CAPITULO X ESTADISTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA.pdf

5/20/2018 CAPITULO X ESTADISTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA.pdf

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DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA

CAPTULO X

ESTADSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA

10.1 INTRODUCCIN.

Los estudios hidrolgicos requieren del anlisis de informacin hidrometeorolgica, estainformacin puede ser de datos de precipitacin, caudales, temperatura, evaporacin,

infiltracin, etc.

Se cuenta con datos recopilados de un periodo disponible, si esta informacin es organizada y

se analiza adecuadamente proporciona una herramienta muy til, para tomar decisiones sobre

el diseo de estructuras hidrulicas y responder a innumerables dudas y parmetros de diseo,

como se muestra en la Figura 10.1

FIGURA No 10.1

APLICACIONES DE LA ESTADISTICA EN LA HIDROLOGIA.

En el anlisis hidrolgico se utilizan los conceptos de probabilidades y estadstica, porque

generalmente se cuenta con escasa informacin, y casi todos los fenmenos hidrolgicos

tienen una alta aleatoriedad, por esta razn se ve la necesidad de introducir este captulo para

aclarar los conceptos y los mtodos ms utilizados en la hidrologa.

10.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

PROBABILIDAD:

Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y A cualquier suceso de S, tal que A es

un subconjunto de S, se dice que la probabilidad de P(A) de un evento A, es un experimentoaleatorio que tiene Ns resultados igualmente posibles y Na resultados favorables, est dado

por:

Ns

NaAP )(

(Ec. 10.1)

Este tiene que satisfacer los siguientes axiomas.

1. 0 P(A) 1, para todo AS (para todo evento A su probabilidad es positiva y cero si el

evento es imposible).

2. P(S)=1

3. P(A1UA2UA3UUAN)=P(A1+A2+A3+.+AN)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+.P(AN). Si

A1+A2+A3++AN, es una serie de sucesos mutuamente excluyentes.


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FUNCIONES DE PROBAB ILIDAD:

Una de las formas de representar las probabilidades de las variables hidrolgicas son las

funciones de probabilidad (funciones de densidad), y las funciones de probabilidad

acumuladas que a continuacin se mencionan.

a. Funciones de probabi l idad discreta:

Cuando el nmero n de valores q ue puede tom ar una variable aleatoria X es finito , se

dice qu e la variable aleatoria X es disc reta.

A la funcin y grfica que asocia una probabilidad a dicha variable aleatoria X se

denomina funcin de probabilidad discreta f(x i)

Esta funcin representa la probabilidad que tomar la variable aleatoria X, generalmente

se representa por un grfico de barras para cada valor de la variable aleatoria X, ver

Figura 10.2.

FIGURA No 10.2

FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

b. Funciones de pro babi l idad cont inas.

Cuando el nmero de valores n que puede tomar una variable aleatoria X es infinito, se

dice que la variable aleatoria X es continua. Este tipo de variables es ms frecuente en

hidrologa.

La funcin que asocia una probabilidad a dicha variable se denomina funcin de

probabilidad continua o funcin de densidad f(xi). Esta funcin representa la probabilidadque toma una variable aleatoria X, la representacin grfica se muestra en la Figura 10.3

FIGURA No 10.3


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FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

c. Funcin de dist r ibucin acumulada.

Si X es una variable aleatoria discreta o continua, se define la funcin de distribucin

acumulada F(x), como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome cualquier valor

menor o igual a x y se designa por:

F(x)=P(Xx) (Ec. 10.2)

Que es conocida como probabilidad de no excedencia, o

1- F(x)= 1 - P(Xx) =P(Xx) (Ec. 10.3)

Que es conocido como probabilidad de excedencia, ver Figura 10.4

FIGURA No 10.4

PROBABILIDAD EXCEDENCIA Y NO EXCEDENCIA

Tal que:

P(X x) + P(X x) = 1 (Ec. 10.4)

En hidrologa la variable ms frecuente es una variable continua, se analizara la funcin de

distribucin acumulada de esta variable, que est representada por:

x

dxxfxXPxF )()()( (Ec. 10.5)

En caso que la funcin empiece en - De esto se deduce que:

b

a dxxfaFbFbxaP )()()()( (Ec. 10.6)

Lo que significa que la probabilidad de un evento axb, es igual al rea que hay bajo la

curva de la funcin de densidad f(xi) entre x=a y x=b, ver Figura No 10.5


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FIGURA No 10.5

PROBABILIDAD DE UN EVENTO axb

Se concluye que la probabilidad puntual es cero, porque el rea bajo la curva es cero.,

como se observa en la Figura 10.6

FIGURA No 10.6

PROBABILIDAD PUNTUAL

Por otro lado se tiene que el rango de F(x) es:

0F(x)1 (Ec. 10.7)

Es decir que la funcin de distribucin acumulada est en el rango de cero y la unidad o

100%, dependiendo si se trabaja en porcentajes o decimales.

La funcin de distribucin acumulada se representa de la siguiente manera.

FIGURA No 10.7

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

La Figura No 10.7 nos permite ver el porcentaje de las observaciones que estn por

encima (Fxi) o debajo (1-Fxi) del valor xicon respecto al total.


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d. Funcin de dist r ibucin acumulada.

El Periodo de Retorno T, se define como el tiempo o lapso promedio entre la ocurrencia de

un evento igual o mayor a una magnitud dada, dicho de otra forma, es el intervalo de

recurrencia promedio para un cierto evento.

Estadsticamente el Periodo de Retorno es la inversa de la probabilidad de excedencia, esdecir:

)(

1

xXPT

(Ec. 10.8)

O tambin puede ser representada por la probabilidad de no excedencia como se muestra

a continuacin.

)(1

1

xXPT

(Ec. 10.9)

Otra forma de definir Periodo de Retorno T es como sigue:

Considerar por ejemplo la variable caudal mximo del ao, Q max para n aos.

La grfica correspondiente para una serie de 41 aos ser:

FIGURA No 10.8

CAUDALES DIARIOS MAXIMOS

La media histrica de esta serie de 41 aos resulta 14.9 m3/s.

Ahora considerar por ejemplo el valor 20 m3/s. Trazar una recta a 20 m3/s en el grfico.

Realizar el conteo de aos transcurridos entre eventos mayores a 20 m3/s:

Una vez que se present el evento Q>20 m3/s en el segundo ao, transcurrieron 2 aos

antes de que se volviera a presentar dicho evento. Luego transcurrieron 5 aos, luego 2

aos, etc.

Considerando varias centenas de aos, el periodo de retorno T ser el valor esperado de

esos lapsos de tiempo. Entonces en el ejemplo descrito T puede ser estimado como sigue:

aosT 80.310

5812265252

Lo que significa:

Considerando varias centenas de aos, el valor de 20 m3/s es excedido en promedio unavez cada 3.8 aos, es decir, el periodo de retorno del valor de 20 m3/s es de 3.8 aos.


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Con otras palabras, en el transcurso de un ao cualquiera se tiene una probabilidad de

uno en 3.8 (o sea 26%) de que Q max sea igual o mayor a 20 m3/s.

El periodo de retorno a adoptar para el diseo de una estructura hidrulica debera ser el

resultado del anlisis costo-beneficio. A mayor periodo de retorno mayor la obra y en

consecuencia ms cara y el beneficio tambin podra ser ms grande. Sin embargo laevaluacin de los beneficios es frecuentemente muy difcil de utilizar, por lo que en la

prctica se adoptaran periodos de retorno en base a la prctica usual.

En la Tabla 10.1, se muestra periodos de retorno recomendados para el clculo de

caudales de diseo de estructuras menores.

TABLA No 10.1

PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS MENORES

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002.

Tambin se puede entender el periodo de retorno como un coeficiente de seguridad quese asigna a las distintas estructuras, a raz de la falta de informacin y conocimiento del

comportamiento de las variables hidrolgicas (Precipitacin, Caudales), siendo una

medida de seguridad ante cualquier eventualidad.

TABLA No 10.2

PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS CIVILES EN GENERAL

FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987

.

Se dan a conocer otras tablas presentando periodos de retornos recomendados para

diferentes tipos de estructuras civiles: La Tabla No 10.2 es de carcter general e incluye

diversas obras, la Tabla 10.3 es exclusivo para obras hidrulicas en carreteras, la Tabla

10.4 est en funcin al tipo de rea a proteger y la Tabla 10.5 en para el diseo de

vertederos de embalses.


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TABLA No 10.3

PERIODO DE RETORNO PARA OBRAS HIDRAULICAS EN CARRETERAS


TABLA No 10.4

PERIODO DE RETORNO SEGN AREAS A PROTEGER

/


TABLA No 10.5

PERIODO DE RETORNO PARA VERTEDEROS DE EMBALSE

FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987.

e. Funcin de dist r ibucin acumulada.

Por lo comn el ingeniero disea una obra para resistir una avenida de cierta magnitud.

Se define el riesgo de fallo R de un diseo como la probabilidad de que la avenida para la

cual se disea la obra sea excedida en el transcurso de N aos, esto es considerado como

una situacin de riesgo, pues la obra se disea para soportar cierta avenida mxima, y

crecientes mayores podran hacerle dao o incluso destruirla, poniendo en riesgo vidas

humanas e infraestructuras que estn aguas abajo.

De forma ms sencilla se ent iende por r iesgo d e fa l lo a la prob abi l idad de qu e un

evento co n un peri od o de r etor no de T aos o cu rra al m enos un a vez en N aos .

El riesgo de fallo se puede escribir como:

NxXPaosNenvezunamenosalxXPR ))(1(1).......( (Ec. 10.10)

N

T

aosNenvezunamenosalxXPR )1

1(1).......( (Ec. 10.11)

Dnde:

T = Periodo de Retorno;


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N = Aos

P( Xx) = Probabilidad de excedencia

R = Riesgo de fallo o probabilidad de que un evento con periodo de retorno T aos ocurra

al menos una vez en N aos.

De la misma manera se puede definir la confiabilidad que viene a ser el complemento delriesgo de fallo, que se define como la probabilidad de que un evento con periodo de

retorno de T aos no ocurra en N aos, la confiabilidad se puede expresar de la siguiente

manera:

NxXPaosNduranteaocadaxXP )(1).....( (Ec. 10.12)

NN xFT

NduranteaocadaxXPR )()1

1()....( (Ec.10.13)

Tambin es posible calcular el periodo de retorno a partir del riesgo de fallo y del nmero

de aos, como sigue a continuacin:

N

RT

1.lnexp1

1 (Ec. 10.14)

10.3 POSICION DE PLOTEO Y PAPEL DE PROBABILIDAD.

a. Posicin de Ploteo.

Tambin denominada posicin de graficacin, o probabilidad emprica o experimental, o

probabilidad asignada (probabilidad acumulada experimental) La posicin de ploteo es la

ubicacin de graficacin en el papel de probabilidades de los datos de una muestra.

Existen varias frmulas empricas propuestas por diferentes autores para poder calcular

dicha posicin de ploteo, stas se muestran en la Tabla 10.6

TABLA No 10.6

PROBABILIDADES EMPIRICAS

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002


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Dnde:

m : Numero de orden.

N : Nmero total de datos.

a : Valor entre 0a1, que depende de N de acuerdo a la Tabla No 10.7

TABLA No 10.7

VALORES DEL PARAMETRO a PARA LA FORMULA DE GRINGORTEM

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002

La frmula ms utilizada para el clculo de la posicin de ploteo es la de Weibull.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

Una vez seleccionada la frmula emprica a utilizar, se procede a ordenar los datos de lamuestra de menor a mayor, despus se les asigna la probabilidad emprica, que es la

probabilidad de no excedencia. Si se ordena de mayor a menor, la probabilidad asignada

ser la probabilidad de excedencia.

Con estos datos se plotea en los respectivos papeles de probabilidad.

b. Posicin de Ploteo.

Es la representacin grfica de la probabilidad acumulada de una distribucin terica, este

papel de probabilidades tiene las escalas de las ordenada (X) y las abscisas (Probabilidad)

diseadas de tal manera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a unalnea recta.

El propsito del papel de probabilidad es el de linealizar la relacin de probabilidad de tal

manera que los datos graficados se acomoden a una recta, generalmente con fines de

comparacin. Es una forma de determinar si una serie de datos est siendo representada

de mejor manera por una distribucin de probabilidades en comparacin con otras

distribuciones de probabilidades tericas.

Para este propsito se hace uso de la posicin de ploteo.

Este procedimiento es conocido como la prueba de bondad de ajuste grfico, que nos sirve

para poder determinar si los datos se ajustan a la distribucin representada por el papel de

probabilidades. Ms adelante se presentarn las pruebas de bondad de ajuste estadstico

10.4 ANLISIS DE FRECUENCIA DE VALORES MEDIOS

En estadstica existen muchas funciones de distribucin de probabilidad tericas, las

funciones de distribucin de probabilidad tericas ms usadas en hidrologa son las siguientes.

Distribucin Normal

Distribucin Log. Normal

Distribucin Gama de 2 y 3 parmetros Distribucin Log. Pearson Tipo III

Distribucin Gumbel


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Distribucin Log. Gumbel.

a. Distribu cin Norm al.

Tambin denominada distribucin gausiana. Se dice que una variable aleatoria X tiene una

distribucin normal, cuando su funcin de densidad de probabilidad es:

2

2

1

2

1)(

S

Xxe

Sxf

(Ec. 10.15)

Dnde:

f(x) : Funcin de densidad normal de la variable x

x : Variable independiente

X : Parmetro de localizacin, igual a la media aritmtica de x.S : Parmetro de escala igual a la desviacin estndar de x.

e : Base del logaritmo neperiano

Cuando la variable aleatoria se distribuye normalmente con media__

Xy varianza S2, se

denota de la siguiente forma:

FIGURA No 10.9

FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Para su aplicacin lo ms fcil es la utilizacin de una tabla que relacione Z versus f(Z)

para lo cual se ha definido la variable estandarizada como:

S

XxZ

(Ec. 10.16)

Donde la funcin de densidad de Z, es denominada funcin de densidad de la distribucin

normal estndar o estandarizada, que tiene la siguiente expresin:

2

22

1)(

Ze

SZf

(Ec. 10.17)

Una caracterstica importante de la distribucin normal estndar es que tiene la media cero

y la varianza igual a uno.

La funcin de distribucin acumulada de la distribucin normal es:


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dxeS

xfxF x

S

Xx

x

2

2

1

2

1)()(

(Ec. 10.18)

O su equivalente:

dZeZFxF Z

Z

22

2

1)()(

(Ec. 10.19)

Para el clculo de la funcin de distribucin acumulada se recurre a la tabla de la ley

normal que est en funcin de la variable estandarizada Z.

La distribucin normal es de gran utilidad en hidrologa, siendo algunas de sus principales

aplicaciones:

El ajuste de distribucin emprica de variables hidrolgicas medias anuales, mensuales,

estacionales, etc., o tambin variables acumuladas anuales, mensuales, etc., que

pueden ser caudales precipitacin, temperatura, entre otros.

Como referencia para comparar varias distribuciones tericas de ajuste con una

distribucin emprica.

Anlisis de errores aleatorios en las observaciones o mediciones hidrolgicas.

Para aplicar inferencia estadstica.

Para realizar el ajuste se utiliza el papel de probabilidades de la ley normal junto a su

recta trazada analticamente.

b. Dist r ibucin Log Normal.

Las variables de inters en hidrologa son generalmente positivas, por lo que es usual que

presenten distribuciones de frecuencia asimtricas, por lo que se propone aplicar una

transformacin logartmica a la variable de inters y luego utilizar el modelo de distribucin

normal para la variable trasformada, la distribucin as obtenida se denomina log-normal,

por ejemplo si la variable aleatoria X, tiene una distribucin log-normal, esto significa que Y

= lnX, tiene una distribucin normal.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin log-normal, cuando su funcin

de densidad de probabilidad se define como:

Para 0


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Dnde:

f(x) : Funcin de densidad log-normal de la variable x

x : Variable independiente y

y : Media aritmtica de los logaritmos naturales de xy : Desviacin estndar de los logaritmos naturales de x

y : ln x

e : Base del logaritmo neperiano

La funcin de distribucin acumulada de la distribucin log-normal se muestra a

continuacin.

dxx

ex

xfxFy

yx

y

x

2

00

.ln

2

1

2

1)()(

(Ec. 10.22)

O su equivalente:

dyy

exfyFy

yy

y

y

2

2

1

2

1)()(

(Ec. 10.23)

Si:

y

y

y

yxy

Z

.ln

Se obtiene la distribucin normal estndar.

dZeZFZ

Z

2

2

2

1)(

(Ec. 10.24)

FIGURA No 10.10

FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION LOG NORMAL

Una vez realizada la transformacin con la variable estandarizada Z, utilizar las tablas de

la ley normal para el clculo de la probabilidad o la funcin acumulada.

La distribucin log-normal es de gran utilidad en hidrologa, siendo algunas de sus

principales aplicaciones:



Anlisis de errores aleatorios en las observaciones o mediciones hidrolgicas.



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c. Distribu cin Gama de 3 parmetros o Pearson Tipo III .

Este es una de las distribuciones ms utilizadas en hidrologa, se dice que una variable

aleatoria X, tiene una distribucin Gama o Pearson tipo III, si su funcin de densidad de

probabilidad es:

)(1

0

0

)(

)()(

xx

exx

xf

(Ec. 10.25)

Para: x0y; -y; 0y; 0

La funcin de distribucin acumulada de la distribucin Pearson tipo III es:

)(1

0

0

0

)(

)()(

xx

x

x exx

xF

(Ec. 10.26)

Dnde:

f(x) : Funcin de densidad de la variable x.

F(x) : Funcin de distribucin acumulada.

x : Variable aleatoria.

x0 : Origen de la variable x, parmetro de posicin.

: Parmetro de escala.

: Parmetro de forma.

() : Funcin gama completa.

FIGURA No 10.11

FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION PEARSON TIPO III

Para la aplicacin de esta distribucin, es recomendable utilizar el factor de frecuencia,

donde se muestra que la mayora de las funciones de frecuencias pueden ser generadas

por:

xKXX *

_

(Ec. 10.27)

Dnde:

X : Variable analizada, con una probabilidad dada._

X : Media de la serie de datos.x : Desviacin estndar de la serie de datos.

K : Factor de frecuencia definido para cada distribucin.


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Para la distribucin Pearson tipo III, se deber calcular la media, la desviacin estndar y

el coeficiente de asimetra.

Media :

N

xX i

_ (Ec. 10.28)

Desviacin Estndar :

1

)( 2

N

Xxi

x

(Ec. 10.29)

Coeficiente de Asimetra :

3

3

)2)(1(

)(

x

i

s

NN

XxNgC

(Ec. 10.30)

Para determinar el factor de frecuencia, es necesaria la utilizacin de tablas, para lo cual

es necesario calcular el coeficiente de asimetra y la probabilidad o perodo de retorno

respectivo para la variable analizada.

En el caso de la distribucin log-Pearson tipo III, el procedimiento es el mismo, lo nico

que cambia es que se deber trabajar con los logaritmos de las variables, y se utilizar la

misma tabla para determinar el factor de frecuencia.

La distribucin Pearson tipo III es de gran utilidad en hidrologa, siendo algunas de sus

principales aplicaciones:


distribucin emprica.Anlisis de errores aleatorios en las observaciones o mediciones hidrolgicas.


Para realizar ajustes de distribucin emprica de variables hidrolgicas de precipitacin,

caudales, temperatura, etc., tales como valores anuales, mensuales o valores

acumulados anuales, mensuales.

d. Dist r ibucin Gumb el o de valores extremos Tipo I .

La distribucin Gumbel es tambin llamada distribucin de Valores Extremos Tipo I o

distribucin doble exponencial. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin

Gumbel, cuando su funcin de densidad de probabilidad se define como:

x

ex

exf 1)(

(Ec. 10.31)

Dnde:

f(x) : Funcin de densidad de Gumbel de la variable x.

x : Variable independiente. : Parmetro de escala.

: Parmetro de posicin, llamado moda.


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e : Base de logaritmo neperiano.

FIGURA No 10.12

FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION GUMBEL

La funcin de distribucin acumulada de la distribucin Gumbel es:

x

e

exF )( (Ec. 10.32)

Donde F(x) es la funcin de distribucin acumulada de la ley Gumbel. Una forma de

calcular y es con las ecuaciones 10.33 y 10.34 respectivamente, y estn en funcin

de los parmetros de la media

)(X y la desviacin estndar (S) de la muestra.

SS 78.06

(Ec. 10.33)

57721.0

X (Ec. 10.34)

0.5772 es la constante de Euler.

La distribucin Gumbel o ley de valores extremos tipo I, se utiliza generalmente para:

Realizar ajustes de distribucin empricas de variables hidrolgicas tales como valores

de caudales mximos anuales, mensuales o precipitaciones mximas anuales, entre

otros.



Para efectuar inferencias estadsticas.

10.5 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

Las pruebas de bondad de ajuste, consisten en comprobar grfica y estadsticamente, si la

frecuencia emprica de la serie analizada, se ajusta a una determinada funcin de probabilidad

terica seleccionada a priori, con los parmetros estimados con base en los valores

muestrales.

Las pruebas estadsticas, tienen por objeto calificar el hecho de suponer que una variablealeatoria, se distribuya segn una cierta funcin de probabilidades.


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Las pruebas de bondad de ajuste grafico ms utilizado en hidrologa se mencion en el acpite

10.3 con la ayuda del papel de probabilidades.

A continuacin se detallarn las pruebas de bondad de ajuste estadstico ms utilizadas en

hidrologa que son:

ChiCuadrado SmirnovKolmogorov

a. Prueba Chi Cuadrado X2

La prueba Chi-cuadrado se basa en el clculo de frecuencias, tanto de valores

observados, como valores esperados, para un nmero determinado de intervalos.

Esta prueba es comnmente usada para verificar la bondad de ajuste de la distribucin

emprica a una distribucin terica conocida, fue propuesta por Karl Pearson en 1900.

La expresin general de la prueba Chi-cuadrado est dada por:

k

i

i

ii

c

e

ex

1

2

(Ec. 10.35)

k

i i

k

i i

Ne11

Dnde:

i : Numero de valores observados en el intervalo de clase i.

ei : Numero de valores esperados en el intervalo de clase i.

2

cx : Valor calculado de Chi Cuadrado, a partir de los datos.

k : Numero de intervalos de clase.

Asignando probabilidades a la ecuacin anterior, es decir asignando igual probabilidad de

ocurrencia a cada intervalo de clase, se tiene:

k

i

i

ii

c

NP

NPNx

1

2 (Ec. 10.36)

Donde:

Ni : Nmero de observaciones que caen dentro de los lmites de clases ajustadasdel intervalo i

N : Tamao muestral i

Pi : Probabilidad igual para todos los intervalos de clases

Pi =1/k o ei=PiN

Simplificando la ltima ecuacin se obtiene la frmula computacional desarrollada por

Markovic.

k

ic

NNN

Kx

i1

22 (Ec. 10.37)


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El valor de2

cx obtenido por la ecuacin se compara con el 2

tx de la Tabla C-3 del Anexo

C, cuyo valor se determina con:

Nivel de significacin : =0.05 o =0.01

Grados de libertad : g.l.=k-1-h

Donde h, es el nmero de parmetros a estimarse, en el caso de la ley normal es 2.

El criterio de decisin se fundamenta en la comparacin del valor calculado de Chi-

Cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es:

Si el Chi-cuadrado calculado es menor o igual que el valor tabular, es decir:2

cx

2

tx ,

entonces se acepta la hiptesis que el ajuste es bueno al nivel de significacin

seleccionado.

Si el Chi-cuadrado calculado es mayor que el valor tabular , es decir:2

cx > 2

tx ,

entonces el ajuste es malo y se rechaza la hiptesis, siendo necesario probar con otra

distribucin terica.

Esta prueba es de fcil aplicacin, es vlida slo para ajustes a la distribucin normal, en

la prctica se usa para cualquier modelo de ajuste.

b. Prueba de Smirnov -Kolmo gorov.

La prueba de ajuste de Sminov-Kolmogorov, consiste en comparar las diferencias

existentes entre la probabilidad emprica de los datos de la muestra y la probabilidad

terica, tomando el valor mximo del valor absoluto, de la diferencia entre el valor

observado y el valor de la recta terica del modelo , es decir:

)()(max xPxFD (Ec. 10.38)

Donde:

D : Estadstico de Smirnov-Kolmogorov, cuyo valor es igual a la diferencia mxima

existente entre la probabilidad ajustada y la probabilidad emprica

F(x) : Probabilidad de la distribucin terica

P(x) : Probabilidad experimental o emprica de los datos

Si D0es un valor crtico para un nivel de significacin , se tiene que:

0)()(max xPxFP o 0

. DDP

Tambien:

1.0

DDP (Ec. 10.39)


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El procedimiento para efectuar el ajuste, por el estadstico de Smirnov-Kolmogorov, es el

siguiente:

1. Calcular la probabilidad emprica o experimental Px de los datos, para esto se puede

utilizar las formulas de la Tabla 10.6, de estos el mas recomendado es la frmula deWeibull, que se indica a continuacin:

1N

mPx

(Ec. 10.40)

Dnde:

P x : Probabilidad emprica o experimental.

m : Numero de orden.

N : Numero de datos.

2. Calcular la probabilidad terica F(x), utilizando la ecuacin de la funcin acumulada

F(x) de los modelos tericos o tablas elaboradas para tal fin.

3. Calcular las diferencias F(x)-P(x)

4. Seleccionar la mxima diferencia: D mx. F(x)-P(x)

5. Calcular el valor crtico del estadstico D, es decir D 0, para un nivel de significancia

=0.05 y N igual al nmero de datos, los valores de D0se muestran a continuacin en

la siguiente tabla:

6. Comparar el valor del estadstico D, con el valor crtico D0de la Tabla C-4 del Anexo C,

con los siguientes criterios de decisin:

Si:

D

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