Carga Móvel

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Manaus AM 18 de abril de 2015

Linhas de influncia e anlise de cargas mveis (Envoltria de esforos)

Material didtico com exerccios resolvidos sobre carga mvel, destinado aos alunos da disciplina de Teoria das Estruturas II do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Amazonas.

Prof. Winston Zumaeta

SUMRIO

1. QUESTO ................................................................................................................... 3 1.1 Reaes de apoio devido s aes permanentes ................................................. 3 1.2 Diagrama de esforos cortantes devido s aes permanentes ............................ 4 1.3 Diagrama de momentos fletores devido s aes permanentes ........................... 5

a) Reaes verticais, mxima e mnima no apoio A ................................................... 6 a.1) Linha de influncia para reao vertical no apoio A (LIVA) ................................... 6 a.2) Reaes mxima e mnima devida carga mvel ............................................... 7 a.3) Reaes mxima e mnima finais em A (Envoltria)............................................. 8

b) Reaes verticais mxima e mnima no apoio B .................................................... 9 b.1) Linha de influncia para reao vertical no apoio B (LIVB) ................................... 9 b.2) Reaes mxima e mnima devida carga mvel ............................................. 10 b.3) Reaes mxima e mnima finais em B (Envoltria)........................................... 11

c) Esforos cortantes, mximo e mnimo no ponto C .............................................. 12 c.1) Linha de influncia para esforo cortante no ponto C (LIQC) .............................. 12

c.1.1) Trecho AC ..................................................................................................... 12 c.1.2) Trecho CB ..................................................................................................... 13

c.2) Esforos cortantes, mximo e mnimo devido carga mvel ............................. 14 c.3) Esforos cortantes, mximo e mnimo finais em C (Envoltria) .......................... 15

d) Momentos fletores, mximo e mnimo no ponto C .............................................. 16 d.1) Linha de influncia para momento fletor no ponto C (LIMC) ............................... 16

d.1.1)Trecho AC ...................................................................................................... 16 d.1.2)Trecho CB ...................................................................................................... 17

d.2) Momentos fletores, mximo e mnimo devido carga mvel ............................. 18 d.3) Momentos fletores, mximo e mnimo finais em C (Envoltria) .......................... 18

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................. 19

Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 3

Prof. Winston Zumaeta Anlise de carga mvel 18/04/2015

B

2,0 m 6,0 m

Vo = 8,0 m

20 kN/m

2,0 x 20 = 40 kNresultante

1 m 1 m

40 kN/m

6,0 x 40 = 240 kN

resultante

3,0 m 3,0 mA

80 kN 240kN.m

40 x (1,0 + 6,0)8,0

40 x 1,08,0

2408,0

2408,0

35 kN=

30 kN=

5 kN=

30 kN=

V = 215 kNA V = 145 kNB

240 x 3,08,0

240 x (3,0 + 2,0)8,090 kN= 150 kN=

80 x 6,08,0

80 x 2,08,060 kN= 20 kN=

10 kN/m

50 kN 20 kN

2,0 m

Carga mvelC D 2,0 mA B

2,0 m 4,0 m

Vo = 8,0 m

20 kN/m40 kN/m

80 kN 240kN.m

1. QUESTO: Para a viga biapoiada abaixo, submetida s aes permanentes e acidentais (carga mvel), calcular o que se pede: a) As reaes verticais, mxima e mnima no apoio A; b) As reaes verticais, mxima e mnima no apoio B; c) Os esforos cortantes, mximo e mnimo no ponto C; d) Os momentos fletores, mximo e mnimo no ponto C; e) Os esforos cortantes, mximo e mnimo no ponto D; f) Os momentos fletores, mximo e mnimo no ponto D;

1.1 Reaes de apoio devido s aes permanentes Primeiramente, devem-se calcular as reaes de apoio (figura 1) devido s

aes permanentes.

Figura 1. Clculo das reaes de apoio devido s aes permanentes (g).



A B

Vo = 8,0 m

CD

2,0 m 4,0 m 2,0 m

65

215175

95

145

DEC [kN]

2,375 m

A B2,0 m 4,0 m 2,0 m

V = 215 kNA V = 145 kNB

80 kN 240kN.m

C D

20 kN/m40 kN/m

1.2 Diagrama de esforos cortantes devido s aes permanentes Aps as reaes de apoio, deve-se traar o diagrama de esforos cortantes

(figura 2).

Figura 2. Diagrama de esforo cortante (DEC) devido s aes permanentes (g).

215 215 40 175

. !"#$% 175 80 95

( ( 95 160 65

* * 95 240 145 " +,+,

* ( (* 65 80 145 Ponto de cortante nulo:

/0 1*

9540 2,375 + 3 4$5$ %" 4"" !6



A B

Vo = 8,0 m

C D

390240

450

DMF [kN.m]

2,0 m 4,0 m 2,0 m

2,375 m

502,813M =mx

A B2,0 m 4,0 m 2,0 m

V = 215 kNA V = 145 kNB

80 kN 240kN.m

C D

20 kN/m40 kN/m

1.3 Diagrama de momentos fletores devido s aes permanentes Em seguida, deve-se traar o diagrama de momentos fletores (figura 3).

Figura 3. Diagrama de momento fletor (DMF) devido s cargas permanentes (g).

7 0 34"5" %" 2 9$" + +"+" 45#%"6

7 2 20 2 22 215 2 20 2 1 430 40 390 . +

7( 6 20 2 80 4 40 4

42 215 6 40 5 320 160 2

1290 200 320 320 450 . + 7* 240 . + 3+"+" 45#%"6

7?A 32 = 2,3756 20 2 80 2,375 40 2,375

2,3752

215 4,375 40 3,375 190 95 1,1875 940,625 135 190 112,8125 502,813 . +



P = 1x1

8 - x1

88 - x 1

8x1V =A V =B

A BVo = 8,0 m

LIVA

8,0 m

A B

1

a) Reaes verticais, mxima e mnima no apoio A a.1) Linha de influncia para reao vertical no apoio A (LIVA)

Para a construo da linha de influncia, considera-se que a carga P = 1 ir percorrer a viga inteira de A at B, sendo por este motivo, considerada carga mvel. Para o traado em estruturas isostticas, basta conhecer apenas dois pontos, pois o grfico sempre ser uma reta, com valores positivos marcados abaixo do eixo da viga e negativos acima. Na figura 4, mostra-se o esquema para o clculo da reao em A.

Figura 4. Esquema para o clculo da reao vertical em A.

A linha de influncia para a reao vertical em A, ser igual reao vertical em A, calculada conforme mostra a figura 4. E o traado apresenta-se na figura 5.

CD

CD3/E6 8 /E8

F$: /E 0 CD306 8 08

88 1

/E 8 CD386 8 88 08 0

Figura 5. Linha de influncia para a reao vertical em A



a.2) Reaes mxima e mnima devida carga mvel Nesta etapa, deve-se aplicar o carregamento mvel, dado no incio da questo,

sobre a linha de influncia traada no item anterior. A maior carga mvel concentrada deve ficar sempre sobre o maior valor da linha de influncia, e a outra deve ficar no prximo maior valor respeitando a distncia entre elas dada na questo. Lembrar que a carga mvel concentrada no precisa estar na mesma ordem que foi dada, o importante que a maior carga fique sempre no maior valor da linha de influncia, isso para os casos simples de carga mvel com apenas duas cargas concentradas, que o caso do nosso exemplo.

Para se calcular o valor mximo ou mnimo de VA, deve-se somar o produto das cargas mveis concentradas pelas respectivas ordenadas da LIVA com o produto das cargas distribudas pelas respectivas reas da LIVA na mesma projeo do carregamento.

O valor mximo da reao em A, ser o resultado da anlise com o trecho de linha de influncia positiva e o valor mnimo da reao em A, ser o resultado da anlise com o trecho de linha de influncia negativa. Para este caso, no h linha de influncia negativa, conforme est mostrado na figura 5, dessa maneira, no haver valor mnimo devido carga mvel.

Na figura 6, observa-se que carga mvel concentrada de 20 kN ficar a uma distncia de 2 metros (dada na questo) em relao a carga de 50 kN que deve ficar no maior valor da linha de influncia, que neste caso igual a 1, por este motivo ser necessrio conhecer a ordenada da linha de influncia em x1 = 2.

F$: /E = 2 CD326 = 8 28 =

68 =

34 = 0,75

O carregamento mvel distribudo de 10kN/m deve cobrir toda a rea da linha de influncia positiva e negativa, porm como j foi dito, neste caso no temos linha de influncia negativa, dessa maneira, ele ser considerado apenas na parte inferior, pois estar cobrindo apenas a parte positiva.

Na mesma figura 6, pode-se ainda observar que na parte superior no foi considerado o carregamento distribudo pelos motivos j mencionados e que o valor igual a 0,75 calculado acima j est destacado.



A B

1

LIVA

2,0 m

Carga mvel paraV mnimo

6,0 m

A carga mvel no atua, pois no h LIVA

0,75

50 kN 20 kN

2,0 m

Carga mvel paraV mximo

10 kN/m

A

A

Figura 6. Anlise de Mnimo e Mximo da reao em A devido carga mvel (q)

IJKMN O

PQR 50 316 = 20 30,7506 = 10

PQR 50 = 15 = 40

IJKSN TOU VW

a.3) Reaes mxima e mnima finais em A (Envoltria) PXY = PXR

PXY 215 = 0

IJKMZ [TU VW

PQY = PQR

PQY 215 = 105

IJKSZ \[O VW



P = 1x1

8 - x1

88 - x 1

8x1V =A V =B

A BVo = 8,0 m

A B

1

LIVB

8,0 m

b) Reaes verticais mxima e mnima no apoio B b.1) Linha de influncia para reao vertical no apoio B (LIVB)

Para a construo da linha de influncia, considera-se que a carga P = 1 ir percorrer a viga inteira de A at B, sendo por este motivo, considerada carga mvel. Para o traado em estruturas isostticas, basta conhecer apenas dois pontos, pois o grfico sempre ser uma reta, com valores positivos marcados abaixo do eixo da viga e negativos acima. Na figura 7, mostra-se o esquema para o clculo da reao em B.

Figura 7. Esquema para o clculo da reao vertical em B

A linha de influncia para a reao vertical em B, ser igual reao vertical em B calculada conforme mostra a figura 7. E o traado apresenta-se na figura 8.

CD* *

CD*3/E6 /E8

F$ /E 0 CD*306 08 0

/E 8 CD*386 88 1

Figura 8. Linha de influncia para a reao vertical em B



b.2) Reaes mxima e mnima devida carga mvel Nesta etapa, deve-se aplicar o carregamento mvel, dado no incio da questo,

sobre a linha de influncia traada no item anterior. A maior carga mvel concentrada deve ficar sempre sobre o maior valor da linha de influncia, e a outra deve ficar no prximo maior valor respeitando a distncia entre elas dada na questo. Lembrar que a carga mvel concentrada no precisa estar na mesma ordem que foi dada, o importante que a maior carga fique sempre no maior valor da linha de influncia, isso para os casos simples de carga mvel com apenas duas cargas concentradas, que o caso do nosso exemplo.

Para se calcular o valor mximo ou mnimo de VB, deve-se somar o produto das cargas mveis concentradas pelas respectivas ordenadas da LIVB com o produto das cargas distribudas pelas respectivas reas da LIVB na mesma projeo do carregamento.

O valor mximo da reao em B, ser o resultado da anlise com o trecho de linha de influncia positiva e o valor mnimo da reao em B, ser o resultado da anlise com o trecho de linha de influncia negativa. Para este caso, no h linha de influncia negativa, conforme est mostrado na figura 8, dessa maneira, no haver valor mnimo devido carga mvel.

Na figura 9, observa-se que carga mvel concentrada de 20 kN ficar a uma distncia de 2 metros (dada na questo) em relao a carga de 50 kN que deve ficar no maior valor da linha de influncia, que neste caso igual a 1, por este motivo ser necessrio conhecer a ordenada da linha de influncia em x1 = 6.

F$: /E = 6 CD*3/E6 = 68 =

34 = 0,75

O carregamento mvel distribudo de 10kN/m deve cobrir toda a rea da linha de influncia positiva e negativa, porm como j foi dito, neste caso no temos linha de influncia negativa, dessa maneira, ele ser considerado apenas na parte inferior, pois estar cobrindo apenas a parte positiva.

Na mesma figura 9, pode-se ainda observar que na parte superior no foi considerado o carregamento distribudo pelos motivos j mencionados e que o valor igual a 0,75 calculado acima j est destacado.



A B

1

LIVB

2,0 m

50 kN20 kN

2,0 m

Carga mvel paraV mnimo

Carga mvel paraV mximo

6,0 m

A carga mvel no atua, pois no h LIVB

0,75

10 kN/mB

B

Figura 9. Anlise de Mnimo e Mximo da reao em B devido carga mvel (q)

I^KMN O

*PQR 50 316 = 20 30,756 = 10

*PQR 50 = 15 = 40

I^KSN TOU VW

b.3) Reaes mxima e mnima finais em B (Envoltria) *PXY * = *PXR

*PXY 145 = 0

I^KMZ T_U VW

*PQY * = *PQR

*PQY 145 = 105

I^KSZ [UO VW



A B2,0 m 6,0 m

Vo = 8,0 m

C

P = 1x1

8 - x1

V =A V =B88 - x 1

8x1

c) Esforos cortantes, mximo e mnimo no ponto C c.1) Linha de influncia para esforo cortante no ponto C (LIQC) c.1.1) Trecho AC

Figura 10. Esquema para o clculo da reao vertical em A

CD

CD3/E6 1 8 /E8 1 8 /E 8

8

CD3/E6 /E8

F$: /E 0 CD306 08 0

/E 2 CD326 28 14 0,25



A B

2,0 m 6,0 m

C

0,25

0,75

LIQC

A B2,0 m 6,0 m

Vo = 8,0 m

C

P = 1x2

6 - x2

V =A V =B86 - x2

8x + 22

c.1.2) Trecho CB


CD

CD3/`6 6 /`8

F$: /` 0 CD306 6 08

68

34 0,75

/` 2 CD366 6 68 08 0

Figura 12. Linha de influncia para esforo cortante em C



50 kN 20 kN

2,0 m

Carga mvel paraQ mximo

10 kN/m

A B

2,0 m 4,0 m

C

0,25

0,75

LIQC

2,0 m

0,50

c

Carga mvel paraQ mnimoc

50 kN20 kN

2,0 m

10 kN/m

c.2) Esforos cortantes, mximo e mnimo devido carga mvel

Figura 13. Anlise de Mnimo e Mximo do esforo cortante em C devido carga mvel (q)

PXR = 50 3 0,256 + 20 306 + 10 a2 3 0,2562 b PXR = 12,5 + 0 2,5 cdKMN = TU VW PQR = 50 30,756 + 20 30,506 + 10 PQR = 37,5 + 10 + 22,5 cdKSN = eO VW



c.3) Esforos cortantes, mximo e mnimo finais em C (Envoltria) PXY = + PXR PXY = 95 15 cdKMZ = fO VW

PQY = + PQR PQY = 175 + 70 cdKSZ = [_U VW



A B2,0 m 6,0 m

Vo = 8,0 m

C

P = 1x1

8 - x1

V =A V =B88 - x 1

8x1

d) Momentos fletores, mximo e mnimo no ponto C d.1) Linha de influncia para momento fletor no ponto C (LIMC) d.1.1)Trecho AC


CD7 7 CD73/E6 2 1 32 /E6

CD73/E6 8 /E8 2 2 = /E 8 /E

4 2 = /E 8 /E 8 = 4/E

4 3/E

4

F$: /E 0 CD7306 04 0

/E 2 CD7326 3 24 64

32 1,5



A B

2,0 m 6,0 m

C

1,50

LIMC

A B2,0 m 6,0 m

Vo = 8,0 m

C

P = 1x2

6 - x2

V =A V =B86 - x2

8x + 22

d.1.2)Trecho CB


CD7 7 CD73/`6 2

CD73/`6 6 /`8 2 6 /`

4

F$: /` 0 CD7306 6 04

64

32 1,5

/` 2 CD7366 6 64 04 0

Figura 16. Linha de influncia para momento fletor em C



A B

2,0 m 4,0 m

C

1,50

LIMC

2,0 m

1,00

50 kN 20 kN

2,0 m10 kN/m

Carga mvel paraM mximoc

Carga mvel paraM mnimoA carga mvel no atua, pois no h LIMC c

d.2) Momentos fletores, mximo e mnimo devido carga mvel

Figura 17. Anlise de Mnimo e Mximo do momento fletor em C devido carga mvel (q)

gdKMN O

7PQR 50 31,506 = 20 31,006 = 10

7PQR 75 = 20 = 60

gdKSN TUU VW

d.3) Momentos fletores, mximo e mnimo finais em C (Envoltria) 7PXY 7 = 7PXR

7PXY 390 = 0

gdKMZ \hO VW

7PQY 7 = 7PQR

7PQY 390 = 155

gdKSZ U_U VW



REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

SUSSEKIND, J.C. Curso de anlise estrutural: Estruturas isostticas. vol. I.

Editora globo: Porto Alegre, 1979.

MARTHA, L. F. Anlise de Estruturas: Conceitos e Mtodos Bsicos. Rio de

Janeiro: Editora Campus, 2010.

SORIANO, H. L. Esttica das Estruturas. Rio de Janeiro: Editora Cincia Moderna

Ltda., 2010.

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