Capítulo VII - Forças em Vigas e Cabos

Mecnica Geral Copyright (c) 2010

by John Wiley & Sons, Inc

Universidade Federal Fluminense EEIMVR - VEM Mecnica Geral I. L. Ferreira, N. Medeiros

Captulo 7 Foras em Vigas e Cabos

...


7.1 Introduo Definio de Vigas: So barras longas, retas e prismticas, capazes de

suportar cargas longas aplicadas em vrios pontos ao longo de seu comprimento.

Definio de Cabos: Componentes flexveis que suportam apenas cargas

trativas, distribudas ou centradas.


7.1 Vigas 7.1.1 Tipos de carregamentos e vnculos externos

As cargas aplicadas ao longo da viga, em geral, so perpendiculares ao seu eixo. Assim, causam cisalhamento e flexo. Por outro lado, quando no formam 90 com a viga, produzem tambm carregamentos axiais de trao ou compresso.

Projetos de Vigas: Dois passos distintos; i. Determinao das foras cortantes e dos momentos fletores produzidos pelas cargas (Mecnica Geral); ii.Escolha da seo reta mais adequada para resistir aos esforos cortantes e momentos fletores obtidos no item anterior (Resistncia dos Materiais)

7.1 Vigas Tipos de carregamentos Cargas Concentradas: A viga esquematizada abaixo suporta as cargas Q1 e Q2, atuantes nos respectivos pontos B e C da mesma. Portanto, tratam-se de cargas concentradas.

D A

Q1 Q2

B C


7.1 Vigas Cargas Distribudas: A viga mostrada abaixo est submetida a uma carga w ao longo de seu comprimento. Assim, tal solicitao denominada carga distribuda. Caso, w seja constante, dita uniformemente distribuda sobre uma dada regio da viga.

C A

w

B


7.1 Vigas Classificao de Vigas: As vigas, de acordo com o modo de vinculao, se classificam em:

A B A B

L L

L

(a) (b)

(c)

i. Vigas estaticamente determinadas: So aquelas em que vnculos externos impem at trs incgnitas. Exemplos destes casos so abaixo ilustrados,

L - Distncia entre os apoios, denominado vo.

(a) Viga simplesmente apoiada, (b) simplesmente apoiada em balano e (c) em balano.


7.1 Vigas

A B B

L/2 L

L

(a) (b)

(c)

ii. Vigas estaticamente indeterminadas: So aquelas em que a vinculao fornece mais de trs incgnitas. Nestes casos, ser preciso considerar as propriedades da viga em termos de sua resistncia flexo. As ilustraes a seguir mostram estas condies:

L - Distncia entre os apoios, denominado vo.

(a) Viga contnua, (b) simplesmente engastada e simplesmente apoiada no outro e (c) em biengastada.


L/2

7.1 Vigas

A B

B

iii. Vigas Acopladas por Articulao: formam uma nica estrutura contnua e as reaes por envolverem quatro incgnitas sero determinadas considerando-se os diagramas de corpo-livre de cada viga em separado. Assim, incluindo-se as componentes de fora na articulao, um total de seis incgnitas ser observado acompanhado por seis equaes de equilbrio. Exemplos de vigas combinadas so mostradas abaixo:


A

H

H C


7.1 Vigas 7.1.2 Foras Cortantes e Momento Fletor Considere a viga AB submetida a cargas concentradas (Q1, Q2 e Q3) e distribudas (w1 e w2).

A

Q1

C B

w1 Q2 Q3

w2

i. Determinao das reaes em A e B: Utiliza-se a viga inteira como corpo-livre, desta forma,

A

Q1

C B

w1 Q2 Q3

w2

RA RB


7.1 Vigas Ou seja,

A

Q1

C B

w1 Q2 Q3

w2

RA RB

0= AM RA 0= BM RB


7.1 Vigas ii. Determinao das Foras Internas: A viga seccionada

em C para a construo dos diagramas de corpo-livre das partes AC e CB, conforme mostrado abaixo

A

Q1

C B

w1 Q2 Q3

w2

RA RB C

M M

V V Em AC:

0= YF Fornece a fora cortante V em C; 0= CM Fornece o momento fletor M em C;


7.1 Vigas

A

Q1

C B

w1 Q2 Q3

w2

RA RB C

M M

V V

De forma anloga, em CB: 0= YF Fornece a fora cortante V em C; 0= CM Fornece o momento fletor M em C;


7.1 Vigas Conveno de Sinais: A fora cortante V e o momento fletor M, atuantes sobre um dado ponto da viga sero positivos quando as foras internas e os momentos que agem em cada parte da viga forem orientados como se segue:

Foras internas na seo (fora cortante e momentos fletor positivos)

M M

V V

Efeito das foras externas (fora cortante positiva)

C

C Efeito das foras externas (momento fletor positivo)


7.1 Vigas 7.1.3 Diagramas de Foras Cortantes e Momento Fletor Diagramas de fora cortante: Representao da fora cortante em qualquer ponto de uma viga.

Considere a viga AB, simplesmente vinculada, de vo L e submetida a uma nica carga Q aplicada em seu ponto mdio D.

A

D B

Q

Diagramas de momento fletor: Representao dos valores de fora cortante em funo de uma distncia x, tomada a partir de uma das extremidades da viga.

L/2 L/2


7.1 Vigas

A

D B

Q

i. Determinao das reaes promovidas por cada vnculo: Construo do diagrama de corpo-livre para a viga inteira, ou seja,

RA = Q/2 RB = Q/2

C E

ii. Determinao da fora cortante V e do momento fletor M: A viga seccionada em C, entre A e D, e os diagramas de corpo-livre de AC e CB so construdos, ou seja,

A RA = Q/2

C

M

V D

B

Q

RB = Q/2

E

C

M

V

x


7.1 Vigas Considerando o corpo-livre AC:

2:0 QVFY ==RA tende a cisalhar e fletir a viga no ponto C.

2:0 xQMMC == Representao grfica de V e M entre A e D:

L/2 x

y

Q/2

V = constante = Q/2

L/2 x

M

QL/4

M aumenta linearmente

x = 0; M = 0 x = L/2; M = QL/4


7.1 Vigas Seccionando-se a viga em E, entre D e B, os diagramas de corpo livre AE e EB so esquematizados como se segue,

M

B RB = Q/2

E M

V x

A

D

Q

RA = Q/2

C E

L-x

V

Considerando o diagrama de corpo-livre EB: 2:0 QVFY == RB tende a flexionar a viga em E,

mas promove o cisalhamento oposto ao corpo-livre AC. ( ) 2:0 xLQMMC ==


7.1 Vigas Representao grfica de V e M entre A e D:

L/2 x

y

Q/2

V = constante = Q/2

L/2 x

M

QL/4

M aumenta linearmente

x = 0 ou x = L; M = 0 x = L/2; M = QL/4

L

-Q/2 L


7.1 Vigas 7.1.4 Relaes entre Carga e Fora Cortante Considere a viga AB, simplesmente vinculada, que suporta a carga w por unidade de comprimento. Ainda, observe os pontos C e C separados pela distncia x.

A D

B

w

x

C C

x


7.1 Vigas cortante ForaV =

Em C: Fletor MomentoM =

Supostamente positivos

cortante ForaVV =+Em C:

Fletor MomentoMM =+


7.1 Vigas Diagrama de corpo-livre,

C C

M+M M

V V+V

x

x/2 0= YF( ) 0xwVVV =+

ento, xwV =

D i v i d i n d o - s e p o r x e aplicando o limite quando x tende a zero,

wdxdV =

Esta relao indica uma inclinao negativa para o diagrama de fora cortante de uma barra carregada de forma proposta.

wDx

w


7.1 Vigas A carga total aplicada numa parte da viga, por exemplo, entre os pontos C e D, pode ser calculada por:

Assim,

==D

C

D

C

D

C

X

XCD

X

X

V

V

dxwVVdxwdV

( )[ ]CDCD xxwVV =O termo entre colchetes ou a integral de wdx fornecem a carga total aplicada entre C e D, ou seja, denota a rea sob a curva de carga entre tais pontos.


7.1 Vigas

no vlida para pontos de carga concentrada, j que o respectivo diagrama de fora cortante descontnuo.

A equao,

=D

C

X

XCD dxwVV

no vlida cargas concentradas entre C e D, pois no considera a variao sbita de fora cortante em razo desta carga.

A equao,

=D

C

X

XCD dxwVV


7.1 Vigas 7.1.5 Relaes entre Fora Cortante e Momento Fletor Considerando novamente o diagrama de corpo livre para a regio CC,

C C

M+M M

V V+V

x

x/2 0' = CM

02xxwxVMMM =++

ento,

( )221 xwxVM =

wDx

w


7.1 Vigas Dividindo-se por x e aplicando o limite quando x tende a zero,

VdxdM =

A fora cortante V nula quando o momento fletor M mximo; A inclinao dM/dx da curva do momento fletor igual fora cortante em pontos onde no h carga concentrada!

Considerando-se os pontos C e D:

=D

C

D

C

X

X

M

M

dxVdM


7.1 Vigas Assim, se V no constante,

=D

C

X

XCD dxVMM

A integral

D

C

X

X

dxV

fornece o momento fletor total entre os pontos C e D, ou seja, define a rea sob a curva de fora cortante entre tais pontos. Esta curva ser positiva onde a fora cortante for positiva e negativa para foras negativas.


7.1 Vigas A integral

D

C

X

X

dxV

vlida para cargas concentradas entre C e D se a curva de fora cortante for traada de forma correta.


7.2 Cabos 7.2.1 Cabos com Cargas Concentradas Considere o cabo flexvel abaixo, preso nos pontos A e B, e sujeito s cargas verticais Q1, Q2 e Q3.

d y3 y2 y1

L

x1

x2

x3

Qualquer parte do cabo entre cargas sucessiva considerada um elemento submetido duas cargas!

As foras internas, em qualquer ponto do cabo, so reduzidas trao tangente a tal ponto.

C1 C2 C3

BA

Q1 Q2 Q3


7.2 Cabos O objetivo determinar a forma do cabo, ou seja, a projeo vertical da distncia de A at os pontos C1, C2 e C3 e tambm a trao T atuante em cada poro do mesmo.


7.2 Cabos Portanto, preciso construir o diagrama de corpo-livre para todo o cabo, ou seja,

d y3 y2 y1

L

x1

x2

x3

C1 C2 C3

BBx

By A

Ay

Ax

Q1 Q2 Q3

Isto envolve 4 incgnitas e, j que se podem escrever apenas trs equaes de equilbrio, o sistema se torna indeterminado. A soluo considerar o equilbrio de uma determinar poro do cabo.

Como no se sabe as declividades das partes do cabo presas em A e B, as reaes em A e B so r e p r e s e n t a d a s p e l a s respectivas componentes Ax, Ay, Bx e Bz.


7.2 Cabos Conhecendo as coordenadas x e y do ponto D, o diagrama de corpo-livre para a poro AD do cabo ser,

y

x1

x

C1

A

Ay

Ax

Q1

A projeo vertical de A at qualquer ponto do cabo pode ser determinada como se segue. Por exemplo, considerando-se o ponto C2 e constituindo-se o diagrama de corpo-livre da parte AC2, tem-se que,

Assim, a relao adicional para determinao das reaes em A e B, entre Ax e Ay fornecida por:

T

D

0= DM


7.2 Cabos

y2

x1

x2

C1

A

Ay

Ax

Q1

Fornece y2

T

D

02= CM

C2 Q2

Trao T

0= xF

0= yFMas,

xAT = cos ou xAT =cosou seja, a componente horizontal de T a mesma em qualquer ponto do cabo.


7.2 Cabos 7.2.2 Cabos com Cargas Distribudas Considere o cabo abaixo fixado nos pontos A e B e que suporta um carga distribuda.

O cabo forma uma cruva e a fora interna em um ponto D uma trao T d i r ig ida ao longo da tangente curva.

O objetivo determinar a trao em qualquer ponto no cabo e, para tanto, constri-se o diagrama de corpo-livre para o ponto mais baixo C e um dado ponto D.

A

C D

B


7.2 Cabos 7.2.2 Cabos com Cargas Distribudas ento,

Foras atuantes no corpo livre:

C D

B

T

TO

TO

W

W T

i. Trao TO em C, a qual horizontal; ii. Trao T em D, tangente ao cabo; iii. Resultante W da carga distribuda suportada pela

posio CD do cabo.


7.2 Cabos A partir do tringulo de foras pode-se escrever,

TO

W T

cosTTO = ; = senTW ; 22

OWTT += e

OTWtg =

A componente horizontal de T, ou seja, TO, a mesma ao longo do cabo; A componente vertical de T igual ao mdulo W da carga.

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