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Capítulo II - A fala e o cálculo mental
Os saberes prévios
A linguagem é adquirida espontaneamente e uma criança, em tenra idade, já possui
todo o sistema de sua língua com o qual é capaz de se comunicar de forma suficiente em
conformidade com suas necessidades. Essa situação não parece aplicar-se à Matemática,
embora não haja dúvidas de que o conhecimento lógico-matemático também pressupõe um
componente inato que independe de convenções.
Assim como em linguagem, nada é arbitrário no domínio do conhecimento lógico-
matemático, segundo Kamii (2005,p.25), diferentemente do que acontece com o
conhecimento social. Quando consideramos a Matemática Oral e indivíduos jovens e adultos
mesmo sem nenhuma escolarização, com plena capacidade de se expressar, não importando a
comunidade de fala de que provêm e com habilidades de cálculo simples e até extremamente
complexos, a perspectiva passa a ser diversa da do senso comum. Passamos a admitir que a
capacidade de realizar operações numéricas também possui um certo grau de inatismo, como
o das línguas naturais humanas.
Os indivíduos jovens e adultos desenvolvem estratégias, ao longo da vida, pela
experiência, advinda de necessidades básicas do mundo do trabalho, pela necessidade de
interagir com os diferentes contextos sociais. Como vimos no capítulo 1, são saberes afetos ao
letramento social (cf. Soares. 2004), independentemente do fato de serem as pessoas
alfabetizadas e de terem aprendido habilidades específicas do letramento escolar.
Embora a nomenclatura Alfabetização de Jovens e Adultos, segundo Fonseca (2005),
induza a uma modalidade de ensino que tem a faixa etária como foco principal, o grande
diferencial em comparação a outros grupos deve ser visto como a marca sócio-cultural do
público-alvo. Dessa forma, as ações educativas destinadas aos jovens e adultos devem levar
em conta a escolarização anterior, incompleta ou inexistente, num contexto mais amplo de
exclusão social e cultural, onde a origem social, segundo Gadotti (1995), marca de maneira
inevitável e irreversível a carreira escolar dos indivíduos.
1
Este capítulo volta-se para as questões da matemática oral e sua relação com a
aprendizagem da matemática escolar. No entanto a leitura e a escrita estão presentes o tempo
todo, ora por parte dos alfabetizadores, ora por parte dos alfabetizandos. Nas propostas
pedagógicas, a interdisciplinaridade entre a matemática e o português torna-se ainda mais
clara, já que ao aluno é solicitado a interpretar, ler e escrever textos. Descrevemos, nesta parte
do livro, a análise de depoimentos falados, referentes às maneiras como as pessoas processam
os cálculos, sem se valer de registros lingüísticos escritos e da escrita da matemática formal e
universal. Temos como meta conhecer os modos pelos quais as pessoas verbalizam oralmente
e por escrito as formas de resolver problemas em contextos de vida cotidiana, com a
finalidade de descrever as estratégias metacognitivas e os padrões de que lançam mão para
processar operações simples como a adição, subtração, multiplicação e divisão.
Quando retornam ou iniciam a escolarização básica em Programas de Alfabetização,
os indivíduos jovens e adultos trazem hipóteses sobre a escrita e naturalmente sobre a escrita
matemática. Apesar da interrupção de sua trajetória escolar, a idade cronológica do jovem e
do adulto propicia um conhecimento de mundo que permite sobrevivência suficiente numa
sociedade marcadamente letrada, como atestamos no Capítulo I. Conforme Freire (1990),
D’Ambrósio (1986,1993) e Carraher (1991), não é possível, então, se pensar numa ação
educativa para esses sujeitos sem que os conhecimentos que já possuem sejam valorizados e
compreendidos pelo professor-alfabetizador. No que tange à Matemática, a riqueza do
conhecimento prévio dos alfabetizandos, quando percebida, permite que se desenvolvam
práticas pedagógicas, de modo que os conteúdos matemáticos sejam trabalhados a partir das
operações aplicadas no cotidiano e vice-versa: um duplo movimento que respeita não só a
dimensão utilitária como a dimensão formativa da Matemática que, segundo Fonseca (2002,
p.25), assume na EJA um especial sentido de atualidade.
A diversidade de níveis de letramento social e escolar encontrada nas classes de
alfabetização de jovens e adultos, tantas vezes tratada como um empecilho para o
planejamento das atividades pedagógicas, além de ser respeitada e conhecida, deve ser levada
em conta. Assim, o educador pode, a partir do conhecimento das experiências de seus alunos
como indivíduos “não-crianças”, quase sempre excluídos da escola e participantes de
2
diferentes grupos culturais e sociais (cf. Oliveira, 1999), construir um fio condutor para
interligar as vivências comuns com as práticas de sala de aula.
Na Matemática, este fio condutor pode ser explorado, por exemplo, através de
atividades que envolvam o sistema monetário em situações rotineiras. O conhecimento do
contexto, segundo Garcia (1998), facilita muitas vezes a implementação de procedimentos
adequados. Entender algumas das estratégias dos jovens e adultos que, em sua maioria,
desconhecem o sistema posicional decimal, mas lançam mão de operações em problemas que
se lhes apresentam em situações cotidianas, ajuda o educador a compreender a forma como as
pessoas classificam, argumentam, organizam, registram e transferem o conhecimento da vida
fora da escola, de tal modo a evitar conflito na relação ensino-aprendizagem. Assim, explorar
e valorizar o Cálculo Mental ou a Matemática Oral não só propiciam ao docente conhecer e
compreender os saberes de seus alunos, quando esses transportam experiências de vida para o
ambiente escolar, como também permite obter maior visibilidade de marcas culturais e de
lembranças referentes a passagens anteriores no decurso do ensino regular.
Com o fito de estimular a reflexão dos alfabetizadores do Programa de Alfabetização
da UFRJ para Jovens e Adultos, nos encontros de Formação Continuada, sobre a importância
do conhecimento e da compreensão das lógicas e argumentações utilizadas pelos alunos na
resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais em situações
cotidianas, foi realizada uma pesquisa de campo, com 14 alfabetizandos do Programa de
Alfabetização dessa Universidade. A partir dos resultados da investigação, os alfabetizadores
tiveram a oportunidade de conhecer as estratégias utilizadas pelos educandos e de avaliar suas
práticas pedagógicas, com a finalidade de aprimorar o trabalho de alguns conceitos e de sanar
dúvidas recorrentes dos alunos para registrar cálculos. Um novo “olhar”, a partir dessa
reflexão, passou a ser incorporado nas propostas didáticas: a valorização do conhecimento
prévio dos alunos e a compreensão de suas dificuldades. As novas diretrizes permitem a
introdução de alguns conteúdos matemáticos veiculados na escola de forma natural, sem
imposição, com base na revelação sobre os saberes adquiridos ao longo da vida.
Principais questões
As hipóteses principais desta investigação são:
3
1. Os alunos jovens e adultos utilizam, em sua maioria, estratégias criativas, geralmente não
incentivadas pela escola, para obter a solução de uma situação-problema vinculada em
contextos cotidianos. Se os resultados nesse tipo de trabalho apontarem para essa direção,
hipóteses subjacentes como as que se seguem também podem ser levantadas:
a. O aluno utilizará novos sistemas vinculados à escola e apreendidos nas aulas de
Matemática, quando já possui estratégias próprias bem sucedidas?
b. Como demonstrar aos alunos jovens e adultos em processo de alfabetização que os
algoritmos matemáticos, usualmente aplicados para resolver as operações básicas, são
mais “simples e eficazes” em comparação aos que eles aplicam?
c. De que maneira a escrita matemática pode ser ensinada de forma a convencer os
alunos de que sua utilização é mais fácil e econômica?
2. No espaço escolar, existe um conflito entre crença por parte de alfabetizadores e
alfabetizandos, referentes ao conhecimento que os aprendizes jovens e adultos já possuem,
relacionadas às estratégias utilizadas para a resolução de situações-problema. O terceiro
capítulo deste livro aprofunda a questão das atitudes de alunos e professores quanto à
relação entre Português e Matemática e os modos de ensino-aprendizagem em EJA.
Experimento no espaço escolar
O experimento pretendeu examinar: (a) o desempenho que os alfabetizandos
apresentam quanto às questões que envolvem as quatro operações básicas (adição, subtração,
multiplicação e divisão); (b) as estratégias utilizadas para a realização do Cálculo Mental; (c)
as convicções dos alfabetizadores acerca do conhecimento já existente dos alunos e do
conhecimento adquirido no Programa.
Contamos com um universo de 3 alfabetizadores do Programa de Alfabetização da
UFRJ para Jovens e Adultos (já mencionado no Capítulo I), que são alunos de Graduação da
Universidade, e com 14 indivíduos de 3 turmas do referido Programa, cujo perfil considerou
as variáveis gênero, faixa etária e tempo de escolarização.
Os quadros que se seguem demonstram a distribuição da amostra. Dentre os
indivíduos testados, havia 8 homens, 7 dos quais com idade entre 41 e 50 anos. Todos os
4
informantes possuíam mais de 31 anos. Entre as mulheres, 3 nunca freqüentaram o Ensino
Regular contra apenas um homem nessa situação. Os demais entrevistados estiveram no
Ensino Regular durante pelo menos 4 anos, donde se pode de imediato inferir que a amostra
contém aproximadamente um percentual de apenas 30% de alunos com pouco ou nenhum
contato com noções veiculadas na escola.
A testagem foi realizada por três bolsistas de Graduação da UFRJ. Os alfabetizandos
foram selecionados aleatoriamente e as entrevistas foram realizadas individualmente, tanto no
horário de aula, quanto em local separado da classe. Durante o experimento, os
entrevistadores liam os problemas selecionados, que abarcavam as quatro operações
fundamentais e, em seguida, solicitavam que os educandos verbalizassem a solução
realizando mentalmente as operações necessárias. Na seqüência, os educandos forneciam o
resultado do problema, os entrevistadores os argüiam a respeito das estratégias utilizadas e
convidavam os entrevistados a registrar as operações realizadas. Ao final, os informantes
eram solicitados a: (1) relatar as principais dificuldades encontradas na resolução do
problema; (2) comentar sobre as possíveis relações entre a situação simulada no problema e a
sua vida cotidiana. Diante de qualquer dificuldade de interpretação do enunciado, faziam-se
os devidos ajustes até que a compreensão por parte dos alunos fosse alcançada.
Os alfabetizadores receberam cópia dos problemas selecionados e dois quadros. O
primeiro quadro refere-se ao desempenho dos alunos, segundo a opinião dos alfabetizadores;
o segundo quantifica a ocorrência de determinadas estratégias e / ou os algoritmos utilizados
para a resolução mental de 4 dos problemas propostos.
Em cada espaço em branco do primeiro quadro, o indivíduo em teste deveria preencher
com um número obtido da seguinte forma:
a) Primeiro espaço: número de alunos que, na opinião do alfabetizador, resolveria
corretamente o problema através do cálculo mental, além do número total de alunos;
b) Segundo espaço: número de alunos que, na opinião do alfabetizador, registraria
corretamente a resolução do problema, além de fornecer informação sobre o número
total de alunos.
Por exemplo, se um alfabetizador possuía 8 alunos que entraram no Programa entre os meses
de fevereiro e abril e, desses 8 alunos, apenas 5, na sua opinião, resolveriam corretamente um
5
determinado problema através do Cálculo Mental, o número obtido no primeiro espaço seria
5/8. O espaço em branco do segundo quadro deveria ser preenchido de igual forma,
considerando as perguntas referentes às estratégias utilizadas pelos alunos. Ao final, os
professores foram argüidos acerca de possíveis dificuldades encontradas no enunciado dos
problemas.
Quadros entregues aos alfabetizadores
Turma: _____________________________________________________________________
Nº de alunos que ingressaram no Programa de Alfabetização da UFRJ entre os meses de
fevereiro e abril ___________
Quadro 1
Sobre o possível desempenho dos alunos
solicitação
Problema
nº. de alunos que você julga que resolveriam corretamente o problema
utilizando o cálculo mental /nº. total de alunos
nº. de alunos que você julga que registrariam corretamente a resolução do
problema /nº. total de alunos
1 / /
2 / /
3 / /
4 / /
5 / /
6 / /
7 / /
8 / /
Quadro 2
Sobre as estratégias escolhidas e/ou algoritmos utilizados para a resolução mental dos
problemas 1,3,6 e 8
nº. de alunos que você julga que registrariam a resolução do problema
6
Problema1
utilizando algoritmos que não consideram a decomposição dos números / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que utilizariam, na resolução mental do problema, estratégias que consideram a decomposição dos números / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do problema ou que utilizariam algum tipo de estratégia diferente da descrita no item anterior / nº. total de alunos
/
Problema 3
nº. de alunos que você julga que registrariam a resolução do problema, usando algoritmos que não consideram a decomposição dos números / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que utilizariam a idéia do completamente na resolução mental do problema / nº. total de alunos /nº. de alunos que você julga que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente da descrita no item anterior / nº. total de alunos
/
Problema 6
nº. de alunos que você julga que, na resolução mental do problema, realizariam primeiro a subtração e depois obteriam o valor das parcelas por tentativas / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que, na resolução mental, do problema realizariam primeiro a subtração e depois obteriam o valor das parcelas realizando uma divisão / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente das descritas nos itens anteriores / nº. total de alunos
/
Problema 8
nº. de alunos que você julga que trabalhariam com o número 125 ao invés do número 1,25 / nº. total de alunos /nº. de alunos que você julga que, na resolução mental do problema, realizariam a adição de 5 parcelas iguais sem decompor o número 125 ou 1,25 / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que, na resolução mental do problema, realizariam a decomposição do número 125 ou 1,25 / nº. total de alunos
/
nº. de alunos que você julga que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente das descritas nos itens anteriores / nº. total de alunos
/
7
Instrumento de testagem: a escolha dos problemas
As ações educacionais do Programa de Alfabetização da UFRJ são realizadas num
período ininterrupto de aproximadamente 12 meses, tempo em que também são realizados
semanalmente os encontros de Formação Continuada para os alfabetizadores. As turmas onde
a pesquisa foi realizada iniciaram suas atividades no mês de fevereiro de 2006. Embora a
oferta de vaga ocorra durante todo o percurso em que as ações educativas são realizadas, nove
entre os 14 entrevistados participavam do Programa desde fevereiro e os demais ingressaram
no Programa antes de abril.
Os conhecimentos matemáticos necessários para a resolução dos problemas propostos
já haviam sido, em sua maioria, trabalhados em sala de aula. Situações-problemas envolvendo
o nosso sistema monetário estão presentes na vida cotidiana de um jovem ou de um adulto,
por isso, optou-se pela escolha de questões descritas anteriormente.
As situações-problemas 1, 2, 3 e 5 referem-se somente a uma operação. A distinção da
ação a ser realizada é facilitada pelo aparecimento da expressão “valor total” e dos verbos
“receber”, “faltar”,“dar” e”receber”, respectivamente. A situação-problema 4 envolve a
realização de mais de uma operação; porém, além da distinção de a ação a ser realizada ter
sido facilitada pelo aparecimento dos verbos “sobrar e pagar”, a questão admite solução
através de subtrações sucessivas. A situação-problema 6 compreende mais de uma operação,
cuja distinção é facilitada pelo aparecimento dos verbos “dar” e “pagar”. As situações-
problema 7 e 8 envolvem apenas uma operação, mas a distinção da ação a ser realizada
solicita um pouco além da mobilização de alguns conceitos de proporcionalidade e conversão.
É interessante acrescentar que apenas o Problema 7 apresenta uma característica diferente das
dos demais: o preço da dúzia de ovos não é compatível com a realidade.
Problema 1
João recebe por mês um salário de R$ 650,00 e sua esposa um salário de R$ 300,00. Qual é o
valor total da renda do casal?
Problema 2
8
No dia do seu aniversário, Pedro recebeu R$ 130,00 de sua mãe, R$ 60,00 de sua madrinha e
R$ 25,00 de seu irmão. Quanto Pedro recebeu no dia do seu aniversário?
Problema 3
Isabel queria comprar uma mesa que tinha visto em uma loja no valor de R$ 120,00, porém
ela só tinha R$ 95,00 na carteira. Quanto falta a Isabel para que ela possa comprar a mesa?
Problema 4
Um casal possui uma renda mensal no valor de R$ 950,00 e precisa pagar a conta de luz no
valor de R$ 80,00 e a conta de telefone no valor de R$ 70,00. Quanto sobra ao casal, depois
do pagamento das contas?
Problema 5
O preço da passagem custa R$1,75. Jorge dá ao cobrador R$ 2,00, esperando receber R$
0,25 de troco. O cobrador pediu então que facilitasse o troco. Jorge deu mais R$ 0,25.
Quanto recebeu de troco?
Problema 6
Maria pretende comprar uma televisão no valor de R$ 510,00, dando uma entrada de R$
150,00 e pagando o restante em 3 vezes sem juros. Qual o valor de cada prestação?
Problema 7
Uma dúzia de ovos custa R$24,00. Qual o preço de um ovo?
Problema 8
Um pacote de 100g de café custa R$ 1,25. Quanto João pagará por meio quilo?
Estratégias de Cálculo Mental
Para que seja possível o entendimento mais aprofundado sobre as estratégias utilizadas
pelos alfabetizandos, listamos alguns quadros com resultados da investigação, tecendo breves
comentários. Os 14 indivíduos testados foram identificados como informante 1, informante 2
e, assim, sucessivamente.
9
10
Problema 1
Informante 3 Informante 4 Informante 7
Resultado obtido
através do cálculo
mental
R$ 950,00 (Certo) R$ 950,00 (Certo) R$ 950,00 (Certo)
Estratégia utilizada Afirmou que chegou ao resultado somando de 100 em 100
650 + 100 = 750 + 100 = 850 + 100 = 950
Informou ter pensado como se “fosse 600”, somou 100 aos 600 três vezes e, por último, somou 50.
600 + 100 =700 + 100 = 800 + 100 = 900 + 50 = 950
Informou ter realizado
os cálculos “de
cabeça”. Não soube
explicitar a estratégia
utilizada para resolver a
adição realizada
mentalmente.
Registro da resolução
mental
650 + 300 = 950 650 + 300 = 950 Não registrou a adição
realizada mentalmente.
Dificuldades
encontradas
Não foi relatada nenhuma
dificuldade
Não foi relatada
nenhuma dificuldade
Não foi relatada
nenhuma dificuldade
Possíveis relações
entre a situação
simulada no problema
e sua vida cotidiana
Afirmou utilizar “as mesmas contas” para saber o montante em dinheiro que cada filho recebe por mês.
Disse utilizar “este pensamento” na sua casa.
Informou trabalhar em dois empregos e utilizar “estas contas” no final do mês.
Os informantes 3 e 4 perceberam que 300 = 3 x 100 = 100 + 100 + 100 e
adotaram a estratégia de substituir a multiplicação pela adição de parcelas iguais; o
informante 4, diferentemente do informante 3, optou por trabalhar primeiramente com
as centenas e, a seguir, com a dezena. Ambos registraram corretamente a adição, apesar
de não terem feito uso de nenhum algoritmo para a obtenção ou a comprovação da
solução obtida. O informante 7, como se pode perceber, resolveu mentalmente o
problema de forma correta, porém não soube descrever nem registrar a estratégia
utilizada, mesmo que de forma própria. Esse fato é bastante recorrente em turmas de
alfabetização de jovens e adultos: são educandos que, geralmente, não “sentem”
necessidade de aprender a linguagem formal da Matemática, pois julgam possuir
“conhecimentos” suficientes que dão conta de suas necessidades. Via de regra, a
motivação desses alunos para ingressar em Programas de EJA prende-se sobretudo ao
aprendizado da língua materna.
11
Problema 2
Informante 3 Informante 4 Informante 12
Resultado obtido
através do cálculo
mental
R$ 215,00 (Certo) R$ 215,00 (Certo) R$ 210,00 (Errado)
Estratégia utilizada Informou que chegou ao
resultado “ juntando na
cabeça os dinheiros”
Informou que “somou 100 e depois o que sobrou ”
100 + 60 = 160 + 30 = 190 + 25 = 215
“Somei tudo na cabeça: 130 da mãe, depois 60 da madrinha...... também coloquei os do irmão”
Registro da resolução
mental
Não registrou a adição
realizada mentalmente. 130 +60 + 25
“
dá 210”
Dificuldades
encontradas
Relatou ter dificuldades
para “escrever contas
grandes”.
Não foi relatada
nenhuma dificuldade
Não foi relatada
nenhuma dificuldade
Possíveis relações
entre a situação
simulada no problema
e sua vida cotidiana
O informante afirmou ter utilizado “as mesmas contas” no mercado
O informante alegou ter utilizado “as mesmas contas” sempre.
O informante não soube responder
Quando comparamos os desempenhos do informante 3 nos Problemas 1 e 2,
percebemos que a dificuldade ocorreu apenas no registro da operação realizada no
Problema 2, pelo fato de a solução da questão envolver uma adição com 3 parcelas. O
informante 4 optou por realizar a primeira adição decompondo o número 130. Observa-
se que tal estratégia não foi repetida na segunda adição, isto é, o informante não
considerou 25 = 20 + 5. Quando indagado sobre a não repetição da estratégia
anteriormente utilizada, respondeu: “não precisa, 25 é fácil, apenas somei”.
Curioso observar que a maioria dos alfabetizandos que utilizou a estratégia de
decomposição dos números a realizou apenas na ordem das dezenas e das centenas. No
entanto, essa não parece ter sido a “regra” utilizada pelo informante 12, posto que sua
resposta difere em 5 reais da solução correta. A descrição do recurso utilizado nos leva a
inferir que o aluno decompôs os números antes de realizar as adições e se esqueceu de
adicionar, ao final, os 5 reais correspondentes à ordem das unidades.
12
Problema 3
Informante 1 Informante 2
Resultado obtido através do
cálculo mental
R$ 25,00 (Certo). R$ 25,00 (Certo).
Estratégia utilizada “Fui acrescentando primeiro 5 e depois os 10, até chegar no 120”
25 + 5 = 30 + 10 = 40 + 10 = 120
“Coloco mais 5 no 95 e aí fica 100 com 20 que é 120. Falta 25 reais.”
95 + 5 = 100100 + 20 = 12020 + 5 = 25
Registro da resolução mental Não registrou as adições
realizadas mentalmente
Registrou as operações realizadas da seguinte forma :
“95 prá 120 é 25”Dificuldades encontradas Não foi relatada nenhuma
dificuldade
Não foi relatada nenhuma
dificuldade
Possíveis relações entre a situação
simulada no problema e sua vida
cotidiana
Afirmou “fazer estas contas” sempre.
Relatou que “olha muitas lojas e pensa se dá prá comprar”
O informante 1 utilizou a estratégia de “completamento”, a fim de verificar se o
número 25 correspondia de fato à solução correta do problema, mas não soube explicar
o meio pelo qual chegou ao valor de 25 reais. Podemos inferir que a escolha da primeira
adição teve como objetivo a realização das demais adições com parcelas iguais a 10. A
riqueza do raciocínio escolhido pelo informante 2 demonstra, por sua vez, a articulação
de vários conhecimentos matemáticos como, por exemplo, o fato de a operação de
subtração ser a operação inversa da adição.
13
Problema 4
Informante 1 Informante 2 Informante 13
Resultado obtido através
do cálculo mental
R$ 860,00 (Errado). R$ 750,00 (Errado). R$ 800,00 (Certo).
Estratégia utilizadaAfirmou que foi “somando as duas contas e, ao resultado dessa conta, subtraiu de 950”. Chegou a dizer que “70+70 = 140 e 80+80 = 160”.
“Vai ficar com 750 reais... Somei logo direto 80 mais 70 e aí separei 200 contos e depois tirei esses 200 do outro.”
Relatou ter somado primeiro “70 com 70”; como um dos valores era 80, somou mais 10 ao resultado. A partir daí, subtraiu 100 de 950 e, deste resultado, retirou 50.
70+ 70 = 140140 + 10 = 150950 – 100 = 850850 -50= 800
Registro da resolução
mental
Não registrou as operações realizadas mentalmente
950 – 200 = 750
Não registrou as operações realizadas mentalmente
Dificuldades encontradas Relatou ter dificuldades quando tem que usar“estas contas no trabalho”
Não foi relatada nenhuma dificuldade Não foi relatada nenhuma
dificuldade
Possíveis relações entre a
situação simulada no
problema e a vida
cotidiana
Não soube informar Informou “fazer em casa essas contas”.
Relatou fazer “essas contas” no trabalho
O informante 1 apresentou uma estratégia correta e, possivelmente, realizou
algumas operações incorretamente. Como não houve qualquer tipo de registro, não
podemos avaliar o tipo de erro cometido. O informante 2, no entanto, utilizou a
estratégia prevista e errou a solução do problema, porque considerou que 80 + 70 = 200.
Já a riqueza da estratégia escolhida pelo informante 13 remete-nos à articulação que,
geralmente, não é apresentada nem incentivada em ambiente escolar. Como o
informante declarou possuir menos de 4 anos de estudos e informou ter trabalhado
como vendedor ambulante, podemos inferir que os recursos utilizados foram
assimilados em contexto de aprendizagem incidental.
14
Problema 5
Informante 2 Informante 5
Resultado obtido através do
cálculo mental
R$ 0,50 (Certo) R$ 0,50 (Certo)
Estratégia utilizada “Ele tinha que receber 25, porque é o que falta para 2; aí ele deu 25, tem que voltar 50, porque deu mais 25 com os outros 25 ...”
“Se já tem 25 para receber e deu 25 extra, o extra também deve vir”
Registro da resolução mental Não registrou a adição realizada mentalmente
“25 e 25 = 50”
Dificuldades encontradas Não foi relatada nenhuma dificuldade
Não foi relatada nenhuma dificuldade
Possíveis relações entre a situação
simulada no problema e a vida
cotidiana
“Faço isso sempre, sou bom de troco”.
Relatou vivenciar essa situação todas as vezes que ia ao mercado
O informante 2 utilizou duas moedas de R$ 0,25 para justificar o cálculo
realizado. Já o informante 5 descreveu em voz alta a adição “registrada”. Observamos a
dificuldade que os alunos possuem com os números decimais, mesmo quando estão
relacionados com o nosso sistema monetário. A grande maioria dos alunos não utilizou
a representação decimal nas tentativas de registro das operações realizadas.
Problema 6
Informante 6 Informante 8
Resultado obtido através do
cálculo mental
R$ 120,00 (Certo) R$ 150,00 (Errado)
Estratégia utilizada “Fica 3 de 120 reais. Coloquei 150 e 3 de 120 e bateu 510 reais. Viu? Já bateu direto”.
“Fiz de cabeça: primeiro tirei 150 e dividi por 3”
Registro da resolução mental Não registrou as operações realizadas mentalmente.
Não registrou as operações realizadas mentalmente.
Dificuldades encontradas Não foi relatada nenhuma dificuldade Não foi relatada nenhuma
dificuldadePossíveis relações entre a situação
simulada no problema e a vida
“Faço muita compra no crediário”
O informante não soube responder
15
cotidiana
O informante 6 não soube explicar a estratégia utilizada para chegar ao valor de 120
reais: recorreu a sucessivas adições de forma correta para alcançar o resultado. Vale
destacar que o informante 8 foi um dos poucos alfabetizandos que lançou mão da
operação de divisão. Observamos que os alunos testados possuem muita dificuldade
com a identificação da operação de divisão, com a compreensão do seu uso e com o
registro das divisões realizadas mentalmente.
Problema 7
Informante 11
Resultado obtido através do cálculo mental R$ 1,10 (Errado)
Estratégia utilizada “uma dúzia é 12, né? Dividi por 12”
Registro da resolução mental Não registrou a operação realizada mentalmente.
Dificuldades encontradasNão foi relatada nenhuma dificuldade
Possíveis relações entre a situação simulada no
problema e a vida cotidiana Não soube responder
O informante 11 aplicou estratégia correta, mas possivelmente errou a operação
de divisão. De forma geral, os alfabetizandos apresentam muitas dificuldades para
realizar divisões, como dito anteriormente, mesmo que exatas: poucos alunos
relacionam esse tipo de divisão com subtrações sucessivas. O informante 9 não soube
resolver o problema proposto, embora tenha reconhecido o valor de uma dúzia. O
entrevistador mudou, então, a situação-problema original pela seguinte situação-
problema:
“Se um ovo custa R$ 2,00, quanto vou pagar por uma dúzia de ovos?”
Observe-se, assim, o seguinte quadro:
16
Informante 9
Resultado obtido através do cálculo mental R$ 24,00 (Certo).
Estratégia utilizada “10 ovos dá 20, e como cada um é 2, os outros 2 sai por 4. Somando tudo dá 24”
Registro da resolução mental 24
Dificuldades encontradas Relatou ter achado o primeiro problema muito difícil e não conseguiu perceber a relação entre os dois problemas apresentados
Possíveis relações entre a situação simulada no
problema e a vida cotidiana
Não soube responder
Problema 8
Informante 2 Informante 9
Resultado obtido através do
cálculo mental R$ 62,50 (Errado) R$ 725,50 (Errado)
Estratégia utilizada “A metade é 62 e cinqüenta” “Fiz 5 carreiras de 1,25 até chegar a 725”.
Registro da resolução mental Não registrou a operação realizada mentalmente
Não registrou as operações realizadas mentalmente
Dificuldades encontradas Não foi relatada nenhuma dificuldade
Não foi relatada nenhuma dificuldade
Possíveis relações entre a situação
simulada no problema e a vida
cotidiana
O informante não soube responder
O informante não soube responder
O informante 2, além de ter utilizado estratégia errada, posto que meio quilo não
equivale a 50g, também realizou a operação de divisão de forma incorreta. Cabe
assinalar que, geralmente jovens e adultos pouco escolarizados, apresentam muitas
dificuldades no trabalho com as unidades de medida padrão. O informante 9 parece não
apresentar tal dificuldade, uma vez que optou por uma estratégia correta; possivelmente
o obstáculo encontrado ocorreu com o trabalho com números decimais.
O informante 5 não soube resolver o problema proposto e, quando indagado
sobre os possíveis motivos, reconheceu o desconhecimento do conceito de meio quilo.
O entrevistador mudou a situação-problema original para a seguinte situação-problema:
“Um pacote de 100g de café custa R$ 1,25. Quanto João pagará por 500g de café?”
17
O informante também não soube responder. O entrevistador mudou o segundo
problema pela seguinte situação-problema:
“Um pacote de 100g de café custa R$ 1,50. Quanto João pagará por 500g de café?”
Obteve-se o seguinte quadro:
Informante 5
Resultado obtido através do cálculo mental R$ 7,50 (Certo)“Fui juntando 1 e 50 com 1 e 50 e depois com 1 e 50.......”
Estratégia utilizada “Fui juntando 1 e 50 com 1 e 50 e depois com 1 e 50.......”
Registro da resolução mental Não registrou as operações realizadas mentalmente
Dificuldades encontradas “difícil” (refere-se à expressão meio quilo)
Possíveis relações entre a situação simulada no
problema e sua vida cotidiana
O informante não soube responder
Duas entrevistas interessantes
Um dos informantes que declarou ter freqüentado o Ensino Regular por menos
de 4 anos, quando foi convidado a resolver mentalmente o Problema 7, teceu a seguinte
resposta: -“Esse ovo tá muito caro!! Sei não, tá muito caro”. O entrevistador
argumentou que, embora a dúzia de ovos fosse muito cara, o problema poderia ser
resolvido. A resposta dada pelo informante foi: - “Tá caro, é tudo mentira”. Mediante a
resposta dada, o entrevistador explicou que, ainda que aquela situação não fosse real, ele
gostaria de que o aluno resolvesse o problema. “Não resolvo aqui o que não pode”,
respondeu o informante.
Este foi o único problema cuja situação cotidiana simulada não se apresentou
em conformidade com a vida real. Outros alunos também perceberam que o preço da
dúzia de ovos era irreal e, assim mesmo, deram uma solução ao problema. A atitude
desses informantes nos leva a supor que, para eles, o ambiente escolar é um local onde
“erros” não podem ocorrer.
Um outro informante que declarou nunca ter freqüentado o Ensino Regular,
quando convidado para resolver o Problema 1, recorreu à estratégia da decomposição de
números em centenas e dezenas: “600 + 300 + 50” .Quando solicitado a resolver o
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Problema 2, o informante simplesmente repetiu, para o número 130, a estratégia
anterior. Para o número 60, o informante optou por trabalhar com “50 + 10”. Vejamos a
estratégia descrita pelo informante:
“30 + 50 + 20 = 100
100 + 100 = 200
200 + 15 = 215”.
Quando indagado sobre o motivo de ter trabalhado com o número 50 e não com
o número 60, ele respondeu: “30 + 60 + 20 não dá 100”. E por que tem que dar 100,
perguntou o entrevistador? - “Porqu,e se não, não junta com o outro”, respondeu o
alfabetizando. O entrevistador também perguntou por que ele não somou, ao número
200, primeiro 10 e depois 5, ao que ele respondeu: - “Porque já é 15: tem que ser
rápido”. Finalmente, o entrevistador perguntou se alguém havia lhe ensinado a somar
daquela maneira. O entrevistado negou ter recebido instruções formais e alegou ter
aprendido sozinho em função de lidar com dinheiro no cotidiano e concluiu, finalmente:
“Pode não ser dinheiro, mas dá certo”. Mediante à riqueza das informações e da
dificuldade que o aluno apresentou na hora de registrar as operações realizadas
mentalmente, o entrevistador solicitou-lhe voltar a esse assunto depois de resolver os
outros problemas. Arrolamos abaixo a conversa entre o entrevistador e o aluno.
E (entrevistador): Voltando a nossa conversa, como você faria para somar os números
130, 280, 365 e 40.
I (informante): “Muito número......vai dizendo os números”
O entrevistador foi ditando com calma número por número. Operando em voz alta, ele
disse:
I: “30 daqui com 70 faz 100”; 60 com 40 faz 100. Agora é juntar.... dá 800; com o que
ficou tem 815”
E: Muito bem, esta conta deu trabalho?
I: “Essa não, outras dá”
E: Sua professora já ensinou fazer a conta de somar “em pé”?
I: “já”
E: Você achou mais fácil do que o que você faz?
I: “Não”
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E: Você sabe fazer contas como ela ensinou?
I: “Às vezes”
Vale destacar que este informante não realizou qualquer registro das operações
processadas através do cálculo mental em nenhum dos problemas: após a releitura do
problema 7, acertou a solução de todos os problemas propostos.
É razoável supor que as práticas de letramento fora da escola permitiram que o aluno
desenvolvesse estratégias próprias de sobrevivência no que se refere ao domínio de
técnicas operatórias. Isso fica claro quando ele afirma que sua busca por um raciocínio
para a resolução de problemas envolvendo as operações fundamentais teve como
motivação a necessidade advinda da lida com “dinheiro”. Na entrevista, podemos inferir
que ele construiu um repertório próprio de apoio - a memorização de adições de dezenas
cuja soma é igual a 100. Interessante também é a percepção que demonstra possuir
acerca da abstração dos números: “Pode não ser dinheiro, mas dá certo”, referindo-se
ao fato de que as operações independem da unidade ou do tipo dos objetos cuja
quantidade é representada por um número.
Teria, então, este indivíduo a noção dos aspectos cardinal e ordinal dos números? Em
relação ao uso de algoritmos usualmente apresentados e trabalhados na escola, é
possível que, assim como este aluno percebeu que adicionar 15 unidades a um número
“é mais rápido” do que adicionar primeiramente 10 unidades e, em seguida, 5 unidades,
em algum momento, ele perceba, pelo menos inicialmente, que esses algoritmos,
quando bem entendidos na escola, “são mais rápidos”. É provável que, enquanto os
recursos pessoais atenderem às necessidades, o aluno vai apresentar resistência e
desinteresse em relação à aprendizagem da escrita matemática convencionada
universalmente.
O registro da matemática formal requer um longo trabalho escolar para que seus
símbolos representem realidades e sejam assim compreendidos, de modo que são mais
lentamente assimilados. Na EJA, o processo torna-se ainda mais difícil, uma vez que os
jovens e adultos já dispõem de recursos que lhes parecem suficientes.
A resolução mental e o registro de algumas operações
Os quadros a seguir representam o percentual dos acertos, calculado por
arredondamento e sem casa decimal, considerando a resolução e o registro das
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operações, quando foram corretamente realizadas através do cálculo mental. Por
exemplo, se 7 indivíduos acertaram a resolução mental de um determinado problema e,
desses 7, apenas 3 acertaram o registro das operações efetuadas, a taxa correspondente à
coluna “registro das operações” será determinada a partir da divisão 3/7 e seu valor
percentual será 42%.
Os dois quadros a seguir foram gerados considerando a média aritmética entre os
percentuais atribuídos pelos alfabetizadores que participaram da investigação. No
quadro 2, pretendeu-se observar a opinião dos alfabetizadores em relação ao
desempenho de seus alunos no que tange à capacidade de mobilização dos
conhecimentos adquiridos ao longo da vida e à utilização da escrita matemática
adquirida em ambiente escolar. No quadro de número 6, a sondagem realizada teve
como objetivo central observar possíveis crenças que alfabetizadores possuem em
relação às estratégias próprias e bem sucedidas.
Quadro 1 - Percentual de acerto por Problema considerando a resolução mental e
o registro das operações realizadas corretamente através do cálculo mental
Resolução do problema através do cálculo mental
Registro das operações realizadas mentalmente
Problema 1 93% 64%Problema 2 57% 36%Problema 3 78% 43%Problema 4 71% 50%Problema 5 64% 43%Problema 61 57% 28%Problema 72 43% 21%Problema 8 50% 28%
1 Nos Problemas 6 e 8, foi considerado correto qualquer registro que envolvesse ou números 0,25 ou 25 e 1,25 ou 125, respectivamente.2 Após uma releitura, o percentual de acerto do problema, quando considerada a resolução mental, subiu para 71% e para 60%, levando em conta o registro das operações.
21
Quadro 2 - Opinião dos alfabetizadores, expressa em percentuais, sobre o
desempenho de seus alunos, ingressos no Programa entre os meses de fevereiro e
abril, em relação à resolução mental e ao registro das operações realizadas
mentalmente de cada um dos problemas propostos.
Resolução correta do problema através do cálculo mental
Registro correto das operações realizadas mentalmente
Problema 1 100% 74%Problema 2 78% 39%Problema 3 77% 65%Problema 4 52% 31%Problema 5 89% 78%Problema 63 51% 22%Problema 7 61% 33%Problema 8 73% 32%
Quando analisadas as taxas atribuídas à resolução mental correta dos problemas,
observa-se que os alfabetizadores que participaram dessa investigação, na média,
possuem a crença de que os alunos obtêm melhor desempenho quando resolvem
problemas que envolvem apenas uma das operações básicas (Problemas 1, 3, 5, 7 e 8).
Essa taxa é elevada quando as operações envolvidas são de adição ou subtração
(Problemas 1, 2, 3 e 5). A crença de que tais operações “são fáceis” revela-se através do
Problema 8, posto que sua solução pode ser substituída por sucessivas adições.
Em relação aos Problemas 2, 4 e 6, cuja resolução envolve mais de uma
operação (distintas ou não), os alfabetizadores julgaram que, na média, seus alunos
teriam aproximadamente as mesmas dificuldades, independentemente do tipo de
operação a ser realizada. Entenderam também que os alunos não apresentariam
dificuldades com os números decimais inseridos nas proposições envolvendo o nosso
sistema monetário (Problemas 5 e 8).
3 Nos Problemas 6 e 8 foi considerado correto qualquer registro que envolvesse ou números 0,25 ou 25 e 1,25 ou 125, respectivamente.
22
É de se supor que a discrepância entre o valor da dúzia de ovos no enunciado do
Problema 7 em relação ao seu custo real possa ter influenciado o desempenho dos
alfabetizandos (confira Quadro 1). Essa situação não percebida pelos alfabetizadores
constitui interessante hipótese para futuras pesquisas. Até que ponto o desempenho nas
resoluções de problemas, especialmente para alunos jovens e adultos pouco
escolarizados, não se acham atrelados ao conhecimento de mundo? Se confirmada a
suposição a pressão do letramento social prevalece em EJA?
Quando comparados os resultados dos quadros 1 e 2, observamos que as
melhores taxas de acerto, embora inferiores às atribuídas pelos alfabetizadores,
ocorrem nos problemas cuja resolução depende apenas da realização de uma única
adição ou subtração. Nos Problemas 4 e 6, cuja resolução envolvia o trabalho com duas
operações distintas, o desempenho dos indivíduos testados superou a expectativa dos
alfabetizadores; o contrário ocorreu na resolução mental do problema 2 que envolvia a
realização de três adições.
No que tange ao registro das operações realizadas mentalmente, percebe-se, à
exceção dos Problemas 4 e 6, operações distintas que os alfabetizadores participantes da
investigação julgaram melhor desempenho dos seus alunos, comparativamente aos
indivíduos testados. Esses resultados nos levam a refletir sobre possíveis crenças dos
alfabetizadores acerca da “simplicidade” da operação de adição e da leitura e escrita da
linguagem matemática.
O quadro a seguir reflete a sondagem sobre as crenças dos alfabetizadores a
respeito dos conhecimentos adquiridos por jovens e adultos em aprendizagem
incidental. Para tanto, foram selecionadas algumas estratégias bem sucedidas
implementadas pela maioria dos indivíduos testados com relação a determinados
problemas. Os percentuais foram obtidos através da média aritmética das taxas
atribuídas pelos alfabetizdores, conforme os procedimentos estabelecidos no
experimento descritos anteriormente.
Quadro 3 - Opinião dos alfabetizadores, expressa em percentuais, sobre as
possíveis estratégias utilizadas pelos seus alunos, na resolução dos Problemas 1,3,6
e 8
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Problema 1
Percentual de alunos que registrariam a resolução do Problema utilizando algoritmos que não consideram a decomposição dos números 62%Percentual de alunos que utilizariam, na resolução mental do Problema, estratégias que consideram a decomposição dos números 38%Percentual de alunos que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do Problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente da descrita no item anterior
0%
Problema 3
Percentual de alunos que registrariam a resolução do Problema utilizando algoritmos que não consideram a decomposição dos números 11%Percentual de alunos que utilizariam a idéia do completamento na resolução mental do Problema 64%Percentual de alunos que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do Problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente da descrita no item anterior
25%
Problema 6
Percentual de alunos que, na resolução mental do Problema, realizariam primeiro a subtração e depois obteriam o valor das parcelas por tentativas 28%Percentual de alunos que, na resolução mental do Problema, realizariam primeiro a subtração e depois obteriam o valor das parcelas realizando uma divisão
53%
Percentual de alunos que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do Problema ou que utilizariam outro tipo de estratégia diferente da descrita nos itens anteriores
19%
Problema 8
Percentual de alunos que trabalhariam com o número 125 ao invés do número 1,25 78%Percentual de alunos que, na resolução mental do Problema, realizariam a adição de 5 parcelas iguais sem decompor o número 125 ou 1,25 71%Percentual de alunos que, na resolução mental do Problema, realizariam a decomposição do número 18%Percentual de alunos que não conseguiriam explicitar a estratégia utilizada na resolução mental do Problema ou que utilizariam estratégia diferente da descrita nos itens anteriores
11%
Padrões, problemas e soluções
Em relação ao Problema 1, 77% dos indivíduos que resolveram mentalmente os
problemas conseguiram explicitar a estratégia utilizada. Dentre esses, 80% utilizaram a
operação de decomposição de números.
Comparados os resultados com as hipóteses levantadas pelos alfabetizadores, é
possível inferir que os indivíduos da amostra fizeram uso do algoritmo da adição,
conhecido como o “vai um”, somente quando lhes foi ensinado. Isso nos indica que as
habilidades específicas do letramento escolar superam as estratégias próprias dos
alunos, desenvolvidas ao longo da vida, no enfrentamento das demandas cotidianas.
Surpreendente foi constatar que os alfabetizadores que participaram dessa
pesquisa julgaram que todos os alunos competentes, ao realizar mentalmente a adição,
24
seriam igualmente capazes de explicitar a estratégia implícita. Tal fato nos conduz a
supor que os professores possuem uma visão simplificada do algoritmo da adição. Note-
se que, dos entrevistados que conseguiram resolver mentalmente o Problema 2, 66%
explicitaram a estratégia utilizada. Dentre eles, 71% utilizaram a idéia de
completamento e nenhum registrou a resolução através do algoritmo conhecido como
“pede um emprestado”.
Quando consideramos o Problema 6, apenas 63% do universo com que
trabalhamos explicitaram a estratégia utilizada na resolução mental e, dentre esses, 80%
obtiveram o valor das parcelas por tentativa. Em relação ao Problema 8, 71% dos que
conseguiram resolver mentalmente o problema descreveram a estratégia utilizada e
todos, em algum momento, lançaram mão da operação de adição. Dentre eles, 80%
trabalharam com o número 125, 60% obtiveram a solução através da adição de 5
parcelas iguais e 40% utilizaram a decomposição do número 125.
Alguns resultados da pesquisa descritos neste texto foram levados para os
alfabetizadores nos encontros de Formação Continuada pelos Professores Formadores.
Após a divulgação e a análise do material resultante do estudo, foi solicitada a reflexão
de como os alunos operam cálculos. A principal conclusão a que se chegou é a de que
os resultados de problemas decorrem, em sua maioria, de estratégias intuitivas, não
veiculadas pela Escola.
Tal fato levanta hipóteses interessantes como as descritas em 1(a),1(b) e 1(c) (cf.
p.3) e as seguintes indagações: (a) Por que não explorar a oralidade, atualmente tão em
voga, nas aulas de Matemática? (b) Por que o trabalho com a Matemática não pode ser
compartilhado de forma a conduzir os alunos à indagação, à investigação, ao
encadeamento de raciocínio e à compreensão de símbolos? e (c) Por que não valorizar
os textos orais da mesma forma que são valorizados os escritos?
Como resposta às questões arroladas, chegou-se ao consenso da necessidade de
implementar-se um trabalho pedagógico, que implique a proposição de exercícios
direcionados ao público-alvo de EJA e às dificuldades mais comuns encontradas. As
propostas didáticas teriam a finalidade de transformar os conhecimentos intuitivos e
aleatórios em sistemas formais universais, de acordo com os princípios convencionados
pela escrita matemática. Essa também seria a meta dos exercícios voltados para o
português: ampliar as possibilidades discursivas do falante, ao considerar a linguagem
25
oral e a diversidade de estilos e gêneros presentes no continuum fala coloquial/ escrita
padrão (Mollica, 2006; 2007).
Há que se refletir também que não fixar o letramento escolar, seja em Linguagem,
seja em Matemática, constitui bom motivo para a perpetuação do preconceito de que as
pessoas são limitadas cognitivamente ou que as disciplinas de Português e de
Matemática oferecem extrema dificuldade aos alunos. O Capítulo III deste livro
demonstra que os estigmas permanecem, ainda que já se observa uma mudança na
sociedade quanto ao letramento escolar em Linguagem e em Matemática: a idéia de
dom e de dificuldade está mais vinculada a prestígio do que à cognição e vem se
dissolvendo vagarosa e paulatinamente.
As propostas pedagógicas a seguir, elaboradas a partir de um texto sobre meio-
ambiente, permitem a possibilidade de realização de novas atividades em diversas áreas
de conhecimento e foram concebidas com o propósito de que os conteúdos trabalhados
possam apoiar o desenvolvimento da cidadania. Tal propósito é uma das preocupações
da Educação Matemática crítica que, segundo Airo & Skovsmose (2006), leva em conta
a maneira como a Matemática se insere, em geral, no ambiente cultural, tecnológico e
político, esclarecendo as finalidades para as quais a competência matemática deve
servir.
A proposição de problemas da vida cotidiana e a elaboração de textos coletivos
como agentes de integração de conteúdos são ferramentas essenciais para que a
aprendizagem da matemática escolar seja facilitada (cf. Hyde, 1998 e Imenes, 1995). A
leitura, interpretação e discussão de textos e tabelas, assim como a apresentação verbal
de problemas, num trabalho em grupo cooperativo que incentiva a oralidade são
imprescindíveis. Através da fala, emprestada da língua materna, inicia-se a elaboração
de textos orais que relatam estratégias de raciocínio e comunicam resultados. Além de
integrar conteúdos, a língua oral torna o alfabetizando agente da aprendizagem. Os
exercícios propostos a seguir permitem que o alfabetizador trabalhe alguns conteúdos,
dentre os quais a decomposição dos números, potências de dez e noções de
proporcionalidade, explorando os saberes prévios de seus alunos. Exigem
simultaneamente a prática da leitura e da escrita da linguagem matemática e da língua
materna.
26
Propostas de atividades que utilizam a oralidade com a finalidade de motivar o
aprendizado da matemática.
______________________________
A água é um dos recursos naturais mais valiosos com que a humanidade
conta. Embora a maior parte de nosso planeta esteja composto por água, 97% do
total é salgada, e grande parte do restante está em geleiras, icebergs e em subsolos
muito profundos, ficando indisponível para uso: o que pode ser potencialmente
consumido é uma pequena fração.
A água desenvolve um ciclo. O chamado ciclo da água é o caminho que ela
percorre. A chuva, basicamente, é o resultado da água que evapora dos lagos, rios
e oceanos, formando as nuvens. Quando as nuvens estão carregadas, soltam a água
na terra. Ela penetra o solo e vai alimentar as nascentes dos rios e os reservatórios
subterrâneos. Se cai nos oceanos, mistura-se às águas salgadas e volta a evaporar,
provocando a chuva que cai na terra.
27
Acredita-se que a quantidade atual de água seja praticamente a mesma de
há 3 bilhões de anos. Isso porque o ciclo da água se sucede infinitamente. (Fonte: sites www.tvcultura.com.br/aloescola e www.tierramerica.net )
Atente para as questões e proceda às reflexões pertinentes:
1) Qual o assunto de que trata o texto?
2) Que título você daria ao texto?
3) O que significa o ciclo da água?
4) É possível que, daqui a um ano, a quantidade de água do planeta duplique?
5) O que é uma geleira? E um iceberg?
Selecione no texto as palavras que você não conhece.
Organize as palavras selecionadas na atividade anterior em ordem alfabética e
procure seu significado no dicionário. Qual o sentido que elas têm no texto?
As imagens abaixo representam exemplos de icebergs. Como você as descreveria
para um amigo?
28
Duplicar significa tornar duas vezes maior, dobrar.
Duplique as quantidades, explorando a oralidade, seguindo o esquema do modelo
abaixo.
Modelo:
1) 4 torneiras
O que devemos calcular?Que número representa o dobro
do número dado? __________
29
2) 12 chuveiros
3) 15 copos
É possível resolver o problema “de cabeça”?
Qual o resultado?
Resposta: ___________________
Explique para turma como você chegou ao resultado do problema?
Você saberia registrar os cálculos realizados mentalmente?
Não Relate as dificuldades encontradas
Sim
Relate as dificuldades encontradas.
Registro
Sim
Não
30
4) 26 parafusos
Para calcular o dobro do número 26, Bruno realizou a seqüência de registros abaixo:
1) Discuta com seus colegas a estratégia escolhida por Bruno.
2) Qual o resultado obtido?
3) Você poderia utilizar a mesma estratégia para duplicar a quantidade de 26
sabonetes? E de 26 garrafas?
Ana resolveu o mesmo problema que Bruno e registrou seus cálculos da seguinte forma:
4) Por que Ana colocou o número 1 na coluna correspondente às dezenas?
5) Marque com um X o número que representa 1 dezena:
26 = 20 + 6
20 + 20 = 40
6 + 6 = 12
40 + 12 = 50 + 2
D U
2 6
2 6
5 2
1
31
97%
3%
água salgada
água doce
( ) 1 ( ) 10 ( ) 100 ( ) 1000
6) Você saberia repetir a estratégia utilizada para calcular o dobro do número 37?
O gráfico a seguir representa o percentual de água doce e salgada do Planeta.
Vamos interpretar o gráfico? O gráfico de pizza representa toda a água contida
no nosso Planeta. A fatia em destaque representa a quantidade de água doce do Planeta,
quando comparada com o total da quantidade de água; o que sobra representa a
quantidade de água salgada. Percebemos que a quantidade de água doce é muito
pequena comparada com a quantidade de água salgada. Por exemplo, se toda água da
superfície do Planeta fosse equivalente a 100 litros, teríamos 97 litros de água salgada
(97%) e apenas 3 litros (3%) de água doce.
1) Se toda a água da superfície do Planeta fosse equivalente a 1.000 litros, quantos
litros seriam de água salgada? E de água doce?
Supondo que toda a água da superfície da Terra é equivalente a 1000 litros, o que devemos calcular?
A quantidade de água _____________ e de água ______________ existente em ____________ litros de água.
32
Se em 100 litros de água temos 97 litros de água salgada, em 1000 litros, temos quantos litros de água salgada? ________________________
Discuta com a classe se, para calcular as quantidades de água, é importante saber a quantidade total de água da superfície da Terra.
Reflita se a informação abaixo é importante para resolver o problema proposto:
1000 litros = 100 litros x 10
Explique como você obteve o resultado.
Resumindo:
Você determinou que, se a quantidade de água da superfície da Terra fosse equivalente a 1000 litros, teríamos:
_____________________ litros de água doce
_____________________ litros de água salgada
Explique como você obteve o resultado.
Se em 100 litros de água temos 3 litros de água doce, em 1000 litros, teremos quantos litros de água doce? ________________________
33
2) E se a quantidade de água da superfície da Terra fosse equivalente a 2.000 litros,
quantos litros haveria de água doce?
Para calcular a quantidade de água , é importante saber que, se toda a água da superfície da Terra fosse equivalente a 100 litros, teríamos 97 litros de água salgada e 3 litros de água doce. Ou bastaria apenas saber que, em 100 litros, haveria somente 3 litros de água doce?
Seria possível resolver o problema sabendo apenas que, em 100 litros, haveria 97 litros de água salgada? Por quê?
Quando somamos os resultados obtidos, podemos encontrar uma quantidade superior a 1000 litros? Por quê?
Nesse novo problema, qual a quantidade de água salgada?
Se em 100 litros, temos 3 litros de água doce, em 200 litros ,teremos ____________ litros de água doce.
Se em 200 litros, temos __________ litros de água doce, em 2000,litros teremos __________________ litros de água doce.
34
Todos nós dependemos da água para sobreviver. Nos exercícios anteriores,
atestamos que a quantidade de água para consumo representa uma parcela muito
pequena do total de água do nosso Planeta. Dessa forma, é preciso economizar água.
Responda as questões abaixo:
1) A faixa média de consumo de água por pessoa é de 250 litros por dia, incluindo
limpeza da casa, higiene pessoal, preparação de alimentos e água para beber.
a) O que você entende por “A faixa média de consumo de água por pessoa é de
250 litros por dia”?
b) Quantas pessoas vivem na sua casa? ___________________________________
c) Com base na resposta do item (b), calcule “de cabeça” qual a faixa média de
consumo de água na sua casa?
Resposta: ______________________________________
Qual a solução do problema?
_______________________________
Relate para turma como você chegou ao resultado.
Que operações matemáticas você utilizou?
Relate as dificuldades encontradas.
Você saberia registrar os cálculos realizados mentalmente?
Não
35
d) Na casa de Paula, moram 3 pessoas. Ela relatou a estratégia escolhida para
determinar a faixa média de consumo de água na sua casa da seguinte forma:
“ 200 três vezes é 600 com 100 dá 700 juntando 50 fica 750”
Discuta com seus colegas a estratégia escolhida por Paula.
A professora de Paula utilizou a sentença abaixo para determinar a faixa média de
consumo na casa de Paula:
Quais as vantagens do uso do modelo utilizado pela professora?
Se na casa de Paula morassem 5 pessoas, poderíamos utilizar o mesmo modelo?
Registro
Sim
3 x 250 = 750
36
e) Supondo que o gráfico de pizza represente um consumo de 1000 litros de água,
represente no gráfico o consumo médio de água da casa de Paula.
O cálculo da tarifa de água é progressivo, isto é, quanto maior o consumo, maior é o
preço a pagar no final do mês. Marque no quadro a seguir, com um “X”, outros
serviços que possuem tarifa progressiva.
Serviços
Telefonia ( )
Coleta de lixo ( )
Energia Elétrica ( )
Abastecimento de Gás ( )
Limpeza das vias públicas ( )
Transporte Urbano ( )
2) O próximo quadro representa o consumo médio de água de alguns equipamentos da
nossa casa.
Equipamento Tempo médio de uso Consumo médio
37
Chuveiro comum 5 minutos 15 litros
Torneira de banheiro 5 minutos 12 litros
Torneira de cozinha 5 minutos 23 litros
Se uma pessoa toma banho por 10 minutos sem fechar a torneira do chuveiro, ela
consome em média 30 litros de água durante o banho.
Sabemos que:
10 minutos = 5 minutos + 5 minutos = 5 minutos x 2
Se a cada 5 minutos ela gasta em média 15 litros, em 10 minutos, ela gastará em média
15 litros + 15 litros = 30 litros
15 litros x 2
Se uma pessoa consome em média 36 litros de água para lavar o rosto sem fechar a
torneira da pia, ela utilizou em média 15 minutos para lavar seu rosto.
Sabemos que:
36 litros = 12 litros + 12 litros + 12 litros = 12 litros x _______
Se cada 12 litros são consumidos em 5 minutos, ela gastará em média
5 minutos + 5 minutos + 5 minutos = 15 minutos
_____minutos x 3
Com base no quadro relativo à pergunta 3, responda às questões:
38
a) Uma pessoa que toma um banho de chuveiro durante 20 minutos, sem fechar a
torneira do chuveiro, consome, em média, quantos litros de água?
Resposta: _________________________________
Discuta com seus colegas a estratégia utilizada para chegar à solução do problema.
b) Para fazer sua barba, João deixa a torneira do banheiro aberta durante 15 minutos.
Quantos litros de água são gastos, em média, para que João faça a barba?
Resposta: ___________________________________
Qual a estratégia utilizada para chegar à solução do problema?
c) Ana lava as louças da casa sem fechar a torneira da pia enquanto as ensaboa. Se o
consumo médio para lavar a louça do almoço foi de 39 litros, durante quantos
minutos Ana utilizou a torneira?
Resposta: ___________________________________
Reflita com a turma a estratégia utilizada para chegar à solução do problema.
d) Vamos registrar os cálculos realizados para a obtenção das soluções dos problemas ?
3) O banheiro é a área da casa onde se usa mais da metade da água consumida. Assim,
é importante que, sejam evitadas as práticas de desperdício. Medidas simples, como
as listadas a seguir, podem ser adotadas, buscando não só combater o desperdício
como também reduzir o valor da conta no fim do mês.
(fonte: sites www.cma.al.gov.br e www.tvcultura.com.br/aloescola)
Ao escovar os dentes ou ao fazer a barba, deixe a torneira fechada. O banho não
deve ultrapassar 5 minutos e, se possível, feche a torneira enquanto se ensaboa.
Se uma pessoa escova os dentes em cinco minutos com a torneira não muito
aberta, gasta 12 litros de água. No entanto, se molhar a escova e fechar a torneira
enquanto escova os dentes e, ainda, enxaguar a boca com um copo de água,
consegue economizar mais de 11,5 litros de água.
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Ao lavar o rosto em um minuto, com a torneira meio aberta, uma pessoa gasta
2,5 litros de água. A dica é: colocar um tampão na pia e fazer do lavatório um
tanquinho.
Se o banho de 15 minutos com ducha consome 135 litros de água, prefira os
chuveiros comuns.
Ao fazer a barba em 5 minutos, com a torneira meio aberta, pode-se chegar a
gastar até 12 litros de água. Muita água pode ser economizada usando-se a pia
do mesmo jeito para lavar as mãos, fazendo um tanquinho do lavatório. Assim, o
gasto de água para fazer a barba cai para 2 litros.
Uma bacia sanitária com válvula, com o tempo de acionamento de 6 segundos,
gasta 10 litros de água. Quando a válvula está defeituosa, pode chegar a gastar
até 30 litros. Por isso, faça manutenção periódica e não deixe que a bacia
sanitária seja usada como lata de lixo.
Uma torneira mal fechada e pingando gasta 46 litros por dia, quantidade
suficiente para matar a sede de uma pessoa por 20 dias. Se, por descaso do
usuário, a torneira ficar não muito aberta por 15 minutos, o gasto será de 108
litros. Faça a manutenção das torneiras regularmente.
a) Antes de ir para o trabalho, Maria escova seus dentes por 5 minutos com a torneira
não muito aberta e toma banho por 30 minutos. Utilizando essas informações,
complete o quadro abaixo para medir a quantidade média de água que Maria
consumiu para escovar os dentes e tomar uma ducha.
Equipamento Tempo médio de uso Consumo médio
Torneira de banheiro 5 minutos _____litros
Ducha 30 minutos _____litros
Total: ____litros
40
b) Suponhamos que,Maria esqueceu de fechar a torneira da pia enquanto tomava
banho. Qual o aumento do consumo de água?
Não
Que operações matemáticas você realizou “de cabeça”?
De quais informações você precisará para resolver o problema?
Resposta:
_______________
É possível resolver o problema “de cabeça”?
Por que o consumo de água irá aumentar?
Sim
Relate as dificuldades encontradas.
Pense nas estratégias utilizadas para a resolução mental do problema.
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c) Caso Maria não se esqueça de fechar a torneira da pia na hora do banho e adotar as
medidas de economia propostas anteriormente, no momento de escovar os dentes e
tomar banho, quantos litros de água poderão ser economizados?
Você saberia registrar os cálculos realizados mentalmente?
Não
Registro:
Relate as dificuldades encontradas.
Sim
Antes de resolver o problema, você deverá considerar as medidas de economia propostas.
Que medidas você deverá usar para resolver o problema?
Você saberia registrar os cálculos utilizados na resolução mental do problema?
Reflita, com os colegas da turma, as estratégias utilizadas para resolver o problema mentalmente.
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4) Elabore, em grupo, uma lista de medidas de economia para reduzir o consumo de
água na cozinha, utilizando verbos no infinitivo.
O hidrômetro é um aparelho utilizado para medir o consumo de água.
(foto: site www.copasa.com.br)
Eis uma dica da TV Cultura para detectar possíveis vazamentos: fechar todas as
torneiras e registros da casa e verificar no hidrômetro (o aparelho que mede o consumo
de água), se ocorre o movimento dos números ou do ponteiro do relógio. Caso isso
aconteça, certamente existe vazamento.
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Sugestão de pesquisa:
O volume de água consumido durante um determinado período é calculado
simplesmente pela diferença entre as leituras inicial e final do monitoramento. Escolha
um dia da semana, por exemplo, segunda-feira e anote pela manhã os números
registrados no hidrômetro de sua casa. Utilize água normalmente (como você e seus
familiares estão acostumados a fazer), até a manhã da próxima segunda-feira, quando
novamente os números registrados no hidrômetro deverão ser anotados. A diferença
entre os números representará o consumo de água durante o período. Após a última
anotação, consuma água obedecendo a algumas dicas de economia, até a próxima
segunda-feira. Novamente, anote os números registrados no hidrômetro e, em seguida,
calcule o consumo durante o período. De quanto foi a economia? Não se esqueça de
registrar as dicas que você escolheu.
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