Capítulo 6 INTRODUÇÃO À CONVECÇÃO

§  A transferência de calor por convecção ocorre quando existe o contato entre um sólido e um fluido em movimento: §  consiste na combinação da condução com a advecção

(transferência de calor devido ao movimento do fluido)

v,T∞

q",dAs

v,T∞

q",dAs

( ) ∫=⇒−= ∞ sA ss dAqqTThq ""

1

Problema:Ø  determinar o coeficiente de troca de calor hØ  h é função da geometria e do escoamento

( )∞−= TTAhq ss( ) ( )∫−=⇒− ∞∞ sA sss hdATTqcteTTpara

∫=sA s

shdA

Ah 1

ou

q O escoamento e consequentemente a transferência de calor apresentam características diferentes dependendo se o escoamento é externo ou interno.

2

ü Escoamento externo: ü caracterizado pela região com gradiente acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica)ü gradiente acentuado de temperatura (camada limite térmica)

ü Escoamento interno: ü Entrada: comportamento análogo à camada limite externaü Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento desenvolvido: •  Hidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte• Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura não varia (∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-Tref)/ ΔTref

Equações de conservação Equação de Conservação de Massa ou Continuidade 0=•∇+

∂∂ )( Vt

!ρ

ρ

Variação da massa + fluxo líquido = 0com o tempo p/ ∀ de massa p/ ∀

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear (2ª. Lei de Newton para fluidos Newtonianos)

qTktDTDcρ p !++∇•∇= µφ)(

massa × aceleração = força p/ ∀ força p/ ∀ força p/ ∀ p/ ∀ gravitacional pressão viscosa

Equação de Conservação de Energia

)( VPgρtDVDρ

!!!

∇•∇+∇−= µ

Variação da energia = fluxo líquido de calor dissipação geração de com o tempo p/ ∀ de condução p/ ∀ viscosa calor p/ ∀

Equações de conservação Hipóteses: (i) regime permanente, (ii) 2-D (iii) fluido incompressível, (iv) viscosidade constante (v) coordenadas cartesianas

Quantidadede movimento:

Energia:

0=+yv

xu

∂∂

∂∂

y

x

gyv

xv

yp

yvv

xvu

gyu

xu

xp

yuv

xuu

ρ∂

∂

∂

∂µ

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

ρ∂

∂

∂

∂µ

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

2

2

2

2

2

2

2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

222

2

2

2

2

2yv

xu

xv

yu

qyT

xTk

yTv

xTucp

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

µµφ

µφ∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

ρ !

4

Massa:

Escoamento InternoHidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte⇒ v=0, logo a aceleração é nula:

5

xgy

uxp

ρ∂

∂µ

∂∂

++−= 2

20

Ø  Conservação de quantidade de movimento linear axial

Ø  Conservação de energia: Termicamente desenvolvido: ∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-Tref)/ ΔTref

qyTk

xTuc p !++= φµ

∂∂

∂∂ρ

2

2 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yu

∂∂

µφµ

Exemplo: Escoamento de Couette (escoamento entre duas placas paralelas)

TL=30 0C

T0=10 0C

L=3mm

U=10m/s

Dados: ρ=888,2 kg/m3

k=0,145 W/mK υ=900x10-6 m2/s

1.  Obtenha as distribuições de velocidade e temperatura. Considere ∂T∂x =b02. Obter o fluxo de calor nas paredes3. Obter a temperatura máxima no fluido, para as condições da figura.

6

p=patm

Camada Limite Hidrodinâmica: região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ Uo)

δ(x)

δ

x

y τ

τ

UoUo

u(y)

Fluidos Newtonianos:

0==

ys y

u∂∂µτ

7

Escoamento Externo

Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura devido a presença da parede com temperatura diferente da temperatura do fluido ao longe

δt(x)

δt

x

y

T ∞ U

T(y)

T∞

Ts

( )

( )∞=

∞=

∞

−

−

=⇒

−=−=

=−

−

TT

yTk

h

TThyTkq

TTTT

s

yf

sy

fs

ss

0

0

990

∂∂

∂∂"

,

⇒ h é função da distribuição de temperaturas, que por sua vez depende do campo de velocidades

δt cresce com x ⇒ ∂T/∂y⏐y=0 cai com x ⇒ h cai com x

8

Escoamento laminar e turbulento

x

y

U U

U

9

Laminar: filamento de corante não se mistura

Turbulento: o corante mistura rapidamente

O escoamento turbulento ocorre a altas velocidades. A transição é caracterizada pelo no. de Reynolds

viscosasforçasinércia forças

=Re

Escoamento turbulento:- movimentos aleatórios - flutuações de velocidade que aumentam a transferência de quantidade de movimento e energia- camada limite turbulenta: mais larga e os perfis de velocidade são mais achatados. As tensões cisalhantes na parede e o h são maiores do que os laminares.

- subcamada laminar: transporte é dominado por difusão e perfil de velocidade é linear-camada amortecedora: difusão e mistura turbulenta competem-zona turbulenta: mistura turbulenta predomina

Transição: início depende do número de Reynolds

viscosasforçasinércia forças

==µρUx

xRe

10

- Variação da espessura da camada limite e do coeficiente de troca de calor

h(x)

δ(x)

laminar transição turbulento

11

Equações de conservação para a camada limite

Hipóteses adicionais: •  desprezar forças de corpo•  sem geração de calor•  espessura da CL pequena (δ << L)

Análise de ordem de grandeza:

•  CL hidrodinâmica:

2

2

2

2

xu

yu

∂

∂

∂

∂>>

e 2

2

2

2

xT

yT

xTu

yTv

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

>>≈

12

!1

<<

≈⇒≈⇒≈≈≈L

UvvLUv

yv

LU

xu δ

δδ∂∂

∂∂

0≈yp

∂∂

•  CL térmica:

€

∂u∂x

+∂v∂y

= 0

€

ρ u∂u∂x

+ v ∂u∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂x

+ µ∂ 2u∂x 2

+∂ 2u∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgx

ρ u∂v∂x

+ v ∂v∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂y

+ µ∂ 2v∂x 2

+∂ 2v∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgy

€

ρc p u ∂T∂x

+ v ∂T∂y

$

% &

'

( ) = k ∂ 2T

∂x2 +∂ 2T∂y 2

$

% &

'

( ) + µφ + ˙ q

µφ = µ∂u∂y

+∂v∂x

$

% &

'

( )

2

+ 2 ∂u∂x$

% &

'

( )

2

+∂v∂y$

% &

'

( )

2+

, - -

.

/ 0 0

1 2 3

4 3

5 6 3

7 3

Equação de conservação de massa:

Equação de conservação de momentum:

Equação de conservação de energia:

0=+yv

xu

∂∂

∂∂

( )CL da fora pressão 0

2

2

==⇒=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

)(xppyp

y

uxp

yuv

xuu

∂∂

∂

∂µ

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yu

yTk

yTv

xTucp ∂

∂µ

∂

∂∂∂

∂∂

ρ13

- Cálculo do coeficiente de troca de calor:

∞

=

−

−=

TT

yTkh

s

y 0∂∂ /

-  Similaridade das equações:

§  As equações de momentum e energia são da mesma forma se dp/dx e o termo de dissipação forem nulos (termos convectivos= termos difusivos).

§  Exs.: escoamentos a baixas velocidades

14

- Adimensionalização das equações:

2Upp

TTTT

T

Uvv

Uuu

Lyy

Lxx

s

sρ

≡−

−≡

≡≡≡≡

∞

**

****

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+

2

2

*

*

*

*

*

**

*

**

yu

ULxp

yuv

xuu

∂

∂υ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2

2

*

*

*

**

*

**

yT

ULyTv

xTu

∂

∂α

∂

∂

∂

∂

- Desprezando o termo de dissipação viscosa:

( ) ( )

( )

( )

( ) 1

00

00

00

=∞

=

=

=∞= ∞

,

,

,

/,,

:

**

**

**

****

xT

xT

xv

UUxuxu

CC

15

- Parâmetros de similaridade:

L

L

UL

UL

RePr

Pr

Re

1UL

Prandtl de número

Reynolds de número

==

=

=

υυαα

αυ

υ

Assim,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+

2

21*

*

*

*

*

**

*

**

Re yu

xp

yuv

xuu

L ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2

21*

*

*

**

*

**

PrRe yT

yTv

xTu

L ∂

∂

∂

∂

∂

∂

16

Logo, u*=f(x*, y*, ReL, dp*/dx*)função da geometria

- Tensão cisalhante na parede e coeficiente de atrito:

!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=≡

==

=

=

==

*

**

*

*

*

*

.

*

*

,Re,

Re/

*

*

*

xpxf

yu

yu

UC

yu

LU

yu

Ly

yL

s

atritocoeff

yys

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ρ

τ

∂

∂µ∂∂µτ

0

02

00

como

22

17)Re,( * Lf xgC =

:geometria uma para

Também, da equação da energia, T*=f(x*, y*, ReL, Pr, dp*/dx*)

- Coeficiente de troca de calor e número de Nusselt:

( )

!0

00

=

==∞

=≡

=−

−=

*

*

*

*

*

*

yNusseltnúmero

yys

yT

khLNu

yT

Lk

yT

TTkh

∂

∂

∂

∂∂∂

Obs: A solução do problema é função de 3 parâmetros adimensionais, ao invés dos 7 parâmetros originais 18

Pr),(Re'

Pr),Re,( *

L

L

gNu

xgNu

=

=

ou

:geometria uma para

- Significado físico dos parâmetros adimensionais:

térmicadedifusividamomentum dedifusivida

viscosas

inércia2

≈=

≈==

αυ

µρ

µρ

Pr

//Re

FF

LULUUL

L

Pr<<1 - δt >> δ - metais líquidos

Pr>>1 - δt << δ - óleos, água

δ/ δt ≈ Prn (n>0)

19

Ø Analogia de Reynolds: §  relação entre Cf e Nu, válida quando dp/dx=0 e Pr≈1

§  eqs. de conservação adimensionais são equivalentes§  u* e T* são funções semelhantes e seus gradientes também§  Cf e Nu são análogos: Cf ReL/2=Nu

§  Número de Stanton:

§  A partir de resultados de Cf, podemos obter Nu e vice-versa

§  Analogia de Chilton-Colburn:

§  Obs: para esc. turbulentos, o efeito do gradiente de pressão é menor

tf

Lpt S

CNuUchS =⇒=≡

2PrReρ

!Colburn de jfator

322 htf jS

C≡= /Pr

20

-Efeitos da turbulência:• Escoamentos turbulentos ocorrem a partir de Recrítico• Para escoamento externo, Rec=5x105. • Para escoamento interno, Rec=2300• Flutuações turbulentas:

um

u'

t

u

u=um+u'

Escoamento turbulento: Coeficientes de atrito etroca de calor mais altos

21

- Equações de conservação:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

!!!! "!!!! #$

%&'

totaltensão

a turbulentou tensãoReynolds de tensão

'' vuyu

yxp

yuv

xuu ρ

∂∂µ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ρ

! ( )

! "#"$%

turbulentocalor

defluxo

pHpHpt

MMt

pp

TvcyTc

yTcq

vuyu

yu

TvcyTk

yyTv

xTuc

''

''

''

" ρ∂∂

ερ∂∂

εαρ

ρ∂∂

ερ∂∂

ευρτ

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

−=→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

−=→

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

energia turb.dif.

momentum turb.dif.

- Na zona turbulenta,

εM >>ν ; εH >> α

perfis mais achatados - maiores gradientes na parede - tensão cisalhante e h maiores

- determinação de εM e εH é difícil

- Em geral, h é obtido experimentalmente

22