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Caracterização de sensores de temperatura com célula dePeltier
João Filipe De Menezes Ventura
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Orientador: Professor Marcelino Bicho dos Santos
Júri
Presidente: Professor Gonçalo Nuno Gomes TavaresOrientador: Professor Marcelino Bicho dos SantosVogal: Professor Pedro Nuno Mendonça dos Santos
Maio de 2016
ii
”Se vi mais longe foi por estar de pe sobre ombros de gigantes.”
- Sir Isaac Newton
iii
iv
Agradecimentos
Gostaria de agradecer ao meu orientador, o professor Marcelino Santos pela oportunidade que me deu
e pela disponibilizacao de todos os recursos necessarios para este trabalho.
Quero agradecer ao professor Joao Miranda Lemos pela sua disponibilidade, pelas discussoes que
tivemos e pela enorme ajuda que me deu, especialmente na sua enorme intuicao para o comportamento
do sistema.
Quero tambem agradecer ao Dr. Tiago Moita que dedicou inumeros dias a troca de ideias e a
avaliacao do desempenho do trabalho sob a perspectiva de utilizacao profissional. A ele tambem lhe
devo o constante apoio e fe que demonstrou ao longo deste percurso.
Gostaria ainda de agradecer ao Eng. Floriberto Lima cujo entendimento dos instrumentos e intuicao
pratica foram inestimaveis.
Devo tambem um agradecimento ao Eng. Pedro Neves e ao Eng. Joao Matos pela boa disposicao
e pela animacao mesmo em perıodos de desalento. Tambem lhes quero agradecer pela ajuda tecnica
que me prestaram, nomeadamente com as vicissitudes do Python que me iludiram durante semanas.
Quero deixar um agradecimento geral a toda a equipa da Silicongate pelo acolhimento caloroso e
bem disposto que me proporcionou, bem como pela prontidao e disponibilidade que mostraram para
tirar duvidas e responder a questoes.
Agradeco tambem a Sara Caetano pelo seu carinho, apoio e infinita paciencia durante toda esta
jornada.
Gostaria tambem de agradecer aos meus grandes amigos Diogo Santos, Joao Oliveira e Ricardo
Simoes pelas discussoes tardias acerca do funcionamento deste projeto e pelo seu constante apoio e
motivacao.
Por ultimo agradeco a minha famılia, sem a qual nada disto poderia ter sido possıvel.
Obrigado a todos.
v
vi
Resumo
Neste trabalho e feito o controlo de temperatura com celula de Peltier com a finalidade da caracterizacao
laboratorial de sensores termicos. E feita uma investigacao do estado da arte, e desenvolvido um mo-
delo teorico nao linear para a montagem real e sao desenvolvidos dois controladores, um baseado no
PID classico, o segundo baseado no regulador linear quadratico, capazes de regular a temperatura da
celula com precisao de 100m◦C, algo que nao e possıvel com as atuais camaras termicas.
Sao apresentados resultados obtidos por simulacao e por medicao da implementacao real dos dois
controladores. O desempenho dos controladores e comparado tomando como metrica o tempo de
estabilizacao na temperatura alvo, a sobreelevacao da resposta do sistema e sobretudo o erro apre-
sentado no valor da temperatura final.
Conseguem-se obter erros maximos em regime forcado na ordem dos 4m◦C, uma melhoria de tres
ordens de grandeza face aos metodos tradicionais de caracterizacao de sensores de temperatura.
Palavras-chave: Celula de Peltier, Controlo, PID, LQR, JTM, Temperatura
vii
viii
Abstract
In the present work the behaviour of a Peltier Cell is studied with the purpose of precision temperature
control in testing and characterization of thermal sensors. An overview of the state of the art is made and
a theoretical model is derived for the real system and two controllers are developed. The first controller,
based on the classic PID and a second one employing the linear quadratic regulator applied to the
cell. Both controllers are able to reach a precision of 100m◦C, a feat unattainable by current thermal
chambers.
The controllers are firstly simulated then implemented and their performance is compared based on
the following figures of merit: time to reach a desired temperature within a threshold, overshoot and
above all, steady state error.
With the second controller an error of 4m◦C, an improvement of 3 orders of magnitude over the
conventional methods of thermal sensor characterization.
Keywords: Peltier Cell, Precision control, PID, LQR, JTM, Temperature
ix
x
Conteudo
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
1 Introducao 1
1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivos da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura da dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Controlo de Temperatura com Celula de Peltier 5
2.1 Efeito de Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Celula de Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Modelo de Lima e Neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Modelo de Huang e Duang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Modelo de Morimitsu e Katsura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4 Modelo final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Realimentacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Observadores de variaveis de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Conclusoes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Projeto do controlador 23
3.1 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Wind-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Discretizacao do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Dimensionamento dos ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Controlador com filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Introducao a nomenclatura de espaco de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
xi
3.2.2 Parametros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 Linearizacao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Discretizacao do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.5 Regulador Linear Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.6 Observador de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.7 Introducao da referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.8 Saturacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.9 Atrasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.10 Correcao do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Resultados 48
4.1 Montagem experimetal e Software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.1 Montagem Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2 Software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Conclusoes 58
5.1 Trabalho futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bibliografia 61
xii
Lista de Figuras
1.1 Relacao entre fatores ambientais e falhas de produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Variacao da tensao de limiar com a temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Relacao entre temperatura e tempo de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Definicoes de parametros da celula de Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Circuito equivalente da celula de Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Circuito equivalente da celula de Peltier simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Montagem assuminda por Huang e Duang [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Montagem assuminda por Morimitsu e Katsura [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Circuito termico proposto por Morimitsu e Katsura [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Circuito proposto em [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8 Circuito do controlador usado em [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Resultados de [10] em modo de arrefecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Resultados de [10] em modo de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Diagrama de blocos geral de um controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.12 Resposta ao escalao do sistema proposto por [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.13 Diagrama de blocos do controlador proposto em [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.14 Resultados obtidos em [8] estabelecendo uma unica temperatura . . . . . . . . . . . . . 16
2.15 Resultados obtidos em [8] estabelecendo multiplas temperaturas sequencialmente . . . . 17
2.16 Diagrama de blocos em [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.17 Diagrama de blocos em [11] com perturbacao na celula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.18 Diagrama de blocos do observador em [11] com perturbacao na celula . . . . . . . . . . 18
2.19 Diagrama de blocos equivalente do observador em [11] com perturbacao na celula . . . . 19
2.20 Diagrama de blocos em [11] com perturbacao no senso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.21 Diagrama de blocos do observador em [11] com perturbacao no senso . . . . . . . . . . 19
2.22 Diagrama de blocos equivalente do observador em [11] com perturbacao no senso . . . 20
2.23 Diagrama de blocos final do controlador proposto em [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.24 Resultados do controlador proposto em [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Dados experimentais com Kp = Kpu = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Resultados experimentais para aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
xiii
3.3 Resultados experimentais para arrefecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Resultados experimentais para arrefecimento percorrendo todo o alcance de funciona-
mento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Comparacao da resposta do modelo com os dados experimentais de treino . . . . . . . . 31
3.6 Comparacao da resposta do modelo com os dados experimentais de validacao . . . . . . 32
3.7 Diagrama de blocos do regulador simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Diagrama de blocos do regulador simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Diagrama de blocos do regulador com observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10 Diagrama de blocos do observador de amostra mais recente . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.11 Diagrama de blocos do regulador com observador de amostra mais recente . . . . . . . . 39
3.12 Diagrama de blocos do controlador com uma referencia simples . . . . . . . . . . . . . . 40
3.13 Diagrama de blocos do controlador com ganhos na referencia . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.14 Diagrama de blocos do controlador com introducao de referencia . . . . . . . . . . . . . . 42
3.15 Diagrama de blocos do sistema com saturacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.16 Simulacoes com e sem termo de saturacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.17 Diagrama de blocos do sistema com atrasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.18 Simulacoes do efeito dos atrasos no sistema de controlo e correcao do controlador . . . 46
3.19 Diagrama de blocos do sistema com correcao de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.20 Simulacoes do erro do sistema com e sem efeito integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Diagrama de blocos da montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Comparacao do Modelo com o sistema real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Evolucao dos estados do sistema sujeitos a uma corrente constante . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Medicoes durante 10 minutos para To = −10◦C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Medicoes durante 10 minutos para To = 0◦C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 Medicoes durante 10 minutos para To = 50◦C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 Medicoes durante 10 minutos para To = 80◦C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.9 Sequencia PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.10 Sequencia Estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
xiv
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Motivacao
Num relatorio incidente sobre a relacao entre factores ambientais e falhas nos produtos desempenhado
pela Hughes Aircraft Co. ([1]), cerca de 40% de todas as falhas causadas por fatores ambientais sao
causados pela temperatura (Figura 1.1).
Figura 1.1: Relacao entre factores ambientais e falhas de produto [1]
A temperatura tem um grande impacto no desempenho de equipamentos eletronicos uma vez que
as resistencias, indutancias, capacidades e constantes dieletricas dependem dessa variavel. As carac-
terısticas das tecnologias CMOS sao tambem afetadas pela temperatura, nomeadamente a tensao de
threshold (Vth) e a mobilidade dos electroes [2], [3] este fenomeno pode ser constatado na Figura 1.2.
A temperatura afeta ainda outras propriedades dos materiais originando a sua expansao. As tem-
peraturas muito baixas podem tambem causar a alteracao das constantes eletricas bem como gerar
1
Figura 1.2: Variacao da tensao de limiar com a temperatura ([3])
condensacao nos equipamentos quando a temperatura e inferior a temperatura ambiente.
Uma preocupacao adicional no que toca a variacao de temperatura e o envelhecimento causado por
temperaturas elevadas, ou seja a diminuicao do tempo de vida de um dispositivo devido a exposicao
a temperaturas diferentes das projetadas. O modelo mais utilizado na simulacao de envelhecimento
devido a temperatura e o modelo de Arrhenius [4] que afirma que uma aceleracao no envelhecimento
R e uma funcao da temperatura de teste e da temperatura de uso real:
R = exp(EaK
(T−10 − T−1
a )) (1.1)
Em que Ea e a energia de activacao em eV, K e a constante do Boltzman em eV/K T0 e a temperatura
de uso real em K Ta e a temperatura de teste em K
Pode-se entao afirmar que o tempo de vida de um circuito pode ser fortemente reduzido quando a
temperatura ambiente aumenta (Figura 1.3).
Tendo isto em conta, a monitorizacao da temperatura dos sistemas e fundamental para assegurar
a fiabilidade dos mesmos. Essa monitorizacao requer a utilizacao de sensores que podem ser integra-
dos nos System-on-Chip. O objetivo deste trabalho e o desenvolvimento de um sistema que permita
a caracterizacao desses sensores e o seu teste. A forma usual de forcar a temperatura e recorrendo
a fornos ou thermostreams que aplicam ar quente ou frio sobre os dispositivos. Ambos sao processos
lentos (cerca de 30 minutos) e pouco precisos (±1◦C) pois os volumes a controlar sao grandes e a
2
Figura 1.3: Relacao entre temperatura e tempo de vida ([1])
temperatura nao e uniforme em todo o espaco controlado. Pretende-se pois estudar tecnicas de con-
trolo alternativas, para esse sistema de caracterizacao, baseadas em celulas de Peltier, um dispositivo
eletronico de resposta rapida e de grande precisao.
1.2 Objectivos da Tese
Neste trabalho o problema considerado e o teste e caracterizacao termica de dispositivos eletronicos
no contexto de laboratorio utilizando uma celula de Peltier como elemento de aquecimento ou arrefeci-
mento. Durante o projeto sera estudado o dispositivo bem como os metodos de controlo mais utilizados
na literatura. Serao ainda desenvolvidos dois controladores com base no estado da arte apresentado:
Um controlador PID afinado no laboratorio e um controlador gerado com uma aproximacao ao controlo
otimo baseada no filtro de Kalman. No final do trabalho e apresentada uma comparacao dos dois con-
troladores e e feita uma integracao do controlador com melhor desempenho no sistema de medidas
atualmente instalado no laboratorio.
Os controladores devem ser capazes de regular a temperatura da celula de Peltier dentro do inter-
valo [-20,80]◦C durante um perıodo indeterminado de tempo. Pretende-se utilizar a celula para dois
tipos de teste: um teste de baixa precisao e um teste de alta precisao; Os controladores devem atingir a
temperatura de comando com um erro inferior a 0.1◦C para o teste de baixa precisao e um erro inferior
a 0.01◦C no caso do teste de alta precisao. Este processo deve ser efectuado no menor tempo possıvel
e com uma sobreelevacao reduzida.
A celula de Peltier utilizada e uma celula Laird MS2,102,22,22,17,17,11,W8 com as especifıcacoes
3
Qmax(W ) Imax(A) Vmax(V ) ∆Tmax(◦C)
29 10.3 7.87 87
Tabela 1.1: Caracterısticas da celula utilizada
da tabela 1.1.
1.3 Estrutura da dissertacao
O presente documento encontra-se dividido em 5 capıtulos. O primeiro enquadra o trabalho e apresenta
a motivacao e os objectivos do mesmo; O segundo capıtulo apresenta o efeito de Peltier e uma revisao
do estado da arte para os modelos utilizados atualmente, bem como tecnicas de controlo utilizadas
em conjunto com as celulas de Peltier. No terceiro capıtulo e apresentado o desenvolvimento dos
controladores escolhidos, tal como as decisoes de projeto e simulacoes executadas. A metodologia
experimental e os resultados obtidos sao apresentados no capıtulo quarto onde sao comparados os
desempenhos dos controladores obtidos e tecidos comentarios acerca da utilizacao de cada um. Por
fim, no quinto capıtulo apresentam-se as conclusoes do trabalho bem como algumas sugestoes para
trabalho futuro.
4
Capıtulo 2
Controlo de Temperatura com Celula
de Peltier
2.1 Efeito de Peltier
Existem tres efeitos termoeletricos bem conhecidos e estudados pela literatura [5]: O efeito de Seebeck,
o efeito de Peltier e o efeito de Thompson. Em 1834 Jean Peltier descobriu que a presenca de uma
corrente eletrica numa juncao de dois condutores gera calor. O efeito de Peltier e o inverso do efeito de
Seebeck, em que uma juncao de dois materiais a temperaturas diferentes gera uma forca eletromotriz
e por essa razao, e frequente que sistemas baseados no efeito de Peltier sejam caracterizados com o
coeficiente de Seebeck. O efeito de Thompson e referente a geracao de um gradiente de temperatura
num condutor homogeneo quando este e sujeito a uma corrente eletrica.
O efeito de Peltier e formalmente caracterizado pela equacao 2.1:
Q = (ΠA −ΠB)I (2.1)
Em que Q e o calor de Peltier por unidade de tempo [W],
ΠA e ΠB sao os coeficientes de Peltier do material A e B da juncao, respetivamente [V],
I e a corrente que percorre a juncao [A].
Os dispositivos que utilizam o efeito de Peltier tem uma grande variedade de aplicacoes, desde
a extracao de agua do ar em desumidificadores, sintetizacao de ADN com termocicladores, ate a
aplicacoes espaciais para contrariar o efeito da luz solar direta. No entanto, as aplicacoes mais usuais
do efeito de Peltier, para aquecimento ou arrefecimento utilizam celulas de Peltier.
2.2 Celula de Peltier
A celula de Peltier e um dispositivo eletronico nao linear baseado no efeito de Peltier. Este dispositivo e
constituıdo por varias juncoes p-n ligadas em serie, altamente dopadas, distribuıdas entre duas placas.
5
Quando se aplica uma corrente na celula, gera-se um diferencial de temperatura entre as duas placas
[6]. A placa com maior temperatura passa a ser denominada de placa quente, enquanto que a outra
placa toma a nomenclatura de placa fria.
A celula de Peltier tem dois modos de operacao: como sensor ou como atuador. Quando funciona
como sensor, a diferenca de temperatura gera uma corrente aos terminais da celula que pode ser
lida e interpretada de forma a estimar a temperatura de uma das placas, sabendo a temperatura da
outra. Como atuador, e imposta uma corrente aos terminais da celula e e observada uma diferenca de
temperatura entre as duas placas. Ao inverter a corrente aplicada, as placas tambem invertem a sua
funcao, passando a placa quente a placa fria e a placa fria a placa quente.
Existem varias vantagens na utilizacao deste dispositivo: e um dispositivo de pequenas dimensoes
(tipicamente 40x40 mm), consegue manter uma temperatura com precisao muito elevada (0.1◦C) e tem
um tempo de actuacao relativamente rapido. Existem tambem algumas desvantagens na utilizacao
deste tipo de celulas, sendo a sua maior lacuna a ineficiencia energetica e as temperaturas maximas
atingıveis, isto porque o diferencial maximo entre placas e da ordem dos 80◦C o que implica que para
atingir 200◦C na placa quente, a placa fria teria que estar a 120◦C, o que na pratica nao e realizavel
sem recurso a equipamento que torna a utilizacao da celula obsoleta.
A potencia dissipada pela celula nas suas placas e dada por:
Para a placa quente: Ph =RmI
2
2+ IαpnTh (2.2)
Para a placa fria: Pc =RmI
2
2− IαpnTc (2.3)
em que Rm e a resistencia termica da celula, αpn e o coeficiente de Seebeck, e Th e Tc sao as tempe-
raturas na placa quente e na placa fria, respetivamente.
Existem na literatura varios modelos eletricos para a celula de Peltier [7, 8, 9, 10, 11, 12], estes sao
importantes pois permitem a simulacao do comportamento da celula em conjunto com o do controlador
num simulador.
2.2.1 Modelo de Lima e Neto
Lima et al. [12] e Neto et al. [9] propoem um modelo linearizado para a celula, baseando-se nas
equacoes 2.2 e 2.3: Assume-se que a corrente I pode ser representada da forma
Figura 2.1: Definicoes de parametros usados em ([12])
6
I = I0 + Iδ (2.4)
Em que Iδ representa a excitacao de sinal fraco.
Define-se depois em torno de um ponto de funcionamento (I0, T0)
∂Ph∂Iδ
= RmI0 +RmIδ + αpnTh (2.5)
e∂Pc∂Iδ
= RmI0 +RmIδ − αpnTc (2.6)
Assumindo RmIδ << RmI0 ± αpnTh,c
As equacoes 2.5 e 2.6 simplificam para:
∂Ph∂Iδ
= RmI0 + αpnTh (2.7)
e∂Pc∂Iδ
= RmI0 − αpnTc (2.8)
Partindo da equacao 2.8, Lima et al. [12] obtem o modelo
HTE(s) =∆Tc(s)
∆I(s)= KH
(s+ a)
s2 + sb+ c(2.9)
Com
KH = C−1c (RmI0 − αpnT0) (2.10)
a = C−1s (Gm +Gs) (2.11)
b = C−1s C−1
c (CcGm + CcGs + CsGc + CsGm) (2.12)
e
c = C−1s C−1
c (GmGs +GcGm +GcGs) (2.13)
Estes parametros foram determinados experimentalmente resultando em
KH = 4I0 − 0.1T0, a = 0.12, b = 3, c = 0.1 (2.14)
Lima et al. [12] chega a um circuito equivalente para a celula de Peltier, representado na Figura 2.2.
Figura 2.2: Circuito equivalente da celula de Peltier
7
Fixando a temperatura da placa quente com recurso a um dissipador de calor, o circuito equivalente
torna-se mais simples, tomando a forma na apresentada na Figura 2.3 :
Figura 2.3: Circuito equivalente da celula de Peltier com dissipador de calor assumindo Th fixo
Conclui-se entao que a celula de Peltier e um sistema de segunda ordem com dois polos e um zero.
2.2.2 Modelo de Huang e Duang
No trabalho apresentado por Huang e Duang [8] e estudado o comportamento dinamico da celula, bem
como a sua interacao com um dissipador de calor junto da placa quente e com o objecto em contacto
com a superficie fria da celula.
Figura 2.4: Montagem assuminda por Huang e Duang [8]
Huang e Duang [8] comeca por assumir uma distribuicao de temperatura uniforme nas placas do
dispositivo e que as trocas de calor sao tambem uniformes. O balanco energetico na placa fria e dado
por:
(MLCL +McCc)∂Tc∂t
= QL −Qk − IαpnTc (2.15)
e na placa quente:
(MFCF +MHCH)∂TH∂t
= Q0 + IαpnTH − hAF (TH − Ta) (2.16)
Em que Qk e Q0 sao as transferencias de calor no extremo frio e no extremo quente da celula, respeti-
vamente.
h e o coeficiente de transmissao de calor por conveccao do dissipador de calor e
AF e a area do dissipador de calor em contacto com a celula.
8
As equacoes 2.15 e 2.16 permitem obter uma funcao de transferencia aproximada com dois polos
e um zero 2.17. Esta conclusao corrobora o modelo mais simples tratado em [12].
GI(s) = −Ksz + 1
( sp1 + 1)( sp2 + 1)(2.17)
Os coeficientes do modelo sao expostos com detalhe em [8].
2.2.3 Modelo de Morimitsu e Katsura
Em Morimitsu e Katsura [11] e proposto um terceiro ponto de vista sobre as celulas de Peltier e e
feita uma analise do dispositivo com base na teoria dos circuitos termicos. Assume-se uma montagem
como a apresentada na Figura 2.5 em que existe um objecto a ser arrefecido, um dissipador de calor,
uma celula de Peltier e um sensor de temperatura. A celula de Peltier e modelada como uma fonte
Figura 2.5: Montagem assuminda por Morimitsu e Katsura [11]
de corrente controlada por corrente, uma resistencia termica, uma capacidade termica e uma fonte de
tensao. A fonte de corrente e controlada segundo a equacao 2.3 e a fonte de tensao e a temperatura
da placa quente, imposta pelo dissipador de calor. O sensor termico e simplesmente uma resistencia
termica e uma capacidade termica, tal como o objecto arrefecido. O circuito termico proposto e o da
Figura 2.6. Fazendo a analogia entre calor e conducao eletrica em que o calor por unidade de tempo
Figura 2.6: Circuito termico proposto por Morimitsu e Katsura [11]
Q = q pode ser interpretado como uma corrente eletrica, a diferenca de temperaturas ∆T = TA − TBcomo uma diferenca de potencial e a resistencia termica R como uma resistencia eletrica, e possıvel
analisar o circuito termico como se tratasse de um circuito eletrico.
q = Pc =RmI
2
2− IαpnTc (2.18)
9
qs =1
Rs(Tc − Ts) (2.19)
qo =1
Ro(To − Ts) (2.20)
CcTc = −q +1
Rp(Th − Tc) (2.21)
CsTs = qo + qs (2.22)
CoTo = −qo (2.23)
Estas equacoes permitem caracterizar o sistema de forma completa e facilitar a criacao de um contro-
lador para o mesmo.
2.2.4 Modelo final
Em Chavez et al. [13], e proposto um modelo SPICE para a celula de Peltier. Este modelo, representado
na Figura 2.7, tem em conta nao so a celula mas tambem o ambiente em que esta se insere. No
modelo, Rka, Rs e Rco sao as resistencias termicas do radiador, da interligacao e do contacto ao objeto,
respetivamente. Cs, Ch, Cc e Cco sao as capacidades termicas do radiador, placa quente da celula,
placa fria da celula e do contacto ao objeto, respetivamente. Km e Rm sao propriedades da celula,
Tamb e a temperatura ambiente, V e I sao a tensao e corrente fornecidas a celula, respetivamente e
Px, Pe e Vα sao definidos como:
Px = αThI −1
2I2Rm (2.24)
Pe = α(Th − Tc)I + I2Rm (2.25)
Vα = α(Th − Tc) (2.26)
Em que α e o coeficiente de Seebeck e as temperaturas estao em Kelvin.
Tamb Ta
ia
Rka Rsis
Px
CsTs
is2
ChTh
ih
Kmim
Pe Cc Tc
ic
Rsis3
Rco
Tamb Ta
ia2
Cco To
io
Figura 2.7: Circuito proposto em [13]
10
Fazendo uma analise do circuito seguindo a metodologia apresentada por Morimitsu e Katsura [11]
na seccao 2.2, as equacoes do circuito sao:
ia =1
Rka(Ta − Ts) (2.27)
is =1
Rs(Ts − Th) (2.28)
im =1
Km(Tc − Th) (2.29)
is3 =1
Rs(To − Tc) (2.30)
ia2 =1
Rco(Ta − To) (2.31)
is2 = ia − is (2.32)
ih = is + Pe + Px + im (2.33)
ic = is3 − im + Px − Px (2.34)
io = ia2 − is3 (2.35)
CsTs = ia + is (2.36)
CoTo = is2 + ia2 (2.37)
ChTh = Px + Pe − is − im (2.38)
CcTc = −Px + im − is2 (2.39)
O sistema criado pelas equacoes 2.27 a 2.39 e entao resolvido, gerando o sistema de equacoes:
Ts = is21
Cs
Th = ih1
Ch
Tc = ic1
Cc
To = io1
Co
(2.40)
Fazendo a mudanca de variavel:
x1 = To
x2 = Tc
x3 = Th
x4 = Ts
u = i
(2.41)
11
Obtem-se o modelo de estado nao linear:
x1(t) = −( 1CoRs
+ 1CoRco
)x1(t) + 1CoRs
x2(t) + Ta
CoRco
x2(t) = 1CcRs
x1(t)− ( 1CcKm
+ 1CcRs
)x2(t) + ( 1CcKm
− uαCc
)x3(t) + Rmu(t)2
2Cc
x3(t) = ( 1ChKm
− αCh
)x2(t) + ( αCh
+ uαCh− 1
ChKm− 1
ChRs)x3(t) + 1
ChRsx4(t) + Rmu(t)2
2Ch
x4(t) = 1CsRs
x3(t)− ( 1CsRka
+ 1CsRs
)x4(t) + Ta
CsRka
y(t) = x1(t)
(2.42)
Analisando o modelo, observa-se que este nao e linear uma vez que o estado x2 e o estado x3
contem produtos de uma variavel de estado pela entrada (x3u) bem como a entrada potenciada (u2),
desrespeitando o teorema da sobreposicao. Esta propriedade e indesejavel pois o controlo de sistemas
nao lineares nao se encontra tao bem definida como o controlo de sistemas lineares e os metodos
aplicados nao possuem analogo no universo dos sistemas nao lineares.
De um ponto de vista fısico, essas nao linearidades sao causadas pelo efeito de Peltier, no caso dos
produtos e pelo efeito de Joule no caso da potenciacao, tal como esperado.
2.3 Controladores
A celula de Peltier possui grandes vantagens sobre os metodos convencionais de teste de temperatura
em laboratorio. O seu tamanho compacto e o seu peso sao dois fatores importantes mas aquilo que
realmente destaca o dispositivo das grandes camaras termicas e a sua resolucao, na ordem dos 0.1◦C
e o seu tempo de estabilizacao. Segundo [14], as camaras termicas industriais tem uma resolucao de
temperatura na ordem dos 0.2◦C a 7◦C, dependendo da temperatura de funcionamento (aumentando
com o inverso da temperatura). Quanto ao tempo de estabilizacao deste tipo de forno e da ordem das
dezenas de minutos, demorando tipicamente 40 a 60 minutos a aquecer 200◦C. A celula de Peltier e
ainda extremamente versatil devido a possibilidade de nao so aquecer mas tambem de arrefecer, al-
terando apenas o sentido da corrente injectada na entrada. Nesta seccao serao explorados trabalhos
realizados no ambito do controlo das celulas termoeletricas de forma a demonstrar as vantagens apon-
tadas as mesmas. Serao tambem descritos e comparados os controladores utilizados para conseguir
esses resultados.
Existem tres grandes correntes de controlador na literatura: Controladores baseados em realimentacao
linear[10] controladores baseados em PID [8, 15, 16, 12] e controladores baseados em observadores
de variaveis de estado [11, 17, 9].
2.3.1 Realimentacao linear
Define-se realimentacao linear quando a saıda de um sistema e realimentada na entrada do mesmo
mudando apenas num fator de ganho. Este e o tipo de controlador mais simples, tendo ainda assim
bons resultados praticos.
12
Em Baderna et al. [10] e utilizado um controlador deste tipo, implementado diretamente em hard-
ware. O circuito e composto por um sensor de temperatura, neste caso um termopar, um amplificador e
por uma montagem de Darlington para alimentar a celula de Peltier. O circuito esta ainda equipado com
interruptores que permitem a escolha do modo de funcionamento, seja este aquecimento ou arrefeci-
mento. Foram ainda incluıdos dois Schmitt trigger de forma a eliminar ondulacoes indesejadas devido
ao ruıdo e definir a direcao da corrente de alimentacao da celula.
Durante o funcionamento, o termopar le a temperatura atual da celula e gera uma tensao que depois
e comparada com uma tensao de referencia correspondente a temperatura desejada. A diferenca entre
estas tensoes e entao amplificada e injetada num dos Schmitt triggers, escolhido pelo utilizador de
forma a produzir o modo de funcionamento correto. O Schmitt trigger escolhido alimenta os transıstores
na topologia de Darlington que gera a corrente necessaria a entrada da celula de Peltier, forcando a
temperatura produzida por esta a aumentar ou a diminuir, conforme o modo selecionado. O processo e
depois repetido ate que a diferenca entre a tensao de referencia e a tensao gerada pelo termopar seja
nula, fazendo com que o transıstor de Darlington deixe de alimentar a celula de Peltier.
O circuito do controlador utilizado encontra-se na Figura 2.8
Figura 2.8: Circuito do controlador usado em [10]
As temperaturas obtidas com este controlador tiveram um mınimo de -40◦C e um maximo de 120◦C,
o autor acrescenta ainda que a temperatura mınima pode ser ainda reduzida utilizando um lıquido
refrigerante de baixa temperatura e que a temperatura maxima pode ser aumentada utilizando duas
celulas ligadas em serie. O tempo de estabelecimento a 1% e de cerca de 4 minutos, o que implica
uma enorme melhoria face as camaras de aquecimento convencionais. Observa-se nas figuras 2.9
e 2.10 que o tempo de estabelecimento na subida e menor do que o tempo de estabelecimento na
descida.
13
Figura 2.9: Resultados de [10] em modo de arrefecimento
Figura 2.10: Resultados de [10] em modo de aquecimento
2.3.2 Controlador PID
O controlador PID e um dos controladores mais utilizados na industria devido a sua simplicidade e
facilidade de implementacao. A arquitetura PID baseia-se na modificacao da variavel de controlo u(t)
de um determinado sistema tendo em conta as contribuicoes proporcionais ao sinal de erro e(t) =
r(t)− y(t), ao seu integral e a sua derivada. A equacao do sinal u(t) e dada por:
u(t) = Kpe(t) +Ki
∫ t
0
e(τ)dτ +Kd∂e(t)
∂t(2.43)
Este tipo de controlador permite o controlo de sistemas sobre os quais nao se conhece, com certeza, o
seu funcionamento. A escolha dos ganhos Kp,KieKd e feita de forma empırica o que torna o controlo
de sistemas desconhecidos bastante simples. No entanto, esta escolha de ganhos e intrinsecamente
heurıstica, sendo bastante difıcil encontrar os valores que conduzem a solucao otima.
No trabalho desenvolvido por Lima et al. [12] e desenvolvido um controlador semelhante ao PID
classico, aplicado ao modelo proposto em 2.9. O controlador utilizado possui dois polos e dois zeros,
sendo um dos polos na origem. A funcao de transferencia do controlador e a da equacao 2.44.
G(s) = KGs2 + b1s+ b0s(s+ a1)
(2.44)
14
Figura 2.11: Diagrama de blocos geral de um controlador PID
Sendo a funcao de transferencia em malha fechada do sistema obtida juntando as equacoes 2.9 e 2.44,
resultando na equacao 2.45
T (s) =G(s)HTE(s)
1 +G(s)HTE(s)(2.45)
O projeto do controlador e entao baseado num fenomeno de cancelamento de polos e zeros, igualando
os coeficientes da equacao 2.44 aos valores obtidos nas equacoes 2.11, 2.12 e 2.13. O resultado e um
sistema de primeira ordem com a funcao de transferencia em 2.46:
T (s) =KGKH
s+KGKH(2.46)
Observando a equacao 2.46 conclui-se que o sistema e totalmente controlavel, sendo possıvel fazer
o posicionamento arbitrario do polo do sistema. No trabalho em estudo, Lima et al. [12] escolhe este
polo como uma funcao do parametro b calculado em 2.12, colocando-o em −5b de forma a que o
posicionamento do polo nao mude com a variacao do ponto de funcionamento. O ganho KG e entao:
KG =5b
KH(2.47)
Analisando os resultados do sistema proposto (2.12) verifica-se que este e eficaz no arrefecimento,
apresentando um tempo de estabelecimento de cerca de 150 segundos (≈ 2:30 minutos) numa descida
de 4◦C. Devido a nao linearidade das curvas apresentadas, uma comparacao direta dos tempos de
estabelecimento nao e trivial, no entanto a ordem de grandeza temporal e semelhante o suficiente com
a apresentada na Figura 2.9 para se poder afirmar que o sistema em estudo e mais lento que o sistema
proposto por Baderna et al. [10].
Huang e Duang [8] propoem uma arquitetura de controlo inspirada no controlador PID sem parte di-
ferencial pertencente a classe dos controladores PDF(pseudo derivative feedback) baseado no modelo
proposto no mesmo trabalho para a celula de Peltier (ver eq.2.17).
Esta classe de controladores deriva dos controladores PID e tem a propriedade de nao introduzir os
zeros que sao tıpicamente causados pelo controlador PID.
Este controlador possui algumas funcionalidades de forma a contrariar efeitos nao lineares como
o wind up do integrador causado pelas limitacoes fısicas dos dispositivos utilizados. O diagrama de
15
Figura 2.12: Resposta ao escalao do sistema proposto por [12]
blocos do controlador utilizado em [8] e o apresentado na Figura 2.13
Figura 2.13: Diagrama de blocos do controlador proposto em [8]
Os resultados do controlador proposto estao presentes nas figuras 2.14 e 2.15.
Figura 2.14: Resultados obtidos em [8] estabelecendo uma unica temperatura
Analisando os resultados obtidos por Huang e Duang [8] observa-se um tempo de estabelecimento
na ordem das dezenas de segundo. E tambem de notar que o tempo apresentado na Figura 2.15
o tempo de estabelecimento nao e constante, aumentando com a diminuicao da temperatura. Tal
como no controlador proposto por Baderna et al. [10], no presente tambem se verifica um tempo de
estabelecimento menor na subida de temperatura do que no arrefecimento. Verifica-se ainda que a
16
Figura 2.15: Resultados obtidos em [8] estabelecendo multiplas temperaturas sequencialmente
precisao do sistema e de cerca de 0.1◦C. Neste caso pode-se observar uma clara melhoria face ao
sistema considerado por Lima et al. [12], uma vez que para uma variacao de temperatura semelhante,
o tempo de estabelecimento e menor por uma ordem de grandeza. Adicionalmente, e como observado
na Figura 2.15, com temperaturas menores o tempo de estabilizacao tende a aumentar, o que leva a
supor que em condicoes semelhantes as de [12], este controlador teria um desempenho superior ao
apresentado na Figura 2.14.
2.3.3 Observadores de variaveis de estado
Os observadores de variaveis de estado sao uma tecnica avancada de controlo que assenta no princıpio
da estimacao das variaveis de estado, quando os valores reais das mesmas nao sao mensuraveis ou
acessıveis.
Morimitsu e Katsura [11] propoem a utilizacao de um observador capaz de estimar e eliminar as
variacoes de temperatura que degradam o comportamento do sistema, partindo de um modelo interno
da celula. Esta tecnica permite criar um controlador do sistema imune a perturbacoes como diferencas
entre o modelo e a realidade.
Partindo do modelo proposto na Figura 2.5 e nas equacoes 2.18 a 2.23 e obtido o diagrama de
blocos do controlador na Figura 2.16
Figura 2.16: Diagrama de blocos em [11]
O diagrama de blocos e divide-se em duas seccoes, uma com a celula de Peltier e outra com o
sensor.
Tratando em primeiro lugar a celula de Peltier, assume-se que existe uma perturbacao qdis1 dada
17
por:
qdis1 = −1
2RmI
2 − qs −R−1p Tc −∆αpnTcI −∆CcTcs (2.48)
e a estimativa de qdis1, qdis1 como:
qdis1 =g1
s+ g1qdis1 (2.49)
Em que g1 e uma variavel de controlo definida pelo utilizador. O sistema e entao representado como
na Figura 2.17:
Figura 2.17: Diagrama de blocos em [11] com perturbacao na celula
Criando o observador com a estimativa qdis1 obtem-se o diagrama de blocos da Figura 2.18 e o seu
diagrama de blocos equivalente na Figura 2.19. De forma a que qdis1 seja comparavel com a corrente
de referencia, e necessario multiplicar por um ganho −αnpT−1c
Figura 2.18: Diagrama de blocos do observador em [11] com perturbacao na celula
Trabalhando agora o sensor, mais uma vez assume-se uma perturbacao qdist2 diferente da assumida
no caso da celula. O diagrama de blocos do mesmo e o representado na Figura 2.20. A perturbacao
qdist2 e dada por:
qdis2 = −qo −∆Rs(Tc − Ts)−∆CcTs (2.50)
e, a semelhanca do observador da celula de Peltier, a sua estimativa qdis2 e dada pela equacao 2.51:
qdis2 =g2
s+ g2qdis2 (2.51)
18
Figura 2.19: Diagrama de blocos equivalente do observador em [11] com perturbacao na celula
Figura 2.20: Diagrama de blocos em [11] com perturbacao no sensor
Uma vez mais e construido um observador baseado no diagrama de blocos do sensor e da estima-
tiva qdis2, desta vez acrescentando um termo pseudo-diferencial apos a estimativa. Este diagrama de
blocos encontra-se representado na Figura 2.21, bem como o seu diagrama de blocos equivalente na
Figura 2.22
Figura 2.21: Diagrama de blocos do observador em [11] com perturbacao no sensor
19
Figura 2.22: Diagrama de blocos equivalente do observador em [11] com perturbacao no sensor
Juntando agora os dois diagramas equivalentes, obtem-se o diagrama de blocos final do controlador
na Figura 2.23
Figura 2.23: Diagrama de blocos final do controlador proposto em [11]
A velocidade deste sistema e controlavel alterando somente o ganho Kp, sendo que quanto maior
Kp, mais rapida a resposta do sistema. E de notar, no entanto, que para valores demasiado elevados de
Kp, existe sobreelevacao na resposta temporal do sistema, um fenomeno indesejavel pois nao conduz
a uma otimizacao do consumo da celula. Na Figura 2.24 sao apresentados os resultados para varios
valores deste ganho. Analisando os resultados, observa-se que paraKp = 2.5 se obtem o melhor tempo
de estabelecimento sem sobreelevacao, sendo este na ordem dos 7 segundos, para uma descida de
temperatura de cerca de 4◦C.
Comparando estes resultados com os dos trabalhos estudados anteriormente, nomeadamente com
o trabalho realizado por Huang e Duang [8], observa-se uma melhoria significativa no tempo de estabilizacao
do sistema, sendo este reduzido em cerca de metade para uma descida de temperatura semelhante.
Mais uma vez e de notar que sem que os sistemas sejam sujeitos as mesmas condicoes de teste, uma
comparacao rigorosa e impossıvel.
2.3.4 Conclusoes preliminares
Apos uma analise de varios trabalhos respeitantes ao controlo de celulas termicas baseadas no efeito
de Peltier confirmam-se as hipoteses lancadas no inıcio da seccao: As celulas de Peltier sao capazes
de resolucoes na ordem dos 0.1◦C com um custo e uma dimensao bastante reduzidos, algo que as
camaras termicas convencionais tem muita dificuldade em atingir. No entanto, este tipo de dispositivo
nao consegue atingir temperaturas superiores a 150◦C sem artifıcios que tornam a sua utilizacao pouco
20
Figura 2.24: Resultados do controlador proposto em [11]
pratica, como sugerido por Baderna et al. [10] nas suas conclusoes finais. Esta restricao nao e, no
entanto, muito limitativa, tendo em conta que no teste de dispositivos de consumo geral ou mesmo de
grau militar, a temperatura maxima exigıvel e de 150◦C.
Foi tambem feita uma comparacao dos resultados obtidos nos varios trabalhos, havendo uma me-
lhoria do desempenho dos sistemas nas tecnicas de controlo baseadas em estimadores. Destacam-se
ainda os resultados obtidos por Lima et al. [12] que nao sao otimos devido a escolha do polo do sis-
tema, podendo haver a hipotese do mesmo ser mais rapido com um polo colocado mais a esquerda no
semiplano complexo esquerdo.
21
22
Capıtulo 3
Projeto do controlador
Este capitulo apresenta o projeto de dois controladores, incluindo as decisoes de projeto tomadas,
bem como uma apresentacao e discussao preliminar dos resultados obtidos. Serao desenvolvidos dois
controladores distintos para a celula de Peltier. Para cada controlador de temperatura com celula de
Peltier e apresentada a fundamentacao teorica para o seu dimensionamento.
3.1 Controlador PID
Como primeira abordagem ao problema de controlo de temperatura, foi escolhido o controlador PID. A
sua estrutura basica, referida na Figura 2.11 e discutida na seccao 2.3.2, tem como equacoes:
u(t) = Kpe(t) +KiI(t) +KdD(t) (3.1)
I(t) =
∫e(t) (3.2)
D(t) =d
dte(t) (3.3)
Em que Kp,Ki,Kd sao ganhos a afinar de forma a ter a resposta desejada, e(t) e o erro entre a saıda do
sistema e a referencia no instante t. I(t) e D(t) sao a componente integral e diferencial do controlador
no instante t, respetivamente.
3.1.1 Wind-Up
O controlador PID nao tem em consideracao o alcance de valores de output que pode fornecer, havendo
uma saturacao do atuador alimentado pelo controlador PID. Essa saturacao faz com que o sistema nao
evolua tao depressa quanto o controlador esperaria e consequentemente o integrador acumula o erro
e leva a uma sobreelevacao enquanto o fator de integracao nao diminui para valores aceitaveis. Este
fenomeno tem o nome de Integrator Wind-Up e e particularmente visıvel em casos em que a referencia
e muito diferente do valor inicial da celula de Peltier, uma vez que esta se encontra fisicamente limitada
a 10A. O controlador necessita entao de um numero consideravel de amostras para aproximar o valor
23
medido na celula com o valor da referencia.e durante este perıodo, o erro tem sempre o mesmo sinal e
o fator integral toma valores demasiado elevados, refletindo-se numa inercia elevada do sistema.
Em [18] sao sugeridas tres formas de lidar com esta limitacao, sendo estas ter um controlador que
apenas ativa o ganho integral quando a saıda da celula se encontra numa vizinhanca da referencia;
modificar a referencia incrementalmente de forma a que o valor final desta seja o desejado e que o
controlador a consiga sempre acompanhar nos passos intermedios; atualizar o fator integral conforme
a saıda do controlador que foi efetivamente utilizada em vez da saıda teorica calculada pelo controlador.
Na implementacao foi escolhida a ultima opcao de forma a gerar um controlador com o menor tempo
de estabelecimento possıvel, capaz de reter informacao das amostras passadas, independentemente
das condicoes iniciais e finais do processo.
O algoritmo que permite a atualizacao do fator integral toma o nome de Back-Calculation, uma
vez que calcula a posteriori o valor do fator integral. Este mecanismo so e acionado quando existe
uma saturacao da saıda do controlador, ou seja, quando o valor absoluto calculado pelo controlador e
superior ao valor absoluto maximo permitido pelo processo. Isto e, quando a equacao 3.4 se verifica.
|u(t)| > |umax| (3.4)
Assumindo que o processo a controlar aceita valores de entrada no intervalo [umin, umax], a rotina
de atualizacao utiliza a equacao 3.1 resolvendo-a em ordem ao fator integral, atualizando a expressao
3.2 de forma a obter a equacao 3.5.
I(t) =
−Kpe(t)−KdD(t)−umax
Ki, se u(t) > umax∫
e(t) se umin ≤ u(t) ≤ umax−Kpe(t)−KdD(t)−umin
Ki, se u(t) < umin
(3.5)
Deste modo, o controlador tem conhecimento que o valor calculado nao foi o fornecido a celula e ajusta
os calculos de forma a acomodar esse facto.
24
3.1.2 Discretizacao do Controlador
De forma a poder implementar o controlador, este deve ser convertido para o domınio do tempo discreto.
Como tal, defina-se Ts como o tempo de amostragem e a iteracao k. Considerando a aproximacao das
diferencas finitas [19] para a diferenciacao e a aproximacao trapezoidal para o integral [20] tem-se para
a componente diferencial:
ud(k) =e(k)− e(k − 1)
Ts(3.6)
E para a componente integral:
ui(k) = ui(k − 1) +e(k)− e(k − 1)
2Ts(3.7)
Tomando as transformada z das equacoes 3.6 e 3.7 obtem-se
Ud(z) =E(z)− z−1E(z)
Ts(3.8)
⇔ Ud(z)
E(z)=z − 1
zTs(3.9)
e
Ui(z) = z−1Ui(z) +E(z)− z−1E(z)
2Ts(3.10)
⇔ Ui(z)
E(z)=
z + 1
(z − 1)2Ts(3.11)
Desta forma a funcao de transferencia do controlador discreto e dada por:
U(z)
E(z)=Up(z)
E(z)+Ui(z)
E(z)+Ud(z)
E(z)(3.12)
= Kp +z + 1
(z − 1)2Ts+z − 1
zTs(3.13)
Passando para a equacao as diferencas, a forma final do controlador e:
u(k) = u(k − 1) + (Kp +KiTs
2+Kd
Ts)e(k) + (−Kp +
KiTs2− Kd
Ts)e(k − 1) + (
Kd
Ts)e(k − 2) (3.14)
Quando a saturacao e atingida a atualizacao e feita da seguinte forma:
u(k) = umax, se u(t) > umax
u(k) = umin, se u(t) < umin
(3.15)
3.1.3 Dimensionamento dos ganhos
Em 1942, Ziegler e Nichols [21] propuseram um processo heurıstico de ajuste de ganhos para contro-
ladores PID de forma a ter a resposta pretendida, ficando conhecido como o metodo de Ziegler-Nichols
25
e e a referencia na afinacao manual de controladores deste tipo.
Este metodo consiste em aumentar o ganho proporcional do controlador, anulando os restantes
ganhos, ate se observar um comportamento oscilatorio na saıda do processo a controlar e registar o
valor do ganho proporcional obtido Kpu, bem como a frequencia de oscilacao fu.
Segundo o metodo, para um controlador PID os ganhos que conduzem a melhor rejeicao de perturbacoes
sem sobreelevacao sao dados pelas expressoes em 3.16:
Kp = 0.2Kpu,Ki =0.5
fu,Kd =
0.33
fu(3.16)
Seguindo o guia proposto pelo metodo de Ziegler-Nichols obtem-se o regime oscilatorio da Figura
3.1.
Figura 3.1: Dados experimentais com Kp = Kpu = 12
Os resultados na Figura 3.1 foram obtidos com Kp = 12 e Ki = Kd = 0, observando-se que a
frequencia de oscilacao fu e de cerca de 5 segundos.
Seguindo a regra de afinacao da equacao 3.16, os ganhos otimos para uma resposta sem sobreelevacao
sao apresentados em 3.17.
Kp = 2.4,Ki = 0.1,Kd = 0.066 (3.17)
Numa primeira fase os ganhos sao ajustados manualmente tendo em conta os efeitos de cada parametro.
Em Zhong [22] os efeitos desses parametros sao estudados estando sumariados na tabela 3.1.
Apos a afinacao manual do sistema este passa por uma rotina de afinacao automatica que varia os
ganhos em torno da vizinhanca do ponto encontrado manualmente, de forma a obter a melhor afinacao
possıvel. Esta rotina parte sempre de um ponto de referencia igual (0◦C) para atingir o mesmo ponto
26
Parametro Tempo de Subida Sobreelevacao Tempo de estabelecimento Erro em regime forcado Estabilidade
Kp Diminui Aumenta Afeta ligeiramente Diminui Degrada
Ki Diminui Aumenta Aumenta Elimina Degrada
Kd Afeta ligeiramente Diminui Diminui Nao tem efeito Melhora
Tabela 3.1: Efeito da subida dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta do sistema
final (70◦C) e varia sequencialmente os ganhos enquanto existir uma melhoria no tempo de estabe-
lecimento. Considera-se que a celula de Peltier atingiu o valor final quando as ultimas 15 amostras
registadas se encontram todas a uma distancia do ponto de referencia menor que 0.1◦C.
No final do processo de otimizacao obtem-se os ganhos (3.18) para o modo de aquecimento da celula.
Kp = 3,Ki = 0.2,Kd = 1 (3.18)
O processo e entao repetido para o modo de arrefecimento, verificando-se que os ganhos (3.19) sao
diferentes.
Kp = 4,Ki = 0.2,Kd = 0.2 (3.19)
A diferenca entre os ganhos deve-se a diversos fatores. Em primeiro lugar, tal como verificado na
seccao 2.3.1 nas Figuras 2.9 e 2.10, a inercia termica e mais facilmente vencida no processo de aque-
cimento do que no processo de arrefecimento, visto que na celula de Peltier estao em jogo dois pro-
cessos, o efeito de Peltier, dependente do sentido da corrente e o efeito de Joule, que contribui sempre
para o aquecimento da celula.
Um outro fator que contribui para que seja necessaria mais corrente no arrefecimento e a assimetria
da celula utilizada, uma vez que a celula e composta por dois andares em que o andar de base tem
maior area que o andar do topo. Considerando como convencao que uma corrente positiva causa um
aumento de temperatura, a maior area da base facilita que este aumento ocorra, pois o processo de
aquecimento e feito transferindo energia da placa da base para a placa do topo.
27
3.1.4 Resultados
O resultado da afinacao com os ganhos da equacao 3.18 encontram-se na Figura 3.2 onde se pode
observar o andamento da temperatura (a azul) e da corrente de entrada na celula (a vermelho). O tempo
de estabilizacao e de 64.6 segundos para uma diferenca de 70◦C. A corrente de entrada encontra-se
limitada entre [−6, 6]A.
Figura 3.2: Resultados experimentais para aquecimento
Os resultados para arrefecimento encontram-se na Figura 3.3 para uma diferenca de 30◦C, o tempo
de estabilizacao e de 58.2 segundos.
28
Figura 3.3: Resultados experimentais para arrefecimento
Mostra-se ainda na Figura 3.4, a capacidade de controlo mesmo quando a diferenca entre a tem-
peratura de referencia e a temperatura inicial e elevada (90◦C) o que compreende todo o alcance de
funcionamento pretendido neste trabalho. A temperatura objectivo e atingida em 191.2 segundos.
Figura 3.4: Resultados experimentais para arrefecimento percorrendo todo o alcance de funcionamento
3.1.5 Conclusoes
Nesta seccao foi desenvolvido um controlador PID com mecanismo anti-windup que controla a celula de
Peltier para qualquer temperatura dentro do intervalo de operacao com um erro de 0.1◦C. Teoricamente
29
e possıvel reduzir o erro de regime forcado para um valor tao baixo quanto se queira, uma vez que a
componente integral o elimina totalmente. No entanto, a reducao do erro requer a diminuicao do ganho
Kp, o que por sua vez diminui o tempo de subida, tornando o sistema mais lento.
3.2 Controlador com filtro de Kalman
O facto do controlador PID ser afinado empıricamente levanta a questao se e ou nao possıvel projectar
um sistema de controlo capaz de competir com o desempenho do controlador PID, usando um modelo
apropriado para celula a controlar. Uma vez que o objectivo do trabalho e a estabilizacao da celula
de Peltier numa temperatura precisa, escolhe-se como segundo controlador um regulador baseado no
filtro de Kalman proposto por Kalman [23] e estudado extensivamente na literatura [24, 25, 26], utiliza
a realimentacao das variaveis de estado para garantir o controlo otimo do processo, no entanto, tal
vem ao custo de perda de generalidade face a controladores como o PID uma vez que um modelo do
sistema e necessario.
3.2.1 Introducao a nomenclatura de espaco de estados
O estado (x) de um sistema e o conjunto mınimo de variaveis pelas quais o sistema e a sua resposta
a qualquer entrada pode ser completamente descrito, ou seja, se existir conhecimento do estado inicial
x0 e possıvel prever qualquer estado do sistema, bem como a saıda y, conhecendo os estımulos a que
este foi sujeito [27].
Um sistema contınuo descrito em espaco de estados com n estados, uma sequencia de p entradas
e q saıdas toma a forma: x(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(n) = Cx(t) +Du(t)
(3.20)
Em que se o sistema tiver n entradas e m saıdas, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×p, C ∈ Rq×n, D ∈ Rq×p, x(t) ∈ Rn
e a primeira derivada do estado em ordem ao tempo, u(t) ∈ Rp e o vetor de entradas a que o sistema
foi sujeito e y(t) ∈ Rq e a saıda do sistema.
Para um sistema em tempo discreto a representacao em espaco de estados e:
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)
y(k) = Cx(k) +Du(k)
(3.21)
Tendo as matrizes A, B, C e D as mesmas dimensoes que no caso contınuo mas valores diferentes
para os seus coeficientes.
30
3.2.2 Parametros do modelo
Partindo do modelo nao linear em espaco de estados obtido em 2.2.4, e necessario estimar os valores
dos seus parametros. Para esse efeito foram obtidos dois conjuntos de 5000 pontos experimentais, um
conjunto de treino e um conjunto de validacao. O conjunto de treino consiste na resposta do sistema
a um conjunto de entradas pseudo-aleatorias no intervalo [−6, 6]A. O segundo conjunto de pontos sao
varios ciclos de aquecimento e arrefecimento da celula. Utiliza-se o algoritmo PEM (Prediction Error
Estimate) [28][29] que tenta minimizar a funcao 3.22 de forma a calcular que valores dos parametros
melhor se adequam aos dados experimentais obtidos.
V =
N∑t=1
(H−1(q)[y(t)−G(q)u(t)])2 (3.22)
O processo e realizado em duas fases. Numa primeira fase o algoritmo tem liberdade para alterar
apenas os parametros intrınsecos da celula (Km,Rm,Ch e Cc), estando os restantes parametros fixos
nos valores encontrados em [13] e e feita uma primeira adaptacao aos dados. Na segunda fase o
algoritmo parte dos resultados obtidos anteriormente e tem liberdade total na variacao parametros,
de forma a obter a melhor estimativa possıvel. Esta estimacao e feita com a funcao pem do Matlab.
Por fim, de forma a confirmar a veracidade dos resultados, sujeita-se o modelo com os parametros
identificados ao conjunto de entradas que gerou o conjunto de validacao. Os resultados deste processo
encontram-se nas Figuras 3.5 e 3.6.
Figura 3.5: Comparacao da resposta do modelo com os dados experimentais de treino
31
Figura 3.6: Comparacao da resposta do modelo com os dados experimentais de validacao
Analisando as Figuras 3.5 e 3.6 verifica-se que o modelo aproxima os dados experimentais de treino
a 97.49% e os dados de validacao a 96.84%, implicando uma boa estimativa dos parametros do modelo.
Os valores numericos para os parametros obtidos encontram-se na tabela 3.2.
Parametro Valor Parametro Valor
Rka 0.2066 Cc 6.5845
Rs 2.5308 Ro 2.9436× 104
Cs 4.2397× 103 Co 9.8416
Ch 1.0281 α 0.0584
Km 1.4200 Rm 0.9837
Tabela 3.2: Valores estimados para os parametros
3.2.3 Linearizacao do Modelo
Como visto na seccao anterior, o modelo obtido e nao linear, o que o faz com que as regras de controlo
classicas deixem de ter validade. Como tal, opta-se pela linearizacao jacobiana [30] do sistema em
torno de um ponto e trata-se o sistema como linear numa vizinhanca desse ponto.
Seja o modelo de estados definido pelas funcoes nao lineares:
x = f(x, u) (3.23)
E considere-se ainda que o estado x e a entrada u pode ser descrito por uma componente estatica e
32
por uma componente incremental tal que:
x = x+ ∆x (3.24)
e
u = u+ ∆u (3.25)
A expansao em serie de Taylor da equacao 3.23 toma a forma:
δx
δt+δ∆x
δt≈ f(x, u) +
δf(x, u)
δx
∣∣∣∣x,u
∆x+δf(x, u)
δu
∣∣∣∣x,u
∆u (3.26)
Sendo:
δf(x, u)
δx=
δf1(x,u)δx1
δf1(x,u)δx2
δf1(x,u)δx3
δf1(x,u)δx4
δf2(x,u)δx1
δf2(x,u)δx2
δf2(x,u)δx3
δf2(x,u)δx4
δf3(x,u)δx1
δf3(x,u)δx2
δf3(x,u)δx3
δf3(x,u)δx4
δf4(x,u)δx1
δf4(x,u)δx2
δf4(x,u)δx3
δf4(x,u)δx4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
(3.27)
e
δf(x, u)
δu=
δf1(x,u)δu
δf2(x,u)δu
δf3(x,u)δu
δf4(x,u)δu
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
(3.28)
Com efeito, a representacao em espaco de estados fica estabelecida com:
A =δf(x, u)
δx
∣∣∣∣x,u
(3.29)
e
B =δf(x, u)
δu
∣∣∣∣x,u
(3.30)
Aplicando estas nocoes ao modelo obtido na seccao anterior, obtem-se as matrizes do sistema
linearizado em torno de um ponto de funcionamento (x, u):
A =
−( 1
CoRs+ 1
CoRco) 1
CoRs0 0
1CcRs
−( 1CcKm
+ 1CcRs
) 1CcKm
− αCcu 0
0 ( 1ChKm
− αCh
) ( αCh− 1
ChKm− 1
ChRs) + α
Chu 1
ChRs
0 0 1CsRs
−( 1CsRka
+ 1CsRs
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
(3.31)
B =
0
− αCcx3 + Rm
Ccu
αChx3 + +Rm
Chu
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
(3.32)
33
C =[1 0 0 0
](3.33)
e
D =[0]
(3.34)
A linearizacao e feita em torno de uma temperatura objectivo (To = x1) as outras coordenadas do
ponto (x, u) resultam da resolucao da equacao 2.42 em ordem a x2, x3, x4 e u quando x1 = x2 = x3 =
x4 = 0 e x1 e fixo:
x2 =Rox1 −Rs(Tax1)
Ro(3.35)
x3 = −Rka(Ta(Rsα+ 1)− x1(Roα+Rsα+ 1)) +Ro(Ta −Rsx1α) +Rs(Ta − x1)(Rsα+ 1)
Ro(Rkaα+Rsα− 1)(3.36)
x4 = −Rka(Ta(Rsα+ 1)− x1(Roα+Rsα+ 1))−RoTa(Rsα− 1)
Ro(Rkaα+Rsα− 1)(3.37)
3.2.4 Discretizacao do modelo
Nas seccoes anteriores, foi derivado um modelo contınuo linearizado em torno de um ponto de funcio-
namento para a celula de Peltier. No entanto, devido as limitacoes fısicas dos sistemas de aquisicao da
forma como a informacao digital e trabalhada, o sistema deve ser discretizado.
Assumindo uma amostragem simples com retencao de amostra a um ritmo Ts, a transformacao da
matriz A de um sistema contınuo para uma matriz Ad de um sistema discreto e dada pela equacao 3.38
[31]
Ad = eATs = L−1{(sI −A)−1}t=T (3.38)
Se A for nao singular, a matriz Bd referente a um sistema discreto e dada por:
Bd = A−1(Ad − I)B (3.39)
Em [32] e sugerida uma forma de calcular as matrizes Ad e Bd sem recorrer a inversao da matriz A:
e
A B
0 0
Ts
=
Ad Bd
0 I
(3.40)
As matrizes C e D mantem-se inalteradas do caso contınuo para o caso discreto.
No script de Matlab desenvolvido bem como no programa em Python, esta conversao foi efetuada
utilizando a funcao c2d do Matlab e a funcao c2d do modulo Control Systems Library disponıvel para
Python.
3.2.5 Regulador Linear Quadratico
A area de conhecimento de controlo optimo lida com o problema de descobrir a entrada u(t) que satisfaz
um determinado ındice de desempenho. Um caso particular do controlo optimo e o regulador linear
34
quadratico [33], que pode ser resolvido analıticamente.
Dado o sistema descrito por:
x = Ax+ bu (3.41)
y = Cx+Du (3.42)
x(t0) = x0 (3.43)
O regulador linear quadratico minimiza o ındice de desempenho:
J =
∫ ∞t0
xTQx+ uTRudt (3.44)
Em que Q ∈ Rn×n e R ∈ Rp×p sao matrizes semi-definidas positivas hermitianas ou simetricas de
valores reais. A matriz Q pesa a importancia relativa que o regulador da ao erro em regime forcado e
a matriz R pesa o esforco de controlo que o controlador exige. Por outras palavras, quanto maior Q for
em relacao a R, mais agressivo sera o controlo e menor o erro em regime forcado. Quanto maior R em
relacao a Q menos importancia sera dada ao erro mas o esforco exigido ao actuador sera menor. Esta
formulacao do problema assume que o controlador tem liberdade total no actuador, ou seja, o actuador
consegue fornecer qualquer valor calculado pelo regulador.
No caso discreto, a equacao 3.44 toma a forma:
N−1∑τ=0
(xTτ Qxτ + uTτ Ruτ ) (3.45)
Em [33], e demonstrada que a solucao para o problema do regulador quadratico linear de tempo
contınuo e a solucao da equacao de Riccati contınua:
ATX +XA−XBR−1BTX +Q = 0 (3.46)
Analogamente, em [26] prova-se que a solucao do problema para o caso discreto e dada pela solucao
da equacao de Riccati discreta:
X = ATXA− (ATXB)(R+BTXB)−1(BTXA) +Q (3.47)
As solucoes das equacoes de Riccati sao obtidas atravez de metodos numericos estudados apro-
fundadamente nos trabalhos de [34], [35], [36], [37], [38], [39] e [40]. Os dois metodos mais comuns
sao a decomposicao em valores proprios e a decomposicao de Schur, sendo que o ultimo conduz a
erros numericos consideravelmente mais reduzidos e e o mais utilizado.
O sinal de controlo optimo ([26, 33]), u, que minimiza a equacao 3.44 para o caso contınuo e a
equacao 3.45 para o caso discreto e dado por:
u = −Kx (3.48)
35
Em que K ∈ Rp×n e a matriz de ganhos de realimentacao das variaveis de estado, obtida no caso
contınuo ([33]) por:
K = R−1BX (3.49)
E para o caso discreto ([41]):
K = (BTXB +R)−1(BTXA) (3.50)
O diagrama de blocos do regulador encontra-se ilustrado na Figura 3.7.
Doravante, apenas o caso discreto sera considerado.
Tendo a matriz K, e possıvel realimentar todas as variaveis de estado de forma a que o sistema
progrida de forma optima para o ponto desejado. No entanto, tal requer que as variaveis de estado
sejam acessıveis. No trabalho em questao, apenas uma das variaveis de estado, a temperatura do
sensor de temperatura, e mensuravel o que obriga a que para poder haver uma realimentacao optima,
as restantes variaveis tenham que ser estimadas. Tal e feito com recurso a um observador de estado.
Figura 3.7: Diagrama de blocos do regulador simples
3.2.6 Observador de estado
Um observador de estados e um sistema que utiliza um modelo do sistema real que disponibiliza as
variaveis de estado quando estas nao estao originalmente acessıveis. Para que possa existir um ob-
servador de estados, o sistema real deve ser observavel, ou seja:
rank([CTATCT · · · (AT )n−1CT ]) = n (3.51)
Defina-se x como o estado estimado pelo modelo e y a saıda do modelo. Note-se que este estado
estimado tem todas as variaveis acessıveis. O observador e modelado como:
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) + L(y(k)− y) (3.52)
Em que L e uma matriz de ganhos de observador. O diagrama de blocos do observador e o da Figura
3.8.
36
Figura 3.8: Diagrama de blocos do regulador simples
Atendendo a que y = Cx(k), a equacao 3.52 pode ser rescrita como:
x(k + 1) = (A− LC)x(k) +Bu(k) + LCx(k) (3.53)
Defina-se agora
e(k) = x(k)− x(k) (3.54)
Tem-se que:
e(k + 1) = x(k + 1)− x(k + 1) (3.55)
= Ax(k) +Bu(k)− (A− LC)x(k)−Bu(k)− LCx(k) (3.56)
= (A− LC)(x(k)− x(k)) (3.57)
= (A− LC)e(k) (3.58)
(3.59)
e(k + 1) = (A− LC)e(k) (3.60)
Considere-se ainda o sistema descrito por:
x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) (3.61)
y(k) = Cx(k) (3.62)
37
E o seu problema dual:
z(k + 1) = AT z(k) + CT v(k) (3.63)
n(k) = BT z(k) (3.64)
Utilizando o mesmo metodo que na seccao anterior, a matriz L e dada por:
L = (CPCT +R)−1(CPAT ) (3.65)
Em que P e a solucao da equacao de Riccati discreta:
P = APAT − (APCT )(RE + CPCT )−1(CPAT ) +QE (3.66)
Com QE e RE matrizes com o mesmo significado que as matrizes Q e R da seccao anterior.
Conjugando os resultados das duas ultimas seccoes, o diagrama de blocos do regulador com ob-
servador de variaveis de estado toma a forma da Figura 3.9:
Figura 3.9: Diagrama de blocos do regulador com observador
Este observador depende das amostras ate y(k−1), o que significa que a amostra mais recente nao
e utilizada na estimativa, o que faz com que o desempenho do observador nao seja o melhor possıvel.
E entao interessante modificar o observador de forma a que este inclua a amostra mais recente ([26]).
Entao, modificando a equacao 3.52 para:
x(k) = x(k) + L[y(k)− Cx(k)] (3.67)
38
com:
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) (3.68)
Obtem-se a nova equacao do observador:
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) + L[y(k)− C(Ax(k − 1) +Bu(k − 1))] (3.69)
Sendo o novo diagrama de blocos do observador ilustrado na Figura 3.10.
Figura 3.10: Diagrama de blocos do observador de amostra mais recente
O diagrama de blocos do regulador com o observador de amostra mais recente encontra-se na
Figura 3.11.
Figura 3.11: Diagrama de blocos do regulador com observador de amostra mais recente
3.2.7 Introducao da referencia
Ate agora foi projetado um controlador de realimentacao de variaveis de estado capaz de conduzir qual-
quer estado inicial ao ponto de menor energia, seguindo a trajetoria que minimiza o funcional de custo
39
quadratico, mesmo quando as variaveis de estado nao sao todas acessıveis. E no entanto necessario
introduzir uma referencia r(k) como variavel de controlo de forma a que o ponto de estabilizacao do
sistema seja a temperatura desejada. Na Figura 3.12 representa-se o digrama de blocos do controlador
ja incluindo uma referencia.
Figura 3.12: Diagrama de blocos do controlador com uma referencia simples
Nas seccoes anteriores obtiveram-se dois resultados importantes:
u(k) = −Kx(k) (3.70)
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) + L[y(k)− C(Ax(k − 1) +Bu(k − 1))] (3.71)
A introducao da referencia descrita na Figura 3.12 conduz a um erro variavel em regime forcado. De
forma a resolver este problema considere-se o acrescento de dois ganhos as equacoes 3.70 e 3.71 tal
como na Figura 3.13 :
u(k) = −Kx(k) +Nr(k) (3.72)
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) + L[y(k)− C(Ax(k − 1) +Bu(k − 1))] +Mr(k) (3.73)
De forma a utilizar o erro de seguimento escolhe-se N = 0 e M = −L. Entao:
u = −Kx (3.74)
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) + L[y(k)− C(Ax(k − 1) +Bu(k − 1))]− Lr(k) (3.75)
40
Figura 3.13: Diagrama de blocos do controlador com ganhos na referencia
Manipulando a expressao, obtem-se:
x(k) = Ax(k − 1) +Bu(k − 1) + L[y(k)− C(Ax(k − 1) +Bu(k − 1))]− Lr(k) (3.76)
= Ax(k − 1) +BKx(k − 1) + Ly(k)− LCAx(k − 1) + LCBKx(k − 1)− Lr(k) (3.77)
= [A−BK − LCA+ LCBK]x(k − 1) + L(y(k)− r(k)) (3.78)
Definindo o sinal de erro como:
e(k) = r(k)− y(k) (3.79)
Obtem-se:
x(k) = [A−BK − LCA+ LCBK]x(k − 1)− Le(k) (3.80)
Condensando a notacao, tal que:
Φ = A−BK − LCA+ LCBK (3.81)
Γ = −L (3.82)
O controlador e descrito pelas equacoes:
z(k + 1) = Φz(k) + Γe(k) (3.83)
n(k) = −Kz(k) (3.84)
Nesta nova notacao, z e um novo estado referente ao controlador, e e o erro do sistema e n e a
saıda do controlador que sera imposta ao sistema real. O diagrama de blocos do controlador encontra-
se ilustrado na Figura 3.14:
41
Figura 3.14: Diagrama de blocos do controlador com introducao de referencia
Os pesos Q, R, QE e RE foram afinados por simulacao de forma a obter o melhor compromisso
entre a sobreelevacao que o sistema apresenta e o erro em regime forcado. Os valores obtidos para
estes pesos sao:
Q =
10 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(3.85)
QE =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 10
(3.86)
R = 1 (3.87)
RE = 1 (3.88)
3.2.8 Saturacao
Como referido anteriormente, a formulacao do problema LQR assume o controlo total das entradas do
sistema, no entanto, isto nao se aplica ao caso em estudo. A celula de Peltier atinge os seus limites
fısicos com cerca 10A aos seus terminais, correndo o risco de danos permanentes a sua estrutura se
esse limite for ultrapassado. Uma forma de ultrapassar esta limitacao e introduzir uma saturacao entre
a saıda do controlador e a entrada do sistema como na Figura 3.15.
Figura 3.15: Diagrama de blocos do sistema com saturacao
Contudo, esta modificacao leva a um fenomeno semelhante ao Wind-up do controlador PID em que
apesar da saıda ser limitada, as variaveis internas do controlador nao tem conhecimento desse facto e o
sistema tenta evoluir baseado numa premissa incorreta, o que leva a um desempenho pior do sistema.
A solucao deste problema passa entao pela atualizacao das variaveis internas do controlador, neste
42
caso do estado, de forma a incluir a informacao de que a saıda calculada nao foi a entrada aplicada no
sistema. De forma a conseguir essa atualizacao e sabendo que
n(k) = −Kz(k) (3.89)
calcula-se z(k) que conduz a:
nsat(k) = −Kz(k) (3.90)
No entanto, o sistema nao e invertıvel e portanto nao existe uma solucao unica da equacao 3.90. Uma
forma de contornar esse problema e inserir uma constante multiplicativa f ∈ R tal que:
nsat(k) = −Kz(k)f (3.91)
Em que:
f =nsatn(k)
(3.92)
Deste modo o controlador esta sempre ciente da entrada que foi aplicada ao sistema e nao incorre
em saturacao das variaveis internas. A importancia desta correcao encontra-se ilustrada na Figura
3.16 onde sao apresentadas varias simulacoes com e sem o termo de correcao f para dois pontos
distintos de objectivo. Verifica-se que a introducao do ganho f , nao so a sobreelevacao do sistema e
menor como o tempo de estabilizacao tambem diminui nos dois casos, comparando com a situacao
sem termo de saturacao.
43
(a) Simulacao para o ponto To = −10 com f = 1 (b) Simulacao para o ponto To = −10 com f =nsat
n(k)
(c) Simulacao para o ponto To = 80 com f = 1 (d) Simulacao para o ponto To = 80 com f =nsat
n(k)
Figura 3.16: Simulacoes com e sem termo de saturacao
3.2.9 Atrasos
Um problema recorrente no controlo de sistemas sao os atrasos introduzidos pelo metodo de comunicacao
entre o controlador e o sistema a controlar. Estes atrasos provocam mudancas de fase no sistema que
reduzem o desempenho do controlador e que podem levar a instabilidade do mesmo.
No controlo da celula de Peltier verifica-se que existe um atraso constante de duas amostras entre
a saıda do controlador e a resposta do sistema, sendo necessario o estudo deste fenomeno.
Considere-se entao que o sistema e modelado como na seccao anterior e que possui um atraso τ
na saıda, como ilustrado na Figura 3.17:
Figura 3.17: Diagrama de blocos do sistema com atrasos
44
De forma a incluir o atraso no modelo do sistema utilizado no projeto do controlador as matrizes A,
B e C do modelo original devem ser alteradas.
Considere-se que existe um novo estado x5 que representa o atraso de uma amostra. Entao x5 = x4.
Generalizando para a situacao em que existem τ atrasos, xτ = xτ−1 . . . x5 = x4. A nova matriz A,
definida como AD ∈ R(n+τ)×(n+τ) toma a forma:
AD =
A B 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
0 0 0 0. . . 0
0 0 0 0 . . . 1
0 0 0 0 . . . 0
(3.93)
De forma semelhante, a matriz BD ∈ R(n+τ)×p e a matriz CD ∈ Rq×(n+τ) definem-se como:
BD =
0...
0
1
(3.94)
e
CD =[C 0 . . . 0
](3.95)
O novo modelo e controlavel e observavel e portanto o controlador LQR pode ser projetado utili-
zando o mesmo metodo que na seccao 3.2.7.
Na Figura 3.18 encontram-se varias simulacoes para o ponto To = 50◦C em que sao comprovados
os efeitos dos atrasos no sistema, bem como a resposta do controlador quando o modelo do sistema
e aumentado para prever os atrasos. Conclui-se que para atrasos pequenos (τ ≤ 3) o controlador e
robusto o suficiente para atingir o ponto desejado (Figura 3.18a), no entanto a inclusao dos atrasos
no modelo melhoram o seu desempenho, causando menores oscilacoes em regime transitorio (Figura
3.18b). Quando os atrasos sao consideraveis (τ ≥ 3) as mudancas de fase que provocam tornam
o controlador instavel (Figura 3.18c), contudo, este beneficia fortemente da inclusao dos atrasos no
modelo do sistema, uma vez que mesmo para atrasos muito grandes (τ = 10) o sistema torna-se
estavel (Figura 3.18d).
E de notar que os metodos sugeridos na seccao 3.2.5 (Decomposicao em valores proprios e decomposicao
de Schur) para resolver a equacao de Riccati discreta exigem a invertibilidade da matriz A do sistema.
Contudo, ao aplicar os atrasos ao modelo, esta propriedade e perdida, sendo necessario encontrar
metodos alternativos para resolver este problema. Em [40] sao apresentadas duas generalizacoes dos
metodos ja existentes que sao capazes de resolver o problema sem inverter a matriz da dinamica do
sistema. O metodo de decomposicao de Schur generalizada foi o escolhido para implementacao uma
vez que conduz aos melhores resultados numericos. Esta tecnica e a utilizada pelas ferramentas inter-
45
(a) Atraso de 3 amostras sem correccao (b) Atraso de 3 amostras com correccao
(c) Atraso de 10 amostras sem correccao (d) Atraso de 10 amostras com correccao
Figura 3.18: Simulacoes do efeito dos atrasos no sistema de controlo e correcao do controlador
nas do Matlab e foi implementada em Python recorrendo a biblioteca Slicot, desenvolvida em Fortran e
adaptada para Python com a biblioteca Slycot.
3.2.10 Correcao do Erro
Uma vez que os parametros identificados do sistema nao sao exatamente os valores reais da celula
real e e adicionalmente feita uma linearizacao em torno de um ponto de funcionamento existe um
desencontro entre o modelo e o sistema real. Este facto conduz a um erro em regime forcado. Uma vez
que se pretende atingir o menor erro possıvel, os efeitos desse desencontro de parametros deve ser
apaziguado. Uma forma a aumentar a robustez do controlador e de diminuir o erro em regime forcado
e incluir uma componente integral ei na entrada do controlador como ilustrado na Figura 3.19 tal que:
ec(k) = e(k) +Keiei (3.96)
46
O efeito integral e atingido com um integrador discreto com saturacao, ou seja:
ei(k) = eimax ,se ei(k) > eimax
ei(k) = e(k)−e(k−1)Ts
ei(k) = eimin ,se ei(k) < eimin
(3.97)
Figura 3.19: Diagrama de blocos do sistema com correcao de erro
De forma a comparar o erro em regime forcado foram feitas simulacoes para To = 50◦C. Estas
simulacoes, apresentadas na Figura 3.20 tem uma duracao de 10 minutos de forma a garantir que
qualquer regime transitorio seja negligıvel. Verifica-se que no ambiente de simulacao em que a fonte de
corrente e o multımetro tem resolucao infinita se consegue atingir um erro de cerca de 15m◦C quando
o efeito integral nao se encontra ativo. Quando a componente integral toma efeito (Figura 3.20b) com
Kei = 0.01 e eimax = 0.2 consegue-se atingir um erro de 250n◦C, uma melhoria de 5 ordens de
grandeza.
(a) Erro do sistema sem efeito integral (b) Erro do sistema com efeito integral
Figura 3.20: Simulacoes do erro do sistema com e sem efeito integral
47
Capıtulo 4
Resultados
4.1 Montagem experimetal e Software utilizado
4.1.1 Montagem Experimental
A montagem experimental considerada e um sistema de realimentacao simples como visto na figura
4.1. O sistema consiste num controlador digital implementado em Python, uma fonte de corrente BOP
20-10M , uma celula de Peltier de dois andares numa camara de vacuo, um multımetro digital Keithley
2000 e um simulador de bateria Keithley 2302 que alimenta a bomba de vacuo. Juntamente com a
celula de Peltier encontra-se uma resistencia termica PT100 de forma a medir a temperatura dentro da
camara de vacuo.
Figura 4.1: Diagrama de blocos da montagem experimental
Visto que neste sistema a entrada e uma temperatura desejada e a saıda e a resistencia medida
pela resistencia termica, e necessario converter este valor para uma temperatura. A relacao entre
temperatura e resistencia de uma resistencia termica PT100 e dada pela equacao 4.1:
RT =
R0(1 +AT +BT 2 + CT 3(T − 100)) se −200◦C < T < 0◦C
R0(1 +AT +BT 2) se 0◦C ≤ T < 850◦C
(4.1)
Em que R0 e resistencia correspondente a temperatura ambiente e A = 3.9083 × 10−3C−1, B =
−5.775× 10−7C−2 e C = −4.183× 10−12C−4.
48
Figura 4.2: Montagem experimental
A comunicacao entre o controlador, a fonte de corrente e o multımetro digital e feita atraves das
interfaces GPIB dos mesmo, obedecendo a carta de comunicacao BIT 4886 que estabelece comandos
basicos ao nıvel de hardware para os dispositivos.
4.1.2 Software utilizado
Durante o trabalho sera utilizado o seguinte software:
Python 2.7: Python e uma linguagem de programacao orientada por objetos extremamente versatil e
universal. Foi escolhida para este trabalho devido a sua simplicidade e facilidade de utilizacao.
Pyscripter: Pyscripter e uma IDE(Integrated Development Environment) para Python 2.7 que permite
o desenvolvimento de programas nesta linguagem com uma interface grafica. Dando acesso a ferra-
mentas como debug e manipulacao de estruturas de dados e manutencao de objetos de programacao.
49
Pyvisa: Um modulo para Python que permite o acesso simplificado a biblioteca VISA desenvolvida pela
National Instruments. Esta biblioteca permite a comunicacao com instrumentos pelas suas interfaces
GPIB, VXI, PXI, serie, Ethernet e USB.
LATEX: LATEXe uma ferramenta de edicao de texto, extremamente util na criacao de documentos ci-
entıficos devido a sua gestao automatica de figuras, referencias e equacoes.
4.2 Modelo
No capitulo anterior foi desenvolvido um modelo teorico e os seus coeficientes estimados recorrendo
a dados reais. Na figura 4.3 e apresentada a resposta do sistema real, a laranja, e do modelo simu-
lado, a azul, sujeitos a mesma corrente, a amarelo e as mesmas condicoes iniciais. Considerando as
adaptacoes obtidas com os sinais de treino para determinar os coeficientes do modelo, espera-se que
as duas respostas sejam muito semelhantes.
Figura 4.3: Comparacao do Modelo com o sistema real
De facto, a analisando a figura 4.3 verifica-se esta proposicao uma vez que a diferenca entre as duas
curvas apresentadas e de cerca de 1◦C e os controladores desenvolvidos sao robustos o suficiente para
lidar com essa irregularidade.
Estando o modelo validado, e interessante observar o comportamento dos estados que nao sao
acessıveis experimentalmente. Com efeito, e feita a simulacao do modelo para ±7A na figura 4.4 de
forma a observar o comportamento dos estados para aquecimento e para arrefecimento.
Analisando a figura 4.4 observa-se que, tal como previsto em [12], a temperatura do dissipador de
calor e mantida constante enquanto a temperatura da placa em contacto com o dissipador aumenta.
Observa-se ainda a excursao da temperatura da placa em contacto com o sensor e a temperatura
do sensor sao muito semelhantes, sendo a temperatura no sensor ligeiramente mais alta no caso de
50
(a) I = 7A (b) I = 7A
Figura 4.4: Evolucao dos estados do sistema sujeitos a uma corrente constante
aquecimento (figura 4.4a) e mais baixa no caso em que se pretende arrefecer o o objecto em teste
(figura 4.4b).
51
4.3 Controladores
Nesta seccao sao apresentados os resultados obtidos para os dois controladores desenvolvidos no
capıtulo anterior.
De forma a caracterizar os controladores de forma justa foram escolhidas cinco metricas em que os
mesmos foram avaliados por ordem de importancia:
• Menor erro possıvel com o controlador.
• Tempo necessario ate atingir esse erro.
• Tempo necessario para atingir um erro de 0.1◦C face a referencia.
• Tempo necessario para atingir um erro de 0.01◦C face a referencia, se aplicavel.
• Sobreelevacao da resposta temporal do controlador.
Estes parametros foram avaliados para testes de 10 minutos para quatro temperaturas dentro do
regime de operacao da celula de Peltier: −10◦C, 0◦C, 50◦C e 80◦C.
Os testes encontram-se nas figuras 4.5 a 4.8, onde sao sequencialmente apresentados os resul-
tados para o controlador PID e os resultados para o regulador, mostrando a azul o andamento da
temperatura medida e a laranja o andamento da corrente aplicada.
(a) PID (b) Estimador
Figura 4.5: Medicoes durante 10 minutos para To = −10◦C
52
(a) PID (b) Estimador
Figura 4.6: Medicoes durante 10 minutos para To = 0◦C
(a) PID (b) Estimador
Figura 4.7: Medicoes durante 10 minutos para To = 50◦C
(a) PID (b) Estimador
Figura 4.8: Medicoes durante 10 minutos para To = 80◦C
Um sumario das figuras 4.5 a 4.8 encontra-se na tabela 4.1 para o PID e na tabela 4.2 para o
regulador.
53
To Tinicial Sobreelevacao Erro menor tErro menor tErro=0.1 tErro=0.01
-10 25 0.0952 0.0466 527.65 91.74 -
0 25 0.0661 0.0633 211.71 60.86 -
50 25 0.1083 0.1003 58.732 58.73 -
80 25 0.1082 0.0939 509.955 459.61 -
Tabela 4.1: Dados PID teste longo
To Tinicial Sobreelevacao Erro menor tErro menor tErro=0.1 tErro=0.01
-10 25 0.2106 0.0055 321.34 139.08 264.36
0 25 0.3737 0.0040 353.97 96.706 206.8
50 25 4.2735 0.0041 534.23 89.029 235.58
80 25 1.5576 0.0036 456.91 97.09 256.049
Tabela 4.2: Dados LQR teste longo
Observando as figuras 4.5 a 4.8 e as tabelas 4.1 e 4.2, conclui-se que o andamento da corrente cal-
culada pelo controlador PID tem um comportamento oscilatorio enquanto que o regulador LQR calcula a
corrente necessaria para manter o sistema no ponto desejado. A consequencia desse comportamento
e um erro menor comparativamente ao atingido pelo PID que e cerca de uma ordem de grandeza infe-
rior. No entanto, a precisao adicional do regulador LQR vem ao custo de uma aproximacao lenta face
ao controlador PID, uma vez que o tempo necessario para atingir a mesma tolerancia de 0.1◦C e cerca
de 30 a 50 segundos superior no caso do regulador. A excepcao a essa tendencia e apenas no caso
de To = 80 em que o regulador e cerca de 362 segundos mais rapido a atingir a tolerancia especifi-
cada. E importante referir que o valor do tempo apresentado para este caso e causado por espurias
aleatorias quando se atingem temperaturas superiores a 75◦C que sao indetectaveis em tempo real
mas que surgem quando e feita uma analise posterior fazendo uma procura pelo primeiro valor que
viola a tolerancia, partindo da ultima amostra. Isto acontece porque o criterio de paragem dos dois
controladores e a temperatura estar abaixo de uma determinada tolerancia durante 15 amostras con-
secutivas. No caso em que To = 80 as espurias demoram cerca de 1 a 2 amostras e podem ser feitas
300 amostras sem que estas se manifestem, tornando impossıvel a sua deteccao em tempo real sem
que se o perıodo de amostras consecutivas abaixo da tolerancia seja tao grande que prejudique em
demasia o desempenho do controlador.
Constata-se ainda que a sobreelevacao presente no regulador quando a temperatura e superior a
temperatura ambiente e cerca de uma ordem de grandeza superior a sobreelevacao demonstrada pelo
54
PID, sujeito as mesmas condicoes, piorando ligeiramente o desempenho temporal do controlador.
Em suma, o controlador PID consegue obter um erro de 0.1◦C em cerca de 90 segundos, excep-
tuando o caso em que To = 80, enquanto que o regulador LQR demora cerca de 140 segundos para
atingir o mesmo erro. No entanto o regulador e capaz de atingir tolerancias uma ordem de grandeza
inferiores as atingidas pelo PID em cerca de 265 segundos e um erro maximo de 5.5m◦C em 322 se-
gundos enquanto que o erro mınimo registado no caso do controlador PID e de apenas 46.6m◦C em
527.65 segundos.
Apresentam-se agora os resultados para um teste sequencial com o seguinte comando de tempe-
raturas: To = [−10; 0; 50; 80; 50; 0;−10]◦C. A sequencia e executada partindo da temperatura Ti = 25◦C
e prossegue para a proxima temperatura objectivo quando atinge a tolerancia de 0.1◦C e a tempera-
tura da celula permanece dentro da tolerancia durante 15 amostras (aproximadamente 7 segundos).
O resultado para o controlador PID encontra-se na Figura 4.9 e o resultado para o regulador LQR e
apresentado na Figura 4.10.
Figura 4.9: Sequencia PID
Comparando as duas figuras observa-se que o tempo que os dois controladores demoram a atingir
a tolerancia especificada e semelhante, contrariamente ao que seria de esperar analisando as tabelas
4.1 e 4.2. Tal deve-se a dificuldade que o controlador PID tem em estabilizar em temperaturas supe-
riores a 50◦C, demorando consideravelmente mais a atingir a tolerancia do que o regulador LQR em
temperaturas dentro dessa gama.
Atente-se ainda ao andamento de corrente dos dois controladores; Onde e evidente a superioridade
do regulador LQR que calcula a corrente exata a aplicar e epenas faz alguns ajustes para compensar
eventuais diferencas entre os valores estimados e os valores reais, face ao controlador PID que tenta
ajustar sempre a corrente fornecida baseado apenas na realimentacao da ultima medida efetuada. Isto
gera uma corrente com uma ondulacao indesejada visto que prejudica o tempo de vida da celula de
55
Figura 4.10: Sequencia Estimador
Baderna
Aquec.
Baderna
Arrefec.Lima
Huang
Duang
Morimitsu
Katsura
Ti/To 15/-40 25/120 25/21 8/5 26.25/22
t[s] 360 240 200 30 10
tPID[s] - - 40.52 26.78 39.87
tLQR[s] - - 90.21 82.16 91.74
Tabela 4.3: Comparacao dos controladores com o estado da arte
Peltier bem como a sua eficiencia energetica [42].
Estes resultados demostram ainda a possibilidade de programar sequencias aleatorias de tempe-
raturas desejadas no algoritmo desenvolvido, abrindo portas para uma implementacao no sistema de
medicao e teste automatico atualmente presente no laboratorio.
Na tabela 4.3 encontra-se uma comparacao dos controladores desenvolvidos com os controladores
apresentados no capıtulo 2.3. Nesta constam os controladores apresentados como estado da arte,
a temperatura inicial Ti de que partem nos resultados apresentados nos respectivos papers, a tem-
peratura final To e o tempo t de que precisam para atingir essa temperatura. Ainda nessa tabela e
apresentado o tempo tPID e tLQR que o controlador PID e o regulador LQR demoram nas mesmas
condicoes, respectivamente. Por razoes de seguranca, a temperatura mınima e maxima da celula fo-
ram limitadas a −20◦C e 100◦C nao tendo sido possıvel por esta razao obter uma comparacao com o
controlador proposto por Baderna et al. [10].
Analisando a tabela verifica-se que em termos temporais o controlador PID desenvolvido apenas e
inferior ao controlador proposto por Morimitsu e Katsura, sendo que o regulador LQR e ligeiramente
mais lento que o controlador proposto por Huang e Duang. Isto acontece porque a abordagem do
56
regulador LQR e cautelosa, fazendo primeiro uma aproximacao com a corrente calculada baseada no
modelo interno, e so depois aproxima a temperatura desejada baseando-se na realimentacao. Este
efeito pode ser atenuado aumentando a agressividade do controlador, sacrificando a sobreelevacao.
E de referir ainda que os controladores apresentados por Huang e Duang e Morimitsu e Katsura no
estado da arte sao simplificacoes do modelo original apenas validas na regiao em que sao apresen-
tadas, enquanto que tanto o controlador PID e o regulador LQR sao validos e conseguem regular a
temperatura dentro de todo o intervalo pretendido.
57
Capıtulo 5
Conclusoes
Neste trabalho foi apresentado o efeito de Peltier e a sua aplicacao sob a forma da celula de Peltier.
Foi sugerida a utilizacao da celula como elemento de actuacao no teste e caracterizacao de sensores
de temperatura e foi feita uma analise do estado da arte. Baseado num modelo electrico para o com-
portamento termico da celula de Peltier estudado no estado da arte, foi desenvolvido um modelo em
espaco de estados para a celula de Peltier cujos parametros foram estimados recorrendo a dados reais
recolhidos em laboratorio.
Foram desenvolvidos dois controladores para a celula: um controlador PID e um regulador baseado
no filtro de Kalman. Esses controladores foram simulados e implementados num sistema real e foram
recolhidos dados experimentais.
Por fim foi feita uma analise dos resultados obtidos e foi feita uma comparacao entre os dois contro-
ladores desenvolvidos e com os controladores apresentados como estado da arte.
Em suma, o controlador PID desenvolvido apresenta uma resposta temporal mais rapida que a do
regulador LQR e que a da maioria dos controladores apresentados no estado da arte, no entanto, a
precisao que este controlador apresenta e de 0.1◦C, sofrendo ainda de espurias aleatorias quando as
temperaturas atingem os 75◦C. O regulador LQR apesar de ser um pouco mais lento, devido a agres-
sividade escolhida, e capaz e atingir erros face a temperatura de comando na ordem das milesimas
de grau, uma vantagem que nenhum controlador estudado neste trabalho consegue superar. Esta
particularidade e tao importante porque permite teste de alta precisao no ambiente de laboratorio, pro-
porcionando uma caracterizacao fiavel e rigorosa dos sensores de temperatura. Esta precisao vem ao
custo de sobreelevacao e de um tempo acrescido na estabilizacao na temperatura desejada.
5.1 Trabalho futuro
Como trabalho futuro propoe-se a utilizacao da metodologia apresentada neste trabalho a dispositivos
de aquecimento e arrefecimento de uso industrial como fornos e thermostreams, de forma a melhorar
a sua precisao.
58
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