CAPÍTULO 1 - Maxwell

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CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Existem muitos problemas (com periculosidade ou não) em que o homem almeja

que a máquina controle e execute funções com a máxima exatidão. A Engenharia de

Controle e Automação tem como objetivo principal substituir o homem pela máquina na

resolução destes problemas. Com o surgimento do computador digital, esta área tornou-se

ainda mais importante, pois ficou mais fácil construir controladores, sendo possível até

dotá-los de inteligência artificial.

Qualquer que seja a área (química, mecânica, biológica e outras) em que

determinada “máquina” irá atuar, devemos fazer um estudo prévio do processo e modelá-lo.

Cada processo deve ser modelado matematicamente de forma que o modelo represente suas

principais características e com simplicidade o bastante para que o problema seja solúvel de

acordo com a tecnologia atual [12].

Este processo, o objeto a ser controlado, é denominado planta. Após a

modelagem de uma planta, deve-se projetar um controlador, ou compensador, de forma

que, sem alterar os parâmetros internos da planta, o controlador possa ser ajustado

automaticamente para exercer funções pré-determinadas, buscando sempre uma ótima

precisão.

2

As plantas de interesse, bem como os atuadores (transdutores) e os sensores, são

sistemas a tempo contínuo. Porém, devido à confiabilidade, flexibilidade, custos mais baixos

e precisão, os compensadores digitais estão sendo amplamente utilizados para controlar

plantas a tempo contínuo.

Nesta dissertação, o sistema de controle (caracterizado basicamente pela planta e

controlador) será sempre considerado um sistema linear invariante no tempo (LTI),

monovariável e que deverá satisfazer às condições de estabilidade [15].

Existem várias técnicas para projetar um sistema de controle digital. Neste trabalho

serão analisadas duas destas:

I) Na primeira técnica aplicam-se os métodos de discretização no controlador,

sendo feito da seguinte forma:

Primeiro: Com a planta modelada, projeta-se o controlador (ambos a tempo

contínuo) através de métodos gráficos (no domínio do tempo ou da freqüência) [03,05] ou

métodos algébricos lineares [02,03,11]. Estes métodos atendem às especificações em

regime transitório, buscando resolver o problema da estabilização com imposição dos

pólos. O controlador também deve impor as especificações em regime permanente ou

estacionário. Estas especificações garantem o comportamento assintótico e preciso do

sistema como um todo.

Segundo: Tendo o controlador projetado a tempo contínuo, deve-se discretizá-lo,

isto é, aplicar um dos métodos de discretização. Neste trabalho são considerados cinco

métodos [05]:

1) Método por invariância ao impulso;

3

2) Método por invariância ao degrau;

3) Método por aproximação backward;

4) Método por mapeamento de pólos e zeros;

5) Método por transformação bilinear.

II) Nesta segunda técnica, já não se trata mais de uma aproximação, pois os

métodos de discretização estarão sendo aplicados à planta modelada. Então, obtém-se o

sistema controlado digital da seguinte forma:

Discretiza-se primeiro a planta a tempo contínuo, o que é feito considerando os

métodos de discretização já citados. Depois projeta-se o compensador digital, tanto sob as

especificações em regime transitório como em regime estacionário.

Os pólos do sistema de controle estabilizado que, a tempo contínuo tinham sua

parte real menor que zero, serão lançados pelos métodos de discretização dentro do círculo

unitário (discretização) [03,12,15,17]. Na discretização, a escolha do período de

amostragem “T” é de fundamental importância para encontrar o controlador digital ideal

(que melhor se aproxima do controlador a tempo contínuo) [17].

A robustez do sistema realimentado em relação a perturbações em seus parâmetros

depende da estrutura do controlador [05]. Dessa forma, faz parte do projeto de um

controlador a escolha de um tipo adequado de estrutura de controle, considerando a

robustez. Esta escolha irá depender, em particular, da planta utilizada. Neste trabalho serão

estudados seis tipos de estruturas para os controladores, que são:

1) Controlador com dois graus de liberdade;

2) Controlador com um grau de liberdade;

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3) Controlador de Wolovich;

4) Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID);

5) Controlador Integral Proporcional Derivativo (IPD);

6) Controlador de Landau.

1.1 - Objetivo

O problema a ser tratado nesta dissertação pode ser descrito como o da escolha da

maneira de projetar um controlador digital. O projeto deverá ser de tal forma que o sistema

controlado atenda às especificações já citadas (tanto transitórias como estacionárias) em

relação a sinais de referência e distúrbios. Além disso, o controlador será escolhido dentro

de uma classe de controladores realizáveis e de acordo com a planta típica usada. Todos

esses parâmetros para projetar um controlador digital (incluindo a escolha de um adequado

período de amostragem “T”) são descritos na literatura por vários autores [02,03,08,11,15],

mas sem que haja uma comparação entre eles.

O objetivo principal deste trabalho é comparar os métodos de projeto de

controladores amostrados, citados anteriormente, sobre plantas típicas, considerando o

conjunto de especificações e as diferentes estruturas de controle citadas. A comparação será

feita por simulação digital, buscando representar com precisão os fenômenos ligados às

amostragens. Através da realização do sistema fica mais fácil verificar o comportamento dos

controladores sobre as plantas típicas (dependendo da estrutura, “T”, método de

discretização usado e especificações), possibilitando a comparação.

5

Em [03], Chen mostra como usar a função de transferência para realizar um

sistema através das equações de variáveis de estado [03,04,07]. A realização dos sistemas

de controle em estudo foram feitas através de programas de simulação em linguagem C.

Estes programas são baseados na solução das equações de variáveis de estado utilizando o

método numérico Runge-Kutta de quarta ordem para as aproximações. No emprego dos

métodos de discretização e formulação de gráficos, foi utilizado o MATLAB.

Muitos trabalhos já foram feitos através do estudo de comparações. Alguns

comparando estruturas de controle [10], outros, métodos de discretização [13,14,18].

Nesta dissertação, serão apresentadas seis estruturas de controle, cinco métodos de

discretização aplicados a três plantas típicas, variando o período de amostragem “T” e a

posição dos pólos. Estes são os parâmetros de comparação para o projeto de um sistema de

controle digital; porém, nem todos serão considerados no experimento (simulações).

1.2 - Descrição do Trabalho

O estudo de comparação desenvolvido nesta tese busca analisar o melhor

comportamento de um sistema de controle linear amostrado, através de técnicas de

discretização e figuras de mérito.

Esta dissertação foi dividida em 7 capítulos que abrangem o projeto dos

controladores, as técnicas utilizadas para se discretizar um sistema controlado, as

simulações feitas com plantas típicas, a avaliação do experimento de comparação e as

conclusões.

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No capítulo 2 é feita a análise do projeto das estruturas dos controladores

consideradas nesta tese, de acordo com a imposição de especificações em regime transitório

e estacionário.

O capítulo 3 descreve as técnicas aplicadas ao sistema controlado a tempo

contínuo, para se obter um sistema de controle digital. Também são citados os métodos

utilizados para fazer a discretização de um sinal a tempo contínuo e a importância da

escolha do período de amostragem neste processo.

O experimento de comparação é feito no capítulo 4, sendo citadas a forma como

foram feitas as montagens dos programas de simulação e as figuras de mérito consideradas

de acordo com cada estrutura de controle e técnica de discretização utilizada.

Já o capítulo 5 retrata as tabelas indicando os resultados obtidos com as

simulações. A apresentação das tabelas especifica o quanto cada experimento projetado a

tempo discreto se aproximou do que foi feito a tempo contínuo. Isto de acordo com cada

estrutura de controle, técnica de discretização e figuras de mérito, considerada no capítulo

anterior.

No capítulo 6 são apresentadas as conclusões dos resultados obtidos, em relação

aos métodos utilizados na discretização dos sistemas controlados e sugestões para outros

trabalhos de pesquisa.

O apêndice A apresenta os gráficos das simulações e o apêndice B os programas

desenvolvidos em linguagem C.

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CAPÍTULO 2

O PROJETO DOS CONTROLADORES

Como foi citado antes, após a escolha e modelagem de uma planta, o próximo

passo é projetar um compensador ou controlador de tal modo que a saída do sistema total

seja capaz de atender às especificações desejadas em regimes estacionário e transitório. Este

capítulo trata do projeto de seis tipos diferentes de controladores.

Com esta finalidade, as estruturas de controle consideradas nesta dissertação são:

2.1) Controlador com dois graus de liberdade;

2.2) Controlador com um grau de liberdade;

2.3) Controlador de Wolovich;

sendo analisados em especial os seguintes casos particulares:

2.4) Controlador PID;

2.5) Controlador IPD;

2.6) Controlador de Landau.

Estas estruturas de controle são apresentadas a seguir, com seus algoritmos de

projeto correspondentes via técnicas polinomiais, considerando todas as especificações

estacionárias do tipo de servomecanismo e especificações transitórias via escolha dos pólos.

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2.1 - Controlador com dois graus de liberdade:

Este controlador é o controlador linear que possui a estrutura mais geral [02]; a

figura 2.1 descreve o seu diagrama de blocos.

Figura 2.1 - Diagrama de blocos do Controlador com dois graus de liberdade.

A função de transferência C1(s) caracteriza um compensador no caminho direto de

referência1 (feedforward), C2(s) um compensador realimentando a saída (feedback) e P(s) a

planta a ser controlada [03]. Tem-se ainda que: P(s) = n(s)/d(s), C1(s) = n1c(s)/d1c(s),

C2(s) = n2c(s)/d2c(s); r(s) é o sinal de referência, u(s) é o sinal de controle e y(s) é o sinal

que representa a saída do sistema controlado.

Uma maneira de simplificar a estrutura do controlador é considerar os

denominadores de C1(s) e C2(s) como apenas um fator comum às duas funções, isto é,

d1c(s) = d2c(s) = dc(s). Demonstra-se que é possível realizar a fatoração mantendo dc(s) e

n2(s) coprimos2 [02]. Por simplicidade, para todos os projetos daqui por diante, será

abolida a indicação da dependência da variável “s” ou “z” nas funções de transferência e nas

transformações dos sinais. Portanto, de acordo com a figura 2.2, o controlador com dois

graus de liberdade terá a seguinte configuração [06]:

C1(s)

C2(s)

+− P(s)r(s) u(s) y(s)

1. As letras maiúsculas indicam as funções e as minúsculas indicam polinômios ou sinais.2. Dois polinômios são COPRIMOS (ou primos entre si) se não tiverem divisores comuns [02,06].

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Figura 2.2 - Diagrama de blocos do Controlador com dois graus de liberdade, caracterizado por polinômios.

Determinam-se as variáveis do controlador impondo as especificações desejadas e

utilizando a parametrização de todos os controladores estabilizantes através do método

algébrico [02]. Esta parametrização exigirá a resolução de equações diofantinas de acordo

com as funções de transferência, que deverão ser funções racionais próprias e estáveis. Para

isto, será citado o problema do servomecanismo, o qual se baseia no cumprimento de três

tipos de especificações em regime estacionário.

1 - Rastreamento assintótico do sinal de referência pela saída controlada:

Do sistema linear representado na figura 2.2, calcula-se: y = Hry · r, onde:

Hry = n.n1 / (d.dc+n.n2) (2.1).

Sendo Hry a função de transferência em malha fechada do sinal de referência à

saída do sistema, o problema consiste em verificar se: lim e(t) = lim[r(t)-y(t)] = 0 para

t→∞, onde o sinal e = r - y é denominado erro de rastreamento.

Determina-se a função de transferência Hre em malha fechada do sinal de erro para

o sinal de referência fazendo:

e = r - (Hry· r) = Hre· r (2.2).

n1

n2

+−

n/d 1/dcr e u y

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Condição I: Haverá o rastreamento assintótico do sinal de referência se os zeros

da função de transferência Hre forem cancelados com os pólos da função que representa o

sinal de referência3 (Ψr).

No caso deste controlador, vê-se que os zeros dependem de “n1” e “n2”, pois:

Hre = (d.dc + n.n2 - n.n1) / (d.dc + nn2) (2.3).

Para estabilizar o sistema, calculam-se “dc” e “n2”, o que pode ser feito com a

resolução de equações diofantinas, conforme a metodologia exposta em [04,07,12]. Além

disto, deve-se impor as especificações em regime transitório que determinam o

comportamento transitório desejado, isto é, o tempo de assentamento (ts), ultrapassagem

(Mp) e oscilação do sistema controlado. Este comportamento depende das posições dos

pólos, as quais serão determinadas por um método comumente denominado imposição dos

pólos ou técnica de atribuição dos pólos [20].

Designado de “∆” o polinômio cujas raízes são os pólos a serem impostos, deve-se

igualá-lo ao denominador de Hre, isto é, d.dc+n.n2, visando resolver o problema da

estabilização para o sistema em malha fechada:

d.dc + n.n2 = ∆ (2.4).

A equação (2.4) descreve uma equação diofantina que terá solução para qualquer

“∆”, se e somente se, os polinômios conhecidos “n” e “d” forem polinômios coprimos.

Para a resolução de qualquer equação diofantina, deve-se igualar os coeficientes

dos polinômios grau a grau, obtendo um conjunto de equações lineares. Referindo à

equação (2.4), além de “n” e “d”, tem-se os coeficientes de “dc” e “n2” como incógnitas e os

de “∆” como arbitrários (desde que suas raízes estejam na região de estabilidade). Como

3. O termo “Ψi “ sempre indica os pólos de uma função referente a um sinal que será rastreado ou rejeitado. O índice“i” especifica o tipo de sinal (de referência - r, distúrbio - η ou ruído - w).

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quer-se impor ∆ arbitrariamente, precisa-se de um número de incógnitas igual ou superior

ao de equações:

# incógnitas4 = ∂dc + ∂n2 + 2 ≥ # equações = ∂d + ∂dc + 1 ⇒ ∂n2 ≥ ∂d - 1.

Escolhe-se o menor grau: ∂n2 = ∂d-1. Para determinar o ∂dc, deve-se considerar

que ∂dc ≥ ∂n2, conseqüência da exigência de um controlador próprio.

Fazendo ∂dc = ∂n2 = ∂d-1, o ∂∆ é dado por: ∂∆ = ∂d+∂dc = 2∂d-1. Com estas

escolhas, o número de equações iguala-se ao número de incógnitas, possibilitando montar

uma matriz quadrada (denominada Matriz de Sylvester) do sistema linear.

As equações serão montadas na seguinte forma matricial: S * C = D, sendo S a

matriz de Sylvester, C um vetor coluna formado por coeficientes dos polinômios dc(s) e

n2(s) e D um vetor coluna com os coeficientes do polinômio ∆(s) (ver a condição II). Um

Teorema conhecido (Sylvester) diz que a matriz S é inversível, se e somente se, os

polinômios n(s) e d(s) são coprimos [02].

Condição II: Definir o grau dos polinômios, como foi mencionado, para a

resolução na forma matricial; então: ∂∆=2∂d-1, ∂dc=∂n2=∂d-1, ∂d1=∂n1-∂dc (se ∂n1>∂dc).

Para explicitar a resolução numérica da equação (2.4), representam-se os

polinômios e demonstra-se como ficará a forma matricial:

d(s) = ansn + an-1s

n-1 ... + a1s + a0 e n(s) = bnsn + bn-1s

n-1 ... + b1s + b0 são os

polinômios que possuem “a” e “b” como seus coeficientes conhecidos;

dc(s) = xmsm + xm-1sm-1... + x1s + x0 e n2(s) = ymsm + ym-1s

m-1... + y1s + y0 são os

polinômios a serem calculados cujos coeficientes são incógnitas;

4. A letra “∂“ refere-se ao grau de um polinômio.

12

e ∆(s) = cpsp + cp-1s

p-1 ... + c1s + c0 é um polinômio arbitrário (já citado). Os

índices dos coeficientes são: n = ∂d; m = ∂d - 1; p = 2∂d - 1. Como S * C = D, tem-se:

an 0 0 .... 0 0 bn 0 0 .... 0 0 an-1 an 0 .... 0 0 bn-1 bn 0 .... 0 0 an-2 an-1 an .... 0 0 bn-2 bn-1 bn .... 0 0 ...........................................................................................S = a2 a3 a4 .... an 0 b2 b3 b4 .... bn 0 ; a1 a2 a3 .... an-1 an b1 b2 b3 .... bn-1 bn

a0 a1 a2 .... an-2 an-1 b0 b1 b2 .... bn-2 bn-1

0 0 a0 .................... 0 0 b0 ................ ............................................................................................ 0 0 0 .... a0 a1 0 0 0 .... b0 b1

0 0 0 .... 0 a0 0 0 0 .... 0 b0

C = [ xm xm-1 xm-2 .... x1 x0 ym ym-1 ym-2 ..... y1 y0]’ (vetor coluna);

D = [ cp cm-1 cm-2 .... ........ ..... c1 c0]’ (vetor coluna).

Observação: Caso a planta seja estritamente própria (bn=0), a primeira equação do

sistema acima garante que o controlador seja realmente próprio, pois xm≠0. Donde a

equação terá solução para qualquer polinômio ∆(s) com o grau dado: este polinômio pode

ser escolhido arbitrariamente. Caso a planta seja biprópria (bn≠0), pode ocorrer, para um

∆(s) específico, por exemplo, que a solução do sistema forneça xm=0 e ym≠0, levando a um

controlador impróprio. A escolha de ∆(s) não é mais arbitrária, devendo se restringir aos

polinômios que permitam um controlador próprio. Por exemplo, limitando-se aos

polinômios tais que o vetor de coeficientes D não pertença ao subespaço linear gerado pelas

últimas 2∂d-1 colunas da matriz S. Este subespaço é um hiperplano passando pela origem,

um conjunto magro no R2∂d: escolhas arbitrárias de ∆(s) com o grau devido dificilmente

cairão dentro deste conjunto. Diz-se que a escolha de ∆(s) terá de ser genérica [02].

13

Resolvendo a equação (2.4), encontram-se os polinômios “n2” e “dc”; mas, para

completar o projeto do controlador, deve-se ainda determinar o polinômio “n1”. Este

poderá ser encontrado a partir da função de transferência entrada-saída do sistema para o

sinal de referência Hry (2.1) e da condição I.

Substituindo a equação (2.4) em (2.3) e multiplicando o termo que se refere à

função do sinal de referência “� /Ψr”, conforme a condição I, tem-se:

Hre.( � /Ψr) = (∆-n.n1 / ∆).( � /Ψr) (2.5).

Pode-se encontrar o polinômio “n1” fazendo “∆-n.n1” múltiplo de “Ψr”:

∆-n.n1 = w. Ψr (2.6a).

Rearrumando a equação, tem-se:

n.n1 + w. Ψr = ∆ (2.6b).

onde “w” é um polinômio qualquer, expressando o fato de “∆-n.n1” precisar ser múltiplo de

“Ψr” para que a condição I seja obedecida.

Na resolução da equação diofantina (2.6b), deve-se buscar o menor ∂n1

(∂n1 ≤ ∂dc), mas se ∂n1 > ∂dc, escolhe-se um polinômio “d1” totalmente estável, tal que ∂n1

= ∂dc + ∂d1, tornando C1 = n1 / d1.dc. Da teoria das equações diofantinas [02], a equação

(2.6b) terá solução, se e somente se, “n” e “Ψr” forem polinômios coprimos.

Condição III: “d1” é um polinômio estável, com ∂n1 = ∂dc + ∂d1, e “n” e “Ψr” são

polinômios coprimos.

Assim, o projeto poderá ser realizado, calculando-se “n1”, “n2”, “dc” e “d1”

obedecendo à condição I, com a escolha arbitrária dos pólos (raízes de ∆) desde que as

condições II e III sejam obedecidas e que a planta seja estritamente própria.

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2 - Rejeição assintótica de distúrbio (η) na saída:

Utilizando o mesmo sistema linear (figura 2.2), verifica-se, neste tipo de

especificação, se o efeito estacionário do distúrbio é nulo. A figura 2.3 mostra o diagrama

indicando um distúrbio ”η” na saída do sistema; faz-se o projeto do controlador para

rejeitar assintoticamente “η”, supondo-o como um sinal não mensurável e constante por

partes.

Figura 2.3 - Diagrama de blocos do Controlador com dois graus de liberdade, com distúrbio na saída do sistema.

A função de transferência de interesse é :

y = Hηy · η (2.7).

Tendo Hηy (função de transferência em malha fechada do sinal do distúrbio para a

saída do sistema) como:

Hηy = d.dc / (d.dc+n.n2), (2.8)

pode-se determinar os novos parâmetros do controlador que fará a rejeição do distúrbio “η”

rastreando assintoticamente o sinal de referência.

Condição IV: Haverá a rejeição assintótica do distúrbio (limt→∞ y(t) = 0) se em

(2.7), os zeros da função de transferência Hηy forem cancelados com os pólos do sinal do

distúrbio (Ψη).

O denominador do controlador deverá ser:

n1

n2

1/dc+− n/d ++r e u

ηy

15

dc = Ψη · dc (2.9)

para que a condição IV seja satisfeita, onde “dc” é um polinômio qualquer; assim, o

numerador de Hry cancelará o denominador do distúrbio, “Ψη”, na equação (2.7).

Para estabilizar o sistema impor-se-ão as especificações em regime transitório

através do método de imposição dos pólos. Isto é feito substituindo (2.9) no denominador

de Hηy (2.8), onde encontra-se um termo que, igualado a um polinômio cujas raízes são

impostas, leva a:

d.(Ψη.dc) + n.n2 = ∆ (2.10).

Esta equação diofantina terá solução para qualquer “∆”, se e somente se, “n” e

“d.Ψη” forem polinômios conhecidos e coprimos, isto é, se for válida a condição a seguir:

Condição V: “n” e “d.Ψη” são coprimos. Neste caso, a condição II deve ser

substituída por [02]: ∂dc = ∂d-1, ∂n2=∂d+∂Ψη-1 e ∂∆=2∂d+∂Ψη-1.

3 - Rejeição assintótica de ruídos (w) no sensor:

Nesta especificação utilizam-se os mesmos passos para a rejeição de distúrbios,

isto é, encontrar a função de transferência em malha fechada do ruído no sensor “w” à saída

do sistema Hwy e montar a equação diofantina. O diagrama de blocos na figura 4 indica a

localização de ruídos no sensor.

n1

n2

1/dc+− n/dr

-+ w

yu

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Figura 2.4 - Diagrama de blocos do Controlador com dois graus de liberdade com ruído no sensor.

Condição VI: Haverá a rejeição assintótica do ruído no sensor (limt→∞ y(t) = 0) se

em (2.11), os zeros da função de transferência Hwy forem cancelados com os pólos do sinal

do ruído (Ψw).

Determinando a função de transferência Hwy:

Hwy = n.n2 / (d.dc+n.n2), (2.11)

a condição VI será satisfeita se : n2 = Ψw . n2, (2.12)

onde n2 é um polinômio qualquer.

Substituindo (2.12) no denominador de (2.11) a fim de estabilizar o sistema,

considerando a condição VI e igualando a um polinômio cujas raízes são pólos a serem

impostos, a equação diofantina neste caso será:

d.dc + n.(Ψw n2) = ∆ (2.13).

Se quiser rejeitar distúrbios “η” e ruídos no sensor “w” ao mesmo tempo, pode-se

o fazer montando uma única equação diofantina, mas deve-se observar que ambos não

podem ter a mesma freqüência [19], pois:

d.(Ψη.dc) + n.(Ψw.n2) = ∆ (2.14).

Com a equação (2.14) vê-se que se “Ψη” e “Ψw” têm raízes em comum na região

de instabilidade (“η” e “w” sinais “estáveis”, não interessam pois não afetam o regime

17

estacionário), “∆” terá de possuir as mesmas raízes, sendo necessariamente instável,

tornando o problema, neste caso, sem solução.

Para a citação posterior, formalizam-se as condições suficientes de existência de

controlador rejeitando assintoticamente ruídos:

Condição VII: “d” e “n.Ψw” são coprimos conforme (2.13).

Condição VIII: “n.Ψw” e “d.Ψη” são coprimos conforme (2.14).

Nesta tese, nas simulações, não serão considerados sistemas controlados contendo

distúrbios na saída do sistema ou ruídos no sensor.

2.2 - Controlador com um grau de liberdade:

Como visto, o controlador com dois graus de liberdade é composto por C1 e C2

(figura 2.1). Para encontrar a estrutura do controlador com um grau de liberdade, faz-se

C = C1 = C2. A figura 2.5 mostra o diagrama de blocos deste controlador, onde C será uma

função de transferência de ordem n, isto é, seus polinômios não terão grau limitado,

dependendo apenas da ordem da planta.

Figura 2.5 - Diagrama de blocos do Controlador com um grau de liberdade.

O projeto deste controlador seguirá praticamente os mesmos passos que os do

controlador anterior; dessa forma, deve-se impor as especificações em regime permanente e

em regime transitório. Em regime permanente, tem-se:

+− P=n/dC=nc/dc

r yue

18


O sistema linear visto na figura 2.5, é definido por:

y = [n.nc / (d.dc+n.nc)] · r (2.15).

Como já foi citado, o problema do rastreamento consiste em verificar se:

lim e(t) = lim[r(t)-y(t)] = 0 para t→∞, para isto deve-se encontrar a função de transferência

Hre em malha fechada do sinal de erro para o sinal de referência que deverá satisfazer a

condição I.

Sendo: Hre = d.dc / (d.dc + nnc), (2.16)

se as raízes do denominador da planta “d” não satisfizerem a condição I, para garantir o

rastreamento assintótico, o denominador do controlador “dc” deverá ser:

dc = Ψr · dc (2.17).

Para a estabilização do sistema, deve-se determinar as especificações em regime

transitório [04,07,12]. Utilizando o método de imposição dos pólos [20], as especificações

como oscilação, ultrapassagem e tempo de assentamento dependerão da localização dos

pólos de malha fechada.

Designando “∆” como um polinômio cujas raízes são os pólos a serem impostos,

pode-se igualá-lo ao denominador de Hre, isto é, (d.dc+n.nc), visando resolver o problema da

estabilização para o sistema em malha fechada:

d.(Ψr.dc) + n.nc = ∆ (2.18).

A equação acima (2.18) descreve uma equação diofantina que terá solução, se e

somente se, “n” e “d.Ψr” forem polinômios conhecidos e coprimos [02] (conforme condição

V) - ver equação (2.10).

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2 - Rejeição assintótica de distúrbios na saída e ruídos no sensor:

Neste caso vamos projetar um controlador que, além de rastrear assintoticamente o

sinal de referência, seja capaz também de rejeitar assintoticamente um distúrbio na saída do

sistema e um ruído no sensor (figura 2.6). Pode-se reunir estas duas especificações em uma

única equação diofantina, desde que os sinais não tenham a mesma freqüência (os mesmos

pólos) [19].

Figura 2.6 - Diagrama de blocos do Controlador com um grau de liberdade, com distúrbio e ruído no sistema.

Pode-se assegurar que o controlador irá rejeitar sinais de distúrbios na saída do

sistema e ruídos no sensor, obedecidas as condições de IV a VIII, fazendo:

dc = Ψη· dc e nc = Ψw· nc (2.19)

onde “Ψη” e “Ψw” são os pólos dos sinais a serem rejeitados e “dc” e “nc” são polinômios

quaisquer. Com a imposição dos pólos, pode-se projetar o controlador, garantindo a

estabilização, fazendo “∆” ser um polinômio com raízes dentro da região de estabilidade.

A equação diofantina será:

d.(Ψη.dc) + n.(Ψw.nc) = ∆ (2.20).

Com a resolução da equação (2.20), encontram-se os parâmetros do controlador

com um grau de liberdade, desde que “d.Ψη” e “n.Ψw” sejam polinômios conhecidos e

+−C=nc/dc P=n/d +

+

+ +

η

w

yuer

20

coprimos (conforme a condição VIII) - ver a equação (2.14), e a condição II deve ser

substituída aqui por: ∂dc = ∂d+∂Ψw-1, ∂nc=∂d+∂Ψη-1 e ∂∆=2∂d+∂Ψw+∂Ψη-1.

Observação: Caso se queira rejeitar assintoticamente distúrbios do tipo “ � /Ψw” e

rastrear assintoticamente sinais do tipo “ � /Ψr”, as equações (2.17) e (2.19) podem ser

reunidas fazendo-se dc = Ψ· dc e nc = Ψw· nc, sendo Ψ = MMC{Ψr,Ψη}.

2.3 - Controlador de Wolovich:

O controlador geral de Wolovich [08], além do bloco que possui a função de

transferência referente ao controlador (C), usa uma malha interna ligada à realimentação do

sistema (parte pontilhada na figura 2.7).

Figura 2.7 - Diagrama de blocos do Controlador de Wolovich.

No projeto deste controlador, determinam-se primeiro os parâmetros em relação à

malha interna, definindo Huv (função de transferência do sinal “v” para o sinal de controle

“u”), como:

u =[Ψ.d / (Ψ.d + d.m + k.n)] · v (2.21).

C=nc/dc P=n/d+−

k

m

1/Ψ

+−

++

r e v u y

21

Para forçar o cancelamento de “Ψ” (denominador da malha interna) será obedecida

a seguinte igualdade:

Ψ.d + d.m + k.n = Ψ.δ (2.22).

Substituindo (2.22) em (2.21), Huv se reduz a “d/δ”; o que impõe ∂δ = ∂d, pois Huv

deve ser uma função própria e estável. Com esta substituição, a função de transferência Huv

reduzida (parte pontilhada na figura 2.7) será cancelada com a função que representa a

planta, resultando no sistema indicado na figura 2.8.

Figura 2.8 - Diagrama de blocos do Controlador de Wolovich, com malha interna e planta reduzidas a um único bloco.

Para determinar-se os parâmetros referentes ao controlador de Wolovich, devem-

se estabelecer as especificações em regime estacionário e transitório.

Rastreamento assintótico do sinal de referência na saída:

Como já foi citado nos outros controladores, o problema do rastreamento

assintótico consiste em verificar se: lim e(t) = lim[r(t)-y(t)] = 0 para t→∞; para isto, devem-

se encontrar a função de transferência Hre.

Esta especificação em regime permanente será estabelecida se, conforme figura

2.8, a função de transferência do sinal de erro para o sinal de referência for:

Hre = dc.δ / (dc.δ + nnc), (2.23)

e satisfizer a condição I. Para garantir isto, faz-se o denominador do controlador ser:

dc = Ψr (2.24).

+− nc/dc n/δ

r e u y

22

As especificações em regime transitório (oscilação, ultrapassagem e tempo de

assentamento) serão definidas aplicando o método de imposição dos pólos, fixando “∆”

como o polinômio cujas as raízes serão impostas. Substituindo (2.24) no denominador de

(2.23), resolve-se o problema da estabilização [02], igualando “∆” a este “novo”

denominador, formando a seguinte equação diofantina:

Ψr.δ + n.nc = ∆ (2.25).

A equação (2.25) terá solução, se e somente se, “Ψr” e “n” forem polinômios

conhecidos e coprimos (conforme condição II) - como ocorre na equação (2.4).

Analisando-se os graus dos polinômios, como foi feito na seção 2.1, chega-se a

∂δ = ∂d, ∂nc = ∂Ψr - 1 e ∂∆ = ∂d+∂Ψr.

Voltando à figura 2.7, deve-se encontrar as incógnitas para a malha interna.

Resolvendo a equação (2.25), encontra-se o polinômio “δ” e o substitui na equação (2.22),

levando à nova equação:

d.m + n.k = Ψ(δ-d) (2.26).

A equação (2.26) é uma equação diofantina, onde “Ψ” é um polinômio com raízes

a serem impostas (dentro da região de estabilidade), “m” e “k” são polinômios cujos

coeficientes são incógnitas e “d” e “n” devem ser polinômios conhecidos e coprimos para

que a equação (2.26) seja solúvel, o que ocorre por definição. Este regulador tem como

vantagens, como pode ser visto em seu projeto, menor ordem aparente em seus parâmetros

e menos zeros, ocasionando menos oscilações na saída do sistema e diminuindo a tendência

a ultrapassagens no regime transitório (casos serão mostrados no capítulo 04).

23

Nesta dissertação, não serão consideradas as perturbações no sistema controlado

pelo controlador de Wolovich [08].

2.4 - Controlador PID:

O diagrama de blocos deste controlador é idêntico ao do controlador com um grau

de liberdade, porém a aplicação deste controlador fica restrita a sistemas de segunda ordem

próprios. Caso a planta seja de ordem maior que dois, esta deverá ser reduzida à segunda

ordem por algum método, para que o PID possa ser calculado com imposição dos pólos ou

com o método do Lugar das Raízes [03,04,20]. No domínio da freqüência, de acordo com a

Transformada de Laplace, tem-se o seguinte sistema linear:

Figura 2.9 - Diagrama de blocos do Controlador PID com um distúrbio na saída.

Na figura 2.9 tem-se o diagrama de blocos de um sistema controlado pelo

controlador PID, onde r(s) é o sinal de referência e η(s) o sinal do distúrbio, ambos

supostos, na situação típica de aplicação deste controlador, como sinais do tipo degrau. Vê-

se que o controlador PID proposto é realizável concretamente, pois é caracterizado pelos

parâmetros “a” - ganho derivativo, “b” - ganho proporcional, “c” - ganho integral e o pólo

“p”, o qual impede que a função de transferência “C(s)” seja imprópria. Passa-se às

+−

r(s) e(s) u(s) y(s) a.s2+b.s+c s(s+p)

C(s)= x2.s

2+x1.s+x0

y2.s2+y1.s+y0

P(s)= ++

η(s)

24

especificações para o projeto tanto em regime permanente como em regime transitório. Em

regime permanente, tem-se:


Para o controlador rastrear assintoticamente o sinal de referência, deve-se

considerar, como já foi citado para outros controladores, que o lim e(t) = lim[r(t)-y(t)] = 0

para t→∞; isto quer dizer que no domínio da freqüência, deve-se encontrar a função de

transferência Hre em malha fechada do sinal de erro para o sinal de referência que deverá

satisfazer a condição I.

Tem-se Hry(s) como a função de transferência do sinal de referência para a saída do

sistema, a qual é dada por:

(a.s2+b.s+c).(x2s2+x1s+x0)

(y2.s2+y1.s+y0).s(s+p) + (x2s

2+x1.s+x0)( a.s2+b.s+c)

Como e(s) = r(s) - y(s) e sendo r(s) um sinal do tipo degrau, Hre(s) será:

(y2.s2+y1.s+y0).s(s+p)

(y2.s2+y1.s+y0).s(s+p) + (x2s

2+x1.s+x0)( a.s2+b.s+c)

Na função de transferência do controlador PID, o integrador resultará, conforme a

equação 2.28, no zero “s” que será sempre capaz de ser cancelado com sinais do tipo

degrau sendo possível satisfazer a condição I sem maiores preocupações. A raiz “-p” foi

implementada para que o sistema controlado tenha sempre funções próprias, tornando o

sistema realizável através de equações de variáveis de estado (ver a seção 4.3).

O controlador ideal tem a seguinte função de transferência:

C(s) = (Kds2+Kps+Ki) / s, (2.29)

e(s) = · r(s) (2.28).

y(s) = · r(s) (2.27).

25

onde a escolha das constantes Kd (de derivação), Kp (de proporcionalidade) e Ki (de

integração) determinarão o sistema dinâmico. Vários livros citam métodos para obtenção

destas variáveis [03,04,11,20,21], mas neste trabalho aplica-se o método de imposição de

pólos, utilizando o PID acrescido do pólo em “-p”.

Na estabilização do sistema deve-se determinar as especificações em regime

transitório (ultrapassagem, oscilação e tempo de assentamento) e para isto utiliza-se o

método de imposição dos pólos. Isto permitirá determinar os parâmetros do controlador,

pois iguala-se o denominador de (2.28) a um polinômio “∆” cujas raízes serão impostas,

formando a seguinte equação:

(y2.s2+y1.s+y0).s.(s+p) + (x2s

2+x1.s+x0).( a.s2+b.s+c) = ∆ (2.30).

Para resolver esta equação (2.30), deve-se considerar o seguinte:

Observação: Introduzindo um parâmetro a mais na equação (2.30) - no lugar de

“(s2+ps)” coloca-se “(gs2+hs)”, sendo “p = h/g”, tem-se, em termos das equações lineares

associadas (ver a condição II), cinco equações com cinco incógnitas. Por uma variante do

Teorema de Sylvester, a matriz é inversível, se e somente se, os polinômios n(s) e d(s)

forem coprimos. Se a planta for estritamente própria (x2 = 0), o sistema leva a “g≠0”, isto é,

a um controlador próprio. Se a planta for biprópria, cabe a mesma observação feita na seção

2.1, em seqüência à condição II. A função de transferência do controlador obtida desta

forma é: C(s) = [(a/g)s2+(b/g)s+(c/g)]/[s(s+h/g)], desaparecendo assim o parâmetro auxiliar

“g”.

26

2 - Rejeição assintótica de distúrbios na saída:

Para o controlador citado na figura 2.9, a rejeição do sinal de distúrbio “η(s)” do

tipo degrau, será feita conforme a condição IV, sendo Hηy (ver equação 2.7) dada por:

(y2.s2+y1.s+y0).s.(s+p)

(y2.s2+y1.s+y0).s.(s+p) + (x2s

2+x1.s+x0)( a.s2+b.s+c)

Observa-se que o zero em “s” garante a rejeição assintótica do distúrbio,

conseqüência do pólo do controlador na origem e, com isto, pode-se estabelecer as

especificações em regime transitório através do método de imposição dos pólos sem

maiores preocupações. Conforme este método, vai-se igualar o denominador de (2.31) a um

polinômio cujas raízes serão impostas (∆), obtendo-se uma equação idêntica a (2.30), a ser

resolvida como foi citado anteriormente.

2.5 - Controlador IPD:

A figura 2.10 mostra um diagrama de bloco de um sistema controlado em que o

sinal de erro é integrado e os controles proporcional e derivativo atuam sobre o sinal

realimentado [03,20]. Assim, considera-se na configuração deste controlador: γ como o

ganho integral, α como ganho derivativo, β como o proporcional e o polo “-p” no ramo

interno de realimentação. Este pólo torna a função de transferência do controlador própria,

designando o controlador como IPD real, sendo o sistema realizável por equações de

variáveis de estado. Este controlador atuará em sistemas com funções próprias

P(s)=x(s)/y(s) e de segunda ordem.

y(s) = · η(s) (2.31).

27

Figura 2.10 - Diagrama de blocos do Controlador IPD

Para o projeto deste controlador, devem ser determinadas as especificações em

regime permanente e transitório. Considera-se primeiro a seguinte especificação em regime

estacionário: rastreamento assintótico de sinais do tipo degrau.

Para o controlador atender a esta especificação, é preciso que a função de

transferência em malha fechada do sinal de erro para o sinal de referência Hre(s) satisfaça a

condição I. Isto fará com que o limt→∞e(t) = 0.

Primeiro determina-se Hry(s):

(x2s2+x1s+x0).γ.(s+p)

s[(y2.s2+y1.s+y0).(s+p) + (x2s

2+x1s+x0).(αs+β)] + (x2s2+x1s+x0).γ.(s+p)

Sendo e(s) = r(s) - y(s), pode-se encontrar Hre(s) fazendo “1-Hry(s)”:

s[(y2.s2+y1.s+y0).(s+p) + (x2s

2+x1s+x0).(αs+β)]

s[(y2.s2+y1.s+y0).(s+p) + (x2s

2+x1s+x0).(αs+β)] + (x2s2+x1s+x0).γ.(s+p)

Como r(s) é um sinal do tipo degrau, o controlador IPD irá rastrear

assintoticamente este sinal conforme a condição I. Análise semelhante pode ser feita para o

efeito de distúrbios constantes, mostrando que o controlador IPD, assim como o PID,

rejeita-os assintoticamente devido ao pólo na origem.

y(s) = · r(s) (2.32).

e(s) = · r(s) (2.33).

+−

+−

r e u y γs

αs+βs+p

x(s)

y(s)P(s)=

28

As especificações em regime transitório (ultrapassagem, oscilação e tempo de

assentamento) serão estabelecidas com a aplicação do método de imposição dos pólos. Para

isto, iguala-se o polinômio “∆”, cujas raízes serão impostas, ao denominador da equação

(2.33), formando a seguinte equação:

s[(y2.s2+y1.s+y0).(s+p) + (x2s

2+x1s+x0).(αs+β)] + (x2s2+x1s+x0).γ.(s+p) = ∆ (2.34a).

Para resolver a equação (2.34a) é necessário criar coeficientes extras, como na

equação (2.30): trocar (s+p) por (gs+h), com p = h/g, e chamar γp = χ, escondendo a não-

linearidade de (2.34a), mas criando seis incógnitas para cinco equações. Definindo uma

nova variável µ = β+γ, pode-se rescrever a equação na forma:

s[(y2.s2+y1.s+y0).(gs+h)] + (x2s

2+x1s+x0).(αs2+µs+χ) = ∆, (2.34b)

que possui solução única pelo sistema de Sylvester associado. Calculada a solução, pode-se

recuperar as variáveis originais por: p = h/g, γ = gχ/h, β = µ - gχ/h, fornecendo os dois

blocos do controlador IPD: γ/s = (gχ/h)/s e o segundo bloco sendo [(α/g)s+(β/g)]/(s+p),

desde que h≠0 e g≠0. Esta última condição ocorre para uma escolha genérica do polinômio

∆, no mesmo sentido já exposto acima.

Comparando a equação (2.27) com a (2.32) verifica-se que o controlador IPD cria

menos zeros no sistema controlado que o controlador PID, diminuindo, assim a tendência à

ultrapassagem no regime transitório.

Encontra-se na literatura o estudo do controlador IPD ideal, onde não há o termo

(s+p), havendo uma realimentação derivativa. Neste caso a planta deve ser estritamente

própria (x2 = 0) para que não apareçam impulsos na saída. O IPD ideal, embora não

realizável na prática, é usado como aproximação do IPD real para p>>>0.

29

2.6 - Controlador de Landau:

A configuração do controlador de Landau, vista na figura 2.11, é idêntica à da

figura 2.1, tornando este controlador um caso particular do controlador com dois graus de

liberdade [09]. Mas a aplicação deste controlador está restrita a sistemas de segunda ordem

próprios.

Figura 2.11 - Diagrama de blocos do Controlador de Landau

Do mesmo modo que o controlador mencionado na seção anterior, o projeto do

controlador de Landau foi feito para atender as mesmas especificações estacionárias e

transitórias exigidas pelo controlador PID.

Rastreamento assintótico do sinal de referência pela saída controlada:

Conforme a condição I, para o controlador atender a esta especificação, primeiro

determina-se a função de transferência em malha fechada do sinal de erro para o sinal de

referência Hre(s). Isto fará com que o limt→∞e(t) = 0.

Tem-se que Hry(s) é dado por:

(x2s2+x1s+x0).γ

s.(s+p).(y2.s2+y1.s+y0) + (x2s

2+x1s+x0).(αs2+βs+γ)y(s) = · r(s) (2.35).

α.s2+β.s+γ

1+−

r u y γ s(s+p)

x(s)

y(s)P(s)=

30

Sendo e(s) = r(s) - y(s), pode-se encontrar Hre(s) fazendo “1-Hry(s)”:

s[(s+p).(y2.s2+y1.s+y0) + (x2s

2+x1s+x0).(αs+β)]

s.(s+p).(y2.s2+y1.s+y0) + (x2s

2+x1s+x0).(αs2+βs+γ)

Como r(s) é um sinal do tipo degrau, o controlador de Landau irá rastrear

assintoticamente este sinal devido ao seu polo na origem, conforme a condição I. Da mesma

forma e pela mesma razão rejeitará assintoticamente distúrbios constantes.

Estabelece-se as especificações em regime transitório com a aplicação do método

de imposição dos pólos. Para isto, iguala-se o polinômio “∆”, cujas raízes serão impostas ao

denominador da equação (2.36), formando a seguinte equação:

s.(s+p).(y2.s2+y1.s+y0) + (x2s

2+x1s+x0).(αs2+βs+γ) = ∆ (2.37).

A equação (2.37) é resolvida exatamente da mesma forma que a equação (2.30).

Comparando a equação (2.27), (2.32) e (2.37) verifica-se que o controlador de Landau gera

menos zeros que o controlador PID e IPD, diminuindo a tendência à ultrapassagem no

regime transitório. Esta é a principal vantagem deste controlador, o número mínimo de

zeros em Hry(s); observando ainda que, para haver rastreamento assintótico a sinais de

referência do tipo degrau (ver figura 2.2), a existência do polo na origem leva a

n1(0)=n2(0)=“γ”; por isso tem-se o mesmo coeficiente “γ” aparecendo nos dois ramos do

sistema (figura 2.11). No capítulo 04 ver-se-á como foram aplicados os algoritmos citados

anteriormente para cada tipo de controlador e os programas desenvolvidos para executarem

a realização de cada sistema a tempo contínuo, dependendo da estrutura de controle e das

especificações impostas, estão no apêndice B.

2.7 - Projeto de controladores para sistemas a tempo discreto:

e(s) = · r(s) (2.36).

31

Para projetar-se os controladores a tempo discreto, basta:

• passar da variável “s” para a variável “z”, da Transformada de Laplace para a

Transformada Z;

• adaptar as condições de rastreamento e rejeição assintóticos fazendo, por

exemplo, o rastreamento assintótico de sinais do tipo degrau, que no lugar de s=0, levará a

zeros em z=1;

• impor as raízes que formarão o polinômio “∆”, dentro do círculo unitário,

passando à resolução das equações diofantinas conseqüentes, usando os mesmos algoritmos

já expostos.

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CAPÍTULO 1 - Maxwell