Capítulo 6 Estimativas e Tamanho de Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA

Capítulo 6Capítulo 6

Estimativas e TamanhoEstimativas e Tamanho de Amostras de Amostras

Prof. Paulo Renato de MoraisProf. Paulo Renato de Morais

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

Introdução à EstimaçãoIntrodução à Estimação

1.1. Variáveis aleatórias usadas para estimar Variáveis aleatórias usadas para estimar um parâmetro populacionalum parâmetro populacional Média amostral, proporção amostral, Média amostral, proporção amostral,

mediana amostralmediana amostral

2.2. Exemplo: Média amostralExemplo: Média amostralxx é um é um estimador da média populacional estimador da média populacional SeSexx = 50, então 50 é a = 50, então 50 é a estimativaestimativa de de

3.3. Base teórica é a distribuição amostralBase teórica é a distribuição amostral

EstimadoresEstimadores

Propriedades da Propriedades da Distribuição Amostral da Distribuição Amostral da

MédiaMédia1.1. Não-viciadaNão-viciada

Média da distribuição igual à média Média da distribuição igual à média populacionalpopulacional

2.2. EficienteEficiente Média amostral aproxima-se mais da média Média amostral aproxima-se mais da média

populacional do que qualquer outro estimador populacional do que qualquer outro estimador não-viciadonão-viciado

3.3. ConsistenteConsistente Quando tamanho da amostra cresce, variação Quando tamanho da amostra cresce, variação

da média amostral decresceda média amostral decresce

Não-ViciadaNão-Viciada

X

P(X)

CA

Não-viciadaNão-viciada ViciadaViciada

EficienteEficiente

X

P(X)

A

B

Distribuição Distribuição amostral da amostral da

medianamediana

Distribuição Distribuição amostral da amostral da

médiamédia

ConsistenteConsistente

X

P(X)

A

B

Amostra Amostra menormenor

Amostra Amostra maiormaior

Processo de EstimaçãoProcesso de Estimação

Média, , é desconhecida

PopulaçãoPopulação Amostra AleatóriaAmostra AleatóriaTenho 95% de confiança que está entre 42

e 58.

Média X= 50

Amostra

Parâmetros Desconhecidos Parâmetros Desconhecidos da População são da População são

EstimadosEstimados

Estimar parâmetroEstimar parâmetropopulacional...populacional...

com estatísticacom estatísticaamostralamostral

MédiaMédia xx

ProporçãoProporção pp pp̂̂

VariânciaVariância 22 ss 22

DiferençasDiferenças 11 - - 22 xx11 --xx22

Métodos de EstimaçãoMétodos de Estimação

Estimação

Estimaçãopor Ponto

Estimaçãopor Intervalo

Estimação por PontoEstimação por Ponto

Estimação por PontoEstimação por Ponto

1.1. Proporciona um único valorProporciona um único valor Baseada em observações de 1 amostraBaseada em observações de 1 amostra

2.2. Não dá informação sobre quão perto o Não dá informação sobre quão perto o valor está do parâmetro populacional valor está do parâmetro populacional desconhecidodesconhecido

3.3. Exemplo: Média amostralExemplo: Média amostralx x = 50 é = 50 é estimativa por ponto da média populacional estimativa por ponto da média populacional desconhecidadesconhecida

Estimação por IntervaloEstimação por Intervalo

Estimação por IntervaloEstimação por Intervalo

1.1. Proporciona intervalo de valores Proporciona intervalo de valores Baseada em observações de 1 amostraBaseada em observações de 1 amostra

2.2. Dá informação sobre proximidade do Dá informação sobre proximidade do parâmetro populacional desconhecidoparâmetro populacional desconhecido Afirmação em termos de probabilidadeAfirmação em termos de probabilidade

Saber a proximidade exata requer conhecer o Saber a proximidade exata requer conhecer o parâmetro populacional desconhecidoparâmetro populacional desconhecido

3.3. Exemplo: média populacional desconhecida Exemplo: média populacional desconhecida está entre 42 e 58 com 95% de confiançaestá entre 42 e 58 com 95% de confiança

Intervalo de Intervalo de confiançaconfiança

Elementos Chaves da Elementos Chaves da Estimação por IntervaloEstimação por Intervalo

Estatística Estatística amostral amostral (estimativa (estimativa por ponto)por ponto)

Limite de Limite de confiança confiança (inferior)(inferior)

Limite de Limite de confiança confiança (superior)(superior)

Uma Uma probabilidadeprobabilidade que o parâmetro populacional que o parâmetro populacional esteja em algum lugar dentro do intervalo.esteja em algum lugar dentro do intervalo.

Limites de Confiança para a Limites de Confiança para a Média PopulacionalMédia Populacional

x

x

xx

ZX

ZErro

ErroXZ

XXErro

ErroX

)5(

(4)

(3)

ou (2)

)1(

x

x

xx

ZX

ZErro

ErroXZ

XXErro

ErroX

)5(

(4)

(3)

ou (2)

)1(

Parâmetro = Estatística ± Erro

© 1984-1994 T/Maker Co.

1.1. Probabilidade que o parâmetro Probabilidade que o parâmetro populacional desconhecido esteja populacional desconhecido esteja dentro do intervalodentro do intervalo

2.2. Denotado por (1 - Denotado por (1 - é a probabilidade que o parâmetro é a probabilidade que o parâmetro

nãonão esteja no intervalo esteja no intervalo

3.3. Valores típicos são: 99%, 95%, 90%Valores típicos são: 99%, 95%, 90%

Nível de Confiança Nível de Confiança

Intervalos e Intervalos e Nível de Confiança Nível de Confiança

x =

1 - /2/2

X_

x_

x =

1 - /2/2

X_

x_Distribuição Distribuição

Amostral da Amostral da MédiaMédia

Número grande de intervalosNúmero grande de intervalos

Intervalos Intervalos vão de vão de X - ZX - ZXX a a

X + ZX + ZXX

(1 - (1 - ) % dos ) % dos intervalos intervalos contêm contêm . .

% não.% não.

Fatores que Afetam o Fatores que Afetam o Comprimento do IntervaloComprimento do Intervalo

1.1. Dispersão dos dadosDispersão dos dados Medida por Medida por

2.2. Tamanho da amostraTamanho da amostra X X = = / / nn

3.3. Nível de confiança Nível de confiança (1 - (1 - )) Afeta ZAfeta Z

Intervalos vão deIntervalos vão de

X - ZX - ZXX a aX + ZX + ZXX

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Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Estimar a Média (Amostra Estimar a Média (Amostra

Grande)Grande)

Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para a a

Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)1.1. Hipóteses:Hipóteses:

Tamanho da amostra no mínimo 30 (Tamanho da amostra no mínimo 30 (nn 30) 30) Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória Se o desvio padrão populacional é Se o desvio padrão populacional é

desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral

2.2. Intervalo de Confiança:Intervalo de Confiança:

X Zn

X Zn

/ /2 2X Zn

X Zn

/ /2 2

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)

A média de uma amostra aleatória com A média de uma amostra aleatória com nn = 36 é = 36 éX = 50. Construa um intervalo X = 50. Construa um intervalo com 95% de confiança para com 95% de confiança para se se = 12. = 12.

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)

A média de uma amostra aleatória com A média de uma amostra aleatória com nn = 36 é = 36 éX = 50. Construa um intervalo X = 50. Construa um intervalo com 95% de confiança para com 95% de confiança para se se = 12. = 12.

92,5308,4636

1296,150

3612

96,150

nZX

nZX 2/2/

92,5308,4636

1296,150

3612

96,150

nZX

nZX 2/2/

QuestãoQuestão

Você é um inspetor de Você é um inspetor de qualidade. O qualidade. O para garrafas para garrafas de 2 litros é de 2 litros é 0,050,05 litros. Uma litros. Uma amostra aleatória de amostra aleatória de 100100 garrafas forneceugarrafas forneceuX = 1,99 X = 1,99 litros. Qual é o intervalo com litros. Qual é o intervalo com 90%90% de confiança para a de confiança para a médiamédia verdadeira da verdadeira da quantidade em garrafas de 2 quantidade em garrafas de 2 litros? litros?

2 liter

© 1984-1994 T/Maker Co.

2 liter

Solução do Intervalo de Solução do Intervalo de ConfiançaConfiança

998,1982,1

100

05,0645,199,1

100

05,0645,199,1

nZX

nZX 2/2/

998,1982,1

100

05,0645,199,1

100

05,0645,199,1

nZX

nZX 2/2/

Achando o Tamanho da Achando o Tamanho da AmostraAmostra

Achando o Tamanho da Achando o Tamanho da Amostra Amostra

para Estimar para Estimar Eu não quero amostra muito grande nem muito pequena!

2

22

x

xx

ErroZ

n)3(

nZZErro(2)

ErroXZ(1)

2

22

x

xx

ErroZ

n)3(

nZZErro(2)

ErroXZ(1)

Exemplo de Tamanho da Exemplo de Tamanho da AmostraAmostra

Que tamanho de amostra é necessário para Que tamanho de amostra é necessário para se estar com se estar com 90%90% de confiança de se estar de confiança de se estar correto dentro de correto dentro de 5 5? Um estudo piloto ? Um estudo piloto mostrou que o desvio padrão é mostrou que o desvio padrão é 4545..

Exemplo de Tamanho da Exemplo de Tamanho da AmostraAmostra

Que tamanho de amostra é necessário para Que tamanho de amostra é necessário para se estar com se estar com 90%90% de confiança de se estar de confiança de se estar correto dentro de correto dentro de 5 5? Um estudo piloto ? Um estudo piloto mostrou que o desvio padrão é mostrou que o desvio padrão é 4545..

2202,2195

45645,1

Erro

)Z(n

2

22

2

222/

QuestãoQuestão

Você trabalha em Recursos Você trabalha em Recursos Humanos. Você deseja saber o Humanos. Você deseja saber o gasto médio dos empregados gasto médio dos empregados com saúde. Você quer ter uma com saúde. Você quer ter uma confiança de confiança de 95%95% que a que a médiamédia amostral esteja dentro de amostral esteja dentro de ± $50± $50. . Um estudo piloto mostrou que Um estudo piloto mostrou que é é $400$400. Que . Que tamanho de tamanho de amostraamostra você usará? você usará?

Solução do Tamanho da Solução do Tamanho da AmostraAmostra

24686,24550

40096,1

Erro

)Z(n

2

22

2

222/

Correção para População Correção para População FinitaFinita


1.1. Usada quando tamanho da amostra é Usada quando tamanho da amostra é grande comparada ao tamanho da grande comparada ao tamanho da populaçãopopulação Se Se nn//NN > 0,05, use o fator de correção > 0,05, use o fator de correção


1.1. Usada quando tamanho da amostra é grande Usada quando tamanho da amostra é grande comparada ao tamanho da populaçãocomparada ao tamanho da população Se Se nn//NN > 0,05, use o fator de correção > 0,05, use o fator de correção

2.2. Fator de correção:Fator de correção:

3.3. Intervalo de confiança para média com fator:Intervalo de confiança para média com fator:

Diminui o comprimento do intervalo de confiançaDiminui o comprimento do intervalo de confiança

N nNN nN

X tSn

N nN

X tSn

N nNn n

/ , / ,2 1 2 1X t

Sn

N nN

X tSn

N nNn n

/ , / ,2 1 2 1

N nN N n

N

Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Estimar a Média Estimar a Média

(Amostra Pequena)(Amostra Pequena)


Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra menor que 30 (Tamanho da amostra menor que 30 (nn < 30) < 30) População distribuída normalmentePopulação distribuída normalmente Desvio padrão populacional desconhecidoDesvio padrão populacional desconhecido

2.2. Usa distribuição t de StudentUsa distribuição t de Student


Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra menor que 30 (Tamanho da amostra menor que 30 (nn < 30) < 30) População distribuída normalmentePopulação distribuída normalmente Desvio padrão populacional desconhecidoDesvio padrão populacional desconhecido

2.2. Usa distribuição t de StudentUsa distribuição t de Student

3.3. Intervalo de confiança:Intervalo de confiança:

X tSn

X tSnn n / , / ,2 1 2 1X t

Sn

X tSnn n / , / ,2 1 2 1

ZZtt

Distribuição t de StudentDistribuição t de Student

00

Normal Normal PadrãoPadrão

t (t (glgl = 13) = 13)Forma de sinoForma de sino

SimétricaSimétrica

Cauda mais Cauda mais ‘longa’‘longa’

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

v t.10 t.05 t.025

1 3.078 6.314 12.706

2 1.886 2.920 4.303

3 1.638 2.353 3.182

t0 t0

Tabela da t de StudentTabela da t de Student

Suponha:Suponha:nn = 3 = 3glgl = = nn - 1 = 2 - 1 = 2 = 0,10= 0,10/2 = 0,05/2 = 0,05

2,9202,920Valores de tValores de t

/ 2/ 2

0,050,05

Graus de Liberdade (Graus de Liberdade (glgl))

1.1. Número de observações que podem Número de observações que podem variar após a estatística amostral ser variar após a estatística amostral ser calculadacalculada

2.2. Exemplo:Exemplo:Soma de 3 números é 6Soma de 3 números é 6

XX1 1 = =

XX2 2 = =

XX3 3 ==

Soma = 6Soma = 6

Graus de Liberdade (Graus de Liberdade (glgl))

1.1. Número de observações que podem Número de observações que podem variar após a estatística amostral ser variar após a estatística amostral ser calculadacalculada

2.2. Exemplo:Exemplo:

Soma de 3 números é 6Soma de 3 números é 6XX1 1 = 1 (Ou outro número)= 1 (Ou outro número)

XX2 2 = 2 (Ou outro número)= 2 (Ou outro número)

XX3 3 = = 33 (Não pode variar) (Não pode variar)

Soma = 6Soma = 6

Graus de liberdade Graus de liberdade = = nn -1 -1 = 3 -1= 3 -1= 2= 2

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

Uma amostra aleatória com Uma amostra aleatória com nn = 25 tem = 25 tem xx = 50 e = 50 e ss = 8. Construa um intervalo = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para com 95% de confiança para ..

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)

Uma amostra aleatória com Uma amostra aleatória com nn = 25 tem = 25 tem xx = 50 e = 50 e ss = 8. Construa um intervalo = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para com 95% de confiança para ..

30,5369,46258

0639,250258

0639,250

nS

tXn

StX 1n,2/1n,2/

30,5369,46258

0639,250258

0639,250

nS

tXn

StX 1n,2/1n,2/

QuestãoQuestão

Você é um analista Você é um analista estudando o tempo de estudando o tempo de manufatura de um produto. manufatura de um produto. Os seguintes tempos foram Os seguintes tempos foram medidos (em min.): medidos (em min.): 3,6; 4,2; 3,6; 4,2; 4,0; 3,5; 3,8; 3,14,0; 3,5; 3,8; 3,1..

Qual é o intervalo com Qual é o intervalo com 90%90% de confiança para o tempo de confiança para o tempo médiomédio de manufatura? de manufatura?


X = 3,7X = 3,7

SS = 0,38987 = 0,38987

nn = 6, gl = = 6, gl = nn - 1 = 6 - 1 = 5 - 1 = 6 - 1 = 5

SS / / nn = 0,38987 / = 0,38987 / 6 = 0,15926 = 0,1592

tt0,05;50,05;5 = 2,0150 = 2,0150

3,7 - (2,015)(0,1592) 3,7 - (2,015)(0,1592) 3,7 + (2,015)3,7 + (2,015)(0,1592) (0,1592)

3,379 3,379 4,021 4,021

Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança para uma Proporçãopara uma Proporção

Dados QualitativosDados Qualitativos

1.1. Variáveis aleatórias qualitativas são Variáveis aleatórias qualitativas são classificadas por um atributoclassificadas por um atributo p.e., qualidade (perfeita, defeituosa)p.e., qualidade (perfeita, defeituosa)

2.2. As medidas refletem nAs medidas refletem noo em cada categoria em cada categoria

3.3. Escala nominal ou ordinalEscala nominal ou ordinal

4.4. Exemplos:Exemplos: As duas peças fabricadas encaixam ou não? As duas peças fabricadas encaixam ou não? A dimensão da peça está dentro do A dimensão da peça está dentro do

especificado ou não?especificado ou não?

ProporçõesProporções

1.1. Envolve variáveis qualitativasEnvolve variáveis qualitativas

2.2. Fração ou % da população na categoriaFração ou % da população na categoria

3.3. Se houver apenas dois resultados possíveis, Se houver apenas dois resultados possíveis, distribuição binomialdistribuição binomial Possui ou não possui a característicaPossui ou não possui a característica

ProporçõesProporções

1.1. Envolve variáveis qualitativasEnvolve variáveis qualitativas

2.2. Fração ou % da população na categoriaFração ou % da população na categoria

3.3. Se houver apenas dois resultados Se houver apenas dois resultados possíveis, distribuição binomialpossíveis, distribuição binomial Possui ou não possui a característicaPossui ou não possui a característica

4.4. Proporção amostral (Proporção amostral (pp))

amostra da tamanhosucessos de número

nx

p̂amostra da tamanho

sucessos de númeronx

p̂

^̂

1.1. Aproximada por Aproximada por distribuição normaldistribuição normal

exclui 0 ou nexclui 0 ou n

2.2. MédiaMédia

3.3. Desvio padrãoDesvio padrão

Distribuição Amostral Distribuição Amostral da Proporçãoda Proporção

Pp Pp

Distribuição AmostralDistribuição Amostral

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

.0.0 .2.2 .4.4 .6.6 .8.8 1.01.0

PP^̂

P(PP(P^̂ ))

Pp Pp

)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn

npp

p)1(

ˆ


Proporção Proporção1.1. Hipóteses:Hipóteses:

Dois resultados possíveisDois resultados possíveis População segue distribuição binomialPopulação segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada

não inclui 0 ou nnão inclui 0 ou n


( )

( )p z

p pn

p p zp p

n

2 2

1 1 ( )

( )p z

p pn

p p zp p

n

2 2

1 1

)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da ProporçãoProporção

Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou que 32 fizeram pós-graduação. Construa um que 32 fizeram pós-graduação. Construa um intervalo com 95% de confiança para intervalo com 95% de confiança para pp..

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da ProporçãoProporção

Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou que 32 fizeram pós-graduação. Construa um que 32 fizeram pós-graduação. Construa um intervalo com 95% de confiança para intervalo com 95% de confiança para pp..

107,0p053,0

400

)08,01(08,096,108,0p

400

)08,01(08,096,108,0

n

)p̂1(p̂Zp̂p

n

)p̂1(p̂Zp̂ 2/2/

107,0p053,0

400

)08,01(08,096,108,0p

400

)08,01(08,096,108,0

n

)p̂1(p̂Zp̂p

n

)p̂1(p̂Zp̂ 2/2/

QuestãoQuestão

Você é responsável por Você é responsável por anúncios no jornal. Você quer anúncios no jornal. Você quer encontrar a % de erros. De encontrar a % de erros. De 200200 anúncios, anúncios, 3535 tinham erros. tinham erros. Qual é o intervalo com Qual é o intervalo com 90%90% de de confiança para a confiança para a proporçãoproporção de de erros? erros?


2192,0p1308,0

200

825,0175,0645,1175,0p

200

825,0175,0645,1175,0

n

)p̂1(p̂Zp̂p

n

)p̂1(p̂Zp̂ 2/2/

Tamanho da Amostra para Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção pEstimar a Proporção p

Tamanho da Amostra para Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção pEstimar a Proporção p

1.1. Quando se conhece uma estimativa Quando se conhece uma estimativa

2.2. Quando não se conhece uma estimativa Quando não se conhece uma estimativa

p̂

p̂

2

22/

Erro

)p̂1(p̂)Z(n

p̂

2

22/

Erro4

)Z(n

Exemplo de Tamanho da Exemplo de Tamanho da Amostra para Estimar a Amostra para Estimar a

Proporção pProporção pQue tamanho de amostra é necessário para se Que tamanho de amostra é necessário para se estimar a proporção de motoristas que falam ao estimar a proporção de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem com celular enquanto dirigem com 95%95% de confiança de confiança de se estar correto dentro de uma margem de de se estar correto dentro de uma margem de erro de erro de 3% 3%??

A) Suponha que um estudo piloto mostrou que A) Suponha que um estudo piloto mostrou que 18%18% dos motoristas falam ao celular. dos motoristas falam ao celular.

B) Suponha que não se tem qualquer B) Suponha que não se tem qualquer informação sobre essa proporção.informação sobre essa proporção.

Exemplo de Tamanho da Exemplo de Tamanho da Amostra para Estimar a Amostra para Estimar a

Proporção pProporção pA)A)

B)B)

63102,63003,0

82,018,096,1

Erro

)p̂1(p̂)Z(n

2

2

2

22/

068.111,067.103,04

96,1

Erro4

)Z(n

2

2

2

22/

Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança para a Variânciapara a Variância


Variância Variância1.1. Hipóteses:Hipóteses:

Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória População segue distribuição normalPopulação segue distribuição normal

2. Usa a distribuição qui-quadrado2. Usa a distribuição qui-quadrado


21n,2/1

22

21n,2/

2 s)1n(s)1n(

2

1n,2/1

22

21n,2/

2 s)1n(s)1n(

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da VariânciaVariância

Uma amostra aleatória com Uma amostra aleatória com nn = 25 tem = 25 tem ss22 = 8. Construa um intervalo com 95% = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para de confiança para ..

Exemplo de Estimação da Exemplo de Estimação da VariânciaVariância

Uma amostra aleatória com Uma amostra aleatória com nn = 25 tem = 25 tem ss22 = 8. Construa um intervalo com 95% = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para de confiança para ..

48,1588,4

401,12

8)125(

364,39

8)125(

s)1n(s)1n(

2

2

21n,2/1

22

21n,2/

2

48,1588,4

401,12

8)125(

364,39

8)125(

s)1n(s)1n(

2

2

21n,2/1

22

21n,2/

2

QuestãoQuestão

Você é um analista Você é um analista estudando o tempo de estudando o tempo de manufatura de um produto. manufatura de um produto. Os seguintes tempos foram Os seguintes tempos foram medidos (em min.): medidos (em min.): 3,6; 4,2; 3,6; 4,2; 4,0; 3,5; 3,8; 3,14,0; 3,5; 3,8; 3,1..

Qual é o intervalo com Qual é o intervalo com 90%90% de confiança para a variância de confiança para a variância do tempo de manufatura? do tempo de manufatura?


X = 3,7X = 3,7

SS = 0,38987 = 0,38987 SS22 = 0,152 = 0,152

nn = 6, gl = = 6, gl = nn - 1 = 6 - 1 = 5 - 1 = 6 - 1 = 5

220,05;50,05;5 = 11,071 = 11,071 22

0,95;50,95;5 = 1,145 = 1,145

5 (0,152)/11,071 5 (0,152)/11,071 5 (0,152)/1,145 5 (0,152)/1,145

0,06865 0,06865 0,66376 0,66376

0,26201 0,26201 0,81471 0,81471

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Capítulo 6 Estimativas e Tamanho de Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA