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CAPITULO 7 Torção Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

Capitulo 7 - Torção

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Page 1: Capitulo 7 - Torção

CAPITULO 7

Torção

Resistência dos Materiais

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Sumário: Torção

Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de determinar os

diagramas de esforços internos de torção. Obter experimentalmente o módulo de distorção.

Relacionar as tensões tangenciais com os esforços de torção e propriedades geométricas

dos corpos. Estabelecer a relação entre a potência e o momento torçor. Relacionar o ângulo

de torção de veios de secção circular com os esforços de torção, módulo de distorção e

propriedades geométricas. Resolver problemas hiperestáticos de grau 1.

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Esforços internos de torção

Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais

Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados

Ângulo de torção

Momento polar de Inércia

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Torção em Eixos de Secção Circular

• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.

• O eixo transmite o momento T ao gerador.

• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.

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Exercício de Esforços Internos de Torção

Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.

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Análise das Tensões num Eixo

dAdFT

• O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:

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Page 6: Capitulo 7 - Torção

Análise das Tensões num Eixo

• O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra.

• Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.

• Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.

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• O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:

L

T

Deformações nos Eixos de Secção Circular

• Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.

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Deformações nos Eixos de Secção Circular

maxmax e cL

c

LL ou

• A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.

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Tensões no Regime Elástico

Jc

dAc

dAT max2max

• Recordar que:

421 cJ

41

422

1 ccJ e max JT

JTc

• Fórmulas de torção no regime elástico:

• A partir da equação anterior:

max Gc

G

maxc

Aplicando a lei de Hooke, G , vem:

A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra.

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Page 10: Capitulo 7 - Torção

Tensões no Regime Elástico

max0

0max45

0max0max

22

245cos2

o

AA

AF

AAF

• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,

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Modos de Falha Torcionais

• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.

• Material dúctil.

• Material frágil.

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Page 12: Capitulo 7 - Torção

a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;

b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa.

O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:

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Exercício Resolvido 1

Page 13: Capitulo 7 - Torção

• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:

CDAB

ABx

TT

TM

mkN6

mkN60 mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM

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Page 14: Capitulo 7 - Torção

• Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

ccJ

MPa2.86m1092.13

m060.0mkN2046

22max

JcTBC

MPa7.64

mm60mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

cc

MPa7.64

MPa2.86

min

max

• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:

m109.38

mkN665

3

32

42

max

c

cMPa

cTc

JTc

mm8.772 cd

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Page 15: Capitulo 7 - Torção

Ângulo de Torção no Regime Elástico

Lc max

• Aplicando a Lei de Hooke,

JGTc

G max

max

• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,

JGTL

i ii

iiGJLT

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Page 16: Capitulo 7 - Torção

• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

• A partir do diagrama de corpo livre,

Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.

ftlb90 BA TT

ftlb9012

21 AA TJLJLT

• Substituir na equação de equilíbrio inicial,

ABBA T

JLJLT

GJLT

GJLT

12

21

2

2

1

121 0

• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,

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Page 17: Capitulo 7 - Torção

a) O maior momento torçor T0 que pode ser aplicado à extremidade do eixo AB.

b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB.

Exercício Resolvido 2

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Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial admissível nos veios de 8000 psi e G=11.2*10^6 psi. Calcular:

Page 18: Capitulo 7 - Torção

• Procede-se ao equilíbrio estático dos dois veios de modo a obter o momento torçor no veio CD em função do momento torçor aplicado T:

0

0

8.2

in.45.20

in.875.00

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:

CB

CCB

CB

CCBB

rr

rr

8.2

in.875.0in.45.2

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Page 19: Capitulo 7 - Torção

• Cálculo do máximo momento torçor T0.

in.lb561

in.5.0in.5.08.28000

in.lb663

in.375.0in.375.08000

0

42

0max

0

42

0max

T

TpsiJ

cT

T

TpsiJ

cT

CD

CD

AB

AB

inlb5610 T

• Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.

ooo

/

oo

o

642

/

o

642

/

48.102.2226.8

26.895.28.28.2

95.2rad514.0

psi102.11in.5.0.24in.lb5618.2

2.22rad387.0

psi102.11in.375.0.24in.lb561

BABA

CB

CD

CDDC

AB

ABBA

inGJLT

inGJLT

o48.10ADEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

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Page 20: Capitulo 7 - Torção

Projecto de Eixos de Transmissão

• As principais especificações a serem consideradas são:

potência; velocidade de rotação.

• Determinar o momento torçor,

fPPT

fTTP

2

2

• Determinar a secção do eixo,

vazadoseixos2

maciços eixos2

max

41

42

22

max

3

max

Tcccc

J

TccJ

JTc

• O projectista deverá seleccionar materiais e dimensões adequadas, de modo a não exceder a tensão tangencial admissível.

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Page 21: Capitulo 7 - Torção

Torção em Barras de Secção Não Circular

• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.

GabcTL

abcT

32

21

max

• Para barras de secção rectangular constante,

• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.

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Page 22: Capitulo 7 - Torção

Tubos de Paredes Finas• Somando as forças aplicadas na porção AB,

na direcção do eixo x,

A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.

qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

0

tAT

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

t

dsGA

TL24

• Ângulo de torção,

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