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Resistência dos Materiais I Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 7 Cisalhamento

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7.1 – Cisalhamento em elementos retosO cisalhamento V é o resultado de uma distribução de tensões decisalhamento transversal que age na seção da viga. Devido à propriedadecomplementar de cisalhamento, as tensões de cisalhamento longitudinaisassociadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Porexemplo, um elemento retirado de um ponto interno está sujeito a tensõesde cisalhamento transversal e longitudinal.

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Os esforços suportados por uma viga são de dois tipos:Tensões normais causadas pelo momento fletorTensões cisalhantes causadas pelo esforço cortante

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É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento sedesenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando ela compostapor três tábuas. Se as superfícies forem lisas e as tábuas estiverem soltas,deslizaram. Do contrário, surgirão tensões que impedirão que deslizem e aviga agirá como uma unidade única.

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As tensões tenderão a distorcer a seção transversal de uma maneirabastante complexa. Quando o cisalhamento V é aplicado, essa distribuiçãonão uniforme na seção transversal fará com que ela se deforme, isto é, nãopermaneça plana. Lembre-se que no desenvolvimento da fórmula deflexão, consideramos que as seções permaneciam planas. Embora essaregra seja infringida, podemos considerar que a distorção da seção épequena o suficiente para se desprezada. Essa consideração éparticularmente verdadeira para ao caso mais comum como de uma vigaesbelta, cuja largura é pequena em relação ao seu comprimento.

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Neste caso, onde a distribuição não é uniforme nem linear, a distribuiçãode tensões não é facilmente em termos matemáticos, entãodesenvolviremos uma fórmula para tensão indiretamente, através darelação entre o momento e o cisalhamento dxdMV

7.2 – A fórmula do cisalhamento

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Considere o segmento na parte superior do elemento foi secionado em y’em relação ao eixo neutro (b). Como a diferença entre os momentosresultantes em cada lado do elemento é dM, podemos ver que na figura (d)o somatório de força em x só será zero se uma tensão de cisalhamentolongitudinal aja sobre a face inferior do segmento. Considerando que atensão de cisalhamento seja constante em toda a largura t da face inferior eage em t dx.

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, , ,x

' '

, ,

' '

,

'

,

'

F =0 ( ) 0

( ) 0

( )

1

A A

A A

A

A

dA dA tdx

M dM MydA ydA tdx

I I

dMydA tdx

I

dMydA

It dx

,

'A

VQ

It

Q ydA

Momento de primeira ordem da área A’ em tornodo eixo neutro.Pela definição de centroide da área A’ :

' 'Q y A

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A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão decisalhamento na seção transversal.

onde ' 'Q y A

Q= momento estático da área A’ em relação à LN (linha neutra)τ = tensão de cisalhamento no elemento V = força de cisalhamento interna resultanteI = momento de inércia da área da seção transversal inteirat = largura da área da seção transversal do elemento

VQ

It

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SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR:

Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura. A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo do eixo neutro.

7.3 – Tensões de cisalhamento em vigas

VQ

It

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Para uma viga com seção transversal retangular:

Aplicando a fórmula:

22

22

22

33

' '

' ( )2

1' ( )

2 2

1 1' ' ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 4

1( ) 62 4 ( )1 4

( )12

Q y A

hA y b

hy y y

h h hQ y A y y y b y b

hV y bVQ V h

yIt bh

bh b

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Este resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal é parabólica:

Como y varia de +h/2 até –h/2 , até o

máximo valor y=0 que valerá:

válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR

2

2

3

6( )

4

V hy

bh

2

3

6( )

4máx

V h

bh

1,5máx

V

A

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A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento verticalinterna resultante V = 3 kN. (a) Determine a tensão de cisalhamento naviga no ponto P e (b) calcule a tensão de cisalhamento máxima naviga.

Exemplo 1 -

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4 31' 12,5 50 50 100 18,75 10 mm

2Q yA

4633 mm 1028,1612510012

1

12

1 bhI

(a) O momento de inércia da área da seção transversal calculado em tornodo eixo neutro é

Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos

3 4 3

6 4

3 10 18,75 10

16,28 10 100

0,346 MPa

P

P

N mmVQ

It mm mm

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(b)a tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante em toda a seção:

Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos

34 mm 1053,195,621002

5,62''

AyQ

máx 0,360 MPa

1001028,16

1053,191036

43

It

VQmáx

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1) A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira. Se forsubmetida a um cisalhamento V=20kN, e a=250mm, determine a tensãode cisalhamento máxima e trace uma curva da variação de tensão decisalhamento. Resposta: τmáx=0,32MPa

Exercício de fixação -

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2) A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensãode cisalhamento admissível τadm=1,6ksi. Se for submetida a umcisalhamento V=4kip, determine a menor dimensão a de sua parte inferiore 1,5a de seus lados. Resposta: a=1,58in

Exercício de fixação -

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SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA:

Para uma viga com seção transversal circular:

2

2 3 4

3

4 2

' '

'2

4'

3

4 2' ' 2

3 2 3 4

24 43

3 32

4

máx

Q y A

rA

ry

r r r rQ y A t r I

rV

VQ V V

rIt r Ar

1,33máx

V

A

'A

válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA

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3) O raio da haste de aço é 1,25in. Se ela for submetida a um cisalhamentoV=5kip, determine a tensão de cisalhamento máxima.Resposta: τmáx=1,36ksi.

Exercício de fixação -

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SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA:

Para uma viga com seção transversal circular:

2 22 2 1 1

2 22 1

1,33máx

r r r rV

A r r

válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA E

MACIÇA

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4) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V=75kN, determine a tensãode cisalhamento máxima nele. Resposta: τmáx =43,2MPa

Exercício de fixação -

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VIGAS DE ABAS LARGAS:

Consistem em duas “abas” largas e uma “alma.”

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5) Uma viga de aço tem as dimensões mostradas na figura abaixo. Se forsubmetida a uma força cortante V=80kN (a) trace uma curva dadistribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seçãotransversal da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a almaresiste.

Exercício de fixação -

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Respostas: (a) τC=τmáx=25.2MPa

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6) Se a força P=800lb, determine a tensão máxima de cisalhamento destaviga. Resposta: 99,8psi

Exercício de fixação -

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7) A viga T mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamentoindicado. Determine a tensão de cisalhamento máxima desta viga. Resposta:14,7MPa

Exercício de fixação -

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8) Para a viga com o carregamento mostrado, determine o valor da tensãode cisalhamento nos pontos a e b, localizados na seção transversal n-n.Respostas: 1,961ksi e 2,94ksi

Exercício de fixação -

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9) A viga mostrada na figura abaixo é feita com duas tábuas. Determine atensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenhaas tábuas unidas ao longo da linha de junção. Os apoios B e C exercemapenas reações verticais na viga.

Exercício de fixação -

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