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De los grupos abelianos
al álgebra lineal abstracta
De
los
grup
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tract
a
Este libro presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje del álgebra lineal basado en procesos de construcción de estructuras algebraicas que se aplicanen otras ramas de las matemáticas: por generación en subconjuntos de una estructura, en el productocartesiano de dos estructuras, en los conjuntos departes, en conjuntos cocientes de una estructura,entre otros. Se pretende introducir la teoría de los espacios vectoriales y sus transformaciones linea-les en forma constructiva, usando los métodos de construcción de los grupos abelianos. En la primeraparte, se aplican estos procesos a la construcciónde grupos abelianos y al ensamble de estos conla ayuda de la propiedad distributiva, lo que originaestructuras como campos y anillos. En la segunda parte, se construyen y se estudian espacios vecto-riales con el fin de ensamblar campos con grupos abelianos. Para los aspectos algorítmicos se desarrollóel programa Álgebra Finita 2.1 y la aplicación L-Finite para dispositivos móviles; finalmente, se propusieronactividades con el programa de libre acceso Software for Algebra and Geometry Experimentation, sage. Esta publicación centra una particular atenciónen la formulación de conjeturas, proposición deejemplos y actividades matemáticas con el fin de cuestionar no solo los contenidos habituales, sinotambién los procedimientos. Esto permite construir nuevas estructuras y aplicarlas a diferentes modelosen ciencias o al interior de las matemáticas.
Carlos Julio Luque AriasYeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur
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Carlos Julio Luque AriasLicenciado en matemáticas y física, magíster enEducación con especialidad en Física de la Uni-versidad Pedagógica Nacional y magíster scientiæ en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor del Departamento de Mate-máticas y coordinador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática y su vínculo con el desarrollo de procesos lógicos.
Yeison Alexander Sánchez RubioLicenciado en Matemáticas de la Universidad Peda-gógica Nacional, magister y candidato a doctor en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Se ha desempeñado en el campo de las matemáticas y la educación matemática, como investigador y como docente en las universidades Nacional, Pedagógica Nacional y Sergio Arboleda, entre otras. Ha participado como conferencista en diferentes eventos nacionales e internacionales e investigador del Grupo de Álgebra de la Universi-dad Pedagógica desde el año 2005
Haydee Jiménez TafurLicenciada en matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias Mate-máticas de la Universidad Nacional de Colombia y doctora en Matemáticas de la Universidad de Sevilla (España). Ha publicado varios artículos en memorias de eventos sobre álgebra, enseñanza de las matemáticas y un libro sobre la actividad mate-mática de representar relacionada con el desarrollo del proceso de abstraer. Ha sido profesora en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y la Universidad Pedagógica Nacional, e investigadora del Grupo de Álgebra desde el año 2006.
De los grupos abelianosal algebra lineal abstracta
D e l o s g r u p o s a b e l i a n o s a l á l g e b r a l i n e a l a b s t r a c t a
ADOLFO LEÓN ATEHORTÚA CRUZrector
SANDRA PATRICIA RODRÍGUEZ ÁVILAVicerrectora De gestión uniVersitaria
MAURICIO BAUTISTA BALLÉNVicerrector acaDémico
FERNANDO MÉNDEZ DÍAZVicerrector aDministratiVo y Financiero
HELBERTH AUGUSTO CHOACHÍ GONZÁLEZ secretario general
© Univesidad Pedagógica Nacional© Carlos Julio Luque Arias, Yeison Sánchez Rubio,
Haydee Jiménez Tafur© Editorial Magisterio
ISBN impreso: 978-958-5416-55-0ISBN digital: 978-958-5416-56-7Primera edición, 2018
PREPARACIÓN EDITORIALUniversidad Pedagógica NacionalCarrera 16A n.º 79 - 08editorial.pedagogica.edu.coTeléfono: (57 1)347 1190 - (57 1)594 1894 Bogotá, Colombia Grupo Interno de Trabajo Editorial Alba Lucía Bernal Cerquera Coordinadora Maritza Ramírez Ramos Editora Daniela Echeverry CorrECtora dE Estilo Johny Adrián Díaz Espitia FinalizaCión dE artEs Editorial MagisterioAlfredo Ayarsa Bastidaswww.magisterio.com.co(57+1) 338 3606Bogotá, Colombia
Bogotá, D.C., 2018
Catalogación en la fuente - Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional
Luque Arias, Carlos JulioDe los grupos abelianos al álgebra lineal abstracta / Carlos Julio Luque, Yeison Sánchez Rubio, Haydee Jiménez Tafur. – Bogotá: Universidad
Pedagógica Nacional, 2017606 páginas.
Incluye: Bibliografía ISBN impreso: 978-958-5416-55-0ISBN digital: 978-958-5416-56-7
1. Álgebra Lineal – Enseñanza. 2. Análisis Matemático. 3. Álgebra 4. Teoría de Grupos. 5. Espacios Vectoriales. 6. Ecuaciones. 7. Álgebra Abstracta – Enseñanza. 8. Grupos Abelianos. I. Sánchez Rubio, Yeison. II. Jiménez Tafur, Haydee. III. Tít.
512.5. Cd. 21 ed.
Fecha de evaluación: 05-10-2016 / 16-11-2016Fecha de aprobación: 04-11-2016
Se reservan los derechos de autor
Hecho el depósito legal que ordena la Ley 44 de 1993 y decreto reglamentario 460
de 1995.
De los grupos abelianosal algebra lineal abstracta
Carlos Julio Luque AriasYeison Sanchez RubioHaydee Jimenez Tafur
palabra
A mis hijosAura Angelica y Jorge Alberto
Carlos Julio Luque Arias
A la mujer que me dio la vida y a lamujer que decidio acompanarme en este viaje.
Por su existencia y unicidadYeison Sanchez Rubio
A mis hermanosLizeth y Ferney
Haydee Jimenez Tafur
I ND ICE GENERAL
Introduccion 15
I. Construccion de grupos abelianos 19
1. la estructura de grupo abeliano 21
1.1. Definicion de grupo abeliano 22
1.2. Independencia de los axiomas 26
1.3. Teoremas basicos sobre grupos abelianos 28
1.4. Otras caracterizaciones de los grupos abelianos 34
1.4.1. Debilitando los axiomas iniciales 34
1.4.2. Sustituyendo algunos axiomas 35
2. construccion de grupos abelianos a partirde la definicion 41
2.1. Grupos abelianos finitos 41
2.1.1. Numero de operaciones conmutativas que se puedendefinir en un conjunto A con n elementos 43
2.1.2. Numero de operaciones con elemento identico que sepueden definir en un conjunto A con n elementos 44
2.1.3. Numero de K-grupoides que se pueden definir en unconjunto A con n elementos 45
2.1.4. Caracterizacion de la propiedad asociativa para unaoperacion definida por una tabla 46
2.1.5. Las funciones fila y las funciones columna 66
2.2. Grupos abelianos infinitos 68
3. construccion de grupos abelianos en subconjuntos de ungrupo abeliano 73
3.1. Definicion de subgrupo 73
3.2. Operaciones conjuntistas entre subgrupos 76
3.2.1. Con la interseccion 76
3.2.2. Con la union 77
3.2.3. Con otras operaciones conjuntistas 77
3.3. Relacion de orden en los subgrupos de un grupo abeliano 78
3.3.1. Diagramas de Hasse 78
7
De los grupos abelianos al algebra lineal abstracta
3.4. Construccion de subgrupos abelianos por generacion interna 80
3.4.1. Z-Modulos 81
3.4.2. Grupos cıclicos 86
3.4.3. Subgrupos generados por subconjuntos no unitarios 88
3.5. Construccion de grupos abelianos por generacion externa 94
3.6. Presentaciones de grupos 94
4. construccion de grupos abelianos en ℘(G) y en unproducto cartesiano 97
4.1. Construccion de grupos abelianos en ℘(G) 98
4.1.1. Usando las operaciones conjuntistas en ℘(G) 98
4.1.2. Extendiendo la operacion del grupoide (H , ∗) a ℘(H ) 100
4.1.3. Construccion de grupos abelianos en ℘(G) usandosubgrupos de G 104
4.1.4. Construccion de grupos abelianos en el conjuntocociente de un grupo abeliano por una relacionde equivalencia 110
4.2. Construccion de grupos abelianos en el producto cartesiano 117
4.2.1. El producto directo externo 117
4.2.2. Otros productos 122
5. construccion de grupos abelianos por copia 125
5.1. Copia de una estructura por funciones biyectivas 125
5.2. Isomorfismos de grupos abelianos 132
5.2.1. Propiedades de los isomorfismos 132
5.2.2. La relacion de isomorfismo es una relacionde equivalencia 139
5.3. Homomorfismos de grupos 140
5.3.1. Propiedades de los homomorfismos 140
6. construccion de grupos abelianos en GY147
6.1. Conjuntos de funciones 147
6.1.1. El grupo de las funciones biyectivas de un conjuntoS(X ) 147
6.1.2. El grupo de los automorfismos de un grupo abeliano 149
6.1.3. El monoide de los endomorfismos de ungrupo abeliano 153
6.2. Construccion de grupos abelianos en GY con la operacionde G 156
7. ensamble de grupos abelianos 165
7.1. Compatibilidad de estructuras algebraicas:operaciones distributivas 165
8
Indice general
7.1.1. Nocion de distributividad: definicion y ejemplos 165
7.1.2. Independencia de las propiedades distributivas 170
7.1.3. Relaciones entre la propiedad conmutativa yla distributiva 171
7.1.4. Independencia de la distributividad respecto a las demaspropiedades 173
7.2. Construccion de operaciones distributivas con respecto a unaoperacion dada 174
7.2.1. Por analogıa con N 174
7.2.2. En grupos finitamente generados 185
7.2.3. Construccion de operaciones distributivas a izquierda oa derecha usando endomorfismos 189
7.2.4. Usando otros homomorfismos 196
8. la estructura de campo 199
8.1. La estructura de campo 199
8.1.1. Definicion de campo 199
8.1.2. Teoremas basicos para campos 200
8.1.3. El producto Z-modulo en un campo 204
8.2. Construccion de campos 208
8.2.1. A partir de la definicion 208
8.2.2. En subconjuntos: subcampos 212
8.2.3. Construccion de campos en ℘(F) 217
8.2.4. En el cociente por una relacion de congruencia 218
8.2.5. En el producto cartesiano 219
8.2.6. Por copia 224
8.2.7. Construccion de campos en FY226
8.2.8. El campo de fracciones de un dominio de integridad 228
II. Algebra lineal 231
9. espacios vectoriales 233
9.1. Definicion de espacio vectorial 234
9.2. Teoremas sobre espacios vectoriales 236
9.3. Otras caracterizaciones de los espacios vectoriales 240
9.3.1. Eliminando la propiedad conmutativa de la suma 240
9.3.2. Cambiando el axioma V4 241
9.4. Ejemplos especiales de espacios vectoriales 245
9.4.1. El espacio de los segmentos dirigidos del planoeuclidiano 245
9.4.2. Los vectores de la fısica 249
9.5. Construccion de espacios vectoriales a partir de la definicion 250
9
De los grupos abelianos al algebra lineal abstracta
9.5.1. Espacios vectoriales finitos 250
9.6. Otras operaciones en un espacio vectorial 254
9.6.1. Algebras 254
10. construccion de espacios vectoriales en subconjuntos 257
10.1. Definicion de subespacio 257
10.2. Operaciones conjuntistas entre subespacios 264
10.3. Orden en los subespacios de un espacio vectorial 265
10.4. Construccion por generacion interna 265
10.4.1. Combinaciones lineales 272
10.4.2. Dependencia lineal de vectores 275
10.4.3. Independencia lineal de vectores 279
10.4.4. Bases de un espacio vectorial 286
10.4.5. Dimension de un espacio vectorial 290
10.4.6. Coordenadas con respecto a una base ordenada 293
11. construccion de espacios vectoriales en ℘(V ) y en elproducto cartesiano 295
11.1. Construccion de espacios vectoriales en ℘(V ) 295
11.1.1. Suma de subespacios de V 296
11.2. Construccion de espacios vectoriales en el conjunto cociente deun espacio vectorial por una relacion de equivalencia 304
11.2.1. Las clases laterales y el espacio cociente 304
11.3. Construccion de espacios vectoriales en el producto cartesiano 307
12. isomorfismos y homomorfismos lineales 311
12.1. Copia de espacios vectoriales por una funcion biyectiva 311
12.2. Isomorfismos de espacios vectoriales 315
12.2.1. Propiedades de los isomorfismos lineales 315
12.2.2. La relacion de isomorfismo es una relacionde equivalencia 318
12.3. Homomorfismos o transformaciones lineales 321
12.3.1. Propiedades de las funciones lineales 324
12.3.2. Rango y nulidad de una transformacion lineal 328
12.3.3. Relaciones de equivalencia definidas portransformaciones lineales 331
12.3.4. Las funciones lineales y la dependencia eindependencia lineal 333
12.3.5. Funciones lineales inyectivas o sobreyectivas entreespacios de igual dimension 336
12.4. Espacios de funciones entre espacios vectoriales 337
12.4.1. El grupo general lineal G L(V ) de un espaciovectorial V 337
10
Indice general
12.4.2. Espacios de funciones sobre espacios vectoriales 339
12.4.3. Productos de funciones lineales 344
12.4.4. Aplicaciones bilineales 345
12.4.5. El algebra de las funciones lineales con la composicion 349
13. algebras de matrices 351
13.1. El concepto de matriz 351
13.2. Igualdad entre matrices 353
13.3. El espacio vectorial de las matrices 353
13.4. Subespacios de Mm×n (F) 356
13.5. El algebra usual de las matrices 359
13.5.1. La multiplicacion usual 359
13.5.2. Propiedades de la multiplicacion de matrices 361
13.5.3. Inversas multiplicativas de matrices n × n 365
13.5.4. Subalgebras del algebra de matrices 369
13.6. Potenciacion en matrices 372
13.6.1. Con exponente un numero natural 372
13.6.2. Con exponente un numero entero 373
13.7. Funciones polinomiales de matrices 374
13.8. Espacios vectoriales asociados a una matriz 378
13.8.1. Nucleo e imagen de una matriz 378
13.8.2. Espacio de filas y de columnas de una matriz 379
13.9. Otras algebras de matrices 384
13.9.1. La multiplicacion de Kroenecker 384
13.9.2. La operacion conmutador 386
14. aplicaciones lineales entre matrices 389
14.1. La transpuesta de una matriz 389
14.2. La traza de una matriz 391
14.3. Una aplicacion multilineal entre matrices y numeros:determinantes 392
14.3.1. Definicion usando permutaciones 393
14.3.2. Propiedades de los determinantes 397
14.3.3. Definicion por cofactores 405
14.3.4. Aplicacion del determinante para el calculo de inversasde matrices 413
14.3.5. Definicion axiomatica 418
14.3.6. Los grupos de matrices lineales, especialesy ortogonales 424
15. las matrices en la solucion de sistemas de ecuacioneslineales 427
15.1. Sistemas de ecuaciones lineales 427
11
De los grupos abelianos al algebra lineal abstracta
15.2. Ecuaciones lineales matriciales 432
15.3. De las propiedades de las ecuaciones a las propiedades delas matrices 434
15.4. Metodo de eliminacion de Gauss-Jordan 436
15.4.1. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales 437
15.4.2. Para calcular la inversa de una matriz 451
15.4.3. Para calcular la imagen y el rango de una matriz 456
15.4.4. Para calcular el nucleo y la nulidad de una matriz 458
15.4.5. Para calcular el determinante de una matriz 460
15.5. Regla de Cramer 462
15.6. Ecuaciones entre matrices 466
16. matrices elementales 469
16.1. Definicion y propiedades basicas 469
16.2. Productos con otras matrices 473
16.2.1. Con matrices elementales de permutacion 473
16.2.2. Con matrices elementales diagonales 474
16.2.3. Con matrices elementales de transveccion 476
16.3. Solucion de ecuaciones lineales usando el producto dematrices elementales 477
16.4. La inversa de una matriz como producto de matriceselementales 480
16.5. Factorizacion LU de una matriz 483
17. representaciones matriciales de una transformacion lineal 491
17.1. Matriz asociada a una transformacion lineal 491
17.2. El nucleo y rango de una transformacion con respecto al de sumatriz de representacion 503
17.3. Semejanza o similaridad de matrices 506
17.4. Representaciones diagonales de matrices 509
17.4.1. Valores y vectores propios 509
17.4.2. Diagonalizacion de matrices 531
18. geometrıa vectorial 537
18.1. Elementos de geometrıa solo con los axiomas deespacio vectorial 537
18.1.1. Paralelismo entre vectores 537
18.1.2. Rectas en un espacio vectorial 538
18.1.3. Planos e hiperplanos en espacios vectoriales 544
18.2. Espacios con producto interno 551
18.2.1. Productos escalares o productos punto 551
18.2.2. Perpendicularidad u ortogonalidad 556
18.3. Espacios vectoriales normados 568
12
Indice general
18.4. Espacios metricos 573
18.5. Transformaciones del plano que dejan invariante una formabilineal simetrica (movimientos) 575
18.6. Axiomatica de Weyl 578
A. notacion 579
A.1. El lenguaje de la teorıa de conjuntos 579
A.2. Construccion de conjuntos 579
A.2.1. A partir de predicados simples 580
A.2.2. A partir de predicados compuestos 580
A.2.3. Operaciones en ℘(X ) 581
A.2.4. El producto cartesiano 582
A.2.5. Relaciones 583
A.2.6. Funciones 586
A.2.7. Operaciones 590
A.3. Los numeros naturales 590
A.3.1. Operaciones en N 591
A.3.2. Ordenes en N 593
A.4. Anillo de polinomios 593
A.4.1. Funcion evaluacion 594
bibliografıa 597
Indice tematico 603
13
INTRODUCC I ON
Este libro presenta una propuesta didactica para el aprendizaje del algebralineal en el tercer semestre de la formacion de profesores de matematicas,dentro de un plan de seis semestres, para un ciclo basico de fundamentacion.
En el primer semestre desarrollamos las herramientas primarias del trabajoen matematicas, con procesos como simbolizar, codificar, conjeturar, contar,inducir y generalizar, usando como objeto la construccion de los numerosnaturales y culminando con la presentacion axiomatica de Peano [53].
En el segundo semestre construimos los numeros reales a partir de los pro-cesos de clasificar, medir e invertir [55] y terminamos con una presentacionaxiomatica de ellos como un ensamble de dos grupos abelianos, con la ayudade la propiedad distributiva.
El curso de algebra lineal se desarrolla en el tercer semestre del plan ycon este libro pretendemos introducir la teorıa de los espacios vectoriales ysus transformaciones lineales en forma constructiva, usando los metodos deconstruccion de los grupos abelianos que se desarrollan en la primera parte.
El enfasis en los grupos abelianos y en ensamble de estructuras basicas tie-ne como propositos ofrecer una formacion matematica inicial que permita alos estudiantes continuar con el estudio de temas algebraicos en particulary matematicos en general, y presentar una vision constructiva natural en laque los metodos sugieren los conceptos; por ejemplo, el concepto de matrizsurge del proceso de construir estructuras en un espacio de funciones condominio en un conjunto cualquiera y codominio en un anillo, en un campo,en un espacio vectorial, o simplemente en un conjunto y sugiere generaliza-ciones a tensores y otros objetos en dimensiones superiores; el concepto desubestructura aparece naturalmente en el proceso de construir estructuras enlos subconjuntos de una estructura, por mencionar unos pocos.
Los metodos y procedimientos utilizados en la formulacion de cada unode los temas tratados son universales, permiten y sugieren generalizaciones yno solo se aplican en algebra lineal sino tambien en teorıa de anillos [73], decampos, en topologıa [41] y en otras ramas de la matematica [26].
No hacemos enfasis en presentar muchos ejemplos repetitivos, sino queprocuramos generar modelos que se aplican a varios casos particulares. Enalgunos casos una idea puede verse y manipularse en dos dimensiones y esfacil extenderla a n dimensiones como en el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan, en las estructuras producto, en los conceptos geometricos de recta,
15
De los grupos abelianos al algebra lineal abstracta
plano, hiperplano; pero en otros casos esta generalizacion es mas complicada,como en el caso del concepto de determinante, en el que debemos recurrir ala historia.
A veces repetimos temas y variamos procedimientos para acceder a unconcepto o resolver un problema, lo que mejora la comprension del tema ysugiere analogıas utiles para resolver problemas similares. En otras ocasionesrepetimos procesos con propositos pedagogicos, pero no es nuestro interesmecanizarlos para que sean usados con intenciones practicas, pues en unaeventual necesidad de calculo recurrimos a herramientas computacionales.
Si son necesarias cuentas largas o aburridas como resolver 30 ecuacionescon 30 incognitas, le dejamos la tarea a las maquinas; programas como Ma-ple, Matlab, Mathematica y otros han desarrollado algoritmos que permitenresolverlas con pocas instrucciones. Estos programas habitualmente tratancon los numeros reales o complejos.
En el caso de las estructuras finitas hemos desarrollado1 el programa Alge-bra Finita 2.1, para computadores con sistema operativo Windows, que nospermite estudiar mas de 30 propiedades de una estructura con diversas for-mas de ensamble diferentes a la propiedad distributiva y calcular los endo-morfismos de una estructura para construir operaciones que distribuyan conrespecto a una dada.
En la segunda parte del libro usamos el programa SAGE, que es libre ypuede ser usado en lınea en los servidores: sagenb.org, o instalarlo en lacomputadora. En el sitio http://sagemath.org hay informacion completa ytutoriales.
Adicionalmente, desarrollamos2 el programa L-finite, disponible en PlayStore; es una aplicacion para dispositivos moviles con sistema operativo An-droid que realiza algunos procedimientos y calculos relacionados con algebralineal como: calcular el determinante de una matriz, la matriz inversa, solu-cionar sistemas de ecuaciones lineales, determinar la independencia linealde vectores y determinar si cierto conjunto de vectores es base del espaciovectorial Fn con F un campo.
Nuestro enfoque es abstracto pues hace enfasis en la formulacion de princi-pios generales, ya que a diferencia de cursos sobre el mismo tema, no se desa-rrolla en primer semestre sino en tercero, cuando ya los estudiantes tienenestructuras mentales que les permiten comprender los procesos de abstrac-cion; tambien porque una estructura abstracta es mas util, dado que puedeaplicarse en otros ambitos como la ingenierıa, la economıa, la fısica y otrasciencias.
1 Programado por el profesor Leonardo Angel del Grupo de Algebra.2 Progamada por la estudiante Lizeth Andrea Ruiz Carranza bajo la direccion del profesor Yeison
Sanchez.
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Introduccion
Adicionalmente, la abstraccion en matematicas es util para construir otrasestructuras, es un paso a lo general, a las estructuras superiores, mas alla delos numeros, para la formacion como matematicos y profesores, en resumenpara ser mejores maestros.
Nos preocupamos por usar un lenguaje preciso y claro, lo que incluye eluso de sımbolos cuando estos estan claramente definidos. Este lenguaje esrequisito para consultar otros libros de matematicas, actividad fundamentalpara un profesor que debe actualizarse permanentemente.
Ejercitamos la induccion y la conjeturacion, pero tambien se requiere la lec-tura detallada de un texto o el seguimiento de un algoritmo; estas actividadesno son excluyentes.
En el desarrollo de un tema particular, muchas veces surgen preguntas queposiblemente desvıen la atencion del estudio que estamos haciendo y general-mente asumimos la actitud de evitarlas. Consideramos, por el contrario, quetodos los caminos de exploracion son importantes y no debemos desecharalguno porque no es popular, lo mejor es ir al fondo; todos los temas y losejercicios son importantes, este es el centro de la actividad matematica.
Consecuencia de esta actitud es cuestionar permanentemente no solo loscontenidos sino tambien los procedimientos. En los capıtulos 1 y 9 hay ejem-plos de ello, en los que proponemos versiones axiomaticas diferentes a lasusuales para grupos abelianos y espacios vectoriales.
El libro consta de dos partes: la primera esta dedicada a la construccionde grupos abelianos y la segunda, a la construccion de espacios vectorialesusando lo hecho en la primera.
En el capıtulo 1 presentamos varias axiomaticas (algunas de ellas originales)para los grupos abelianos y deducimos sus propiedades basicas.
En el capıtulo 2 construimos grupos abelianos usando las propiedades quelos definen y analizamos en los casos finitos criterios para determinar si cadauna de ellas se cumple.
El capıtulo 3 esta dedicado a la construccion de grupos abelianos en sub-conjuntos de ellos, los subgrupos, generarlos a partir de algunos elementos,combinarlos con operaciones conjuntistas y en particular estudiamos los gru-pos cıclicos.
En el capıtulo 4 construimos grupos abelianos en el conjunto de partes deun grupo abeliano y en el conjunto cociente de un grupo abeliano por unarelacion de equivalencia, que equivale a hacer el cociente por un subgrupo. Enla parte final definimos el producto directo de dos o mas grupos y estudiamossus propiedades.
El capıtulo 5 muestra como copiar un grupo abeliano en un conjunto cual-quiera y como comparar dos grupos abelianos usando funciones biyectivasprimero (isomorfismos) y funciones despues (homomorfismos). Estudiamossus propiedades y los subgrupos definidos por ellos.
17
De los grupos abelianos al algebra lineal abstracta
Las estructuras de los espacios de funciones son el tema del capıtulo 6,tanto con la operacion composicion como con la operacion definida en elcodominio de las funciones donde surge de manera natural el concepto dematriz.
En el capıtulo 7 estudiamos el ensamble de dos estructuras algebraicas vıala propiedad distributiva y construimos operaciones distributivas con respec-to a una dada, primero por analogıa con el conjunto de los numeros naturalesy luego usando los endomorfismos de la estructura.
El capıtulo 8 trata el mejor ensamble entre dos grupos abelianos, la estruc-tura de campo, mostramos algunas de sus propiedades y usamos los pro-cedimientos de los capıtulos anteriores para construir campos con algunosresultados inesperados.
La segunda parte inicia con el capıtulo 9 en el que presentamos variasversiones axiomaticas de los espacios vectoriales y deducimos, como conse-cuencias, sus propiedades basicas. Concluimos con la introduccion de unanueva operacion en los espacios vectoriales para conseguir la estructura dealgebra.
Los capıtulos 10, 11 y 12 tienen el mismo espıritu que los capıtulos 3, 4 y5 pero aplicados a la construccion de espacios vectoriales, formando subes-pacios, espacios cociente y espacios producto, y comparandolos a traves dehomomorfismos lineales.
El capıtulo 13 lo dedicamos al algebra usual de las matrices, definimos suimagen y rango, y presentamos otras posibilidades de multiplicacion.
En el capıtulo 14 definimos funciones lineales y bilineales entre espaciosde matrices, particularmente con codominio en el campo de entradas de lamatriz, lo cual incluye la funcion transpuesta, la traza y el determinante.
El capıtulo 15 aplica lo desarrollado en los dos capıtulos anteriores en lasolucion de sistemas de ecuaciones lineales especialmente por el metodo deeliminacion de Gauss-Jordan y en el calculo del rango, la imagen y la inversade una matriz. Finaliza con la regla de Cramer.
En el capıtulo 16 introducimos las matrices elementales y expresamos lasoperaciones elementales de fila y la inversa de una matriz como productospor (y de) matrices elementales.
En el penultimo capıtulo representamos cada transformacion lineal con unamatriz y en particular con matrices diagonales usando sus valores y vectorespropios.
Finalmente, el capıtulo 18 muestra caminos para construir conceptos geo-metricos usando formas bilineales simetricas, en particular productos punto,que dan lugar a normas y metricas en los espacios. Terminamos con unapresentacion de una version axiomatica para las geometrıas del plano basadasen los conceptos de punto y vector.
18
De los grupos abelianos
al álgebra lineal abstracta
De
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Este libro presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje del álgebra lineal basado en procesos de construcción de estructuras algebraicas que se aplican en otras ramas de las matemáticas: por generación en subconjuntos de una estructura, en el producto cartesiano de dos estructuras, en los conjuntos de partes, en conjuntos cocientes de una estructura, entre otros. Se pretende introducir la teoría de los espacios vectoriales y sus transformaciones linea-les en forma constructiva, usando los métodos de construcción de los grupos abelianos. En la primera parte, se aplican estos procesos a la construcción de grupos abelianos y al ensamble de estos con la ayuda de la propiedad distributiva, lo que origina estructuras como campos y anillos. En la segunda parte, se construyen y se estudian espacios vecto-riales con el fin de ensamblar campos con grupos abelianos. Para los aspectos algorítmicos se desarrolló el programa Álgebra Finita 2.1 y la aplicación L-Finite para dispositivos móviles; finalmente, se propusieron actividades con el programa de libre acceso Software for Algebra and Geometry Experimentation, sage. Esta publicación centra una particular atención en la formulación de conjeturas, proposición de ejemplos y actividades matemáticas con el fin de cuestionar no solo los contenidos habituales, sino también los procedimientos. Esto permite construir nuevas estructuras y aplicarlas a diferentes modelos en ciencias o al interior de las matemáticas.
Carlos Julio Luque AriasYeison Alexander Sánchez Rubio Haydee Jiménez Tafur
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Carlos Julio Luque AriasLicenciado en matemáticas y física, magíster en Educación con especialidad en Física de la Uni-versidad Pedagógica Nacional y magíster scientiæ en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Realizó estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor del Departamento de Mate-máticas y coordinador del Grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado siete libros sobre actividad matemática y su vínculo con el desarrollo de procesos lógicos.
Yeison Alexander Sánchez RubioLicenciado en Matemáticas de la Universidad Peda-gógica Nacional, magister y candidato a doctor en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Se ha desempeñado en el campo de las matemáticas y la educación matemática, como investigador y como docente en las universidades Nacional, Pedagógica Nacional y Sergio Arboleda, entre otras. Ha participado como conferencista en diferentes eventos nacionales e internacionales e investigador del Grupo de Álgebra de la Universi-dad Pedagógica desde el año 2005
Haydee Jiménez TafurLicenciada en matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias Mate-máticas de la Universidad Nacional de Colombia y doctora en Matemáticas de la Universidad de Sevilla (España). Ha publicado varios artículos en memorias de eventos sobre álgebra, enseñanza de las matemáticas y un libro sobre la actividad mate-mática de representar relacionada con el desarrollo del proceso de abstraer. Ha sido profesora en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y la Universidad Pedagógica Nacional, e investigadora del Grupo de Álgebra desde el año 2006.
