Ca rgas combi nadas OBJETIVOS DO CAPÍTULO

Este capítu lo serve como revisão da a n á l ise de tensão que foi desenvolvida n os ca pítulos a nteri o res referen­tes a carga axi a l , torção/ flexão e cisa lhamento. D iscutiremos a so lução de problemas nos q u a is várias dessas cargas ocorrem simu ltaneamente sobre a seção transversa l de um elemento. Entretanto, antes d isso, o capí­tulo começa com u m a a n á l ise da tensão desenvo lvida em vasos de pressão de paredes finas.

8 . 1 Vasos de pressão d e paredes finas

Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na indústria como caldeiras, tanques ou reservatórios. Quando estão sob pressão, o material de que são feitos é submetido a cargas em todas as direções. Mesmo que seja esse o caso, o vaso de pressão pode ser analisado de uma maneira mais simples, contanto que tenha pa­redes finas. Em geral, "paredes finas" refere-se a um vaso para o qual a relação raio interno-espessura da parede tem valor igual ou superior a 10 (rlt � 10). Es­pecificamente, quando r/t = 10, os resultados de uma análise de parede fina preverão uma tensão aproxima­damente 4% menor que a tensão máxima real no vaso. Para relações maiores, esse erro será até menor.

Quando a parede do vaso é "fina," a variação da dis­tribuição de tensão pela sua espessura não será signifi­cativa, portanto consideraremos que ela é uniforme ou constante. Adotada essa premissa, analisaremos, agora, o estado de tensão em vasos de pressão de paredes finas ci­líndricos e esféricos. Em ambos os casos, entende-se que a pressão no vaso é a pressão manométrica, visto que ela mede a pressão acima da pressão atmosférica que consi­deramos existir dentro e fora da parede do vaso.

Vaso cilíndricos. Considere o vaso cilíndrico com parede de espessura t e raio interno r como mostra a Figura 8.1a. A pressão manométrica p é desenvolvida no interior do vaso por um gás ou fluido nele contido, cujo peso consideramos insignificante. Devido à uni­formidade dessa carga, um elemento do vaso que este­ja afastado o suficiente das extremidades e orientado como mostra a figura é submetido a tensões normais (J' 1 na direção circunferencial ou do aro e (J' 2 no sentido longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da tensão exercem tração sobre o material. Queremos de­terminar o valor de cada uma dessas componentes em

termos da geometria do vaso e de sua pressão interna. Para isto, temos de usar o método das seções e aplicar as equações de equilíbrio de força.

Para a tensão circunferencial (ou de aro), considere que o vaso é secionado pelos planos a, b e c. Um dia­grama de corpo livre do segmento posterior juntamen­te com o gás ou fluido contido no vaso é mostrado na Figura 8.1b. Aqui são mostradas apenas as cargas na direção x. Elas são desenvolvidas pela tensão circunfe­rencial uniforme (J' 1 que age em toda a parede do vaso e pela pressão que age na face vertical do gás ou fluido secionado. Para equilíbrio na direção x, exige-se

y

(a)

O"J

(b) (c)

Figura 8.1

\

c l i

I l i 11

2[lTlt dy)] - p(2r dy) = O

llT1 = �r � (8.1)

Para obter a tensão longitudinal lT 2, consideraremos

a porção esquerda da seção b do cilindro (Figura 8.1a).

C nlD mostra a Figura 8.1c, lT2 age uniformemente em

t �a a parede, e p age na seção do gás ou fluido. Visto 0 0 raio médio é aproximadamente igual ao raio in­

terno do vaso, o equilíbrio na direção y requer

Nessas equações,

� � (8.2)

lT lT = tensão normal nas direções circunferencial t' 2 e longitudinal, respectivamente. Conside­ramos que cada uma delas é constante em toda a parede do cilindro e que cada uma submete o material à tração

p = pressão manométrica interna desenvolvi­da pelo gás ou fluido

r = raio interno do cilindro t = espessura da parede (rlt � 10)

Comparando as equações 8.1 e 8.2, devemos obser­var que a tensão circunferencial ou de aro é duas vezes maior do que a tensão longitudinal ou axial. Por con­sequência, quando vasos de pressão cilíndricos são fa­bricados com chapas laminadas, as juntas longitudinais devem ser projetadas para suportar duas vezes mais tensão do que as juntas circunferenciais.

Vasos esféricos. Podemos analisar um vaso de pressão esférico de maneira semelhante. Por exemplo, considere que o vaso tem espessura de parede t e raio interno r e que está sujeito a uma pressão manomé­tríca interna p (Figura 8.2a). Se o vaso for secionado pela metade usando a seção a, o diagrama de corpo livre resultante é o mostrado na Figura 8.2b. Como no vaso cilíndrico, o equilíbrio na direção y requer

y

(a) (b) Figura 8.2

'S.F = O· y '

� �

CARGAS COMBINADAS 301

(8.3)

Por comparação, esse é o mesmo resultado obtido para a tensão longitudinal no vaso de pressão cilíndrico. Além do mais, pela análise, essa tensão será a mesma indepen­dentemente da orientação do diagrama de corpo livre hemisférico. Por consequência, um elemento do material está sujeito ao estado de tensão mostrado na Figura 8.2a.

Essa análise indica que um elemento de material tomado de um vaso de pressão cilíndrico ou esférico está sujeito à tensão biaxial, isto é, tensão normal exis­tente em duas direções apenas. Na verdade, o material do vaso também está sujeito a uma tensão radial, lT3, que age ao longo de uma linha radial. Essa tensão tem um valor máximo igual à pressão p na parede interna e diminui até zero à medida que atravessa a parede e al­cança a superfície externa do vaso, visto que a pressão manométrica nesse lugar é nula. Entretanto, para vasos de paredes finas, ignoraremos a componente da tensão radial, uma vez que a premissa limitadora que adota­mos, rlt = 10, resulta em lT2 e lT1 como sendo, respecti­vamente, 5 e 10 vezes mais altas do que a tensão radial máxima, (lT3)máx = p. Por último, entenda que as fórmu­las que acabamos de deduzir só devem ser usadas para vasos sujeitos a uma pressão manométrica interna. Se o vaso estiver sujeito a uma pressão externa, a tensão de compressão desenvolvida no interior da parede fina pode tornar o vaso instável e sujeito a falhas.

Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 m e espessura de 12 mm. Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar de modo que nem a compo­nente de tensão circunferencial nem a de tensão longitudi­nal ultrapasse 140 MPa. Sob as mesmas condições, qual é a pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho semelhante pode sustentar?

SOLUÇÃO

Vaso de pressão cilíndrico. A tensão máxima ocorre na direção circunferencial. Pela Equação 8.1, temos

140 N/mmz = p(600 mm) 12 mm

p = 2,8 N/mm2 Resposta

Observe que, quando essa pressão é alcançada, a Equa­ção 8.2 mostra que a tensão na direção longitudinal será u2

= 1/2 (140 MPa) = 70 MPa. Além do mais, a tensão máxi­ma na direção radial ocorre no material da parede interna do vaso e é (u3)máx = p = 2,8 MPa. Esse valor é 50 vezes menor que a tensão circunferencial (140 MPa) e, como afirmamos antes, seus efeitos serão desprezados.

302 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Vaso esférico. Aqui, a tensão máxima ocorre em qualquer das duas direções perpendiculares em um elemento do vaso (Figura 8.2a). Pela Equação 8.3, temos

140 N/mm2 = p(600 mm) 2(12 mm)

p = 5 ,6 N/mm2 Resposta

OBSERVAÇÃO: Embora seja mais difícil de fabricar, o vaso de pressão esférico suportará duas vezes mais pressão do que um vaso cilíndrico.

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8.1. Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido a uma pressão interna p = 300 kPa, deter­mine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12 MPa. 8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12 mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1 ,4 MPa, determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa. 8.3. A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilin­dro de parede fina. Determine o estado de tensão na parede do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar uma pressão interna de 0,5 MPa .A parede tem espessura de 6 mm, e o diâmetro interno do cilindro é 200 mm.

(a) (b) P1·oblema 8.3

*8.4. O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão interna de 0,63 MP a. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da tensão que agem no ponto A. Desenhe um elemento de volume do material nesse ponto e mostre os resultados no elemento.

Problema 8.4

8.5. O tubo de extremidade aberta tem parede de espes­sura 2 mm e diâmetro interno 40 mm. Calcule a pressão que o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a ruptura mostrada na figura. A tensão máxima que o material pode suportar na temperatura de congelamento é a . = 360 MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno'"�lemen­to de material imediatamente antes de o tubo falhar.

Problema 8.5

8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de poli­vinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, deter­mine o estado de tensão nas paredes do tubo.

Problema 8.6

8.7. Se o fluxo de água no interior do tubo do Problema 8.6 for interrompido devido ao fechamento de uma válvula, determine o estado de tensão nas paredes do tubo. Despreze o peso da água. Considere que os apoios exercem somente forças verticais sobre o tubo.

Problema 8.7

*8.8. A cinta de aço A -36 tem 50 mm de largura e está presa ao redor do cilindro rígido liso. Se os parafusos forem aper­tados de modo que a tração neles seja 2 kN, determine a ten­são normal na cinta, a pressão exercida sobre o cilindro e a distância até onde metade da cinta estica.

Problema 8.8

8.9. Inicialmente, a cinta de aço inoxidável 304 está per­

feitamente ajustada em torno do cilindro rígido liso. Se ela for submetida a uma queda de temperatura não lí.near !J..T = 12 sen2 ooc, onde (! é dado em radianos, deterrmne a tensão circunferencial na cinta.

Problema 8.9

8.10. O barril está cheio de água, até em cima. Determine a distância s entre o aro superior e o aro inferior de modo que a força de tração em cada aro seja a mesma. Determine também a força em cada aro. O barril tem diâmetro interno de 1,2 m. Despreze a espessura da parede. Considere que somente os aros resistem à pressão da água. Observação: A água desenvolve pressão no barril de acordo com a lei de Pascal, p = (900z) Pa, onde z é a profundidade da água em relação à superfície, medida em metros.

Problema 8.10

8.11. Um tubo de madeira com diâmetro interno de 0,9 m é atado com aros de aço cuja área de seção transversal é 125 mm2• Se a tensão admissível para os aros for u d = 84 MPa, deter­mine o espaçamento máximo s dos aros ;omlongo da seção do tubo de modo que este possa resistir a uma pressão mano­métrica interna de 28 kPa. Considere que cada aro suporta a pressão do carregamento que age ao longo do comprimento s do tubo.

Problema 8.11

CARGAS COMBINADAS 303

*8.12. Uma caldeira é feita de chapas de aço de 8 mm de espessura ligadas nas extremidades por uma junta de topo que consiste em duas chapas de cobertura de 8 mm e rebites com diâmetro de 10 mm e espaçados de 50 mm, como mostra a figura. Se a pressão do vapor no interior da caldeira for 1,35 MPa, determine: (a) a tensão circunferencial na chapa da caldeira separada da costura, (b) a tensão circunferencial na chapa de cobertura externa ao longo da linha de rebites a-a e (c) a tensão de cisalhamento nos rebites.

a

Problema 8.12

8.13. O anel cujas dimensões são mostradas na figura é co­locado sobre uma membrana flexível bombeada com uma pressão p. Determine a mudança no raio interno do anel após a aplicação dessa pressão. O módulo de elasticidade para o anel é R.

Problema 8.13

8.14. Um vaso de pressão com extremidades fechadas é fa­bricado com filamentos de vidro trançados sobre um mandril de modo que, no final, a espessura da parede t do vaso é com­posta inteiramente de filamento e adesivo epóxi, como mostra a figura. Considere um segmento do vaso de largura w trança­do a um ângulo fJ. Se o vaso for submetido a uma pressão in­terna p, mostre que a força no segmento é FfJ = u0wt, onde u0 é a tensão nos filamentos. Além disso, mostre que as tensões nas direções circunferencial e longitudinal são u, = u0 sen2 fJ e u1= u0 cos2 O, respectivamente. A que ângulo fJ (ângulo de tran­çamento ótimo) os filamentos teriam de ser trançados para ob­terem-se tensões circunferencial e longitudinal equivalentes?

Pt·oblema 8.14