Capitulo II a Elementar I Conjuntos Numericos[1]

Material de estudo da disciplina

Matemática Elementar I

Gertrudes Aparecida DANDOLINI João Artur de SOUZA

Thaís Neuenfeld PHILIPSEN

Este material foi elaborado com o apoio da Equipe do Laboratório de Ensino de Matemática a Distância (LEMAD) e adaptado aqui para disponibilização no ambiente virtual de aprendizagem – MOODLE – para uso exclusivo do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal de Pelotas. Todos os direitos pertencem ao CLMD.

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA

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SUMÁRIO

1.1 Introdução..............................................................................................................................................................................21

1.2 Conjunto dos Números Naturais (N)......................................................................................................................................21

1.3 Conjunto dos Números Inteiros (Z)........................................................................................................................................22 1.3.1 Paridade......................................................................................................................................................................23 1.3.2 Divisibilidade ...............................................................................................................................................................24 1.3.3 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum ...................................................................................................25

1.4 Conjunto dos Números Racionais (Q) ...................................................................................................................................26

1.4.1 Adição .........................................................................................................................................................................27 1.4.2 Multiplicação................................................................................................................................................................28 1.4.3 Propriedades das Operações em Q............................................................................................................................29 1.4.4 Representação decimal dos números racionais .........................................................................................................30

1.5 Números Irracionais...............................................................................................................................................................32

1.6 Números Reais (R) ................................................................................................................................................................35

1.6.1 Ordem em R................................................................................................................................................................36 1.6.2 Intervalos de números reais ........................................................................................................................................38

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MATEMÁTICA ELEMENTAR I

2 Conjuntos Numéricos Objetivo: Construção do conceito de números reais.

1.1 INTRODUÇÃO No capítulo anterior fizemos uma revisão sobre conjuntos. Porém, na matemática os conjuntos mais utilizados são os conjuntos numéricos. Os números representam um papel vital não só na matemática, mas em várias outras áreas (como engenharias, química, física, economia,...) bem como na nossa vida diária. Os números estão em toda parte: horários, tabelas, gráficos, preços, juros, impostos, velocidades, distâncias, temperaturas, custo, lucro, estatísticas, área, volume, comprimento, tempo, .... Assim, dedicaremos este capítulo para estudar os conjuntos numéricos. Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais já são bem conhecidos por vocês. São esses números que usamos no nosso dia-a-dia. Faremos aqui uma revisão sobre esses conjuntos e introduziremos algumas formalizações matemáticas. Após essa revisão, exploraremos os números irracionais e faremos um estudo mais detalhado sobre o conjunto dos números reais, o conjunto que contém os números racionais e os irracionais.

1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) Os números naturais surgiram da necessidade da contagem. Por exemplo, da necessidade de saber se nenhuma ovelha havia se perdido. Assim, os pastores faziam uma associação entre as ovelhas e pedrinhas. Cada ovelha corresponde a uma pedra. Inclusive a palavra “cálculo” vem do latim “calculus” que significa “pedrinha”. O conjunto dos números naturais, denotado por N, é definido da forma:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ... } Representação Gráfica:

1 2 3 4 5 6 7 8

A construção dos números naturais pode ser feita a partir da unidade 1. Partindo da unidade podemos obter todos os outros naturais, bastando para isto adicionar a unidade a cada número obtido. Observe: 1 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 4 = 3 + 1 e assim por diante. Dessa forma, podemos ir tão longe quanto desejarmos. Dado um número natural n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um número n + 1, maior do que ele. Assim, podemos concluir que existe uma infinidade de números naturais. Questionamento: Você pode estar se perguntando: E o número zero? Por que ele não apareceu no conjunto dos números naturais. Reflita: o zero é um número natural, ou melhor, o surgimento do zero na história, aconteceu de forma natural? O que você pensa sobre isso? O Sistema de Numeração Posicional e o Surgimento do Zero

A criação de um símbolo (0) para representar o nada, ou o número de elementos de um conjunto vazio, é mais recente (data talvez dos primeiros séculos da era cristã) e surgiu quando o ábaco foi inventado.


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A necessidade de se inventar um sistema de numeração escrita onde usando-se poucos símbolos fosse possível representar qualquer número, por maior que fosse, e de se "fazer contas" de uma maneira rápida e fácil, levou à criação do sistema de numeração posicional, onde o valor de cada símbolo (algarismo) depende da posição ou classe que ele ocupa, e à criação de um símbolo (0) para preencher ou indicar classes vazias, que iria revolucionar os sistemas de numeração.

Para entender como o zero surgiu, precisamos conhecer um dos primeiros "computadores" conhecidos pela humanidade: o ábaco. O ábaco , inicialmente, consistia em meros sulcos feitos na areia onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro sulco, da esquerda para a direita, representava as unidades; o segundo, as dezenas; o terceiro as centenas e assim por diante. Cada pedrinha colocada em um sulco correspondia à unidade da ordem do sulco, isto é, uma pedrinha no segundo sulco valia uma unidade de 2a ordem, que corresponde, no sistema de base 10, a 10 unidades simples. Dessa maneira, no ábaco desenhado na figura abaixo está representado o número 103, no sistema de numeração decimal.

Observe que a classe vazia do ábaco foi representada pelo símbolo 0 (zero). Foi este o procedimento dos hindus: para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo que chamaram de Sunya (vazio). Este nome passou para o árabe como Cifer, depois Zefir, e, finalmente, zero, em português.

Ficou claro agora, a grande vantagem do sistema de numeração chamado posicional? Com este sistema, não é mais necessário inventar símbolos novos para cada número: para o sistema decimal, por exemplo, bastam dez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

O sistema de numeração posicional permite não só escrever os números de maneira muito simples mas também efetuar as operações muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numeração romana e sinta a dificuldade!!).

(Texto adaptado do texto disponível em: http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap112s1.htm. 14 de agosto de 2005).

Quanto ao zero, ser ou não natural, é uma questão de ser adotado. Existem autores que o incluem no conjunto N, e outros não. Com a evolução da humanidade, os números naturais passaram a não ser suficientes para a realização de alguns cálculos, por exemplo, subtrair de um número menor um maior, como por exemplo: 10 – 20. Observe, se x ∈ N então – x ∉ N, ou seja, os simétricos dos números naturais em relação à soma não são naturais. Isto motiva a definição de números inteiros.

1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os naturais, os seus simétricos e o zero. Denotado por Z, podemos descrevê-lo da seguinte forma:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} Representação Gráfica:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Observe que: se x ∈Z então – x ∈ Z. Ou seja, o simétrico de um número inteiro também é inteiro.

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Notações Utilizadas:

+Z denota o conjunto dos números inteiros não negativos, ou seja, +Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...};

−Z denota o conjunto dos números inteiros não positivos, ou seja, −Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0};

*Z denota o conjunto dos números inteiros sem o zero (não nulos), ou seja, *Z = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...};

*+

Z denota o conjunto dos números inteiros positivos, ou seja, *+

Z = {1, 2, 3, 4, 5, ...};

*−

Z denota o conjunto dos números inteiros negativos, ou seja, *−

Z = {..., -4, -3, -2, -1};

1.3.1 Paridade Os números inteiros podem ser divididos em dois subconjuntos disjuntos: os pares e os ímpares. Definição 1: (Par) Um número inteiro é par quando é múltiplo de 2, ou seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Uma forma equivalente de dizer isso é: um número p é par se existir n ∈ Z tal que p = 2n. Costuma-se indicar o conjunto dos números pares por P = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}. Definição 2: (Ímpar) Um número inteiro é ímpar quando dividido por 2 tem resto 1, ou seja, termina em 1, 3, 5, 7 ou 9. Uma forma equivalente de dizer isso é: um número i é ímpar se existir n ∈ Z tal que i = 2n + 1. Observe que :

i 2 n 1

Costuma-se indicar o conjunto dos números ímpares por I = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}. Você pode pensar que ter o conhecimento se um número é par ou não, não é muito útil. Porém, esse detalhe é importante e chega a resolver muitas questões difíceis, que sem a paridade nunca seriam solucionados. Veremos mais tarde, neste capítulo, uma utilidade dessa informação. Atividade 1: Sabendo que um número inteiro ou é par ou é impar, investigue quanto à paridade do resultado das seguintes operações: a) A soma de dois números pares. b) A soma de dois números ímpares. c) A soma de um número ímpar com um par. d) O produto de dois números pares. e) O produto de dois números ímpares. f) O produto de um número ímpar com um par. Atividade 2: Mostrar que a soma de dois números inteiros pares é um número par. Solução: Sejam a e b dois inteiros pares. Assim, existem n1 e n2 ∈ Z tal que, a = 2 n1 e b = 2 n2. Calculando a soma entre a e b, temos:

a + b = 2 n1 + 2 n2 = 2(n1 + n2)

Como a soma de dois inteiros ainda é um número inteiro temos que n = n1 + n2 ∈ Z. Logo, existe n∈ Z tal que a + b = 2n. Portanto, a + b é um número par, ou seja, a soma de dois números inteiros pares é um número par.


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Atividade 3: Mostrar que a soma de um número ímpar com um número par é um número ímpar. Solução: Sejam a e b dois inteiros, sendo um par e um ímpar. Assim, sem perda de generalidade, tomando a sendo ímpar e b par, existem n1, n2 ∈ Z tal que, a = 2n1 + 1 e b = 2n2. Calculando a soma entre a e b, temos:

a + b = (2n1 + 1) + 2n2 = 2(n1 + n2) + 1 Como a soma de dois inteiros ainda é um número inteiro, obtemos n = n1 + n2 ∈ Z. Logo, existe n∈ Z tal que a + b = 2n + 1. Portanto, a + b é um número ímpar, ou seja, a soma de um número ímpar com um número par é um número ímpar. Atividade 4: Mostre que a soma de dois números ímpares é um número par. Atividade 5: Mostre que se a2 é par então a é par. Solução: Se a2 é par então existe n∈ Z tal que a2 = 2n. Devemos mostrar que a é par. Suponhamos, por absurdo, que a seja ímpar. Assim, existe m∈ Z tal que a = 2m +1. Neste caso, a2 = (2m +1)2 = 4m2 + 4m +1 = 2(2m2 + 2m) + 1 = 2k + 1, onde k = 2m2 + 2m ∈ Z. Ou seja, a2 = 2k + 1é ímpar, o que é um absurdo pois foi dito no início que ele era par. Portanto, não podemos supor que a é impar, logo a é par.

1.3.2 Divisibilidade Um conceito chave em Teoria dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros é diferente. Veja a definição! Definição 3 (Divisibilidade): Dados a, b ∈ Z, dizemos que b é divisor de a, denotamos b | a, se existe q ∈ Z, tal que, q.b = a. Nesse caso, diz-se também que b divide a, ou que a é múltiplo de b, ou ainda que a é divisível por b. Por exemplo, 10 é divisível por 2, mas não o é por 3. Exemplo 1: 4 | 12, ou seja, 12 é divisível por 4 pois 4.3 = 12 Exemplo 2: 3| -18, ou seja, -18 é divisível por 3 pois (-3).6 = -18 Exemplo 3: 7 | 0, ou seja, 0 é divisível por 7 pois 0.7 = 0 Propriedades:

a) n | n (n divide n) b) Se d | n então ad | an c) ad | an e a ≠ 0 então d | n d) 1 | n e) n | 0 f) Se a, b e c são inteiros tal que c | b e b | a então c | a.

Vamos demonstrar a letra f. Como c | b e b | a, existem inteiros m e n tais que b = cm e a = bn. Ou seja, a = (cm)n = c(mn), e, portanto c | a. Atividade 6: a) Mostre que 1001 é divisível por 7, por 11 e por 13. b) Encontre o quociente e o resto da divisão por 17, sendo o dividendo

(i) 100 (ii) 289 (iii) – 44 (iv) - 100 c) Sendo a e b inteiros, demonstre que a | b e b | a se, e somente se, a = ± b. d) Mostre que sendo a, b, c e d inteiros, se a | b e c | d então ac | bd. e) Existem inteiros a, b e c tais que a | bc mas a não divide b e a não divide c ? f) Mostre que o produto de dois números pares é um número par. g) Mostre que o produto de um número ímpar com um número par é um número par.

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Observações Importantes: 1) Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se sempre encontrar, de modo único, inteiros q (quociente) e r (resto) tais que a = bq + r, com 0 < r < b. .

a bqr

Exemplo 4: Sabemos que 2 não divide 11 mas se dividirmos 11 por 2 obteremos 5 como quociente e 1 como resto.

11 2 5 1

2) Ao conjunto dos divisores de a ∈ Z denotamos por D(a) e o conjunto dos múltiplos de a denotamos por M(a). Exemplo 5: D(2) = {1, – 1, 2, – 2} Exemplo 6: D(0) = Z Exemplo 7: M(– 6) = {0, ±6, ±12, ±18, ...} Exemplo 8: Um conjunto possui 15 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos? Resposta: As possibilidades são:

a) Dividir os 15 elementos em grupos de 3. b) Dividir os 15 elementos em grupos de 5. c) Dividir os 15 elementos em grupos de 1. d) Dividir os 15 elementos em grupos de 15.

Ou seja, temos 4 possibilidades, que seriam os divisores positivos de 15 (D(15) = {1, 3, 5, 15}. 3) Todo inteiro a é divisível por 1, – 1, a e – a. Estes são os divisores triviais de a. Os divisores que não são os triviais são chamados de divisores próprios. Exemplo 9: Como D(20) = { ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}, temos que os divisores próprios de 20 são ±2, ±4, ±5 e ±10. Definição 4 (número primo): Dizemos que p ∈ Z, p ≠ ±1 é um número primo se D(p) = {+ 1, – 1, + p, – p}, ou seja, p é primo se p ≠ ±1 e os seus únicos divisores são: – 1, 1, p e – p. Exemplo 10: 2, – 2, 3, – 3, 5, – 5, 7 e – 7 são primos. Atividade 7: Dê mais alguns exemplos de números primos.

1.3.3 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Definição 5: O máximo divisor comum de dois inteiros a e b (a ou b diferente de zero), o qual denotamos por mdc(a, b), é o maior inteiro que divide a e também divide b. Exemplo 11: Obter o maior divisor comum entre 20 e 12. Solução: Para obter o mdc(20, 12) devemos calcular inicialmente os divisores de 20 e os divisores de 12. Observe que, como queremos o maior divisor comum, basta calcular os divisores positivos. Então vamos calcular os divisores positivos de 20 e 12. Veja:

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observando D(20) e D(12) podemos concluir que o maior divisor comum entre 20 e 12 é 4, ou seja, mdc(20, 12) = 4.


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Observação: Quando o máximo divisor comum entre a e b for 1, eles são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si pois mdc(9, 14) = 1. Atividade 8: Pesquise sobre o Algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum. Após, calcule mdc(234, 564). Definição 6: O mínimo múltiplo comum entre dois inteiros positivos a e b, o qual denotamos por mmc(a, b), é o menor inteiro positivo que é múltiplo de a e de b. Exemplo 12: Obter o mínimo múltiplo comum entre 8 e 12. Solução: Para obter o mmc(8, 12) devemos calcular inicialmente os múltiplos positivos de 8 e de 12. Veja:

M(8) = {0, 8,16, 24, 30, ...}

M(12) = {0, 12, 24, 36, ...} Observando M(8) e M(12) podemos concluir que o menor múltiplo comum entre 8 e 12 é 24, ou seja, mmc(8, 12) = 24. Observação: Podemos também dizer que o mínimo múltiplo comum entre dois inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo que é divisível por a e b. Observe, no exemplo 11, que 24 é o menor inteiro positivo que divisível por 8 e 12. Atividade 9: Calcule o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum entre os seguintes números:

a) 44 e 32 b) 234 e 12 c) 35 e 24 d) 142 e 742

Agora, analisando os resultados obtidos, tente descobrir qual a relação matemática que existe entre o mmc(a, b), mdc(a, b) e o produto a.b. Atividade 10: Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o maior número possível de ramalhetes iguais entre si. Quantos serão os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles? Atividade 11: Numa corrida de automóveis, o primeiro piloto dá a volta completa na pista em 10 segundos, o segundo em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Mantendo-se o mesmo tempo, no final de quantos segundos os três pilotos passarão juntos pela primeira vez pela linha de partida e quantas voltas terão dado cada um nesse tempo?

1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Observe que dado a ∈ Z, a ≠ 1, então a1∉ Z.

Assim como os naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais surgiram da necessidade de medir. Na Grécia por volta de 3000 a.c. , com a cheia do rio Nilo, havia a necessidade de se reconstruir a cada ano as cercas de pedra que os agricultores usavam para demarcar os limites de seus terrenos. Para isto eles tinham uma unidade de medida marcada por nós numa corda. Porém, dificilmente a unidade de medida usada cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Assim, eles criaram as frações (números racionais). Vamos deixar claro, que a ordem cronológica do surgimento dos números não esta apresentada aqui, ou seja, naturais, inteiros e racionais. Os números negativos levaram muito tempo para serem aceitos pela comunidade científica. Alguns matemáticos consideravam os números negativos "numeri absurdi" ou "numeri ficti" como absurdos. A situação só mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas. Define-se então o conjunto dos números racionais denotado por Q, da seguinte forma:

Q = {ba , onde a ∈ Z e b ∈ Z*}, onde Z* é o conjunto dos inteiros diferentes de zero.

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Como podemos representar qualquer inteiro z por 1z , temos que QZ ⊂ .

Observações: 1) A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros, provém da palavra alemã "Zahl" que significa número ou algarismo. 2) A palavra racional vem do Latim ratio = razão também entendida em Matemática como divisão. Assim, um número racional é a

divisão entre dois números inteiros, ou seja, baba := .

1.4.1 Adição Como somar duas frações?

Por exemplo, como se calcula 31

52+ .

Segundo o que foi visto na disciplina de LEMA I, podemos representar a fração 52 da seguinte forma:

Para acrescentar a isso

31 , como proceder se nosso todo é constituído de 5?

Precisamos dos múltiplos, assim vamos representar o 52 utilizando seu múltiplo

156 , sem esquecer que ele foi obtido repetindo

52

três vezes, ou seja

156

52

=

Agora, se temos um todo constituído de 15, podemos representar

31 seguindo o seguinte raciocínio, dividindo 15 por 3 temos 5,

assim, podemos tomar 5 de 15 para representar 31 considerando um todo de 15. Observe


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155

31=

Assim, como adicionar significa juntar ou unir, temos 6 + 5 de 15.

1511

Portanto, 31

52+ =

1511

155

156

=+ .

Para podermos adicionar duas frações devemos sempre encontrar frações equivalentes de modo a trabalhar sobre o mesmo TODO. Como uma fração representa uma divisão, esse todo deve ser escolhido de modo que seja divisível pelos dois denominadores. A forma mais rápida de encontrar o TODO que seja adequado para as duas frações é tomando o produto entre os dois denominadores, como foi feito no exemplo recém mostrado (3 x 5), o qual com certeza é divisível pelos dois denominadores. Outra forma, que nos é ensinada lá no Nível Fundamental de Ensino, é que o todo seria dado pelo mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores, o que obviamente seria o menor número que é divisível por eles. Assim,

=+dc

ba

bdcb

bdad

+

ou

=+dc

ba

mdmc

mbma

+ onde m = mmc(a, b)

1.4.2 Multiplicação Como multiplicar duas frações?

Por exemplo, como calcular 31

52⋅ .

Multiplicar 52 por

31 é equivalente a tomar a terça parte de

52 . Mas, como fazer isto?

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52

Se temos duas parte de cinco, como tomar um terço de dois. Para solucionar esse problema devemos proceder da mesma forma

que o fizemos para a soma, ou seja, vamos ter que encontrar uma fração equivalente a 52 de modo que seja possível tomar um

terço.

Então, repetindo três vezes 52 , temos:

156

52

=

Agora, fica fácil tomarmos um terço de 6. Ou seja:

152

Logo, 152

31

52

=⋅ .

Observe que o produto entre duas frações é uma nova fração onde o numerador é o produto dos dois numeradores e o denominador e o produto dos dois denominadores, como nos foi ensinado do Nível Fundamental de Ensino. Ou seja,

bdac

dc

ba

=⋅

1.4.3 Propriedades das Operações em Q

Dados fe

dc

ba ,, ∈ Q, valem as seguintes propriedades:


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A1) Associativa em relação à adição: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

fe

dc

ba

fe

dc

ba

A2) Comutativa em relação à adição: ba

dc

dc

ba

+=+

A3) Elemento neutro da adição: ba

ba

=+ 0

A4) Elemento simétrico (oposto) em relação à adição: 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

ba

ba

M1) Associativa em relação à multiplicação: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

fe

dc

ba

fe

dc

ba ...

M2) Comutativa em relação à multiplicação: ba

dc

dc

ba .. =

M3) Elemento neutro em relação à multiplicação: ba .1 =

ba

M4) Inverso para a multiplicação: Para todo ba ∈ Q e a, b ≠ 0, existe

ab ∈ Q tal que

ba .

ab = 1

D) Distributiva em relação à adição: fe

ba

dc

ba

fe

dc

ba ... +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Observação: Devido à propriedade M4, podemos definir em Q* a operação de divisão, estabelecendo que cd

ba

dc

ba .: = para

ba e

dc racionais quaisquer não-nulos.

1.4.4 Representação decimal dos números racionais

Observemos que todo número racional ba pode se representado por um número decimal. Passa-se do racional

ba para um

número decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Podem ocorrer dois casos: 1º caso: O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferente de zero (decimal exata).

Exemplo 13: 05,02015,0

215,1

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===

2º caso: O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Observação: 1) A fração que gerou a dizima periódica é chamada de geratriz. 2) O algarismo ou o grupo de algarismos que se repete numa dízima periódica é chamado de período. Exemplo 14:

a) ...333,031= , denotando-se também 3,0

31= (período 3)

b) ...142857142857,072= , denotando-se também 285714,0

72= (período 285714)

c) …8333,16

11= , denotando-se também

_38,1

611

= (período 3)

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Quando o número refere-se a uma decimal periódica pode ser convertido em fração e vice-versa, constituindo-se num número racional.

Exemplo 15: Observe que 1003737,0 = e

10002613613,2 = .

Quando a decimal é uma Dízima Periódica, devemos procurar sua geratriz ou período. Observe os exemplos. Para determinar a fração que representa uma dízima periódica devemos utilizar algum artifício. Observe os exemplos e depois tente resolver os exercícios propostos. Exemplo 16: Transforme 0,777... em fração: Resolução: Denominando a dízima periódica por x, temos que x = 0,777.... Multiplicando por 10 ambos os lados da igualdade, vem que: 10x = 7,777.... Agora subtraindo de ambos os lados x vem que: 10x – x = 7,777.... – 0,777... 9x = 7 Assim, temos que

x = 97 .

Verifique que ...777,097=

Exemplo 17: Faça o mesmo para a dízima periódica 6,4343... Resolução: Denominando a dízima periódica por x, temos que x = 6,4343... Multiplicando por 100 ambos os lados da igualdade, vem: 100 x = 643,4343.... Agora subtraindo de ambos os lados x, vem: 100 x – x = 643,4343.... – 6,4343... = 637 Assim, temos:

x = 99637 .

Exemplo 18: Idem para 9157,2...5791919191,2 ==x Resolução: Observe que neste exemplo a dízima não inicia logo depois da vírgula, por isto devemos utilizar um artifício um pouco diferente dos anteriores. Veja: 100 x = 257,919191... (multiplicamos a dízima periódica por 10000) 10000x = 25791,9191... 10000x – 100x = 25534

x = 990025534


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Atividade 12:Calcule o valor das expressões numéricas:

a) ( ) ( )( )4.35.2031

43.54.32 −+−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−+

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

211

1.43

21

c) (25% de 512) + 7

30

d) ( )( ) ( ) ( )351.

643.

32.4.1

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

e) 321 × 2011 f) 53241 ÷ 217 g) (50 – 12) – 11 h) 50 – (12 – 11) i) 50 + (– 12) + (– 11) j) 60 ÷ (10 ÷2) k) (60 ÷10) ÷ 2

l) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21.

101.60

Atividade 13: Transforme em fração: a) 0,55555... b) 0,121212... c) 2,1232323... d) 0,99999... e) 3,4999... Atividade 14: Analise os cálculos realizados para a soma de duas frações:

a) 92

51

41

=+

b) 45,025,02,051

41

=+=+

c) 209

205

204

51

41

=+=+

d) 4018

4010

408

51

41

=+=+

Quais formas estão corretas? Justifique o raciocínio utilizado em cada situação correta.

1.5 NÚMEROS IRRACIONAIS Se alguém te perguntar quais os números naturais inteiros que existem entre 3 e 10, obviamente, você vai responder 4, 5, 6, 7, 8, 9. E se te perguntarem quais os racionais que existem entre 0 e 1?

Bom, podes começar respondendo que existe 51,

41,

31,

21 ... e quantos mais?

Quantos racionais existem entre 0,9 e 1? Tem, por exemplo, 0,99. E entre 0,99 e 1 tem 0,999. E entre 0,999 e 1 tem 0,9999. Poderíamos continuar esse processo infinitamente. Você consegue imaginar que entre dois racionais distintos existe uma infinidade de racionais? Mas será que todos os pontos da reta correspondem a um número racional?

1 2 3 4 5 6 7 8

33


Já que os racionais surgiram da necessidade de medir, perguntamos: Qual o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1?

1

1

d

Como foi visto na disciplina de Lema 1, num triângulo retângulo vale a relação (Teorema de Pitágoras) 12 + 12 = d 2. Logo, d = 2 . Pergunta: 2 é um número racional?

Se 2 for um número racional deve ser possível encontrar a, b ≠ 0 ∈ Z, tal que ba

=2 (com ba sendo uma fração irredutível,

ou seja, mdc(a,b) = 1). Então vamos supor que 2 é um número racional. Logo, teremos que

2

22

ba

= , ou seja,

22 2ba =

Como 2a é múltiplo de 2, temos que 2a é par. Logo, a é par (já mostramos isto na Atividade 5). Assim, existe m ∈ Z tal que a = 2m. Logo, substituindo a = 2m em 22 2ba = , temos:

22

22

22

2

24

2)2(

mb

bm

bm

=

=

=

Portanto, 2b é par, e b também o é.

Assim, a e b são pares, o que é um absurdo, pois a fração ba é irredutível.

Portanto, 2 não é racional. (cqd1)

1 A abreviatura cqd significa “como queríamos demonstrar”.


UFPel

34

0 1

2

2 Dessa forma 2 não é um número racional mas representa a medida de um segmento de reta. Com raciocínio análogo ao utilizado com o 2 podemos mostrar que existe uma infinidade de outros números que correspondem a medida de um segmento de reta, mas que não são números racionais. Assim, existem segmentos de retas que não podem ser medidos através de um número racional. Portanto, para expressar a medida exata de qualquer segmento de reta através de um número, houve a necessidade de expandir o conjunto dos números. Assim, surgiu o que chamamos de números irracionais (I). Se um segmento de reta não tem medida racional, o número que expressa sua medida não é uma dizima finita e nem periódica, portanto existem números cujas dízimas são infinitas e não periódicas expressando medida desses segmentos. Assim, todo número irracional positivo possui uma representação decimal única por meio de uma dízima infinita não periódica. Portanto, uma representação decimal para um número irracional tem necessariamente que ser uma dízima não periódica. O conjunto dos números irracionais então é formado por todas as dízimas não periódicas (positivas ou negativas). Alguns exemplos de números irracionais:

i) π = 3,1415926... (pi) ii) p , onde p é primo positivo. iii) e = 2, 71828... (neperiano)

iv) φ = 2

51+ (número áureo, representado pela letra grega fi - φ)

Propriedade: Se α ∈ I e r ≠ 0 ∈ Q então i) α + r ∈ I ii) α . r ∈ I

iii) ra ∈ I

iv) ar ∈ I.

Atividade 15: Dê um exemplo de dois números irracionais cujo produto resulta em um número racional. Segundo Rypoll(2004) todo segmento de reta pode ser medido por uma lista infinita m,a1a2a3... onde m é um número natural e a1, a2, a3,... são dígitos. Reciprocamente, toda lista m,a1a2a3...é medida de algum segmento de reta (reta euclidiana).

35


1.6 NÚMEROS REAIS (R)

O conjunto dos números reais absolutos é o conjunto de todas as listas infinitas m,a1a2a3... onde m ∈ N e ai é um dígito de 0 a 9, para i = 1, 2,... submetidas ao seguinte critério de igualdade m,a1a2a3... = m,b1b2b3... se, e somente se, ambas as listas medem um mesmo segmento da reta euclidiana. O conjunto dos Reais (R) pode ser representado da forma: R = Q ∪ I No conjunto dos números reais há duas operações binárias denotadas por + e ⋅ chamadas de adição e multiplicação, respectivamente, que satisfazem os seguintes axiomas: P1) Comutatividade da soma: xyyx +=+ , Ryx ∈∀ , P2) Comutatividade da Multiplicação: Ryxxyyx ∈∀= ,,.. P3) Associatividade para soma: ( ) ( ) Rzyxzyxzyx ∈∀++=++ ,,, P4) Associatividade para Multiplicação: ( ) ( ) Rzyxzyxzyx ∈∀= ,,,.... P5) Distributividade: ( ) Rzyxzxyxzyx ∈∀+=+ ,,,... P6) Existência de elemento Neutro para a soma: Existe um elemento real denotado por 0, tal que, Rxxx ∈∀=+ ,0 P7) Existência de elemento Neutro para a multiplicação: Existe um elemento real denotado por 1, tal que, Rxxx ∈∀= ,.1 P8) Existência de elemento inverso (simétrico) em relação à soma: ,0|, =+∈∃∈∀ yxRyRx denotando-se xy −= (ou seja,

0)( =−+ xx )

P9) Existência de elemento inverso em relação a multiplicação: 1.|,0, =∈∃≠∈∀ yxRyxRx , denotando-se x

xy 11 == − (ou

seja, 11=⋅

xx )

Essas propriedades você já deve estar familiarizado. Através delas obtemos algumas conseqüências fáceis de demonstrar. Teorema 1 (Unicidade do elemento neutro da soma): Se a e x ∈R tal que x + a = a, então x = 0. Teorema 2 (Unicidade do elemento neutro da multiplicação): Se a e y ∈ R tal que y.a = a, então y = 1. Teorema 3 (Lei do cancelamento para adição): Se a + b = a + c então b = c. Demonstração: Como a + b = a + c, então somando em ambos os lados da equação (-a) temos:

-a + (a + b) = -a + (a + c). Pela propriedade P3 temos:

(-a + a) + b = (-a + a) + c. Dado a ∈ R, da propriedade 8, existe –a ∈ R | a + (-a) = (-a) + a = 0. Logo,

0 + b = 0 + c. Agora pela propriedade P6, vem que b = c. Teorema 4: Dados a, b ∈ R, existe um único x∈ R | a + x = b. Demonstração: Como a + (–a) + b = 0 + b = b, temos que x = (–a) + b é uma solução de a + x = b. Suponhamos, agora, que exista outra solução x1 tal que a + x1 = b (*)


UFPel

36

Adicionado (–a) a ambos os lados de (*) vem que

(–a) + a + x1 = (–a) + b Da lei do cancelamento tem-se:

x1 = (–a) + b = x Portanto x é único. Teorema 5: Se a, b ∈ R, então:

i) a . 0 =0. ii) –a = (-1).a iii) –(a + b) = (-a) + (-b) iv) – (–a) = a, ∀ a ∈ R v) (-1).(-1) = 1

Vamos mostrar o item (iv) e deixaremos os outros para vocês! Demonstração do item iv: –(–a) = a, ∀ a ∈ R. Como a ∈ R então, por P8, – a ∈ R, com a + (–a) = 0 (*). Agora, como – a ∈ R, então, também por P8, –(– a) ∈ R com –a +[–(–a)] = 0 (**). De (*) e (**) tem-se: (–a) + [–(–a)] = a + (–a). Disso e da lei do cancelamento (teorema 3) tem-se: – (–a) = a. (cqd)

Teorema 6 : Se a, b ∈ R e a ≠ 0 então a1 ≠ 0 e

a11 = a.

Atividade 16: Utilizando as propriedades dos números reais, mostre que, ∀a, b, c, d ∈ R tem-se: a) a.(b – c) = ab – ac b) Se ab = ac e a ≠ 0 então b = c

c) Dados a ≠ 0 e b ∈ R, então existe exatamente um x ∈ R | ax = b, denotando-se x = ab .

d) Se a ≠ 0 então (a-1)-1 = a e) Se ab = 0 então a = 0 ou b =0 f) (–a).b = –(ab) e (–a)( –b) = ab

1.6.1 Ordem em R Nos reais existe um subconjunto *

+R ⊂ R, chamado de conjuntos dos números reais positivos, que cumpre as seguintes condições: P10) A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja,

se x, y ∈ *+R então x + y ∈ *

+R e x.y ∈ *+R

P11) Dado x ∈ R, exatamente um das seguintes alternativas acontece: ou x ∈ *

+R ou – x ∈ *+R ou x = 0.

Dados x, y ∈ R podemos definir as seguintes relações:

i) x < y, lê-se x é menor do que y quando y – x ∈ *+R

ii) x > y, lê-se x é maior do que y quando x – y ∈ *+R

37


iii) x ≤ y (lê-se x é menor do que ou igual a y) quando x = y ou x < y iv) x ≥ y (lê-se x é maior do que ou igual a y) quando x = y ou x > y

Essas relações são chamadas relações de ordem. A relação de ordem x < y em R satisfaz seguintes propriedades: O1)Tricotomia: Dados a e b ∈ R ocorre exatamente uma das três opções: ou a < b ou b < a ou a = b. Demonstração: Seja x = b – a = b + (–a). Se x = 0 tem-se então que b – a = 0 e por P11, b – a ∉ *

+R . Multiplicando a equação b – a = 0 por (-1) temos:

– (1)(b – a) = (-1)0, ou seja, a – b = 0 ∉ *+R . Portanto, não se pode ter a > b ou b > a.

Suponhamos agora que x ≠ 0; de P11 tem-se x > 0 ou x < 0, mas não as duas simultaneamente, isto é, a > b ou b < a, mas não as duas possibilidades simultaneamente. Portanto, tem-se exatamente uma das relações: a = b, a < b ou b < a. (cqd) O2) Transitividade: Se a < b e b < c então a < c. Demonstração: Hipótese: a < b e b < c (verdadeiro) Tese: a < c (o que queremos provar) Da hipótese e da definição de < temos que: a a. (cqd)

O3) Se a < b então a + c < b + c, ∀ c ∈ R Demonstração: Hipótese: a < b (verdadeiro) Tese: a + c < b + c, ∀ c ∈ R (o que queremos provar) Novamente, da hipótese e da definição de < temos que: a < b ⇒ b – a ∈ *

+R Agora observe que b – a = b – a + 0 = (b – a) + (c - c) = (b + c) – (a + c), ∀ c ∈ R. Assim, (b + c) – (a + c) ∈ *

+R . Portanto, a + c 0 então ac < bc. Demonstração: Hipótese: a 0 (o que queremos provar) Seguindo o mesmo raciocínio, temos que: a 0 então c ∈ *+R . Disso e de P11, (b – a)c ∈ *

+R .

Da distributiva vem que (b – a)c = bc – ac ∈ *+R . Portanto, ac < bc. (cqd)


UFPel

38

Observe que x é positivo (x ∈ *+R ) ⇔ x > 0. Se x < 0 dizemos que x é negativo e neste caso – x > 0.

Se x ≥ 0 (x > 0 ou x = 0) diz-se que x é não-negativo. Atividade 17: Mostre que ∀ a, b, c, d ∈ R tem-se: 1) Se a ≠ 0 então a 2 > 0 2) Se a bc (Observem bem esta propriedade! Sempre que multiplicamos uma inequação por um número negativo a desigualdade muda. Por exemplo, 5 < 10 mas -5 > -10. 3) Se a – b 4) Se ab > 0 então tem-se (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) 5) Se a < c e b < d então a + b < c + d

1.6.2 Intervalos de números reais Dados dois números reais a, b, com a < b, definimos: a) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} que também pode ser indicado por (a, b). Graficamente:

a b b) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a, b] = {x ∈ R | a≤ x ≤ b} que também pode ser indicado por [a, b]. Graficamente:

a b c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} que também pode ser indicado por [a, b). Graficamente:

a b d) Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} que também pode ser indicado por (a, b]. Graficamente:

a b Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. Esses intervalos são intervalos limitados inferior e superiormente. Exemplo 19: a) ]3, 7[ = {x ∈ R | 3 < x < 7} é intervalo aberto b) [-5, 2] = {x ∈ R | -5 ≤ x ≤ 2} é intervalo fechado c) [-1, 4[ = {x ∈ R | -1 ≤ x < 4} é intervalo fechado à esquerda

d) ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤− 6,

31 = {x ∈ R | –

31 < x ≤ 6}

39


Também consideramos intervalos os “intervalos ilimitados” assim definidos: a) Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita: ] – ∞, a[ = {x ∈ R | x < a} que também podemos indicar por (–∞, a). Graficamente:

a b) Intervalo ilimitado à esquerda e fechado a direita: ] – ∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a} que também podemos indicar por (– ∞ , a]. Graficamente:

a c) Intervalo ilimitado à direita e aberto à esquerda: ] a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} que também podemos indicar por (a, +∞). Graficamente:

a

d) Intervalo ilimitado à direita e fechado à esquerda: [a, + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a} que também podemos indicar por [a, + ∞). Graficamente:

a

e) Intervalo ilimitado à direita e à esquerda: ]–∞,+∞[ = R que também podemos indicar por (– ∞, ∞). Graficamente:

Atividade 18: Determinar todos os intervalos reais que satisfazem as desigualdades abaixo: a) 5x + 2 < x +1 b) 1 < 3x ≤ 6 c) 3x – 2 < 1 – 2x < 6 Resolução da letra (a): 5x + 2 < x +1 Como o objetivo é isolar o x, devemos subtrair de ambos os lados da equação –x e –2: 5x + 2 – x – 2 < x +1 – x – 2 4x < -1 Dividindo ambos os lados por 4 obtemos:

41

−<x

Portanto o intervalo que satisfaz a desigualdade é ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−

41, .

Resolução da letra (b):

231

36

31

631

≤<

≤<

≤<

x

x

x

Portanto o intervalo que satisfaz a desigualdade é ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ 2,

31 .

Resolução da letra (c): 62123 <−<− xx

Nesse tipo de inequação não é possível isolar o x como foi feito no exercício anterior (Tente!!). Note que temos duas inequações e x deve satisfazer as duas simultaneamente como se fosse um sistema de inequações, ou seja,


UFPel

40

⎩⎨⎧

<−−<−6212123

xxx

Assim, devemos resolver as duas inequações e interseccionar os resultados obtidos, pois os valores de x devem satisfazer as duas inequações. Vamos então resolvê-las: 1º)

5

335

21232123

<

<+<+

−<−

x

xxx

xx

2º)

162621−<−

<−xx

52 <− x (multiplicando por (-2) ambos os lados da inequação)

25

−>x (Lembre-se que quando multiplicamos uma inequação por um número

negativo a desigualdade inverte.)

Então, juntando as duas soluções temos que 53

<x e 25

−>x , ou seja, 53

25

<<− x .

Portanto o intervalo que satisfaz a desigualdade é ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

53,

25 .

Atividade 19: Mostre que, se a, b ∈ R e a < b, então:

(i) (x – a).(x – b) > 0 ⇒ x ∉[a, b] (ii) (x – a).(x – b) ≥ 0 ⇒ x ∉(a, b) (iii) (x – a).(x – b) < 0 ⇒ x ∈ (a, b) (iv) (x – a).(x – b) ≤ 0 ⇒ x ∈ [a, b]

Prova de (i). (x – a).(x – b) > 0 ⇒ x ∉[a, b] Os dois fatores (x – a) e (x – b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos: Caso 1. x – a > 0 e x – b > 0 ou x > a e x > b. A solução deste caso será x > b ou (b, +∞). Caso 2. x – a < 0 e x – b < 0 ou x < a e x < b A solução deste caso será x < a ou (– ∞, a) Portanto, a solução final é a união entre (– ∞, a) e (b, +∞), ou seja, x ∉[a, b]. Bibliografia http://www.somatematica.com.br/negativos.php http://www.revista.unicamp.br/infotec/artigos/leda.html RIPOLL, J.B; RIPOLL, C.C; Silveira, J.F.P. Números Racionais, Reais e Complexos - Apostila do Instituto de Matemática UFRGS, 2004. FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limites, Derivação e Integração. São Paulo: Makron Books. Capítulo1. IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual. Volume 1.

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Capitulo II a Elementar I Conjuntos Numericos[1]