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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Apostila de Eletrônica Digital
CAPÍTULO III
Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos
3.1 Introdução
No capítulo anterior, os circuitos lógicos foram tratados sem a preocupação da
simplificação, o que na prática deve ser realizado visando minimizar a quantidade de
portas lógicas do circuito.
Desta forma, deve-se realizar um breve estudo da álgebra de Boole, pois é
através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que se
efetuam as simplificações. Na álgebra de Boole estão todos os fundamentos da
Eletrônica Digital.
3.2 Postulados
Serão apresentados os postulados da complementação, da adição e da
multiplicação da álgebra de Boole e suas identidades resultantes.
3.2.1 Postulados da Complementação
Este postulado mostra as regras da complementação na álgebra de Boole, onde
é o complemento de A.
1) Se A=0 Y
2) Se A=1 Y
Assim, pode-se estabelecer a seguinte identidade: .
O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o INVERSOR.
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Apostila de Eletrônica Digital 3.2.2 Postulados da Adição
Este postulado mostra como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole.
1) 0 + 0 = 0 2) 0 + 1 = 1
3) 1 + 0 = 1 4) 1 + 1 = 1
Desta forma, pode-se estabelecer as seguintes identidades:
A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A
O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU.
3.2.3 Postulados da Multiplicação
Este postulado determina as regras da multiplicação booleana.
1) 0 . 0 = 0 2) 0 . 1 = 0 3) 1 . 0 = 0 4) 1 . 1 = 1
Assim, pode-se estabelecer as seguintes identidades:
A . 0 = 0 A . 1 = A A . A = A O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E.
3.3 Propriedades
Serão estudadas as principais propriedades algébricas, úteis principalmente no
manuseio e simplificações de expressões e, conseqüentemente, de circuitos lógicos.
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Apostila de Eletrônica Digital 3.3.1 Propriedade Comutativa
Esta propriedade é válida na adição e na multiplicação.
A + B = B + A
A . B = B . A
3.3.2 Propriedade Associativa
Esta propriedade também é válida tanto na adição quanto na multiplicação.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
3.3.3 Propriedade Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
3.4 Teoremas de Morgan
São empregados, na prática, para realizar simplificações em expressões
booleanas e são utilizados ainda no desenvolvimento de circuitos digitais.
3.4.1 1º Teorema de Morgan
O complemento do produto é igual à soma dos complementos
Pode ainda ser estendido para mais de duas variáveis:
3.4.2 2º Teorema de Morgan
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.
Da mesma forma, este teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:
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Apostila de Eletrônica Digital 3.5 Identidades Auxiliares
São mostradas três identidades úteis para a simplificação de expressões.
A + A . B = A
(A + B) . (A + C) = A + B . C
3.6 Quadro Resumo
POSTULADOS Complementação Adição Multiplicação
A=0 Y Y A=0
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1
0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1
IDENTIDADES Complementação Adição Multiplicação
A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A
A . 0 = 0 A . 1 = A A . A = A
PROPRIEDADES
Comutativa: A + B = B + A A . B = B . A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
Distributiva: A . (B + C) = A . B + A . C
TEOREMAS DE MORGAN
IDENTIDADES AUXILIARES A + A . B = A
(A + B) . (A + C) = A + B . C
3.7 Simplificação de Expressões Booleanas
Utilizando os conceitos da álgebra de boole estudados é possível simplificar
expressões e conseqüentemente circuitos.
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Apostila de Eletrônica Digital 3.8 Simplificação de Expressões Booleanas Através dos Mapas de Karnaugh
Quando são utilizados os teoremas e postulados Booleanos para simplificação de
expressões lógicas não se pode afirmar, em vários casos, que a equação resultante está
na sua forma minimizada.
Existem métodos de mapeamento das expressões lógicas que possibilitam a
simplificação de expressões de N variáveis. O diagrama ou mapa de Karnaugh é um
destes métodos e permite a simplificação mais rápida dos casos extraídos diretamente de
tabelas da verdade, obtidas de situações quaisquer. Serão estudados os diagramas para
2, 3, 4 e 5 variáveis.
3.8.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
A figura abaixo mostra um diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis.
ABB
A
Diagrama para 2 variáveis.
Cada linha da tabela da verdade possui uma região definida no diagrama de
Veitch-Karnaugh. Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que
a expressão assume nas diferentes possibilidades.
Variáveis Casos
A B 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1
A
BCaso 0A B
00
Caso 1A B
10Caso 2A B
01
Caso 3A B
11A
B
Caso 0: 00 → __ __A B
Caso 1: 01 → __A B
Caso 2: 10 → __
A B
Caso 3: 11 → A B
Será utilizado um exemplo para melhorar o entendimento destes conceitos.
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Apostila de Eletrônica Digital Exemplo 1) A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis,
onde os resultados serão colocados no diagrama de Karnaugh.
A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Utilizando o método apresentado no capítulo II, pode-se obter a expressão
característica da função:
S = AB + AB + AB
A expressão acima é formada por termos verdadeiros e, desta forma, assumem
valor 1 na montagem do diagrama de Karnaugh. Assim:
ABB
A 1 1
10
A expressão simplificada é obtida do diagrama, cujo método consiste em
agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de agrupamentos. Os termos
que não puderem ser agrupados serão considerados isoladamente.
Para um diagrama de 2 variáveis, os agrupamentos possíveis são os seguintes:
• QUADRA: Conjunto de 4 regiões onde S=1. No diagrama de 2 variáveis é o
agrupamento máximo, proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1.
Desta forma, a expressão final simplificada obtida é S=1, assim como mostra a
figura.
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Apostila de Eletrônica Digital
ABB
A 1 1
11Quadra: S=1
• PARES: Conjunto de duas regiões onde S=1. Não podem ser agrupados na
diagonal. As figuras abaixo mostram exemplos de agrupamentos pares e sua
respectiva equação.
ABB
A 1 1
00
S=A Está exclusivamente
na região A.
ABB
A
1 1
00
S=A Está exclusivamente
na região A .
ABB
A
10
10
S=B Está exclusivamente
na região B.
ABB
A
1 0
1 0
S=B Está exclusivamente
na região B .
• TERMOS ISOLADOS: Região onde S=1, sem vizinhança para agrupamento.
São os próprios casos de entrada, sem simplificação. As figuras abaixo mostram
alguns exemplos e suas respectivas equações.
ABB
A 1 0
00
S=AB
ABB
A
1
0
0
0
S=AB
ABB
A
1 0
0
S=AB + AB
1
Retomando ao exemplo e efetuando os agrupamentos, tem-se:
ABB
A 1 1
10
Par 1
Par 2
Pode-se observar que o mesmo 1 pode
pertencer a mais de um agrupamento.
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Apostila de Eletrônica Digital Para obter a expressão simplificada basta escrever a expressão de cada par e
posteriormente somar os termos obtidos.
• Expressão do Par 1: Par 1 = A
• Expressão do Par 2: Par 2 = B
Desta forma, tem-se que S = A +B.
3.8.2 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis
O diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis é mostrado abaixo.
ABB
AC CC
Diagrama para 3 variáveis.
Da mesma forma, cada linha da tabela da verdade possui uma região bem
definida no diagrama de Veitch-Karnaugh, assim como mostra as figuras abaixo.
Variáveis Casos A B C
0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1
A
BCaso 0A B C
00
Caso 1
Caso 4 Caso 5A
BCaso 3 Caso 2
Caso 7 Caso 6
C C C
0A B C
10 1A B C
00 1A B C
10 0
A B C01 0
A B C01 1
A B C11 1
A B C11 0
Para mostrar como é realizado o posicionamento das regiões, toma-se, por
exemplo, o caso 3, visto que os outros são análogos.
Caso 3: 011 → __A BC
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Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações de saída da
tabela da verdade a seguir.
Tabela da verdade.
A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
Expressão extraída da tabela da verdade:
__ __ __ __ __ __ __ __ __S A B C A B C A BC A B C A B C= + + + +
Transpondo a tabela para o diagrama, tem-se:
ABB
AC CC
1 0 11
1 0 10
Para efetuar a simplificação, deve-se seguir os mesmos processos vistos
anteriormente, somente que, para 3 variáveis, os agrupamentos possíveis são os
seguintes:
• OITAVA: Agrupamento máximo, onde todas as localidades lavem 1. A figura
abaixo demonstra esta situação.
ABB
AC CC
1 1 11
1 1 11Oitava: S=1
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• QUADRAS: agrupamentos de 4 regiões onde S=1, adjacentes ou em seqüência.
Segue abaixo alguns exemplos de possíveis quadras, num diagrama de 3
variáveis, e as relativas expressões.
ABB
AC CC
1 1 11
0 0 00
S=A
ABB
AC CC
1 1 00
1 1 00
S=B
ABB
AC CC
1 0 10
1 0 10
S=C
• PARES: Agrupamento de 2 regiões onde S=1. A figura abaixo mostra, como
exemplo, 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis.
BB
C CC
1 0 10
0 1 01
S=AC+AC
Par ACPar AC
A
A
• TERMOS ISOLADOS: A figura a seguir mostra alguns exemplos de termos
isolados que, como apresentado anteriormente, são os casos que não admitem
simplificações e a expressão de saída do diagrama.
BB
C CC
0 10
0 0 0
S=ABC+ABC+ABC
Termo ABCTermo ABC
A
A
1
1
Termo ABC
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Apostila de Eletrônica Digital Voltando ao exemplo, observa-se que é possível formar uma quadra e, logo
após, um par, conforme mostra a figura.
ABB
AC CC
1 0 11
1 0 10
Par AB
Quadra C
Para finalizar, somam-se as expressões referentes aos agrupamentos. Assim, a
expressão final minimizada será:
__ __S A B C= +
3.8.3 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis
O diagrama para 4 variáveis é visto na figura abaixo.
A
A
D
C
D D
B
B
B
C
Diagrama para 4 variáveis.
Neste tipo de diagrama, também existe uma região definida para cada caso da
tabela da verdade, assim como ilustra a figura seguir.
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Variáveis Casos A B C D
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1
AB
Caso 0A B C D
00
C
0 0
AB
B
C
D DD
Caso 1A B C D
00 0 1
Caso 3A B C D
00 1 1
Caso 2A B C D
00 1 0Caso 4
A B C D10 0 0
Caso 5A B C D
10 0 1
Caso 7A B C D
10 1 1
Caso 6A B C D
10 1 0Caso 12A B C D
11 0 0
Caso 13A B C D
11 0 1
Caso 15A B C D
11 1 1
Caso 14A B C D
11 1 0Caso 8
A B C D01 0 0
Caso 9A B C D
01 0 1
Caso 11A B C D
01 1 1
Caso 10A B C D
01 1 0
Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações da tabela da
verdade abaixo.
Tabela da verdade.
A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
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Apostila de Eletrônica Digital Expressão extraída da tabela da verdade:
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __
S A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D A B C D
A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D
= + + + + +
+ + + + +
+
Transpondo a equação para o diagrama, tem-se:
A
A
D
C
D D
B
B
B
C0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
Para efetuar a simplificação, segue-se os mesmos procedimentos adotados no
diagrama de 3 variáveis, somente que neste caso o principal agrupamento será a oitava.
Deve-se ressaltar que os lados extremos opostos podem ser utilizados para
formar oitavas, quadras e pares.
• Exemplos de PARES:
A
A
D
C
D D
B
B
C0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
BPar ABD
Par BCDS=ABD+BCD
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• Exemplos de QUADRAS:
A
A
D
C
D
B
B
C0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
Quadra BD
Quadra BDS=BD+BD
B
D
A
A
C
B
C1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
Quadra BD
S=BD
B
D
B
D D
• Exemplos de OITAVAS:
A
A
C
B
C1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
Oitava D
S=D
B
D
B
D D
A
AB
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
Oitava B
S=B
B
BC C
DD D
O agrupamento máximo (mapa totalmente preenchido com 1) constitui-se em
uma hexa e apresenta a expressão simplificada S=1.
Voltando ao exemplo, para simplificar a expressão obtida da tabela da verdade
utilizando o mapa de karnaugh, agrupam-se primeiramente as oitavas, posteriormente as
quadras, em seguida os pares e, por último, os termos isolados. Assim, tem-se:
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A
A
D
C
D D
B
B
B
C0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
Par
Quadra
Oitava
Oitava: D
Quadra: AC
Par: ABC
Somando os termos, tem-se a expressão final simplificada:
__ __ __S D A C A B C= + +
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Os agrupamentos realizados no diagrama de
Karnaugh podem ser efetuados de diversas formas e as equações obtidas, mesmo
aparentemente diferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade,
fato este comprovado levantando-se a tabela da verdade. É importante lembrar que, para
obter expressões mais simplificadas, agrupamentos com maior número de regiões
devem ser obtidos.
3.8.4 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis
O diagrama de Karnaugh para simplificar expressões com 5 variáveis de entrada
é visto na figura abaixo.
AD
C
E
B
BC
C
D
EE
DC
E
B
BC
C
D
EE
A
56
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De forma análoga, efetua-se a colocação das condições no diagrama de
Karnaugh. Para exemplificar, será analisado 4 casos.
• Caso 1: 00000 → __ __ __ __ __A B C D E
• Caso 2: 01100 → __ __ __A BC D E
• Caso 3: 11101 → __
A BC D E
• Caso 4: 10000 → __ __ __ __
A B C D E
AD
C
E
B
BC
C
D
EE
DC
E
B
BC
C
D
EE
A
Caso1
Caso2
Caso4
Caso3
Para simplificar expressões utilizando um diagrama de 5 variáveis deve-se
primeiramente tentar um agrupamento em hexas, em seguida em oitavas, em quadras,
em pares e, por último, em termos isolados.
Exemplo 1) Obter a expressão simplificada da tabela da verdade a seguir,
utilizando o método de karnaugh.
Tabela da verdade.
A B C D E S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0
57
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Tabela da verdade – continuação.
A B C D E S 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Transpondo para o diagrama, encontra-se:
Par ACDE
AD
C
E
B
BC
C
D
EE
DC
E
B
BC
C
D
EE
A
1 0 1 0
1 1 1 0
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
1 1 1 1
0 0 0 0
Quadra ABC
Quadra CDEPar ABDE
Par ABDE
Par ABCD
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Apostila de Eletrônica Digital Agrupando os termos, a expressão minimizada será:
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __S C D E ABC A B D E A B C D A BD E A B DE ACD E= + + + + + +
3.8.5 Diagramas com Condições Irrelevantes
Condição irrelevante (x) ocorre quando a saída pode assumir 0 ou 1
indiferentemente, para uma dada situação de entrada. Na prática, esta condição ocorre
principalmente pela impossibilidade da situação de entrada acontecer.
Desta forma, os valores irrelevantes da tabela da verdade devem ser
transportados para o diagrama de Karnaugh. Assim, para efetuar as simplificações, a
condição irrelevante x pode ser utilizada para completar um agrupamento, minimizando
a expressão característica e conseqüentemente o circuito lógico.
Por outro lado, se a condição irrelevante x representar um termo isolado, deverá
ser descartada.
Exemplo: Utilizando o método de Karnaugh, obter a expressão simplificada que
executa a tabela da verdade a seguir.
Tabela da verdade.
A B C D S 0 0 0 0 X 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 X 1 1 1 0 0 1 1 1 1 x
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Apostila de Eletrônica Digital Transpondo para o diagrama de 4 variáveis, tem-se:
A
D
C
DB
CX 0 X 1
1 0 1 1
0 X X 0
0 1 0 X
B
D
BA
Utilizando-se 2 valores irrelevantes e abandonando outros 2, pode-se agrupar
duas quadras e um par, gerando a seguinte expressão:
__ __ __ __S A C A D A C D= + +
3.8.6 Casos que Não Admitem Simplificações
As funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA são exemplos de casos que
não admitem simplificações, pois suas equações característica estão minimizadas, como
ilustra a figura abaixo.
S=(B + D) = AB+AB S=(B D) = AB+AB
ABB
A 1 0
0 1 ABB
A 0
01
1
Como pode ser observado, em cada diagrama existem dois termos isolados que
são, portanto, as próprias expressões de entrada.
No caso de 3 variáveis, as expressões são:
S A B CS A B C
= ⊕ ⊕=
60
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Apostila de Eletrônica Digital Para montar a tabela da verdade deve-se primeiramente efetuar as operações
entre 2 das variáveis e, com o resultado obtido, efetuar a operação com a terceira
variável. Este processo se deve ao fato de as funções OU EXCLUSIVO e
COINCIDÊNCIA não serem válidas para mais de 2 variáveis de entrada.
As tabelas abaixo mostram os resultados das operações em todas as
possibilidades.
A B C ( )A B⊕ ⊕ C ( )A B C⊕ ⊕ ( )A C B⊕ ⊕
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
A B C ( )A B C ( )A B C ( )A C B
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
Passando a coluna S (iguais em todos os casos) para o diagrama, tem-se:
ABB
AC CC
0 0
0 01
1 1
1
Da mesma forma, não existe a possibilidade de simplificações, mas uma
propriedade muito importante pode ser observada. As funções OU EXCLUSIVO e
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Apostila de Eletrônica Digital COINCIDÊNCIA, para 3 variáveis de entrada, apresentaram a mesma resposta para
todas as entradas possíveis.
Pode-se então afirmar que para um número ímpar de variáveis de entrada, estas
funções executam a mesma tabela da verdade, ou seja, estas funções são iguais.
A B C D E A B C D E⊕ ⊕ ⊕ ⊕ =
Por outro lado, para um número par de variáveis de entrada, tem-se que a função
OU EXCLUSIVO é o complemento da função COINCIDÊNCIA. Assim:
_________________A B C D A B C D⊕ ⊕ ⊕ =
3.8.7 Agrupamentos de Zeros
Pode-se agrupar as células que valem 0 no diagrama de Karnaugh, utilizando-se
as mesmas regras, para efetuar a simplificação. Porém, adotando esta prática, será
obtido o complemento da função, ou seja, a saída .
Para exemplificar esta situação, será simplificado a expressão da seguinte tabela
da verdade.
Tabela da verdade.
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Passando para o diagrama e efetuando o agrupamento, tem-se:
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BB
AC CC
0 1
1 11
1 0
1
A
Observa-se, na figura, um par formado por zeros, cuja expressão é:
__ __ __S A C=
Desenvolvendo esta expressão chega-se a:
S=(AC)
S=A+C
Convém observar que a mesma expressão seria obtida, resultado dos
agrupamentos de 2 quadras, caso fosse utilizado o procedimento convencional
anteriormente visto.
3.9 Exercícios do Capítulo III
3.9.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.
a) S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC b) S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD c)
S = [(B + C + D) (A + B + C) + C] + ABC + B(A + C) d) S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB
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Apostila de Eletrônica Digital e)
S = (A + B + BCD) [D + BC + D(A + B)] + AD f)
S = [(B + CD + D + AC) (A + B + C) + B(C + ABC + AC)] (A + B) g)
S = (AB + CD + AD) {B[C + D +A(B + C) + ABC] + A} h)
S = (A + B) {B + (B + C) [ABC + B(A + D) + BC + BD] + ABD} 3.9.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões:
a) S = ABC + ABC
b) S = (A + B + C) (A + B + C)
Continuando o exercício, utilize a álgebra de Boole para simplificar as equações
e desenhe novamente o circuito lógico correspondente.
3.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito
lógico.
S = (B + D) {B + C D +A[BC + BC + A + B(C + D)]}
3.9.4) Prove que:
A (B + C) = A + (B C)
A + B + C + D = A B C D
3.9.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, determine a expressão
simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.
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A B S1 S2
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0
3.9.6) Simplifique as expressões de S1, S2, S3 e S4 das tabelas da verdade a
seguir, utilizando os mapas de Karnaugh.
Tabela 1.
A B C S1 S2 S3 S4
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Tabela 2.
A B C D S1 S2 S3 S4
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1
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3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh.
a) S A __ __ __ __ __ __B C A B C A BC A B C ABC= + + + +
b)
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __
S A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D A B C D
A BC D A B C D
= + + + + +
+ +
+
c) S __ __ __ __ __ __ __ __B D A A B C D A B C D A C= + + + +
d) S __ __ __ __ __ __
A BC A B A BC D BD C D B C D A B C D= + + + + + +
3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.
A B C D E S1 S2
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Continua ...
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1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
3.9.9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir
A B C S1 S2
0 0 0 X 1 0 0 1 0 X 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 X 1 1 1 0 X X 1 1 1 1 X
3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1, S2, S3 e S4 da tabela
abaixo.
A B C D S1 S2 S3 S4
0 0 0 0 1 X 0 X 0 0 0 1 X X 0 0 0 0 1 0 X 1 0 X 0 0 1 1 X 0 1 1 0 1 0 0 1 X X 1 0 1 0 1 0 1 X X 0 1 1 0 X 0 1 0 0 1 1 1 X 1 0 1 1 0 0 0 X 1 X 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 X X 0 0 1 0 1 1 1 1 0 X 1 1 0 0 X 0 1 1 1 1 0 1 X 1 0 1 1 1 1 0 1 1 X 1 1 1 1 1 0 X 1 X
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3.9.11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da
tabela da verdade.
A B C D E S1 S2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 X 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 X 0 0 1 0 0 1 X 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 X 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 X 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 X 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 X 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 X
Resposta dos exercícios
3.9.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.
a) S A __
C B= +
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b) S A __
B C D= +
c) S C __ __ __
A B= +
d) S C __D AB AD AC= + + +
e) S A __ __ __ __ __
D A B C ABD= + + f) S B AC= +
g) S A __ __C D=
h) S A __ __
B B D= + 3.9.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões:
Item a)
A CB
S
Equação simplificada: S AC=
SAC
Item b)
S
A CB
Equação simplificada: S B A C= +
S
A CB
3.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito lógico.
A
DC S
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Apostila de Eletrônica Digital 3.9.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, determine a expressão
simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.
__S1 A B= +
__S2 A=
3.9.6) Simplifique as expressões de S1, S2, S3 e S4 das tabelas da verdade a seguir,
utilizando os mapas de Karnaugh.
Tabela 1:
__ __ __S1 B C AC A B= + +
__ __S2 B C= +
__ __S3 B C A C= +
__ __ __ __S4 A B C A C AB B C= + + + Tabela 2:
__ __ __S1 B C D CD= + +
__ __ __ __S2 A D BD A B C= + +
__ __ __ __ __S3 A B D B C D B C D= + +
__ __ __ __S4 A B C A CD ABC A C D= + + + 3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh.
a) S A __ __B AC A B= + +
b) S __ __ __ __ __ __B C D A C D BCD A B C= + + +
c) S A __ __
B= +
d) S B __ __
C AC BD B C= + + +
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Apostila de Eletrônica Digital 3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __S1 CE A B C B C D A BC D B C D E= + + + +
__ __ __S2 C E A B D= + + 3.9.9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir
S1 A B= + __ __
S2 A B AC= + 3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1, S2, S3 e S4 da tabela abaixo.
__ __S1 B D= +
__ __S2 BD AC B D= + +
__ __ __ __ __S3 B D A B C ABC A B CD= + + +
__S4 B C AD CD AB= + + + 3.9.11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela
da verdade.
C ED
S1
A CB
S2
E
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