-18

Figura 5.17: Curvas de impedância, corrente, e fator de potência.

Considerando um circuito paralelo genérico como o mostrado na Figura 5.16, tem-se para a admitância:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

=

++

++

+−

+=

−+

+=

+=

2L

2w

L2C

2C

C2C

2C

C2L

2w

w

2C

2C

C2C

2C

C2L

2w

L2L

2w

w

CCLw

21

XRX

XRX

jXR

RXR

R

XRX

jXR

RXR

XjXR

RjXR

1jXR

1YYY

(5.36)

Com a Equação 5.36 multiplicada por VF tem-se a corrente total do circuito, formada por suas componentes resistiva e reativa. Na ressonância, componente reativa é nula, i.é., a susceptância capacitiva é igual a susceptância indutiva.

( ) 22C

22w

C1R

C1

LRL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

ω

ωω

ω (5.37)

Da Equação 5.37 tem-se que a freqüência ressonante em um circuito paralelo é dada por:

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4-19

LCLCRLCR

2C

2w

0

−−

=ω (5.38)

Quando LCR 2

w > e LCR 2L < ou LCR 2

w < e LCR 2L > o termo sob o

radical no numerador da Equação 5.38 torna-se negativo e a raiz imaginária e, portanto nenhuma freqüência real produzirá ressonância. Se Rw e RC são iguais, a Equação 5.38 para a ressonância torna-se:

LC1

0 =ω (5.39)

que é a mesma como no caso da ressonância série. Esta equação é também correta quando Rw=RC=0 e pode, conseqüentemente, ser usada como uma boa aproximação quando Rw e RC são muito pequenos. É evidente que há valores de Rw, C, RC, e L num circuito paralelo, para os quais a ressonância em paralelo é impossível, qualquer que seja a freqüência. Isto está em oposição com os circuitos série contendo R, L e C onde há sempre alguma freqüência ressonante real para quaisquer valores dos três parâmetros. Para alguns valores dos parâmetros Rw, RC, L e C conectados como na Figura 5.16, o circuito opera em ressonância para todas as freqüências. Pela Equação 5.37, a condição para ressonância em paralelo é:

( )

2C

22222C

22

22C

22w

RC1C

1CRC

C1

C1R

C1

LRL

ωω

ωω

ω

ω

ωω

ω

+=

+⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

ou

2C

222w CR

C1

1

LL

R1

ωω +=

+ (5.40)

Para ser independente da freqüência, uma inspeção da Equação 5.40 mostrará que as duas condições seguintes devem ser impostas simultaneamente.

Page 20: Capítulo 5 - Ressonância

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4-20

Condição 1: C1

LR 2

w = ou CLR w =

Condição 2: LCR 2C = ou

CLR C =

Portanto, para ressonância em todas as freqüências:

CLRR Cw == (5.41)

Como o circuito está em ressonância (susceptância resultante nula), sua admitância deve ser a condutância resultante. Portanto:

LC

C1

CL

CL

LCL

CL

GY

2222

=+

++

==

ωω

e

CLZ = (5.42)

A Equação 5.42 mostra que a impedância do circuito é, também, independente da freqüência. Assim, quando Rw=RC=√L/C, uma disposição do circuito como o da Figura 5.16 está em ressonância em todas as freqüências e oferece a mesma impedância √L/C para todas elas. Em circuitos paralelos com ramo puramente resistivo, a resistência, R, do ramo paralelo não tem influência sobre a condição de ressonância.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+=

+−

++

=

++=

2L

2w

L2C

2C

C2C

2C

C2L

2w

w

CCLw

321

XRX

XRX

jXR

RXR

RR1

R1

jXR1

jXR1

YYYY

(5.43)

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4-21

5.2.1. Banda de Passagem, Freqüências de Corte e Fator Q. Em análise de circuitos paralelos tem-se que:

( )2LC

2 BBG

IV

−+= (5.44)

onde G, BC e BL são definidos pela Equação 5.36 para o circuito da Figura 5.16. Comparando a Equação 5.44 com a Equação 5.5, observa-se uma correspondência que permite interpretar a Figura 5.3 como a resposta de tensão em função de ω. A Figura 5.15, que mostra a curva da magnitude da impedância, é a resposta da tensão em função da freqüência ω. A impedância tem um valor máximo de 1/G (BC-BL=0) e a análise aplicada à Equação 5.5 pode, com poucas mudanças na notação, ser empregada para determinar a largura de faixa, a freqüência central e o fator de qualidade do circuito da Figura 5.16.

V11Vac0Vdc

L

1

20

Rw

C

Figura 5.18: Circuito RLC paralelo simplificado.

Desconsiderando a presença de RC, i.é., RC=0 como no circuito da Figura 5.18, e para condições práticas em que a resistência da bobina Rw é muito pequena comparada a ωL, portanto,

222w LR ω<< (5.48)

as equações de G e BC podem ser re-escritas como:

( ) 22w

22C

C22

w

w

LR

C1R

RLR

RG

ωω

ω≅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

++

= (5.49)

e

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4-22

C

C1R

C1

B 22C

C ω

ω

ω =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= (5.50)

Como G na Equação 5.44 corresponde a R na Equação 5.5 e BC a XL e BL a XC, a banda de passagem para o circuito paralelo pode ser expresso com a devida analogia à largura da banda de passagem do circuito série (Equação 5.27), como,

CG

=β (5.51)

ou

CL

R22

wωβ = (5.52)

Como mencionado anteriormente, em um circuito RLC paralelo a impedância é máxima na freqüência de ressonância e cai para freqüências inferior e superior a ω0. A banda de passagem em um circuito RLC paralelo é a faixa de freqüências para a qual a impedância no circuito é igual ou maior que 70,7% de seu valor ressonante, |Z(ω0)|=|Zmax|; ω1 é a freqüência crítica inferior; e ω2 é a freqüência crítica superior, como ilustra a Figura 5.19.

Figura 5.19: Banda de passagem da curva resposta de Z para um circuito

paralelo ressonante.

( )G2

1Z2

1Z 0⋅

=≥ ω (5.53)

( )2

LC2 BBGZG2 −+== (5.54)

Zmax

0,0707.Zmax

ω1 ω2

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4-23

Resolvendo a equação para os dois valores positivos de ω ou obtendo-os por analogia à Equação 5.21, tem-se as freqüências críticas ou de corte para o circuito paralelo.

LC1

C2G

C2G 2

1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=ω (5.55)

LC1

C2G

C2G 2

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω (5.56)

A freqüência ressonante obtida pela média geométrica das freqüências de corte resulta em:

LC1

210 =⋅= ωωω (5.57)

O fator de qualidade de um circuito paralelo pode então ser calculado como:

LC

G1Q 0 ==

βω (5.58)

Note que a Equação 5.58 é análoga à Equação 5.30. Como nos circuitos RLC série, as freqüências de corte ω1 e ω2 dos circuitos RLC paralelos podem ser expressas em função de β e ω0 e também de ω0 e Q.

20

2

1 22ωββω +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−= (5.59)

20

2

2 22ωββω +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= (5.60)

ou

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4-24

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

2

02

2

01

Q211

Q21

Q211

Q21

ωω

ωω

(5.61)

Para condições em que (1/2Q)2 << 1, tem-se que:

Q2

Q2

02

01

ωω

ωω

=

−= (5.62)

e

Q0

12ω

ωωβ =−= (5.63)

Um alto valor de Q do circuito resulta em uma estreita banda de passagem. Um valor menor de Q causa uma banda mais larga. 5.2.2. Ressonância em Circuito Tanque Não Ideal

Considere um circuito tanque não ideal e o circuito RLC paralelo equivalente como mostra a Figura 5.20.

L

1

2

Rw

C

(a)

⇒ Rp Lp

1

2

C

(b)

Figura 5.20: Circuito tanque não ideal e RLC paralelo equivalente. O fator de qualidade Q do circuito em ressonância é igual ao fator Q da bobina.

ww

L

RL

RXQ ω

== (5.64)

A equivalência entre os circuitos da Figura 5.20 (a) e (b) é da por:

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4-25

L1j

R1

LRLj

LRR

p222

w222

w

w

ωωω

ω−=

+−

+ (5.65)

O ramo capacitivo é o mesmo para os dois circuitos. Assim,

( )1QR1R

LRR

LRR 2

w2w

22

ww

222w

p +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

ωω (5.66)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+= 2

2

22

2w

2

222w

p Q1QL

LR

1LL

LRL

ωωω (5.67)

Para Q≥10, Lp=L. Na ressonância XLp=XC

Rp Lp

1

2

Cwo

wo

Figura 5.21: Na ressonância a parte LC paralela aparece aberta e a impedância vista pela fonte é Rp.

No circuito paralelo equivalente, Rp está em paralelo com uma bobina ideal e um capacitor, assim os ramos em L e C atuam como um circuito tanque ideal o qual tem uma impedância infinita na ressonância como mostra a Figura 5.20. Portanto, na ressonância a impedância total do circuito tanque não ideal pode ser expressa como a resistência paralela equivalente.

( )1QRZ 2w0 += (5.68)

5.3. Conclusões − Em circuitos série a variação de qualquer um dos parâmetros f,

L ou C pode produzir ressonância. − Em circuitos paralelos a variação de qualquer um dos

parâmetros f, L, C, Rw, ou RC pode produzir ressonância. − Em circuitos série contendo R, L e C há sempre alguma

freqüência ressonante real para quaisquer valores dos três parâmetros.

I=0

Z=∞

XLp=XC

Rw(Q2+1)

Aberto (Z0=∞)

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4-26

− Em um circuito paralelo, podem existir valores de Rw, C, RC, e L para os quais a ressonância é impossível, qualquer que seja a freqüência, bem como há valores em que o circuito opera em ressonância para qualquer valor de freqüência.

− As características gerais do circuito são as mesmas quaisquer que seja o parâmetro variado para produzir ressonância.

− São cinco os parâmetros que caracterizam um filtro baseado no circuito RLC, porém apenas dois desses parâmetros podem ser especificados livremente:

o A freqüência ressonante ou central, ω0, para a qual o módulo da função de transferência é máxima (|I| em circuitos série e |Z| em circuitos paralelos).

o As duas freqüências críticas ou de corte, ω1 e ω2, que definem a banda passante.

o A banda passante, β, uma medida da largura da banda de passagem.

o Fator de qualidade, Q, uma segunda medida da largura da banda de passagem.

− Em um circuito RLC série a amplitude da corrente aproxima-se de zero para pequenos e grandes valores de ω.

o O capacitor bloqueia a passagem de corrente a freqüências baixas.

o O indutor bloqueia a passagem de corrente a freqüências elevadas.

− Na ressonância série a impedância do circuito é mínima (XL=XC), na ressonância paralela, a impedância do circuito é máxima.

− Em um circuito série a corrente é máxima na ressonância; em um circuito paralelo, a corrente mínima na ressonância quando a condutância for constante.

− Na ressonância série o fator de potência é unitário.

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Referências [1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6th Ed. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-095997-9.927p. [2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6a Edição, 2003. [3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada, Porto Alegre, Globo, 1973.