Capítulo Matrizes e 16 determinantesjoinville.ifsc.edu.br/~paulo.amaro/Mat III/Material...Capítulo 16 –Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Igualdade de matrizes

1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Capítulo 16 – Matrizes e determinantes

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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Capítulo

16Matrizes e determinantes

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16.1

Define-se matriz do tipo m × n (lemos “m por n”) uma

tabela com m ∙ n números dispostos em m linhas

e n colunas.

Os números que compõem uma matriz são chamados

elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se

os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ).

Definição de matriz


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Exemplos

a) é uma matriz do tipo 3 × 2 (lemos: “três por dois”).

b) é uma matriz do tipo 3 × 3

(lemos: “três por três”).

c) é uma matriz do tipo 2 × 1 (lemos: “dois por um”), que, por

ter uma só coluna, recebe o nome especial de matriz coluna.

d) é uma matriz do tipo 1 × 4 (lemos: “um por

quatro”), que, por ter uma só linha, é chamada matriz linha.

16.1



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O tipo da matriz também pode ser indicado ao lado dela, na

extremidade inferior direita.

a)

b)

16.1

2 × 4

3 × 5



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Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida

por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem.

Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo

símbolo aij, em que i indica a linha que o elemento ocupa

e j indica a coluna.

Genericamente, uma matriz A é representada por

A = (aij)m × n, em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i e j ℕ.

16.2

Representação genérica de uma matriz


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A =

m × n

16.2

Uma matriz A, do tipo m × n, pode ser representada por:

Representação genérica de uma matriz


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Exercício resolvido

R1. Escrever a matriz A = (aij)2 × 3 na qual aij = i + 2j.

16.3

R2. Escrever a matriz A = (aij)3 × 2 em que aij =


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Igualdade de matrizes

Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos

de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma

posição, são denominados elementos correspondentes.

16.5

A = B =

Exemplo

Nessas matrizes, os elementos correspondentes são:

a11 e b11 a13 e b13a12 e b12 a21 e b21

a31 e b31

a22 e b22

a23 e b23 a33 e b33a32 e b32


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Duas matrizes A e B são matrizes iguais quando são do

mesmo tipo e têm os elementos correspondentes iguais.

16.6

Igualdade de matrizes


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R3. Determinar os valores de x, y e z que tornam as matrizes

A e B iguais.

16.7

A = B =


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R4. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes

A e B iguais.

A = B =

16.8


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Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é

denominada matriz nula.

Indica-se uma matriz nula do tipo m × n por: 0m × n

a) 03 × 2 =

b) 02 × 4 =

16.9

Exemplos

Matriz nula


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Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de

colunas é chamada matriz quadrada.

Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e

m colunas é do tipo m × m, ou que a matriz é de ordem m.

a) A = é uma matriz quadrada 2 × 2 ou, simplesmente,

matriz de ordem 2.

b) B = é uma matriz quadrada 3 × 3 ou matriz de

ordem 3.

16.10

Exemplos

Matriz quadrada


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Diagonais de uma matriz quadrada

Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais.

Os elementos aij com i = j formam a diagonal principal da

matriz; os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal

secundária da matriz.

A =

diagonal secundária diagonal principal

16.11

Exemplo


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Matriz identidade

Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que

todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os

demais são iguais a zero.

Assim, em qualquer matriz identidade, temos: aij =

Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: In

a) i3 = b) i5 =

16.12

Exemplos


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Matriz diagonal

Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada

e todos os elementos que não estão na diagonal principal

são nulos.

a)

b) I2 =

16.13

Exemplos

c) 04 × 4 =


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Dada uma matriz A do tipo m × n, denominamos matriz

transposta de A a matriz do tipo n × m cujas linhas são,

ordenadamente, iguais às colunas de A.

Assim, se (a’ij)n × m é transposta de (aij)m × n, temos: a’ij = aji

Indicamos a matriz transposta de A por At.

16.14

Matriz transposta


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Exemplos

a) A =

b) B =

então At =

então Bt =

16.14

Matriz transposta


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Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua

transposta, isto é, se A = At.

a) A = é simétrica, pois A = At =

b) B = é simétrica, pois B = Bt =

Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois

elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

diagonal principal diagonal principal

16.15


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R5. Determinar a matriz transposta At da matriz A =

16.16


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Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (aij)m × n

e B = (bij)m × n, a matriz soma A + B é a matriz

C = (cij)m × n, na qual cij = aij + bij para todo i e todo j.

Adição de matrizes

Considere as matrizes A e B: A = e B =

Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos

correspondentes de A e B:

C = + = =

16.17

Exemplo


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Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta

de A, e indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta

na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0m × n

+ =

Matriz oposta

Se A = , então –A = , pois:

16.18

Exemplo


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Propriedades da adição de matrizes

Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0m × n, todas de

mesmo tipo, valem as seguintes propriedades:

▪ Comutativa: A + B = B + A

▪ Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

▪ Existência do elemento neutro:

A + 0m × n = 0m × n + A = A

▪ Existência do elemento oposto:

A + (–A) = (–A) + A = 0m × n

▪ Cancelamento: A + C = B + C A = B

16.19


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A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo,

é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é:

A – B = A + (–B).

Subtração de matrizes

Sejam: A = e B =

A – B = A + (–B) = – =

= + =

16.20

Exemplo


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R6. Dadas as matrizes A = e B = , obter uma

matriz X2 × 2 tal que A + X = B.

16.21


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Sejam a matriz A = (aij)m × n e k um número real, então k ∙ A

é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por

todos os elementos de A, ou seja, kA = (kaij).

Multiplicação de um número real por uma matriz

Se A = e k = 3, então:

k ∙ A = 3 ⋅ = =

16.22

Exemplo


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R7. Determinar a matriz X na equação:

16.23

R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B

sabendo que: A = e B = .

R9. Determinar as matrizes X e Y tais que

em que A = e B = .


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Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)n × p,

o produto de A por B é a matriz C = (cij)m × p, na qual

cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos

multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i

de A pelos elementos da coluna j de B.

Multiplicação de matrizes

16.26


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iguais

16.26


O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é

definido se o número de colunas de A é igual ao número de

linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas

da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.

Am n ∙ Bn p = C m p


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Exemplo

Dadas as matrizes A = e B = , vamos determinar

A ∙ B.

Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2,

existe o produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é

igual ao número de linhas da matriz B).

Então: A ∙ B = C, sendo C = (cij)2 × 2

16.26



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Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo:

▪ c11: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela

1a coluna de B;


2a coluna de B;


1a coluna de B;


2a coluna de B.

16.26


Exemplo


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A ∙ B = =

Assim, temos:

C =

Logo: C =

16.26


Exemplo


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Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades:

▪ Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)

▪ Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C

▪ Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙

Propriedades da multiplicação de matrizes

16.27


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A ∙ B = e B ∙ A =

Dadas as matrizes A = e B = , obtemos os

seguintes produtos:

Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A.

16.27

Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A.

Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação

de matrizes.



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A ∙ B = e A ∙ C =

Dadas as matrizes A = , B = e C = ,

obtemos:

Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C.

Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos

concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é, não

vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo.

16.27



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A ∙ B = , que é a matriz nula.

Dadas as matrizes A = e B = , obtemos

o produto:

Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0.

Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode

ser uma matriz nula. Veja:

16.27



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R10. Resolver a equação matricial: X ∙ =

16.28


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Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma

matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que

A ∙ B = B ∙ A = In, então B será a matriz inversa de A,

indicada por A–1.

Matriz inversa

Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é

invertível ou não singular.

16.29


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A–1 ∙ A= =

Exemplo

A inversa da matriz A = é matriz A–1 = , pois:

A ∙ A–1 = = e

Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se

A ∙ B = I, então B ∙ A = I.

16.29

Matriz inversa


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R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes:

a)

16.30

b)


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A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado

determinante da matriz, que é obtido por meio de

operações entre os elementos da matriz.

Determinante de uma matriz

Para representar o determinante de uma matriz A (indicado

por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da

matriz por barras simples:

▪ A = e det A =

▪ A = [4] e det A = |4|

▪ A = e det A =

16.31


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O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1,

A = (a11), é o próprio elemento de A.

det A =|a11|= a11

Determinante de uma matriz de ordem 1

a) A = (4) det A = |4| = 4

b) B = det B = | | =

16.32

Exemplos


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O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2,

A = , é a diferença entre o produto dos elementos

da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal

secundária.

det A = =


a) A = det A =

b) B = det B =

16.33

Exemplos


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Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante

de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o

procedimento explicado a seguir.


Considere a matriz: A =

16.34


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Descrição do procedimento Aplicação do procedimento

16.34

1o) Ao lado da matriz, copiam-se

suas duas primeiras colunas.

2o) Multiplicam-se os elementos

da diagonal principal e, na mesma

direção dessa diagonal,

multiplicam-se os elementos de

cada uma das duas paralelas à

sua direita.



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16.34

3o) Multiplicam-se os elementos

da diagonal secundária e, na

mesma direção dessa diagonal,

os elementos de cada uma das

duas paralelas à sua direita.

4o) O determinante da matriz é

obtido pela diferença entre as

somas dos produtos do 2o e do

3o passo, nessa ordem.

det A = (a11a22a33 + a12a23a31 +

a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 +

a12a21a33)



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Exemplo

a) Considerando a matriz A = , temos:

–6 12 0 10 –8 0

Assim:

det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4

16.35



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b) Considerando a matriz B = , temos:

–12 –72 54 –108 –18 24

Assim:

det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72

16.35


Exemplo


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R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja

verdadeira.

= 0

16.36


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R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas

dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da

fórmula:

ARST = , em que D =

Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3

tal que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos,

a 2a, pelas ordenadas e a 3a por 1.

Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos

R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3).

16.37


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Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se

cofator de um elemento aij de A o número real

Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da

matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que

contêm o elemento aij.

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Cofator de uma matriz

16.38


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Exemplos

a) Seja A =

Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A, obtemos

A12 = (–1)1+2 ∙

Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12.

16.38




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b) Seja B =

Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos

B34 = (–1)3+4 ∙

Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34.

16.38

Exemplos




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O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a

soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer

(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Teorema de Laplace

16.39



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A =

Exemplo

Escolhendo a 1a linha, temos:

det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14

det A = 1 ∙ (–1)2 ∙ + 2 ∙ (–1)2 ∙ +

+ (–3) ∙ (–1)4 ∙ + 0 ∙

16.39



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Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0

Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43

Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna

que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou

coluna que tiver mais zeros.

16.39

Observação

Exemplo



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R14. Calcular o determinante da matriz A =

16.40


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Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma

matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0.

Simplificação do cálculo de determinantes

16.41

1a propriedade: Fila nula


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Exemplo

A = ⇒ det A =

det A = 0 ⋅ (–1)2+1 + 0 ⋅ (–1)2+2 ⋅ + 0 ⋅ (–1)2+3

+ 0 ⋅ (–1) 2+4 ⋅

det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0


1a propriedade: Fila nula

16.41


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Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma

matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então

det A = 0.

2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais

16.42



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a) Seja A =

det A = –28 + 252 + 240 – (252 + 240 – 28) = 0

b) Considerando a matriz B = , temos:

det B = 18 + 24 + 16 – (18 + 16 + 24) = 0

16.42


2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais

Exemplo


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Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação

linear de outras filas paralelas, então det A = 0.

3a propriedade: Combinação linear

16.43



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Seja a matriz A =

Temos: det A = 10 – 2 + 0 – (0 – 0 + 8) = 0.

Observe que nessa matriz a 3a coluna é uma combinação linear

das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a

2 vezes os elementos da 1a coluna somados aos opostos dos

elementos da 2a coluna).

16.43


3a propriedade: Combinação linear

Exemplo


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O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao

determinante de sua transposta.

4a propriedade: Determinante da matriz transposta

16.44



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Exemplo

Seja A =

Então: det A = 16 + 0 – 20 – (–3 + 0 + 0) = – 1

At =

det At = 16 – 20 + 0 – (–3 + 0 + 0) = –1

16.44

4a propriedade: Determinante da matriz transposta



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Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos

de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da

matriz obtida fica multiplicado por k.

5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante

16.45



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Exemplo

Multiplicando a 2a coluna de A por –3, temos:

B =

Assim: det B = –45 + 108 + 0 – (18 + 12 – 0) = 33.

Logo: det B = (–3) ∙ det A

16.45

Se A = , então: det A = 15 – 36 – 0 – (–6 – 4 + 0) = –11

5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante



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Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz

quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do

determinante de A.

6a propriedade: Troca de filas paralelas

16.46



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Exemplo

Se A = , então: det A = 21 + 40 – 0 – (12 – 5 + 0) = 54

Trocando a 1a e a 3a linhas de posição, temos:

B =

Assim: det B = 12 – 5 + 0 – (21 + 40 – 0) = –54

Logo: det B = –det A

16.46

6a propriedade: Troca de filas paralelas



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Se todos os elementos situados de um mesmo lado da

diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos,

o determinante de A é igual ao produto dos elementos

dessa diagonal.

7a propriedade

16.47



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Exemplo

7a propriedade

Considerando a matriz A = , temos:

det A = 1 ∙ 2 ∙ 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8

16.47



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Em uma matriz quadrada A de ordem n, se

multiplicarmos os elementos de uma fila por uma

constante qualquer e adicionarmos os resultados aos

elementos correspondentes

de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que

det B = det A.

Teorema de Jacobi

16.48



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Exemplo

Dada a matriz M = , temos:

det M = 0 + 10 + 6 – (–10 – 2 + 0) = 28

▪ Triplicando os elementos da 3a coluna de M e somando aos da

1a coluna de M, obtemos:

N =

det N = 0 + 10 + 12 – (–10 + 4 + 0) = 28

16.48

Teorema de Jacobi



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Exemplo

P =

det P = –20 – 50 + 18 – (–30 + 10 – 60) = 28

16.48

▪ Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1a coluna de M

e somando aos da 3a coluna de M, obtemos:

Teorema de Jacobi



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Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n,

então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B)

Teorema de Binet

16.49

Exemplo

Sendo A = e B = , temos:

det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60

A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60

Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B)



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Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A–1 a sua inversa:

Determinante da matriz inversa

A ∙ A–1 = In e det (A ∙ A–1) = det In

Pela 7a propriedade, sabemos que:

det In = 1n = 1

Aplicando o teorema de Binet, temos:

det A ∙ det A–1 = 1

16.50



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Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é

não nulo, isto é, det A ≠ 0; assim:

det A–1 =


Verificamos também que, se det A ≠ 0, então A é uma

matriz invertível.

16.50



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Exemplo


Sendo A = , então:

det A = 0 + 20 + 0 – (8 + 15 + 0) = –3

Portanto: det A–1 =

16.50



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R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que

det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 ∙ A,

calcular seu determinante.

16.51


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R16. Calcular o determinante da matriz A =

16.52


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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso

Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,

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Capítulo 1 – Conjuntos



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Capítulo 17 – Sistemas lineares


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Capítulo

17 Sistemas lineares

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Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de

recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias

em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de

contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é

dada pela tabela a seguir.

Sistemas lineares

Tipo de recipiente I II

A 4 3

B 5 2

17.1

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Para determinar o número de recipientes x1 e x2 de

cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar

42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos

montar um sistema:

As equações desse sistema são do 1o grau e são chamadas

de equações lineares.

17.1

Sistemas lineares

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Equação linear é toda equação que pode ser escrita a1x1 +

+ a2x2 + ... + anxn = b, em que x1, x2,..., xn são incógnitas;

os números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das

incógnitas; e o número real b é o termo independente.

Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é

chamada de homogênea.

Equações lineares

Exemplos de equações lineares

▪ x1 + 3x2 – x3 = 7

▪ x – w = 3

▪ –x1 + 1,5x2 = 0 (homogênea)

▪ 2x + 3y – z = 0 (homogênea)

17.2

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Exemplos de equações não lineares

▪ x2 + 3y – z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1)

▪ x – = 3 (apresenta uma incógnita no denominador)

▪ 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz)

17.2

Equações lineares

1y

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Exemplos

▪ O par ordenado (3, 5) é solução da equação –3x + 2y = 1

–3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 1 S = {(3, 5)}

▪ (1, 3, 5) não é solução da equação 3x – 2y – 3z = 14

3 ∙ 1 – 2 ∙ 3 – 3 ∙ 5 ≠ 14 (1, 3, 5) não é solução.

▪ (0, 0, 0) é solução da equação

x + 2y – 3z = 0 → 0 + 2 ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0 S = {(0, 0, 0)}

Equação homogênea

17.3

Solução de uma equação linear

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Solução de uma equação é toda ênupla de números

reais (1, 2, ..., n) que torna a igualdade a1x1 + a2x2 +

+ ... + anxn = b verdadeira, isto é, tal que a11 + a22 +

+ ... + ann = b seja verdadeira.

17.3

Solução de uma equação linear

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R1. Sabendo que o par ordenado (2a, a) é a solução da

equação 4x + 3y = 10, determinar o valor de a.

17.4

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Por exemplo, observe a reação de combustão do gás

metano, representada pela equação:

CH4 + O2 → CO2 + H2O

reagentes produtos

Número de átomoscarbono (C): 1

hidrogênio (H): 4oxigênio (O): 2

Número de átomoscarbono (C): 1hidrogênio (H): 2oxigênio (O): 3

17.5

Sistemas de equações lineares

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Em Química, uma equação está balanceada quando o

número de átomos dos reagentes é igual ao número de

átomos dos produtos. Então, para balancear essa

equação, podemos multiplicar cada substância por uma

incógnita e formar um sistema de equações lineares.

aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O

a = c números de átomos de carbono

4a = 2d números de átomos de hidrogênio

2b = 2c + d números de átomos de oxigênio

17.5


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Um sistema de equações lineares de m equações com n

incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser

escritas na forma:

a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = bm

em que x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, am1, ..., amn

são os coeficientes reais; os números reais b1, b2, ..., bm são

os termos independentes.

17.6


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Exemplos

17.6

(sistema de 2 equações com 2 incógnitas)


= (sistema de 3 equações com 4 incógnitas)



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A ênupla (1, 2, ..., n) é solução de um sistema

linear de m equações com n incógnitas quando é

solução de cada uma das equações do sistema.

Exemplo

Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções:

▪ 2x + y = 4 (–1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ...

▪ x + 2y = 5 (–1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0), ...

Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como

solução comum.

Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear

17.7


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Solução de um sistema linear

Exemplos

a)

Os ternos ordenados (2, 5, 2), (3, 2, 0) e (–1, 14, 8) são algumas

das soluções do sistema abaixo.

Podemos verificar isso substituindo os valores de cada termo no

sistema. Observe:

▪ (2, 5, 2) é solução, pois:

17.8

2 – 5 + 2 ∙ 2 = 1 (verdadeira)

–2 ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = –2 (verdadeira)

2 + 5 – 2 = 5 (verdadeira)

123

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Exemplos

a)

▪ (3, 2, 0) é solução, pois:

▪ (–1, 14, 8) é solução, pois:

17.8


3 – 2 + 2 ∙ 0 = 1 (verdadeira)

–2 ∙ 3 + 2 ∙ 2 – 4 ∙ 0 = –2 (verdadeira)

3 + 2 – 0 = 5 (verdadeira)

123

–1 – 14 + 2 ∙ 8 = 1 (verdadeira)

–2 ∙ (–1) + 2 ∙ 14 – 4 ∙ 8 = –2 (verdadeira)

–1 + 14 – 8 = 5 (verdadeira)123

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Exemplos

b)

O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do

sistema pois, substituindo esses valores nas

equações, temos:

(verdadeira)

(falsa)

17.8


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Exemplos

c)

Vamos encontrar a solução do sistema pelo método

da adição.

Para isso, devemos multiplicar os membros de uma ou mais equações

por números convenientes e, depois, adicioná-las membro a membro,

de modo a eliminar uma incógnita.

Assim:

17.8


Multiplicando a 1a equação por 2

7x = 14 x = 2

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Exemplos

c)

Substituindo x = 2 na equação 2x + y = 5, temos: 2 ∙ 2 + y = 5

y = 5 – 4 y = 1

Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(2, 1)}

17.8


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▪ 2x + y = 4 → pontos de uma reta r

▪ x + 2y = 5 → pontos de uma reta s

▪ O ponto P, intersecção das retas r e s,

representa o par ordenado (1, 2); portanto,

o ponto P é a solução gráfica desse sistema.

17.9

1o caso

Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas

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Interpretando graficamente

as equações, temos:

Como as equações são representadas por retas paralelas e

distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par

ordenado que seja solução do sistema.

(reta r)

(reta s)

17.10

2o caso


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Interpretando graficamente as equações do sistema

, temos:

Como as equações são representadas por retas coincidentes,

existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.

(reta r)

(reta s)

17.10


3o caso

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R2. Resolva o sistema de equações:

17.11

(I)

(II)

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De acordo com o número de soluções, um sistema linear é

classificado em:

a) sistema possível e determinado (SPD) → uma só solução;

b) sistema possível e indeterminado (SPI) → infinitas

soluções;

c) sistema impossível (SI) → nenhuma solução.

17.12

Classificação de um sistema linear

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Exemplos

Produção. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura tinta látex

e corante conforme a cor escolhida pelo consumidor. O preço de

uma lata de tinta é calculado de acordo com as quantidades de

cada uma dessas substâncias. Vamos calcular a quantidade de litros

de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de

20 litros, obtenha:

a) latas que custem R$ 100,00, se o preço do litro de látex for

R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 8,00.

17.13


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Resolvendo esse sistema, obtemos:

x = 15 e y = 5

Logo, o conjunto solução é S = {(15, 5)},

isto é, o sistema tem apenas uma solução

e é um sistema possível e

determinado (SPD).

Representando graficamente o

sistema, temos:

17.13

a) Representando a quantidade, em litro, de látex e de corante por x

e y, respectivamente, construímos o sistema:


r ⋂ s = {P} SPD

Exemplos

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Exemplos

b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for


Nesse caso, construímos o sistema:

A 2a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1a equação,

representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas

soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7).

Observe que essas soluções são do tipo (20 – k, k), com

0 < k < 20 e k ∈ ℝ.

Logo, a solução S = {(20 – k, k) | k ∈ ℝ e 0 < k < 20} e o sistema é

um sistema possível e indeterminado (SPI).

17.13


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b) Representando graficamente o sistema, temos:

Note que os gráficos que representam as duas equações são

retas coincidentes, ou seja, as retas têm infinitos pontos em

comum.

17.13

r ⋂ s = r = s SPI


Exemplos

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Exemplos

c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for


Para essa situação, vamos considerar o sistema:

Resolvendo o sistema, temos:

17.13


– 8x – 8y = –1608y + 8y = 120

0x + 0y = –40 ⇒ 0 = –40 (falsa)

x + y = 208y + 8y = 120

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c) Ou seja, não há valores para x e y que tornem a sentença

verdadeira. Portanto, S = ∅ e o sistema é um sistema

impossível (SI).

Observe que os gráficos que

representam as duas equações

são retas paralelas e distintas,

ou seja, as retas não

possuem pontos em comum.

17.13


Exemplos

ANOTAÇÕES EM AULA




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Lazer. Um jogo de computador tem início com a distribuição de

fichas coloridas aos participantes. Veja na tabela abaixo a

quantidade de fichas que cada jogador recebeu:

O programa atribui valores às fichas conforme sua cor. Para calcular

o valor de cada ficha, sabendo que, para cada jogador, a soma da

quantidade de fichas multiplicada por seus valores é zero,

montamos o seguinte sistema:

Azul Branca Cinza

Ari 3 2 1

Laís 1 2 3

João 5 6 7

17.14


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Neste caso, também há outras soluções. Pela substituição de a, b e c,

verificamos que, para ∈ ℝ, o terno ordenado (, –2, ) é solução

do sistema:

Assim, para cada valor de que substituímos no terno (, –2, ),

obtemos uma solução. Por exemplo, para = 1, temos a solução

(1, –2, 1).

17.14


Exemplo

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Quando um sistema é formado apenas por equações

homogêneas, ou seja, quando todos os termos

independentes são nulos, o sistema é denominado

homogêneo.

Sistemas lineares homogêneos

Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas

admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução. Essa solução é

chamada solução nula, trivial ou imprópria.

Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema

homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria.

17.15

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Exemplos

17.15

▪

▪

▪

Sistemas lineares homogêneos

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R3. Determine a, b e c para que o sistema a seguir seja

homogêneo:

17.16

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Matriz associada a um sistema

Exemplo

a)

▪ Chamamos de matriz associada incompleta a matriz

, formada apenas pelos coeficientes das incógnitas

do sistema.

▪ Chamamos de matriz associada completa a matriz

, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos

termos independentes.

17.17

Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.

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Matriz associada a um sistema

Exemplo

b)

matriz associada incompleta

matriz associada completa

17.17

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Representação matricial de um sistema

17.18

Exemplo

a)

A representação matricial associada a esse sistema

é dada por:

Podemos verificar se essa representação matricial está correta

efetuando a multiplicação de matrizes:

7 –4 ∙ x ⟶ 7x – 4y = –1

y

1 3 ∙ x ⟶ 1x + 3y = 7

y

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Exemplo

b)

Representação matricial:

Podemos verificar essa representação matricial efetuando a

multiplicação de matrizes:

17.18

Representação matricial de um sistema

1 0 2 ∙ x ⟶ 1x + 0y + 2z = 1

y

z

1 –2 1 ∙ x ⟶ 1x – 2y + 1z = 3

y

z

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R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial:

17.19

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Considere o sistema de equações:

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3

17.20

1o) Montamos a matriz associada incompleta e

calculamos seu determinante D.

▪ É importante observar que a regra de Cramer só pode

ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e

n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não

podemos aplicá-la.

2o) Calculamos o determinante Dx, substituindo, na

matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes

de x pela coluna dos termos independentes.

D =

Dx =

Descrição do procedimentoAplicação do procedimento

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Descrição do procedimentoAplicação doprocedimento

17.20

3o) Calculamos o determinante Dy, substituindo, na


de y pela coluna dos termos independentes.

Dy =

4o) Calculamos o determinante Dz, substituindo, na


de z pela coluna dos termos independentes.

5o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer:

Dz =

x =

y =

z =


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ANOTAÇÕES EM AULA


Descrição do

procedimentoAplicação do procedimento

17.21

1o) Resolvendo o sistema

pelo método da

adição, temos:

2o) Substituindo x em

qualquer das equações,

encontramos:

x = , se ad – bc ≠ 0

y = , se ad – bc ≠ 0


ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA



17.21

3o) Observe agora os

determinantes de algumas

matrizes obtidas do sistema:

4o) Observando as equações dos

dois primeiros passos e os

determinantes, concluímos

que, se D ≠ 0, a solução do

sistema é dada por:

▪ D = = ad – bc

▪ Dx = = k1d – k2b

▪ Dy = = k2a – k1b

x =

y =


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Exemplo

a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer.

Primeiro, reescrevemos o sistema:

Depois, calculamos:

D = = –2, Dx = = –2 e Dy = = –6

Agora, usando a regra de Cramer, temos:

x = = 1 e y = = 3

Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)}

17.22


ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplo

b) Vamos encontrar a solução do sistema ,

usando a regra de Cramer:

D = = 62,

Dx = = 62, Dy = = –62 e Dz = = 0

Logo:

x = = 1, y = = –1 e z = = 0

Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)}

coluna dos termos independentes

17.22


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ANOTAÇÕES EM AULA



R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de

cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão,

arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo,

mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a

composição de cada cesta:

▪ cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão;

▪ cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão;

▪ cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão.

Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00,

R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada

produto citado?

17.23

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R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso,

Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão,

quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar

uma balança que estava no local da inscrição. No

entanto, a balança indicava apenas valores acima de

80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas

a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam,

juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla,

106 kg. Determine quanto cada uma pesava no

ato da inscrição.

17.24

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Dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando

têm o mesmo conjunto solução. Indicamos por S1 ~ S2.

Sistemas lineares equivalentes

Exemplo

a) S1= e S2 =

2 ∙ 2 + 3 = 7 (sentença verdadeira)

(2,3) é solução do sistema S1

2 + 3 = 5 (sentença verdadeira)

3 ∙ 2 + 3 = 9 (sentença verdadeira)

(2,3) é solução do sistema S2

7 ∙ 2 – 3 ∙ 3 = 5 (sentença verdadeira)

Como S = {(2,3)} é conjunto solução dos dois sistemas, S1 e S2 são

chamados de sistemas equivalentes: (S1 ~ S2)

17.25

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplo

b) S1= e S2 =

2 + (–2) + 2 ∙ = 2 (sentença verdadeira)

2 ∙ 2 + (–2) + 2 ∙ = 4 (sentença verdadeira)

3 ∙ 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙ = 6 (sentença verdadeira)

2 – (–2) – 2 ∙ = 2 (sentença verdadeira)

2 ∙ 2 – 3 (–2) – 6 ∙ = 4 (sentença verdadeira)

2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙ = 2 (sentença verdadeira)

Assim, se = 1, o terno (2, –2, 1) é uma das infinitas soluções de S1 e S2.

Como S = {(2, –2, ) | ∈ ℝ} é o conjunto solução dos dois sistemas,

temos S1 ~ S2.

Para todo número real ,

(2, –2, ) é solução de S1

(2, –2, ) também é

solução de S2

17.25

Sistemas lineares equivalentes

ANOTAÇÕES EM AULA




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R7. Verificar se os sistemas e

são equivalentes.

17.26

R8. Sabendo que os sistemas são equivalentes,

determine p e q.

S1 = e S2 =

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Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação

para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes

nulos antes do primeiro coeficiente não nulo.

Sistema escalonado

Exemplos

17.28

▪

▪

▪

ANOTAÇÕES EM AULA




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a)

Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5

Substituindo z por 5 na 2a equação: 2y – 5 = 3 ⇒ y = 4

Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1a equação, obtemos:

2x – 4 + 5 = 2 ⇒ x =

Logo, há uma só solução: ( , 4, 5)

Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD).

17.29

Resolução e classificação de um sistema escalonado

ANOTAÇÕES EM AULA




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b) O sistema tem duas equações e três

incógnitas.

Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é

equivalente ao sistema:

Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 – 5k.

Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por

exemplo, fazendo k = –6, obtemos o terno (34, –18, –6), que

satisfaz o sistema.

Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas soluções,

ou seja, é um sistema possível e indeterminado (SPI).

17.29


ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 – 5k, 3k, k), em

que k é real.

▪ É importante observar que, quando um sistema admite infinitas

soluções (SPI), chamamos a variável que assume o valor k,

real, de variável livre. Há sistemas com mais de uma variável

livre. Nesse exemplo, z é a única variável livre.

c) Na última equação do sistema , não há valores

para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda

multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o

sistema é impossível (SI).

17.29


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ANOTAÇÕES EM AULA


Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas

equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o

procedimento usado nos exemplos a seguir.

a) Vamos escalonar o sistema , adotando os

seguintes passos:

17.30

O processo do escalonamento

ANOTAÇÕES EM AULA




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1o) Escolhemos como 1ª equação

aquela cujo coeficiente da 1a

incógnita seja não nulo e, se

possível, igual a 1 ou a –1, o

que simplifica o processo.

Então, invertendo a posição

da 1a e da 2a equação, temos:


x + y – 2z = 3 (2a equação do sistema original)3x – y + z = 5 (1a equação do sistema original)2x + 3y – z = 7 (3a equação)

17.30

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA



2o) Anulamos os coeficientes de x

da 2a e da 3a equação.

Para isso vamos:

▪ Multiplicar a 1a equação por

–3 e somar a equação obtida

com a 2a;

▪ Multiplicar a 1a equação por

–2 e somar a equação obtida

com a 3a.

Depois substituímos as novas

equações no sistema anterior.

123

123


17.30

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA



3o) Para facilitar a resolução,

vamos inverter a 2a e a 3a

equação do sistema anterior.

Assim, o coeficiente de y na

2a equação será 1.

4o) Anulamos o coeficiente de y

na 3a equação. Para isso,

vamos multiplicar a nova

2a equação por 4 e somar o

produto obtido com a nova

3a equação:

(3a equação do sistema anterior)(2a equação do sistema anterior)


17.30

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA



5o) Após substituir a 3a equação

pela soma obtida, temos o

sistema escalonado:


x + y – 2z = 3y + 3z = 1

19z = 0

17.30

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Com o sistema original escalonado, a resolução fica facilitada:

▪ da 3a equação, temos z = 0;

▪ substituindo z por 0 na 2a equação, obtemos y = 1;

▪ substituindo z por 0 e y por 1 na 1a equação, obtemos x = 2.

Portanto, a solução do sistema é: (2, 1, 0)


17.30

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA



R9. Escalonar e resolver o sistema:

17.31

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Discussão de um sistema linear

Discutir um sistema linear em função de um ou mais

parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o

sistema é:

▪ possível e determinado (SPD);

▪ possível e indeterminado (SPI);

▪ impossível (SI).

17.32

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Sendo D o determinante da matriz associada incompleta

de um sistema linear de n equações e n incógnitas:

▪ D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado (SPD);

▪ D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI) ou

sistema impossível (SI).

Aplicação do determinante

Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é

uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu

determinante, por isso aplicamos o método do

escalonamento para discutir esse sistema.

17.33

ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplo

a) Para discutir o sistema em função de k,

calculamos:

D = = k – 3

▪ D ≠ 0 k – 3 ≠ 0 k ≠ 3 SPD

▪ D = 0 k – 3 = 0 k = 3 SPI ou SI

Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para

saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema

original e prosseguimos a análise:

17.34


ANOTAÇÕES EM AULA




ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplo

a) Dividindo todos os termos da 2a equação por 3, obtemos:

Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo!

Logo, o sistema é impossível (SI).

Conclusão:

17.34


(I)

(II)

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Exemplo

b) Para discutir o sistema em função de m,

calculamos:

D = = 1 – m2

▪ D ≠ 0 ⇒ 1 – m2 ≠ 0 m ≠ ±1 ⇒ SPD

m = 1 ⇒ ⇒ SPI

▪ D = 0 ⇒ m = ±1

m = –1 ⇒ ⇒ SI

17.34


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R10. Discutir o sistema em função de k.

17.35

R11. Discutir o sistema


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EDITORA MODERNA














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Capítulo 18 – Análise combinatória


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Capítulo

18 Análise combinatória

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Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul

pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3

tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda

se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de

sanduíche Raul pode montar?

Situações envolvendo contagem

18.118.1


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Raul pode fazer três tipos de escolha:

▪ E1: pão francês (f) ou integral (i);

▪ E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou

hambúrguer (h);

▪ E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq).


18.1


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E1 E2 E3 Sanduíche

▪ Organizando as opções em um esquema, temos:

2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades

Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial.

18.1

pão francês

pão integral

calabresa

presunto

hambúrguer

calabresa

presunto

hambúrguer

com queijo

com queijo

com queijo

com queijo

com queijo

com queijo

sem queijo

sem queijo

sem queijo

sem queijo

sem queijo

sem queijo

f c cq

f c sq

f p cq

f p sq

f h cq

f h sq

i c cq

i c sq

i p cq

i p sq

i h cq

i h sq


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ANOTAÇÕES EM AULA


Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12

tipos de sanduíche.


18.1


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Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de

uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando

lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa

(k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos

obter cara (c) ou coroa (k).


18.2


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ANOTAÇÕES EM AULA


Vamos representar esses lançamentos em uma árvore

de possibilidades:


18.2

cara

coroa

coroa

cara

coroa

cara cc

ck

kc

kk

1o lançamento 2o lançamento Resultado

2 possibilidades 4 possibilidades


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Outro recurso para representar todas as possibilidades é a

tabela de dupla entrada:

Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk.


Cara (c) Coroa (k)

Cara (c) cc ck

Coroa (k) kc kk

18.2


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ANOTAÇÕES EM AULA


Para calcular o número de resultados possíveis de um

acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades,

usamos o princípio multiplicativo, também conhecido

como princípio fundamental da contagem:

O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou

mais etapas.

Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas

sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se,

para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número

de maneiras de ocorrência do acontecimento é m ∙ n.

Princípio multiplicativo

18.3


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18.4


R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório,

há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles

podem ocupar essas cadeiras?


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R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no

Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3

letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as

possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema?

(Considere o alfabeto com 26 letras.)

18.5

O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa

de automóvel:

3 letras 4 algarismos



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R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com

os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

18.6



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ANOTAÇÕES EM AULA


R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos

que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8.

18.7



ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos

formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e

divisíveis por 5?

18.8



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ANOTAÇÕES EM AULA


R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou

falso. De quantos modos distintos é possível preencher o

gabarito de respostas?

18.9



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ANOTAÇÕES EM AULA


O fatorial de um número natural n é representado por n!

(lemos: “n fatorial”) e é definido por:

▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1, para n ≥ 2

▪ 1! = 1

▪ 0! = 1

Fatorial de um número natural

Exemplos

a) 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

b) 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3.628.800

18.10


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Simplificação de expressões com fatorial

Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições.

Observe:

▪ 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9!

9!

▪ n! = n ∙ (n – 1)!

▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2)! e assim por diante.

Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações

de expressões.

18.11


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


a)

b)

c)

Simplificação de expressões com fatorial

Exemplos

18.11


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R7. Calcule n sabendo que

18.12


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ANOTAÇÕES EM AULA


Quando trocamos a ordem das letras que formam uma

palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter

significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos

anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR.

Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R).

Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da

segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra.

Logo, pelo princípio multiplicativo, temos:

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, ou seja, 24 anagramas.

Anagramas

18.13


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Anagramas

Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma

árvore de possibilidades:

18.13

M A ROMA

1a letra 2a letra 3a letra 4a letra Anagrama

O

R

A

M

R

A

M

O

MRARAMMOAOA

R

R

O

O

M

M

M

M

A

A

A

OAMROARM

OMRAOMAR

ORAMORMARAMORAOMRMAORMOAROAM

M

A

O

R

ORARAO

R

RO

OA

A

MAOR

MROA

MAROMOARMORAMRAO

A

M

O

R

ORMRMO

R

RO

OM

M

AMOR

AROM

AMROAOMRAORMARMO


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ANOTAÇÕES EM AULA


Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação

simples das letras da palavra AMOR.

De uma permutação para outra, os elementos são sempre os

mesmos; eles apenas mudam de posição.

Anagramas

18.13


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Dado um conjunto de n elementos, chama-se

permutação simples dos n elementos qualquer

agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos.

Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam

um todo com a finalidade de obter uma nova configuração.

Permutação simples

18.14

Indica-se por Pn o número de permutações simples de n

elementos.


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ANOTAÇÕES EM AULA


O número de permutações simples de n elementos é

dado por:

Pn = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1,

ou Pn = n!

Número de permutações Simples

18.15


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Permutação com elementos repetidos

O número de permutações de n elementos, dos quais n1

é de um tipo, n2 de um segundo tipo, ..., nk de um

k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por:

18.16


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ANOTAÇÕES EM AULA


R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o

motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros

podem ocupar os assentos do veículo?

18.17


R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos

apresentam:

a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem?

b) as letras T, A e R juntas?

R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER

começam por:

a) consoante;

b) vogal.


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R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma

cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza.

Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se

sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse

modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as

possíveis trajetórias que Pedro pode fazer?

18.20



ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo

simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer

agrupamento ordenado (sequência) de p elementos

distintos, escolhidos entre os n possíveis.

Indica-se por An,p, ou o número de arranjos simples de n

elementos tomados p a p.

Arranjo simples

18.21


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso

geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p ≤ n,

indicado por .

Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do

agrupamento, n – 1 possíveis escolhas para o segundo

elemento, n – 2 para o terceiro elemento, ..., n – (p – 1)

possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento.

Número de arranjos simples

18.22


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de

arranjos simples de n elementos p a p é:

An,p = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ [n – (p – 1)], 0 < p < menor ou igual > n.

p fatores


18.22


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Desenvolvendo a expressão do 2o membro e multiplicando-o

por , temos:

Então:


18.22

An,p =


ANOTAÇÕES EM AULA



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R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível

escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7?

18.23


R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De

quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas

cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas?


ANOTAÇÕES EM AULA



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Dado um conjunto de n elementos, chama-se

combinação simples dos n elementos, tomados p a p,

qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de

p elementos escolhidos entre os n possíveis.

Indica-se por Cn,p ou o número de combinações simples de n

elementos tomados p a p, com p ≤ n.

Combinação simples

18.25


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


O número total de combinações de n elementos tomados p a p

é igual ao quociente entre o número de arranjos (An,p) e o

número de permutações (p!):

Portanto:

Número de combinações simples

18.26


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ANOTAÇÕES EM AULA


R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3o ano, três serão

escolhidos para formar a comissão de formatura. De

quantos modos distintos é possível formar essa comissão?

18.27



ANOTAÇÕES EM AULA



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R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se

marcar 15 números entre os 25 que constam no volante.

De quantas maneiras é possível preencher um cartão

da Lotofácil?

18.28

REPRO

DU

ÇÃO



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ANOTAÇÕES EM AULA


R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um

mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3

pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos

podem ser formados com 3 desses pontos como vértices.

18.29



ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma

serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas

e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes

podem ser formadas:

a) se não houver restrições quanto ao sexo?

b) com 2 garotas e 2 garotos?

18.30



ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Dados dois números naturais n e k, com n ≥ k, chamamos de

coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre

k, e indicamos por , o número:

Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do

coeficiente binomial.

Coeficiente binomial

18.31


ANOTAÇÕES EM AULA



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Exemplos

a) O coeficiente binomial 7 sobre 4 é:

b) O coeficiente binomial 11 sobre 2 é:


18.31


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns

valores de k:

▪ Para k = 0:

▪ Para k = n:

▪ Para k = 1:


18.31


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam

o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é

igual a esse numerador, isto é:

são complementares se p + q = n

Coeficientes binomiais complementares

18.32


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo

numerador e o mesmo denominador, ou se eles são

complementares.

Considerando dois coeficientes binomiais complementares

, temos:

Assim:

Igualdade de coeficientes binomiais

18.33


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplos

a)

b)

c)

d)

Igualdade de coeficientes binomiais

18.33


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Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes

binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes

binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa

mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados

numa mesma coluna.

Triângulo de Pascal

18.34


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



18.34

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

Linha n

coluna 0

coluna 1

coluna 2

coluna 3

coluna 4

coluna 5

coluna n


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Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos

outra representação para o triângulo de Pascal:


11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

18.34


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


1a propriedade

Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam

por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1

Exemplos

a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento

é = 1.

b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento

é = 1.

Propriedades do triângulo de Pascal

18.35


ANOTAÇÕES EM AULA



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2a propriedade

Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes

equidistantes dos extremos são iguais.

A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes

equidistantes dos extremos serem representados por

coeficientes binomiais complementares.


18.35


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplos

a) Na linha 5 do triângulo, temos:

b) Na linha 8 do triângulo, temos:


18.36


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


3a propriedade – Relação de Stifel

Cada elemento , da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual

à soma dos elementos que estão na linha n – 1, nas colunas

k –1 e k. Ou seja:

Essa é a chamada relação de Stifel.


18.37


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



18.37

Exemplo

3a propriedade – Relação de Stifel


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


4a propriedade

A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é

igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à

posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é

igual a 2n.


18.38


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Exemplo

Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do

triângulo de Pascal:


Linha 0 1 soma = 20 = 1

Linha 1 1 1 soma = 21 = 2

Linha 2 1 2 1 soma = 22 = 4

Linha 3 1 3 3 1 soma = 23 = 8

Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 24 = 16

18.38


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


5a propriedade

A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento

até o elemento da linha n, é igual a .

Exemplo


1 + 1 + 1 + 1 = 4

1 1 + 2 + 3 = 61 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1

18.39


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


6a propriedade

A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro

elemento até o elemento da coluna k, é igual a .

Exemplo


18.40

Diagonal 0

Diagonal 1

Diagonal 2

Diagonal 3

Diagonal 4

Diagonal 5

1 + 1 + 1 + 1 = 4

1 + 3 + 6 = 10


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Na sequência (am, am+1, am+2, ..., an–1, an), a soma dos

termos am+ am+1 + am+2 + ... + an–1 + an pode ser

representada por com m e n naturais e m < n.

(lemos: “somatório de ai com i variando de m a n”).

Exemplos

a) 1 + 2 + 3 + ... + 100 =

b) 1 + + +...+ =

Somatório

18.41


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo

de Pascal:

b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo

de Pascal:

Somatório na representação da somade coeficientes binomiais

18.42


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


c) Soma dos coeficientes binomiais da coluna 3 do triângulo de

Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha 7:

d) Soma dos coeficientes binomiais da coluna k do triângulo de

Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha n:


18.42


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


e) Soma dos coeficientes binomiais da diagonal n do triângulo

de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da coluna k:


18.42


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R18. Resolva a seguinte equação:

18.43


R19. Calcule o valor de .


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Observe o desenvolvimento de (x + y)n para alguns valores

de n:

(x + y)0 = 1

(x + y)1 = (x + y) = 1x + 1y

(x + y)2 = (x + y) ∙ (x + y) = 1x2 + 2xy + 1y2

(x + y)3 = (x + y) ∙ (x + y)2 = (x + y) ∙ (x2 + 2xy + y2) =

= 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3

(x + y)4 = (x + y)2 ∙ (x + y)2= (x2 + 2xy + y2) ∙ (x2 +

+ 2xy + y2) = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4

Binômio de Newton

18.45


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Note que os coeficientes do desenvolvimento de cada

potência (x + y)n são iguais aos elementos da linha n do

triângulo de Pascal:

Binômio de Newton

Linha 0 1 (x + y)0 =1

Linha 1 1 1 (x + y)1 =1x + 1y

Linha 2 1 2 1 (x + y)2 =1x2 + 2xy + 1y2

Linha 3 1 3 3 1 (x + y)3 =1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3

Linha 4 1 4 6 4 1 (x + y)4 =1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3+ 1y4

18.45


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Assim, podemos escrever:

Binômio de Newton

18.45


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


De maneira geral, sendo n um número natural, temos a seguinte

igualdade, conhecida como fórmula do binômio de Newton:

Binômio de Newton

18.45


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


Um termo geral, que ocupa a posição k + 1 no desenvolvimento

de (x + y)n, é dado por:

Termo geral do binômio de Newton

18.46


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R20. Desenvolva a potência (x – 3)5 usando a fórmula do

binômio de Newton.

18.47


R21. Calcule o valor de m sabendo que:

R22. Determinar o décimo sexto termo do desenvolvimento do

binômio (3p + q3)16, com os termos ordenados por

expoentes decrescentes de p.

R23. Verifique se há termo independente de x no

desenvolvimento de .


ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA


R24. Determinar o coeficiente que multiplica o termo em que

aparece x2 no desenvolvimento da expressão:

18.51

(x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5



ANOTAÇÕES EM AULA









EDITORA MODERNA














ANOTAÇÕES EM AULA

Capítulo 19 – Probabilidade



Capítulo

19 Probabilidade

ANOTAÇÕES EM AULA



ANOTAÇÕES EM AULA



▪ Experimento aleatório é todo experimento que, quando

repetido várias vezes e sob as mesmas condições, apresenta,

entre as possibilidades, resultados imprevisíveis.

▪ Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o

conjunto de todos os resultados possíveis desse

experimento.

▪ Evento (E) é todo subconjunto do espaço amostral do

experimento aleatório.

Experimento aleatório, espaço amostrale evento

19.1


ANOTAÇÕES EM AULA



Exemplo

a) Quando se retira uma bola de uma urna que contém 50 bolas

numeradas de 1 a 50, um evento possível é: a bola retirada conter

um número primo menor que 20.

O espaço amostral desse experimento é S = {1, 2, ..., 50} e o evento

é E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

O número de elementos do conjunto S é n(S) = 50 e o do conjunto E

é n(E) = 8.

19.1



ANOTAÇÕES EM AULA



Exemplo

b) No sorteio de uma carta de um baralho honesto de 52 cartas, um

possível evento é: a carta sorteada ser de copas e com figura.

O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = {ás de copas,

2 de copas, ..., rei de copas, ás de ouros, 2 de ouros, ..., rei de ouros,

ás de espadas, ..., rei de espadas, ás de paus, ..., rei de paus}.

O evento é o conjunto E = {valete de copas, dama de copas, rei

de copas}. Nesse experimento, n(S) = 52 e n(E) = 3.

19.1



ANOTAÇÕES EM AULA



Vamos considerar o experimento aleatório “lançar um dado

cúbico e registrar o número representado na face voltada

para cima”.

Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Alguns exemplos de eventos:

▪ E1: o número é 5 → E1 = {5} e n(E1) = 1

Quando o evento é um subconjunto unitário do espaço

amostral, é denominado evento simples ou evento

elementar.

Eventos

19.2


ANOTAÇÕES EM AULA



▪ E2: o número é menor ou igual a 6 → E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e

n(E2) = 6

Se coincidir com o espaço amostral, o evento é chamado

evento certo. E2 é um evento certo.

▪ E3: o número é maior que 6 → E3 = e n(E3) = 0

Nesse caso, se for o conjunto vazio, o evento será chamado

evento impossível.

19.2

Eventos


ANOTAÇÕES EM AULA



▪ E4: o número é par → E4 = {2, 4, 6} e n(E4) = 3

▪ E5: o número é ímpar → E5 = {1, 3, 5} e n(E5) = 3

Note que E4 ∩ E5 = . Quando dois eventos não têm elementos

comuns, ou seja, quando a intersecção desses eventos é o

conjunto vazio, eles são denominados eventos mutuamente

exclusivos.

19.2

Eventos


ANOTAÇÕES EM AULA



No caso desses eventos, temos ainda que E4 ∩ E5 = {1, 2, 3, 4,

5, 6} = S.

Dois eventos que não têm elementos comuns e cuja união é

igual ao espaço amostral são denominados eventos

complementares.

Indicamos o complementar de um evento E por E.

19.2

Eventos


ANOTAÇÕES EM AULA




R1. Lançando dois dados, um vermelho e um azul, e

considerando as faces voltadas para cima:

a) quantos elementos há no espaço amostral?

b) em quantos casos a soma dos números das faces superiores

é maior que 8?

c) em quantos casos o produto dos números das faces

superiores é igual a 28?

19.3


ANOTAÇÕES EM AULA



R2. Cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é escrito em um pequeno

cartão, que é depositado em uma caixa. Sabendo que dois

cartões são sorteados aleatoriamente, um após o outro,

determinar o espaço amostral quando esse experimento

é realizado:

a) com reposição dos cartões;

b) sem reposição.

19.4


AD

ILSO

N S

ECCO


ANOTAÇÕES EM AULA



Acompanhe a situação a seguir.

Genética. Suponha que um casal queira ter dois filhos.

Cada um dos filhos poderá ser do sexo masculino (M) ou do

sexo feminino (F). Sabendo que a chance de nascer um filho

do sexo masculino é igual à de nascer um filho do sexo

feminino, independentemente do sexo dos filhos anteriores,

qual é a chance de esse casal gerar dois filhos do sexo

masculino (M, M)?

Espaço amostral equiprovável

19.5


ANOTAÇÕES EM AULA



Para responder a essa questão, determinamos o espaço

amostral S e o evento E (dois filhos do sexo masculino):

▪ S = {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F)}

▪ E = {(M, M)}

Observe que: n(E) = 1 e n(S) = 4

Assim, a chance de o casal gerar dois filhos do sexo masculino

é de 1 para 4, ou .

19.5



ANOTAÇÕES EM AULA



Nessa situação, consideramos que, para cada evento simples,

existe a mesma chance de ocorrência. Quando adotamos esse

critério em um espaço amostral finito, esse espaço é

denominado espaço amostral equiprovável.

19.5



ANOTAÇÕES EM AULA



Em um espaço amostral S equiprovável, finito e não

vazio, a probabilidade de ocorrência de um evento E,

indicada por P(E), é a razão entre o número de

elementos do evento, n(E), e o número de elementos

do espaço amostral, n(S):

Definição de probabilidade

19.6


ANOTAÇÕES EM AULA



Podemos representar a probabilidade de um evento nas formas

fracionária, decimal ou percentual. No caso do nosso exemplo,

a probabilidade de o casal ter dois filhos do sexo masculino é:

19.6

Definição de probabilidade


ANOTAÇÕES EM AULA



Seja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio,

de um experimento aleatório, temos:

▪ Se E é um evento impossível, então: P(E) = 0

▪ Se E é um evento certo, então: P(E) = 1

Consequências da definição

19.7


ANOTAÇÕES EM AULA



R3. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a

face superior apresentar:

a) o número 3 (evento E1)?

b) um número menor que 7 (evento E2)?

c) um número menor que 1 (evento E3)?

d) um divisor da soma dos pontos de todas as faces do dado

(evento E4)?

19.8



ANOTAÇÕES EM AULA



R4. No lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado,

determinar:

a) o espaço amostral;

b) o número de elementos do evento E1: coroa na moeda e

face par no dado; e a probabilidade de ocorrência de E1;

c) a probabilidade de ocorrência do evento E2: face 3 no dado;

d) a probabilidade de ocorrência do evento E3: coroa na moeda.

19.9



ANOTAÇÕES EM AULA



R5. Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e

três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para

compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a

comissão ser formada por:

a) duas mulheres?

b) dois homens?

c) um homem e uma mulher?

19.10



ANOTAÇÕES EM AULA



Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral S, a

probabilidade da intersecção de A e B, representada por

P(A ∩ B), é dada por:

Intersecção de dois eventos

19.11


ANOTAÇÕES EM AULA



Vamos considerar dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral

S, finito e não vazio, para os quais temos:

União de dois eventos

19.12

n(E1 ∪ E2) = n(E1) + n(E2) – n(E1 ∩ E2)


ANOTAÇÕES EM AULA



Dividindo os membros da igualdade por n(S):

Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento união de

E1 e E2 é dada por:

19.12

União de dois eventos


ANOTAÇÕES EM AULA



Quando dois eventos, E1 e E2, são mutuamente exclusivos,

eles não têm elementos comuns, ou seja, E1 ∩ E2 = ,

e n(E1 ∩ E2) = 0.

Eventos mutuamente exclusivos

19.13


ANOTAÇÕES EM AULA



P (E1 ∩ E2) = P(E1) + P(E2)

Então:

Logo, a probabilidade da união de eventos mutuamente

exclusivos é:

19.13

Eventos mutuamente exclusivos


ANOTAÇÕES EM AULA



Se dois eventos, E1 e E2, de um espaço amostral S são

complementares, ou seja, se E1 ∩ E2= e E1 ∪ E2 = S, então:

Portanto, se E1 e E2 são eventos complementares:

Eventos complementares

19.14

P (E1) + P(E2) = 1


ANOTAÇÕES EM AULA



R6. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres. Metade dos

homens e metade das mulheres usam óculos. Ao escolher

uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ela

ser homem ou usar óculos?

19.15



ANOTAÇÕES EM AULA



R7. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular:

a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja

par ou múltiplo de 5;

b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja

par e maior que 10 ou o menor número primo.

19.16



ANOTAÇÕES EM AULA



R8. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas, os resultados

indicaram que 25 pessoas ouvem FM, 20 pessoas ouvem

AM e 20 pessoas não costumam ouvir rádio. Calcular a

probabilidade de, ao selecionar uma dessas pessoas, ela

ouvir ambas as frequências.

19.17



ANOTAÇÕES EM AULA




Genética. Um casal deseja ter mais dois filhos além do

primogênito. Qual é a probabilidade de o casal formar uma

família com dois meninos e uma menina se o primeiro filho é

do sexo masculino?

Vamos representar o espaço amostral S adotando M para

masculino e F para feminino:

S = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M),

(F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)}

Definição de probabilidade condicional

19.18


ANOTAÇÕES EM AULA



Então: n(S) = 8

▪ Evento A: nascimento de dois meninos e uma menina

A = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M)}; n(A) = 3 e P(A) =

▪ Evento B: primogênito do sexo masculino

B = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F)}; n(B) = 4 e

P(B) = =

19.18



ANOTAÇÕES EM AULA



Indicamos o evento A, condicionado ao fato de o evento B

já ter ocorrido, por A / B, e a probabilidade condicional

de ocorrer A, já tendo ocorrido B, por P(A / B).

Na situação anterior, P(A / B) é a probabilidade de o casal ter

dois meninos e uma menina dado que o primogênito

é menino.

Note que o evento B modifica a condição e a probabilidade do

evento A, pois, a partir da ocorrência de B, o espaço amostral

passa a ser o conjunto B, não mais o conjunto S.

19.18



ANOTAÇÕES EM AULA



P(A / B) =

Como: A ∩ B = {(M, M, F), (M, F, M)}, n(A ∩ B) = 2

e P(A ∩ B) =

Temos:

19.18

Portanto:



ANOTAÇÕES EM AULA



Assim, a probabilidade de o casal ter dois meninos e uma

menina, se o primeiro filho é menino, é de 50%.

Definimos, então:

19.18

P(A / B) = , com P(B) > 0,

ou P(A ∩ B) = P(B) ∙ P(A / B)



ANOTAÇÕES EM AULA



R9. De um baralho comum, são retiradas 2 cartas, uma a uma

e sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas

cartas sejam de copas?

19.19



ANOTAÇÕES EM AULA



Dois eventos, A e B, são eventos independentes se a

ocorrência de um deles não afeta a ocorrência do outro, isto é,

se: P(A / B) = P(A) e P(B / A) = P(B).

Para a ocorrência simultânea dos dois eventos independentes,

substituímos P(A / B) por P(A) em P(A ∩ B) = P(B) ∙ P(A / B)

e temos:

Eventos independentes

19.20

P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)


ANOTAÇÕES EM AULA



Assim, dois eventos são eventos dependentes quando a

probabilidade de ocorrência de um deles é afetada pela

ocorrência do outro. Nesse caso: P(A ∩ B) P(A) ∙ P(B)

Observação

A probabilidade de ocorrência de mais de dois eventos

independentes é igual ao produto das probabilidades de cada

um dos eventos.

19.20

Eventos independentes


ANOTAÇÕES EM AULA



R10. Em uma turma de 30 alunos, cada aluno estuda uma

língua estrangeira e outra disciplina, de acordo com

a tabela:

a) Calcular a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso,

estudar Química, sabendo que ele estuda Francês.

b) Verificar se os eventos “aluno estuda Química” e “aluno

estuda Francês” são eventos independentes.

Química (Q) História (H) Biologia (B) Total

Francês (F) 10 3 5 18

Espanhol (E) 5 6 1 12

Total 15 9 6 30

19.21



ANOTAÇÕES EM AULA




Torneio. Jaime vai participar de um torneio de tênis de mesa

composto de 3 jogos. Em cada jogo, Jaime só pode ganhar ou

não ganhar.

Vamos representar por p a probabilidade de Jaime ganhar um

jogo e por q a de não ganhar. Vamos ainda supor que p seja

constante para os três jogos. Como não há empate, ganhar e

não ganhar são eventos complementares, logo:

p + q = 1

Análise do método binomial por árvore de possibilidades

19.22


ANOTAÇÕES EM AULA



Podemos representar todas as possibilidades desse torneio em

uma árvore de possibilidades. Veja:

19.22


1º jogo 2º jogo 3º jogo Probabilidade

ppp = p3

ppq = p2q

pqp = p2q

pqq = pq2

qpp = p2q

qpq = pq2

qqp = pq2

qqq = q3

Jaime

ganha(p)

não ganha(q)

não ganha(q)

ganha(p)

não ganha(q)

ganha(p)

não ganha(q)

ganha(p)

não ganha(q)

ganha(p)

não ganha(q)

ganha(p)

não ganha(q)

ganha(p)


ANOTAÇÕES EM AULA



Na representação por árvore de possibilidades, temos,

considerando os 3 jogos, a probabilidade de Jaime:

▪ ganhar 3 jogos, representada por p3;

▪ ganhar 2 jogos, representada por 3 p2q;

▪ ganhar 1 jogo, representada por 3 pq2;

▪ não ganhar jogo algum, representada por q3.

Esses resultados são os termos do desenvolvimento do

binômio (p + q)3.

Observe: (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3

19.22



ANOTAÇÕES EM AULA



Retomando a situação anterior, vamos calcular a

probabilidade de Jaime vencer 3 de 5 partidas disputadas.

Antes de calcular a probabilidade de ocorrer o evento E

(“Jaime vencer 3 partidas em 5 disputadas”), vamos calcular

a probabilidade de ocorrer o evento A (“Jaime vencer as 3

primeiras partidas e perder as 2 seguintes”).

Formalização do método binomial

19.23


ANOTAÇÕES EM AULA



Para cada jogo, suponha que a probabilidade de Jaime vencer

é p = , e a probabilidade de Jaime não vencer é q = .

Assim:

19.23


P(E) =


ANOTAÇÕES EM AULA



Como Jaime pode vencer quaisquer 3 das 5 partidas

disputadas, devemos contar o total de permutações das 5

partidas, sendo 3 com vitória e 2 com derrota. Recorrendo a

uma ferramenta da Análise combinatória (permutação com

repetição), determinamos de quantas maneiras podem ocorrer

3 vitórias e 2 derrotas em 5 partidas disputadas:

19.23



ANOTAÇÕES EM AULA



Portanto, a probabilidade de Jaime vencer 3 das 5 partidas

disputadas é:

19.23

P(E) = = 31,25%



ANOTAÇÕES EM AULA



Essa situação é um exemplo de aplicação do método

binomial para o cálculo de probabilidades.

Nela, há somente duas possibilidades com suas respectivas

probabilidades: vencer (p) ou não vencer (q).

19.23



ANOTAÇÕES EM AULA



Se, para determinado evento, há somente duas

possibilidades, sucesso ou insucesso, cujas probabilidades

são, respectivamente, p e q, temos, para a probabilidade

de ocorrer m vezes o resultado procurado, em um total

de n repetições do experimento, a expressão:

19.23



ANOTAÇÕES EM AULA



Jogando um dado cinco vezes, qual é a probabilidade de sair a

face de número 3 em dois dos cinco lançamentos?

Vamos considerar o evento E: “sair a face de número 3 em dois

dos cinco lançamentos”.

A probabilidade de sair a face de número 3 em um lançamento é

de , e a probabilidade de não sair a face de número 3 é de .

Exemplo

19.24



ANOTAÇÕES EM AULA



Assim, para sair face 3 em dois dos cinco lançamentos, temos:

P(E) = 16,08%

Portanto, a probabilidade é, aproximadamente, 16,08%.

19.24

Exemplo



ANOTAÇÕES EM AULA



R11. Em uma escola, 46% dos alunos são do sexo feminino.

Num sorteio de 4 alunos, qual é a probabilidade de saírem:

a) duas pessoas do sexo feminino?

b) quatro pessoas do sexo feminino?

19.25



ANOTAÇÕES EM AULA



R12. Um bom jogador de basquete consegue média de 90% de

acertos em lances livres. Sofrendo uma falta, esse jogador

tem direito a três lances livres. Qual é a probabilidade de

ele acertar pelo menos um lance livre?

19.26



ANOTAÇÕES EM AULA









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Capítulo Matrizes e 16 determinantesjoinville.ifsc.edu.br/~paulo.amaro/Mat III/Material...Capítulo 16 –Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Igualdade de matrizes