Capítulo 1

Carga Elétrica e Campo Elétrico

A interação eletromagnética entre partículas carregadas eletricamente é uma das intera-ções fundamentais da natureza. Nesse capítulo iremos estudar algumas propriedades básicasda força eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico,e finalizaremos com o estudo do movimento de partículas carregadas num campo elétricouniforme.

1.1 Propriedades da Carga Elétrica

Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a canetapassa a atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando certosmateriais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de seda ou plásticocontra pele.

Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos, quesão formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde oselétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, masos elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.

Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, veríamos que osprótons seriam atraídos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados. Estapropriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são partículascom carga positiva, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga neutra.

1

2 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétricas é ocoulomb (C).

Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham sinaisopostos. O valor da carga de um próton ou um elétron é chamado carga elétrica elementar

e simbolizado por e, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na natureza, comvalor igual a

e = 1.602 19⇥ 10

�19C (1.1)

Portanto, 1 C de carga é aproximadamente a carga de 6.24 ⇥ 10

18 elétrons ou prótons.Esse número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em 1 cm3 de cobre,que tem da ordem de 10

23.

1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão

Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de elé-trons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa; E queum corpo está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons do que deelétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por isso, um corpo échamado eletricamente neutro se ele tiver número igual de prótons e de elétrons, fazendocom que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo eletrizado deve entãoser um múltiplo da carga elementar, de tal forma que Q = ±N.e, sendo N um número inteiroqualquer.

O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe aestar carregado eletricamente denomina-se eletrização. Alguns dos processos de eletrizaçãomais comuns são:

1.2.1 Eletrização por Atrito

Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta doséculo VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre certosmateriais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.

Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que dois corposneutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica eletrizadonegativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elétrons). Quando há eletriza-ção por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual, porém com sinais opostos.

Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam do vidropara a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva (perde elétrons)e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em vez da barra devidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência de elétrons da lã para

1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3

a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons) e o panode lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).

1.2.2 Eletrização por Contato

Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em contato,a carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fazendo com queambos tenham a carga com mesmo sinal.

1.2.3 Eletrização por Indução

Este processo de eletrização é totalmente baseado no princípio da atração e repulsão, jáque a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado (indutor) a umcorpo neutro (induzido).

O processo é dividido em três etapas:

1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente neu-tro, pelo princípio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são atraí-dos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.

2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na presença doindutor.

3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto àquelado indutor.

Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com sinaloposto à carga do indutor, e com a carga distribuída por todo o corpo.

4 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

Terra

1.3 Lei de Coulomb

A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes propriedades daforça elétrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica

• é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas e dirigida aolongo da linha que liga uma a outra.

• é proporcional ao produto das cargas das duas partículas;

• é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo sinal.

A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma carga q1 numaoutra carga q2, dita ~

F 2(1), é

~

F 2(1) = k

q1q2

r

2r = �~

F 1(2) (1.2)

onde k é a constante chamada constante de Coulomb e r é o vetor unitário dirigido dacarga q1 para a carga q2, conforme figura.

–+r

F1(2)

F2(1)

q1

q2

F1(2)

F2(1)

q1

q2

r

+

+

A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4⇡✏0, e seu valor no SI é

k = 8.987 5⇥ 10

9 N.m2/C2 ⇡ 9.0⇥ 10

9 N.m2/C2 (1.3)

Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida pelacarga q2 em q1 é igual em intensidade a força exercida por q1 em q2, na mesma direção masem sentido oposto, de modo que ~

F 1(2) = �~

F 2(1)

Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é dadapela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas é igual a

1.3. LEI DE COULOMB 5

soma vetorial das forças exercidas pelas outras cargas.

~

F

i

=

X

i 6=j

~

F

i(j) =

X

i 6=j

k

q

i

q

j

r

2j

rj (1.4)

Exemplo 1.1. Átomo de HidrogênioUm átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa m

e

= 9.11⇥ 10

�31 kg,e um próton, de massa m

p

= 1.67⇥ 10

�27 kg, separados por uma distância de aproxima-damente d = 5.3⇥ 10

�11 m.

A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb

F

e

= k

e

2

d

2= (9.0⇥ 10

9)

(1.60⇥ 10

�19)

2

(5.3⇥ 10

�11)

2= 8.2⇥ 10

�8 N

Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal deNewton

F

g

= G

m

e

m

p

d

2= (6.67⇥ 10

�11)

(9.11⇥ 10

�31)(1.67⇥ 10

�27)

(5.3⇥ 10

�11)

2= 3.6⇥ 10

�47 N

A razão F

e

/F

g

⇡ 2⇥ 10

39. Então, a força gravitacional entre essas partículas subatô-micas é desprezível se comparada com a força elétrica.

Exemplo 1.2. Força ResultanteConsideremos três cargas �q, q e

p2q dispostas nos vértices de um triângulo retângulo,

como mostra a figura.

F3(1)

q

q

-q

a

a

y

x

–

+

+F3(2)

2a�

�2

A força ~

F 3(1) exercida pela cargap2q sobre

a carga q é

~

F 3(1) = k

p2q

2

(

p2a)

2r1,

onde r1 é o vetor posição relativa que sai dacarga

p2q e aponta na direção de q, sendo

escrito facilmente como r1 = cos 45

o

x +

sen 45

o

y, de modo que

~

F 3(1) =1

2

k

q

2

a

2(x+ y),

6 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

A força ~

F 3(2) exercida pela carga �q sobre a carga q é

~

F 3(2) = �k

q

2

a

2r2,

onde r2 é o vetor posição relativa que sai da carga �q e aponta na direção de q, sendoescrito na forma r2 = x, de modo que

~

F 3(2) = �k

q

2

a

2x

A força resultante ~

F 3 sobre a carga q é então calculada como a soma das forças ~

F 3(1)

e ~

F 3(2) sendo

~

F 3 =~

F 3(1) +~

F 3(2) =1

2

k

q

2

a

2(�x+ y)

1.4 Campo Elétrico

O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças elétri-cas. Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espaço ao redor de um objetocarregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse campoelétrico, uma força elétrica age sobre ele.

Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a força elétricapor unidade de carga situado num dado ponto do espaço

~

E =

~

F

e

q2= k

q1

r

2r (1.5)

O vetor ~

E tem no SI unidade de N/C. A direção de ~

E, como mostra a figura, é a direçãoda força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo. Dizemos queum campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto experimenta uma forçaelétrica, dada por

~

F

e

= q

~

E (1.6)

E

q r

P

r

+ –

E

q

rr

P

O campo elétrico num ponto P devido a um conjunto de cargas puntiformes pode ser

1.4. CAMPO ELÉTRICO 7

obtido, através do princípio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétricosdevido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P .

~

E =

X

i

~

E

i

=

X

i

k

q

i

r

2i

r

i

(1.7)

Exemplo 1.3. Campo Elétrico de um DipoloUm dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa �q separadas

por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico ~

E devido ao dipolo num ponto P

situado a uma distância y do centro do dipolo.

P E�

�

y

E1

E2y

r

�

aq

�

a–q– x+

No ponto P , os campos ~

E1 e ~

E2 devido àsduas cargas são iguais em intensidades, poiso ponto P é equidistante das cargas, sendoassim

E1 = E2 = k

q

(y

2+ a

2)

.

As componentes y de ~

E1 e ~

E2 se cancelam,e as componentes x são ambas positivas e demesma intensidade, de modo que

E = 2E1 cos ✓ = 2k

q

(y

2+ a

2)

a

(y

2+ a

2)

1/2

Portanto, ~

E é um vetor paralelo ao eixo x

escrito na forma

~

E = k

2qa

(y

2+ a

2)

3/2x

No limite em que o ponto P está muito distante do dipolo, dito y � a, podemosdesprezar a

2 comparado com y

2 no denominador e escrever

~

E ⇡ k

2qa

y

3x

Obs: Em alguns livros é comum aparecer o vetor momento de dipolo elétrico definidocomo ~

d = �2qax, que é um vetor de intensidade igual a carga positiva q vezes a distânciaentre as cargas 2a e aponta na direção da carga negativa para a positiva, de modo que

8 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

~

E ⇡ �k

~

d

y

3

Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ⇠ 1/r

3 que caimais rapidamente que o campo de uma carga que varia com ⇠ 1/r

2. Isso se deve aofato que os campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da distância,diminuindo a intensidade do campo elétrico total.

Exercício 1.1. Mostre que para um ponto P

0 situado ao longo do eixo x, porém muitodistante do dipolo (de tal forma que x � a) tem-se

~

E ⇡ k

~

d

x

3

1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas

Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria), cujasdistâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos típicos dos objetos.

Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas, usa-remos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em pequenoselementos de carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém maior que acarga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme paracalcular o campo elétrico devido a esse elemento dq no ponto P . E por último, somamosas contribuições de todos elementos de cargas e obtemos o campo elétrico total no ponto P

devido à distribuição de cargas (de acordo com o princípio de superposição dos campos).

O campo elétrico no ponto P devido a um elementode carga dq é

d

~

E = k

dq

r

2r

onde r é a distância do elemento de carga até oponto P e r o vetor unitário que sai da carga eaponta na direção de P .

O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de carga é

~

E =

Z

V

d

~

E =

Z

V

k

dq

r

2r (1.8)

1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 9

e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contínua de carga.De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de densidade

de carga.

• No caso de uma carga distribuída ao longo de um volume tem-se dq = ⇢dV , onde ⇢ éa densidade volumétrica de cargas.

• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma área tem-se dq = �dA, onde � é adensidade superficial de cargas.

• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma linha tem-se dq = �dl, onde � é adensidade linear de cargas.

Exemplo 1.4. Fio Carregado UniformementeVamos estudar o caso de um fio de comprimento L e carga Q distribuída uniformemente

ao longo dele, como mostra a figura.

O campo elétrico no ponto P devido a umelemento de carga dq do fio é, por definição,dado por

d

~

E = k

dq

r

2r,

onde ~r é o vetor posição relativa que sai doelemento de carga e aponta na direção de P

dado por~r = �xx+ ay,

onde seu módulo e o correspondente vetorunitário são

r =

px

2+ a

2 e r =

~r

r

=

(�xx+ ay)

(x

2+ a

2)

1/2.

Além disso, o elemento de carga dq pode ser escrito em termos do elemento de linhado fio dl = dx, nesse sistema de coordenadas. Com isso temos

dq = � dx =

Q

L

dx (1.9)

O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como umaintegral do campo produzido por cada elemento de carga que compõe o fio, indo de

10 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

x = �L/2 até x = L/2, e assim tem-se

~

E(P ) =

Z

fio

d

~

E =

ZL/2

�L/2

k� dx

(x

2+ a

2)

3/2(�xx+ ay).

e calculando-se as integrais (Exercício 1.2), tem-se

~

E(P ) =

kQ

a (L

2/4 + a

2)

1/2y.

Exercício 1.2. Mostre que as integrais necessárias resultam em

ZL/2

�L/2

xdx

(x

2+ a

2)

3/2= 0,

ZL/2

�L/2

dx

(x

2+ a

2)

3/2=

L

[(L/2)

2+ a

2]

1/2.

Exercício 1.3. Mostre que no caso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P estámuito distante do fio tem-se

lim

a�L

~

E(P ) =

kQ

a

2y

que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .Essa contribuição é muito relevante para corpos que possuem carga total Q 6= 0, ou

seja corpos carregados, e é conhecida como contribuição de monopólo elétrico. Se a cargatotal do corpo for nula, a próxima contribuição deveria ser a de um dipólo elétrico.

Exercício 1.4. Mostre que no caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muitopróximo do fio tem-se

lim

L�a

~

E(P ) =

2k�

a

y

que cai lentamente com a distância a do ponto P .

Exemplo 1.5. Aro Carregado UniformementeConsideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q.

Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro doaro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.

1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11

+ +

+

+

++

+

++

+

++

++

++

� P dEx

dEdE⇥

a

r

dq

R

O campo elétrico no ponto P devido a umelemento de carga dq do aro é dado por

d

~

E = k

dq

r

2r,

onde ~r é o vetor posição relativa que sai deum elemento de carga e aponta na direção deP .Esse campo tem uma componente dE

x

=

dE cos ✓ ao longo do eixo x e uma compo-nente dE? perpendicular ao eixo x.

Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois acomponente perpendicular de todos os elementos de carga somados se anula. Isto é, acomponente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é canceladapela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado oposto do anel(diga-se diametralmente oposto).

Como r = (a

2+R

2)

1/2 e cos ✓ = a/r para qualquer elemento de carga, temos que

dE

x

= dE cos ✓ =

✓k

dq

r

2

◆a

r

= k

a

(a

2+R

2)

3/2dq

Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no pontoP porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obtemos

E

x

=

ZdE

x

=

Zk

a

(a

2+R

2)

3/2dq = k

a

(a

2+R

2)

3/2

Zdq

Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no pontoP é então escrito na forma vetorial como

~

E(P ) = k

Qa

(a

2+R

2)

3/2x

Exercício 1.5. Mostre que se o aro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distantedesse aro tem-se

lim

a�R

~

E(P ) = k

Q

a

2x

que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .

Exercício 1.6. Mostre que se o aro é muito grande, ou o ponto P está muito próximo

12 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

dele tem-selim

R�a

~

E(P ) = k

Qa

R

3x

que passa a ser um campo linear com a distância a do ponto P .

Exemplo 1.6. Disco Carregado UniformementeConsideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade su-

perficial de carga �. Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a umadistância a do centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo,conforme a figura.

Pa

r

R

dq

dr

Se considerarmos o disco como um conjuntode aros concêntricos, podemos usar o resul-tado do exemplo anterior (o campo de umaro carregado uniformemente) e somamos ascontribuições de todos aros formando o disco.

O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2⇡r dr. A cargadq desse aro é igual a dq = 2⇡�r dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que ocampo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por

dE

x

= k

a

(a

2+ r

2)

3/2(2⇡�r dr).

Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a éconstante, obtemos

E

x

= ka⇡�

ZR

0

2r dr

(a

2+ r

2)

3/2= ka⇡�

ZR

0

(a

2+ r

2)

�3/2d(r

2),

de modo que

E

x

= ka⇡�

(a

2+ r

2)

�1/2

�1/2

�R

0

= 2⇡k�

✓1� a

(a

2+R

2)

1/2

◆.

Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escritona forma vetorial como

~

E(P ) = 2⇡k�

✓1� a

(a

2+R

2)

1/2

◆x

1.6. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 13

Exercício 1.7. Mostre que se o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distantetem-se

lim

a�R

~

E(P ) = k

Q

a

2x,

que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .

Exercício 1.8. Mostre que se o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximodele tem-se

lim

R�a

~

E(P ) = 2⇡k�x =

�

2✏0x,

que é um campo constante nas proximidades do disco, sendo ✏0 a permissividade elétricado vácuo.

Desta forma, um plano infinito tem módulo do campo elétrico igual a E = �/2✏0 nassuas proximidades.

1.6 Linhas de Campo Elétrico

Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente. Umamaneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas curvas para-lelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.

O vetor campo elétrico ~

E é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A linhatem uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.

O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfície perpendicular aslinhas é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as linhas de campoestão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes onde o campo é fraco.

q –q+ –

As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:

• As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.

• O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.

14 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO

• Duas linhas de campo nunca se cruzam.

Para um dipolo elétrico, as linhas de campo elétrico surgem na carga positiva e evanescemna carga negativa.

+ – + +

1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme

Quando uma carga q e massa m está localizada num campo elétrico ~

E, a força elétricaexercida nessa carga é

~

F = q

~

E = m~a (1.10)

Se o campo elétrico ~

E é uniforme (isso é, constante na intensidade e direção), então aaceleração permanece constante durante todo movimento.

Exemplo 1.7. Elétron num Campo Elétrico UniformeConsideremos duas placas metálicas carregadas com cargas opostas e dispostas parale-

lamente onde um elétron de carga �e é lançado horizontalmente com velocidade ~v0 = v0x

dentro da região de campo elétrico uniforme que se estabelece entre as placas, conformea figura.

( 0 , 0 )

E

–

(x ,y)

–v

x

y– – – – – – – – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

v0x

Sabe-se que o campo elétrico ~

E = Ey é uniforme, de modo que o movimento doelétron é uniformemente acelerado. Sua aceleração sendo portanto

~a = �eE

m

y

1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15

e com isso, sua velocidade e sua posição como função do tempo serão

~v = v0x� eE

m

ty e ~r = ~r0 + v0tx� 1

2

eE

m

t

2y