Capitulo Novo Relacoes e Funcoes - Filmado Em 30-03-2016 (1)

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA

Prof. Raul Brito

VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência

Produto Cartesiano

Chama-se par ordenado um conjunto de dois elementos em uma

dada ordem.

Para lembrar que a ordem dos elementos é relevante, usamos

parênteses na representação de um par ordenado – e não as

chaves, como nos conjuntos em geral.

Assim, indicamos por (x, y) o par ordenado em que o primeiro

elemento é x e o segundo elemento é y. Logo, temos:

(a, b) = (c, d) a = c e b = d

Dessa forma, é importante enfatizar que, por definição,

(1, 3) (3, 1).

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denomina-se produto

cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos

os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a

A e o segundo elemento pertence a B.

A x B = {(x, y | x A e y B} em que A x B lê-se “produto

cartesiano de A por B” ou “A cartesiano B”.

Exemplo:

Sendo A = {1, 2, 3} e B = {a, b}, temos:

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} e

B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Observe que A x B B x A, ou seja, o produto cartesiano de dois

conjuntos distintos não é comutativo.

Note também que, no último exemplo, n(A) = 3, n(B) = 2 e

n(A x B) = 6.

De modo geral, se A e B são conjuntos finitos com m e n

elementos, respectivamente, então A x B é um conjunto finito com

m.n elementos.

O conjunto A x A é denominado quadrado cartesiano de A e pode

ser indicado por A2 (lê-se “A dois”).

Exemplo:

O quadrado cartesiano do conjunto P = {1, 4} é:

P2 = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)}

1. Noção intuitiva de função

Um lavador de carros trabalha diariamente na mesma quadra em

uma grande cidade. Ele trabalha sempre da mesma forma e cobra

o preço único de R$ 12,00 por carro que lava. Alguns possíveis

valores que ele recebe ao fim de um dia de trabalho estão

representados na tabela a seguir:

Número de carros Receita bruta (em reais)

0 0

1 12

2 24

3 36

5 60

12 144

Nota-se que a receita bruta diária do lavador de carros pode ser

expressa em função do número de carros lavados, ou seja, o valor

recebido no fim do dia depende da quantidade de veículos limpos.

Essa relação de dependência entre o número de carros e a quantia

ganha pode ser esquematizada da seguinte maneira:

Receita bruta = 12 vezes o número de carros.

Um modelo matemático para descrever essa relação pode ser

obtido usando-se variáveis. Nesse caso, a quantidade de carros é

a variável independente x, uma vez que seus valores podem ser

escolhidos previamente, e a arrecadação do dinheiro é a variável

dependente y, pois depende de x.

Dessa maneira, a expressão algébrica que associa y a x é dada

pela igualdade:

y = 12x

Observação:

Cada quantidade diária de carros corresponde a uma única receita,

e, por isso, pode-se dizer que essa igualdade define uma função.

2. Notação

O valor pago por um

passageiro de um táxi é

calculado da seguinte forma:

nos percursos sem parada, o

taxímetro marca uma quantia

inicial de R$ 3,00 – chamada

bandeirada – mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Assim, temos

novamente uma relação de dependência entre duas variáveis, a

saber, quilometragem x e quantia recebida pelo taxista y.

Usaremos, agora; um diagrama para representar algumas

correspondências entre elas. Os elementos do conjunto A são os

quilômetros percorridos, e os elementos do conjunto B, as quantias

a receber.

2


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Note que

I. todos os elementos de A têm correspondentes em B;

II. um dado elemento de A tem apenas um correspondente em B.

Por isso, dizemos que essa relação é uma função de A em B em

que sua lei é dada por:

y = 2x + 3

Assim, pode-se concluir que uma função estabelece uma relação

de dependência entre duas variáveis, satisfazendo as condições

citadas.

2.1. Definição

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A em B é

uma regra que diz como associar cada elemento x do conjunto A a

um único elemento y do conjunto B.

No diagrama a seguir, a função f transforma x em y.

Nesse caso, dizemos que o conjunto A é o domínio da função f.

Nesse domínio, estão os valores da variável independente x. É

importante ressaltar que uma função só existe dentro de seu

domínio.

Já o conjunto B, formado pelo possíveis valores da variável

dependente y, é o contradomínio da função f.

Para indicar que f é uma função de domínio A e contradomínio B,

escrevemos:

f: A B

Se um elemento x do domínio está associado, por meio da função

f, a um elemento y do contradomínio, dizemos que y é a imagem

de x e escrevemos:

y f(x)

Assim, a função f : , na qual y = 2x + 3 pode ser escrita

como f(x) = 2x + 3.

O símbolo f(x) é uma imagem de x. Simplificando, em vez de se

escrever “o valor de y quando x é igual a 2” ou “a imagem de

x = 2”, basta se escrever f(2).

A letra f, em geral, dá nome às funções, mas há também funções

g, h, etc. Por exemplo, pode-se ter g: A B ou h: .

2.2. Conjunto imagem

Consideremos a função f: A B definida pro f(x) = 2x + 3.

Domínio: A = {0, 1, 2, 3}

Contradomínio: B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Logo, temos que f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7 e f(3) = 9.

O conjunto de todos os valores de y que são imagem de algum x

do domínio chama-se conjunto imagem da função e pode ser

indicado por Im. No caso, Im = {3, 5, 7, 9}.

Note que o conjunto imagem é um subconjunto de B.

Na maioria dos casos, estaremos tratando de funções cujo domínio

e contradomínio são subconjuntos de . Elas são chamadas

funções reais ou funções numéricas. Ou seja, nas funções reais,

x e y são variáveis que assumem valores no conjunto .

2.3. Domínio de uma função real

Vimos que o domínio de uma função é formado pelos valores reais

de x que possuem imagem. Se um número real não possui

imagem por uma função f, então ele não pertence ao domínio de f.

Em geral, o domínio de uma função fica subentendido assim que a

função é dada. Porém, há casos em que é preciso explicitar esse

conjunto.

Não pertencem ao domínio de f os números reais que, quando

colocados no lugar de x, provocam alguma impossibilidade na

expressão de f.

3. Gráfico de uma função

3.1. Plano cartesiano

O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais ou sistema

cartesiano ortogonal ou, simplesmente, plano cartesiano é um

sistema de dois eixos x e y, perpendiculares, que se cruzam no

ponto O, chamado de origem. Esses eixos determinam os

quadrantes I, II, III e IV.

Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de

números reais. A origem O do sistema associamos o par ordenado

(0, 0).

O eixo horizontal é o eixo das abscissas, e o eixo vertical, das

ordenadas.

Consideremos, por exemplo, o ponto A(1, 5). Dizemos que 1 e 5

são as coordenadas do ponto A; 1 é a abscissa (projeção no eixo

x), e 5 é a ordenada (projeção no eixo y).

Ponto P(a, b): a abscissa

b ordenada


3


Observe o ponto B(5, 1) no 1° quadrante. Note que a ordem em

que os elementos aparecem no par é importante, já que os pontos

A(1, 5) e B(5, 1) ocupam lugares diferentes no plano.

Gráfico no plano cartesiano

Chama-se gráfico de uma função y = f(x) o conjunto de todos os

pontos (x, y) do plano cartesiano, sendo que x assume valores no

domínio da função, e y representa suas imagens.

Voltemos à função f : , f(x) = 2x + 3.

Para essa função, a imagem de x = 2 é y = 7. Assim, dizemos que

o ponto P(2, 7) pertence ao gráfico da função ou que o gráfico

passa pelo ponto P(2, 7).

Na prática, o gráfico contém infinitos pontos, que formam uma linha

contínua. Isso ocorre pelo fato de que entre os números 2 e 3, por

exemplo, existem infinitos números reais.

Daí, entre os valores x = 2 e x = 3, a variável x percorre uma

infinidade de valores no domínio.

x y

–1 1

0 3

1 5

2 7

3 9

Portanto, no gráfico anterior, consideramos o conjunto domínio

da função e, também, conjunto imagem. Portanto:

O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do

gráfico no eixo das abscissas.

O conjunto imagem é obtido pela projeção do gráfico no eixo das

ordenadas.

3.2. Como descobrir se uma curva é gráfico de uma função

Segundo a definição, para que se tenha uma função de A em B,

deve-se associar a cada x A um único y B. Ou seja, um

elemento do domínio de uma função não pode ter duas, três ou

mais imagens.

Vamos verificar qual dos dois gráficos a seguir representa uma

função, traçando, sobre a curva, retas paralelas ao eixo y.

No primeiro gráfico, qualquer reta vertical intercepta a curva em

apenas um ponto. Portanto, a cada elemento do domínio [a, b],

corresponde uma só imagem. Logo, o gráfico representa uma

função.

O segundo gráfico, entretanto, não é de uma função, pois cada reta

paralela ao eixo y corta a curva em dois pontos. Isso significa que

cada elemento do domínio possui duas imagens diferentes.

4. Crescimento e decrescimento de uma função

O gráfico adiante apresenta as mudanças de fases de agregação

de uma substância provocada pelo aumento da temperatura. A

substância está, inicialmente, no estado sólido. Após a fusão,

passa completamente ao estado líquido e, depois da ebulição, é

apenas gás.

Observe os trechos do gráfico separadamente. Nos intervalos em

que a substância é sólida, líquida ou gasosa, sua temperatura

aumenta com o tempo. Assim, dizemos que nesses trechos a

função é crescente.

Porém, durante as transformações (fusão e ebulição), a

temperatura não se altera. Nesses dois trechos, o gráfico é uma

linha paralela ao eixo das abscissas. Dizemos, por isso, que

durante a fusão e durante a ebulição, a função é constante.

Em outro experimento, foram feitas variações na pressão de um

gás, medindo-se os valores de volume correspondentes. Os dados

experimentos estão apresentados na tabela:

Pressão (Pa) Volume (L)

100 000 8,00

140 000 5,71

180 000 4,44

220 000 3,63

4



A partir desses dados, foi esboçado o gráfico da variação de

volume em função da pressão:

À medida que se aumenta a pressão do gás, seu volume diminui.

Trata-se, assim, de uma função decrescente: quando se atribui

valores de cada vez maiores para x (pressão), suas imagens y

(volume) ficam cada vez menores.

De maneira geral, tem-se:

Função crescente em [a, b]

b > a f(b) > f(a)

Função crescente em [a, b]

b > a f(b) < f(a)

5. Taxa média de variação de uma função

Aos 22 anos de idade, no início de sua carreira, um professor

pesava 75 kg. Hoje, com 42 anos, seu peso é 95 kg. Nesse caso,

percebemos que ele ganhou 20 kg em 20 anos, o que significa que

engordou, em média, a uma taxa de 1 kg/ano.

Todavia, sabemos que uma pessoa não ganha peso a uma taxa

constante, pois há períodos em que o peso não se altera e outros

em que há emagrecimento. A questão importante aqui é que 1

kg/ano é somente uma taxa média.

Assim, dizemos que para toda função y = f(x) a razão entre a

variação de valores de y e a correspondente variação de valores

de x é chamada de TMV ou taxa média de variação de y em

relação a x. Assim, em uma função definida no intervalo [xA, xB],

tomando-se dois pontos distintos de seu gráfico A(xA, yA) e B(xB,

yB), a razão

B A

B A

y yy

x x x

é a taxa média de variação de y em relação a x, quando x varia de

xA até xB.

Em intervalos em que a função é

crescente, essa TMV é positiva.

Nos intervalos em que y diminui

e x aumenta, a TMV tem sinal

negativo.

Se o gráfico da função é uma

linha reta (função crescente,

decrescente ou constante), a

taxa média de variação é a

mesma em todo o domínio. Nesse caso, dizemos simplesmente

taxa de variação, já que ela é constante.

6. Raízes e sinais de uma função

Vamos esboçar o gráfico do polinômio do 2° grau y = x2 – 4,

escolhendo sete valores para x e calculando suas imagens. A

curva que obteremos chama-se parábola.

x y

–3 5

–2 0

–1 –3

0 –4

1 –3

2 0

3 5

Essa parábola corta o eixo x em dois pontos: (–2, 0) e (2, 0).

Assim, x = –2 e x = 2 são os elementos do domínio que possuem

imagem igual a zero. Esses números são chamados raízes ou

zeros da função.

Raízes ou zeros de uma função são os valores de x para os quais

y = 0. No plano cartesiano, elas são as abscissas dos pontos em

que a curva corta o eixo x.

Observe, agora, que há pontos da curva que estão acima do eixo x

e há pontos abaixo dele. No intervalo em que os valores de x

variam de –2 até 2, os pontos do gráfico estão todos abaixo do eixo


5


x, pois esses elementos do domínio possuem imagens negativas.

Simbolicamente, escrevemos:

y < 0 –2 < x < 2

Por outro lado, tanto os valores de x menores que –2 quanto ao

valores maiores que 2 possuem imagens positivas, fazendo com

que os pontos do gráfico fiquem situados acima do eixo das

abscissas. Portanto, para x < –2 ou x > 2, temos que a função é

positiva:

y > 0 x < –2 ou x > 2

7. Classificação de funções

7.1. Função par e função ímpar

Consideremos a função f : , tal que f(x) = |x|. Como

sabemos, seu gráfico é dado por:

Note que |–1| = |1| = 1 e |–3| = |3| = 3, isto é, f(–1) = f(1) e f(–3) =

f(3). Observe, também, que o gráfico de f(x) = |x| é simétrico em

relação ao eixo y. Dizemos, por isso, que f(x) = |x| é uma função

par.

De um modo geral:

Uma função f qualquer é par quando f(x) = f(–x) para todo x de seu

domínio.

Consideremos, agora, a função f : definida por f(x) = 2x,

cujo gráfico é dado por:

Podemos observar que f(1) = 2 e f(–1) = –2. Ou, então, que f(2) = 4

e f(–2) = –4. Notamos, ainda, que o gráfico de f(x) = 2x é simétrico

em relação à origem do referencial cartesiano. Por isso, dizemos

que f(x) = 2x é uma função ímpar.

Uma função f qualquer é ímpar quando f(–x) = –f(x) para todo x de

seu domínio.

Existem funções que não são pares nem ímpares, simplesmente

não se classificam nessas categorias. Por exemplo, f(x) = 2x – 4.

7.2. Funções periódicas

Quando procuramos por descrições matemáticas para fenômenos

de natureza cíclica ou periódica, como os batimentos cardíacos, a

respiração ou o caminhar, devemos usar funções cujos valores se

repetem após certo intervalo. Na maior parte desses fenômenos,

utilizamos funções classificadas como periódicas.

Uma função f: A B é periódica se existir um número p > 0

satisfazendo a condição:

f(x + p) = f(x), para todo x A.

Chama-se período de f o menor valor de p que satisfaz f(x + p) =

f(x).

Por exemplo, consideremos a função f : cujo gráfico é o

seguinte:

Observe que, para todo x , temos:

f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = ...

Nesse caso, o número p = 1 é o período de f. Assim, f é periódica

porque é possível encontrar um número p > 0 tal que, ao darmos

acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera.

7.3. Função sobrejetora

Uma função f de A em B é sobrejetora quando B é o conjunto

imagem de f. Isso significa que, para todo elemento y B, existe

um elemento x A tal que f(x) = y. Nesse caso, dizemos que f é

uma sobrejeção de A em B.

Exemplo:

Considere a função f: A B, em que A = {–3, –1, 3} e B = {1, 9},

defina por f(x) = x2. Essa função é uma sobrejeção de A em B, pois

todo elemento y de B é imagem de pelo menos um elemento x de

A.

7.4. Função injetora

Uma função f de A em B é injetora quando elementos distintos de

A têm imagens distintas em B. Isso significa que, se f é injetora,

então, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, com x1 x2, tem-se f(x1)

f(x2). Nesse caso, dizemos que f é uma injeção de A em B.

Exemplo:

A função f de A = {1, 2, 3, 4} em B = {3, 4, 5, 6, 7} definida por

f(x) = x + 2 é injetora, pois cada elemento y Im(f) é imagem de

apenas um elemento x A. Entretanto, não é sobrejetora.

7.5. Função bijetora

Uma função f de A em B é bijetora se ela for injetora e sobrejetora

ao mesmo tempo. Quando isto ocorre, dizemos que f é uma

bijeção de A em B.

Exemplos:

1. A função f: A B, com A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 6, 8, 10},

6



definida por f(x) = 2x é bijetora, pois, para todo y de B, existe

um único elemento x de A tal que y = 2x.

2. A função f : definida por f(x) = x2 é sobrejetora, mas

não é injetora, pois Im(f) = , porém f(–3) = f(3). Portanto,

não é uma bijeção.

7.6. Inversa de uma função

Considere um triângulo equilátero cujos lados têm medidas

representadas por x. Seu perímetro 2p é 3x.

x: lado do triângulo

2p: perímetro

Podemos imaginar, aqui, duas funções bijetoras, f e g.

f: a cada valor do lado corresponde um perímetro.

g: a cada valor do perímetro corresponde um lado.

Dessa forma, temos:

f: A B

f(x) = 3x

f: B A

g(x) = x

3

Observe que o domínio de f é o conjunto imagem de g, e vice-

versa. Note, também, que se pode encontrar os pares (x, y) da

função g invertendo-se o sentido das setas da função f.

Dizemos, nesse caso, que g é a função inversa de f e

escrevemos g(x) = f–1(x). Assim, sendo f(x) = 3x, sua inversa é

f–1(x) = x

3.

Observe que é necessário que uma função seja bijetora para

possuir inversa.

Uma regra prática para determinar a inversa

Para obter a inversa de uma função bijetora, podemos usar o

seguinte roteiro.

1°. “Trocamos” a variável x por y e y por x na lei que define a

função;

2°. “Isolamos” o y, escrevendo-o em função de x;

A expressão obtida é y = f–1(x).

Observação

Quando representados em um mesmo sistema cartesiano, os

gráficos de f e f–1 são simétricos em relação à reta que contém as

bissetrizes dos quadrantes I e III.

Veja:

7.7. Função composta

Considere as funções f: A B e g: B C. Observe que: o

conjunto B, contradomínio de f, é o domínio de g.

• f: a cada x A corresponde uma imagem f(x) em B.

• g: a cada f(x) B corresponde uma imagem f(f(x)) em C.

Existe uma função h: A C que relaciona elementos de A

diretamente aos elementos de C, denominada função composta

de g e f. A função h, portanto, associa a cada x A um único

g(f(x)) em C.


7


A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se g círculo

f). Logo:

g o f(x) g(f(x))

Exemplo

Dadas as funções reais f(x) = 4x + 1 e g(x) = 2x2 – 3, encontrar

f o g(x) e g o f(x).

A) f o g(x) = f(g(x)) = f(2x2 – 3)

Devemos, na função f, trocar x por 2x2 – 3.

f o g(x) = 4(2x2 – 3) + 1 f o g(x) = 8x2 – 11

B) g o f(x) = g(f(x)) = g(4x + 1)

Na função g, substituímos x por 4x + 1.

g o f(x) = 2(4x + 1)2 – 3 g o f(x) = 2(16x2 + 8x + 1) – 3

g o f(x) = 32x2 + 16x – 1

8



EXERCÍCIOS DE CLASSE

Questão 1

Determine a e b de modo que os pares ordenados (2a – 5, b + 3) e (1 – 4a, 2b – 1) sejam iguais.

Questão 2

Sabendo que A é um conjunto de três elementos, B um conjunto de quatro elementos e se os pares

(0, 4), (3, 1) e (5, 0) são elementos do produto cartesiano A x B, obter o conjunto A.

Questão 3

Dados os conjuntos A = {0, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6}, obter o número de elementos do conjunto (A x B)

(B x A).

Questão 4

Seja a função f : definida por f(x) = x2 – 6x + 8.

a) Calcular a imagem do número 4.

b) Determine f(k).

c) Obter os elementos do domínio que possuem imagem igual a 3.

Questão 5

Dada a função g : definida por g(x) = 3x + b, calcular o valor de b sabendo que g(–1) = 2.

Questão 6

Determine o domínio das funções:

a) f(x) = x 5

x 2

b) g(x) = x 3

Questão 7

Uma função f : é tal que f(a + b) = f(a).f(b) para quaisquer a e b reais. Sabendo-se que f(3) =

2, calcular o valor da soma f(0) + f(–3).

Questão 8

O diagrama a seguir representa o gráfico de uma função f(x).

Assim, DETERMINE

a) o domínio;

b) o conjunto imagem.

c) as raízes.

Anotações

Anotações


9


d) o intervalo em que f(x) é crescente.

e) os intervalos em que f(x) é decrescente.

f) os intervalos em que f(x) < 0.

g) os intervalos em que f(x) > 0.

h) qual é a imagem do elemento 4.

i) de qual elemento o número real 4 é uma imagem.

j) a taxa média de variação entre x = –4 e x = –3.

k) a taxa média de variação entre x = 3

2 e x = 2.

Questão 9 (UFMG)

Na figura, estão esboçados os gráficos de duas funções f e g. O conjunto {x : f(x).g(x) < 0} é

dado por

a) x > 0 ou x < –1

b) –1 < x < 0

c) 0 < x < 2

d) –1 < x < 2

e) x < –1 ou x > 2

Questão 10 (UFMG-2008)

Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas

definidas no intervalo aberto ]0, 6[.

Seja S o subconjunto de números reais definido por S = {x ; f(x).g(x) < 0}. Então, é CORRETO

afirmar que S é:

a) {x ; 2 < x < 3} {x ; 5 < x < 6}

b) {x ; 1 < x < 2} {x ; 4 < x < 5}

c) {x ; 0 < x < 2} {x ; 3 < x < 5}

d) {x ; 0 < x < 1} {x ; 3 < x < 6}

Questão 11

Determinar a função inversa da função f(x) = x 2

4

.

Anotações

10



Questão 12

Analisando o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x com o gráfico de cada

função, CLASSIFIQUE as funções a seguir em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.

Questão 13

VERIFIQUE se as funções a seguir são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.

a) f : ; f(x) 3x 6

b) 2g: ; g(x) x

c) p : ; p(x) 2x 3

Questão 14

Se f(x) = 3x + 1 e f o g(x) = 3x2 + 2, DETERMINE g(x).

Questão 15 (UFMG)

Observe a figura.

Nessa figura, está esboçado o gráfico da função f(x) definida no intervalo [–2, 3]. O gráfico de g(x) = f(x

+ 1) é

Anotações


11


Questão 16

Considere as funções reais definidas por f(x) = 2x e g(x) = 2x. Para que seja f(g(x)) = g(f(x)), o ÚNICO

valor de x é um número

a) inteiro positivo.

b) inteiro negativo.

c) não inteiro positivo.

d) não interiro negativo.

Questão 17 (UFMA)

A função real f é tal que f(5x + 3) = x. Sendo f–1 a inversa de f, f–1(x) é igual a

a) 3x + 5

b) 5x + 3

c) x 5

3

d) x 3

5

Questão 18

Sejam f e g duas funções bijetoras e f–1 e g–1 suas respectivas inversas. Se f(3) = 5, g–1(3) = 7 e

g–1(6) = 3, assinale a alternativa FALSA.

a) f(g(7)) = 5

b) g(f–1(5)) = 6

c) g–1(f–1(5)) = 7

d) g(7) f–1(5)

Questão 19

Se g(x) = x 1

2

e f o g(x) =

x 5

8

, DETERMINE f(x).

Questão 20

Se f(x) = a + 1 e g(x) = 2x + 5, CALCULE o valor de a para que se tenha g o f(x) = a.

Questão 21

Dada a função f : tal que

x

2

2 , se x é racionalf(x)

x 3, se x é irracional

CALCULE f(–1) + 5.f(0) – f 2 .

Questão 22

Sendo f(x) = x xa a

2

, CALCULE f(1) + f(–1).

Questão 23 (UFPA)

Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas a seguir é VERDADEIRA?

a) f: x 2x é uma função de A em B.

b) f: x x + 1 é uma função de A em B.

c) f: x x2 – 3x + 2 é uma função de A em B.

Anotações

12



d) f: x x2 – x é uma função de B em A.

e) f: x x – 1 é uma função de B em A.

Questão 24 (FAAP-SP)

Sendo f(x) = ax 1

x b

, x – {b}, DETERMINE a e b, reais para que se tenha f(0) =

1

2 e f(1) = 2.

Questão 25

Se f(1 + x) = 2

x

x 1, então f(4) vale

a) 4

15

b) 0

c) 4

d) 3

8

e) 1

2

Questão 26 (FUVEST-SP)

Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da

variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a

a) 1

2 b) 1 c)

5

2 d) 5

Questão 27

Numa função real f, as imagens são sempre positivas e f(x + 1) = [f(x)]2 para todo x. Se f(0) = 4, então f(1) – f(–1) é igual a a) 4 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Anotações


13


EXERCÍCIOS DE CASA

Questão 01 (UFF-RJ-2010)

Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado

por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d > 0 do

corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional

ao quadrado de d.

Seja G = f(d) a função que descreve a norma G do campo

gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um

ponto a uma distância d > 0 desse corpo.

É CORRETO afirmar que f(2d) é igual a:

a) f(d)

4

b) f(d)

2

c) 4f(d)

d) 2f(d)

e) f(d)

Questão 02 (UFMG)

Uma função f : é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número

real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é:

a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45

Questão 03 (UFU-MG)

Se f é uma função cujo gráfico é dado a seguir, então o gráfico da

função g, tal que g(x) = f(x – 1), será dado por:

a) c)

b) d)

Questão 04 (UFMG-2010)

Considere a função:

x, se x é racional

f(x) 1, se x é irracional

x

Então, é CORRETO afirmar que o MAIOR elemento do conjunto

7 24f , f(1), f(3,14),f

31 2

é:

a) 7

f31

b) f(1)

c) f(3, 14)

d) 24

f2

Questão 05 (UECE)

Seja, f : a função tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4f(x) para

todo real. Nessas condições, f(10) é igual a:

a) 2–10 b) 4–10 c) 210 d) 410

Questão 06 (UFMG)

Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para

qualquer x e y reais, então f(2) é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8

Questão 07 (UFMG)

Sendo f(x) = 1

x para x > 0, o valor de f

1

x

é igual a:

a) 1

x

b) 4

1

x

c) 4 x

d) x

e) 1

x

Questão 08 (Mackenzie-SP)

Se a curva dada é o gráfico da função y = a + b

x, então o valor de

ab é:

a) 1

2

b) 3

14



c) 2

d) 4

e) 1

4

Questão 09 (UFMG)

Considere a função y = f(x), que tem como domínio o intervalo {x

: –2 < x 3} e que se anula somente em x = – 3

2 e x = 1, como

se vê nesta figura:

Assim, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) 1?

a) 3 1

x | x 1 x | x 1 x | 1 x 22 2

b) 3 1

x | 2 x x | 1 x x | 2 x 32 2

c) 3 1

x | x 1 x | x 22 2

d) 3 1

x | x 1 x | x 22 2

Questão 10 (IBMEC-SP-2010)

A função f, de domínio real, é dada pela lei f(x) =

2

x

x 2x 5, se x

3 , se x

, em que representa o conjunto dos

números racionais. O número total de soluções reais da equação

f(x) = 7 é:

a) 4 b) 3 c) 7 d) 1 e) 0

Questão 11 (Enem-2013)

A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por

um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia

de acordo com a expressão 2t

T( ) 400,4

com t em minutos.

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para

abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 °C. Qual o

tempo mínimo e espera, em minutos, após se desligar o forno, para

que a porta possa ser aberta?

a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0

Questão 12 (Enem-2002)

O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta

profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2

km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para

saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para

completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas

utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico.

Altura (m)

Peso (kg) ideal para atleta masculino

de ossatura grande, corredor de longa

distância

1,57 56,9

1,58 57,4

1,59 58,0

1,60 58,5

Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando

63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia-

maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria

melhorado seu tempo na prova em:

a) 0,32 minuto.

b) 0,67 minuto.

c) 1,60 minuto.

d) 2,68 minutos.

e) 3,35 minutos.

Questão 13 (UFJF-MG)

A seguir, encontram-se representados os gráficos das funções

f : e g : .

Sabendo que f possui inversa –1f : , o valor de f o g o f–1(2)

é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


15


Questão 14 (UFTM-MG-2012)

A figura indica o gráfico da função contínua f, de domínio [–12, 16]

e imagem [–5, 16].

De acordo com o gráfico, o número de soluções da equação

f(f(x)) = 5 é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Questão 15 (PUC Minas)

Na figura, está o gráfico da função f.

O total de elementos x tais que f(f(x)) = 4 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Questão 16 (Fatec-SP-2011)

Parte do gráfico de uma função real f, do 1° grau, está

representada na figura a seguir:

Sendo g função real definida por g(x) = x2 + x, o valor de f–1(g(1)) é:

a) 3

2

b) 1

3

c) 1

3

d) 2

3

e) 3

2

Questão 17 (UEL-PR)

Se f e g são funções de em tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) =

x2 – 1, então g(x) é igual a:

a) 2x2 + 1

b) x

12

c) 2x

2

d) x + 1

e) 1

x2

Questão 18 (UFRJ)

Seja f : uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico

da função f passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 3), a função f–1

(inversa de f) é:

a) f–1(x) = x + 1

b) f–1(x) = –x + 1

c) f–1(x) = x – 1

d) f–1(x) = x + 2

e) f–1(x) = –x + 2

Questão 19 (FGV)

Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números

reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 3. Se h(x) é a função

inversa de g(x), então o valor de f(h(x0)) para x0 = 7 é igual a:

a) 4 b) 22 c) 7 d) 17 e) 52

Questão 20

Em uma gincana escolar, uma das etapas consista na resolução de

um desafio matemático. O professor forneceu uma série de

informações acerca de um número Y. A primeira equipe que

conseguisse determinar esse número venceria a prova.

As informações eram as seguintes:

• O número Y é natural.

• O número |Y – 2| + 4 encontra-se a 10 unidades da origem da reta

real.

Acerca do número Y, podemos concluir que:

a) é um número primo.

b) possui 6 divisores naturais.

c) é divisor de 56.

d) é um número ímpar.

e) é múltiplo de 3.

Anotações

16



RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE FIXAÇÃO - CASA

Questão 01

Resolução: Do enunciado, temos:

2 2

2

2

2

2 2

G G d Gd mconstante constante constante G constante

1 m 1 m dmd

mG f d f d constante

d

f dm m f 2d constante f 2d constante f 2d .

44d2d

Resposta: Alternativa A

Questão 02



Questão 03

Resolução: Da propriedade da translação do gráfico, podemos extrair a seguinte informação:

Quando somamos ou subtraímos uma certa quantidade do domínio (note que estamos tirando uma unidade do x

(domínio)), o gráfico permanece o mesmo (não muda a curva), porém ele translada (caminha) para a direita, se a

quantidade for tirada e translada (caminha) para a esquerda, se a quantidade for somada. Assim no caso da

nossa questão, o gráfico vai transladar (caminhar) uma unidade para a DIREITA, pois retiramos uma unidade do x

(domínio). Antes era f(x) agora é f(x – 1).


Questão 04

Resolução: Do enunciado, temos: x, se x

f x 1, se x

x

Note que o único que é irracional é o 12 . Então:


17


7 7f ; f 1 1; f 3,14 3,14

31 31

1f 12

12

Destes, o maior é o 3,14

Resposta: Alternativa C

Questão 05


2

2 3

9 10

f 1 1 4 f 1 f 2 4 4 f 2 4

f 2 1 4 f 2 f 3 4 4 f 3 4

...

f 9 1 4 f 9 f 10 4 4 f 10 4

Resposta: Alternativa D

Questão 06


f x y f x f y para x y 1

f 1 1 f 1 f 1 f 2 2f 1 f 2 2 3 f 2 6.


Questão 07


4

4

4 44

4

1 1 1 1 1 1 1 1 x 1f x f f f f 1 f x

x x x x xx 1 1 11x xx


Questão 08

Resolução: Note que f 2 3 e f 1 0 , logo temos:

b by a 3 a 6 2a b 2a b 6

x 2

b by a 0 a 0 a b a b

x 1

2a a 6 3a 6 a b 2

Assim: b 2 ba 2 a 4


Questão 09

Resolução: Note que queremos os valores de x cuja imagem varia de 0 até 1, então do retângulo da figura

abaixo, pegaremos o intervalo que corresponde ao eixo x, assim temos:

18



Note também que 1 é raiz e no intervalo pedido não queremos o ZERO, por isso não podemos ter x = 1. Assim

temos os seguintes intervalos:

3 1x 1 x 1 1 x 2

2 2


Questão 10


2 2

x3

22

x 2x 5 7 x 2x 2 0f x 7

x log 7 irracional3 7

x 2x 2 0 2 4.1. 2 4 8 12

Note que o delta não é quadrado perfeito o que torna as raízes da equação do 2º grau, irracionais. Note que só

podemos usar a equação do 2º grau, se as raízes (soluções) forem racionais e como elas não são, temos um

absurdo ou situação impossível, logo não temos nenhuma solução para a primeira equação.

Já a segunda equação só pode ser usada para números irracionais e como 3x log 7 é irracional temos uma

situação possível. Portanto temos uma solução para o problema.


Questão 11


2 2 2 2

2t t t tT t 400 39 400 400 39 361 t 4 361 t 4 361

4 4 4 4

t 4 361 t 2 19 t 38.

Logo o tempo mínimo de espera é de 38 minutos.


Questão 12

Resolução: De acordo com o enunciado, temos:

Ele está 5 kg acima do peso ideal. Do gráfico podemos tirar que na meia maratona, cada 1 kg acima do peso

ideal, o atleta perde 0,67 minutos, assim, se ele está 5 kg acima do peso ideal, ele perderá 0,67 5 3,35

minutos.

Resposta: Alternativa E


19


Questão 13

Resolução: Podemos usar a propriedade da função inversa no gráfico, lembre-se que o gráfico é simétrico à

bissetriz dos quadrantes ímpares, assim podemos montar a seguinte figura:

Note que dos gráficos temos:

1f 2 1; g 1 3 ; f 3 4 .

Assim: 1 1 1 1f g f 2 f g f 2 f g f 2 f g 1 f g f 2 f 3 4 .

Resposta: Alternativa E

Questão 14


Note que para a função “dar 5”, ou seja, para a imagem ser 5, o número de dentro (valor do domínio) pode ser –

12, – 7, 5 ou 13 (ver o gráfico destaque em retângulo). Assim:

f f x 5 f x 12 ou f x 7 ou f x 5 ou f x 13

Note que f x 12 ou f x 7 , não tem solução visto que a imagem varia de – 5 até 16.

Por outro lado f x 5 , tem 4 soluções (circulados) e f x 13 , tem duas soluções (marcado com um ponto) a

mesma imagem igual a 1.

Logo temos: 4 + 2 = 6 soluções.


Questão 15

Resolução: Do gráfico, temos:

Note que para a função “dar 4”, ou seja, para a imagem ser 4, o número de dentro (valor do domínio) tem que ser

1 (ver o gráfico destaque em retângulo). Assim:

20



f f x 4 f x 1

Por outro lado, para que a imagem seja 1 (veja a horizontal que passa pelo 1 do y), temos 3 pontos (circulados),

todos os 3 pontos tem a mesma imagem igual a 1.


Questão 16


1

3 3

1 1 1

f x ax b 3 a 0 b b 3.

3f x ax 3 0 a 2 3 2a 3 a .

2

3f x ax b f x x 3.

2

3 3 2f y y 3 f y x y 3 x 3y 6 2x 3y 2x 6 y x 2

2 2 3

2 f x x 2.

3

g x x x g 1 1 1 g 1 2.

2f g 1 f 2 f 2

3

1 1 14 4 6 22 2 f 2 2 f 2 f 2 .

3 3 3


Questão 17


2

2 2 xf g x 2 g x 1 2 g x 1 x 1 2 g x x g x

2


Questão 18


1

f x ax b 3 a 2 b 2a b 3

f x ax b 2 a 1 b a b 2

a 1 a b 2 1 b 2 b 1

f x ax b f x x 1

f y y 1 f y x y 1 x y x 1 f x x 1



21


Questão 19


x 3 x 3g x 2x 3 g y 2y 3 g y x 2y 3 x 2y x 3 y h x

2 2 2 2

7 3 h 7 h 7 2.

2 2

f h 7 f 2 f 2 3 2 1 f 2 7.

e

f 1 0 , logo temos


Questão 20

Resolução: Note que como y é natural, então só podemos pegar as soluções positivas, assim temos:

y 2 4 10 y 2 10 4 y 2 6 y 2 6 y 6 2 y 8 .


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Capitulo Novo Relacoes e Funcoes - Filmado Em 30-03-2016 (1)