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Fundamentos matemáticos
Señal y sistema
Convolución:
contínua
discreta
Transformadas
Fourier
Laplace
tt
dgtxdtgxtgtxty00
*
FDT
g(t)
x(t) y(t)
X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)
L[x(t)]
L-1[Y(s)]
Dominio temporal Dominio complejo
Dominio frecuencial
L[f(t)]
F[f(t)]
L-1[f(t)]
F-1[f(t)]
Ejemplo de convolución
Escalón unitario a un circuito RC
s
us(t
)
Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón
0 1 2 3 4 5 6
x 10-3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
From: U(1)
[s]
[us(t
)]
0
*
t
s e eu t u t g t u t g d
Demo de convolución continua
http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html
Series de Fourier
Sea una función periódica temporal, f(t), de periodo de T,
acotada en un intervalo, con un número finito de máximo,
mínimos y puntos discontinuos, ésta puede ser representada
por una serie infinita de senos y cosenos. A esta serie se la
llama de Fourier:
T
tnsenbtnaatfn
n
n
n
2cos 0
1
0
1
00
/ 2 / 2 / 2
0 0 0
/ 2 / 2 / 2
1 2 2cos
T T T
n n
T T T
a f t dt a f t n t dt b f t sen n t dtT T T
Ejemplo 2.1
Umax
T
u(t)
t
0
0
n
n
atftf
btftf
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
[Hz]
|Ve
(w)|
Módulo del espectro de la señal tipo tren de impulsos
Tnsen
n
Udtt
TnU
Ta
TUdtU
Ta
maz
n
maz
22cos
2
1
2/
2/
max
2/
2/
max0
),...700(45.0)600(0)500(635.0)400(0
)300(06.1)200(0)100(18.35.2
7654
3210
HzVaHzVaHzVaHzVa
HzVaHzVaHzVaVa
Si la señal es cuadrada de periodo de 10 ms y amplitud 5V:
Applet de Fourier
www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html
Problemas para casa
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V]
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Onda semirectificada
[s]
[V]
Resolución
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V]
1
100
21 cos
e n
n
n
u b sen n t
b nn
Resolución
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Onda semirectificada
[s]
[V]
1
1cos 100
1 11 2 2
1 1
e n
n
n
u a n t
sen n sen n
an n
Transmisión de señales
Ejercicio del laboratorio
Ejercicio de examen
En el circuito de la figura se considera que el amplificador operacional es ideal.
Éste es atacado por el tren de impulsos indicado. Se pide:
1. Serie de Fourier de la señal de entrada.
2. Respuesta en frecuencia de la ganancia de tensión del circuito.
3. Diagrama de Bode y curva polar del apartado anterior.
4. Expresión analítica del armónico fundamental de la señal de salida.
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V]
De las series a las transformadas de Fourier
Segunda y tercera forma de expresar las series de
Fourier:
Relaciones de Euler
n
nnnnn
n
nn
a
barctgbac
Ttncatf
22
0
1
00
2cos
dtetfnFenFT
tftjn
T
Tn
tjn
00
2/
2/
00
1
De las series a las transformadas de Fourier
Tercera forma de expresar las series de Fourier:
Para la aplicación de la serie de Fourier sobre señales
aperiódicas, se procede al artificio matemático de hacer que el
periodo de la señal sea infinito, convirtiendo todas las señales
en periódicas:
dtetfnFenFT
tftjn
T
Tn
tjn
00
2/
2/
00
1
dtetfF tj
deFenF
Ttf tj
n
tjn
T 2
11lim 00
0
0
dttf
Ejemplo 2.2
Umax
t
2/2/
2 maxmax
2/
2/
max
sencUsen
UdteUU tj
e
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 105
0
2x 10
-3 Densidad espectral del impulso
w[rad/s]
Ue(w
)
Transformadas de Laplace
Las funciones de control no tienen transformadas de
Fourier (teorización)
Convergencia y causalidad
Ejemplos
Función escalón unitario:
Función exponencial decreciente:
Señal senoidal:
00
, dtetfsFdteetfF st
js
tjt
0 0
1
ss
edtesFtfL
stst
0 0
1
ss
edteesFtfL
tsstt
0
2
0
2
0
max
000
max
max
0000
22
sU
js
e
js
e
j
Udte
j
eeUsUtuL
tjstjsst
tjtj
Teoremas importantes de la transformada de Laplace
Teorema 1: Multiplicación por una constante:
Teorema 2: Suma y resta de dos funciones:
Teorema 3: Diferenciación:
sFktfkL
sFbsFatfbtfaL 2121
0...000
...
123121
1
1
2
2321
0lim
nnnnn
n
n
n
nnnn
t
n
n
n
ffsfsfssFsdt
tfdL
dt
tfd
dt
tfds
dt
tfdstfssFs
dt
tfdL
0lim
0
fsFstfsFsdt
tfdL
t
Teoremas importantes de la transformada de Laplace
Teorema 4: Integración:
Teorema 5: Teorema del valor inicial (sólo aplicable si f(t)
está acotada):
Teorema 6: Teorema del valor final (sólo aplicable si f(t)
está acotada):
sFstfst
0
limlim
sFstfst
limlim0
s
sFdfL
t
0
n
t
n
t t
s
sFddtdfL
n
0
11
0 0
......1 2
Teoremas importantes de la transformada de Laplace
Teorema 7: Traslación compleja:
Teorema 8: Traslación temporal:
Teorema 9: Convolución:
sFtfeL t
sFeTtuTtfL sT
sFsFsFsFtftfL 212121 **
FDT
g(t)
x(t) y(t)
X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)
L[x(t)]
L-1[Y(s)]
Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de
fracciones simples
Señal y sistema LTI de forma polinómica
Raices simples
FDT
g(t)
x(t) y(t)
X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)
L[x(t)]
L-1[Y(s)]
n
n
ss
k
ss
k
ss
ksY
...
2
2
1
1
issii sYssk
2
2
N sG s
D s
1
1
N sX s
D s
1 2
1 2
N s N sY s X s G s
D s D s
tsn
i
iiekty
0
s
us(t
)
Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón
0 1 2 3 4 5 6
x 10-3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
From: U(1)
[s]
[us(t
)]
Ejemplo 2.3
Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón
unitario
tudt
tduRCtu s
s
e
RCs
sAV
1
1
RCs
k
s
k
RCsssAsUsU Ves
11
11 21
11
1
/1
2
01
RCs
s
ss
sURC
sk
sUsk RCt
s etu /1
Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de fracciones
simples
Raíces múltiples
i
i
i
i
ss
r
ir
r
ss
r
ir
ss
r
ir
ss
r
ir
sYssds
d
rA
sYssds
dA
sYssds
dA
sYssA
1
1
1
2
2
2
1
!1
1
!2
1
ri
r
iirn
rn
r
irn ss
A
ss
A
ss
A
ss
k
ss
k
ssssss
sQsY
.........
2
21
1
1
1
Ejemplo 2.4
Determinar el comportamiento dinámico de un barco ante una entrada
unitaria en el cambio del timón de éste. Con este propósito se ha extraído
un diagrama a bloques y un modelo de comportamiento para un conjunto
de velocidades válidas. Así, se observa que el ángulo dado en radianes
del timón, provoca un par de giro sobre el barco de , el cual
provoca un giro sobre el barco según la siguiente ecuación diferencial,
Por otro lado, el sistema de transmisión mecánica del timón de control, x(t),
al timón del barco, responde a:
Considérese condiciones iniciales nulas.
Perturaciones
Barco Turbina Controador
Norte
x (t) (t)
(t)
(t)
Perturbaciones
Barco Turbina Transmisión mecánica
Norte
P (t)
(t)
)(t
)(500)( ttPradNm
)(002.0)(10)( tPtt
)()()( txtt
Ejemplo 2.4
Perturaciones
Barco Turbina Controador
Norte
x (t) (t)
(t)
(t)
Perturbaciones
Barco Turbina Transmisión mecánica
Norte
P (t)
(t)
110
002.0
500
1
1
3
2
1
sssP
ssG
s
sPsG
ssX
ssG
sGsGsGsXs 321
0.1 1 0.1 1
0.1
1
1 2 1 1 2 2
s
k
s
k
s
a
s
a
s s s s s
9
1001.0
9
11
11
1
1.02
11
0
2
1
0
2
2
s
s
s
s
ssk
ssk
ssds
da
ssa
tt eett 1.0
9
100
9
111
Uso de Matlab en las transformadas de Laplace
FDT y estímulo al escalón unitario
01210121
2
210
2
210
,
...
...
aaaaabbbbbtfg
sasasaa
sbsbsbb
sD
sNsG
nnmm
n
n
m
m
>>%Circuito RC
>> g1 = tf(1,[1e-3 1])
>>step(g1)
>>%Control del barco
>> g2 = tf(0.1,poly([0 –0.1 -1]))
>>step(g2)
RCs
sAV
1
1
Perturaciones
Barco Turbina Controador
Norte
x (t) (t)
(t)
(t)
Perturbaciones
Barco Turbina Transmisión mecánica
Norte
P (t)
(t)
1 0.1
1 0.1
s
X s s s s
Simulink (programación gráfica)
Parcial noviembre 2016
¿Cómo funciona?¿Cuál es el diagrama de bloques?
mT , TT
Caldera
vapor
x(t) Te
RTH uref
uT
Escape vapor
k
R,L
Radiador
Tarjeta
sensor
M
Ka,Ba
f(t)
Parcial noviembre 2016
mT , TT
Caldera
vapor
x(t) Te
RTH uref
uT Escape vapor
k
R,L Radiador
Tarjeta
sensor
M
Ka,Ba
f(t)
Problema 2.3
El sistema de control de una locomotora eléctrica está basado en una estructura de realimentación negativa. La velocidad de mando es convertida en una señal eléctrica con ganancia unitaria, la cual es comparada con la tensión de salida de un sensor de velocidad de traslación del tren, con ganancia kT. La señal de error ataca a un amplificador de tensión con ganancia k. Esta etapa se conecta con el motor eléctrico de la locomotora, generando la fuerza de empuje del tren. Se pide:
1. Para determinar la función de transferencia del motor, se le aplica una función en escalón de 100V a la entrada del motor. La fuerza de empuje se registra y describe la siguiente evolución temporal:
Obtener la FDT del motor.
2. Diagrama a bloques del sistema de control de la locomotora.
Datos: Masa del tren = 138 toneladas, k = 20, Constante del sensor de velocidad, kT = 1 [V/m/s]
1030 5.05.115000
tt
eetf
Problema 2.3
Por la expresión temporal, la transformada de Laplace de la fuerza del
motor aplicando el teorema de traslación compleja y descomposición en
fracciones simples será del tipo:
Para determinar km se aplicará el teorema del valor final:
31 2
1 1
30 10
kk kF s
ss s
10
1
30
1ss
k
su
sF m
m
6
15000
10
1
30
1
100limlim
00
mm
ssk
ss
k
sssFs
30 105000 1 1.5 0.5t t
f t e e
Problema 2.3
La relación entre la fuerza aplicada a la locomotora y su velocidad será:
smsF
svvmf
T
TTT
1
Problema 2.3
Problema 2.3 (casa)
Se desea el control automático de altura de un globo aerostático. Para ello se dispone de un quemador de gas controlado eléctricamente, de forma que ante una señal de referencia de 1 [V], dicho quemador aporta 1 1 al aire contenido en el globo. Tras linealizar las ecuaciones, se obtienen las siguientes ecuaciones que modelan su comportamiento:
Para poder cerrar el lazo de control se dispone de un altímetro electrónico cuyo cero se ha fijado a la altura de linealización de las ecuaciones. Dicho altímetro da una señal de 10 . La referencia al sistema de control inicialmente se da por medio de un potenciómetro lineal calibrado de forma que a un incremento de 1 metro en la referencia provoca un incremento en la tensión de referencia de 10 mV .
Determinar el diagrama de bloques y la dinámica del globo ante una entrada en escalón unitario.
)(2)()(
)(1,0)(3,0)(
0tZtT
dt
tZd
tTtQdt
tTd
t
segKcal
mmV
Problema del globo
