Cargas horizontal e vertical e e um momento M são aplicadosa uma estrutura em balanço de comprimento L, como mostrado.

xF yFProblema 1

xF

yF

M

yx

L

Na extremidade livre, o alongamento x, a deflexão y e o ângulo sãorelacionados com as cargas, da seguinte maneira:

y

x

M

F

F

EI

L

EI

LEI

L

EI

LEA

L

y

x

20

230

00

2

23

E : módulo de elasticidade do materialA : área da secção transversalI : momento de inércia da barra

xF

yF

M

yx

L

Sabendo que:2kgf/m2000E

2m0.4A4m0.1I

y

x

M

F

F

EI

L

EI

LEI

L

EI

LEA

L

y

x

20

230

00

2

23

MATLAB

b) Obtenha os esforços Fx , Fy e M aplicados na estrutura correspondentes às seguintes deformações: x = 0.035m, y = 0.2m e rad. Considere L = 1.75m e = 10-2.

a) Para que valores de L o sistema pode ser resolvido pelo Método de Gauss – Seidel ?

Problema 2

O circuito abaixo é conhecido como “Ponte de Wheatstone”.As equações deste sistema são obtidas a partir da lei de Kirchoff:

Para a malha ABDA e através da bateria:04411 VRiRi (1)

Para a malha BCDB:

Para o nó A:

Para o nó B:

Para o nó C:

Para a malha ABCA:

0225511 RiRiRi (2)

0443355 RiRiRi (3)

216 iii (4)

541 iii (5)

523 iii (6)

Determinar as correntes quando: V = 20 Volts, e 101R 1005432 RRRR

C

A

B

D

i1i2

i3i4

i5

i6

R1 R2

R3R4

R5

V

Substituindo as constantes escrevemos o seguinte sistema:

0

0

0

0

0

20

100011

010110

011001

010010010000

01000010010

001000010

6

5

4

3

2

1

i

i

i

i

i

i

MATLAB

C

A

B

D

i1i2

i3i4

i5

i6

10 100

100100

10020

Obtenha a solução aplicando o método de Eliminação de Gauss.

Problema 3

Numa treliça estaticamente determinada com juntas articuladas,a tensão em cada componente da treliça pode ser obtida da seguinte forma:

Nó A:

0º30º60

0

31

senFsenF

Fx

1000º30cosº60cos

1000

31

FF

Fy

Nó C:

0º60cos

0

32

FF

Fx1000kgf

A

yx

C

yx

A

B C

kgf 1000

F1F3

F2

F1

F3

F2

F3

Resolva o sistema partindo do vetor nulo e obtendo a solução com precisãode 10-4.

MATLAB

Em notação matricial teremos o seguinte sistema:

0

1000

0

5.010

866.005.0

5.00866.0

3

2

1

F

F

F

1c

2c

3c

4013 Q

8012 Q

2021 Q

12033 Q

6023 Q

Qe3 = 200ce3 = 3

Qe1 = 500

ce1 = 5

Problema 4

Três reatores estão interligados através de tubulações como mostrado abaixo. Q representa a vazão volumétrica em m3/min.c representa a concentração em mg/m3.

A alimentação do processo é dada por:Reator 1: Qe1 = 500 m3/min e ce1 = 5 mg/m3

Reator 2: Qe3 = 200 m3/min e ce3 = 3 mg/m3

Determine as concentrações em cada reator (c1, c2, c3).

1c

2c

3c

4013 Q

8012 Q

2021 Q

12033 Q

6023 Q

Qe3 = 200ce3 = 3

Qe1 = 500

ce1 = 5

Através da lei de conservação de massa temos a seguinte igualdade: )()( saimentram qq

Portando poderemos escrever as seguintes equações:

Sabemos que a vazão mássica qm (mg / min ) em cada tubulação é dada pela seguinte relação: Qcqm

Reator 1: 1121132211e1e cQcQcQcQ

Reator 2: 223221112 cQcQcQ

Reator 3: 3332231133e3e cQcQcQcQ

6001206040

08080

250020120

321

21

21

ccc

cc

cc

600

0

2500

1206040

011

020120

3

2

1

c

c

c

Em notação matricial:

MATLAB

Problema 5

Seja o sistema massa - mola mostrado abaixo, onde k representa a constanteelástica da mola e m1, m2 e m3 as respectivas massas dos blocos. Inicialmente as molas (todas iguais) estão sem deformação e adota-se o ponto 0 como origem.

Os blocos são movidos estaticamente até as posições de equilíbriox1, x2 e x3. Sabendo que m1 = 2kg, m2 = 3kg, m3 = 2.5kg e k = 10N/cm,

determine as coordenadas x1, x2 e x3 .

2m

1m

3m

k

k k

k

1m

2m

3m

0

x1

x2

x3

Utilizando a 2ª Lei de Newton (F = ma) e a Lei de Hook (F = kx) podemosescrever o seguinte diagrama de corpo livre:

Fazendo o equilíbrio de forças de cada bloco escrevemos o seguinte sistema:

gmkxkx

gmkxkxkx

gmkxkx

332

2321

121

32

23

25

30

20

10100

103020

02030

3

2

1

x

x

x

MATLAB

2m

1m

3m

k

k k

k

1m

2m

3m

0

x1

x2

x3

k(x2-x1) k(x2-x1)m1g k(x3-x2)m2g m3g

k(x3-x2)k(x2-x1)k(x2-x1)kx1

m2m3m1

Considere uma placa fina metálica de 1m x 1m. A temperatura ao longo de cadaborda é mantida constante e igual a 50ºC em AB e CD, 0ºC em AC e 100ºC em BD.

Determine a temperatura de equilíbrio T(x,y), onde T(x,y) é a temperatura T daplaca na posição x e y.

Problema 6

A distribuição de temperatura na placa obedece à seguinte equação diferencial:

(1) ,02

2

2

2

y

T

x

T

com as seguintes condições de contorno:

T(x,0) = 50 para 0 < x < 1T(x,1) = 50 para 0 < x < 1T(0,y) = 0 para 0 < y < 1T(1,y) = 100 para 0 < y < 1

A solução deste problema pode ser obtida considerando-se uma divisãoda placa ABCD em placas menores, a partir de uma divisão de AB em intervalosiguais de amplitude x, e de uma divisão de CD em intervalos iguais y.

A temperatura T nos pontos internos da placa pode ser obtida numericamentesimulando as derivadas segundas de (1) pelas diferenças finitas de segunda ordem de modo que para x = y = h, teremos:

4

),(),(),(),(),(

hyxTyhxThyxTyhxTyxT

Para h = 0.25, escrevemos o seguinte sistema:

150

50

50

100

0

0

150

50

50

4101

14101

014001

1004101

1014101

1014001

100410

10141

1014

9

8

7

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T1 T2

T4 T5

T3

T9T7 T8

T6

50ºC

50ºC

0ºC 100ºC

Representemos por x1, x2, x3 e x4 o número de quatro produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada unidade, necessita - se de quatro tipos diferentes de matérias – primas – A, B, C e D - ,conforme indicado abaixo:

ProdutoMatéria - prima

A B C D

1 1 2 4 3

2 2 0 1 2

3 4 2 3 1

4 3 1 2 2

Por exemplo: para produzir uma unidade de (1) precisa – se de uma unidade deA, 2 de B, 4 de C e 3 de D. Se existem disponíveis 40, 20, 40 e 35 unidades deA, B, C e D, respectivamente, quantas unidades de cada produto podemosproduzir?

Problema 7

35

40

20

40

2123

2314

1202

3421

4

3

2

1

x

x

x

x

Dessa forma escrevemos o seguinte sistema: