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Projecto das pás directrizes fixas de uma turbina
auto-rectificadora de acção para aproveitamento da
energia das ondas
Carlos Manuel Fernandes Rodrigues
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Júri
Presidente: Prof. Luís Rego da Cunha de Eça
Orientador: Prof. Luís Manuel de Carvalho Gato
Vogal: Prof. Luís Morão Cabral Ferro
Outubro de 2009
i
Agradecimentos
Durante a realização desta dissertação recebi o apoio de várias pessoas e instituições
que não posso deixar de mencionar. Assim, gostaria de expressar os meus sinceros
agradecimentos:
Ao Professor Luís Gato, na qualidade de orientador da dissertação e responsável pelo
projecto PTDC/EME-MFE/66608/2006, pela confiança em mim depositada na atribuição desta
tese, e pelo total apoio manifestado durante o desenvolvimento do trabalho.
Ao Eng.º Rui Gomes, pela orientação e ajuda disponibilizadas em todas as fases deste
trabalho, fundamentais para a realização do mesmo, e ainda pela revisão efectuada ao texto.
Ao Professor Luís Ferro, do Instituto Politécnico de Setúbal, que escreveu o código do
programa utilizado para o cálculo de projecto, pelo esclarecimento de dúvidas relacionadas
com o método de cálculo e com a análise numérica, e ainda pela revisão de texto.
Ao Eng.º Pedro Vicente pela leitura e revisão de texto.
Ao Professor Luís Eça e ao Doutor João Henriques, pela disponibilidade que
mostraram no esclarecimento de dúvidas acerca da análise numérica.
Ao colega de Mestrado Joel Mendes, pelo companheirismo e pelas sugestões
efectuadas durante a execução do trabalho numérico.
Ao pessoal das oficinas, pela montagem do modelo experimental e pela ajuda
concedida nas questões relacionadas com a análise experimental.
À Fundação para a Ciência e Tecnologia, pela atribuição da bolsa de investigação no
âmbito da tese, e ao IDMEC, entidade responsável pelo projecto no qual se insere o trabalho
desenvolvido na presente dissertação.
E por fim, mas não menos importante, aos meus pais, restante família, amigos e
colegas pelo apoio moral e constantes incentivos que recebi ao longo da realização deste
trabalho.
ii
Resumo
Este trabalho consistiu no projecto aerodinâmico das pás do estator cónico de uma
turbina auto-rectificadora de acção para aproveitamento da energia das ondas, com vista à sua
implementação em centrais de coluna de água oscilante. Estas pás possuem um raio de
curvatura e espessura constantes, ao longo da corda e da envergadura, de modo a facilitar o
processo de construção da pá a partir de uma chapa de aço. Foi utilizado, no cálculo de
projecto, o método de painel bidimensional que resolve o escoamento invíscido e
incompressível em torno da cascata cónica de pás. Com base neste cálculo construiu-se um
modelo experimental à escala de 1:1.2. Com o auxílio de um sistema de aquisição de dados
foram realizados ensaios experimentais que permitiram concluir que os efeitos viscosos do
escoamento não são desprezáveis, ao contrário dos efeitos tridimensionais, devido à
distribuição aproximadamente constante da quantidade de movimento angular com a direcção
radial. Foi realizado ainda um estudo numérico tridimensional utilizando um software comercial
de Mecânica dos Fluidos Computacional (MFC), onde foram utilizadas malhas híbridas para a
simulação do escoamento invíscido e viscoso, de modo a relacionar os resultados obtidos com
os resultados obtidos pelo método de projecto e através da análise experimental.
Relativamente aos dados experimentais, a simulação do escoamento viscoso com a
utilização do modelo de turbulência k- prevê menores perdas devidas ao efeito da viscosidade.
No entanto, a análise de MFC mostrou ser uma ferramenta útil para prever, com razoável
aproximação, o comportamento do escoamento real numa turbomáquina.
Palavras-chave: energia das ondas, coluna de água oscilante, turbina auto-rectificadora de
acção, pás directrizes fixas, análise experimental, análise numérica
iii
Abstract
This thesis presents results for the aerodynamic design of the guide vanes from a
conical duct of a self-rectifying impulse turbine, which is intended to operate on offshore
oscillating water column devices. The blade’s curvature and thickness are maintained constant
throughout chord and width, which facilitates its construction from a thin steel sheet. A two-
dimensional panel method which calculates the inviscid and incompressible flow around the
conical cascade was used for the design of the blade. Based on these calculations an
experimental model at a 1:1.2 scale was manufactured. The test rig is equipped with a data
acquisition system and experimental tests were conducted which allowed to conclude that the
flow’s viscous effects are not negligible, although the three-dimensional effects are. This is
verified by the almost constant angular momentum distribution along the spanwise direction.
The same conclusion was made through a computational fluid dynamics (CFD) analysis, with
the use of hybrid meshes for inviscid and viscous flow calculations.
The viscous flow was modeled by use of the k- turbulence model, which predicted a
lower flow pressure drop and higher velocity angles downstream of the guide vanes, in
comparison to the experimental results. However, the results obtained showed that the CFD
analysis constitutes a useful tool in predicting the behavior of the real viscous flow on a
turbomachine.
Keywords: wave energy, oscillating water column, self- rectifying impulse turbine, fixed guide
vanes, experimental analysis, CFD analysis
iv
Índice
Agradecimentos.............................................................................................................................. i
Resumo .......................................................................................................................................... ii
Abstract ......................................................................................................................................... iii
Lista de figuras .............................................................................................................................. vi
Lista de tabelas ........................................................................................................................... viii
Lista de abreviaturas ..................................................................................................................... ix
Nomenclatura ................................................................................................................................ ix
1. Introdução .............................................................................................................................. 1
1.1 Aspectos gerais ............................................................................................................. 1
1.2. Energia das ondas......................................................................................................... 2
1.3. Coluna de água oscilante .............................................................................................. 3
1.4. Turbinas auto-rectificadoras em energia das ondas ..................................................... 4
1.5. Revisão bibliográfica às turbinas auto-rectificadoras de acção .................................... 6
1.6. Revisão bibliográfica aos métodos de cálculo em projecto .......................................... 7
1.7. Objectivos da tese ......................................................................................................... 8
2. Descrição geral da turbina auto-rectificadora de acção ........................................................ 9
3. Projecto do estator .............................................................................................................. 13
3.1. Descrição geral do modelo experimental .................................................................... 13
3.2. Condição de projecto .................................................................................................. 14
3.3. Método de cálculo do projecto .................................................................................... 17
3.4. Definição da geometria da pá ..................................................................................... 19
3.5. Resultados do método de projecto .............................................................................. 24
4. Análise Experimental ........................................................................................................... 29
4.1. Ensaio de calibração da sonda direccional ................................................................. 30
4.1.1. Obtenção da relação entre os coeficientes (CCtot, Cdin )
e o ângulo de desalinhamento da sonda ............................................................................ 31
4.1.2. Obtenção da relação entre os coeficientes (CCtot, Cdin )
e o Nº de Reynolds .............................................................................................................. 31
4.2. Ensaios de atravessamento da sonda ........................................................................ 32
5. Resultados Experimentais ................................................................................................... 35
v
5.1. Ensaio de calibração da sonda direccional ................................................................. 35
5.2. Ensaios de atravessamento da sonda ........................................................................ 38
6. Análise Numérica ................................................................................................................ 42
6.1. Introdução à Mecânica dos Fluidos Computacional ................................................... 42
6.2. Descrição das simulações numéricas ......................................................................... 43
6.3. Descrição das equações de transporte ...................................................................... 44
6.3.1. Escoamento invíscido.......................................................................................... 44
6.3.2. Escoamento viscoso ............................................................................................ 45
6.4. Descrição do domínio e geração da malha ................................................................. 47
6.5. Condições de fronteira ................................................................................................ 51
6.5.1. Superfície de entrada .......................................................................................... 51
6.5.2. Superfície de saída .............................................................................................. 52
6.5.3. Superfícies periódicas ......................................................................................... 52
6.5.4. Superfícies sólidas .............................................................................................. 53
7. Resultados Numéricos ........................................................................................................ 54
7.1. Convergência da solução ............................................................................................ 54
7.2. Análise de parâmetros integrais do escoamento ........................................................ 55
7.3. Verificação dos valores do parâmetro y+..................................................................... 56
7.4. Comparação entre os resultados do cálculo tridimensional e do método de
projecto .................................................................................................................................... 57
7.5. Verificação de efeitos tridimensionais no escoamento ............................................... 61
7.6. Comparação com os resultados experimentais .......................................................... 63
8. Conclusões .......................................................................................................................... 66
Referências bibliográficas ........................................................................................................... 68
Anexo 1 – Resultados experimentais do projecto anterior ............................................................ I
Anexo 2 – Código do programa executado em MATLAB que determina as coordenadas
dos perfis utilizados no cálculo do método de painel 2-D .......................................................... VIII
Anexo 3 – Resultados do ficheiro de saída do programa método de painel 2-D
(secção junto ao cubo) ............................................................................................................. XVII
vi
Lista de figuras
Figura 1.1 - Representação esquemática de um dispositivo offshore de CAO para
aproveitamento da energia das ondas .................................................................................. 4
Figura 1.2 - Turbina Wells: a) com pás directrizes; b) de passo variável; c) de contra-rotação;
d) de duplo plano com pás directrizes................................................................................... 6
Figura 1.3 - Turbina de acção: a) com pás directrizes fixas; b) com pás directrizes de passo
variável .................................................................................................................................. 6
Figura 2.1 - Triângulo de velocidades típico da linha média do escoamento (sem 2º estator) .. 10
Figura 2.2 - Rendimento total-estático obtido no projecto unidimensional em [27] .................... 11
Figura 2.3 - Diagrama de Mollier da turbina de acção (sem 2ºestator) ...................................... 11
Figura 3.1 - Vista lateral da turbina representada em corte, com as dimensões do protótipo
(em mm) .............................................................................................................................. 14
Figura 3.2 - Representação dos sistemas de eixos .................................................................... 15
Figura 3.3 - Representação da distribuição de ângulos determinada pelo modelo da
curvatura das linhas de corrente ......................................................................................... 15
Figura 3.4 - Representação do domínio de cálculo bidimensional no método de painel ........... 17
Figura 3.5 - Representação da linha média do perfil .................................................................. 19
Figura 3.6 - Representação de um dos perfis analisados no método de painel ......................... 20
Figura 3.7 - Representação do bordo de fuga virtual dos perfis utilizados no método
do painel .............................................................................................................................. 21
Figura 3.8 - Pormenor da distribuição de painéis no bordo de fuga ........................................... 22
Figura 3.9 - Pá planificada, à escala do modelo (1:1.2) ............................................................. 23
Figura 3.10 - Representação da forma tridimensional da pá por sobreposição das linhas
médias dos perfis: a) perspectiva ; b) plano x-z; c) plano y-z; d) plano x-y ........................ 24
Figura 3.11 - Distribuição de ângulos do escoamento ao longo da envergadura ...................... 25
Figura 3.12 - Distribuição de circulação ao longo da envergadura ............................................. 25
Figura 3.13 - Distribuição de Cp em torno dos perfis .................................................................. 27
Figura 3.14 - Distribuição de Cp nos bordos do perfil: a) bordo de ataque; b) bordo de fuga .... 27
Figura 4.1 - Sonda direccional de três furos ............................................................................... 29
Figura 5.1 - Velocidade absoluta do escoamento durante o ensaio de calibração da sonda .... 35
Figura 5.2 - Pressões totais medidas pela sonda, em função de ’ ........................................... 36
Figura 5.3 - Relação entre os coeficientes de calibração da sonda e o ângulo ’ ..................... 36
Figura 5.4 - Variação dos coeficientes de calibração com o número de Reynolds .................... 37
Figura 5.5 - Perfis de velocidade axial correspondentes aos 6 atravessamentos efectuados ... 39
Figura 5.6 - Perfis de velocidade tangencial correspondentes aos 6 atravessamentos
efectuados ........................................................................................................................... 39
Figura 5.7 - Variação do ângulo do escoamento ao longo da direcção radial ............................ 40
vii
Figura 5.8 - Perfis de velocidade axial adimensionalizada pela velocidade média axial do
escoamento ......................................................................................................................... 40
Figura 5.9 - Perfis de velocidade tangencial adimensionalizada pela velocidade média axial
do escoamento .................................................................................................................... 40
Figura 5.10 - Distribuição da quantidade de movimento angular ao longo da envergadura ...... 41
Figura 6.1 - Representação do domínio de estudo no FLUENT ................................................. 48
Figura 6.2 - Representação das malhas geradas no GAMBIT: a) em torno da pá; b) junto
ao bordo de ataque; c) junto ao bordo de fuga ................................................................... 50
Figura 7.1 - Evolução do resíduo durante o processo iterativo no cálculo do escoamento
viscoso ................................................................................................................................. 54
Figura 7.2 - Evolução do resíduo durante o processo iterativo no cálculo do escoamento
invíscido ............................................................................................................................... 54
Figura 7.3 - Valores de y+ obtidos sobre a superfície da pá ....................................................... 56
Figura 7.4 - Valores de y+ obtidos sobre as superfícies do cubo e da caixa .............................. 56
Figura 7.5 - Distribuição de Cp na secção junto ao cubo ........................................................... 58
Figura 7.6 - Distribuição de Cp na secção de envergadura intermédia ..................................... 58
Figura 7.7 - Distribuição de Cp na secção junto à caixa ............................................................ 58
Figura 7.8 - Ângulo do escoamento na zona cónica, a jusante do estator ................................. 59
Figura 7.9 - Perfil de velocidades meridional na zona cónica, a jusante do estator ................... 59
Figura 7.10 - Perfil de velocidades tangencial na zona cónica, a jusante do estator ................. 59
Figura 7.11 - Perfil de velocidades na direcção da envergadura na zona cónica, a jusante
do estator ............................................................................................................................. 60
Figura 7.12 - Distribuição da quantidade de movimento angular do escoamento, a jusante
do estator ............................................................................................................................. 60
Figura 7.13 - Distribuição de Cp em torno da pá no caso viscoso: a) extradorso;
b) intradorso ........................................................................................................................ 61
Figura 7.14 - Distribuição de Cp em torno da pá no caso invíscido: a) extradorso;
b) intradorso ........................................................................................................................ 62
Figure 7.15 - Distribuição de C0 em torno da pá no caso viscoso: a) extradorso;
b) intradorso ........................................................................................................................ 62
Figura 7.16 - Componente da velocidade na direcção da envergadura junto à pá:
a) extradorso; b) intradorso ................................................................................................. 63
Figura 7.17 - Variação do ângulo do escoamento ao longo da direcção radial .......................... 63
Figura 7.18 - Perfis da componente axial da velocidade ............................................................ 64
Figura 7.19 - Perfis da componente tangencial da velocidade ................................................... 64
Figura 7.20 - Distribuição da quantidade de movimento angular na direcção radial .................. 64
Figura A1.1 - Curva de rendimento da turbina com os dois estatores completos [28] .................. I
Figura A1.2 - Curva de rendimento da turbina sem segundo estator ............................................ I
Figura A1.3 - Curva de rendimento da turbina com dois estatores ............................................... I
Figura A1.4 - Curva de potência da turbina sem segundo estator ............................................... II
viii
Figura A1.5 - Curva de potência da turbina com dois estatores ................................................... II
Figura A1.6 - Curva da queda de pressão total da turbina sem segundo estator ........................ II
Figura A1.7 - Curva da queda de pressão total da turbina com dois estatores ........................... III
Figura A1.8 - Curva da queda de pressão no primeiro estator da turbina sem
segundo estator .................................................................................................................... III
Figura A1.9 - Curva da queda de pressão no primeiro estator da turbina com dois estatores ... III
Figura A1.10 - Curva da queda de pressão no rotor da turbina sem segundo estator ................ IV
Figura A1.11 - Curva da queda de pressão no rotor da turbina com dois estatores ................... IV
Figura A1.12 - Variação do ângulo absoluto do escoamento à saída do estator com a
direcção radial ....................................................................................................................... V
Figura A1.13 - Variação do ângulo relativo do escoamento à saída do estator com a
direcção radial ....................................................................................................................... V
Figura A1.14 - Variação da componente axial da velocidade à saída do rotor
(adimensionalizada pela velocidade média) ........................................................................ VI
Figura A1.15 - Variação da relação V2t/U ao longo da direcção radial ........................................ VI
Figura A1.16 - Variação do ângulo absoluto do escoamento à saída do rotor ............................ VI
Figura A1.17 - Variação do ângulo relativo do escoamento à saída do rotor ............................. VII
Figura A1.18 - Variação da componente axial da velocidade à saída do rotor
(adimensionalizada pela velocidade média) ....................................................................... VII
Figura A1.19 - Variação da relação V3t/U ao longo da direcção radial ....................................... VII
Lista de tabelas
Tabela 3.1 - Distribuição de ângulos à saída do estator, na zona cónica .................................. 16
Tabela 3.2 - Distribuição de ângulos à saída do estator, na zona cilíndrica .............................. 16
Tabela 3.3 - Características geométricas dos perfis analisados ................................................ 22
Tabela 3.4 - Principais resultados obtidos pelo método de painel .............................................. 25
Tabela 5.1 - Equações das curvas de calibração ....................................................................... 36
Tabela 6.1 - Distribuição de elementos nas malhas utilizadas nas diferentes direcções ........... 49
Tabela 6.2 - Distribuição em termos percentuais de elementos nas malhas utilizadas,
segundo o parâmetro de distorção ...................................................................................... 51
Tabela 7.1 - Valores dos parâmetros integrais nas fronteiras de entrada e saída
do domínio, para cada malha .............................................................................................. 55
Tabela 7.2 - Coeficientes de perdas obtidos a partir dos resultados experimentais
e numéricos ......................................................................................................................... 65
Tabela A1.1 - Resultados experimentais dos ensaios de atravessamento do
projecto anterior .................................................................................................................. VIII
ix
Lista de abreviaturas
CAO Coluna de água oscilante
IST Instituto Superior Técnico
MFC Mecânica dos Fluidos Computacional
SIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations
SIMPLEC SIMPLE Consistent
Nomenclatura
A1 Área da secção de entrada da turbina
A2 Área da secção na zona do rotor
At Área da secção de saída da tubeira convergente a jusante da câmara de pleno
BININT Somatório dos momentos resultantes das distribuições de vórtices em torno do
perfil
BINRVTE Momento resultante do cálculo da quantidade de movimento angular do
escoamento à saída da cascata
c Corda do perfil
cax Corda axial do perfil
C0 Coeficiente de pressão total
Cdin Coeficiente relativo à pressão dinâmica na sonda de três furos
Cp Coeficiente de pressão estática
Ctot Coeficiente relativo à pressão total na sonda de três furos
C Coeficiente relativo ao ângulo de desalinhamento da sonda de três furos
dp Diâmetro dos furos da sonda
D Diâmetro exterior na região do rotor
Dh Diâmetro hidráulico
e Espessura do perfil
Erel Erro relativo de cálculo no método de painel
fmax Flecha máxima do perfil
I Intensidade de turbulência
k Coeficiente médio de descarga da tubeira; Energia cinética turbulenta
l Escala de comprimento de turbulência
p Passo da cascata de pás; Pressão estática
p1 Pressão estática a jusante do primeiro estator (valor experimental)
p2 Pressão estática a jusante do rotor (valor experimental)
p3 Pressão estática a jusante do segundo estator (valor experimental)
p4 Pressão total na câmara de pleno da instalação experimental
p7 Pressão no furo 7 da sonda de três furos
x
p8 Pressão no furo 8 da sonda de três furos
p9 Pressão no furo 9 da sonda de três furos
𝑝 7−9 Média aritmética das pressões nos furos 7 e 9 da sonda de três furos
pdin Pressão dinâmica
ptot Pressão total
Q Caudal volúmico
QEAS Parâmetro indicativo da distorção dos elementos das malhas
r Coordenada radial
r’ Coordenada da envergadura
R* Coordenada da envergadura adimensionalizada
R2 Coeficiente de aproximação da regressão a um conjunto de pontos
R1 Raio da secção de entrada da turbina
R2 Raio da turbina na zona do rotor
Rpá Raio de curvatura da linha média da pá
Re Número de Reynolds do escoamento
S Superfície do perfil
t Coordenada tangencial; Tempo
T Binário ao veio da turbina
U Velocidade periférica da pá
u Componente da velocidade segundo x
u’ Flutuação turbulenta da velocidade
umed Valor médio da velocidade em escoamento turbulento
V Velocidade absoluta do escoamento
v Componente da velocidade segundo y
V2a Componente axial da velocidade do escoamento a jusante do primeiro estator
V2a,med Velocidade axial média do escoamento a jusante do primeiro estator (=Q/A2)
V2t Componente tangencial da velocidade do escoamento a jusante do primeiro
estator
V2r’ Componente da velocidade do escoamento na direcção da envergadura a
jusante do primeiro estator
V2x’ Componente meridional da velocidade do escoamento a jusante do primeiro
estator
Vin Velocidade do escoamento à entrada da turbina (=Q/A1)
vp Velocidade do escoamento no ensaio de calibração
w Componente da velocidade segundo z
x Coordenada axial
x’ Coordenada meridional
y+ Parâmetro de turbulência indicativo da espessura dos elementos de malha
adjacentes às superfícies sólidas
Z Número de pás
xi
’ Ângulo de desalinhamento da sonda em relação à posição de referência
Ângulo absoluto do escoamento
β Ângulo relativo do escoamento
β1’ Ângulo entre o ponto que define o bordo de ataque do perfil com a direcção
axial
β2’ Ângulo entre o ponto que define o bordo de fuga do perfil com a direcção axial
∆𝑝𝑡 Diferença entre as pressões na câmara de pleno e à saída da tubeira
Taxa de dissipação da energia cinética turbulenta
∅ Coeficiente de caudal; Potencial de velocidade
Circulação em torno do perfil
Rendimento
ts Rendimento total-estático
Ângulo de calagem da cascata
Viscosidade dinâmica
T Viscosidade turbulenta
Coeficiente de potência
Velocidade de rotação
Ângulo de inclinação das superfícies cónicas da conduta da turbina
Massa volúmica
𝜉 Coeficiente de perda
Coeficiente de pressão
∇ Divergência
1
1. Introdução
1.1 Aspectos gerais
O presente trabalho surge na sequência da extensa investigação que tem sido
realizada pelo Departamento de Engenharia Mecânica do Instituto Superior Técnico, desde
1977, com vista ao desenvolvimento e optimização de sistemas que permitam uma extracção
eficiente da energia proveniente do movimento oscilatório das ondas do mar, para conversão
em energia eléctrica.
Este trabalho está inserido num projecto de desenvolvimento de uma turbina auto-
rectificadora de acção para utilização em dispositivos de Coluna de Água Oscilante (CAO). Sob
a acção das ondas, este dispositivo produz um escoamento bidireccional de ar que pode ser
aproveitado por uma turbina. Uma vez que a utilização de válvulas rectificadoras torna os
custos de construção e manutenção demasiado elevados, a solução passa por projectar uma
turbina auto-rectificadora que aproveite a energia do escoamento em ambos os sentidos, e
que, simultaneamente, permita atingir rendimentos semelhantes às turbinas de acção
convencionais.
O trabalho actual surge no seguimento de um projecto anterior, que culminou no teste
de um modelo experimental, cujas especificações podem ser encontradas em [1]. O
rendimento máximo obtido através da realização de ensaios experimentais foi nitidamente
inferior ao valor esperado. Deste modo, pretende-se com o novo projecto mitigar os problemas
verificados no projecto inicial, que serão descritos em detalhe mais à frente.
O trabalho realizado no âmbito desta dissertação centra-se no projecto aerodinâmico
das pás do estator, para aplicação em turbina de geometria cónica, em função do ângulo do
escoamento pretendido à entrada do rotor, utilizando um método de cálculo bidimensional. Os
resultados obtidos pelo método de projecto serão verificados através de análise experimental e
de análise numérica tridimensional, com recurso a um software comercial de Mecânica dos
Fluidos Computacional.
No capítulo 1 é introduzido o conceito de energia das ondas como fonte de energia
limpa e renovável, com uma breve descrição do panorama energético actual. É feita uma
descrição geral do funcionamento do dispositivo de CAO, e apresentam-se algumas das
turbinas auto-rectificadoras já existentes. É feita uma revisão sobre os métodos de cálculo em
projecto. Na parte final do capítulo apresentam-se os objectivos gerais do presente trabalho.
No capítulo 2 são apresentadas algumas noções gerais acerca do funcionamento e das
condições de projecto usuais da turbina auto-rectificadora de acção. É feita também uma breve
abordagem aos resultados experimentais obtidos do modelo experimental do projecto anterior.
O capítulo 3 apresenta uma descrição do novo estator e da conduta da turbina, e é feita
uma exposição ao método de cálculo utilizado no projecto. É explicado o procedimento seguido
para a obtenção da geometria definitiva da pá. Na parte final do capítulo apresenta-se a forma
obtida para a pá, assim como os resultados obtidos pelo método de projecto.
2
O capítulo 4 descreve a análise experimental efectuada, onde se inclui a descrição dos
ensaios de calibração e de atravessamento da sonda, sendo explicado ainda o método
utilizado para a aquisição de dados.
No capítulo 5 apresentam-se os resultados experimentais obtidos dos ensaios descritos
no capítulo 4.
No capítulo 6 é exposta a análise numérica tridimensional realizada através de um
software comercial de Mecânica dos Fluidos Computacional. Inclui uma descrição do domínio
do problema, uma abordagem geral ao método de cálculo utilizado, e apresentam-se as
malhas utilizadas nos cálculos efectuados.
No capítulo 7 são apresentados e discutidos os resultados mais relevantes da análise
numérica. São apresentados resultados dos parâmetros integrais do escoamento para malhas
com diferentes refinamentos. Comparam-se os resultados numéricos obtidos com os resultados
do método de projecto e experimentais.
No capítulo 8 apresentam-se as conclusões do presente trabalho, e são apresentadas
algumas notas finais acerca do trabalho realizado e possíveis melhorias.
1.2. Energia das ondas
Segundo estimativa da Agência Internacional de Energia, no ano de 2007 cerca de
87% do consumo energético mundial resultou da utilização de combustíveis fósseis [2]. Por
definição, estas formas de energia não são regenerativas, pelo menos na escala temporal em
que são consumidas, pelo que, naturalmente, os recursos naturais que dão origem aos
combustíveis fósseis irão esgotar-se, a médio ou longo prazo. Esta situação terá tendência a
agravar-se, face ao aumento drástico do consumo energético impulsionado pelo
desenvolvimento de grandes países, como a China ou a Índia.
Adicionalmente, as energias fósseis são responsáveis por emissões que causam
graves problemas ambientais, a nível local e global. Actualmente para Portugal, existem
obrigações legais impostas pelas directivas comunitárias e pelo Protocolo de Quioto, em
termos de limitação da quantidade de emissões de gases que produzem efeito de estufa para a
atmosfera, que reforçam a necessidade de mudança do paradigma energético em Portugal.
É neste contexto que surge a necessidade de apostar em fontes de energia renováveis,
como alternativa às formas convencionais de produção de energia eléctrica. Actualmente
estima-se que, a nível mundial, apenas 3% [2] 1 da totalidade da electricidade produzida resulte
do aproveitamento de recursos naturais renováveis.
Os oceanos contêm um enorme potencial energético renovável, nomeadamente na
energia originada pelo efeito do vento na superfície do oceano. O potencial energético mundial
atribuído à energia das ondas é de 2 TW [3]. Em Portugal, o fluxo médio de energia das ondas
é de 40 MW/km, e o aproveitamento tecnicamente viável, para um terço da costa portuguesa,
1 excluindo a energia hídrica
3
situa-se entre os 2 e os 3 GW [3], o que é comparável à potência eólica instalada actualmente
em território nacional. Porém, a tecnologia existente é relativamente recente e
economicamente pouco competitiva quando comparada com tecnologias mais desenvolvidas,
como as existentes para a energia eólica.
A investigação e desenvolvimento de sistemas de conversão de energia das ondas
foram instigados na década de setenta pela primeira crise do petróleo, através de programas
de carácter governamental e instituições de investigação e desenvolvimento. Entre os países
pioneiros em investigação nesta área encontra-se Portugal. Em 1977, foi criada uma linha de
investigação no Instituto Superior Técnico sobre a temática da energia das ondas, tendo
continuidade até aos dias de hoje. Com o apoio da Comissão Europeia, têm sido lançados em
Portugal diversos projectos pioneiros relacionados com o aproveitamento da energia das
ondas, entre os quais destaca-se a central de CAO da ilha do Pico, nos Açores, primeira a nível
europeu, com uma potência instalada de 400 kW [4]. Mais recentemente, têm sido testados em
águas portuguesas diversos protótipos, e, em 2008, foi criado o primeiro Parque Mundial de
Energia das Ondas, na Aguçadoura.
Deste modo, as boas condições naturais (costa extensa e recurso energético
abundante) aliadas ao facto de existir já uma elevada capacidade científica e tecnológica, torna
Portugal num país propício ao aproveitamento da energia das ondas, como alternativa
sustentável às formas convencionais de produção de energia eléctrica. As instituições
governamentais também desempenham um papel importante, no sentido em que têm de ser
criadas condições de incentivo que permitam atrair investimento nacional e estrangeiro para
esta área (por exemplo, estabelecendo tarifas específicas elevadas). A conjugação destes
factores, com a experiência adquirida resultante do facto de Portugal ser um dos países
pioneiros em investigação e desenvolvimento nesta área, torna possível a futura criação de
tecnologia e indústria, para uso interno ou para exportação, constituindo também, desta forma,
uma oportunidade aliciante em termos económicos para o país.
1.3. Coluna de água oscilante
O projecto da turbina de acção auto-rectificadora, objecto deste estudo, tem em vista a
sua implementação em centrais de Coluna de Água Oscilante (CAO) em zonas offshore. De
um modo simplista, a natureza ‘vaivém’ do movimento de uma onda dá origem a sucessivas
sobrepressões e depressões no interior de uma câmara, que se encontra aberta para o mar
abaixo da superfície livre da água, por onde a onda entra. Uma das extremidades da turbina
está localizada no interior desta câmara, e a outra situa-se no lado exterior, à pressão
atmosférica. Existe, portanto, uma diferença de pressões entre as duas extremidades da
turbina, e o ar é forçado a passar através desta. Consequentemente, a energia pneumática
contida no escoamento é fornecida ao rotor, de modo a que esta produza um binário útil
positivo, que é transmitido ao veio da turbina. Se o veio da turbina estiver acoplado a um
4
gerador eléctrico, torna-se possível converter a energia mecânica de rotação em energia
eléctrica, que posteriormente é injectada na rede.
Devido ao que foi descrito anteriormente, o escoamento de ar no interior da turbina dar-
se à nos dois sentidos: quando a onda avança em direcção ao dispositivo de CAO, a pressão
na câmara aumenta (em relação à pressão atmosférica), e o ar desloca-se no sentido câmara-
exterior; quando a onda recua, o interior da câmara fica a uma pressão inferior à atmosférica, e
o sentido do escoamento inverte-se (exterior-câmara).
A superfície livre de água no interior da câmara oscila com a frequência da onda
incidente, sendo que o deslocamento da superfície livre é determinado, essencialmente, pelas
características desta onda, pela geometria da câmara e pelo amortecimento concedido pelo
mecanismo de conversão. A câmara do dispositivo CAO é projectada com a frequência natural
da onda incidente para atingir ressonância, e consequentemente ampliar o deslocamento da
superfície livre.
A instalação de centrais de CAO em zonas offshore visa o aproveitamento de regimes
elevados de ondas, que se verificam nas zonas de elevadas profundidades. Estima-se que um
dispositivo costeiro tem apenas 25% a 50% do recurso disponível para um dispositivo afastado
da costa [5]. No entanto, a maior dificuldade na instalação e manutenção conjugado com a
necessidade de grandes extensões de cabos submarinos constituem desvantagens à
implementação de sistemas offshore de CAO.
Figura 1.1 – Representação esquemática de um dispositivo offshore de CAO para aproveitamento da energia das ondas
1.4. Turbinas auto-rectificadoras em energia das ondas
Actualmente, existem dois tipos de turbinas auto-rectificadoras que podem equipar
dispositivos de CAO, a turbina Wells e a turbina de acção. A turbina Wells começou a ser
desenvolvida a partir década de oitenta, tendo sido a primeira opção em várias centrais de
CAO, nomeadamente em Portugal, Escócia, Noruega, Japão, China e Índia. Vários estudos
realizados [6] e [7] permitiram concluir que a turbina Wells possui uma baixa gama de
rendimentos, baixas características de arranque e um elevado ruído em funcionamento. Em
comum, a turbina Wells e a turbina de acção possuem a característica de manter o sentido de
5
rotação do rotor, independentemente do sentido do escoamento. Assim, é necessário ter em
consideração, na concepção da turbina auto-rectificadora, o facto de o escoamento
desenvolver-se nos dois sentidos. Esta condição impõe que o rotor e a própria conduta da
turbina sejam simétricos em relação ao plano médio do rotor (plano perpendicular ao eixo da
turbina que intersecta a meio da corda das pás do rotor), e simultaneamente resulta na
necessidade da existência de dois estatores, um em cada lado do rotor. Esta configuração é
preferível, relativamente à utilização de válvulas rectificadoras para controlar a direcção do
escoamento na turbina, pois estas necessitam, em geral, de uma elevada manutenção, o que
está associado a elevados custos.
Os dois tipos de turbinas auto-rectificadoras diferem, essencialmente, na forma como
extraem energia do escoamento. Enquanto a turbina Wells utiliza a queda de pressão, a turbina
de acção retira energia cinética ao escoamento, que é convertida em energia mecânica de
rotação do rotor, e posteriormente em binário útil ao veio da turbina. As configurações mais
utilizadas dos dois tipos de turbina são as seguintes:
Turbina Wells:
Com pás directrizes
De passo variável
De contra-rotação
De duplo plano com pás directrizes
Turbina de acção
Auto-rectificadora com pás directrizes de passo variável
Auto-rectificadora com pás directrizes fixas
De contra-rotação (McCormick)
a) b)
6
c) d)
Figura 1.2- Turbina Wells: a) com pás directrizes; b) de passo variável; c) de contra-rotação; d) de duplo plano com pás directrizes
a) b)
Figura 1.3- Turbina de acção: a) com pás directrizes fixas; b) com pás directrizes de passo variável
1.5. Revisão bibliográfica às turbinas auto-rectificadoras de acção
Estudos realizados [8] e [9] mostram que a turbina auto-rectificadora de acção
apresenta características globais com potencial para serem superiores às da turbina Wells,
para ondas irregulares. Uma turbina auto-rectificadora de acção foi testada num dispositivo de
CAO na cidade de Vizhinjam, na costa oeste da Índia, a integrar uma central de dessalinização
de água [10].
Estudos numéricos e experimentais foram conduzidos, de modo a avaliar o efeito da
geometria das pás directrizes no rendimento da turbina de acção [11] e [12], onde se concluiu
que as pás com torção, projectadas com base na distribuição de vórtice livre, podem melhorar
o rendimento da turbina em 4,5%. Em [13] comparam-se resultados experimentais com uma
análise de MFC, utilizando o modelo de turbulência k-, tendo-se verificado uma boa
concordância entre os resultados obtidos. Neste estudo concluiu-se que 21% da queda de
pressão total na turbina deve-se à influência do segundo estator. Em [14] concluiu-se que os
efeitos de compressibilidade do escoamento no interior da câmara do dispositivo CAO, em
7
condições de mar reais, causam uma redução de 5% na eficiência de conversão energética.
Em [15] são comparados estudos numéricos ao escoamento no estator e no rotor utilizando
malhas estruturadas e não estruturadas, onde se verificou que estas últimas produziam
resultados ligeiramente mais próximos dos valores experimentais.
1.6. Revisão bibliográfica aos métodos de cálculo em projecto
Os primeiros modelos numéricos do escoamento em torno de perfis alares são
baseados na técnica de transformação conforme [16]. A mais conhecida destas transformações
é a de Kutta-Joukowski, em que o escoamento em torno de um determinado perfil é calculado
a partir do escoamento bidimensional em torno de um cilindro circular [17].
O método desenvolvido por Theodorsen [18] permitiu calcular o escoamento em torno
de perfis reais com geometria arbitrária, recorrendo a duas transformações consecutivas, uma
primeira do contorno do perfil numa curva próxima de uma circunferência e uma segunda da
curva resultante numa circunferência.
O método de transformação conforme foi também utilizado no cálculo do escoamento
em torno de uma cascata de perfis. Uma das primeiras aplicações deste método deve-se a
Weinig [19] (citado em [26]) e consiste no cálculo do escoamento numa cascata rectilínea de
pás a partir do escoamento em torno de um cilindro, com velocidade de aproximação uniforme.
Em alternativa aos métodos que utilizam a técnica da transformação conforme, o
escoamento potencial pode ser calculado utilizando o método das singularidades. Neste
método o contorno do perfil é substituído por um conjunto de singularidades (vórtices,
fontes/poços) cujas intensidades são determinadas pela verificação da condição de
impermeabilidade na fronteira do perfil e da condição de Kutta. O potencial complexo deste
escoamento é obtido pela soma do potencial do escoamento uniforme e do potencial devido a
fontes e vórtices devidamente localizados. Em [20] esta técnica é aplicada ao cálculo de um
escoamento em torno de uma cascata de perfis sem espessura, em forma de arco de
circunferência, com flecha moderada colocando singularidades (fontes e vórtices) ao longo da
corda do perfil.
O desenvolvimento dos métodos de singularidades está estritamente ligado com o
crescimento das capacidades computacionais. Os primeiros métodos baseavam-se na
utilização de distribuições de vórtices e de fontes ao longo da linha média do perfil, como o
método proposto por Schlicting [21]. As cascatas de pás foram substituídas por distribuições de
singularidades que foram expandidas em série obtendo-se, no final, duas equações integrais.
Impondo que cada uma destas equações seja satisfeita em pontos discretos, pontos de
controlo, obtém-se um sistema de equações lineares.
Hess e Smith [22] desenvolveram um método que se diferenciava dos métodos
utilizados anteriormente pela discretização total da superfície em elementos (painéis) e pela
aplicação sobre estes de distribuições de singularidades (fontes, vórtices ou dipolos), cuja
intensidade era calculada em função das condições de impermeabilidade na fronteira e de
8
Kutta no bordo de fuga. Nas primeiras aplicações do método, consideraram painéis rectilíneos
(em escoamentos bidimensionais), distribuições constantes de fontes e uma distribuição de
vórtices de intensidade constante no contorno do perfil.
Em [23] são deduzidas expressões analíticas para o cálculo bidimensional e
tridimensional do escoamento potencial através de cascata cónica de pás, usando distribuições
de singularidades do tipo fonte e vórtice. Na análise bidimensional é assumido que as
superfícies de corrente de revolução possuem uma forma cónica exacta, desde que a
intensidade das linhas de vórtice seja constante ao longo da envergadura da pá, e a
intensidade das fontes seja proporcional à distância ao eixo de revolução das mesmas
superfícies.
Para modelar o efeito da viscosidade no escoamento em torno do perfil, autores como
Hess [24] e Stevens [25] introduziram efeitos de camada limite. A evolução da camada limite
sobre o perfil é determinado através da distribuição de pressão calculada pelo escoamento
potencial invíscido, utilizando o método de painel bidimensional. A espessura de deslocamento,
δ*, pode ser adicionada a cada ponto de fronteira, alterando a forma do perfil e obtendo uma
nova geometria. Outra abordagem consiste na substituição da condição de fronteira de
velocidade normal nula por uma velocidade de transpiração vw, relacionada com a espessura
de deslocamento δ*.
1.7. Objectivos da tese
O principal objectivo deste trabalho consistiu no projecto das pás directrizes fixas para
uma turbina auto-rectificadora de acção para aproveitamento da energia das ondas. O método
de cálculo utilizado no projecto consiste num método de painel bidimensional, adaptado para
cascata cónica de pás. Foi construído um modelo experimental, à escala de 1:1.2, com o
objectivo de ser testado no Laboratório de Mecânica dos Fluidos, do Pavilhão de Mecânica IV,
do Instituto Superior Técnico. Com recurso a um software comercial de aquisição de dados
foram realizados ensaios experimentais de modo a determinar a validade do método de
projecto utilizado. Foram efectuados ensaios de atravessamento ao longo da direcção radial,
numa secção a jusante do primeiro estator, de modo a determinar as distribuições de ângulos
do escoamento e de pressão, assim como os perfis de velocidades, ao longo desta direcção.
Nos ensaios efectuados, para a nova instalação experimental, não foi utilizado rotor, sendo
analisada apenas a influência do primeiro estator sobre o escoamento.
Pretendeu-se ainda efectuar uma análise de Mecânica dos Fluidos Computacional
(MFC). Neste trabalho apresentam-se resultados para o escoamento tridimensional para o
caso invíscido e viscoso, que são comparados aos resultados obtidos do método de projecto e
experimentalmente.
9
2. Descrição geral da turbina auto-rectificadora de acção
A turbina auto-rectificadora de acção tem sido objecto de extensa investigação ao
longo dos últimos anos. Das várias geometrias propostas para a turbina de acção, a mais
promissora revela ser a turbina de acção com pás directrizes fixas simétricas, de cada lado do
rotor. Esta turbina começou a ser desenvolvida em 1993, na Universidade de Saga, no Japão.
A partir dos primeiros estudos realizados, foi efectuada uma análise dimensional que
assume que as curvas características da turbina (rendimento, potência e quedas de pressão)
são função apenas do coeficiente de caudal, ø, definido da seguinte forma:
∅ =𝑄
𝜔𝐷3 (2. 1)
em que 𝑄 corresponde ao caudal volúmico, expresso em m
3/s, 𝜔 à velocidade de rotação da
turbina, em rad/s e D corresponde a um diâmetro de referência (em m), que geralmente é o
diâmetro exterior da turbina. Esta análise permite comparar o desempenho de diferentes
dimensões de turbinas, deste tipo, para várias condições de caudal e de velocidade de rotação
da turbina.
Uma vez que a turbina vai operar num ambiente onde as condições são irregulares ou
variáveis, como é o caso do ambiente marítimo, a turbina é projectada para funcionar numa
determinada gama de funcionamento, isto é, para um conjunto de valores de ø, e não apenas
para um único ponto. Deste modo, é quantificado o efeito de diferentes valores de velocidade
de rotação no rendimento e na potência ao veio, para uma gama de potência de entrada. Em
[14] verificou-se que o rendimento da turbina era elevado para uma gama lata de
funcionamento, utilizando uma razão de diâmetros de 0,6. Uma curva típica de rendimento
desta turbina é apresentada na figura 2.1. Em [27] considera-se que a razão de diâmetros
óptima é de 0,7, uma vez que uma razão de diâmetros inferior resultaria numa forma das pás
com maior torção, de modo a obter o mesmo ângulo de escoamento à saída do estator. A
turbina projectada em [1] possui uma razão de diâmetros de 0,68.
As características auto-rectificadoras permitem que esta turbina mantenha o sentido de
rotação, independente do sentido do escoamento, o que obriga a que a turbina seja projectada
de forma simétrica, em relação ao plano médio do rotor.
A turbina de acção é uma turbomáquina axial, que opera numa gama de velocidades
de rotação baixas (próximas das 1000 rpm, em geral), pelo que não se prevêem efeitos de
compressibilidade do escoamento sobre as pás.
Idealmente, uma turbina de acção define-se pelo facto de não possuir uma queda de
pressão no rotor. Na realidade existe uma ligeira queda de pressão, devido ao aumento de
entropia entre a entrada e a saída do rotor, em escoamento viscoso. Deste modo, o
funcionamento da turbina baseia-se no aproveitamento da energia cinética do escoamento.
10
Numa turbina axial, por definição, a velocidade do escoamento possui duas
componentes principais: axial e tangencial, uma vez que a componente radial pode ser
considerada desprezável, pelo menos no espaço varrido pelas pás do rotor. A velocidade à
entrada tem apenas componente axial, que está directamente relacionada com o valor do
caudal. Deste modo, o estator tem a função de acelerar o escoamento, fornecendo uma
componente tangencial à velocidade do escoamento. A componente tangencial de energia
cinética pode ser fornecida ao rotor, que por sua vez converte-a em binário útil ao veio.
A maximização do rendimento da turbina, corresponde a retirar o máximo de
componente tangencial do escoamento, o que acontece quando a velocidade tangencial à
saída do rotor é nula, V3t =0. Esta é, geralmente, uma das condições utilizadas no projecto
unidimensional deste tipo de turbinas. O triângulo de velocidades típico para a linha média é
apresentado na figura 2.1. Outra condição imposta resulta do facto das pás do rotor serem
equiangulares, o que impõe que o ângulos do escoamento à entrada e à saída do rotor
(relativos ao seu movimento) sejam simétricos, isto é, β2 =- β3.
Figura 2.1 - Triângulo de velocidades típico da linha média do escoamento (sem 2º estator)
Em geral para este tipo de turbinas, utilizando como base as evoluções termodinâmicas
do escoamento, é definido em projecto o rendimento total-estático, uma vez que a energia
cinética do escoamento à saída não é aproveitada. Este rendimento é definido pela razão entre
a quantidade de energia por unidade de massa que o escoamento fornece ao rotor e o trabalho
útil máximo, que seria produzido se as evoluções ao longo da turbina fossem isentrópicas
(escoamento ideal, sem atrito). A figura 2.2 mostra uma curva típica de rendimento total-
estático de uma turbina de acção, e na figura 2.3 representam-se as evoluções termodinâmicas
do escoamento, através do primeiro estator e do rotor, através do diagrama de Mollier. O
rendimento total-estático da turbina auto-rectificadora de acção é definido então por:
ts
=h01-h03
h01-h3s
=Er
𝐸s' (2. 2)
11
Figura 2.2- Rendimento total-estático obtido no projecto unidimensional em [27]
Figura 2.3 - Diagrama de Mollier da turbina de acção (sem 2ºestator)
No projecto anterior [27], o projecto unidimensional realizado previu um rendimento
global máximo de 71%, para a configuração normal (com os dois estatores). No âmbito deste
trabalho foram realizados ensaios ao modelo experimental do projecto anterior. Os resultados
destes ensaios encontram-se disponíveis no anexo 1. Estes resultados, assim como os
resultados de ensaios realizados anteriormente (em [28]) permitiram concluir que o rendimento
global máximo não ultrapassa os 25%. Foi demonstrado que a presença do segundo estator
introduz uma elevada perda de carga no escoamento, facto que impede a turbina de possuir
um rendimento superior.
Em ensaios efectuados sem a presença do segundo estator, ou com a colocação deste
estator alinhado com o escoamento à saída do rotor (pás em ‘bandeira’), obteve-se um
rendimento máximo de 66%. Constatou-se nestes ensaios que o motivo principal para a
elevada diferença entre o valor de projecto e o valor experimental reside na excessiva perda
12
introduzida ao escoamento pelo primeiro estator, a qual não foi prevista pelos métodos de
projecto utilizados anteriormente. Embora não tenham sido estudadas em profundidade as
causas desta perda, presume-se que a elevada deflexão que o primeiro estator induz no
escoamento, que está associada à elevada curvatura das pás, induzem escoamentos
secundários muito fortes e eventualmente provocam separação da camada limite.
13
3. Projecto do estator
3.1. Descrição geral do modelo experimental
No âmbito deste trabalho, pretendeu-se projectar um estator de pás directrizes fixas,
em forma de arco de circunferência, com raio de curvatura e espessura constantes. A opção
por este tipo de geometria prende-se essencialmente com os baixos custos associados à
elevada simplicidade na construção destas pás. Para a nova turbina, foi projectada ainda uma
conduta de geometria distinta à do modelo experimental do projecto anterior, a qual era
cilíndrica em toda a sua extensão. Neste projecto, optou-se por conceber uma conduta com
duas secções cónicas nas extremidades e uma secção cilíndrica existente na zona central. Ao
longo de toda a conduta, as superfícies do cubo e da caixa da turbina são paralelas entre si. A
figura 3.1 mostra a geometria e dimensões da conduta construída. No âmbito deste projecto,
está prevista ainda a construção de um rotor para o modelo experimental, no entanto o projecto
do mesmo ficou fora do âmbito do presente trabalho, pelo que as análises efectuadas
(numérica e experimental) para a nova turbina não contemplam a presença do rotor, no entanto
os resultados retirados deste trabalho irão contribuir no projecto do novo rotor.
A utilização de estatores com pás directrizes fixas afecta negativamente o rendimento
da turbina. Este facto poderia ser solucionado com a concepção de um sistema de orientação
das pás fixas do segundo estator consoante o sentido do escoamento, de modo a que estas
ficassem alinhadas com a direcção do escoamento à saída do rotor, semelhante ao
apresentado na figura 1.3b). Porém, a existência de tal sistema iria, provavelmente, diminuir a
fiabilidade da máquina e aumentar os custos relacionados com a construção e manutenção da
turbina, pelo que a ideia foi colocada de parte para este projecto.
As pás de ambos os estatores encontram-se nas regiões cónicas com 20o de
inclinação, enquanto o rotor será posicionado na zona cilíndrica da conduta. Entre a zona do
estator e o rotor, existe um troço de conduta cónica, com uma inclinação de 10º. O objectivo
desta zona intermédia é o de aumentar suavemente a área normal às paredes da conduta de
modo a evitar separação do escoamento a jusante do rotor, que entra em desaceleração.
Ao contrário do que se verifica nas turbinas convencionais, o estator situa-se a uma
distância considerável do rotor. Com esta configuração procura-se reduzir ao mínimo a energia
cinética à entrada do segundo estator através do aumento do raio médio do escoamento entre
a zona cilíndrica e a zona cónica da conduta, o que resulta numa redução da velocidade do
escoamento, quer da componente axial (por conservação de massa, devido ao aumento de
área), quer da componente tangencial (por conservação da quantidade de movimento angular,
proporcional a rVt).
14
Figura 3.1 - Vista lateral da turbina representada em corte, com as dimensões do protótipo (em mm)
O modelo experimental foi construído à escala de 1:1.2, em relação às dimensões do
protótipo, apresentadas na figura anterior, com o objectivo de utilizar a conduta cilíndrica do
modelo experimental anterior para os ensaios do novo modelo, a qual possui 0,59m de
diâmetro exterior e 0,40m de diâmetro interior. Deste modo, foi necessário construir apenas os
troços cónicos da conduta para o modelo experimental.
O processo de fabrico das pás do estator é relativamente simples. De um modo básico,
uma chapa de aço, com uma espessura constante de 1,5 mm, foi cortada com as dimensões
necessárias de modo a possuir a distribuição de ângulos desejada (nos bordos de ataque e de
fuga) ao longo da envergadura da pá, tendo ainda em conta a curvatura das superfícies
cónicas que definem o cubo e a caixa da conduta da turbina, onde as pás, por sua vez, são
inseridas. O corte da chapa foi efectuado por laser, sendo esta posteriormente enrolada numa
calandra, em torno de um eixo com a direcção da envergadura, de modo a possuir o raio de
curvatura que é pré-definido. As pás de ambos os estatores foram soldadas nas regiões
cónicas da conduta com 20o de inclinação. As pás e a conduta são constituídas por aço-
carbono St37.2.
3.2. Condição de projecto
Por uma questão de conveniência optou-se, ao longo deste texto, por apresentar os
resultados referentes à zona cónica do estator num sistema de coordenadas obtido pela
rotação do sistema de eixos principal. Deste modo, representa-se r’ como sendo a direcção
paralela à envergadura da pá (perpendicular às superfícies do cubo e da caixa), e x’ como a
direcção meridional (paralela às superfícies do cubo e da caixa).
Estator Estator
Rotor
15
Figura 3.2 - Representação dos sistemas de eixos
Deste modo,
𝑟 ′ = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3. 1)
𝑥 ′ = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 (3. 2)
onde 𝜃 corresponde ao ângulo de semi-abertura das superfícies cónicas (20o). Assim, os
resultados que são apresentados ao longo deste texto são referentes ao sistema de
coordenadas rodado, definido por (𝑟 ′, 𝑥 ′, 𝑡), onde o versor 𝑡 corresponde à direcção tangencial.
A condição de projecto utilizada consiste na redução da energia cinética do
escoamento à entrada do segundo estator, procurando, desta forma, diminuir as perdas neste
estator. Para tal efeito, procura-se obter uma distribuição de ângulos para o escoamento à
saída do primeiro estator (∝2) que minimize a relação entre a energia cinética disponível à
entrada do segundo estator e a potência extraída pelo rotor.
A distribuição ideal de ângulos ao longo da envergadura, ∝2 (𝑟′), foi determinada
através de um método axissimétrico que determina a curvatura das linhas de corrente do
escoamento, com base nas teorias de equilíbrio radial e do disco actuante [29]. Segundo este
modelo, as coroas de pás do estator e do rotor podem ser representadas por discos sem
espessura, através dos quais as propriedades do escoamento variam de modo descontínuo. As
variações circunferenciais do escoamento são desprezadas, sendo analisadas as variações
com as coordenadas axial e radial. É assumido ainda que o escoamento a montante do
primeiro estator não possui componente tangencial.
Figura 3.3 - Representação da distribuição de ângulos determinada pelo modelo da curvatura das linhas de corrente
16
Deste modo, e após análise de diversas distribuições possíveis, chegou-se a uma
distribuição de ângulos do escoamento, à saída do estator, que é crescente ao longo da
envergadura. Ao longo deste texto, a coordenada da envergadura adimensionalizada será
representada por R*, definida da seguinte forma:
𝑅∗ =𝑟′ − 𝑟′ 𝑖𝑛𝑡
𝑟′ 𝑒𝑥𝑡 − 𝑟′𝑖𝑛𝑡
, 0 ≤ 𝑅∗ ≤ 1 (3. 3)
A tabela 3.1 mostra a distribuição de ângulos obtida para três secções de R* constante:
junto ao cubo (R* =0), junto à caixa (R* =1), e na secção intermédia, equidistante das duas
(R*=0,5).
R* ∝𝟐(
o)
0,0 58,0
0,5 60,0
1,0 62,0
Tabela 3.1 - Distribuição de ângulos à saída do estator, na zona cónica
No entanto, na zona do rotor, este modelo prevê que esta distribuição de ângulos seja
diferente, passando a ser decrescente com a envergadura:
R* ∝𝟐(o)
0,0 62,0
0,5 60,0
1,0 58,0
Tabela 3.2 - Distribuição de ângulos à saída do estator, na zona cilíndrica
Deste modo, o projecto do estator consiste em definir uma geometria para a pá, e o
número de pás necessárias que induzam no escoamento a deflexão pretendida. O número total
de pás do estator deverá ser o suficiente para garantir a deflexão pretendida ao escoamento,
de modo a que as pás não possuam uma curvatura muito acentuada, procurando minimizar,
assim, a eventualidade de ocorrer separação do escoamento na zona do bordo de fuga. Um
número excessivo de pás não só é prejudicial em termos de escoamento (uma vez que a perda
de carga em geral aumenta com o número de pás), como aumenta os custos de fabrico do
estator. Como restrição na escolha do número de pás, estabeleceu-se que este deveria ser um
número primo, de modo a reduzir a probabilidade da introdução de frequências na turbina que
causem ressonância [30]. Com base nestes pressupostos, e após a análise de diversas
configurações para a relação corda/passo, estipulou-se um número de 23 pás.
Para além do ângulo do escoamento à saída da coroa de pás fixas, outro parâmetro
relevante é o ângulo de incidência do escoamento sobre o estator, o qual depende,
essencialmente, do ângulo de ataque da pá. O controlo deste parâmetro pode ser efectuado
através da análise da evolução do coeficiente de pressão, Cp, nas zonas mais próximas do
17
bordo de ataque (quer no intradorso, quer no extradorso). Deste modo, uma variação súbita do
valor de Cp junto ao bordo de ataque indicia a presença de um pico de sucção (elevada
aceleração do escoamento) nesta região, o que se traduz na existência de um elevado ângulo
de incidência do escoamento sobre a cascata, representando, desta forma, uma possível fonte
de perda por separação.
3.3. Método de cálculo do projecto
Em problemas práticos de turbomáquinas axiais, é frequente aproximar o escoamento
real tridimensional por um conjunto de escoamentos planos em cascatas de pás. Uma vez que
as paredes interior e exterior da turbina são superfícies cónicas coaxiais e paralelas, estes
escoamentos bidimensionais desenvolvem-se sobre superfícies cónicas paralelas de
coordenada de envergadura constante, que se admite serem superfícies de corrente que não
interferem entre si. Assim, a forma tridimensional da pá pode ser substituída por um conjunto
de perfis, em que cada perfil está contido numa superfície de corrente do escoamento, de
modo a reduzir o problema a uma análise bidimensional.
A análise bidimensional é feita através da planificação de cada superfície de corrente
cónica de modo a gerar uma superfície definida num plano xy, que resulta da intersecção de
uma coroa circular, cujos arcos correspondem às secções de entrada e de saída do domínio,
com o sector circular, com um ângulo de abertura correspondente a 2𝜋 sin 𝜃 (em radianos). O
sistema de eixos original, definido em coordenadas cilíndricas por (x’,t), para uma superfície de
envergadura r’ constante, é obtido através de uma rotação do sistema de eixos xy usado na
planificação do cone.
Figura 3.4 - Representação do domínio de cálculo bidimensional no método de painel
O método de cálculo utilizado neste projecto foi o método de painel bidimensional,
adaptado para o cálculo do escoamento potencial em cascata cónica de pás. O escoamento
irrotacional e incompressível em torno de um perfil obedece à equação de Laplace:
∇2∅ = 0 (3. 4)
x’
t
x
y
18
onde ∅ é o potencial de velocidade. Cada perfil é discretizado por um conjunto de painéis
planos, que unem todos os pontos de fronteira do perfil. A solução para resolver o escoamento
em torno do perfil consiste na sobreposição do escoamento de aproximação uniforme com os
escoamentos induzidos por singularidades, do tipo fontes e vórtices, que são distribuídas sobre
cada painel, ao longo do perfil [22].
O método de painel consiste na resolução numérica da forma integral da equação de
Laplace, a qual, a partir da discretização do perfil em painéis, pode ser aproximada por um
sistema de equações algébricas.
As fontes representam o efeito da espessura do perfil. A intensidade da distribuição de
fontes é determinada pela condição de fronteira aplicada no ponto médio de cada painel, cujas
coordenadas são calculadas através da média aritmética das coordenadas dos pontos de
fronteira. Neste estudo, como o escoamento é potencial, a condição de impermeabilidade na
superfície, S, do perfil, aplicada em cada painel, implica que a componente da velocidade
normal ao painel seja nula:
𝜕∅
𝜕𝑛 𝑆
= 0 (3. 5)
As singularidades do tipo vórtice têm por objectivo gerar um escoamento circulatório
puro em torno do perfil, que por sua vez introduza a circulação, , necessária para satisfazer a
condição de Kutta, segundo a qual a velocidade no bordo de fuga do perfil tem de ser finita, e
no caso do escoamento bidimensional e invíscido terá de ser nula. Isto equivale a dizer que a
linha de corrente divisória do escoamento tem de estar alinhada com a bissectriz do bordo de
fuga do perfil.
Uma vez que é admitido que o escoamento é potencial em todo o domínio, o valor da
circulação da velocidade, , é o mesmo independentemente do contorno considerado. A
aplicação deste método pressupõe, portanto que a circulação é constante em torno de cada
perfil. Assim, e uma vez que o escoamento de aproximação à cascata é uniforme, com
componente tangencial nula, e as componentes da circulação sobre as superfícies laterais do
domínio (superfícies divisórias entre dois perfis) anulam-se mutuamente, a obtenção da
circulação resume-se ao cálculo da sua componente numa secção a jusante do bordo de fuga
do perfil. Para uma secção genérica suficientemente distante do bordo de fuga, de raio r, a uma
distância x’ do vértice do cone, tem-se:
= 𝑉 ∙ 𝑑𝑠𝑆
=2𝜋𝑟
𝑍𝑉2𝑡 =
2𝜋 sin𝜃
𝑍𝑥'𝑉2𝑡 (3. 6)
em que 𝜃 corresponde ao ângulo de semi-abertura do cone (20º) e Z ao número total de pás
(23). De notar que, a jusante das pás a quantidade 𝑟𝑉2𝑡 é invariável com a direcção meridional,
devido ao princípio de conservação da quantidade de movimento angular do escoamento.
19
A utilização deste método pressupõe que os efeitos tridimensionais do escoamento
(isto é, na direcção perpendicular ao domínio de cálculo bidimensional) são considerados
desprezáveis, o que na realidade só acontece quando a distribuição de circulação é constante
ao longo da envergadura da pá, de modo a que não ocorra libertação de esteiras de vórtices
livres, que dão origem a uma componente radial de velocidade. No entanto, esta não é uma
das condições deste projecto, pelo que, previsivelmente, os resultados determinados por este
método não deverão corresponder exactamente aos resultados obtidos a partir de uma análise
numérica tridimensional e da análise experimental.
3.4. Definição da geometria da pá
Uma vez que os perfis que constituem a pá possuem a forma de um arco de
circunferência, a linha média de cada perfil fica completamente definida por três parâmetros: o
raio de curvatura da linha média da pá (Rpá), que se pretende que seja constante ao longo da
envergadura, o ângulo entre o ponto que define o bordo de ataque com a direcção axial (β1’) e
o ângulo entre o ponto que define o bordo de fuga com a direcção axial (β2’).
Figura 3.5 - Representação da linha média do perfil
Com base no que foi dito anteriormente, programou-se em MATLAB uma rotina que, a
partir dos dados de entrada (ângulos β1’ e β2’, e raio de curvatura da linha média Rpá), calcula
as coordenadas dos pontos que definem a forma da linha média de 15 perfis, sobre secções
planas, com um ângulo de inclinação de 20º em relação à direcção horizontal, que são
dispostas ao longo da direcção da envergadura. Os ângulos β1’ e β2’ são impostos apenas em
três secções: junto às superfícies do cubo (R*=0) e da caixa (R*=1) da turbina e na secção
intermédia entre estas (R*=0,5). Nos restantes perfis, os ângulos β1’ e β2’ são obtidos por
interpolação quadrática dos ângulos impostos nas três secções referidas. A sobreposição de
todos estes perfis resulta numa forma tridimensional para a pá.
Os perfis utilizados no cálculo pelo método de painel têm de estar contidos em
superfícies cónicas coincidentes com as linhas de corrente do escoamento meridiano. Entende-
se por escoamento meridiano o escoamento axissimétrico que se desenvolve paralelamente às
superfícies cónicas que constituem o cubo e a caixa da turbina. Deste modo, utilizam-se as
20
coordenadas dos perfis iniciais para obter, por interpolação, as coordenadas dos perfis
coincidentes com as superfícies cónicas, dispostas entre as superfícies do cubo e da caixa.
Assim, os perfis utilizados correspondem a intersecções das superfícies de corrente cónicas
com a pá, considerando, para efeito de cálculo, que a componente normal da velocidade a
estas superfícies é desprezável.
Estes pontos obtidos a partir das intersecções são planificados sobre planos xy,
utilizando o procedimento explicado em 3.3, aplicando-se, de seguida, a espessura (e) a cada
perfil. Posteriormente, as coordenadas x e y de cada ponto são adimensionalizadas pela corda
(c) do perfil correspondente, após uma rotação do sistema de eixos, de modo a que um dos
eixos fique orientado com a direcção da corda. As coordenadas x/c e y/c de cada ponto no
novo sistema de eixos rodado são adimensionalizadas em termos percentuais da distância
entre os bordos de ataque e de fuga (isto é, da corda), em que (x/c, y/c)=(0,0) no bordo de
ataque e (x/c, y/c)=(100,0) no bordo de fuga.
Figura 3.6 - Representação de um dos perfis analisados no método de painel
A leitura das coordenadas dos pontos que definem o perfil é feita no sentido horário,
começando e terminando no bordo de fuga (sentido bordo de fuga - intradorso - bordo de
ataque - extradorso - bordo de fuga). Cada perfil é definido por uma distribuição de pontos não
uniforme, definida por uma função sinusoidal, de modo a que exista uma maior concentração
de pontos junto aos dois bordos, encontrando-se mais dispersos na região central do perfil.
A obtenção da geometria definitiva da pá resultou de um processo iterativo, onde a
alteração dos parâmetros geométricos que definem a forma dos perfis bidimensionais,
descritos anteriormente, foi efectuada de modo a que cada perfil produzisse a deflexão
especificada ao escoamento, e de modo a minimizar o pico de sucção junto ao bordo de
ataque.
A linha média de cada perfil consiste num arco de circunferência, de raio constante
para todos os perfis, aos quais se aplica uma espessura constante. A forma final da pá é obtida
a partir da sobreposição dos vários perfis coincidentes com as superfícies de corrente cónicas,
de modo a que os eixos de todos os perfis sejam coincidentes, definindo, desta forma, um eixo
-5
0
5
10
15
20
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y/c
(%)
x/c (%)
21
único para a pá. Este eixo forma um ângulo recto com as superfícies do cubo e da caixa da
turbina.
Uma vez que as pás são construídas a partir de uma chapa, os bordos de ataque e de
fuga são rectos. É necessário, portanto, modelar estas regiões, alterando a sua forma em
relação à forma real, de modo a obter-se resultados realistas num cálculo de escoamento
potencial. Assim, o bordo de ataque é substituído por um arco de circunferência, de diâmetro
igual à espessura dada ao perfil. O bordo de fuga, por sua vez, tem de ser modificado, de
modo a definir o valor da circulação imposta. Num perfil convencional, isto é, com o bordo de
fuga afilado, o sistema de equações é fechado através da aplicação da condição de Kutta, isto
é, igualando as velocidades nos dois painéis mais próximos do bordo de fuga (um no intradorso
e outro no extradorso).
Este problema pode ser tratado de várias formas. Neste estudo, optou-se por fazer
uma aproximação de escoamento viscoso. Deste modo, decidiu-se, para o cálculo
bidimensional, adicionar um bordo de fuga virtual ao perfil real. Pretende-se, com esta
geometria, representar uma região de possível separação do escoamento a jusante do bordo
de fuga real.
Deste modo, o perfil é fechado por duas curvas que ligam um ponto situado sobre a
bissectriz do bordo de fuga real e o primeiro ponto das curvas do intradorso e do extradorso,
como se pode observar na figura 3.7.
As duas curvas foram aproximadas por polinómios de 3º grau, sendo que cada uma é
discretizada por dez painéis. Arbitrou-se ainda um comprimento para a esteira equivalente a
duas vezes o valor da espessura do perfil. Desta forma, a condição de Kutta é aplicada aos
dois últimos painéis que formam o novo bordo de fuga. Na figura 3.8 é representada em
pormenor a distribuição dos painéis sobre o novo do bordo de fuga. Verificou-se, porém, que,
fazendo variar a localização do ponto comum aos últimos dois painéis, que a posição deste
ponto influencia fortemente o valor da circulação em torno do perfil, o que indica que a solução
do problema em análise é muito difícil ou mesmo impossível de obter, nomeadamente em
escoamento potencial. Deste modo optou-se por manter a posição do ponto comum aos
últimos dois painéis sobre a bissectriz do bordo de fuga real.
Figura 3.7 - Representação do bordo de fuga virtual dos perfis utilizados no método do painel
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5
y/c (%)
x/c (%)
Bordo de fuga real
Bordo de fuga virtual
22
Figura 3.8 - Pormenor da distribuição de painéis no bordo de fuga
Após análise de diversas configurações possíveis, chegou-se a uma forma final para a
geometria da pá. A pá obtida possui um raio de curvatura e espessura constantes (como se
pretendia inicialmente), com valores de 300mm (sobre a linha média) e 2mm respectivamente.
Em relação ao projecto anterior, estas pás possuem maiores dimensões e uma menor
curvatura. Espera-se, com isto, alcançar um desenho para as pás do estator que, aliado ao
efeito de redução de área ao longo da conduta cónica, permita obter a deflexão que se
pretende para o escoamento, e simultaneamente reduzir as perdas nos dois estatores.
Na tabela 3.3 é possível observar as características geométricas principais de 15 perfis,
equidistantes entre si, dispostos entre as superfícies do cubo e da caixa. Os valores de passo
(p) foram calculados com base no raio da secção de conduta que passa pelo centro geométrico
do arco de circunferência que define a linha média de cada perfil. Os valores de corda (c) e
passo correspondem aos valores do protótipo, e não do modelo experimental. A forma da pá
planificada, com o respectivo eixo, é apresentada na figura 3.9. As restantes características
apresentadas incluem a relação corda axial/passo (cax/p), a flecha relativa máxima do perfil
(fmax/c), o ângulo de calagem da cascata () e a espessura relativa de cada perfil (e/c).
R* c(mm) p(mm) c/p cax/p fmax/c(%) (o) β1’ β2’ e/c(%)
0 335,15 172,34 1,945 1,646 15,812 32,20 97,58 29,62 0,597
0,076 337,59 174,40 1,936 1,635 15,943 32,38 97,64 29,14 0,592
0,146 340,02 176,47 1,927 1,624 16,073 32,56 97,70 28,65 0,588
0,215 342,39 178,53 1,918 1,613 16,202 32,74 97,76 28,18 0,584
0,285 344,64 180,60 1,908 1,602 16,324 32,89 97,82 27,74 0,580
0,361 346,90 182,67 1,899 1,592 16,448 33,05 97,88 27,30 0,577
0,431 349,17 184,73 1,890 1,581 16,572 33,21 97,94 26,85 0,573
0,5 351,44 186,80 1,881 1,571 16,698 33,38 98,72 26,73 0,569
0,569 353,71 188,86 1,873 1,561 16,824 33,54 98,79 26,27 0,565
0,646 355,97 190,93 1,864 1,551 16,950 33,71 98,86 25,82 0,562
0,715 358,24 192,99 1,856 1,541 17,077 33,88 98,92 25,36 0,558
0,785 360,51 195,06 1,848 1,531 17,205 34,04 98,99 24,91 0,555
0,854 362,77 197,12 1,840 1,522 17,333 34,21 99,06 22,45 0,551
0,931 365,04 199,19 1,833 1,512 17,462 34,39 99,13 23,99 0,548
1,000 367,31 201,26 1,825 1,503 17,592 34,56 99,19 23,53 0,545
Tabela 3.3 - Características geométricas dos perfis analisados
23
Figura 3.9 - Pá planificada, à escala do modelo (1:1.2)
a)
b) c)
24
d)
Figura 3.10 - Representação da forma tridimensional da pá por sobreposição das linhas médias dos perfis:
a) perspectiva ; b) plano x-z; c) plano y-z; d) plano x-y
3.5. Resultados do método de projecto
A tabela 3.4 mostra os resultados mais relevantes obtidos através do cálculo efectuado
pelo método de painel, nomeadamente o valor da circulação em torno de cada perfil, obtido
através da integração da grandeza rVt em torno do perfil, o ângulo do escoamento a jusante do
perfil, ∝2, e o erro numérico relativo do processo de cálculo.
O ângulo do escoamento à saída é verificado numa secção suficientemente afastada
do bordo de fuga, onde o campo de velocidades (output no ficheiro de resultados) se apresente
uniforme, podendo ser calculado através da seguinte expressão:
∝2= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑉2𝑡
𝑉2𝑥′
(3. 7)
em que 𝑉2𝑡 refere-se à componente tangencial da velocidade e 𝑉2𝑥′ corresponde à componente
da velocidade na direcção meridional.
A circulação imposta ao perfil, , é calculada com base na expressão apresentada
anteriormente. Os resultados apresentados vêm adimensionalizados da seguinte forma:
=𝑟𝑉2𝑡
𝑅1,𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝑉𝑖𝑛 (3. 8)
O erro de cálculo apresentado resulta da diferença entre o binário determinado através
do somatório das momentos resultantes das distribuições de vórtices em torno do perfil
(BININT), e o binário obtido através do cálculo da quantidade de movimento angular do
escoamento, à saída do perfil (BINRVTE):
𝐸𝑟𝑒𝑙 % = 𝐵𝐼𝑁𝑅𝑉𝑇𝐸 − 𝐵𝐼𝑁𝐼𝑁𝑇
𝐵𝐼𝑁𝑅𝑉𝑇𝐸
× 100 (3. 9)
25
R* (o) Erel(%)
0 2,004 58,10 1,953
0,076 2,056 58,41 1,938
0,146 2,113 58,73 1,910
0,215 2,169 59,02 1,885
0,285 2,225 59,29 1,859
0,361 2,282 59,57 1,833
0,431 2,341 59,85 1,805
0,5 2,399 60,12 1,782
0,569 2,464 60,40 1,747
0,646 2,528 60,68 1,712
0,715 2,594 60,97 1,685
0,785 2,661 61,25 1,650
0,854 2,731 61,53 1,604
0,931 2,803 61,81 1,562
1,000 2,869 62,10 1,528
Tabela 3.4 - Principais resultados obtidos pelo método de painel
Verifica-se que, devido ao facto de a distribuição de ângulos de projecto ser crescente
ao longo da envergadura, a distribuição de circulação é crescente ao longo desta direcção.
Este tipo de distribuição permite prever, pelo que foi dito em 3.3, a existência de efeitos
tridimensionais no escoamento.
Figura 3.11 - Distribuição de ângulos do escoamento ao longo da envergadura
Figura 3.12 - Distribuição de circulação ao longo da envergadura
57.0
58.0
59.0
60.0
61.0
62.0
63.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(º)
R*
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
R*
26
As figuras seguintes apresentam a distribuição do coeficiente de pressão, Cp, em torno
de alguns dos perfis apresentados nas tabelas 3.3 e 3.4. A definição genérica de Cp é dada
por:
𝐶𝑝 =𝑝 − 𝑝𝑟𝑒𝑓12𝜌𝑉𝑟𝑒𝑓
2 (3. 10)
em que p corresponde à pressão estática do escoamento num dado ponto, enquanto 𝑝𝑟𝑒𝑓 e
𝑉𝑟𝑒𝑓 correspondem, respectivamente aos valores de pressão e de velocidade de referência. Em
escoamento invíscido e incompressível, a aplicação do teorema de Bernoulli resulta na
expressão simplificada:
𝐶𝑝 = 1 − 𝑉
𝑉𝑟𝑒𝑓
2
(3. 11)
Nos resultados apresentados do método de painel, considera-se que as condições de
referência correspondem às condições na secção de entrada do domínio, com 𝑉𝑟𝑒𝑓 = 𝑉𝑖𝑛 .
Assim, as velocidades obtidas do processo de cálculo por este método são adimensionalizadas
pela velocidade na secção de entrada do domínio, 𝑉𝑖𝑛 .
a) b)
c) d)
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0,146
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0,285
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0,5
27
e) f)
g)
Figura 3.13 - Distribuição de Cp em torno dos perfis
a) b)
Figura 3.14 - Distribuição de Cp nos bordos do perfil: a) bordo de ataque; b) bordo de fuga
Verifica-se que as evoluções de Cp para os vários perfis analisados são semelhantes, o
que se justifica pelo facto dos perfis não serem muito diferentes entre si, conforme pode ser
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0,715
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 25 50 75 100
Cp
x/c (%)
R*=0,854
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 20 40 60 80 100
Cp
x/c (%)
R*=1
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-0.2 1
Variação de Cp no bordo de ataque
y/c(%)
Cp intradorso
Cp extradorso-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
98 99 100
Variação de Cp no bordo de fuga
x/c (%)
x/c (%)
28
visto na tabela 3.3. Verifica-se ainda que o pico de sucção surge junto ao bordo de fuga, do
lado do extradorso, sendo mais intenso nos perfis mais afastado da superfície do cubo. Como
referido anteriormente, o ângulo β1’ foi determinado de modo a minimizar o efeito de sucção
junto ao bordo de ataque do perfil, sendo que o ângulo óptimo foi encontrado quando os
valores mínimos de Cp no intradorso e no extradorso eram semelhantes, como se pode verificar
na figura 3.14a). A figura 3.14b) mostra a evolução de Cp na zona onde se simulou a presença
da esteira, no bordo de fuga, onde se verifica que os valores da pressão, no intradorso e
extradorso, tendem para o mesmo valor, no vértice do bordo de fuga virtual.
29
4. Análise Experimental
Os ensaios experimentais efectuados no âmbito desta tese foram realizados no
Laboratório de Mecânica dos Fluidos, do Pavilhão de Mecânica IV. O principal objectivo
consistiu em determinar as propriedades do escoamento a jusante do primeiro estator, mais
precisamente na região cilíndrica da conduta da turbina, onde se pretende instalar o rotor. Para
tal, foram efectuados ensaios de atravessamento, utilizando uma sonda direccional de três
furos (ilustrada na figura 5.1), ao longo da direcção radial da turbina. A posição de referência
da sonda (isto é, com ângulo de desalinhamento, ’, nulo) é definida a partir da posição da
bolha de nível, situada no topo da haste. Esta sonda permite medir a pressão total do
escoamento, num dado ponto, e a partir de um processo iterativo (que será descrito mais à
frente) calcular o ângulo do escoamento com a direcção axial. Nestes ensaios foram
analisadas as distribuições de ângulos do escoamento e os perfis de velocidades, ao longo da
envergadura. Este tipo de sondas com três furos permite, dada uma posição fixa, medir apenas
as pressões num dado plano do escoamento. Deste modo, nos ensaios de atravessamento
realizados não foram mensuráveis a distribuição de pressões na direcção radial, pelo que a
análise posterior ficará afectada de algum erro (devido à existência de uma componente radial
da velocidade não nula), que no entanto se considera desprezável.
Figura 4.1 - Sonda direccional de três furos
Antes de efectuar esta análise, contudo, foi necessário efectuar ensaios de calibração
da sonda direccional. Nestes ensaios obteve-se uma relação para correcção do ângulo de
alinhamento da sonda com a direcção do escoamento, assim como correlações entre as
pressões total e dinâmica do escoamento, com as pressões medidas pela sonda.
Nos ensaios efectuados, as pressões são registadas por manómetros de pressão, em
mm de coluna de água. O processamento dos dados ao longo de cada ensaio é feito por um
30
sistema de aquisição de dados, utilizando um módulo DAQ NI USB-6211 da National
Instruments, que faz a aquisição dos sinais em formato analógico dos instrumentos de medida
(nomeadamente os manómetros de pressão), convertendo-os posteriormente em sinais digitais
para serem interpretados pelo computador. Os dados são posteriormente adquiridos com
recurso ao software comercial de aquisição de dados LabVIEW 8.2.
Para os vários ensaios efectuados, foram utilizados programas criados para um
trabalho experimental anterior (ver [28]). Antes da realização dos mesmos, foi necessário
efectuar as calibrações dos vários instrumentos de medida nos programas antes da sua
execução. No caso dos manómetros de pressão, foi necessário introduzir, no programa, os
coeficientes de calibração correspondentes a cada manómetro, tendo em conta a escala que
está a ser utilizada (10% ou 100%). Os coeficientes de calibração relacionam o valor da
pressão lida do manómetro directamente com a tensão do sinal de saída. Os valores destes
coeficientes podem ser encontrados em [1]. É possível ainda alterar, em cada programa, os
valores da frequência de aquisição do sinal e o número de amostras retiradas em cada
aquisição.
4.1. Ensaio de calibração da sonda direccional
Este ensaio foi realizado no túnel aerodinâmico existente no piso 1 do Laboratório de
Mecânica dos Fluidos, o qual encontra-se acoplado a um ventilador. É possível variar o caudal
que passa pelo ventilador abrindo ou fechando manualmente a válvula de admissão de ar do
mesmo. Para além da sonda referida anteriormente, utilizou-se ainda um tubo de Pitot de modo
a registar a pressão total.
Nos ensaios realizados, foram utilizados cinco manómetros de pressão: três
manómetros para registar as pressões da sonda (um para cada furo), um manómetro para a
pressão do tubo de Pitot e um manómetro para fazer a diferença entre as pressões nos dois
furos laterais da sonda. À excepção deste último, uma das tomadas de pressão de cada um
dos restantes manómetros encontra-se aberta para a atmosfera. Deste modo, as pressões
registadas (quer pelos manómetros quer pelo programa de aquisição) são sempre relativas ao
valor da pressão atmosférica.
A sonda e o tubo de Pitot são colocados junto à secção de saída do túnel de vento,
onde se assume que o perfil de velocidades é uniforme e a pressão estática é igual à pressão
atmosférica. Desde modo, a pressão total medida pelo tubo de Pitot corresponde também à
pressão dinâmica do escoamento.
Assim, o objectivo deste ensaio consiste em encontrar uma relação entre a pressão do
tubo de Pitot com as pressões nos furos da sonda, de modo a que estas possam ser utilizadas
para determinar a pressão total e a pressão dinâmica do escoamento nos ensaios de
atravessamento da sonda na turbina.
O procedimento utilizado para a calibração foi baseado no realizado em [26], e consiste
em determinar os coeficientes relativos à correcção do ângulo, à pressão total (𝑝𝑡𝑜𝑡 ) e à
31
pressão dinâmica (𝑝𝑑𝑖𝑛 ) do escoamento. Estes coeficientes são definidos, respectivamente,
por:
𝐶𝛼 =𝑝7 − 𝑝9
𝑝8 − 𝑝 7−9
(4. 1)
𝐶𝑡𝑜𝑡 =𝑝8 − 𝑝𝑡𝑜𝑡𝑝8 − 𝑝 7−9
(4. 2)
𝐶𝑑𝑖𝑛 =𝑝8 − 𝑝 7−9
𝑝𝑑𝑖𝑛 (4. 3)
onde
𝑝 7−9 =𝑝7 + 𝑝9
2 (4. 4)
Nos dois ensaios descritos em seguida foi utilizado o programa probe_calibration.vi.
4.1.1. Obtenção da relação entre os coeficientes (CCtot, Cdin ) e o ângulo de
desalinhamento da sonda
Ao longo deste ensaio, rodou-se manualmente a sonda, em torno da haste, com o
auxílio de um medidor de ângulos digital, para vários ângulos contidos no intervalo entre -10º a
10º, em que o sentido de rotação pode ser verificado a partir da regra da mão direita, com o
polegar a apontar para a bolha de nível quando o ângulo aumenta. Após alteração da posição
da sonda, era introduzido o valor do ângulo no programa, e posteriormente era feita a aquisição
de dados, registando-se os valores das pressões nos três furos da sonda e a pressão no tubo
de Pitot. O alinhamento da sonda com a direcção do escoamento corresponde ao ângulo para
o qual as pressões em 7 e 9 são idênticas. Nesta situação, o furo 8, por estar alinhado com a
direcção do escoamento, regista a pressão total do escoamento (sem a devida correcção),
enquanto os furos 7 e 9 irão medir uma pressão inferior (em termos absolutos), já que estes
furos registam apenas uma parte da pressão dinâmica do escoamento, por não estarem
alinhados com a direcção do mesmo.
De referir ainda que neste ensaio a válvula de admissão do ventilador encontrava-se
totalmente aberta.
4.1.2. Obtenção da relação entre os coeficientes (CCtot, Cdin ) e o Nº de
Reynolds
Após a obtenção do ângulo para o qual a sonda está alinhada com a direcção do
escoamento, fixou-se esta posição e foram feitas várias leituras pelo programa, onde se fez
variar o caudal no ventilador, fechando progressivamente a válvula de admissão de ar. A cada
nova posição da válvula, registaram-se os valores das pressões nos furos 7, 8 e 9 da sonda,
32
assim como a pressão registada pelo tubo de Pitot. O objectivo foi verificar a influência do
número de Reynolds do escoamento, através da sonda, nos coeficientes adimensionais já
referidos.
4.2. Ensaios de atravessamento da sonda
Estes ensaios foram realizados na instalação experimental existente no piso 0 do
Laboratório de Mecânica dos Fluidos. Esta instalação é constituída, basicamente, pela turbina
(só com estator), câmara de pleno e ventilador. Com estes ensaios pretendeu-se determinar as
distribuições de pressão, velocidade e ângulos do escoamento, ao longo da coordenada radial.
Para tal, foram testados três caudais diferentes: Q=0,80m3/s, 1,75m
3/s e 3,0m
3/s. Uma vez que
os atravessamentos são efectuados a jusante do primeiro estator, a uma distância
relativamente grande das pás, é razoável assumir que o escoamento é já uniforme no troço
cilíndrico da conduta, onde a sonda é inserida. Por este motivo, foram feitos apenas dois
atravessamentos em posições diferentes na direcção tangencial. A distância entre estas duas
posições corresponde a metade do passo de uma pá, aproximadamente.
Nestes ensaios, foi utilizado um equipamento de controlo da posição radial e angular,
produzido pela Rotadata. O dispositivo onde a sonda foi montada possui dois graus de
liberdade: deslocamento transversal (na direcção da haste da sonda) e deslocamento angular
(em torno do eixo da haste). A posição da sonda (deslocamento e ângulo) pode ser
monitorizada e regulada através do controlador que está ligado ao dispositivo de
atravessamento. A posição da sonda, em cada instante, é transmitida ao computador por uma
interface que utiliza uma porta do tipo COM. Antes de cada ensaio, ajustou-se a posição da
sonda (centralizando a bolha) com o ângulo zero, lido do controlador do sistema de
atravessamento.
O programa utilizado nestes ensaios foi o 3hole_probe1.vi, o qual utiliza as subrotinas
zero_interp.vi, read_channels.vi e rad_dist.vi. Neste programa, introduz-se a posição inicial da
sonda e o número de pontos a varrer na direcção radial, o valor do ângulo inicial da sonda (A )
em relação à direcção axial e o respectivo incremento após a primeira iteração, os valores
extremos do ângulo de deslocamento da sonda, o número máximo de iterações para cada
ponto radial e o valor de tolerância para a diferença de pressões entre os furos 7 e 9 da sonda
(em Pa), para o qual assume-se que a sonda convergiu para a posição correcta (alinhada com
a direcção do escoamento). A distribuição de pontos obtidos na direcção radial, determinada na
subrotina rad_dist.vi, é dada por uma função sinusoidal, de modo a que sejam retirados mais
pontos junto às paredes (cubo e caixa), onde se esperam maiores variações nas propriedades
do escoamento.
A obtenção da direcção do escoamento é um processo iterativo, que pode ser
resumido nos seguintes passos:
1. A sonda coloca-se na posição inicial (A ), e é registada no programa a diferença de
pressões entre os furos 7 e 9 ( p =p7-p9);
33
2. Conforme o incremento introduzido, a sonda roda para uma nova posição no sentido
de contrariar a diferença de pressões, Ap , registada na primeira iteração;
3. Após o posicionamento da sonda na nova posição (B ), é novamente registada o
valor de p correspondente;
4. A partir dos 2 pontos ( ),,( AAp ),( BBp ) determinados nas primeiras duas
iterações, a subrotina zero_interp.vi faz uma interpolação linear, de modo a
encontrar a nova posição (C ), calculada a partir da seguinte expressão:
A
BA
ABAC p
pp
)(
5. Caso o valor do novo ângulo seja superior ao valor máximo possível, ou inferior ao
mínimo, é atribuído a C o valor limite do extremo onde se encontra. Caso contrário
C será dado pela expressão anterior;
6. O programa regista os valores das pressões nos 3 furos da sonda, (enquanto esta se
encontra na posição C );
7. O programa verifica se o valor de p correspondente à posição C está dentro do
valor da tolerância estipulada. Caso isto se verifique, sai do ciclo, grava os dados em
memória num ficheiro e a sonda desloca-se para uma nova posição radial, onde
repete todos os passos descritos anteriormente. Caso contrário, o programa irá
calcular a nova posição para onde a sonda se deslocará utilizando a expressão
descrita em 4, onde utiliza os pontos calculados nas duas últimas iterações (neste
caso o novo ponto A passaria a ser o B da iteração anterior, e o novo ponto B
corresponderia ao ponto C determinado na iteração anterior);
8. Caso o ciclo atinja o número máximo de iterações estipulado, grava os valores
registados em memória num ficheiro (mesmo que a sonda não tenha convergido
para a posição correcta), e a sonda desloca-se para nova posição radial.
A jusante da turbina, o escoamento passa por uma câmara de pleno, e por uma tubeira
convergente calibrada, de modo a que a velocidade do escoamento nesta região seja o mais
uniforme possível, e sem possuir componente tangencial. As pressões no interior da câmara e
da tubeira são registadas, com o objectivo de calcular o caudal volúmico (em m3/s), que é dado
pela seguinte expressão:
𝑄 = 𝐴𝑡 2
𝜌𝑘∆𝑝𝑡 (4. 6)
onde At é a área da secção de saída da tubeira (em m
2), ρ é a massa volúmica do ar (a qual se
considerou ser uma constante igual a 1,225 kg/m3, uma vez que o escoamento é
(4. 5)
34
incompressível), ∆𝑝𝑡 é a diferença entre as pressões na câmara de pleno e à saída da tubeira
em Pa e k é o coeficiente médio de descarga da tubeira, igual a 0,953.
Nestes ensaios foram utilizados cinco manómetros de pressão, três para registar as
pressões nos furos da sonda, um para medir a diferença de pressões entre os furos laterais e
um que regista a diferença de pressões entre a câmara de pleno e a tubeira, para efeito de
medição de caudal.
35
5. Resultados Experimentais
5.1. Ensaio de calibração da sonda direccional
De seguida são apresentados os resultados do ensaio de calibração da sonda, em
função do ângulo de desalinhamento da mesma em relação à posição de referência, ’.
A figura 5.1 mostra o valor da velocidade do escoamento no túnel de vento para cada
um dos ângulos utilizados no ensaio, sendo que esta se manteve aproximadamente constante
ao longo do mesmo, como seria de esperar, uma vez que não se alterou a posição da válvula.
Esta velocidade foi calculada através da pressão total medida pelo tubo de Pitot, que neste
caso corresponde à pressão dinâmica do escoamento:
totdin
p
ppv
22
Para a gama de ângulos analisada (-10º a 10º) verifica-se que a relação entre a
diferença de pressões nos furos 7 e 9 da sonda com o ângulo de desalinhamento é
sensivelmente linear (figura 5.2). Verifica-se ainda que a pressão no furo 8 mantém-se
aproximadamente constante, com tendência a diminuir quando o ângulo de desalinhamento é
relativamente elevado. De referir que os resultados apresentados na figura 5.2 vêm
adimensionalizados pela pressão total medida pelo tubo de Pitot. Verifica-se que o ângulo para
o qual a sonda tem a direcção exacta do escoamento corresponde a -1,24º (obtido por
regressão linear aos pontos experimentais).
Figura 5.1 - Velocidade absoluta do escoamento durante o ensaio de calibração da sonda
18.775
18.8
18.825
-15 -10 -5 0 5 10 15
vp(m/s)
’ (º)
Velocidade absoluta do escoamento, vp
(5.1)
36
Figura 5.2 - Pressões totais medidas pela sonda, em função de ’
Através das expressões apresentadas anteriormente calcularam-se os coeficientes de
calibração C, Ctot e Cdin. As evoluções destes parâmetros com o ângulo de desalinhamento da
sonda são representadas na figura 5.3. Sobrepôs-se uma curva de tendência à distribuição de
pontos de cada parâmetro, que no caso de Cé uma recta e no caso de Ctot e Cdin é um
polinómio de 2º grau. As equações que descrevem estas curvas, assim como os coeficientes
de aproximação das funções aos pontos, R2, são apresentados na tabela 5.1.
Figura 5.3 – Relação entre os coeficientes de calibração da sonda e o ângulo ’
Equação R2
C
0,0843’+0,1064
0,9997
Ctot
-0,0006’2-0,004’-0,0851
0,9952
Cdin
-0,0002’2-0,0006’+0,5604
0,9426
Tabela 5.1 - Equações das curvas de calibração
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-15 -10 -5 0 5 10 15
'(º)
1
2
3
4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-15 -10 -5 0 5 10 15
'(º)
1
2
3
p7/ptot
p9/ptot
(p7-p9)/ptot
p8/ptot
C
Ctot
Cdin
37
A figura 5.4 mostra os resultados obtidos para os coeficientes C, Ctot e Cdin na segunda
parte do ensaio de calibração, em função do número de Reynolds do escoamento através do
tubo de Pitot, o qual é definido como
Re =𝜌𝑣𝑝𝑑𝑝
𝜇 (5. 2)
onde 𝑑𝑝 corresponde ao diâmetro interior do tubo de Pitot (igual a 1mm), enquanto 𝜌 e 𝜇
correspondem à massa volúmica e à viscosidade dinâmica do ar, respectivamente. A posição
da sonda manteve-se constante ao longo do ensaio, tendo-se fixado o ângulo de
desalinhamento, em relação à posição de referência, em -1,2º, com o auxílio do medidor de
ângulos digital.
Para números de Reynolds superiores a 800 (que correspondem a velocidades do
escoamento iguais ou superiores a 12m/s) verifica-se que, os parâmetros C, Ctot e Cdin
mantêm-se aproximadamente constantes. Este resultado permite concluir que estes
coeficientes podem ser estimados, com elevada precisão, em função exclusivamente do ângulo
de desalinhamento ’ através das equações da tabela 5.1, nas regiões onde as velocidades
são mais elevadas. Para zonas onde o número de Reynolds é mais baixo, verifica-se, no
entanto, que os valores dos coeficientes de calibração têm uma variação assinalável com a
velocidade do escoamento. Isto poderá dever-se ao aumento da imprecisão relativa dos
instrumentos de medição quando as pressões médias do escoamento são menores. No
entanto, uma vez que não foi feita uma análise de incerteza dos resultados experimentais neste
trabalho, e dado que os valores de pressão obtidos nos ensaios de atravessamento foram
consideravelmente superiores aos obtidos no ensaio de calibração (para baixo número de
Reynolds), considerou-se que as expressões da tabela 5.1 são suficientemente precisas na
estimativa dos coeficientes de calibração nos ensaios de atravessamento da sonda.
Figura 5.4 - Variação dos coeficientes de calibração com o número de Reynolds
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Re
Influência do Nº de Reynolds nos coeficientes CCtot e Cdin
1
C0
Cq
C
Ctot
Cdin
38
Nos ensaios de atravessamento Cé determinado a partir das pressões nos três furos
da sonda. A partir deste valor, utilizou-se a expressão que relaciona Ccom ’ (da tabela 5.1) e
resolveu-se em ordem ao ângulo de desalinhamento da sonda, que posteriormente foi somado
ao ângulo registado pelo programa no ensaio de atravessamentos, de modo a obter o ângulo
do escoamento corrigido. Sabendo o valor de ’, calculam-se os coeficientes Ctot e Cdin, e por
último as pressões total e dinâmica do escoamento, utilizando as expressões (4.2) e (4.3).
5.2. Ensaios de atravessamento da sonda
Neste sub-capítulo apresentam-se diversos resultados obtidos dos ensaios de
atravessamento da sonda a jusante do estator, em função da coordenada radial, entre as
superfícies do cubo (R2,int,m=0,2m) e a da tubeira (R2,ext,m=0,295m), do troço cilíndrico da
conduta do modelo experimental. Nos resultados apresentados a coordenada radial, no eixo
das abcissas, vem adimensionalizada da seguinte forma:
𝑅∗ =r − R2,int ,m
R2,ext ,m − R2,int ,m
, 0 ≤ 𝑅∗ ≤ 1 (5. 3)
onde o índice m é referente às dimensões do modelo experimental, que, como já foi referido,
são diferentes das do protótipo esquematizado na figura 3.1. Este índice será omitido durante o
resto deste capítulo.
Após o cálculo do ângulo corrigido, e da pressão dinâmica pdin do escoamento, em
cada ponto ao longo da secção onde são efectuados os varrimentos da sonda, através do
procedimento descrito anteriormente, a velocidade absoluta do escoamento, e respectivas
componentes, são calculadas através das seguintes expressões:
dinpV
22
)sin( 222 VV t
)cos( 222 VV a
A velocidade axial média do escoamento através da secção onde são efectuados os
atravessamentos, para cada valor de caudal (𝑄) testado, é definida por:
𝑉2𝑎 ,𝑚𝑒𝑑 =𝑄
𝐴2
=𝑄
𝜋 R2,ext2 − R2,int
2 (5. 7)
Os gráficos seguintes mostram os perfis de velocidade ao longo da direcção radial, dos
dois atravessamentos efectuados para cada valor de caudal. É possível verificar que as curvas
correspondentes aos dois atravessamentos estão aproximadamente sobrepostas, o que
permite concluir que o escoamento nesta região pode ser considerado axissimétrico, com boa
(5. 4)
(5. 5)
(5. 6)
39
aproximação, confirmando a hipótese adiantada anteriormente. Existe um ligeiro afastamento
entre os valores dos dois atravessamentos na região próxima da caixa, o que poderá ficar a
dever-se ao efeito de sucção através do rasgo existente na superfície exterior da turbina, por
onde a sonda era inserida.
Figura 5.5 - Perfis de velocidade axial correspondentes aos 6 atravessamentos efectuados
Figura 5.6 - Perfis de velocidade tangencial correspondentes aos 6 atravessamentos efectuados
Os resultados apresentados de seguida correspondem, para cada valor de caudal, a
uma média dos valores obtidos nos dois atravessamentos.
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
V2
a(m
/s)
R*
Perfis de velocidade axial
Q=0,8 m3/s (1)
Q=0,8 m3/s (2)
Q=1,75 m3/s (1)
Q=1,75 m3/s (2)
Q=3,0 m3/s (1)
Q=3,0 m3/s (2)
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
V2
t(m
/s)
R*
Perfis de velocidade tangencial
Q=0,8 m3/s (1)
Q=0,8 m3/s (2)
Q=1,75 m3/s (1)
Q=1,75 m3/s (2)
Q=3,0 m3/s (1)
Q=3,0 m3/s (2)
Q=0,80m3/s (1)
Q=0,80m3/s (2)
Q=1,75m3/s (1)
Q=1,75m3/s (2)
Q=3,0m3/s (1)
Q=3,0m3/s (2)
Q=0,80m3/s (1)
Q=0,80m3/s (2)
Q=1,75m3/s (1)
Q=1,75m3/s (2)
Q=3,0m3/s (1)
Q=3,0m3/s (2)
40
Figura 5.7 - Variação do ângulo do escoamento ao longo da direcção radial
Figura 5.8 - Perfis de velocidade axial adimensionalizada pela velocidade média axial do escoamento
Figura 5.9 - Perfis de velocidade tangencial adimensionalizada pela velocidade média axial do escoamento
30.0
35.0
40.0
45.0
50.0
55.0
60.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1R*
2
1
5
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1R*
V2a/V2a,med
1
4
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1R*
V2t/V2a,med
1
4
3
Q=0,80m3/s
Q=1,75m3/s
Q=3,0m3/s
Q=0,80m3/s
Q=1,75m3/s
Q=3,0m3/s
Q=0,80m3/s
Q=1,75m3/s
Q=3,0m3/s
41
Figura 5.10 - Distribuição da quantidade de movimento angular ao longo da envergadura
É possível verificar na figura 5.7 que os ângulos do escoamento na zona do rotor são
menores relativamente à distribuição de ângulos de projecto, situando-se em média em torno
de 50º. Isto deve-se essencialmente aos efeitos tridimensionais e viscosos do escoamento real,
que não são previstos pelo método de projecto.
Na figura 5.10 apresenta-se a distribuição da quantidade de movimento angular do
escoamento, a qual é proporcional ao termo rV2t. A adimensionalização desta grandeza é feita
através da expressão
𝑟𝑉2𝑡 ∗ =
𝑟𝑉2𝑡
𝑅2,𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝑉2𝑎 ,𝑚𝑒𝑑
(5. 8)
A evolução deste parâmetro é praticamente constante entre 20% a 80% da
envergadura, tendendo para zero nas proximidades das paredes, já que a velocidade do
escoamento também tende para zero nestas zonas. Este resultado permite concluir, para o
projecto das pás do rotor, que estas deverão ter uma distribuição de carga aproximadamente
uniforme em quase toda a direcção radial.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1R*
(rV2t)*
1
4
3
Q=0,80m3/s
Q=1,75m3/s
Q=3,0m3/s
42
6. Análise Numérica
6.1. Introdução à Mecânica dos Fluidos Computacional
A Mecânica dos Fluidos Computacional (MFC) consiste num conjunto de técnicas
utilizadas para resolver numericamente as equações de transporte de um fluido em movimento,
entre as quais se encontram as equações da continuidade, de quantidade de movimento e da
energia. A utilização da MFC surgiu com grande evidência a partir da década de 60, com o
aparecimento dos computadores, e, com a disponibilização de software comercial a partir da
década de 70, tornou-se numa componente fundamental em projecto, investigação e
construção de equipamento militar e aeroespacial. Hoje em dia a MFC tem uma vasta
utilização nas mais variadas áreas de investigação científica, desde o projecto dos mais
diversos produtos para uso industrial, até ao estudo de fenómenos geofísicos e climáticos, o
que é devido, sobretudo, aos grandes avanços que se têm verificado ao longo dos anos,
nomeadamente no aumento da capacidade de memória e de velocidade de processamento
dos computadores.
Durante muito tempo, o projecto de diversos equipamentos, sobretudo no que diz
respeito a dimensionar e a garantir um modo de operação económico e em condições de
segurança, tais como permutadores de calor, fornos, torres de arrefecimentos, motores de
combustão interna, turbinas e bombas hidráulicas, entre outros, dependiam fortemente de
informação empírica gerada através da realização de ensaios utilizando modelos
experimentais. O principal problema resultante da informação empírica é que, em geral, esta
apenas pode ser gerada para uma restrita gama de valores para uma determinada grandeza,
por exemplo, de velocidade do fluido, de temperaturas, de escalas de tempo ou de
comprimento.
Para além disto, os custos associados à construção de um modelo experimental podem
ser incomportáveis. Embora o investimento em software comercial de MFC seja elevado, o
facto é que normalmente não se aproxima do custo de uma instalação experimental de
qualidade. Existem ainda outras vantagens da MFC em relação à abordagem experimental,
entre as quais a redução substancial de tempo do projecto, a possibilidade de extrair uma
grande variedade de resultados e a capacidade de estudar sistemas de elevada complexidade
(de difícil ou impossível aproximação a modelos experimentais).
Os fenómenos relacionados com o escoamento de um fluido podem ser descritos por
equações diferenciais, que não possuem solução analítica (à excepção de alguns casos
particulares). Para obter uma solução numérica para o problema é necessário aplicar um
método de discretização que aproxima as equações diferenciais a um sistema de equações
algébricas que podem ser resolvidas por um computador. As equações que regem o
movimento do fluido são aplicadas a pequenas regiões no interior do domínio do cálculo, de
modo a que a solução numérica forneça resultados ao longo de todo o domínio.
43
6.2. Descrição das simulações numéricas
O estudo numérico realizado consiste numa análise tridimensional, com recurso ao
código FLUENT 6.2, que utiliza uma técnica numérica denominada por Método dos Volumes
Finitos para resolver as equações que descrevem o escoamento. O domínio do problema é
subdividido num número finito de pequenos volumes de controlo, utilizando o gerador de malha
do GAMBIT (v.2.2.30).
O código FLUENT resolve a forma linearizada do sistema das equações de transporte
discretizadas, utilizando um algoritmo de resolução do tipo Gauss-Siedel, ponto-a-ponto, em
conjunto com um método algébrico de malha múltipla [31].
A metodologia utilizada na análise tridimensional pode ser resumida nos seguintes
passos:
Definição da geometria onde o problema é definido;
Criação da malha, isto é, divisão do domínio de cálculo num conjunto de pequenos
volumes de controlo;
Definição da modelação física do problema, que passa por definir as propriedades do
fluido utilizado, o algoritmo de cálculo que resolve o sistema de equações, o método de
discretização e o modelo de turbulência utilizado e respectivos parâmetros (no caso do
cálculo do escoamento viscoso)
Definição das condições de fronteira, o que corresponde a especificar as
características do escoamento nas superfícies que delimitam o domínio do problema;
Inicialização das variáveis e definição dos parâmetros de convergência da solução
Resolução numérica do sistema de equações
Análise da solução e pós-processamento dos dados
O modelo numérico utilizado no FLUENT para resolver o sistema de equações foi o
modelo segregado, que resolve as equações da continuidade, da quantidade de movimento e
da energia de uma forma sequencial. Este método possui vários algoritmos para resolver o
acoplamento entre a velocidade e a pressão, tendo-se optado por utilizar o algoritmo
SIMPLEC, já que segundo [31] este algoritmo é mais fiável na obtenção de convergência da
solução em relação ao algoritmo SIMPLE.
De referir que, em todas simulações efectuadas, trabalhou-se sempre com variáveis de
precisão simples, e foi utilizado o esquema de discretização de segunda ordem para todas as
variáveis. A pressão de referência, em todos os testes realizados, é definida na secção de
entrada, e corresponde à pressão atmosférica padrão, 101325 Pa. O fluido simulado é ar, com
massa volúmica e viscosidade constantes: 𝜌= 1,225 kg/m3 e 𝜇= 1,7894x10
-5 Pa.s.
44
Nesta análise foram estudados e comparados os casos do escoamento invíscido e
viscoso, sendo utilizadas, para cada caso, malhas híbridas constituídas essencialmente por
elementos tetraédricos e prismas triangulares.
De referir ainda que, em todas as simulações efectuadas, foram impostas as seguintes
condições:
Escoamento em regime estacionário;
Escoamento incompressível em todo o domínio (ρ constante), uma vez que o número
de Mach (Ma) do escoamento é, supostamente, sempre inferior a 0,3 [1];
Escoamento à entrada do domínio tem apenas componente axial, isto é, a velocidade
do escoamento a montante do estator (numa secção suficientemente distante do bordo
de ataque) não possui componentes tangencial nem radial;
6.3. Descrição das equações de transporte
Nesta secção serão apresentadas as equações que regem os escoamentos analisados
neste estudo. Uma vez que, no estudo efectuado, não houve interesse em determinar o campo
de temperaturas, a equação da energia não foi resolvida durante as simulações realizadas.
Assim, para os escoamentos em análise, serão resolvidas as equações da continuidade e de
balanço de quantidade de movimento, que correspondem às equações de Euler, para
escoamento invíscido, e às equações de Navier-Stokes em valor médio, para escoamento
viscoso.
6.3.1. Escoamento invíscido
O escoamento diz-se invíscido quando a dissipação e os fenómenos de transporte
associados à viscosidade podem ser desprezados. A equação da continuidade (ou equação de
balanço de massa) num elemento infinitesimal tridimensional pode ser escrita como:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇ ∙ 𝜌𝑉 = 0 (6. 1)
para escoamento incompressível, em regime estacionário, e considerando um referencial
cartesiano (x,y,z), a equação anterior surge na forma simplificada:
∇ ∙ 𝑉 = 0 𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜕𝑣
𝜕𝑦+𝜕𝑤
𝜕𝑧= 0 (6. 2)
em que u, v e w correspondem às componentes da velocidade segundo x, y e z,
respectivamente.
O balanço da quantidade de movimento a um fluido consiste na aplicação da 2ª lei de
Newton a um volume de controlo. É traduzido por um conjunto de três equações escalares
45
(relativas às três direcções possíveis num referencial cartesiano (x, y, z)), que correspondem às
equações de Euler para escoamento invíscido. Para escoamento permanente, incompressível,
desprezando as forças gravíticas do próprio fluido e na ausência de outras forças exteriores, o
balanço de quantidade de movimento reduz-se à seguinte forma:
𝑉 ∙ ∇𝑉 +1
𝜌∇𝑝 = 0 𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗+
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖= 0 (6. 3)
onde p corresponde à pressão estática do escoamento. Esta equação pode ser expandida nas
suas três componentes:
𝑥: 𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧+
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥= 0 (6. 4)
𝑦: 𝑢𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧+
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑦= 0 (6. 5)
𝑧: 𝑢𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧+
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0 (6. 6)
6.3.2. Escoamento viscoso
O escoamento viscoso turbulento incompressível é simulado no FLUENT através da
resolução das equações de Navier-Stokes para o campo médio (Reynolds-average Navier-
Stokes equations, RANS). Nas equações do campo médio, as variáveis são decompostas em
duas componentes, uma média e um termo de flutuação. Assim, para uma variável genérica, ,
tem-se:
∅ = ∅ + ∅′ (6. 7)
Usando esta decomposição, a equação da continuidade pode ser reescrita na seguinte
forma:
∇ ∙ 𝑉 = 0 𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜕𝑣
𝜕𝑦+𝜕𝑤
𝜕𝑧= 0 (6. 8)
Por sua vez, a equação de balanço de quantidade de movimento, para uma direcção
genérica 𝑥𝑖 , é dada por:
𝑢 𝑗𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑗
+1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖=
1
𝜌
𝜕
𝜕𝑥𝑗 𝜇
𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑥𝑖−
2
3𝛿𝑖𝑗
𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑖
+1
𝜌
𝜕𝑅𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗 (6. 9)
46
Em relação à equação de Euler para o balanço de quantidade de movimento, surgem
dois novos termos no 2º membro da equação, que representam o efeito das tensões viscosas
no seio do fluido, onde 𝑅𝑖𝑗 corresponde ao tensor de Reynolds:
𝑅𝑖𝑗 = −𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗
′ (6. 10)
A hipótese de Boussinesq relaciona o tensor de Reynolds com a viscosidade
turbulenta, μT , e com a energia cinética turbulenta, k:
𝑅𝑖𝑗 = −𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗
′ = 𝜇𝑇 𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑥𝑖 −
2
3 𝜌𝑘 + 𝜇𝑇
𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑖
𝛿𝑖𝑗 (6. 11)
De modo a fechar o sistema de equações, é necessário incluir equações adicionais que
permitam determinar as incógnitas μT e k. Para tal, o FLUENT disponibiliza diversos modelos
de turbulência, de entre os quais se optou por escolher o modelo k-ε standard, de duas
equações. Nas zonas próximas das paredes este modelo não resolve a sub-camada laminar
(onde os valores do parâmetro de turbulência indicativo da espessura dos elementos de malha
adjacentes às superfícies sólidas, y+, devem ser
inferiores a 5), pelo que a espessura da
primeira camada de elementos dentro da camada limite deverá situar-se na região onde é
aplicada a lei logarítmica (onde tipicamente 30<y+<300). Deste modo, a malha não necessita
ser muito refinada nas zonas circundantes às paredes, o que permite reduzir os recursos
computacionais necessários, quer para a geração da malha quer para a realização do cálculo.
Este modelo semi-empírico é o mais simples dos modelos de turbulência a duas
equações, onde a solução das equações de transporte para a energia cinética turbulenta, k, e
correspondente taxa de dissipação, ε, permite que a velocidade turbulenta e a escala de
comprimentos sejam independentemente calculadas. A aplicação deste modelo assume que o
escoamento é completamente turbulento em todo o domínio e que os efeitos de viscosidade
molecular são desprezáveis face à difusão turbulenta.
As equações de transporte de k e ε para escoamento permanente e incompressível
são:
𝜌𝜕
𝜕𝑥𝑖 𝑘𝑢𝑖 =
𝜕
𝜕𝑥𝑗 𝜇 +
𝜇𝑡𝜍𝑘
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗 + 𝐺𝑘 − 𝜌휀 (6. 12)
𝜌𝜕
𝜕𝑥𝑖 휀𝑢𝑖 =
𝜕
𝜕𝑥𝑗 𝜇 +
𝜇𝑡𝜍휀 𝜕휀
𝜕𝑥𝑗 + 𝐶1휀
휀
𝑘𝐺𝑘 − 𝐶2휀 𝜌
휀2
𝑘 (6. 13)
A variável 𝐺𝑘 representa a geração de energia cinética turbulenta devido aos
gradientes da velocidade média, sendo definida por:
47
𝐺𝑘 = −𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗
′ 𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖 (6. 14)
Para avaliar Gk de forma consistente com a hipótese de Boussinesq, é utilizada a
expressão:
𝐺𝑘 = 𝜇𝑡𝑆2 (6. 15)
Na equação anterior, S é o modulo da taxa de deformação, definido por:
𝑆 ≡ 2𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑗 (6. 16)
em que o tensor de deformação, 𝑆𝑖𝑗 , é definido como:
𝑆𝑖𝑗 =1
2 𝜕𝑢 𝑖𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑥𝑖 (6. 17)
A viscosidade turbulenta relaciona-se com os valores de k e 휀 do seguinte modo:
𝜇𝑇 = 𝜌𝐶𝜇𝑘2
휀 (6. 18)
Os parâmetros 𝐶1휀 , 𝐶2휀 e 𝐶𝜇 são constantes do modelo de turbulência, enquanto 𝜍𝑘 e 𝜍휀
são os números de Prandtl para k e para 휀, respectivamente. Por defeito, os valores assumidos
para estas constantes são: 𝐶1휀 =1,44, 𝐶2휀 =1,92, 𝐶𝜇 =0,09, 𝜍𝑘 =1,0, 𝜍휀 =1,3.
Para os elementos que se encontram dentro da região da sub-camada linear, este
modelo de turbulência é combinado com uma função de parede. De entre as várias opções
disponíveis no código FLUENT, seleccionou-se a opção enhanced wall treatment. Esta opção
permite resolver as equações de transporte do escoamento nas zonas mais próximas das
paredes (y+<30), através de aplicação de funções de parede semi-empíricas.
6.4. Descrição do domínio e geração da malha
O domínio em estudo divide-se, essencialmente, em três regiões: a região de entrada,
com um comprimento correspondente a três vezes o valor da corda axial da pá
(aproximadamente), a zona da pá, e a região de saída, que se prolonga até à parte cilíndrica
do modelo da conduta.
A turbina modelada possui à entrada um difusor, com o objectivo de impor ao
escoamento a direcção pretendida na secção de entrada, que não foi modelada no GAMBIT.
Como alternativa, optou-se por colocar um prolongamento cilíndrico da conduta da turbina, a
48
montante da zona cónica onde se encontra o estator. Pretende-se, com a colocação desta
região, posicionar a superfície de entrada do escoamento numa secção suficientemente
afastada da zona da pá, de modo a que o escoamento junto à pá não seja afectado pela
condição de fronteira imposta naquela superfície.
A zona do domínio onde se encontra a pá do estator foi criada utilizando a topologia
turbo do GAMBIT, descrita em [32] e [33]. As coordenadas da pá em três secções ao longo da
envergadura (junto ao cubo, junto à caixa e numa secção intermédia) são calculadas por uma
rotina programada em MATLAB, semelhante à descrita anteriormente, e posteriormente
escritas num ficheiro de extensão *.tur , o qual pode ser importado pelo GAMBIT. A única
diferença entre a forma dos perfis definidos para o GAMBIT, em relação aos perfis utilizados no
cálculo pelo método de painel reside na forma do bordo de fuga, que agora é arredondado.
A partir destas coordenadas, o GAMBIT gera a pá e uma região tridimensional em
torno desta, que representa o volume de controlo, delimitado pelas superfícies do cubo e da
caixa da turbina, por duas superfícies periódicas e pelas secções de entrada e de saída do
escoamento neste sub-domínio. Estas secções situam-se a uma distância de 100mm, na
direcção axial, dos bordos de ataque e de fuga da pá, respectivamente.
A região de saída consiste, basicamente, numa espiral que se desenvolve em torno do
eixo da turbina. Com esta espiral pretende-se representar, de modo aproximado, a trajectória
esperada das linhas de corrente do escoamento a jusante do estator, previsto pelo método de
projecto.
De referir que as dimensões do domínio de estudo correspondem às dimensões do
protótipo, apresentadas na figura 6.1.
Figura 6.1 - Representação do domínio de estudo no FLUENT
Em cada um dos estudos efectuados (escoamento invíscido e viscoso) foram geradas
cinco malhas híbridas. Estas malhas são constituídas essencialmente por prismas triangulares
e elementos tetraédricos, geradas a partir de malhas não estruturadas nas faces, existindo
apenas elementos hexaédricos em torno da pá, que definem a camada limite. De referir que,
para esta análise, tentou-se gerar malhas estruturadas, de modo a comparar os resultados
obtidos com as malhas híbridas. No entanto, devido à grande torção da zona a jusante do
bordo de fuga da pá, aliado a restrições impostas pelo gerador de malha do GAMBIT (na
49
definição de faces periódicas, por exemplo), não foi possível uma criar uma malha estruturada,
em todo o domínio, com uma qualidade aceitável, em termos gerais. Foram criadas malhas que
consistiam numa combinação de elementos hexaédricos nas zonas de entrada e na zona da pá
com prismas triangulares na zona de saída do domínio, no entanto os resultados obtidos
através do cálculo realizado pelo FLUENT eram de pouca confiança, pelo que decidiu-se não
apresentá-los no presente trabalho.
As malhas geradas diferem, essencialmente, no número total de elementos que
compõem o domínio. Na tabela 6.1 é possível verificar o número de elementos utilizados em
cada malha, assim como a distribuição dos mesmos na direcção axial, radial, tangencial e em
torno da pá.
Como se pode verificar na figura 6.2, nas várias malhas geradas existe uma maior
concentração de elementos de malha nas regiões mais próximas do bordo de ataque e do
bordo de fuga da pá, uma vez que é nestas zonas que se esperam maiores variações das
variáveis que definem o escoamento, nomeadamente a velocidade e a pressão.
Malha
Total
Axial
Radial
Tangencial à entrada
Tangencial
à saída
Pá
H1
266090
359
20
30
24
200
H2
370964
422
23
44
28
248
H3
522331
480
27
50
30
268
H4
705292
509
28
55
36
364
H5
924494
608
30
60
40
400
Tabela 6.1 - Distribuição de elementos nas malhas utilizadas nas diferentes direcções
a)
50
b) c)
Figura 6.2 - Representação das malhas geradas no GAMBIT: a) em torno da pá; b) junto ao bordo de ataque; c) junto ao bordo de fuga
As malhas utilizadas nos cálculos do escoamento invíscido e viscoso são semelhantes,
no número de elementos e na distribuição dos mesmos nas várias direcções, diferindo apenas
no refinamento necessário em torno da pá. Para a análise do escoamento viscoso, criou-se
uma malha do tipo camada limite em torno das faces que definem a forma da pá. Uma vez que
é utilizado o modelo k-ε para calcular os parâmetros de turbulência do escoamento, não é
necessário um refinamento muito grande da malha junto à pá, uma vez que a sub-camada
laminar não é resolvida. Tipicamente, a espessura da primeira camada de elementos deverá
ser tal que os valores de y+ se situem entre 30 e 300 [31].
Tendo isto em consideração, e após um cálculo preliminar, verificou-se que a primeira
camada de elementos (hexaédricos) em torno da pá deveria ter uma espessura mínima de
3mm. Nas superfícies do cubo e da caixa não foram geradas este tipo de elementos, mas
houve a atenção em garantir que o refinamento da malha na direcção radial garantisse a
condição referida anteriormente.
A qualidade das malhas utilizadas pode ser verificada a partir da análise dos
parâmetros de distorção dos elementos de malha. De entre os vários parâmetros disponíveis
no código GAMBIT para definir a qualidade dos elementos de malha, utilizou-se o ângulo de
distorção (Equiangle Skew), definido como:
𝑄𝐸𝐴𝑆 = 𝑚𝑎𝑥 𝜃𝑚𝑎𝑥 − 𝜃𝑒𝑞
180 − 𝜃𝑒𝑞,𝜃𝑒𝑞 − 𝜃𝑚𝑖𝑛
𝜃𝑒𝑞 (6. 19)
onde 𝜃𝑚𝑎𝑥 e 𝜃𝑚𝑖𝑛 são o ângulo máximo e mínimo, em graus, entre as arestas do elemento, e
𝜃𝑒𝑞 é o ângulo correspondente a um elemento equilateral de forma semelhante. Para elementos
tetraédricos, 𝜃𝑒𝑞= 60º, e para elementos hexaédricos, 𝜃𝑒𝑞= 90º. Quanto mais próximo de 0 for o
valor deste parâmetro, melhor a qualidade do elemento. Na tabela 6.2 é possível visualizar a
distribuição dos elementos pelas diversas gamas de qualidade.
51
Malha
Ângulo de distorção
0-0,25
0,25-0,5
0,5-0,75
0,75-1
Pior Elemento
H1
65,89%
30,85%
3,18%
0,08%
0,873
H2
62,15%
33,97%
3,75%
0,09%
0,994
H3
60,44%
35,39%
4,05%
0,12%
0,896
H4
59,09%
36,76%
4,06%
0,10%
0,974
H5
61,85%
34,19%
3,87%
0,08%
0,987
Tabela 6.2 – Distribuição em termos percentuais de elementos nas malhas utilizadas, segundo o parâmetro de distorção
6.5. Condições de fronteira
As condições de fronteira especificam valores para determinadas variáveis nas
fronteiras do domínio. Neste estudo foram utilizadas quatro tipos de condição de fronteira:
entrada, saída, superfície periódica e superfície sólida.
6.5.1. Superfície de entrada
Na fronteira de entrada, optou-se por impor a velocidade do escoamento, definida no
código FLUENT como Velocity Inlet. Foi imposto ainda direcção axial ao escoamento através
desta superfície. Deste modo, o valor introduzido corresponde à velocidade axial média do
escoamento na secção de entrada, de modo a que o caudal calculado corresponda ao valor de
projecto. O caudal de projecto foi calculado a partir do ponto de funcionamento que maximiza o
rendimento da turbina, o qual depende apenas do valor do coeficiente de caudal, ∅:
∅ =𝑄
𝜔𝐷3 𝑄 = ∅ ∙ 𝜔𝐷3 (6. 20)
Na definição do parâmetro ∅, utilizou-se o diâmetro exterior da zona cilíndrica da
conduta – D=D2,ext =0,7m. Por sua vez, para a velocidade de rotação 𝜔 escolheu-se um valor
de 1000 rpm. Utilizando ∅=0,09 (ponto de rendimento máximo da turbina), obtém-se um caudal
de 3,2327m3/s. Dividindo este valor pela área de passagem da secção de entrada
(A1=0,5615m2), obteve-se a velocidade média do escoamento através desta secção:
𝑉𝑖𝑛 = 5,757 m/s
52
Na superfície de entrada, para o caso do escoamento viscoso, são impostos ainda os
parâmetros de turbulência, nomeadamente a intensidade de turbulência (𝐼), e o diâmetro
hidráulico da secção (Dh).
A intensidade de turbulência, 𝐼, é definida como a razão entre uma média das
flutuações de velocidade, 𝑢’, e a velocidade média do escoamento num dado ponto, 𝑢𝑚𝑒𝑑 , e
pode ser utilizado para determinar a energia cinética turbulenta, k, através da seguinte
expressão:
𝑘 =3
2𝐼2𝑢𝑚𝑒𝑑
2 (6. 21)
Nas simulações efectuadas, utilizou-se 𝐼 =5%, conforme recomendado em [31].
O diâmetro hidráulico, para uma secção anular, corresponde à diferença entre os
diâmetros exterior e interior da mesma. Assim, para as dimensões do protótipo, tem-se
𝐷ℎ = 0,23976 m. O diâmetro hidráulico está relacionado com a escala de comprimento de
turbulência, 𝑙 [31]. A partir dos valores de 𝑙 e k é possível determinar a taxa de dissipação de
turbulência, ε , na secção de entrada:
ε = 𝐶𝜇3/4 𝑘
3/2
𝑙 (6. 22)
6.5.2. Superfície de saída
Na fronteira de saída do domínio utilizou-se a condição de saída livre, designada no
código FLUENT como Outflow, o que corresponde a efectuar uma extrapolação do valor das
variáveis de grau zero, a partir do interior do domínio, sem ser necessário impor, deste modo,
quaisquer valores às variáveis.
6.5.3. Superfícies periódicas
Uma vez que o escoamento em regime estacionário através da cascata de pás de uma
turbina é de natureza periódica, é apenas necessário estudar o comportamento do escoamento
em torno de uma pá. No código FLUENT, isto é alcançado através da definição de superfícies
periódicas, ou seja, superfícies com periodicidade rotacional localizadas entre duas pás do
estator. Assim, o FLUENT iguala as propriedades do escoamento numa célula de uma
superfície às propriedades da célula equivalente localizada na face periódica oposta. Para tal, é
necessário garantir que a malha gerada em duas superfícies periódicas opostas seja
exactamente igual. As interfaces entre as 3 regiões do domínio também são tratadas como
superfícies periódicas, embora a periodicidade neste caso seja do tipo translação.
53
6.5.4. Superfícies sólidas
Correspondem às superfícies do intradorso e extradorso da pá, e às superfícies do
cubo e da caixa da turbina. Nestas superfícies, é imposta a condição de impermeabilidade. Nas
simulações com escoamento viscoso, foi especificada ainda a condição de não
escorregamento nestas superfícies.
54
7. Resultados Numéricos
7.1. Convergência da solução
O critério de convergência estabelecido para os valores dos resíduos das equações foi
de 10-6
, quer para o cálculo viscoso, quer para o invíscido, em todas as simulações efectuadas.
No cálculo viscoso, o resíduo da continuidade (o mais elevado, em geral) estabilizou, em torno
de 1x10-5
, para todas as simulações realizadas, tendo sido necessário por vezes, sobretudo
para as malhas mais refinadas, baixar bastante os factores de sub-relaxação. Os valores
obtidos para os restantes resíduos foram, em geral, entre uma a duas ordens de grandeza
inferiores ao do resíduo da continuidade. Verificou-se que no cálculo invíscido a solução
convergiu mais rapidamente, e as iterações, em geral, demoravam menos tempo.
As figuras 7.1 e 7.2 mostram as evoluções dos resíduos durante o processo de cálculo
das malhas mais refinadas utilizadas:
Figura 7.1 - Evolução do resíduo durante o processo iterativo no cálculo do escoamento viscoso
Figura 7.2 - Evolução do resíduo durante o processo iterativo no cálculo do escoamento invíscido
55
7.2. Análise de parâmetros integrais do escoamento
Nas tabelas seguintes são apresentados alguns parâmetros integrais relevantes,
obtidos para os casos em que foi obtida solução. Estes parâmetros correspondem a valores
médios de algumas das propriedades do escoamento obtidas nas secções de entrada e saída
do domínio de cálculo. Os parâmetros escolhidos nesta análise foram as pressões totais do
escoamento, nas secções de entrada e de saída do domínio (𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑖𝑛 e 𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑜𝑢𝑡 ) e o ângulo médio
do escoamento na secção de saída, ∝ 2.
Nas designações das malhas, surgem os índices V e I, referentes ao caso de estudo
(viscoso ou invíscido). Os valores de pressão indicados têm como referência uma pressão
estática de 0 Pa à entrada do domínio.
Malha
𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑖𝑛 (Pa)
𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑜𝑢𝑡 (Pa)
∝ 2 (º) Malha
𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑖𝑛 (Pa)
𝑝 𝑡𝑜𝑡 ,𝑜𝑢𝑡 (Pa)
∝ 2 (º)
V-H1
20,154
-73,639
54,093
I-H1
20,301
12.108
58,683
V-H2
19,955
-76,090
54,790
I-H2
20,295
11,816
59,089
V-H3
19,818
-77,099
54,858
I-H3
20,300
13,064
59,160
V-H4
19,781
-76,640
54,845
I-H4
20,317
13,953
59,174
V-H5
19,687
-76,415
54,832
I-H5
20,298
14,487
59,265
Tabela 7.1 - Valores dos parâmetros integrais nas fronteiras de entrada e saída do domínio, para cada malha
Comparando os resultados obtidos para o cálculo viscoso e invíscido, verifica-se que a
diferença entre as pressões totais à entrada e à saída do domínio é maior no caso do
escoamento viscoso, uma vez que neste caso as perdas do escoamento devido ao efeito do
atrito são contabilizadas, o que também pode justificar o menor ângulo médio do escoamento à
saída, em relação ao escoamento invíscido. Teoricamente, no caso do cálculo invíscido, a
pressão total média do escoamento à saída deveria ser igual à pressão total média à entrada, o
que não acontece presumivelmente devido a erro numérico do cálculo.
Os resultados apresentados nas próximas secções correspondem aos resultados
obtidos para as malhas mais refinadas, para as quais se obteve solução em cada um dos
casos de estudo.
56
7.3. Verificação dos valores do parâmetro y+
De seguida apresentam-se os valores de y
+ junto às superfícies sólidas pertencentes
ao domínio em estudo, obtidos do cálculo viscoso. Como se pode verificar, para os dois tipos
de malha utilizados neste estudo, os valores de y+ situam-se dentro da gama pré-definida
(30<y+<300) na quase totalidade das superfícies da pá, do cubo e da caixa, sendo que, na sua
maioria, estes valores estão situados no intervalo 40< y+ <100, o que indica que o refinamento
da malha junto a estas superfícies é suficiente. Existem alguns elementos de malha para os
quais foram obtidos valores de y+ inferiores a 30, nomeadamente junto aos bordos de ataque e
de fuga da pá e nas superfícies do cubo e da caixa na zona cilíndrica de entrada, no entanto a
utilização das funções de parede permite estimar o campo de velocidades nas sub-camadas
viscosa e de transição. De notar que a espessura da primeira camada de elementos de malha
em torno da pá foi mantida constante, para todas as malhas utilizadas no cálculo viscoso, de
modo a que a primeira camada de elementos se situasse no interior da região de aplicação da
lei logarítmica (escoamento completamente turbulento). Por sua vez, nas superfícies da caixa e
do cubo, a espessura da primeira camada de elementos varia consoante o refinamento da
malha na direcção radial.
Figura 7.3 - Valores de y
+ obtidos sobre a superfície da pá
Figura 7.4 - Valores de y
+ obtidos sobre as superfícies do cubo e da caixa
y+
x (m)
y+
x (m)
57
7.4. Comparação entre os resultados do cálculo tridimensional e do
método de projecto
De modo a confirmar a validade do método utilizado para o projecto da pá, decidiu-se
comparar alguns resultados do método de painel com os valores obtidos através do cálculo
realizado no código FLUENT (dos escoamentos invíscido e viscoso), incluindo as curvas de Cp
para várias secções ao longo da envergadura da pá e os perfis de velocidade em várias
secções transversais às paredes da turbina, a jusante do bordo de fuga. Foram seleccionadas,
para tal efeito, secções de coordenada meridional e de envergadura constantes, e equivalentes
às utilizadas no cálculo realizado pelo método de painel.
As figuras 7.5 a 7.7 apresentam a distribuição de Cp em 3 secções de envergadura
constante, nomeadamente junto ao cubo, a meio da envergadura e junto à caixa, onde se
comparam as evoluções obtidas pelo método de painel com as curvas obtidas pelo FLUENT,
através do cálculo do escoamento viscoso. Verifica-se que a distribuição de Cp obtida pelo
FLUENT possui uma forma próxima da curva obtida pelo método de painel, sobretudo na
secção intermédia (R*=0,5). Junto ao bordo de ataque o valor de Cp tende para 1 (ponto de
estagnação), o que não se verifica no caso do cálculo viscoso. Tal poderá estar relacionado
com o facto de ter sido utilizada, em todas as simulações realizadas, a opção de resolver as
equações no centro dos elementos da malha (Cell based), no código FLUENT, ao invés de nos
nós. A diferença entre as evoluções das curvas de Cp no bordo de fuga, entre o cálculo pelo
método de painel e o FLUENT, deve se ao facto da geometria definida para esta zona ser
diferente, já que, como referido anteriormente, no primeiro caso simulou-se a presença de uma
esteira nesta região, enquanto na análise tridimensional efectuada o bordo de fuga possui uma
forma arredondada.
As figuras 7.8 a 7.11 apresentam as distribuições do ângulo do escoamento e os perfis
de velocidades para os dois casos de estudo analisados, em secções perpendiculares às
paredes da conduta. Consideraram-se duas secções de coordenada meridional (x’) constante
no interior da zona cónica da conduta, a jusante do estator. A distância das secções
consideradas ao bordo de fuga da pá vem adimensionalizada pelo valor da corda junto ao
cubo. Na definição de Cp (ver equação 3.8), no FLUENT, utilizou-se como condições de
referência, à semelhança do método de painel, a pressão estática e a velocidade do
escoamento na secção de entrada:
pref =0 Pa
Vref=Vin=5,757m/s
A adimensionalização das velocidades é feita também, pela velocidade na secção de
entrada do domínio, Vin,. Apresenta-se ainda, na figura 7.12, a evolução para a quantidade de
movimento angular, que é proporcional à quantidade rV2t. Este parâmetro é apresentado na
forma adimensionalizada do seguinte modo:
58
𝑟𝑉2𝑡 ∗ =
𝑟𝑉2𝑡
𝑅1,𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝑉𝑖𝑛 (7. 1)
Figura 7.5 - Distribuição de Cp na secção junto ao cubo
Figura 7.6 - Distribuição de Cp na secção de envergadura intermédia
Figura 7.7 - Distribuição de Cp na secção junto à caixa
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 20 40 60 80 100
Cp
x/c (%)
R*=0
Método de painel
FLUENT-viscoso
FLUENT-invíscido
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 20 40 60 80 100
Cp
x/c (%)
R*=0,5
Método de painel
FLUENT-viscoso
FLUENT-inviscido
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
0 20 40 60 80 100
Cp
x/c (%)
R*=1
Método de painel
FLUENT-viscoso
FLUENT-inviscido
59
a) b)
Figura 7.8 - Ângulo do escoamento na zona cónica, a jusante do estator
a) b)
Figura 7.9 - Perfil de velocidades meridional na zona cónica, a jusante do estator
a) b)
Figura 7.10 - Perfil de velocidades tangencial na zona cónica, a jusante do estator
50.0
52.0
54.0
56.0
58.0
60.0
62.0
64.0
0 0.25 0.5 0.75 1
(º)
R*
x'/c=1,6
Método de painel
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
50.0
52.0
54.0
56.0
58.0
60.0
62.0
64.0
0 0.25 0.5 0.75 1
2(º)
R*
x'/c=1,73
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 0.25 0.5 0.75 1
V2x'/Vin
R*
x'/c=1,6
Método de painel
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 0.25 0.5 0.75 1
V2x'/Vin
R*
x'/c=1,73
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0 0.25 0.5 0.75 1
V2t/Vin
R*
x'/c=1,6
Método de painel
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0 0.25 0.5 0.75 1
V2t/Vin
R*
x'/c=1,73
60
a) b)
Figura 7.11 - Perfil de velocidades na direcção da envergadura na zona cónica, a jusante do estator
a) b)
Figura 7.12 - Distribuição da quantidade de movimento angular do escoamento, a jusante do estator
As diferenças entre as curvas de Cp obtidas pelo FLUENT e pelo método de painel são
maiores nas secções junto ao cubo e à caixa (sobretudo junto ao bordo de fuga, onde as
velocidades são maiores), e justificam-se pelo facto de as velocidades obtidas em torno destes
perfis serem muito diferentes, num e noutro caso, enquanto na secção intermédia as curvas de
Cp são quase sobrepostas, pelo facto de as velocidades determinadas pelo FLUENT e no
método de painel, na zona intermédia de envergadura, serem muito próximas. Relativamente
às curvas obtidas do FLUENT, para o caso viscoso e invíscido, verifica-se que são quase
idênticas.
Verifica-se que o cálculo invíscido realizado no FLUENT prevê, com boa aproximação,
a distribuição de ângulos de projecto do escoamento, com uma diferença máxima de
aproximadamente 2º em relação ao cálculo pelo método de painel nas duas secções
analisadas. A diferença entre a evolução do ângulo nas duas secções, para o caso do cálculo
viscoso, poderá dever-se ao facto de, neste caso, o escoamento não ser uniforme quando
passa pela primeira secção. Os perfis de velocidades dos dois casos estudados no FLUENT
são similares, apesar de, no caso do cálculo viscoso, a componente tangencial ser inferior,
-0.5
-0.3
-0.1
0.1
0.3
0.5
0 0.25 0.5 0.75 1
V2r'/Vin
R*
x'/c=1,6
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
-0.5
-0.3
-0.1
0.1
0.3
0.5
0 0.25 0.5 0.75 1
V2r'/Vin
R*
x'/c=1,73
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 0.25 0.5 0.75 1
(rV2t)*
R*
x'/c=1,6
Método de painel
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 0.25 0.5 0.75 1
(rV2t)*
R*
x'/c=1,73
61
devido às perdas inerentes deste tipo de escoamento. Os perfis de velocidade referentes ao
cálculo pelo método de painel têm uma evolução diferente em relação às distribuições
determinadas do FLUENT, uma vez que, no caso do método de painel, os perfis de
velocidades (axial e tangencial) são determinados com base numa distribuição de rV2t
constante ao longo da direcção radial, o que implica velocidade axial constante nesta direcção,
segundo a teoria de equilíbrio radial. No entanto, é visível na figura 7.12 que esta condição não
se verifica. Entre as duas secções consideradas, verifica-se que a distribuição de rV2t
praticamente não sofre variação, devido à conservação da quantidade de movimento angular.
É possível verificar ainda, na figura 7.11 a existência de uma componente da
velocidade do escoamento perpendicular à direcção meridional, que no entanto é muito inferior
às componentes meridional e tangencial.
7.5. Verificação de efeitos tridimensionais no escoamento
As figuras seguintes mostram as distribuições de pressão em torno da pá, para o
cálculo viscoso (figura 7.13) e invíscido (figura 7.14). É possível verificar que a queda de
pressão é muito superior do lado do extradorso da pá, confirmando as evoluções de Cp obtidas
a partir do cálculo pelo método de painel. No entanto, ao contrário do que se verificou no
método de painel, o pico de sucção é maior nos perfis mais próximos da superfície do cubo. É
visível ainda a existência de uma região junto ao bordo de fuga, do lado do extradorso, onde
existe um intenso gradiente de pressão adverso, sendo possível, portanto, a ocorrência de
separação da camada limite nesta região, no caso do escoamento viscoso.
a) b)
Figura 7.13 - Distribuição de Cp em torno da pá no caso viscoso: a) extradorso; b) intradorso
62
a) b)
Figura 7.14 - Distribuição de Cp em torno da pá no caso invíscido: a) extradorso; b) intradorso
A figura 7.15 mostra a distribuição de pressão total em torno da pá, em escoamento
viscoso, que permite dar uma ideia das perdas do escoamento por atrito resultante do contacto
entre as pás e o fluido. Esta distribuição é apresentada sob a forma adimensionalizada, através
do coeficente de pressão total C0, definido da seguinte forma:
𝐶0 =𝑝𝑡𝑜𝑡 − 𝑝𝑡𝑜𝑡 ,𝑟𝑒𝑓
12𝜌𝑉𝑟𝑒𝑓
2 (7. 2)
onde, novamente, as condições de referência referem-se à secção de entrada. Uma vez que a
pressão estática (de referência) à entrada é de 0 Pa, a pressão total nesta secção será igual à
pressão dinâmica =1
2𝜌𝑉𝑟𝑒𝑓
2 .
Nas figura 7.16 é possível verificar a existência de uma componente da velocidade com
a direcção da envergadura, não nula, nomeadamente na região mais próxima do bordo de fuga
da pá.
a) b)
Figure 7.15 - Distribuição de C0 em torno da pá no caso viscoso: a) extradorso; b) intradorso
63
a) b)
Figura 7.16 - Componente da velocidade na direcção da envergadura junto à pá: a) extradorso; b) intradorso
7.6. Comparação com os resultados experimentais
Nesta secção são comparados os resultados obtidos da análise tridimensional
realizada no FLUENT com os resultados experimentais do ensaio de atravessamento na
secção da zona cilíndrica da conduta, nomeadamente a distribuição de ângulos, os perfis de
velocidade e o parâmetro rV2t. Para tal, foram retirados valores numa secção de coordenada
axial constante da zona cilíndrica do domínio, no FLUENT, equivalente à secção utilizada nos
ensaios de atravessamento.
É calculado ainda um coeficiente de perdas, com base no integral da queda de pressão
total do escoamento na secção analisada. De referir que, nesta secção, é utilizada a velocidade
axial média do escoamento na zona do rotor nas adimensionalizações dos resultados do
FLUENT, calculado com base na expressão (5.7) (utilizando as dimensões do protótipo) de
modo a comparar os resultados obtidos com os valores experimentais. As curvas
experimentais, nas figuras que se seguem, correspondem a uma média dos ensaios obtidos
para os três caudais testados.
Figura 7.17 - Variação do ângulo do escoamento ao longo da direcção radial
45.0
48.0
51.0
54.0
57.0
60.0
63.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2(º)
R*
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
Experimental
Projecto
64
Figura 7.18 - Perfis da componente axial da velocidade
Figura 7.19 - Perfis da componente tangencial da velocidade
Figura 7.20 - Distribuição da quantidade de movimento angular na direcção radial
Os resultados obtidos do cálculo numérico apresentam algumas diferenças em relação
ao valor experimental, sobretudo na variação do ângulo do escoamento com a direcção radial.
Em nenhum dos cálculos realizados foi prevista a evolução que se verificou no ângulo a partir
de cerca de 30% da envergadura (figura 7.17), tendo-se obtido uma diferença máxima de 8º
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
V2a /V2a,med
R*
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
Experimental
0.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
V2t /V2a,med
R*
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
Experimental
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(rV2t)*
R*
FLUENT -viscoso
FLUENT -inviscido
Experimental
65
(aproximadamente) entre os valores experimentais e o valor obtido do cálculo numérico para o
escoamento viscoso. Em relação à distribuição de projecto, esta diferença ainda é mais
acentuada. Verifica-se que até cerca de 20% da envergadura o cálculo numérico prevê, com
razoável aproximação, as evoluções dos perfis de velocidades, e a distribuição da quantidade
de movimento angular, sendo notória, no resultado experimental, que o escoamento possui
uma maior aceleração, na direcção axial, junto ao cubo, relativamente ao previsto no
escoamento viscoso modelado no FLUENT, o que indica que os efeitos de viscosidade são
mais intensos no escoamento real. Relativamente à distribuição de rV2t, verifica-se que a curva
obtida pelo FLUENT, para escoamento viscoso, aumenta ligeiramente ao longo da
envergadura, enquanto a curva experimental tem uma evolução praticamente constante ao
longo da direcção radial. De notar ainda que os perfis de velocidade referentes ao cálculo
invíscido, em geral, possuem uma evolução semelhante às curvas obtidas dos ensaios
experimentais, embora os valores sejam naturalmente diferentes.
De modo a estimar e a comparar os efeitos de viscosidade entre o escoamento real e o
modelado no FLUENT, foi determinado um coeficiente de perdas, adimensional, assumindo
que o escoamento é axissimétrico, através da seguinte expressão:
𝜉 =2𝜋 𝑉2𝑎𝑟 𝑝𝑡𝑜𝑡 ,1 − 𝑝𝑡𝑜𝑡 ,2 𝑑𝑟
12𝜌𝑉2𝑎 ,𝑚𝑒𝑑
2 × 𝑄 (7. 3)
em que 𝑝𝑡𝑜𝑡 ,1 corresponde à pressão de referência, na secção de entrada, e 𝑝𝑡𝑜𝑡 ,2 à pressão
total na secção analisada. Este cálculo permitirá verificar se o modelo de turbulência utilizado
na simulação do escoamento viscoso efectuada no FLUENT prevê, com boa aproximação, as
perdas por dissipação viscosa no escoamento real. Os resultados obtidos para os três caudais
testados no modelo experimental e no cálculo numérico podem ser visualizados na tabela:
Resultado 𝑸(m3/s) 𝝃
Experimental 0,80 0,545
Experimental 1,75 0,483
Experimental 3,0 0,484
FLUENT 3,2327 0,409
Tabela 7.2 – Coeficientes de perdas obtidos a partir dos resultados experimentais e numéricos
66
8. Conclusões
No presente trabalho pretendeu-se efectuar o projecto aerodinâmico das pás do estator
de uma turbina auto-rectificadora de acção, cujo objectivo foi o de obter uma geometria para a
pá que proporcionasse a deflexão pretendida ao escoamento. O método de cálculo utilizado
consiste num método de painel bidimensional, adaptado para o cálculo do escoamento
potencial e invíscido em cascata cónica de pás. Com base na geometria obtida, foi construído
um modelo experimental, que foi testado, de modo a verificar a validade do método de projecto
utilizado. Os resultados experimentais prevêem uma menor deflexão relativamente ao valor
previsto pelo método de curvatura das linhas de corrente, com uma diferença máxima de 8º, o
que deve-se ao facto do método de projecto da pá não contabilizar os efeitos viscosos e
tridimensionais do escoamento real. Outra limitação do método de painel resulta do facto de
não ser possível obter directamente as propriedades do escoamento na zona do rotor, já que o
domínio de cálculo consiste apenas na zona cónica.
A importância da análise numérica resulta, precisamente, da facilidade em obter uma
grande variedade de resultados em qualquer zona do domínio, o que neste caso permitiu
relacionar os resultados do método de projecto com os dados experimentais. Através da
simulação de dois tipos de escoamento (viscoso e invíscido), foi possível verificar que os
efeitos da viscosidade têm um grande relevo no comportamento do escoamento, uma vez que,
no caso do escoamento invíscido tridimensional, verificou-se uma evolução muito semelhante
para o ângulo do escoamento relativamente aos valores de projecto, quer na região cónica da
conduta, quer na zona cílindrica. A diferença máxima entre o ângulo do escoamento a jusante
das pás, determinado pelo método de painel e através do cálculo invíscido efectuado no
FLUENT, é cerca de 2º. Por sua vez, as análises experimental e numérica permitem concluir
que os efeitos tridimensionais do escoamento a jusante do estator são pouco significativos, o
que é visível no tipo de distribuição obtida de rV2t, que é pouco variável com a direcção da
envergadura. Este facto tem importância na medida em que uma distribuição aproximadamente
constante da quantidade de movimento angular indica que a carga sobre a pá é
aproximadamente uniforme ao longo da envergadura.
Em relação ao efeito da viscosidade, o escoamento viscoso turbulento modelado no
FLUENT prevê uma queda de pressão total menor relativamente ao valor experimental, o que é
visível na diferença entre as distribuições de rV2t nos dois casos, e nas estimativas efectuadas
para o coeficiente de perdas. Verifica-se assim que, com o modelo de turbulência k- utilizado
no cálculo numérico, a perda no escoamento é menor relativamente ao valor experimental. Tal
poderá dever-se ao facto deste modelo, pelo facto de não resolver a sub-camada laminar, não
conseguir prever com precisão a ocorrência de separação da camada limite junto ao bordo de
fuga da pá, onde verificou-se nas análises bidimensional e tridimensional a existência de um
intenso gradiente de pressão adverso.
67
Assim, para futuras análises numéricas, seria relevante, para modelar a viscosidade, a
utilização de um modelo de turbulência que resolva a sub-camada laminar. Deveria ter sido
efectuado, neste caso, um estudo com malhas estruturadas, de modo a comparar as soluções
obtidas pelos diferentes tipos de malha. Uma vez que foi verificado que os efeitos da
viscosidade são importantes neste escoamento, seria de elevado interesse a utilização de um
método de painel bidimensional com a inclusão do efeito da camada limite, de modo a
comparar como os resultados obtidos pelo método de painel convencional. Ainda a nível da
modelação numérica, poderá ter interesse uma análise de MFC conjunta das pás de ambos
estatores e do rotor. Por último, a nível experimental, e após a construção do modelo
experimental para o rotor, ensaios de rendimento e de atravessamento radial deverão ser
efectuados, de modo a que seja possível tirar conclusões definitivas acerca da melhoria deste
projecto face ao projecto anterior.
68
Referências bibliográficas
[1] R.P.F.Gomes, Análise numérica e experimental do escoamento numa turbina auto-
rectificadora de acção para dispositivos de CAO para aproveitamento da energia das
ondas, Tese de Mestrado, DEM, IST, 2007.
[2] International Energy Agency, Key World Energy Statistics, 2009.
[3] A. F. de O. Falcão, Energias Renováveis, Associação de Estudantes do Instituto
Superior Técnico, 2007.
[4] A. F. de O. Falcão, The shoreline OWC wave power plant at the Azores, Proceedings of
the Fourth European Wave Energy Conference, Aalborg, Denmark, 2000.
[5] J. M. B. P. Cruz, A. J. N. A. Sarmento, Energia das ondas. Introdução aos aspectos
tecnológicos, económicos e ambientais. Instituto do Ambiente, Alfragide, 2004.
[6] L. M. C.Gato, A. F. de O Falcão, Aerodynamics of Wells turbine. International Journal of
Mechanical Sciences, 1988.
[7] A. Brito-Melo, L. M. C. Gato, A. J. N. A. Sarmento, Analysis of Wells Turbine Design
Parameters by Numerical Simulation of the OWC Performance. Ocean Engineering,
2002.
[8] T. Setoguchi, M. Takao. Current status of self rectifying air turbines for wave energy
conversion. Energy Conversion and Management, 2006.
[9] T. H. Kim, M. Takao, T. Setoguchi, K. Kaneko, M. Inoue. Performance comparison of
turbines for wave power conversion. International Journal of Thermal Sciences, 2001.
[10] N. Sharmila, Purnima Jalihal, Wave powered desalination system, ScienceDirect, 2003.
[11] A. Thakker, T. S. Dhanasekaran. Computed effect of guide vane shape on performance
of impulse turbine for wave energy conversion. International Journal of Energy
Research, 2005.
[12] M. Takao, T. Setoguchi, Impulse Turbine with 3D Guide Vanes for Wave Energy
Conversion, J. of Thermal Science Vol.15, No.1.
[13] A. Thakker, T. S. Dhanasekaran. Experimental and computational analysis on guide
vane losses of impulse turbine for wave energy conversion. Renewable Energy, 2005.
[14] A. Thakker, T. S. Dhanasekaran, M. Takao, T. Setoguchi, Effects of Compressibility on
the Performance of a Wave-Energy Conversion Device with an ImpulseTurbine Using a
Numerical Simulation Technique, International Journal of Rotating Machinery, 2003.
[15] A. Thakker, F. Hourigan, A comparison of two meshing schemes for CFD analysis of
the impulse turbine for wave energy applications, Renewable Energy, 2004
[16] I. H. Abbot & A. E. Doenhoff, Theory of Wing Sections. Dover Publications, 1959.
[17] V. Brederode, Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível, Edição do Autor, 1997.
[18] T.Theodorsen, I.E.Garrick, General Potential Theory of Arbitrary Wing Sections, NACA
Report No.452
69
[19] F.S. Weinig, Theory of two-dimensional flow through cascades, in Hawthorne W.R.,
ed.,Aerodynamics of Turbines and Compressors, Princeton University Press,
Princeton,1964.
[20] F.S. Weinig, A new approach to the theory of thin, slightly cambered profiles, Journal of
Applied Mechanics, 1957.
[21] H. Schlichting, Calculation of the frictionless incompressible flow for a given two-
dimensional cascade (direct problem), NACA - Langley Research Center,
Washington,1958.
[22] J.L. Hess, A.M.O. Smith, Calculation of Potential Flow about Arbitrary Bodies
Progress in Aeronautical Sciences, vol. 8, 1966.
[23] A.F. de O. Falcão, L.M.C. Ferro, Flow field due to a row of vortex and source line
spanning a conical annular duct, Journal of Engineering Mathematics, 1989.
[24] J.L. Hess, Review of integral-equation techniques for solving potential flow problems
with emphasis on the surface-source method, Computers Methods in Applied
Mechanics and Engineering, vol. 5, 1975.
[25] W.A. Stevens, S.H. Goradia, J.A. Braden, Mathematical model for two-dimensional
multi-component airfoils in viscous flow, Contractor Report CR-1843, NASA - Langley
Research Center, Washington, 1971.
[26] L.M.C. Ferro, Estudo numérico e experimental do escoamento numa turbina hidráulica
axial, Tese de Doutoramento, DEM, IST
[27] J. P. B. Brás, Projecto de uma turbina de acção auto-rectificadora para dispositivos
CAO, Projecto de Termodinâmica Aplicada, DEM, IST, 2005.
[28] L.M.C.Gato, A. F. Tiago, Projecto de uma turbina auto-rectificadora de acção para
dispositivos de CAO para aproveitamento da energia das ondas, Instituto de
Engenharia Mecânica, IST, 2008
[29] A. F. de O. Falcão, Turbomáquinas. Associação de Estudantes do Instituto Superior
Técnico, 2005.
[30] H. Saravanamutto,G.F.C. Rogers, H. Cohen, Gas turbine theory, Pearson Education
Limited, 5ªed, 2001
[31] Fluent Incorporated, FLUENT 6.2 User’s Guide, 2005.
[32] Fluent Incorporated, GAMBIT 2.2 Modelling Guide, 2004.
[33] Fluent Incorporated, GAMBIT 2.2 User’s Guide, 2004.
[34] LabVIEW – User Manual, National Instruments, 2003.
[36] Getting Started with LabVIEW, National Instruments, 2006.
[37] DAQ Getting Started Guide, National Instruments, 2007.
[38] NI USB-621x User Manual, National Instruments, 2009.
[39] J. M. Paixão Conde, L. M. C. Gato, R. P. F. Gomes. Estudo numérico de uma turbina
axial de impulso auto-rectificadora para aplicação em centrais de energia das ondas.
Proc. 8º Congresso Iberoamericano de Engenharia Mecânica, Cusco, Peru, 2007.
I
Anexo 1 – Resultados experimentais do projecto anterior
Figura A1.1 – Curva de rendimento da turbina com os dois estatores completos [28]
Figura A1.2 – Curva de rendimento da turbina sem segundo estator
Figura A1.3 – Curva de rendimento da turbina com dois estatores2
2 Segundo estator com apenas metade das pás (dobro do passo)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f
2 estatores completos [28]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f
1 estator
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f
2 estatores
II
Figura A1.4 – Curva de potência da turbina sem segundo estator
Figura A1.5 – Curva de potência da turbina com dois estatores
Figura A1.6 – Curva da queda de pressão total da turbina sem segundo estator
y = 4.5381x2 - 0.2021xR² = 1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
π
f
1 estator
y = 4.4169x2 - 0.1747xR² = 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5f
2 estatores
y = 27.261x2 + 1.7157xR² = 1
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
to
tal
f
1 estator
III
Figura A1.7 – Curva da queda de pressão total da turbina com dois estatores
Figura A1.8 – Curva da queda de pressão no primeiro estator da turbina sem segundo estator
Figura A1.9 – Curva da queda de pressão no primeiro estator da turbina com dois estatores
y = 32.231x2 + 2.5062xR² = 0.9998
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
to
tal
f
2 estatores
y = 26.155x2 - 0.0543xR² = 1
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
esta
tor
f
1 estator
y = 23.319x2 + 1.4622xR² = 0.9998
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e
sta
tor
f
2 estatores
IV
Figura A1.10 – Curva da queda de pressão no rotor da turbina sem segundo estator
Figura A1.11 – Curva da queda de pressão no rotor da turbina com dois estatores
𝜂 =𝑇𝜔
𝑄 ∙ 𝑝4
Π =𝑇𝜔
𝜌𝜔3𝐷5
Ψtotal =𝑝4
𝜌𝜔2𝐷2
Ψestator =𝑝𝑖𝑛 − 𝑝1
𝜌𝜔2𝐷2
Ψrotor =𝑝1 − 𝑝2
𝜌𝜔2𝐷2
𝑝𝑖𝑛 = −1
2𝜌𝑉𝑖𝑛
2 = −1
2𝜌𝑉2𝑎 ,𝑚𝑒𝑑
2 3
3 assume-se que a velocidade à entrada tem apenas componente axial, e que esta componente é constante ao longo
da turbina porque a área da secção transversal do modelo é constante ao longo da direcção axial
y = -1.7979x2 + 1.8937x - 0.0304R² = 0.9988
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ro
tor
f
1 estator
y = 2.6709x2 + 1.9842x + 0.0468R² = 0.9957
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ro
tor
f
2 estatores
V
Figura A1.12 – Variação do ângulo absoluto do escoamento à saída do estator com a direcção radial
Figura A1.13 – Variação do ângulo relativo do escoamento à saída do estator com a direcção radial
50.0
55.0
60.0
65.0
70.0
75.0
80.0
85.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 (º)
R*
-80.0
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
b2 (º)
R*
VI
Figura A1.14 – Variação da componente axial da velocidade à saída do rotor (adimensionalizada pela velocidade média)
Figura A1.15 – Variação da relação V2t/U ao longo da direcção radial
Figura A1.16 – Variação do ângulo absoluto do escoamento à saída do rotor
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
V2a/Vin
R*
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
V2t/U
R*
-80.0
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
3(º)
R*
VII
Figura A1.17 – Variação do ângulo relativo do escoamento à saída do rotor
Figura A1.18 – Variação da componente axial da velocidade à saída do rotor (adimensionalizada pela velocidade média)
Figura A1.19 – Variação da relação V3t/U ao longo da direcção radial
-90.0
-80.0
-70.0
-60.0
-50.0
-40.0
-30.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b3(º)
R*
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
V3a/Vin
R*
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
V3t/U
R*
VIII
f=0,09 (1000rpm)
f=0,09 (500rpm)
f=0,3 (200rpm)
f=0,05 (1000 rpm)
Sonda a montante do rotor
Tlido (N.m) 19,04 4,64 14,14 2,02
Qlido (m3/s) 1,926 0,974 1,342 1,063
𝝎 lido (rpm) 979,8 503,5 207,2 985,1
f 0,091 0,090 0,301 0,050
p4 (Pa) -1687,1 -434,3 622,3 660,1
0,620 0,618 0,372 0,386
Qcalc (m3/s) 1,985 0,972 1,307 1,058
erro Q (%) 3,07% -0,22% 2,62% 0,49%
Sonda a jusante do rotor
Tlido (N.m) 19,06 4,66 14,17 2,02
Qlido (m3/s) 1,931 0,978 1,349 1,061
𝝎 lido (rpm) 979,9 506,2 206,3 986,0
f 0,092 0,090 0,304 0,050
p4 (Pa) -1693,8 -437,1 -627,9 -658,0
0,6169 0,6185 0,366 0,388
Qcalc (m3/s) 2,009 0,978 1,329 1,220
erro Q (%) 4,03% 3,31% 1,52% 15,00%
Tcalc (N.m) 18,69 4,71 12,96 1,67
erro T (%) 1,97% 0,96% 8,55% 17,19%
Tabela A1.1- Resultados experimentais dos ensaios de atravessamento do projecto anterior
Caudal: Qcalc = 𝑉2𝑎(𝑟) ∗ 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑟𝑒𝑥𝑡
𝑟𝑖𝑛𝑡
2𝜋
0
Binário: Tcalc = 𝜌𝑉2𝑎(𝑟) ∗ 𝑉2𝑡(𝑟) ∗ 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑟𝑒𝑥𝑡
𝑟𝑖𝑛𝑡
2𝜋
0− 𝜌𝑉3𝑎(𝑟) ∗ 𝑉3𝑡(𝑟) ∗ 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟𝑒𝑥𝑡
𝑟𝑖𝑛𝑡
2𝜋
0
Erro no caudal: erro Q (%) = Qlido − Qcalc
𝑄𝑙𝑖𝑑𝑜
× 100
Erro no binário: erro T (%) = Tlido − Tcalc
Tlido
× 100
Anexo 2 – Código do programa executado em MATLAB que determina as
coordenadas dos perfis utilizados no cálculo do método de painel 2-D
function pa_cilindrica_estator
%raio da pa (m)
raio_pa=0.3;
%RAIO CUBO TURBINA (mm)
RAIO_CUBO=0.59277;
%envergadura da pa (mm)
envergadura=0.11265;
% angulo da distribuiçao de pontos
G=1;
% espessura da pa (m)
espessura=0.002;
% Numero de pontos que define a linha media de cada perfil
N_ptos=100;
% angulo de inclinaçao do cone
alfa=20.0*pi/180.0;
% Numero de pás
Z=23;
clc
disp('PROGRAMA - ESTATOR TURBINA CONICA')
input('')
fid=fopen('COORDENADAS_perfis.dat','wt');
fid1=fopen('COORDENADAS_chapa.dat','wt');
IX
fid2=fopen('COORDENADAS_PÁ.dat','wt');
fid3=fopen('COORDENADAS_PÁ_PLAN.dat','wt');
fid4=fopen('COORDENADAS_seccoes_inic.dat','wt');
fid5=fopen('Dados_Geom.dat','wt');
ALFA_GRAUS=alfa*180/pi;
beta1_cubo=97.7;
beta2_cubo=28.8;
beta1_med=98.4;
beta2_med=25.7;
beta1_caixa=99.1;
beta2_caixa=22.5;
N_seccoes_total=15;
N_seccoes_med=(N_seccoes_total+1)/2;
Matriz_rot=[cos(alfa) sin(alfa);-sin(alfa) cos(alfa)];
for i=1:N_seccoes_total
FI1(i)=((i-N_seccoes_med)*(i-N_seccoes_total))/((1-N_seccoes_med)*(1-N_seccoes_total));
FI2(i)=((i-1)*(i-N_seccoes_total))/((N_seccoes_med-1)*(N_seccoes_med-N_seccoes_total));
FI3(i)=((i-1)*(i-N_seccoes_med))/((N_seccoes_total-1)*(N_seccoes_total-N_seccoes_med));
beta1(i)=beta1_cubo* FI1(i)+beta1_med*FI2(i)+beta1_caixa*FI3(i);
beta2(i)=beta2_cubo* FI1(i)+beta2_med*FI2(i)+beta2_caixa*FI3(i);
corda(i)=raio_pa*(cos(beta2(i)*pi/180)-cos(beta1(i)*pi/180));
R0=RAIO_CUBO+((corda(1)/2)+(raio_pa*cos(beta1(1)*pi/180)))*sin(alfa);
x0(i)=(R0/tan(alfa))-(envergadura*(i-1)*sin(alfa)/(N_seccoes_total-1));
z0(i)=R0 +(envergadura*(i-1)*cos(alfa)/(N_seccoes_total-1));
X_bf(i)=x0(i)-raio_pa*cos(beta2(i)*pi/180)*cos(alfa);
%linha media
for j=1:N_ptos
fi=(G+((180-2*G)*(j-1)/(N_ptos-1)))*pi/180;
G=G*pi/180;
passo(i,j)=(beta1(i)-beta2(i))*(cos(G)-cos(fi))/(2*cos(G));
G=G*180/pi;
teta(i,j)=beta2(i)+passo(i,j);
teta(i,j)=teta(i,j)*pi/180;
x_med(i,j)=X_bf(i)+raio_pa*(cos(beta2(i)*pi/180)-cos(teta(i,j)))*cos(alfa);
RAIO(i,j)=(x_med(i,j)+(envergadura*(i-1)/((N_seccoes_total-1)*sin(alfa))))*tan(alfa);
z_med(i,j)=RAIO(i,j);
end
end
FI1;
FI2;
FI3;
fprintf(fid,'%10.3f', beta1);
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,'%10.3f', beta2);
fprintf(fid,'\n');
for i=1:N_seccoes_total
fprintf(fid4, 'Secção');
fprintf(fid4,'%d',i);
fprintf(fid4,'\n');
fprintf(fid4, ' X Y Z');
fprintf(fid4,'\n');
for j=1:N_ptos
y_med(i,j)=sqrt(raio_pa^2-(x_med(i,j)-x0(i))^2-(z_med(i,j)-z0(i))^2)-raio_pa;
r2(i,j)=sqrt((x_med(i,j)-x0(i))^2+(y_med(i,j)+raio_pa)^2);
r3(i,j)=sqrt((x_med(i,j)-x0(i))^2+(y_med(i,j)+raio_pa)^2+(z_med(i,j)-z0(i))^2);
X
fprintf(fid4,'%14.9f', x_med(i,j));
fprintf(fid4,'%14.9f', y_med(i,j));
fprintf(fid4,'%14.9f', z_med(i,j));
fprintf(fid4,'\n');
end
fprintf(fid4,'\n');
end
N_seccoes_inic=N_seccoes_total+1;
for i=1:N_seccoes_inic-1
beta1_aux(i)=((beta1_med-beta1_cubo)*i/(N_seccoes_med-1))+beta1_cubo-((beta1_med-
beta1_cubo)*N_seccoes_inic/(N_seccoes_med-1));
beta2_aux(i)=((beta2_med-beta2_cubo)*i/(N_seccoes_med-1))+beta2_cubo-((beta2_med-
beta2_cubo)*N_seccoes_inic/(N_seccoes_med-1));
x0_aux(i)=(R0/tan(alfa))-(envergadura*(i-N_seccoes_inic)*sin(alfa)/(N_seccoes_inic-1));
z0_aux(i)=R0 +(envergadura*(i-N_seccoes_inic)*cos(alfa)/(N_seccoes_inic-1));
X_bf_aux(i)=x0_aux(i)-raio_pa*cos(beta2_aux(i)*pi/180)*cos(alfa);
for j=1:N_ptos
fi=(G+((180-2*G)*(j-1)/(N_ptos-1)))*pi/180;
G=G*pi/180;
passo(i,j)=(beta1_aux(i)-beta2_aux(i))*(cos(G)-cos(fi))/(2*cos(G));
G=G*180/pi;
teta(i,j)=beta2_aux(i)+passo(i,j);
teta(i,j)=teta(i,j)*pi/180;
x_aux(i,j)=X_bf_aux(i)+raio_pa*(cos(beta2_aux(i)*pi/180)-cos(teta(i,j)))*cos(alfa);
RAIO(i,j)=(x_aux(i,j)+(envergadura*(i-N_seccoes_inic)/((N_seccoes_inic-
1)*sin(alfa))))*tan(alfa);
z_aux(i,j)=RAIO(i,j);
y_aux(i,j)=sqrt(raio_pa^2-(x_aux(i,j)-x0_aux(i))^2-(z_aux(i,j)-z0_aux(i))^2)-raio_pa;
end
end
NUM=N_seccoes_total+N_seccoes_inic-1;
x_TOTAL=[x_aux; x_med];
y_TOTAL=[y_aux; y_med];
z_TOTAL=[z_aux; z_med];
for j=1:N_ptos
for i=1:N_seccoes_total
for k=3:NUM
s2=z_TOTAL(k-1,j)-z_TOTAL(k-2,j);
s3=z_TOTAL(k,j)-z_TOTAL(k-2,j);
%Calculo dos coeficientes dos polinomios interpoladores
ax(j)=s3*(s3*(-x_TOTAL(k-2,j)+x_TOTAL(k-1,j))+s2*(x_TOTAL(k-2,j)-
x_TOTAL(k,j)))/(s2*(s2-s3));
bx(j)=(s3^2*(x_TOTAL(k-2,j)-x_TOTAL(k-1,j))+s2^2*(-x_TOTAL(k-
2,j)+x_TOTAL(k,j)))/(s2*(s2-s3));
cx(j)=x_TOTAL(k-2,j);
ay(j)=s3*(s3*(-y_TOTAL(k-2,j)+y_TOTAL(k-1,j))+s2*(y_TOTAL(k-2,j)-
y_TOTAL(k,j)))/(s2*(s2-s3));
by(j)=(s3^2*(y_TOTAL(k-2,j)-y_TOTAL(k-1,j))+s2^2*(-y_TOTAL(k-
2,j)+y_TOTAL(k,j)))/(s2*(s2-s3));
cy(j)=y_TOTAL(k-2,j);
az(j)=0;
bz(j)=s3;
cz(j)=z_TOTAL(k-2,j);
dx=envergadura*(i-1)/((N_seccoes_total-1)*sin(alfa));
p4=ay(j)^2+az(j)^2-(ax(j)^2*tan(alfa)^2);
p3=2*ay(j)*by(j)+2*az(j)*bz(j)-(2*ax(j)*bx(j)*tan(alfa)^2);
XI
p2=2*ay(j)*cy(j)+2*az(j)*cz(j)+by(j)^2+bz(j)^2-
((2*ax(j)*(cx(j)+dx)+bx(j)^2)*tan(alfa)^2);
p1=2*by(j)*cy(j)+2*bz(j)*cz(j)-(2*bx(j)*(cx(j)+dx)*tan(alfa)^2);
p0=cy(j)^2+cz(j)^2-((cx(j)+dx)^2*tan(alfa)^2);
P=[p4 p3 p2 p1 p0];
raiz=roots(P);
N_raizes=size(raiz);
%Obtençao da raiz relevante
if (imag(raiz(1))==0)
raiz_aux=abs(raiz);
m=find(raiz_aux(:)==min(raiz_aux(:)));
S=raiz(m);
else
S=min(raiz);
end
if (S <=1 & S>=0)
rz(i,j)=S;
% Calculo das coordenadas das linhas medias dos perfis, rebatidas
% sobre as superficies cónicas
X_MED_CONE(i,j)=ax(j)*S^2+bx(j)*S+cx(j);
Y_MED_CONE(i,j)=ay(j)*S^2+by(j)*S+cy(j);
Z_MED_CONE(i,j)=az(j)*S^2+bz(j)*S+cz(j);
RAIO(i,j)=sqrt(Y_MED_CONE(i,j)^2+Z_MED_CONE(i,j)^2);
RAIO2(i,j)=(X_MED_CONE(i,j)+(envergadura*(i-1)/((N_seccoes_total-
1)*sin(alfa))))*tan(alfa);
COORD_PA=Matriz_rot*[X_MED_CONE(i,j); Z_MED_CONE(i,j)];
X_Linha_Cone(i,j)=COORD_PA(1);
Z_Linha_Cone(i,j)=COORD_PA(2);
break
end
end
end
end
for i=1:N_seccoes_total
for j=2:N_ptos
ALFA2(i,j)=atan((RAIO(i,j)-RAIO(i,j-1))/(X_MED_CONE(i,j)-X_MED_CONE(i,j-1)))*180/pi;
end
end
%Planificação das superfícies cónicas
for i=1:N_seccoes_total
X_0(i)=(R0/tan(alfa))-(envergadura*(i-1)*sin(alfa)/(N_seccoes_total-1));
Z_0(i)=R0+(envergadura*(i-1)*cos(alfa)/(N_seccoes_total-1));
COORD_EIXO=Matriz_rot*[X_0(i); Z_0(i)];
COORD_X_EIXO(i)=COORD_EIXO(1);
COORD_Z_EIXO(i)=COORD_EIXO(2);
beta22(i)=atan((Y_MED_CONE(i,1)+raio_pa)/(COORD_X_EIXO(i)-X_Linha_Cone(i,1)))*180/pi;
beta11(i)=180-(atan((Y_MED_CONE(i,N_ptos)+raio_pa)/(X_Linha_Cone(i,N_ptos)-
COORD_X_EIXO(i))))*180/pi;
for j=1:N_ptos
fi=(G+((180-2*G)*(j-1)/(N_ptos-1)))*pi/180;
G=G*pi/180;
passo(i,j)=(beta11(i)-beta22(i))*(cos(G)-cos(fi))/(2*cos(G));
G=G*180/pi;
teta(i,j)=beta22(i)+passo(i,j);
R_pa(i,j)=sqrt((X_MED_CONE(i,j)-X_0(i))^2+(Y_MED_CONE(i,j)+raio_pa)^2);
% Rebatimento do cone
R_MED(i,j)=(X_MED_CONE(i,j)+(envergadura*(i-1)/((N_seccoes_total-1)*sin(alfa))))/cos(alfa);
teta_Y=acos(Z_MED_CONE(i,j)/RAIO(i,j));
csi=teta_Y*sin(alfa);
XII
X_MED(i,j)=R_MED(i,j)*cos(csi);
Y_MED(i,j)=-R_MED(i,j)*sin(csi);
Z_MED(i,j)=0;
X_Linha_Cone(i,j)=X_Linha_Cone(i,j)-COORD_X_EIXO(1);
Z_Linha_Cone(i,j)=Z_Linha_Cone(i,j)-COORD_Z_EIXO(1);
teta2=atan(X_Linha_Cone(i,j)/(raio_pa+Y_MED_CONE(i,j)));
X2(i,j)=raio_pa*teta2;
Y2(i,j)=0;
Z2(i,j)=Z_Linha_Cone(i,j);
RAIO2(i,j)=sqrt(X_Linha_Cone(i,j)^2+(Y_MED_CONE(i,j)+raio_pa)^2);
end
M=find(Y_MED(i,:)==max(Y_MED(i,:)));
beta2(i)=atan((Y_MED(i,1)+raio_pa)/(X_MED(i,M)-(X_MED(i,1))))*180/pi;
beta1(i)=180-(atan((Y_MED(i,N_ptos)+raio_pa)/(X_MED(i,N_ptos)-X_MED(i,M))))*180/pi;
perim(i,1)=0;
for j=2:N_ptos
perim(i,j)=perim(i,j-1)+((X_MED(i,j)-X_MED(i,j-1))^2+(Y_MED(i,j)-Y_MED(i,j-1))^2)^0.5;
end
perim2(i,1)=0;
for j=2:N_ptos
perim2(i,j)=perim2(i,j-1)+((X2(i,j)-X2(i,j-1))^2+(Z2(i,j)-Z2(i,j-1))^2)^0.5;
end
perim3(i,1)=0;
for j=2:N_ptos
perim3(i,j)=perim3(i,j-1)+((X_MED_CONE(i,j)-X_MED_CONE(i,j-1))^2+(Y_MED_CONE(i,j)-
Y_MED_CONE(i,j-1))^2+(Z_MED_CONE(i,j)-Z_MED_CONE(i,j-1))^2)^0.5;
end
perim4(i,1)=0;
for j=2:N_ptos
perim4(i,j)=perim4(i,j-1)+((x_med(i,j)-x_med(i,j-1))^2+(y_med(i,j)-y_med(i,j-
1))^2+(z_med(i,j)-z_med(i,j-1))^2)^0.5;
end
Erro1(i)=perim(i,N_ptos)-perim2(i,N_ptos);
Erro2(i)=perim(i,N_ptos)-perim3(i,N_ptos);
Erro4(i)=perim4(i,N_ptos)-perim3(i,N_ptos);
end
fprintf(fid3,'%10.3f', beta1);
fprintf(fid3,'\n');
fprintf(fid3,'%10.3f', beta2);
fprintf(fid3,'\n');
A=2-tan(10*pi/180);
B=-3+tan(10*pi/180);
C=0;
D=1;
compr_esteira=2*espessura;
X_MAX=compr_esteira;
E=5;
for i=1:N_seccoes_total
% Definição da esteira no bordo de fuga
dxm=X_MED(i,E)-X_MED(i,1);
dym=Y_MED(i,E)-Y_MED(i,1);
teta=atan(dym/dxm);
X_MIN=X_MED(i,E)-(espessura/2)*sin(teta);
Y_MAX=(espessura/2);
X_esteira(i)=X_MED(i,E)-compr_esteira*cos(teta);
Y_esteira(i)=Y_MED(i,E)-compr_esteira*sin(teta);
k=0;
for X=0:0.1:1
XIII
k=k+1;
Y_ext1(k)=Y_MAX*(A*X^3+B*X^2+C*X+D);
xx(k)=X_MAX*(1-X);
Y_int1(k)=-Y_ext1(k);
TRANSF_COORD=inv([cos(teta) sin(teta);-sin(teta) cos(teta)]);
Coord_orig=TRANSF_COORD*[xx(k); Y_ext1(k)];
X_ext(i,k)=Coord_orig(1)+X_esteira(i);
Y_ext2(i,k)=Coord_orig(2)+Y_esteira(i);
Coord_orig=TRANSF_COORD*[xx(k); Y_int1(k)];
X_int(i,k)=Coord_orig(1)+X_esteira(i);
Y_int2(i,k)=Coord_orig(2)+Y_esteira(i);
end
% cálculo das coordenadas do perfil
N_total_ptos=0;
for j=1:k
N_total_ptos=N_total_ptos+1;
L=k-j+1;
x_int(i,j)=X_int(i,L);
y_int(i,j)=Y_int2(i,L);
x_ext(i,j)=X_ext(i,L);
y_ext(i,j)=Y_ext2(i,L);
end
for j=E+1:N_ptos-1
N_total_ptos=N_total_ptos+1;
dxm=X_MED(i,j)-X_MED(i,j-1);
dym=Y_MED(i,j)-Y_MED(i,j-1);
dm=(dxm^2+dym^2)^0.5;
teta=atan(dym/dxm);
dx1=X_MED(i,j)-X_MED(i,1);
dy1=Y_MED(i,j)-Y_MED(i,1);
d1=(dx1^2+dy1^2)^0.5;
dx2=X_MED(i,N_ptos)-X_MED(i,j);
dy2=Y_MED(i,N_ptos)-Y_MED(i,j);
d2=(dx2^2+dy2^2)^0.5;
if (d2 <= espessura/2)
%bordo de ataque1
x_int(i,j+k-E)=sqrt(((espessura/2)^2-((espessura/2)-d2)^2))*sin(teta)+X_MED(i,j);
y_int(i,j+k-E)=-sqrt(((espessura/2)^2-((espessura/2)-d2)^2))*cos(teta)+Y_MED(i,j);
x_ext(i,j+k-E)=-sqrt(((espessura/2)^2-((espessura/2)-d2)^2))*sin(teta)+X_MED(i,j);
y_ext(i,j+k-E)=sqrt(((espessura/2)^2-((espessura/2)-d2)^2))*cos(teta)+Y_MED(i,j);
else
%intradorso
x_int(i,j+k-E)=X_MED(i,j)+(espessura/2)*sin(teta);
y_int(i,j+k-E)=Y_MED(i,j)-(espessura/2)*cos(teta);
%extradorso
x_ext(i,j+k-E)=X_MED(i,j)-(espessura/2)*sin(teta);
y_ext(i,j+k-E)=Y_MED(i,j)+(espessura/2)*cos(teta);
end
end
x(i,N_total_ptos+1)=X_MED(i,N_ptos);
y(i,N_total_ptos+1)=Y_MED(i,N_ptos);
for j=1:N_total_ptos
x(i,j)=x_int(i,j);
y(i,j)=y_int(i,j);
end
for j=1:N_total_ptos
K=N_total_ptos-j+1;
L=N_total_ptos+j+1;
x(i,L)=x_ext(i,K);
y(i,L)=y_ext(i,K);
end
Nr_POINTS=2*N_total_ptos+1;
XIV
corda(i)=sqrt((X_MED(i,N_ptos)-x(i,1))^2+(Y_MED(i,N_ptos)-y(i,1))^2);
cordaG(i)=sqrt((X_MED(i,N_ptos)-X_MED(i,1))^2+(Y_MED(i,N_ptos)-Y_MED(i,1))^2);
Razao_Raios(i)=Z_0(i)/Z_0(N_seccoes_total);
passo(i)=2*pi*RAIO(i,N_ptos)/Z;
passo2(i)=2*pi*Z_0(i)/Z;
% angulo que a corda faz com a direcção axial
TETA_CORDA(i)=atan((Y_MED(i,N_ptos)-y(i,1))/(X_MED(i,N_ptos)-x(i,1)));
%angulo entre a recta que une o bordo de fuga ao vértice do cone com a
%direcção axial
TETA_BF(i)=atan(-y(i,1)/x(i,1));
%angulo entre a recta que une o bordo de fuga ao vértice do cone com a
%corda do perfil
LAMBDA(i)=(TETA_CORDA(i)+TETA_BF(i))*180/pi;
%valor da abcissa no bordo de fuga
XT(i)= x(i,1);
for j=1:Nr_POINTS
%transformaçao de coordenadas para o referencial da pá
Matriz_transf=[cos(TETA_CORDA(i)) sin(TETA_CORDA(i));-sin(TETA_CORDA(i))
cos(TETA_CORDA(i))];
Novas_COORD=Matriz_transf*[x(i,j)-x(i,1); y(i,j)-y(i,1)];
xa(i,j)=100-(100*Novas_COORD(1)/corda(i));
ya(i,j)=100*Novas_COORD(2)/corda(i);
end
Flecha_max(i)=max(ya(i,:));
M=find(Y_MED(i,:)==max(Y_MED(i,:)));
ANGULO_ATAQ(i)=atan((Y_MED(i,N_ptos)-Y_MED(i,M))/(X_MED(i,N_ptos)-X_MED(i,M)))*180/pi;
Relacao_corda_passo(i)=cordaG(i)/passo2(i);
Relacao_corda_ax_passo(i)=cordaG(i)*cos(LAMBDA(i)*pi/180)/passo2(i);
Espessura_relativa(i)=espessura/cordaG(i)*100;
fprintf(fid5, 'Secção');
fprintf(fid5,'%d',i);
fprintf(fid5,'\n');
fprintf(fid5,'%10.3f', Razao_Raios(i));
fprintf(fid5,'%10.5f', cordaG(i));
fprintf(fid5,'%10.5f', passo2(i));
fprintf(fid5,'%10.6f', Z_0(i));
fprintf(fid5,'%10.3f', Relacao_corda_passo(i));
fprintf(fid5,'%10.3f', Relacao_corda_ax_passo(i));
fprintf(fid5,'%10.3f', Flecha_max(i));
fprintf(fid5,'%10.3f', LAMBDA(i));
fprintf(fid5,'%10.5f', X_MED(i,M));
fprintf(fid5,'%10.5f', beta1(i));
fprintf(fid5,'%10.5f', beta2(i));
fprintf(fid5,'%10.3f', Espessura_relativa(i));
fprintf(fid5,'\n');
fprintf(fid, 'DADOS DE ENTRADA - Secção');
fprintf(fid,'%d',i);
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,'%8.5f', ALFA_GRAUS);
fprintf(fid,'%6.1f', Z);
fprintf(fid,'%10.5f', corda(i));
fprintf(fid,'%10.5f', LAMBDA(i));
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,' 0 ');
fprintf(fid,'1 ');
fprintf(fid,'1.0000');
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,'CART');
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,'%10.5f', XT(i));
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,' %d',Nr_POINTS);
fprintf(fid,' 101');
fprintf(fid,'\n');
XV
fprintf(fid1, 'Secção');
fprintf(fid1,'%d',i);
fprintf(fid1,'\n');
fprintf(fid1, 'Coordenadas do eixo:');
fprintf(fid1,'%14.9f',COORD_X_EIXO(i));
fprintf(fid1,'%14.9f',COORD_Z_EIXO(i));
fprintf(fid1,'\n');
fprintf(fid2, 'Secção');
fprintf(fid2,'%d',i);
fprintf(fid2,'\n');
fprintf(fid2, ' X Y Z');
fprintf(fid2,'\n');
for j=1:N_ptos
fprintf(fid2,'%14.9f', X_MED_CONE(i,j));
fprintf(fid2,'%14.9f', Y_MED_CONE(i,j));
fprintf(fid2,'%14.9f', Z_MED_CONE(i,j));
fprintf(fid2,'\n');
end
c=0;
for j=1:Nr_POINTS
fprintf(fid,'%12.6f', xa(i,j));
c=c+1;
if (c==8)
fprintf(fid,'\n');
c=0;
end
end
fprintf(fid,'\n');
c=0;
for j=1:Nr_POINTS
fprintf(fid,'%12.6f', ya(i,j));
c=c+1;
if (c==8)
fprintf(fid,'\n');
c=0;
end
end
fprintf(fid,'\n');
fprintf(fid,'\n');
end
fprintf(fid1, ' X Z');
fprintf(fid1,'\n');
%Bordo de fuga
for i=1:N_seccoes_total
fprintf(fid1,'%14.9f', X2(i,1));
fprintf(fid1,'%14.9f', Z2(i,1));
fprintf(fid1,'\n');
end
%caixa
for j=1:N_ptos
fprintf(fid1,'%14.9f', X2(N_seccoes_total,j));
fprintf(fid1,'%14.9f', Z2(N_seccoes_total,j));
fprintf(fid1,'\n');
end
%Bordo de ataque
for i=1:N_seccoes_total
k=N_seccoes_total-i+1;
XVI
fprintf(fid1,'%14.9f', X2(k,N_ptos));
fprintf(fid1,'%14.9f', Z2(k,N_ptos));
fprintf(fid1,'\n');
end
%cubo
for j=1:N_ptos
k=N_ptos-j+1;
fprintf(fid1,'%14.9f', X2(1,k));
fprintf(fid1,'%14.9f', Z2(1,k));
fprintf(fid1,'\n');
end
fprintf(fid3, 'Secção junto ao cubo');
fprintf(fid3,'\n');
fprintf(fid3, ' X Y');
fprintf(fid3,'\n');
for j=1:N_ptos
fprintf(fid3,'%14.9f', X_MED(1,j));
fprintf(fid3,'%14.9f', Y_MED(1,j));
fprintf(fid3,'\n');
end
fprintf(fid3,'\n');
fprintf(fid3, 'Secção junto á caixa');
fprintf(fid3,'\n');
fprintf(fid3, ' X Y');
fprintf(fid3,'\n');
for j=1:N_ptos
fprintf(fid3,'%14.9f', X_MED(N_seccoes_total,j));
fprintf(fid3,'%14.9f', Y_MED(N_seccoes_total,j));
fprintf(fid3,'\n');
end
fclose(fid);
fclose(fid1);
fclose(fid2);
fclose(fid3);
fclose(fid4);
fclose(fid5);
plot3(X_MED_CONE', Y_MED_CONE', Z_MED_CONE')
grid on
input('')
plot3(X_Linha_Cone', Y_MED_CONE', Z_Linha_Cone')
grid on
input('')
plot(x',y')
grid on
XVII
Anexo 3 – Resultados do ficheiro de saída do programa método de painel
2-D (secção junto ao cubo)
GAMAT= 0.2504064E+00
Intensidade Global das fontes = 0.1585886E-01
* ANGULO DE ABERTURA DO CONE = 20.0GRAUS
* ANGULO DA CASCATA = 32.2 GRAUS * NUMERO DE PAS = 23 * CORDA = 0.337
* ABCISSA DO BORDO DE FUGA = 1.583
DISTRIBUICOES DE VELOCIDADE NA FRONTEIRA DO PERFIL
ID X/C(%) Y/C(%) VX/VREF VY/VREF VR/VREF VT/VREF V/VREF CP
1 99.947 0.028 -0.687 -1.201 -0.688 -1.201 1.384 -0.915 2 99.838 0.079 -0.856 -1.194 -0.857 -1.194 1.470 -1.160 3 99.724 0.121 -0.962 -1.153 -0.962 -1.152 1.501 -1.254 4 99.604 0.156 -1.061 -1.160 -1.062 -1.159 1.572 -1.472 5 99.483 0.188 -1.152 -1.208 -1.153 -1.207 1.669 -1.787 6 99.361 0.220 -1.224 -1.295 -1.226 -1.293 1.782 -2.175 7 99.240 0.252 -1.266 -1.417 -1.268 -1.415 1.900 -2.609 8 99.122 0.290 -1.255 -1.569 -1.257 -1.567 2.009 -3.036 9 99.008 0.334 -1.162 -1.726 -1.165 -1.724 2.081 -3.330 10 98.902 0.389 -0.945 -1.814 -0.949 -1.812 2.045 -3.184 11 98.748 0.488 -0.761 -1.709 -0.765 -1.707 1.871 -2.499 12 98.521 0.639 -0.719 -1.602 -0.723 -1.600 1.756 -2.082 13 98.253 0.816 -0.695 -1.534 -0.701 -1.532 1.685 -1.838 14 97.944 1.019 -0.680 -1.484 -0.686 -1.482 1.633 -1.666 15 97.594 1.247 -0.670 -1.444 -0.677 -1.440 1.591 -1.533 16 97.202 1.499 -0.663 -1.408 -0.671 -1.404 1.556 -1.422 17 96.769 1.774 -0.657 -1.376 -0.667 -1.372 1.525 -1.327 18 96.294 2.072 -0.654 -1.347 -0.665 -1.342 1.497 -1.242 19 95.777 2.391 -0.652 -1.320 -0.664 -1.314 1.472 -1.167 20 95.218 2.731 -0.651 -1.294 -0.664 -1.287 1.448 -1.097 21 94.618 3.089 -0.651 -1.269 -0.666 -1.261 1.426 -1.034 22 93.975 3.466 -0.653 -1.245 -0.669 -1.236 1.405 -0.975 23 93.291 3.859 -0.655 -1.221 -0.672 -1.212 1.386 -0.920 24 92.564 4.267 -0.657 -1.199 -0.676 -1.188 1.367 -0.869 25 91.795 4.689 -0.660 -1.176 -0.681 -1.165 1.349 -0.820 26 90.984 5.124 -0.664 -1.154 -0.686 -1.141 1.332 -0.774 27 90.131 5.569 -0.668 -1.132 -0.692 -1.118 1.315 -0.729 28 89.236 6.023 -0.673 -1.111 -0.698 -1.095 1.299 -0.686 29 88.300 6.485 -0.678 -1.089 -0.704 -1.072 1.282 -0.645 30 87.322 6.952 -0.683 -1.067 -0.711 -1.048 1.266 -0.604 31 86.303 7.423 -0.688 -1.044 -0.717 -1.024 1.251 -0.564 32 85.244 7.895 -0.693 -1.022 -0.723 -1.000 1.234 -0.524 33 84.144 8.368 -0.697 -0.999 -0.729 -0.976 1.218 -0.485 34 83.005 8.839 -0.702 -0.976 -0.735 -0.951 1.202 -0.445 35 81.827 9.307 -0.706 -0.952 -0.741 -0.925 1.185 -0.405 36 80.611 9.769 -0.710 -0.928 -0.745 -0.899 1.168 -0.365 37 79.357 10.223 -0.713 -0.903 -0.750 -0.873 1.151 -0.324 38 78.068 10.668 -0.716 -0.878 -0.753 -0.846 1.133 -0.283 39 76.743 11.101 -0.718 -0.852 -0.756 -0.819 1.114 -0.241 40 75.384 11.522 -0.720 -0.826 -0.758 -0.791 1.095 -0.200 41 73.992 11.927 -0.721 -0.800 -0.759 -0.763 1.076 -0.159 42 72.569 12.316 -0.720 -0.772 -0.759 -0.734 1.056 -0.116 43 71.116 12.687 -0.720 -0.746 -0.759 -0.706 1.037 -0.074 44 69.634 13.037 -0.718 -0.719 -0.757 -0.677 1.016 -0.032 45 68.127 13.366 -0.716 -0.692 -0.755 -0.649 0.996 0.009 46 66.594 13.672 -0.713 -0.664 -0.752 -0.621 0.975 0.050 47 65.038 13.953 -0.710 -0.638 -0.748 -0.593 0.954 0.089 48 63.461 14.209 -0.706 -0.611 -0.743 -0.565 0.933 0.129 49 61.866 14.438 -0.701 -0.585 -0.738 -0.538 0.913 0.166 50 60.253 14.639 -0.696 -0.559 -0.733 -0.511 0.893 0.202 51 58.625 14.811 -0.691 -0.534 -0.727 -0.485 0.874 0.237 52 56.986 14.954 -0.686 -0.510 -0.721 -0.460 0.855 0.269 53 55.335 15.066 -0.681 -0.486 -0.714 -0.435 0.837 0.300 54 53.677 15.147 -0.675 -0.463 -0.707 -0.412 0.818 0.330 55 52.013 15.198 -0.668 -0.441 -0.700 -0.388 0.801 0.359 56 50.346 15.217 -0.663 -0.419 -0.693 -0.366 0.784 0.385 57 48.678 15.204 -0.657 -0.399 -0.687 -0.345 0.769 0.409 58 47.011 15.160 -0.651 -0.378 -0.680 -0.324 0.753 0.433 59 45.348 15.085 -0.645 -0.359 -0.673 -0.304 0.738 0.455 60 43.691 14.979 -0.640 -0.340 -0.666 -0.286 0.725 0.475 61 42.042 14.842 -0.634 -0.322 -0.659 -0.267 0.711 0.494 62 40.404 14.675 -0.630 -0.305 -0.654 -0.250 0.700 0.510
XVIII
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XIX
144 32.332 14.004 -1.179 -0.444 -1.215 -0.334 1.260 -0.588 145 33.896 14.309 -1.185 -0.471 -1.223 -0.361 1.275 -0.626 146 35.482 14.589 -1.192 -0.499 -1.232 -0.389 1.292 -0.670 147 37.086 14.843 -1.199 -0.527 -1.241 -0.418 1.310 -0.715 148 38.708 15.068 -1.205 -0.557 -1.250 -0.449 1.328 -0.763 149 40.344 15.266 -1.213 -0.588 -1.260 -0.480 1.348 -0.817 150 41.993 15.433 -1.220 -0.619 -1.268 -0.513 1.368 -0.872 151 43.653 15.571 -1.227 -0.652 -1.277 -0.546 1.389 -0.930 152 45.321 15.678 -1.234 -0.686 -1.287 -0.581 1.412 -0.995 153 46.996 15.753 -1.241 -0.721 -1.296 -0.617 1.436 -1.061 154 48.674 15.798 -1.249 -0.757 -1.306 -0.654 1.460 -1.133 155 50.353 15.810 -1.257 -0.795 -1.315 -0.693 1.487 -1.211 156 52.031 15.791 -1.264 -0.833 -1.324 -0.733 1.514 -1.291 157 53.706 15.740 -1.271 -0.873 -1.333 -0.774 1.542 -1.377 158 55.376 15.658 -1.278 -0.914 -1.342 -0.817 1.571 -1.468 159 57.037 15.545 -1.286 -0.956 -1.351 -0.861 1.602 -1.566 160 58.688 15.401 -1.292 -0.999 -1.359 -0.905 1.633 -1.665 161 60.326 15.228 -1.298 -1.043 -1.366 -0.951 1.665 -1.771 162 61.950 15.025 -1.304 -1.088 -1.373 -0.998 1.698 -1.882 163 63.556 14.795 -1.308 -1.133 -1.379 -1.046 1.731 -1.996 164 65.144 14.537 -1.313 -1.179 -1.384 -1.095 1.764 -2.113 165 66.710 14.254 -1.316 -1.226 -1.387 -1.144 1.798 -2.233 166 68.253 13.946 -1.318 -1.273 -1.390 -1.193 1.832 -2.356 167 69.771 13.615 -1.319 -1.319 -1.391 -1.243 1.865 -2.479 168 71.262 13.262 -1.318 -1.366 -1.390 -1.292 1.898 -2.602 169 72.725 12.889 -1.316 -1.411 -1.388 -1.341 1.930 -2.723 170 74.158 12.497 -1.312 -1.456 -1.384 -1.388 1.960 -2.842 171 75.559 12.089 -1.307 -1.500 -1.377 -1.435 1.989 -2.957 172 76.927 11.665 -1.300 -1.542 -1.369 -1.481 2.017 -3.067 173 78.261 11.229 -1.291 -1.583 -1.359 -1.525 2.043 -3.173 174 79.560 10.781 -1.281 -1.622 -1.348 -1.567 2.067 -3.272 175 80.821 10.323 -1.270 -1.659 -1.334 -1.608 2.089 -3.365 176 82.046 9.858 -1.257 -1.694 -1.319 -1.646 2.110 -3.451 177 83.232 9.388 -1.243 -1.727 -1.303 -1.682 2.128 -3.528 178 84.379 8.913 -1.227 -1.758 -1.285 -1.717 2.144 -3.598 179 85.486 8.437 -1.211 -1.787 -1.266 -1.748 2.158 -3.659 180 86.552 7.961 -1.194 -1.813 -1.246 -1.778 2.171 -3.712 181 87.578 7.487 -1.176 -1.837 -1.225 -1.804 2.181 -3.757 182 88.562 7.017 -1.157 -1.859 -1.204 -1.829 2.190 -3.794 183 89.505 6.552 -1.138 -1.878 -1.182 -1.851 2.196 -3.823 184 90.406 6.095 -1.119 -1.895 -1.160 -1.871 2.201 -3.844 185 91.264 5.647 -1.099 -1.910 -1.137 -1.888 2.204 -3.858 186 92.081 5.210 -1.080 -1.923 -1.115 -1.903 2.206 -3.865 187 92.855 4.785 -1.060 -1.934 -1.092 -1.916 2.206 -3.865 188 93.586 4.373 -1.041 -1.943 -1.070 -1.927 2.204 -3.859 189 94.276 3.978 -1.022 -1.950 -1.049 -1.936 2.202 -3.847 190 94.922 3.599 -1.004 -1.955 -1.028 -1.943 2.198 -3.831 191 95.527 3.238 -0.986 -1.959 -1.008 -1.948 2.193 -3.811 192 96.089 2.896 -0.969 -1.962 -0.988 -1.953 2.188 -3.789 193 96.609 2.575 -0.953 -1.964 -0.970 -1.956 2.183 -3.765 194 97.087 2.275 -0.939 -1.966 -0.953 -1.959 2.178 -3.744 195 97.523 1.998 -0.926 -1.968 -0.938 -1.962 2.175 -3.729 196 97.917 1.745 -0.915 -1.972 -0.926 -1.967 2.174 -3.725 197 98.270 1.515 -0.907 -1.980 -0.917 -1.976 2.178 -3.745 198 98.581 1.311 -0.905 -1.998 -0.913 -1.994 2.193 -3.810 199 98.850 1.132 -0.913 -2.035 -0.920 -2.032 2.230 -3.974 200 99.079 0.980 -0.949 -2.132 -0.955 -2.129 2.333 -4.445 201 99.230 0.874 -0.839 -2.308 -0.845 -2.306 2.456 -5.033 202 99.320 0.795 -0.568 -2.358 -0.574 -2.356 2.425 -4.882 203 99.403 0.707 -0.352 -2.264 -0.356 -2.263 2.291 -4.250 204 99.482 0.611 -0.212 -2.112 -0.215 -2.111 2.122 -3.503 205 99.558 0.511 -0.139 -1.941 -0.141 -1.941 1.946 -2.787 206 99.632 0.410 -0.120 -1.773 -0.122 -1.773 1.777 -2.158 207 99.707 0.309 -0.142 -1.613 -0.144 -1.613 1.620 -1.623 208 99.785 0.211 -0.196 -1.459 -0.197 -1.459 1.472 -1.168 209 99.867 0.120 -0.276 -1.316 -0.276 -1.316 1.344 -0.807 210 99.954 0.038 -0.421 -1.318 -0.421 -1.318 1.384 -0.915
DISTRIBUICOES DE VELOCIDADE EM PONTOS EXTERIORES AO PERFIL
IE XE/XT YE/YT RE/XT PSI(º) VX/VREF VY/VREF VR/VREF VT/VREF V/VREF CP RVTE/(VREF*XT)
1 1.544 0.041 1.545 1.53 -0.613 -0.016 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 2 1.544 0.056 1.545 2.07 -0.612 -0.022 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 3 1.543 0.070 1.545 2.61 -0.612 -0.028 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 4 1.542 0.085 1.545 3.14 -0.612 -0.034 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 5 1.541 0.099 1.545 3.68 -0.611 -0.039 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 6 1.540 0.113 1.545 4.21 -0.611 -0.045 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 7 1.539 0.128 1.545 4.75 -0.611 -0.051 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 8 1.538 0.142 1.545 5.28 -0.610 -0.056 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002
XX
9 1.537 0.157 1.545 5.82 -0.610 -0.062 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 10 1.535 0.171 1.545 6.35 -0.609 -0.068 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 11 1.533 0.185 1.545 6.89 -0.608 -0.073 -0.613 0.000 0.613 0.625 0.00002 12 1.499 0.043 1.500 1.66 -0.631 -0.018 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 13 1.499 0.057 1.500 2.20 -0.631 -0.024 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 14 1.498 0.071 1.500 2.73 -0.630 -0.030 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 15 1.497 0.085 1.500 3.27 -0.630 -0.036 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 16 1.496 0.099 1.500 3.80 -0.630 -0.042 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 17 1.495 0.113 1.500 4.34 -0.629 -0.048 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 18 1.494 0.127 1.500 4.87 -0.629 -0.054 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 19 1.493 0.141 1.500 5.41 -0.628 -0.059 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 20 1.492 0.155 1.500 5.94 -0.628 -0.065 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 21 1.490 0.169 1.500 6.48 -0.627 -0.071 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 22 1.488 0.183 1.500 7.01 -0.626 -0.077 -0.631 0.000 0.631 0.602 0.00002 23 1.454 0.046 1.455 1.80 -0.650 -0.020 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 24 1.454 0.059 1.455 2.33 -0.650 -0.026 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 25 1.453 0.073 1.455 2.87 -0.650 -0.033 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 26 1.452 0.086 1.455 3.40 -0.649 -0.039 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 27 1.451 0.100 1.455 3.94 -0.649 -0.045 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 28 1.450 0.113 1.455 4.47 -0.649 -0.051 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 29 1.449 0.127 1.455 5.01 -0.648 -0.057 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 30 1.448 0.141 1.455 5.54 -0.648 -0.063 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 31 1.447 0.154 1.455 6.08 -0.647 -0.069 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 32 1.445 0.168 1.455 6.61 -0.646 -0.075 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 33 1.443 0.181 1.455 7.15 -0.645 -0.081 -0.651 0.000 0.651 0.577 0.00002 34 1.409 0.048 1.410 1.94 -0.671 -0.023 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 35 1.409 0.061 1.410 2.47 -0.671 -0.029 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 36 1.408 0.074 1.410 3.01 -0.670 -0.035 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 37 1.407 0.087 1.410 3.54 -0.670 -0.041 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 38 1.406 0.100 1.410 4.08 -0.670 -0.048 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 39 1.405 0.113 1.410 4.61 -0.669 -0.054 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 40 1.404 0.127 1.410 5.15 -0.669 -0.060 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 41 1.403 0.140 1.410 5.69 -0.668 -0.066 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 42 1.402 0.153 1.410 6.22 -0.667 -0.073 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 43 1.400 0.166 1.410 6.76 -0.667 -0.079 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 44 1.398 0.179 1.410 7.29 -0.666 -0.085 -0.671 0.000 0.671 0.549 0.00002 45 1.364 0.050 1.365 2.09 -0.693 -0.025 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 46 1.364 0.063 1.365 2.63 -0.693 -0.032 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 47 1.363 0.075 1.365 3.16 -0.692 -0.038 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 48 1.362 0.088 1.365 3.70 -0.692 -0.045 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 49 1.361 0.101 1.365 4.23 -0.691 -0.051 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 50 1.360 0.113 1.365 4.77 -0.691 -0.058 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 51 1.359 0.126 1.365 5.30 -0.690 -0.064 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 52 1.358 0.139 1.365 5.84 -0.690 -0.071 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 53 1.357 0.152 1.365 6.37 -0.689 -0.077 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 54 1.355 0.164 1.365 6.91 -0.688 -0.083 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 55 1.353 0.177 1.365 7.44 -0.688 -0.090 -0.693 0.000 0.693 0.519 0.00002 56 1.319 0.052 1.320 2.25 -0.716 -0.028 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00000 57 1.319 0.064 1.320 2.79 -0.716 -0.035 -0.717 0.000 0.717 0.486 -0.00001 58 1.318 0.077 1.320 3.32 -0.716 -0.042 -0.717 0.000 0.717 0.486 -0.00001 59 1.317 0.089 1.320 3.86 -0.715 -0.048 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00000 60 1.316 0.101 1.320 4.39 -0.715 -0.055 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00002 61 1.315 0.113 1.320 4.93 -0.714 -0.062 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00004 62 1.314 0.126 1.320 5.46 -0.714 -0.068 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00005 63 1.313 0.138 1.320 6.00 -0.713 -0.075 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00005 64 1.312 0.150 1.320 6.54 -0.712 -0.082 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00004 65 1.310 0.162 1.320 7.07 -0.711 -0.088 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00002 66 1.308 0.175 1.320 7.61 -0.711 -0.095 -0.717 0.000 0.717 0.486 0.00000 67 1.274 0.054 1.275 2.43 -0.742 -0.032 -0.742 0.000 0.742 0.449 -0.00021 68 1.274 0.066 1.275 2.96 -0.741 -0.039 -0.742 0.000 0.742 0.449 -0.00031 69 1.273 0.078 1.275 3.50 -0.741 -0.045 -0.742 0.000 0.742 0.449 -0.00029 70 1.272 0.090 1.275 4.03 -0.740 -0.052 -0.742 0.000 0.742 0.450 -0.00015 71 1.271 0.102 1.275 4.57 -0.740 -0.059 -0.742 0.000 0.742 0.450 0.00006 72 1.270 0.113 1.275 5.10 -0.739 -0.066 -0.742 0.000 0.742 0.450 0.00025 73 1.269 0.125 1.275 5.64 -0.739 -0.073 -0.742 0.000 0.742 0.449 0.00036 74 1.268 0.137 1.275 6.17 -0.738 -0.080 -0.742 0.000 0.742 0.449 0.00033 75 1.266 0.149 1.275 6.71 -0.737 -0.087 -0.742 0.000 0.742 0.449 0.00019 76 1.265 0.161 1.275 7.24 -0.736 -0.094 -0.742 0.000 0.742 0.449 -0.00002 77 1.264 0.173 1.275 7.78 -0.735 -0.101 -0.742 0.000 0.742 0.449 -0.00021 78 1.229 0.056 1.230 2.61 -0.770 -0.038 -0.771 -0.002 0.771 0.406 -0.00307 79 1.229 0.068 1.230 3.15 -0.768 -0.045 -0.769 -0.003 0.769 0.408 -0.00366 80 1.228 0.079 1.230 3.68 -0.766 -0.052 -0.767 -0.002 0.767 0.411 -0.00297 81 1.227 0.091 1.230 4.22 -0.764 -0.057 -0.766 -0.001 0.766 0.413 -0.00119 82 1.226 0.102 1.230 4.75 -0.764 -0.063 -0.766 0.001 0.766 0.413 0.00115 83 1.225 0.113 1.230 5.29 -0.764 -0.068 -0.767 0.003 0.767 0.411 0.00317 84 1.224 0.125 1.230 5.82 -0.766 -0.075 -0.769 0.003 0.769 0.408 0.00397 85 1.223 0.136 1.230 6.36 -0.767 -0.083 -0.771 0.003 0.771 0.405 0.00309 86 1.222 0.148 1.230 6.90 -0.767 -0.092 -0.772 0.001 0.772 0.404 0.00100 87 1.220 0.159 1.230 7.43 -0.765 -0.101 -0.772 -0.001 0.772 0.404 -0.00134 88 1.218 0.171 1.230 7.97 -0.763 -0.109 -0.771 -0.002 0.771 0.406 -0.00307 89 1.183 0.036 1.184 1.72 -0.836 -0.037 -0.837 -0.012 0.837 0.300 -0.01422
XXI
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XXII
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XXIII
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