Capítulo 3

CINEMÁTICA DOS FLUIDOS

Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante. Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. Exercício 3.1

∫=A

m vdAA1v

Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr.

( )

máxm

44

4máx

m

R

0

422

4máxR

032

4máx

m

R0 2

22

2máx

m

2R0 máx2m

v5,0v

4R

2R

R

v2v

4r

2rR

R

v2drrrR

R

v2v

rdrR

rR

R

v2v

rdr2Rr1v

R

1v

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

π⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=

∫

∫

∫

Exercício 3.2

( )

dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança

rdrrRR

v2rdr2Rr1v

R1v

vdAA1v

R

0

71

715máx7

1R

0 máx2m

m

−=−=−=

−=π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π=

=

∫∫

∫

( )( )

máx7

157

15

715máx

R

0

715

78

715máx

m

R

078

71

715máx0

R71

715máx

m

v6049R

157R

87

R

v215x7

8Rx7

R

v2v

dxxRx

R

v2dxxRx

R

v2v

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=−−= ∫∫

Exercício 3.3

s/m1015,010

510A

gQv

s/m2015,05

510A

gQA

Qv

BB

mm

AA

m

AA

mm

B

A

=××

×=

γ=

=××

×=

γ=

ρ=

Exercício 3.4

sN10110gQQ

skg110000.1QQ

sm10

601006

tVQ

mG

3m

33

=×==

=×=ρ=

=×

==

−

−

Exercício 3.5

sm2

105

10AQv

sN10110gQgQQQ

skg110000.1QQ

sL1

sm1010101AvQ

4

3

22

mG

3m

334

11

=×

==

=×==ρ=γ=

=×=ρ=

==××==

−

−

−

−−

Exercício 3.6

sm1067,2

9,0104,2Q

Q

sm102

2,1104,2Q

Q

skg104,210200102,1AvQ

32

2

2

m2

32

2

1

m1

24111m

−−

−−

−−

×=×

=ρ

=

×=×

=ρ

=

×=×××=ρ=

sm267

10101067,2

AQ

v

sN24,0104,210gQQ

4

2

2

22

2mG

=××

==

=××==

−

−

−

Exercício 3.7 Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente.

3

22113

332211

QQQ

QQQρ+ρ

=ρ

ρ=ρ+ρ

Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação para fluido incompressível.

s/m101030

1030AQ

v

m/kg93330

1080020000.1QQQ

4

3

3

33

33

213

=×

×==

=×+×

=ρ

+=

−

−

Exercício 3.8

s5001010

552,0Q

hAQVt

sm104

551010

AQv

3tan

43

tan

=×

××===

×=××

==

−

−−

Exercício 3.9

sm14,4

1

25,34

D

Q4v

sm25,3

50010

1005

tV

tV

Q

22

333

2

2

1

1

=×π

×=

π=

=+=+=

Exercício 3.10

sm01,0

202,0

2v

v

DDvDvv

4Dv

4Dv

4Dv

1máx1

23

222

211

3

23

3

22

2

21

1

===

−=

π+

π=

π

sm064,0

55,2106,01501,0v

sm106,013,0

6049v

6049v

2

22

2

3máx2

=×−×

=

=×==

Exercício 3.11 Seja: Qe = vazão de entrada QF = vazão filtrada QNF = vazão não filtrada

∫=+=

ANF

NFFe

vdAQ

QQQ

Por semelhança de triângulos: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=→−

=R

rRvvrR

vR

vmáx

máx

( )

( )

sL8,82,110QQQ

sL2,1

sm102,1

31014,63,0Q

cm14,620tg105,2R

3Rv

3R

2R

Rv2

3r

2Rr

Rv2

Q

drrRrRv2

rdr2R

rRvQ

NFeF

33

22NF

o

2máx

33máx

R

0

32máx

NF

R0

2máxR0 máxNF

=−=−=

=×=×××π

=

=×+=

π=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

−π

=π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

−−

∫∫

Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é:

3vR

3alturaBase máx

2 ×π=

×

Exercício 3.12

sm8,02,01QQQ

sm1111AvQ

sm2,0

51

tV

Q)b

sm1

3y3dyy3bdyy3

111v

vdAA1v)a

3

Bcalha

3

mcalha

3

B

BB

31

021

02

m

m

=−=−=⇒=××==

===

===×

=

=

∫∫

∫

sm86,1332,11

4960v

4960v104,3

103,032,11Re

sm32,11

3,08,04

DQ4vvDRe)c

mmáx6

6

22

=×=⇒×=×

=

=×π×

=π

=→ν

=

−

Exercício 3.13

( )

( )

( )

m099,010810

624,04ReQ4

D

DDQ4

ReDQ4

vDv

Re

s/m624,009,168,0Q

Q

s/kg68,073,441,5QQQs

m021,5942,073,4Q

Qs/kg73,44

8,010942,04D

vQ

s/m108,0

10108DRe

vDv

Re

s/kg41,55,4201,1QQmkg201,1

2731728710100

RTp

mkg942,0

2739728710100

RTp

mkg09,1

2734728710100

RTp

sm5,4

36001

hm16200Q

551

11

121

112

1

11

111

3

1

1m1

2m0m1m

3

2

2m2

222

222m

55

2

22

222

000m

3

3

0

00

3

3

2

22

3

3

1

11

33

0

=×××π

×=

νπ=

νπ=→

π=→

ν=

==ρ

=

=−=−=

==ρ

=→=×π

××=π

ρ=

=××

=ν

=→ν

=

=×=ρ=

=+×

×==ρ

=+×

×==ρ

=+×

×==ρ

=×=

−

−

Exercício 3.14

h

0

32h

02

m

23

0y0y

1

0y

1

cm2y

23

525

2

3y

2y30

h1bdy)yy30(

bh1vdA

A1v)c

mN189,030103,6

dydvs30

dydv)b

s262230dydvy230

dydv)a

ms.N103,6

10900107

gsm107

scmouSt7,0cSt70

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−==

=××=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ=τ→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=×−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒−=

×=××

=νγ

=μ⇒×==

∫∫

−

==

−

=

−

=

−−

−

skg75,025,005,0107,66

10900AvQ)d

scm7,66

35515

3hh15

3hh15

h1v

2mm

2232

m

=××××=ρ=

=−×=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

Exercício 3.15

2

24

2

cm5,1r

30G

1der0

der

der2431

322

m3

32m2

3224m4

3221m1

máxm

44m

4

m

41m

1

m

m

N7,66015,0101,0

m

s.N1,0000.110v)g

s/m12,55,25,118v)f

s/N199109,1910000.1gQQsL9,199,188,38QQQ)e

foraparasL8,3838,71,159,18Q

QQQQQsL1,15s/m0151,0

408,03

4

DvQ

sL3s/m003,002,003,05AvQ)d

sL8,7s/m0078,0025,04RvQ

sL9,18s/m0189,0035,09,4RvQ)c

s/m52

102

vv)b

200010

025,024DvRe

sm4

28v

343010

035,029,4DvRe

sm9,46

6049v)a

33

2

4

1

22

4

4

1

1

=×=τ

=×=νρ=με

μ=τ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

=×××=ρ=

=−=−=

=−++=

+=++

==×π

×=π

=

==××==

==×π×=π=

==×π×=π=

===

=××

=ν

=

==

=××

=ν

=

=×=

−

=

−

−

−

Exercício 3.16

sm66,233,12v2v

QQ)d

sm33,1

32,05

22,0200)yv100yv20(

bh1v)c

N8,024,0AFmN4,04010

dydv)b

s402,02200220dydv

yv200v20dydv

yv100yv20v)a

mmáx

21

322,0

02,0

02

máxmáxm

22

0y0y

1

m2,0y

máxmáx

2máxmáx

=×==

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=−=

=×=τ=⇒=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ=τ

−=××−×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

−=

∫

−

==

−

=

Exercício 3.17

s/m7302,05,0

13,02002,1A

QAvv

AvQAvQQQ

22

m1112

222m111mmm

3

3231

=×

+××=

ρ

+ρ=

ρ=+ρ→=+

Exercício 3.18

243

2311m

1

1m

11

211m1

33

3m3m

2m1m3m

22m

22máx

2m222m22m

111m

ms.N1077,66,010128,1

sm10128,1

000.2564,022000.2

R2v000.2Re)c

m564,02

2vQ

RRvQ)b

sm15

5,04,03

AQ

v

skg38,12,1QQQ

skg88,14,032,1Q

m4,0R;sm3

39

3v

vRvQ

skg2,126,0QQ)a

−−

−

×=××=νρ=μ

×=××

=ν⇒=ν

⇒≤

=×π

=π

=⇒π=

=×

=ρ

=

=+=+=

=×π××=

====→πρ=

=×=ρ=

Exercício 3.19

s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ

s/m5,225

2v

v

s/m522,01052

42,0000.5052010

DL2

4pD520

v

4pD520

DLv2520

DLv24

Dp

520DL2/

v4Dp

333m

máxm

3

23

2

máx

2máxmáx

2

máx2

=×=××π×=επ=

===

=××××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−

=μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ε

=

−=ε

μ→=

εμ

+

π=πε

μ+π

−−

−

−

Exercício 3.20

( )

2

22

x

yx

yyz

yy

yxy

2x

xxx

xxz

xy

xxx

sm6)4;3(a

sm2,12212)4;3(v

sm12434;3v

2v;y3v)c

0t

vz

vv

yv

vx

vva

sm632a

yv

vat

vz

vv

yv

vx

vva)b

permanente)a

=

=+=

=×=

==

=∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=×=

∂∂

=⇒∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Exercício 3.21

yx9x3.xy3y

vva

tv

zv

vy

vv

xv

va

0t

vz

vv

yv

vx

vva)b

.Permanente)a

2yyy

yyz

yy

yxy

xxz

xy

xxx

==∂

∂=

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

72229aa

12223vv)c2

y

y

=××==

=××==

Exercício 3.22

( )

222

2y

2x

22y

x

y

xyx

sm6,211812)3;2(a

sm1836)3;2(a

sm1226)3;2(a

sm5,86)6()3;2(v

sm623)3;2(v

sm632)3;2(v)c

y63y2a

x62x3y

vva)b

=+=⇒−=×−=

−=×−=

=+−=⇒=×=

=×−=

−=×−=

−=−=∂∂

=

Exercício 3.23

( )( )( )

4,5432a

4t

va

3t

va

2t

va

2,161296v

12214v

9213v6212v

222

zz

yy

xx

222z

y

x

=++=

=∂∂

=

=∂

∂=

=∂∂

=

=++=

=+×=

=+×==+×=

Exercício3.24

2x

xxz

xy

xxx

222y

2x

sm32258221712107a

t8x217y2107t

vz

vv

yv

vx

vva

sm10817107v

sm175312v

sm107541223v

=×+××+××=

+×+×=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=+=⇒=×+×=

=×+××+=

222

22

y

2y

yyz

yy

yxy

sm368178322a

sm1783122171107a

3xy217y107a

tv

zv

vy

vv

xv

va

=+=⇒=+×××+×=

+×+=

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=