Carolina del Valle Zambrano Cabrera

Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo

da Bacia de Maracaibo, Venezuela

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Junior

Rio de Janeiro, Abril de 2009

Carolina del Valle Zambrano Cabrera

Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo da Bacia de

Maracaibo, Venezuela

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Eurípedes do Amaral Vargas Junior Orientador

PUC-Rio

Paulo Dore Fernandes PETROBRAS

André Luís Müller Puc-Rio

José Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro Técnico - Puc-Rio

Rio de janeiro, 28 de Abril de 2009

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.

Carolina del Valle Zambrano Cabrera Engenheira de Petróleo graduada pela Universidad de Oriente, Nucleo Anzoategui em 2003.

Ficha Catalográfica

Zambrano Cabrera, Carolina Del Valle

Estudos numéricos e analíticos para quantificar a

produção de areia em um campo da Bacia de Maracaibo,

Venezuela / Carolina Del Valle Zambrano Cabrera;

orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Junior. – 2009.

104 f. : il. ; 30 cm

Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)–

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de

Janeiro, 2009.

Inclui bibliografia.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Produção de

areia. 3. Modelo analítico de Willson. 4. Modelagem

numérica. 5. Ensaio de cilindro oco. I. Vargas Junior,

Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica

do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV.

Título.

CDD: 624

A minha família, muito especialmente aos anjos que iluminam a

minha vida, Miguel Angel e Manuel Alejandro.

Agradecimentos

A Deus todo poderoso, pela força que me deu para culminar este longo caminho

com sucesso.

A minha família, meus pais, Roberto e Luisa, meus irmãos, Roberto e Lisbeth,

minha cunhada Fabíola pelo amor, apoio, compreensão.

Ao Sr. Pedro Acuña e Leonardo Graterol, por terem acreditado em mim e

apoiado o desenvolvimento desta dissertação junto à minha empresa, o Intevep.

Ao pessoal de Estudos integrados e reservatório pela colaboração prestada no

desenvolvimento deste trabalho. Aos meus companheiros Juan Ramos, Leydy

Garcia e Juan Almeida pela disposição e apoio

Ao Professor Eurípedes Vargas, orientador deste trabalho, pessoa de grande

capacidade, fonte de estimulo e sabedoria.

O meu mais sincero agradecimento ao grupo de mecânica das rochas do

Cenpes-Petrobras: Francisco Henriques, Karen Lobato, Erick Slis, Rodrigo

Barra, Julio Beltrami, Rafael, Marcos Dantas, Marcos, Antônio Cláudio, que além

de dispor o laboratório, não hesitou em compartilhar o seu conhecimento. Os

conselhos que recebi foram muito importantes não só neste trabalho, mas

também no meu desenvolvimento como profissional.

A quatro pessoas chave em todo o processo desta dissertação: Geralf Pineda,

Jose Roberto Silvestre, Carlos Aguilar e Raquel Velloso. Não tenho palavras

para expressar meu agradecimento.

Aos meus grandes amigos no Brasil: Pamela, Ranena, Camilo e Patricia, pelo

apoio, pelas palavras nos momentos difíceis, carinho e amizade.

Meus amigos na Venezuela, Vanessa, JeanCarlo, Katiuska, Rosalinda, Fabiola e

Cesar.

As meninas do apartamento, Lorena, Carlinha e a Gabi pelos bons e

descontraídos momentos além das importantes correções com o português.

A todos que, de alguma forma, me ajudaram a chegar aqui.

Resumo

Zambrano Cabrera, Carolina Del Valle; Vargas Junior, Eurípedes do Amaral (orientador). Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo da Bacia de Maracaibo, Venezuela. PUC - Rio, 2009. 104p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

A produção de areia em poços de petróleo é um problema bem

conhecido devido às conqüências catastróficas, que muitas vezes chegam a

afetar a vida produtiva de um reservatório inteiro. Estudos sobre o assunto vêm

sendo desenvolvidos, e uma importante linha de pesquisa tem se formado. No

entanto, estes estudos focam principalmente na predição ou começo da

produção de areia, dando uma importância menor à sua quantificação. Há mais

de vinte anos, este problema tem sido relatado em um Campo da Bacia de

Maracaibo na Venezuela, levando ao fechamento de um grande numero de

poços. O problema é ainda maior devido às condições do reservatorio:

profundidade (maior a 5000 (m)), alta pressão e temperatura assim como a

resistência mecânica da rocha (maior a 50 (Mpa)) fazem que estudos mais

avançados sejam precisados para além de determinar que fatores influenciam

este fenômeno, observar se os modelos de quantificação utilizados neste

trabalho representam o que ocorre no campo. Para isto, utilizo-se o software

comercial de elementos finitos Abaqus junto com a sub-rotina de erosão assim

como o modelo analitico de Willson, baseada na resistência equivalente da

formação obtida a partir dos ensaios de cilindro oco ou TWC (thick Walled

Cylinder) desenvolvidos também neste trabalho. Em ambos métodos, foram

imposta condições reais do campo: estado de tensão, pressão de fundo do

poço, poro-pressão, assim como o comportamento tensão-deformação da

rocha, obtidos a partir de ensaios de compressão uniaxial. Para o caso da

modelagem numerica, forem analisados dois casos, poço aberto (modelo de

duas dimensoes) e tunel canhoneado (modelos de tres dimensoes). No caso

do modelo de Willson foi implementado o túnel canhoneado.

Palavras-chave Produção de areia, simulação numérica, modelo analítico Willson, ensaio

do cilindro oco.

Abstract Zambrano Cabrera, Carolina del Valle. Vargas Junior, Eurípedes do Amaral (Advisor). Numerical and Analytical studies to quantify the sand production in a field of the Maracaibo Basin, Venezuela. PUC - Rio, 2009. 104p. Msc. Dissertation - Civil Engineering Department, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Sand production at oil wells is a well-known problem, due to the

disastrous consequences that in some cases affect the productivity of the entire

reservoir. Studies about the subject have been development and a very

important research line has been created. However, those progresses are more

focus on sand production onset, giving less importance to the quantification

issue. Whit more than twenty years, there is a field located on Maracaibo Basin,

Venezuela that has been affected with this problem occasionating the closure of

a big amount of wells. The problem is even bigger due to the reservoir

conditions: depth (more than 5000 (m)), high pressure and temperature

conditions and also rock mechanics strength (more than 50 (Mpa)) make that

more advanced studies will be need for seeking the factors that affect in this

phenomenon and observe if the quantifications models used in this work

represent the field observations. For this, was used the commercial software of

finite elements Abaqus whit the erosion sub-routine as well as the analytical

Willson model based on the equivalent strength formation obtain from thick

walled cylinder test development in this work also. In both methods were used

real field conditions: state of stress, bottom hole pressure, pore pressure and

the stress-strain rock behavior obtain form uniaxial compression test. For the

numerical model were analyzed two cases, open hole (two dimension model)

and perforation tunnel (three dimension model). For the analytical Willson

model was just implemented the perforation tunnel case.

Key-words Sand production, numerical simulation, Willson analytical model, Thick

hollow cylinder

Sumário

Lista de símbolos 14 

1 . Introdução 17 

2 . Fundamentos básicos sobre produção de areia 19 

2.1. Introdução 19 

2.2. Mecanismo de produção de sólidos 20 

2.2.1. Ruptura à compressão ou cisalhamento 20 

2.2.2. Ruptura por tração (Spalling) 21 

2.3. Fatores que afetam a produção de areia 22 

2.3.1. Fatores relacionados à formação 23 

2.3.2. Fatores relacionados à completação 24 

2.3.3. Fatores relacionados à produção 26 

2.4. Modelos de predição de areia 28 

2.5. Experimentos para a simulação da produção de areia 30 

2.5.1. Ensaio em cilindros de paredes espessas, ou TWC (Thick Walled

Cylinder) 30 

3 . Descrição do Campo em estudo 33 

3.1. Antecedentes 33 

3.2. Descrição do reservatorio 34 

3.3. Definição do estado de tensões e pressão de poro 36 

3.3.1. Pressão de poros 38 

3.4. Definição das propriedades mecânicas 38 

3.5. Representação esquemática dos poços da área 41 

4 . Programa Experimental 42 

4.1. Preparação dos corpos de prova 42 

4.2. Equipamento utilizado 45 

4.3. Metodologia Utilizada 46 

4.3.1. Ensaio de Compressão Uniaxial 46 

4.3.2. Ensaio de paredes espessas (Thick walled cylinder, TWC) 47 

5 . Resultado dos ensaios experimentais 51 

5.1. Resultados dos ensaios uniaxiais 51 

5.2. Resultados dos ensaios com cilindros de paredes espessas (TWC) 56 

6 . Modelagem numérica com o programa Abaqus 63 

6.1. Modelo de erosão 2D e 3D 63 

6.1.1. Modelagem numérica em 2D 63 

6.1.2. Modelagem numérica 3D 66 

6.2. Modelagem numérica do ensaio de cilindro de paredes espessas 69 

6.3. Sub-rotina de erosão do programa Abaqus 70 

6.3.1. Definições do modelo matemático 71 

6.3.2. Lei Constitutiva da geração de massa 73 

6.4. Uso das malhas adaptativas no modelo de erosão 74 

7 . Resultados do modelo numérico 76 

7.1. Resultados da modelagem numérica de problemas em 2D 76 

7.2. Modelo 3D 86 

8 . Modelo Analítico de Willson. 88 

8.1. Definição do modelo 88 

9 . Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros 92 

9.1. Conclusões 92 

9.2. Sugestões 93 

10 Referencias Bibliográficas 94

Apendice A 99

Apendice B 103

Lista de figuras

Figura 1.- Breakout observado em corpo de prova com ID=39mm – Berea 22

Figura 2.- Fraturamento à tração observado em corpo de prova com ID=

39mm –Castlegate 22

Figura 3.- Efeito das mudanças nas tensões in situ em a estabilidade de

cavidades esféricas (Morita 1989) 23

Figura 4.- Plastificação da formação por contração do cimento (Dusseault &

Santarelli, 1989) 25

Figura 5.- Plastificação da formação após o canhoneio (Dusseault & Santarelli,

1989) 25

Figura 6.- Rupturas por tração associadas à força de percolação. poço aberto

(lado esquerdo) túnel canhoneado (lado dereito) 26

Figura 7.- Formas de rupturas típicas para arenitos. (a) Clase A (e.g Castlegate)

(b) Clase B (e.g. Field G), and (c) Clase C (e.g. arenito sintético) 27

Figura 8.- Configuração do ensaio cilindro de paredes espessas (TWC) 31

Figura 9.- Relação da pressão externa em função da espessura

(relação OD/ID) e diâmetro interno no ensaio TWC (Willson, 2002) 32 

Figura 10.- Localização da Bacia de Maracaibo, Venezuela 34 

Figura 12.- Produção de areia acumulada no campo 36 

Figura 13.- Core Disking, prova dos altos gradientes horizontais na zona 37 

Figura 14.- Variação da direção da tensão horizontal maior no reservatorio 38 

Figura 16.- Comportamento do registro litologico do poço 40 

Figura 17.- Representação esquemática padrão dos poços 41 

Figura 18.- Tomografia computadorizada das amostras em estudo 43 

Figura 19.- Tomografia computadorizada (em escala de cores) das amostras

em estudo 43 

Figura 20.- Corpos de prova para os ensaio de Compressão uniaxial 44 

Figura 21.- Corpo de prova para os ensaio de cilindro oco 45 

Figura 22.- Execução do ensaio de compressão uniaxial 46 

Figura 23.- Saturação das amostras. Ensaio de cilindro oco, ou TWC 47 

Figura 24.- Corpo de prova saturado 48 

Figura 25.- Colocação dos caps no corpo de prova 48 

Figura 26.- Montagem dos extensômetros elétricos 49 

Figura 27.- Execução do ensaio de cilindro oco 49 

Figura 28.- Comportamento tensão-deformação 52 

dos corpos de prova 05 e 12 do arenito A 52 

Figura 29.- Classificação do comportamento tensão-deformação de rochas

sob compressão uniaxial durante o amolecimento. Wawersick & Fairhurst

(1970) 53 

Figura 30.- Corpo de prova # 5. Logo após do ensaio UCS 53 

Figura 31.- Comportamento tensão-deformação com ciclos de 54 

descarregamento e re-carregamento 54 

Figura 32.- Curva virgem (traços) e curva re-carregada (continua)

para a determinação dos parâmetros elásticos (Goodman, 1989) 55 

Figura 33.- Comportamento tensão-deformação radial para o 56 

cálculo da relação de poisson 56 

Figura 34.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com

ensaio em cilindro de parede espessa. 57 

Figura 36.- Comparação das tensões máximas e mínimas do modelo

analítico e numérico ao longo do raio 59 

Figura 37.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com

ensaio em cilindro de paredes espessas com relação de diâmetros 2:1 59 

Figura 38.- Falha da rocha no ensaio do cilindro ôco 60 

Figura 39 Comparação do tipo de falha do trabalho de Papamichos com

o ensaio TWC 61 

Figura 40.- Comportamento tensão-deformação do ensaio TWC. 61 

Figura 41.- Comparação dos resultados do TWC em função da resistência

à Compressão Uniaxial. 62 

Figura 42.- Representação do carregamento aplicado 64 

Figura 43.- Malha para a modelagem em duas dimensões 64 

Figura 44.- Detalhe da malha (na zona do poço) 65 

Figura 45.- Condições iniciais, de contorno e carregamento no modelo 2D 65 

Figura 46 Malha do modelo 3D 66 

Figura 47 Condições inicias, de contorno e carregamento aplicado 67 

Figura 48 Detalhe da malha 3D. Túnel canhoneado 67 

Figura 49 Aplicação da pressão de fluido nas faces do túnel canhoneado 68 

Figura 51 Malhas utilizadas para a modelagem do ensaio de cilindro oco. 69 

Relação de diâmetros 3:1 (a) e 2:1 (b) 69 

Figura 52.- Condições iniciais e de carga na modelagem 70 

Figura 53.- Representação dos componentes que considera o

modelo matemático 71 

Figura 59.- Volume de areia produzido com as novas modificações

(Tabela 6) 80 

Figura 60.- Volume de areia para o tempo de 60 horas 81 

Figura 61.- Seqüência do processo de erosão expressado em

deformações plásticas equivalentes (PEEQ) 83 

Figura 62.- Volume produzido para um tempo de 200 horas 83 

Figura 63.- Volume produzido em poço com drawdown de 14 (Mpa) 84 

Figura 64.- Comparação do volume produzido em função do drawdown 85 

Figura 65.- Comportamento da deformação plástica equivalente no

túnel canhoneado 86 

Figura 66.- Relação do fator de resistência em função da relação de

diâmetros das amostras de cilindro de parede espessa 89 

Figura 67.- Previsão da produção de areia a partir do modelo analítico de

Willson 90 

Lista de tabelas

Tabela 1.- Parâmetros que influenciam a produção de areia 23 

Tabela 2.- Definição dos gradientes de tensão do campo 37 

Tabela 3.- Propriedades mecânicas do arenito A. ensaios feitos no Intevep 39 

Tabela 4.- Corpos de prova 45

Tabela 5.- Parâmetros utilizados nas simulações 78

Tabela 6.- Parâmetros para a simulação 80 

Tabela 7.- Análise de sensibilidade 82

Lista de símbolos

PΔ Diferencial de pressão entre o reservatório e o poço

Cdr

dp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Gradiente de pressão de poro na cavidade

Ms Quantidade de areia por área na cavidade

Cσ Tensão externa

t Tempo

Sa Constante de calibração

Sdr

dp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Gradiente critico de pressão de poro

nσ Excesso de tensão normalizado

OD Diâmetro externo

ID Diâmetro interno

Pb Pressão de ruptura

Sh Tensão horizontal mínimo

SH Tensão horizontal máxima

Sv Tensão vertical

Po Pressão de poro

To Resistência à tração

)(DVσ Tensão de sobrecarga

)(DnVσ Tensão de sobrecarga normal

k Gradiente normal de pressão hidrostática

cτ Onda compressional do perfil sônico

φ Ângulo de atrito (Modelo Mohr Coulomb)

Co Coesão (Modelo Mohr Coulomb)

d Coesão (Modelo Drucker Prager)

dV Volume do elemento

TdV Volume total

VdV Volume de vazios

ffdV Volume da fase fluida

fsdV Volume das partículas fluidizadas

SdV Volume de sólidos

•

dM Massa da mistura

ffdM Massa da fase fluida

fsdM Massa das partículas sólidas fluidizadas

SdM Massa de sólidos

fsVi Velocidade das partículas sólidas fluidizadas ffVi Velocidade da fase fluida SVi Velocidade da fase sólida

fsρ Densidade das partículas solidas fluidizadas

ffρ Densidade da fase fluida

sρ Densidade dos sólidos

ρ Densidade da mistura

iq Velocidade de descarga da mistura

idS Área transversal

dt Tempo

im•

Taxa de transferência de massa da mistura ff

im•

Taxa de transferência de massa do fluido fs

im•

Taxa de transferência de massa das partículas fluidizadas

erm•

Taxa de massa erodida

'λ Coeficiente de produção de areia

λ Coeficiente de produção de areia pg deformação plástica

ppeakg deformação plástica de pico

C Concentração de transporte dos sólidos fluidizados

1λ Constante de calibração

2λ Constante de calibração

X Posição original do nó

1+iU Deslocamento nodal

NiX posições nodais das vizinhanças

NN funções de peso

PEEQ Deformações plásticas equivalentes

U Resistência efetiva à formação

CBHFP Critical Bottom hole flowing pressure

CDP Critical drawdown pressure

TWC Thick Hollow Cylinder

FC Factor de correção

1. Introdução

Na indústria do petróleo, é bem conhecido o problema de produção de

areia, que quando não controlado, pode trazer conseqüências catastróficas.

Através do tempo, os estudos desenvolvidos para a compreensão do

fenômeno mantêm-se focado na predição do começo da produção de areia,

dando uma importância menor à sua quantificação.

Além disso, as soluções apresentadas para a solução do problema de

produção de areia têm sido em função da classificação da rocha, sendo que, em

reservatórios constituídos por rochas pouco consolidadas (resistência à

compressão uniaxial, UCS entre 0-10 (Mpa)) o controle é baseado com técnicas

de exclusão. Entretanto, em arenitos classificados como resistentes (com uma

resistência à compressão uniaxial entre 10-30 (Mpa)) podem, em certos casos,

ser produzidos com uma taxa controlada de areia.

Estas duas razões expressas nos parágrafos anteriores fazem que o

campo a ser estudado neste trabalho seja de grande importância. Primeiro

porque o fenômeno de produção de areia tem se observado desde o começo da

vida produtiva do campo; sendo que o 40% da causa do fechamento dos poços

na área é devido ao fenômeno e que na zona norte do campo (zona de interesse

deste estudo) 74% dos poços atualmente encontram-se fechados devido ao

problema.

Por outro lado, as condições do reservatório: rochas de uma resistência

superior a 50 (Mpa) a mais de 5000 (m) de profundidade sob condições de

pressão e temperatura extremas fazendo que o método de exclusão seja

inviável. Tudo isto obriga à procura de metodologias que além de permitir

entender os parâmetros que influenciam o processo, possam quantificar e de

uma forma reproduzir o que acontece no campo.

Inúmeras técnicas para predizer a produção de sólidos têm sido criadas

para a indústria petrolífera por diversos pesquisadores. Vários modelos

baseados em dados de campo, ensaios de laboratório e fundamentos teóricos

têm sido propostos nos últimos anos. Contudo, os modelos até pouco tempo só

eram capazes de definir o inicio da produção de areia, fazer analise de

18

estabilidade da cavidade e descrever a superfície da rocha fornecendo

resultados mais qualitativos do que quantitativos.

As soluções numéricas podem ser vistas como uma das técnicas mais

favoráveis, em termos de versatilidade, pois conseguem agregar vários eventos

que podem intervir na produção de areia. Como experiência previa nesta área

tem-se o trabalho de Silvestre (2004) onde foi estudado o comportamento de

estabilidade de poços a través de modelos elastoplásticos reproduzindo o

comportamento mecânico da rocha.

É por isto, que o presente trabalho visa à utilização do programa de

elementos finitos Abaqus como uma ferramenta para a determinação do volume

de areia produzida através da rotina que o programa implementou. O modelo

proposto inclui os estágios onde o material sofre mudanças: cisalhamento, a

completa desagregação seguida pelo apropriado gradiente necessária para

fluidizar o material conseguindo a mobilidade ou o chamado processo de erosão.

Como método comparativo, será usado o modelo analítico de Willson, o

qual permite a determinação da mínima pressão de fluxo, a partir de dados

experimentais obtidos nos ensaios em cilindros de paredes espessas (Thick

Hollow Cilynder, TWC) também desenvolvidos no presente trabalho.

O trabalho aqui descrito está dividido em oito (8) capítulos os fundamentos

teóricos da produção de areia, mecanismos, fatores assim como modelos que

permitem estudar o fenômeno são descritos no capítulo dois (2). O capítulo três

(3) faz uma breve descrição do campo em estudo: características mais

importantes e os dados utilizados para a modelagem.

O capítulo quatro (4) descreve o processo para a obtenção dos corpos de

prova a serem ensaiados no laboratório. Os resultados destes ensaios foram

apresentados no capítulo cinco (5).

A descrição da modelagem numérica em duas e três dimensões, assim

como a simulação do ensaio do cilindro de paredes espessas é apresentada no

capítulo seis (6). Os resultados das simulações mencionadas são apresentados

no seguinte capítulo.

O capítulo oito (8) baseia-se no modelo analítico de Willson e seus

resultados mais importantes. Por fim, no capítulo 9, com base nos resultados

obtidos, descrevem-se as conclusões mais importantes do trabalho assim como

algumas recomendações.

2. Fundamentos básicos sobre produção de areia

Neste capitulo, pretende-se agrupar os principais aspectos básicos

relacionados ao problema de produção de areia: a descrição do fenômeno,

mecanismos de produção, fatores que influenciam o processo assim como fazer

uma revisão dos trabalhos mais relevantes publicados na literatura técnica ao

longo do tempo.

2.1. Introdução

Dusseault e Santarelli (1989) definem o processo de produção de areia ou

sólidos como a produção de partículas durante a extração de óleo ou gás, de

uma rocha reservatório. O fenômeno está referenciado, normalmente, aos

arenitos poucos consolidados, porem, a produção de sólidos é observada

também em rochas como calcários e arenitos de resistência media a elevada.

A produção de sólidos começa quando a concentração de tensões na

parede do poço devida às condições de produção é suficientemente alta para

romper a cimentação natural dos grãos, tornando-os livres para serem

arrastados pelas forças de percolação que acabam por incorporá-los ao fluxo

dos fluidos.

Em poços de petróleo, o fenômeno é prejudicial aos sistemas de

condução, elevação e controle de produção. O seu efeito abrasivo acarreta

prejuízo para a indústria, implicando em um maior número de paradas

operacionais para a substituição de elementos danificados, necessidade de

tratamento e descarte de sólidos.

20

2.2. Mecanismo de produção de sólidos

Teorias convencionais da produção de areia distinguem o mecanismo de

ruptura entre ruptura por compressão e tração. A primeira é produzida pela

combinação das tensões in situ e o drawdown, a segunda induzida pelo

gradiente de poro-pressão nas vizinhanças da cavidade.

2.2.1. Ruptura à compressão ou cisalhamento

A ruptura por cisalhamento é induzida pela ação conjunta das tensões in-

situ e do diferencial de pressão entre o reservatório e o fundo de poço conhecido

como pressão de drawdown (ΔP). Assim, quando o valor das tensões in-situ

ultrapassa o valor da resistência à compressão, e quando baixas pressões de

produção no fundo do poço geram elevados valores da pressão de drawdown

(ΔP), a ruptura por cisalhamento é induzida na parede da cavidade. Este tipo de

ruptura cria uma zona de grandes deformações ao redor das cavidades,

propagando um processo de produção de areia que pode vir a produzir

quantidades catastróficas de sólidos, caso essa zona se expanda.

Hoek et al (2000), conceitua bem a ruptura do material por cisalhamento e

compara dados experimentais com os resultados obtidos pelo modelo proposto,

concluindo que a teoria reproduz bem os ensaios de laboratório efetuados nos

arenitos Castlegate e Red Wilmore. Vale lembrar que este modelo foi

desenvolvido para arenitos friáveis com grandes cavidades, muito embora não

faça referência a um tamanho físico de cavidade.

A ruptura do material quanto ao cisalhamento é caracterizada pela

formação de bandas de cisalhamento que se iniciam adjacentes à parede do

poço e se encontram em duas áreas diametralmente opostas, denominadas de

breakouts (figura 1) sem ocorrer fratura por tração e sem necessariamente

ocorrer desprendimento ou produção de material fragmentado. De acordo com

Hoek et al (2000), este tipo de ruptura de serviço pode ser modelada

analiticamente empregando-se o contínuo de Cosserat e a teoria da bifurcação.

21

Figura 1.- Breakout observado em corpo

de prova com diâmetro interno de 39mm – Berea

2.2.2. Ruptura por tração (Spalling)

A ruptura por tração geralmente se dá quando as forças de percolação

geram tensões de tração que, por a sua vez, promovem a desagregação de

partículas da rocha reservatório, especialmente aquelas pobremente

consolidadas. Esse tipo de instabilidade é freqüentemente verificado em poços

com elevadas taxas de produção que levam à dilatação dos sólidos

desagregados e a perda das interações mecânicas entre as partículas.

Segundo van den Hoek (1994), em observações feitas no seu trabalho, a

ruptura no ensaio de compressão hidrostática em corpo de prova com orifício

pode ser caracterizada também por fraturas propagadas por tração nas

imediações do orifício, seguida por desprendimento e produção de material. A

estrutura final é apresentada, e é identificada por uma forma cúspide (figura 2).

Quando as lascas de rocha fraturada não se desprendem da face interna do

orifício, o modo de ruptura pode evoluir para breakout.

22

Figura 2.- Fraturamento à tração observado em

corpo de prova com diâmetro interno de 39 mm–Castlegate

Morita (1991) sustém que a ruptura por tração só é comum na zona

cisalhada quando é diminuída a área aberta ao fluxo e pode ocorrer:

• Quando o intervalo perfurado é menor a 1⁄3 do intervalo total;

• Se a densidade do canhoneio é menor do que dois (2) tiros por pé;

• Se as perfurações se encontram obstruídas;

• Durante a limpeza das perfurações.

Os problemas de ruptura por tração podem ser resolvidos re-perfurando

com uma maior densidade do canhoneio.

2.3. Fatores que afetam a produção de areia

Os seguintes subtópicos estão baseados no trabalho de Veeken et al

(1991) que realizaram um inventario dos parâmetros que influenciam a produção

de areia em poços verticais ( ver Tabela 1)

23

Tabela 1.- Parâmetros que influenciam a produção de areia

Formação Completação Produção

Rocha Reservatório Inclinação e

diâmetro de poçoVazão

Tensões in situ Poro-pressão

Tipo de

completação

(poço aberto ou

com revestimento)

drawdown

Resistência Permeabilidade Tipo de canhoneio Velocidade de fluxo

Raio de drenagemFluidos de

completaçãoProfundidade

(influencia a

resistência e as

tensões) Espessura do

reservatório

Tipo de controle

para produção de

areia

Volume de areia

acumulado

2.3.1. Fatores relacionados à formação

A magnitude das tensões in situ influencia a concentração de tensões na

parede do poço e nos túneis abertos pelo canhoneio, afetando a produção de

areia.

A figura 3 apresenta o efeito das tensões na envoltória de ruptura, Morita

(1989). Quanto maior a tensão, maior probabilidade de ruptura por cisalhamento.

A probabilidade de ruptura por tração é menor.

A depleção no reservatório aumenta as tensões efetivas, especialmente a

vertical. O problema de produção de areia em rupturas por tração pode ser

diminuído com a diminuição da pressão do reservatório, todavia a ruptura por

cisalhamento converte-se em um problema sério, ainda mais em formações

frágeis

24

Figura 3.- Efeito das mudanças nas tensões in situ em a estabilidade de cavidades

esféricas (Morita 1989)

A influência da resistência da rocha sobre a estabilidade da cavidade tem

sido estudada tanto experimentalmente, como analiticamente. Observa-se que a

produção de areia é gerada por um mecanismo de plastificação e

enfraquecimento do material adjacente à cavidade, devida a uma excessiva

tensão externa, Tronvoll et al (1997)

A variação da poro-pressão no reservatório submetido a um campo de

tensões desviadoras, durante a produção, pode reduzir a resistência ao

cisalhamento, favorecendo a produção de sólidos.

2.3.2. Fatores relacionados à completação

Após o poço ter sido revestido, injeta-se pasta de cimento no espaço

anular entre o revestimento e a formação. Devido ao endurecimento da pasta, o

cimento poderá sofrer retração e, conseqüentemente, reduzir a tensão radial (σr)

atuante na parede do poço. A diminuição da tensão radial aumenta a tensão

desviadora, possibilitando a criação de uma zona fragilizada, composta por

25

material similar à areia, susceptível ao transporte pelo fluxo de fluido (ver Figura

4).

Figura 4.- Plastificação da formação por contração do cimento

(Dusseault & Santarelli, 1989)

A operação de canhoneio, realizada após a cimentação, também leva à

desintegração da estrutura da rocha reservatório. Esse procedimento provoca a

produção de sólidos a partir das paredes plastificadas das pequenas cavidades

formadas (Figura 5)

Figura 5.- Plastificação da formação após o canhoneio

(Dusseault & Santarelli, 1989)

A ação do canhoneio cria uma região onde a cimentação mineral é

destruída e muitos grãos encontram-se triturados. No entorno da cavidade uma

sucessão de regiões comportam-se de diferentes formas. Mais afastado da

26

cavidade há uma região elástica não afetada pelo canhoneio, uma região elasto-

plástica intermediária apresentando um variado grau de dano e uma terceira

região, adjacente à cavidade, onde a rocha está completamente desagregada e

as deformações devem se comportar de forma completamente plástica.

A geometria do canhoneio é outro item a ser considerado. Há vinte anos

quando o sistema de canhoneio era menos eficiente, cavidades de pequena

dimensão e uma baixa densidade não tinha sucesso. Isto, no intervalo produtor

levava a problemas relacionados à ruptura por tração (Morita, 1987)

2.3.3. Fatores relacionados à produção

A velocidade do fluido e sua viscosidade afetam diretamente a migração

de finos - partículas de pequeno diâmetro das frações silte e argila — através do

meio poroso. Esta migração, por sua vez, promove o tamponamento parcial dos

poros reduzindo a permeabilidade da formação e incrementando o gradiente de

poro-pressão. Como conseqüência eleva-se as forças de percolação, o que pode

levar o arcabouço rochoso à ruptura por tração. (figura 6)

Figura 6.- Rupturas por tração associadas à força de percolação. poço aberto (lado

esquerdo) túnel canhoneado (lado dereito)

Cook et al. (1994) discutiram a importância relativa do fluxo radial e

longitudinal nas cavidades canhoneadas. Baseados em dados de campo, os

autores estimaram que a velocidade longitudinal é cerca de 50 a 100 vezes

maior do que na direção radial, portanto mais relevante que esta última. O

27

principal papel do fluxo radial seria alimentar o fluxo que ocorre ao longo da

cavidade canhoneada.

O drawdown, foi proposto por Morita et al (1989), junto com o gradiente de

pressão como parâmetros que governam a estabilidade das cavidades

canhoneadas. Para elevados valores de drawdown, predominam rupturas por

cisalhamento enquanto o alto gradiente de poro-pressão nas vizinhanças das

cavidades propicia rupturas por tração

Papamichos (2008) definiu que o volume de areia produzida depende do

tipo de ruptura e esta, em função do tipo de arenito como mostrado na Figura 7.

Os ensaios revelaram que as rupturas dos cilindros vazados seguem modos que

dependem basicamente do tipo de arenito, os quais foram definidos como:

• Classe A, Frágil

• Classe B, Dúctil

• Classe C, Compacta

Figura 7.- Formas de rupturas típicas para arenitos. (a) Classe A (e.g Castlegate) (b)

Classe B (e.g. Field G), and (c) Classe C (e.g. arenito sintético)

No caso do arenito classe A, a produção de areia aumenta rapidamente

com o acréscimo das tensões externas, devido ao rápido desenvolvimento da

ruptura tipo fenda. A razão desta rápida evolução deve-se ao fato da rocha

28

romper como grãos independentes ou pequenas estruturas as quais não tem a

possibilidade para formar arcos estáveis.

A produção de areia da amostra B é cíclica, logo de um processo de

diminuição na taxa, começa um incremento na produção com os acréscimos de

tensão externa. No caso do arenito C, a ruptura caracteriza-se por ser estável,

mostrando um aumento da produção de areia mais demorado.

2.4. Modelos de predição de areia

Morita (1989) e Vekeen (1991) classificaram as técnicas de previsão de

produção de areia baseados em observações de campo, ensaios de laboratório

e (previsões) de modelos teóricos.

Observações de campo: consiste no estabelecimento de uma correlação

entre dados de produção de areia de um poço e parâmetros operacionais.

Modelos semi-analíticos: Ou modelos laboratoriais, são desenvolvidos com

base em teorias analíticas simplificadas e expeditas, associadas a correlações

empíricas calibradas com os dados de campo e ensaios de laboratório em

condições controladas. A modelagem é macroscópica e os efeitos microscópicos

são incluídos por estes fatores de correção. Como os ensaios de laboratório são

efetuados em menor escala que os fenômenos de campo, estes modelos se

baseiam em alguns modelos teóricos para a extrapolação dos dados obtidos.

Modelos semi-analíticos existem para predição de início de produção e previsão

de taxa de produção.

Como exemplo tem-se os modelos apresentados por Papamichos (2008)

para a determinação do volume de areia a partir do tipo de ruptura da rocha.

Esses modelos estão baseadas em analises de ensaios de laboratório

feitos através do modelo de erosão de produção de areia, as quais conduziram a

um modelo onde a massa de areia produzida é função das tensões, do gradiente

de poro-pressão na cavidade, do tempo de ensaio assim como parâmetros do

material (Papamichos, 2002).

( )ssscc dpatdpMsMs σσ ,,;,,= (2.1)

A desvantagem da função proposta inicialmente é que não diferencia os

tipos de arenitos. Por isto, a equação é substituída por três equações que

dependem do tipo de arenito.

29

Classe A: (2.2)

Classe B: (2.3)

Classe C (2.4)

Onde:

,Ms é a quantidade de areia por área da cavidade

,nσ é o excesso de tensão normalizado

,Cdr

dp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ é o gradiente de poro pressão critica para produção de areia

Sa , é uma constante de calibração, os colchetes indicam que o resultado

e zero se o resultado é negativo.

Van De Hooke, (2000) propôs através da teoria da bifurcação um modelo

para a determinação da produção de areia em cavidades cilíndricas e

hemisféricas. Os resultados contradizem os resultados de Morita nos anos 80´ já

que o tipo de ruptura na cavidade não foi influenciado pelas tensões efetivas da

cavidade e se pelas dimensões das mesmas.

Outro modelo conhecido e estudado no presente trabalho (Capitulo 7) é o

modelo Semi-Analitico de Willson (2002)

Modelagens analíticas ou teoricas: buscam no ferramental da mecânica

dos meios contínuos, da mecânica da fratura e da dinâmica dos fluidos a

abstração macro e microscópica dos fenômenos envolvidos na estabilidade da

cavidade do poço ou canhoneio, conduzindo a um modelo de ruptura. Os

modelos de ruptura mais empregados são à tração, ao cisalhamento, à

compressão e à erosão. Estes modelos estão relacionados com a predição do

ponto inicial de produção. Como exemplo cita-se os modelos de Morita (1989)

para cavidades cilíndricas e esféricas.

Os três modelos, quando bem calibradas, apresentam resultados

satisfatórios. Devido em parte à grande variabilidade dos dados e em parte aos

fenômenos não equacionados nos modelos apresentados, não se observam

30

vertentes melhores ou piores dentre as apresentadas, mas sim nichos de

aplicação (segundo intervalos de resistência mecânica, etc).

2.5. Experimentos para a simulação da produção de areia

Dentro dos ensaios contemplados para a simulação e a pesquisa dos

processos físicos envolvidos no processo de produção de areia tem-se o ensaio

de paredes espessas ou TWC entre o mais importante.

2.5.1. Ensaio em cilindros de paredes espessas, ou TWC (Thick Walled Cylinder)

Em sua forma mais simples, o ensaio baseia-se em um cilindro vazado de

paredes espessas o qual é submetido a uma compressão axial e confinado por

uma pressão a qual é constante ao redor da seção circular externa. No furo

interno, podem se ter fluxo ou simplesmente o fluido estático à pressão

atmosférica. Ao longo do ensaio são medidas as deformações do corpo de

prova.

A proporção definida como a mais comum é a OD:ID (outer diameter:inner

diameter) de 3:1, porem, os conhecedores do tema recomendam fazer ensaios

em amostras com relações maiores. Em quanto ao comprimento, mantém-se a

mesma usada nos ensaios triaxiais, OD:L 2:1.

31

Figura 8.- Configuração do ensaio de cilindro de paredes espessas (TWC)

Existe uma grande variedade de estudos apresentados com relação ao

comportamento, tipo de ruptura na rocha, influencia do tamanho assim como as

relações entre a resistência à compressão uniaxial, UCS

Van den Hoek (1992) observou que para amostras de 8 mm a 28 mm de

diâmetro interno o valor da resistência diminui, embora para diâmetros maiores o

valor é mantido praticamente constante, no caso do arenito de Berea e do mar

do norte com uma relação OD:ID ao infinito, o maximo valor do fator de correção

varia entre 3.0 e 3.8, dependendo do valor pos-pico no amolecimento do material

Wilson et al (2002) afirma que as pesquisas feitas pela BP (British

Petroleum) sobre uma variabilidade de amostras com diferentes relações de

OD:ID e a sua vez variando o tamanho do ID demonstrarem o efeito no ensaio.

O efeito do tamanho é conhecido como um fator importante em ensaios

mecânicos, por exemplo, o ensaio de resistência à tração brasileiro, resistência à

compressão uniaxial etc.

32

Figura 9.- Relação da pressão externa em função da espessura (relação OD/ID) e

diâmetro interno no ensaio TWC (Willson, 2002)

No caso do tipo de ruptura, van den Hoek (1992) observou breakouts que

crescem pelo mecanismo de cisalhamento em amostras de Berea, entretanto, os

arenitos de Casteglate apresentaram fraturas à tração.

Barreto (2004) observou a través de tomografia computadorizada o inicio

e desenvolvimento da falha em tempo real assim como a tensão inicial de falha

da rocha.

Papamichos (2008) no seu trabalho observou o seguinte comportamento

de ruptura:

Arenito classe A: o inicio da fratura com forma côncava indicando ruptura

por tração assim como desenvolvimento de trincas. A largura da fenda

permanece constante em todo o comprimento.

Arenito classe B, tem-se o desenvolvimento de breakouts convexos

devido à ruptura por cisalhamento. Com o acréscimo da tensão externa

desenvolvem-se bandas cisalhantes o que faz o breakout maior.

Na classe C, se observo o desenvolvimento de uma ruptura uniforme ao

redor da cavidade a qual é erodida pelo fluxo do fluido resultando o aumento da

cavidade de forma uniforme (Figura 7).

van den Hoek (1992), estabeleceu uma relação do ensaio UCS com o

TWC, onde as tensões tangenciais no diâmetro interno do furo de 8 mm

superam o valor de UCS por 4.5 e um fator de 9 para arenito do Mar do Norte.

Wu e Tan (2000) estabeleceram uma relação entre os dois valores e

concluíram que a resistência nominal do TWC tem um comportamento constante

de 1,5 para materiais com UCS maior a 30 (Mpa).

3. Descrição do Campo em estudo

Este capítulo tem por finalidade descrever a área em estudo, além da

contextualização do leitor nas principais propriedades do reservatório que foram

utilizadas para o analise numérica e analítica.

3.1. Antecedentes

A primeira referencia de petróleo na Venezuela foi através do Gonzalo

Fernandez de Oviedo quem informa em 1535 a existência de óleo no mar ao

Oeste da ilha Cubagua, e logo, em 1540 faz referencia à presencia de óleo nas

costas do Golfo de Venezuela, Martinez (1976)

No entanto, foi em 1914, em Mene Grande, localizado na Costa Oriental do

Lago, Bacia de Maracaibo, quando através do poço Zumaque-1 foi descoberto o

primeiro campo gigante no país.

A bacia de Maracaibo é uma das bacias mais importantes da Venezuela, a

rocha mãe por excelência é a formação La Luna de idade Cretáceo Tardio. O

petróleo foi gerado, migrado e acumulado em diversos lugares, sendo o mais

importante o ocorrido no levantamento andino.

Os principais campos de petróleo encontram-se na Costa Oriental do Lago

de Maracaibo, tendo, por exemplo: Cabimas, Tia Juana, Lagunillas, Bachaquero,

Mene Grande e Motatán. Na costa oeste, campos como Urdaneta, la

Concepcion, Mara e La Paz. No centro, Lago, Centro, Lama e Lamar.

34

Figura 10.- Localização da Bacia de Maracaibo, Venezuela

3.2. Descrição do reservatorio

Descoberto no ano 1978, o reservatório encontra-se localizado no Campo

Ceuta, ao centro-Sul do Lago do Maracaibo. Possui uma área de 143 km2. Com

profundidades máximas de até 5500 (m) / 18300 (ft) e temperatura de 320 °F. A

gravidade API (American Petroleum Institute) do fluido varia entre 29° e 35° e

pressões iniciais entre 60-77 (Mpa) / 9000-11500 (psi) uma porosidade e

permeabilidade media de 13% e 20 mD respectivamente. O principal mecanismo

de produção é da expansão da rocha e os fluidos, Santarrosa (1992).

Geologicamente, o campo esta composto por duas falhas principais com

direção NNO-SSE que o limitam nos seus extremos este e oeste. Nos limites

Norte e Sul se têm falhas normais, reversas e conjugadas com direção quase

perpendicular que separam a zona em compartimentos (figura 11). O Campo é

dividido em três regiões ou zonas. O interesse neste trabalho é na região norte a

qual tem registrado os maiores problemas de produção de areia (figura 12).

35

Figura 11.- Mapa estrutural do reservatório

Fonte: (Ruiz, N; Silva, L; 2006)

Desde o inicio da perfuração (1978-1990) cinco (5) dos sete (7) poços

apresentarem problemas de produção de areia. A zona Norte apresenta os

maiores volume acumulados de areia produzida por poço. A figura 12 apresenta

a distribuição da areia acumulada no campo.

36

Figura 12.- Produção de areia acumulada no campo

3.3. Definição do estado de tensões e pressão de poro

De acordo com o Informe técnico desenvolvido no Intevep (1997), as

tensões in situ foram determinadas a través dos seguintes métodos:

Tensão de sobrecarga: determinada a partir da integração do registro de

densidade para um intervalo de profundidade de 1384-5300 (m) / 4543–17220

(ft) do poço A85.

Tensão Horizontal mínima: Obtida através do ensaio Leak-off ao nível do

revestimento intermediário de dois poços A84, A90, (furo aberto e revestido)

Tensão Horizontal máxima: Calculada a partir dos dados do Leak-off e a

seguinte correlação baseada na determinação da pressão de ruptura de uma

fratura em regime elástico.

ToPoSHShPb +−−= 3 (3.1)

Onde Sh é a tensão horizontal mínima, SH é a tensão horizontal máxima,

Po é a pressão de poro, Pb é a pressão de ruptura do Leak-off e To, é a

resistência à tração

Os resultados indicam um regime de tensões de tipo transcorrentes, de

modo que, SH>Sv=>Sh, a tabela 2 resume os gradientes no campo

37

Tabela 2.- Definição dos gradientes de tensão do campo

Gradiente de tensão

(psi/ft) SH 1,40-1,30 Sh 1,00 Sv 1,1

Fonte: Apresentação. “Evaluación del Cañoneo Orientado".

Fevereiro de 1998, Intevep.

Uma prova dos altos gradientes horizontais na formação é o

comportamento dos testemunhos tirados dos poços da área os quais

apresentam Core Disking (figura 13).

Figura 13.- Core Disking, prova dos altos gradientes horizontais na zona

No caso das direções, a figura 14 apresenta o comportamento da tensão

horizontal maior no reservatório do Campo. Observa-se como dependendo a

localização do poço (zona norte, central ou sul) existe uma rotação na direção da

tensão horizontal máxima.

38

Figura 14.- Variação da direção da tensão horizontal maior no reservatorio

3.3.1. Pressão de poros

Existem vários métodos para determinar a pressão de poros do

reservatório. Um dos métodos mais conhecidos utiliza registros sônicos.

Mediante a correlação de Eaton, aplicada ao perfil de velocidade sônica (Fjaer,

2008) tem-se que:

( )( ) [ ]

sonicoperfildoalcompresionOndacahidrostátipressãodenormalGradientek

normalasobrecdetensao

asobrecdetensaoD

psiDkDPo

c

Dnv

Dv

cn

DnvDv

==

=

==

→−−=

τ

σ

στ

σσ

arg

arg/6,29005

)(

)(

)(

)()(

(3.2)

3.4.Definição das propriedades mecânicas

Foram realizados ao longo do tempo muitos ensaios nos arenitos do

reservatório em estudo, tanto nos laboratórios de Intevep como em companhias

de serviço No entanto, o critério para escolher os dados a serem usados na

simulação se baseou na localização (poços vizinhos) e o reservatório destas

39

amostras respeito às amostras que foram ensaiadas para o desenvolvimento

desta dissertação. As propriedades de coesão e ângulo de atrito calculadas a

partir de ensaios triaxiais, assim como o comportamento tensão-deformação se

apresentam na seguinte tabela e figura respectivamente.

Tabela 3.- Propriedades mecânicas do arenito A. ensaios feitos no Intevep

POÇO COESÃO ϕ POROSIDADE

(psi) / (Mpa) (°) (%)

2 2400 / 16.54 41.5 18.5

2 2820 / 19.44 41.7 16.1

Figura 15.- Ensaios de compressão uniaxial efetuados no Intevep

No caso das constantes elásticas, estas foram determinadas a partir dos

ensaios UCS executados nas amostras e que será explicado no Capitulo 5. Para

a modelagem será usado como critério de falha o modelo poro-elástico de

Drucker Prager. Os parâmetros que definem este modelo foram determinados a

partir dos parâmetros de Mohr Coulomb. No caso do estado de deformação

plana, as equações que definem os parâmetros são (considerando fluxo

associado)

40

φ

φβ2sin

311

sin3tan×+

×= (3.3)

φ

φ

2sin311

cos3

×+

×=

cd

(3.4)

Onde βtan é comumente referida como o ângulo de atrito do material, d a

coesão do material no modelo de Drucker e c a coesão do modelo de Mohr

Coulomb

A razão principal para utilizar o Modelo de Drucker Prager é o fato do

modelo de Mohr Coulomb assumir que a falha independe do valor da tensão

intermediaria enquanto Drucker-Prager a considera. Além disso, a vantagem em

termos de estabilidade numérica que o modelo propõe

Detalhes do modelo podem ser vistos no Abaqus Analysis User´s Manual,

seção 18.3.1 No caso das amostras utilizadas para os ensaios, a seguinte figura mostra

o registro de litologia de um dos poços estudados.

Figura 16.- Comportamento do registro litologico do poço

41

Como se observa, a litologia do poço é muito variável ao longo da

profundidade, embora a amostra tenha sido obtida dos trechos com os arenitos

mais limpos, observa-se uma grande quantidade de folhelho e intervalos de

pouco interesse em termos de produção.

3.5. Representação esquemática dos poços da área

Devido às características do reservatório: profundidade, pressão e

temperatura, os poços são revestidos e canhoneados no reservatório. A figura

17 apresenta o esquema padrão dos mesmos.

Figura 17.- Representação esquemática padrão dos poços

4. Programa Experimental

Para a determinação das propriedades de deformabilidade e resistência

dos arenitos em estudo a serem utilizados no modelo numérico, foram

executados ensaios de compressão simples (UCS) nos laboratórios do Cenpes-

Petrobras. Foram também realizados ensaios de compressão em cilindros de

paredes espessas para uso em modelos de previsão da produção de areia

utilizando o modelo analítico de Willson (Willson, 2002). Os procedimentos para

a obtenção dos corpos de provas a serem utilizados nos ensaios referidos acima

são descritos a seguir.

4.1. Preparação dos corpos de prova

Para a preparação dos corpos de prova contava-se com um testemunho

de 18 cm (7,0 polegadas) de comprimento e 10 (cm) / 4,0 (polegadas) de

diâmetro, identificado como Amostra 1, pertencente ao poço do reservatório em

estudo e mais três testemunhos com dimensões de 10 (cm) / 4,0 (polegadas) de

comprimentos por 6,50 (cm) / 2,625 (polegadas) de diâmetro de um campo

vezinho, identificados como Amostras 2, 3 e 4.

Como todo processo de sondagem e transporte pode afetar aos

testemunhos, antes de começar a preparação dos corpos foram feitas

tomografias computadorizadas de raios X no Laboratório do Cenpes com o

objetivo de observar o estado das amostras.

43

Figura 18.- Tomografia computadorizada das amostras em estudo

Figura 19.- Tomografia computadorizada (em escala de cores) das amostras em estudo

As figuras apresentam a presença de fraturas nos testemunhos, sobretudo,

em as amostras 3 e 4. Na figura 19, a escala de cores para cada amostra é

individual, porém todas representam as regiões de maior contraste tanto para

menor densidade (azul) quanto para maior (vermelha)

Sendo assim, foi nestas amostras que se teve ainda mais cuidado na

preparação dos corpos de prova.

A metodologia tem inicio com os cortes dos testemunhos com a serra

circular diamantada de quarenta milímetros de espessura visando garantir a

mínima perda da rocha.

44

Depois de cortada a seção, a amostra foi levada ao processo de

usinagem em torno mecânico, na qual as superfícies são deixadas lisas,

melhorando as imperfeições geradas nos processos anteriores.

As amostras para os ensaios de compressão uniaxial forem

dimensionadas com diâmetros de 1,27 (cm) / 0,5 (polegadas) e comprimentos de

2,54 (cm) / 1 (polegada), mantendo desta forma a relação recomendada pelo

ISRM (1981).

Figura 20.- Corpos de prova para os ensaio de Compressão uniaxial

No caso das amostras do ensaio de paredes espessas foi feito um furo

interno que deve obedecera uma relação 3:1 com o diâmetro externo. Neste

caso, o corpo de prova é de 3,81 (cm) / 1,5 (polegadas), por tanto, o furo interno

foi feito de 1,27 (cm) / 0,5 (polegadas) A amostra é envolvida por uma membrana para impedir que o fluido do

equipamento afete a constituição mineralógica do corpo, ou seja, a tensão seja

transmitida diretamente na membrana e não na rocha.

Uma vez feito o furo é seguido o faceamento das superfícies através de

um rebolo diamantado visando garantir o paralelismo das fases e a

perpendicularidade com o eixo da amostra.

45

Figura 21.- Corpo de prova para os ensaio de cilindro oco

O total dos corpos de provas se apresenta na seguinte tabela

Tabela 4.- Corpos de prova

Testemunho Corpo

de prova

Litología Tipo de ensaio

AMOSTRA 1 01 TWC

AMOSTRA 1 02 TWC AMOSTRA 1 03 TWC AMOSTRA 1 04 UNIAXIALAMOSTRA 1 05 UNIAXIALAMOSTRA 1 06 UNIAXIALAMOSTRA 1 07 UNIAXIALAMOSTRA 2 08 UNIAXIAL

AMOSTRA 2 09

ARENITO

UNIAXIAL

4.2. Equipamento utilizado

Os ensaios foram executados no laboratório de Mecânica das Rochas do

Centro de Pesquisa da Petrobras S.A, CENPES, no Rio de Janeiro. Para os

ensaios de compressão uniaxial foi utilizado o equipamento MTS 816 de

capacidade de 500 KN em compressão.

Para o ensaio TWC, foi utilizado o equipamento MTS 815, que consiste

de uma prensa servo-controlada com rigidez de 10 GN/m e capacidade de

2700 KN em compressão. Para as medidas das deformações axial e radial

foram utilizados extensômetros elétricos modelos MTS 632.11C-20 (axial) e

46

632.92C-03 (radial), cujas sensibilidades são de 2,386 mV / V (axial) e 0,765

m V / V (radial), Barroso (2002).

4.3. Metodologia Utilizada

4.3.1. Ensaio de Compressão Uniaxial

Optou-se pela realização dos ensaios uniaxiais com controle de

deformação antes de chegar à resistência máxima, tendo em vista as

vantagens que esse procedimento oferece em relação aos ensaios com

tensão controlada, especialmente para a obtenção do comportamento pós-

pico da rocha. A escolha da taxa de carregamento (0,05 KN/seg) obedeceu

basicamente ao valor conhecido de ensaios feitos no passado e

dimensionamento da amostra. A taxa de deformação radial foi de 1,20E-4

mm/seg

Para a obtenção do comportamento pós-pico é necessário calibrar o

equipamento já que o ensaio necessita fazer seguimento das deformações

laterais, que no caso de corpos de provas tão pequenos é necessário.

Foram realizados também durante os ensaios ciclos de carregamento e

descarregamento para identificar o comportamento elasto-plástico do

material.

Figura 22.- Execução do ensaio de compressão uniaxial

47

4.3.2. Ensaio de paredes espessas (Thick walled cylinder, TWC)

O ensaio em cilindros de paredes espessas é versátil e pode ser utilizado

em diferentes aplicações. Sua geometria particular é particularmente útil para

reproduzir condições de tensões ao redor de escavações subterrâneas e simular

uma grande variedade de trajetória de tensões do que outros ensaios

A metodologia original do ensaio, corresponde a um corpo de prova de

dimensões OD:ID:L (relação diâmetro externo, diâmetro interno, comprimento)

de 25 mm: 8.5 mm: 50mm com tensões axiais e radiais iguais (mesma pressão

confinante). O ensaio é realizado sem fluxo e conduzido até o colapso (perda

total da coesão da parede interna) do corpo de prova. O valor é registrado como

a resistência à TWC

Em termos de produção de areia, Veeken et al. (1991) propuseram este

ensaio devido ao fato da elasticidade não linear e a plasticidade serem partes

dos resultado dos TWC. O ensaio compreende os seguintes passos:

• As amostras são previamente saturadas com óleo por

aproximadamente 24 horas. Isto com a idéia de representar as

condições de um túnel canhoneado.

Figura 23.- Saturação das amostras. Ensaio de cilindro oco, ou TWC

48

Figura 24.- Corpo de prova saturado

• Revisão das dimensões da amostra, sobretudo, a uniformidade do

diâmetro interno.

• Colocação dos caps na base e topo da amostra os quais são

fixados com fita adesiva.

• Cobertura da amostra com membrana termo-retractil “teflon”, a

qual é aderida ao corpo de prova utilizando-se um soprador

térmico marca Steinel modelo HL 1800E de 200 a 1500 (W) que

atinge temperaturas de até 600 (°C). Logo depois, o topo e base

são amarrados com arame (entre os caps e a camisa). Todo o

processo é apresentado na seguinte figura.

Figura 25.- Colocação dos caps no corpo de prova

49

• O processo continua com a montagem dos extensômetros elétricos ao

redor do corpo de prova e logo na célula triaxial (figura 26)

Figura 26.- Montagem dos extensômetros elétricos

Figura 27.- Execução do ensaio de cilindro oco

• O ensaio começa sendo expulsas as bolhas de ar no sistema. Logo a

amostra é colocada em um précarregamento de 0,3 (Mpa)

aproximadamente com o objetivo de evitar deformação excessiva

durante a pressurização.

• É enchido o furo interno com óleo, para logo fazer mais uma prova de

que não exista ar no sistema.

• Começa o carregamento tipo hidrostático a uma taxa de acréscimo de

0,1 KN por segundo

50

• São medidas as deformações axiais e laterais através dos

extensiômetros.

• Quando é observada a inflexão da curva de deformação, momento no

qual começa o colapso do material a taxa de confinamento é baixada e é

deixado até o corpo de prova romper.

• É assentado o valor de colapso, conhecido como resistência à TWC

5. Resultado dos ensaios experimentais

Os resultados serão apresentados seguindo a ordem utilizada para a

descrição dos ensaios no capitulo anterior.

5.1. Resultados dos ensaios uniaxiais

No total foram ensaiadas seis (6) amostras, nas quais (como foi

mencionado no capitulo anterior) foi feito o controle de deformação, isto para

analisar o comportamento pós-pico do material. Para rochas que exibem

comportamento frágil, quando carregadas em compressão uniaxial não é

suficiente o controle da taxa de ruptura, portanto, a “preservação” das amostras

(sem rupturas explosivas) nas regiões de pico e pós condicionaram a preferência

pelo controle de deformação.

A Figura 28 mostra comportamento da curva tensão-deformação de dois

corpos de prova do arenito A

52

Figura 28.- Comportamento tensão-deformação

dos corpos de prova 05 e 12 do arenito A

Segundo Wawersick & Fairhurst (1970) é possível distinguir entre duas

classes de comportamento de rocha, sob compressão uniaxial além do pico de

tensão máxima. Os autores acima definem os materiais de classe I como

aqueles cujo comportamento é caracterizado por uma propagação estável de

fraturas, tal que um trabalho externo deva ser realizado para que a amostra sofra

uma posterior redução em sua capacidade de suportar a carga aplicada. Nos

materiais de classe II ocorre uma propagação instável dessas fraturas em face

da energia de deformação acumulada na rocha, que é suficiente para manter o

crescimento de fissuras logo depois do pico de resistência tenha sido

ultrapassado. O exemplo de este comportamento é apresentado na figura 28.

Para o caso das amostras ensaiadas elas apresentam o comportamento

similar como aquele definido como tipo II (ver figura 29).

Os arenitos que apresentam algum tipo de cimentação, mesmo quando

muito brandos, têm comportamento frágil e com trecho de pós-pico tipicamente

de classe I. Isto ocorre provavelmente porque estas rochas têm rigidez baixa e

não possibilitam que a máquina de testes acumule energia de deformação,

sobretudo quando ensaiadas em sistemas rígidos e servo-controlados. Portanto,

é aceitável supor que o comportamento de classe II seja se não característico

mais provável em rochas de alta rigidez.

53

Fatores ligados às características da máquina de testes, às taxas de

deformação aplicadas durante os ensaios, à geometria dos corpos de prova e à

própria estrutura da rocha exercem significativa influência sobre a forma da

curva tensão-deformação na região de pós-pico (Wawersick & Fairhurst, 1970;

Hudson et al., 1972).

Figura 29.- Classificação do comportamento tensão-deformação de rochas sob

compressão uniaxial durante o amolecimento. Wawersick & Fairhurst (1970)

A figura 30 mostra o modo de ruptura encontrado para o CP05 (ruptura por

cisalhamento)

Figura 30.- Corpo de prova # 5. Logo após do ensaio UCS

Logo após determinar o valor da resistência à compressão uniaxial, foram

definidos os trechos de descarregamento – recarregamento com o objetivo de

conhecer melhor o comportamento elasto-plástico da rocha.

54

A Figura 31 apresenta o comportamento tensão-deformação encontrada

para os CPs 08 e 10.

Figura 31.- Comportamento tensão-deformação com ciclos de

descarregamento e re-carregamento

Como se pode observar, além das amostras terem valores de resistência

máximas bem diferentes, o CP 10 atingiu quase 100 (Mpa), no entanto o CP 08

alcanço a resistência observada nas amostras previamente ensaiadas, 60 (Mpa).

Só uma parte da deformação produzida no carregamento é recuperada no

descarregamento seguinte. Comparando as deformações permanentes em cada

amostra, observa-se como para o mesmo nível de tensões o CP 08 tem maiores

deformações plásticas do que o CP 10.

A recuperação no descarregamento deve-se à energia elástica

armazenada nas partículas ao carregar a rocha. No entanto existe um

deslizamento inverso entre as partículas ao descarregar, Lambe & Whitman

(1969)

Para tensões inferiores à máxima do primeiro ciclo de carga, o arenito tem

uma rigidez ainda maior ao voltar a carregar, já que grande parte do

deslizamento potencial entre as partículas foi produzida no primeiro ciclo. Ao

passar a tensões maiores do primeiro ciclo, a curva tensão-deformação é

praticamente a mesma.

55

Goodman (1989) afirma a dificuldade de definir exatamente o que significa

E e ν já que não é simplesmente a tangente da curva virgem (Ver figura 32). Por

isso a recomendação de determinar os parâmetros elásticos da curva de

recarregamento.

Figura 32.- Curva virgem (traços) e curva re-carregada (continua) para a determinação

dos parâmetros elásticos (Goodman, 1989)

Os valores dos coeficientes de elasticidade são determinados a partir das

Figuras 31 e 33.

56

Figura 33.- Comportamento tensão-deformação radial para o

cálculo da relação de poisson

Assim foram estabelecidos os valores de 20E3 (Mpa) / 2,96E6 (psi) para o

módulo de elasticidade e de 0,22 para o módulo de Poisson. Em dois dos

ensaios observou-se a repetibilidade dos resultados.

Existem problemas que envolvem a determinação dos módulos de

elasticidade em amostras pequenas. Primeiro, o fato dos extensômetros ficar em

o centro da amostra com o comprimento tão pequeno. Adicionalmente, os caps

afetam a medição. O comprimento da amostra não é tão grande para não

garantir o efeito dos caps.

5.2. Resultados dos ensaios com cilindros de paredes espessas (TWC)

Como foi comentado no capitulo anterior, o ensaio TWC foi executado em

sua forma mais simples, com monitoração das pressões externas e

deslocamento do raio externo e sem considerar fluxo.

van den Hoek (1992) propõe que a resistência do cilindro de paredes

espessas na ausência de pressão interna pode ser usada como uma estimativa

57

do carregamento requerido para produzir a falha inicial de uma perfuração em

campo.

Foram realizados três ensaios utilizando cilindros de parede espessa. A

Figura 34 mostra o resultado encontrado com o CP01.

Figura 34.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com ensaio em cilindro

de parede espessa.

Como pode ser visto o ensaio não foi concluído, já que a célula chegou ao

carregamento máximo, 80 (Mpa), e a amostra não rompeu. O ensaio teve que

ser interrompido e foram avaliados os motivos para que isto tenha ocorrido.

O CP01 teve sua geometria alterada para uma relação de diâmetros ID:OD

2:1. Isto foi feito com o objetivo de procurar alcançar o valor máximo de

resistência da rocha naquelas condições.

Paralelamente aos ensaios foram feitas análises numéricas para sua

simulação. Estas análises foram realizadas diferentes relações ID:OD 3:1 e 2:1,

porem, mantendo as características do ensaio para observar o comportamento

das tensões ao redor do furo. Para isso foi usado o programa de elementos

finitos Abaqus; detalhes deste analise serão descrito no próximo capitulo, todavia

os resultados comparativos de ambas geometrias se apresentam na seguinte

figura.

58

Figura 35.- Tensões máxima e mínima ao longo do raio obtido de simulações numéricas

de ensaios de cilindros de parede espessa.

Pode se observar como o nível de tensões no interior da rocha atinge

valores de quase dois e três vezes a tensão aplicada no exterior para a

geometria 3:1 e 2:1 respectivamente. Sendo que no caso do primeiro ensaio não

foi o suficiente para colapsar a rocha. É importante ressaltar que embora a

simulação mostre a plastificação do furo, o corpo de prova não deu sinais de

amolecimento nem sequer no momento de modificar a geometria do mesmo.

Os resultados obtidos da análise numérica foram comparados com uma

solução analítica detalhada no Apêndice A. A figura 36 mostra a boa

concordância entre a solução numérica e a solução analítica. Na mesma figura

compara-se o uso dos modelos Mohr-Coulomb e Drucker Prager; notando-se

neste ultimo uma maior plastificação do raio para um mesmo nível de tensão.

59

Figura 36.- Comparação das tensões máximas e mínimas do modelo analítico e

numérico ao longo do raio

O ensaio com a relação de diâmetros 2:1 foi feito e o resultado é

apresentado na Figura 37.

Figura 37.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com ensaio em cilindro

de paredes espessas com relação de diâmetros 2:1

60

Neste caso o colapso da rocha foi atingido para um valor de pressão

externa de 75 (Mpa). Por outro lado se apresenta a ruptura do arenito ensaiado

da figura 35

Wu e Tan (2000) definiram que a grande diferença entre o valor UCS e o

TWC, é basicamente porque, a resistência do material no ensaio UCS é

unicamente uma medida da resistência do material cimentante (devido às

condições do ensaio, sem confinamento), no entanto, no caso do ensaio TWC, a

resistência ao colapso é uma combinação da resistência do material cimentante

e a resistência dos grãos de areia (devido à tensão deviadora).

Segundo a bibliografia, Wu & Tan (2000), a resistência reportada do TWC

corresponde as tensões tangenciais no diâmetro interno do furo que excede a

resistência à compressão simples (UCS) por um fator de 2 a 5. Nestes ensaios,

a relação ou fator entre TWC e UCS obtida para amostras de 8 mm de diâmetro

interno foi de 4,5 (arenito de Berea) e um fator de 9 para arenitos do Mar do

Norte. Os autores sugerem que esta diferença seja devida à dependência do

Modulo de Young pelas tensões confinantes o que causa que o ponto da tensão

tangencial máxima se desloque da parede ao interior da rocha. No caso dos

ensaios executados a relação diminui para 1,15 tendo em conta que o diâmetro

interno é de 19 mm.

Figura 38.- Falha da rocha no ensaio do cilindro ôco

Outro fator importante observado nesta amostra foi o tipo de falha

apresentada (figura 38). Segundo o estudo feito por Papamichos (2008) a

produção de areia aumenta rapidamente com o acréscimo das tensões externas,

devido ao rápido desenvolvimento da falha tipo fenda. A razão desta rápida

evolução deve-se ao fato da rocha falhar como grãos independentes ou

61

pequenas estruturas as quais não tem a possibilidade para formar arcos

estáveis.

Figura 39 Comparação do tipo de falha do trabalho de Papamichos com o ensaio TWC

Foram feitos mais dois ensaios e a figura 39 apresenta o comportamento

nos corpos de prova 3 y 4, sendo notável a similaridade das curvas e o valor de

TWC atingido.

Figura 40.- Comportamento tensão-deformação do ensaio TWC.

CP 03 e CP 04

Para saber se os resultados obtidos encontravam-se em um intervalo

aceitável, optou-se por colocá-los junto com correlações e dados coletados (ver

figura 39) de diferentes literaturas. Tronvoll (1997)

62

Figura 41.- Comparação dos resultados do TWC em função da resistência à

Compressão Uniaxial.

A Figura 41 mostra que os valores de resistência obtidos com os ensaios

de compressão simples e cilindros de parede espessa nos arenitos A são mais

elevados dos que aqueles reportados na literatura, mas parecem se enquadrar

na tendência geral aparente. Isto confirma o que foi mencionado anteriormente,

tanto as condições do poço quanto as características da rocha fazem este

estudo particularmente atípico

6. Modelagem numérica com o programa Abaqus

Este capítulo apresenta os resultados obtidos com a modelagem numérica,

realizada com o programa Abaqus em duas (2D) e três (3D) dimensões. Estes

resultados se referem às condições dos poços localizados na área em estudo,

descrita nos capítulos anteriores. O capítulo mostra também exercícios de

simulação numérica dos ensaios de cilindros de paredes espessas

6.1. Modelo de erosão 2D e 3D

6.1.1. Modelagem numérica em 2D

O modelo 2D representa um poço que em termos de completação define-

se como “poço aberto”, ou seja, o intervalo de produção não possui

revestimento.

As características do analise são: poço vertical, com a representação de

somente 25% do domínio e considerando um estado plano de deformação. A

geometria tem 10,2 m (401,5 polegadas) de largura do domínio e o diâmetro do

furo é de 0,3176 m (12,5 polegadas)

Os valores de carregamento no contorno e o drawdown aplicado estão

baseados em dados reais de campo. A rocha é considerada um meio poroso,

contínuo e isotrópico. A figura 42 mostra a representação esquemática do

carregamento aplicado.

64

Figura 42.- Representação do carregamento aplicado

A modelagem foi feita com elementos tipo CPE4P (Abaqus Analysis User´s

Manual), quatro (4) nós, com forma quadrilateral. A malha é mostrada nas

figuras 41 e 42, a mesma possui 2087 nós e 1993 elementos. O processo de

simulação é desenvolvido em três estágios

Figura 43.- Malha para a modelagem em duas dimensões

65

Figura 44.- Detalhe da malha (na zona do poço)

O primeiro passo, definido como a etapa geostática, é feito com o objetivo

de alcançar o equilíbrio logo após de colocar as condições iniciais de tensão e

poro pressão (Ver figura 45).

Figura 45.- Condições iniciais, de contorno e carregamento no modelo 2D

Na etapa de perfuração, são removidos os elementos que representam o

poço. É colocada uma força distribuída ao redor dele, a qual representa o fluido

de perfuração, sendo que, é considerado um fluido não penetrante, portanto, não

afetara a resistência mecânica da rocha.

Na etapa de erosão, o terceiro passo, as condições de contorno mudam

para aplicar a pressão de poro na parede do poço e começar o processo de

66

erosão. Neste trabalho as simulações foram feitas para tempos de 30 e 60

horas. Todas as etapas antes do processo de erosão são em regime

permanente, o processo de erosão é transiente.

6.1.2. Modelagem numérica 3D

O domínio do problema considera uma fatia circular de rocha de 0,20 (m) /

8 (polegadas) de espessura, o qual é atravessado por o poço e o túnel

canhoneado na sua seção axial e transversal respectivamente. O domínio tem

um diâmetro de 10 (m) / 400 (polegadas) o poço de 0,15 (m) / 6,25 (polegadas) e

o túnel de 0,043 (m) / 1,7 (polegadas) com 0,508 (m) / 20 (polegadas) de

comprimento. Na modelagem é considerada a tubulação de revestimento e

cimento. A rocha é modelada com elementos tipo C3D8P, e o revestimento com

M3D4. A malha tem um total de 15496 elementos.

Figura 46 Malha do modelo 3D

O processo é realizado em cinco (5) passos:

1. Geoestático, utilizado para equilibrar em relação as tensões iniciais,

poro pressão e o carregamento distribuído o qual representa a rocha

acima do túnel perfurado (figura 47)

67

Figura 47 Condições inicias, de contorno e carregamento aplicado

2. Perfuração: representa as operações de remoção dos elementos do

poço e o túnel canhoneado (figura 48)

Figura 48 Detalhe da malha 3D. Túnel canhoneado

3. Aplicação da pressão de fluido na face do túnel canhoneado (figura 49)

68

Figura 49 Aplicação da pressão de fluido nas faces do túnel canhoneado

4. No quarto passo (figura 50) é aplicada a pressão de drawdown

desejada com analise permanente (steady-state).

Figura 50.- Aplicação do diferencial de pressão no túnel canhoneado

5. O ultimo passo corresponde à analise transiente do processo de

erosão.

69

6.2. Modelagem numérica do ensaio de cilindro de paredes espessas

O objetivo deste modelo foi de analisar as tensões ao longo do raio do

cilindro para diferentes relações de diâmetro, entre 3:1 e 2:1 (ver figura 35). Esta

modelagem considerou estado de deformação plana e devido à simetria

somente 25% do domínio total. A malha foi feita, para ambos casos, com

elementos tipo CPE4R e o numero de elementos foi de 975 e 792 para as

geometrias 3:1 e 2:1 respectivamente (ver figura 51) .

Figura 51 Malhas utilizadas para a modelagem do ensaio de cilindro oco.

Relação de diâmetros 3:1 (a) e 2:1 (b)

70

Da mesma forma como o ensaio experimental, a carga foi imposta até o

valor máximo alcançado pela maquina no laboratório (80 (Mpa)/12000 psi). A

figura 52 apresenta as condições de contorno e a carga aplicada para o caso da

geometria 2:1

Figura 52.- Condições iniciais e de carga na modelagem

6.3. Sub-rotina de erosão do programa Abaqus

O programa Abaqus oferece ao usuário uma rotina escrita na linguagem

Fortran para análise dos processos de produção de sólidos em poços de

petróleo. Esta rotina é baseada no trabalho de E. Papamichos e M. Stavropoulou

(1998), na qual se considera a erosão na superfície do meio poroso. No item

seguinte será descrito o modelo matemático correspondente, assim como as

considerações assumidas.

Do ponto de vista da modelagem, a produção de areia em poços de

petróleo esta relacionada aos dois seguintes mecanismos:

• Instabilidade mecânica e falhas localizadas da rocha nas

vizinhanças do poço devido à concentração de tensões.

• Instabilidades hidro-mecânica devido à erosão interna e da

superfície, as quais se manifestam na transferência de partículas

pela ação das forças de percolação

Portanto, o modelo de erosão foi desenvolvido no marco da instabilidade

hidro-mecânica e as teorias de infiltração de Einstein.

71

fsff dVdVdVv +=

6.3.1. Definições do modelo matemático

Considera-se um volume elementar dV de um meio poroso, granular e

totalmente saturado. O volume possui três constituintes: uma fase fluida (ff), uma

fase solida (s) e as partículas sólidas fluidizadas (fs) com as massas dMff, dMfs,

dMs e volumes dVff, dVfs, dVs respectivamente. A figura 53 representa

esquematicamente os componentes do modelo. O símbolo dVv representa o

volume dos poros interconectados qual se encontra ocupado pelo fluido e os

sólidos fluidizados.

Figura 53.- Representação dos componentes que considera o modelo matemático

Onde dVfs são aquelas partículas em suspensão que se movimentam

com o fluido. Qualquer outra partícula que fica dentro dos espaços vazios é visto

como fase sólida.

6.3.1.1. Considerações do modelo

O fluido e as partículas fluidizadas possuem a mesma velocidade. Os

sólidos têm velocidade zero.

72

fsff

fsff

dVdVdMdM

+

+=ρ

(6.1)

A porosidade é definida por

(6.2)

A concentração de transporte dos sólidos fluidizados, C e definida por

(6.3)

As densidades da fase fluida e as partículas fluidizadas coincidem

com as densidades totais dos constituintes correspondentes

(6.4)

(6.5)

Define-se a densidade parcial da mescla como

(6.6)

Substituindo a concentração de transporte, e as densidades parciais na

equação anterior, tem-se que

(6.7)

Por outro lado, a velocidade da mistura é definida pela relação

dtdS

Vdqi

i = (6.8)

0=

==s

i

ifffs

V

VVVii

T

V

dVdV

=φ

V

fs

dVdV

C =

ffρ fsρ

fff

ffff dV

dMρρ ==

ss

s

fs

fsfs dV

dMdVdM

ρρ ===

( ) sf CC ρρρ +−= 1

73

fsier mm 'λ=

•

E a taxa de transferência de massa da mistura é definida por

6.3.2. Lei Constitutiva da geração de massa

Estudos teóricos e experimentais em relação à filtração das partículas não-

coloidais em meios porosos foram feitos nos anos 60´ por H.A Einstein na

Califórnia (Stavropoulou, 1998). Einstein propôs a seguinte forma para a taxa da

massa erodida

(6.13)

Onde, •

erm é a taxa de massa erodida, fsim a taxa de transferência de

massa das partículas fluidizadas e 'λ o coeficiente de produção de areia na

superficie

Substituindo a definição de mifs dada pela equação 6.12 na equação 6.13,

tem-se que

(6.14)

o que significa que a erosão é função da descarga das partículas

fluidizadas iqC

Espera-se que o processo de erosão seja mais intenso nas regiões

intactas as quais são caracterizadas por pequenos canais de poros, por isto

assume-se que

iser qCm λρ=•

( )

( ))12.6(

)11.6(1

)10.6(

)9.6(1

isfs

i

ifff

i

fsi

ffii

isifii

qCm

qCm

sejaou

mmm

qCqCqdSidt

VddSidt

Mdm

ρ

ρ

ρρρρ

=

−=

+=

+−====•

74

(6.15)

Onde λ é definido como coeficiente de produção de areia. Quando o

processo de erosão é acoplado com as deformações do material rochoso, λ é

função das deformações plásticas. Na rotina do programa Abaqus, a função que

define o comportamento do coeficiente é:

(6.16)

Sendo gp, a deformação plástica equivalente, gppeak a deformação plástica

máxima. λ1 e λ2 devem ser determinados experimentalmente, na sub-rotina

forem definidos valores de λ1= 4 e λ2=0,01.

Substituindo o valor de λ´ dado pela equação 6.15

(6.17)

(6.18)

Na equação 6.18 o termo do lado esquerdo é definido como “velocidade

de erosão”. Onde, λ, como mencionado anteriormente, é o coeficiente de

produção de areia e depende das deformações plásticas do material. (1-n) é a

porosidade, C é a concentração de transporte dos sólidos fluidizados e vw a

velocidade do fluido.

6.4. Uso das malhas adaptativas no modelo de erosão

O programa Abaqus utiliza malhas adaptativas para analise do processo

de erosão. As características básicas dos procedimentos utilizados são

( )φλλ −= 1'

iser qCm ρφλ )1( −=•

is

er qCm )1( φλρ

−=

•

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>

>−=

22

1

λλ

λλ

p

ppeak

pppeak

pp

gif

ggifggg

75

• Manter uma malha topologicamente similar

• É usada para resolver problemas de tipo Lagrangiano, ou seja, nenhum

material deixa a malha, e para modelar efeitos de redução de volume, no

qual o material é erodido da superfície.

• Restrições de malha Lagrangiana no nó são usadas para indicar que a

suavização da malha não deve ser aplicada, quer dizer, o nó deve seguir

o material.

• A suavização da malha é definida como parte da definição do passo; a

malha adaptativa usa um método na qual cada incremento consiste numa

fase lagrangiana seguida por uma fase eureliana. A fase lagrangiana é a

típica solução do programa onde nenhuma suavização ocorre. Uma vez

que as equações de equilíbrio tenham convergido é feito a suavização da

malha.

• A suavização da malha é feita logo que as equações de equilíbrio

estrutural tenham convergido. As equações de suavização da malha são

resolvidas explicitamente varrendo iterativamente no domínio da malha

adaptativa. Durante cada varredura da malha, nós do domínio são

realocados baseados na posição de nós vizinhos obtidos durante uma

analise previa para reduzir a distorção do elemento. A nova posição Xi+1

de um nó é obtida através de

Ni

Nii xNuXX ×=+= ++ 11 (6.20)

Onde X é a posição original do nó, 1+iu é o deslocamento nodal Nix são

as posições nodais das vizinhanças obtidas durante varredura previa de malha e NN são funções de peso. Os deslocamentos aplicados durante as varreduras

não estão associadas com o comportamento mecânico

7. Resultados do modelo numérico

Este capítulo apresenta os resultados obtidos com os modelos numéricos

definidos no capítulo anterior. Os resultados são também confrontados com os

dados existentes de produção de sólidos nos poços da área em estudo.

7.1. Resultados da modelagem numérica de problemas em 2D

Os resultados apresentados a seguir se referem basicamente à quantidade

de sólidos prevista na análise. Para isto foram utilizados os parâmetros do

modelo de erosão sugeridos pelo manual do programa Abaqus.

O valor do volume de areia, expressos em m3, assim como as

deformações plásticas ao redor do furo são apresentadas nas figuras 54 e 55

respectivamente. Embora ocorram deformações plásticas ao redor do furo, a

analise de erosão não consegue atingir valores comparáveis observados em

campo. Nota-se que a produção de areia é praticamente instantânea (ocorre nos

primeiros segundos da analise) alcançando um valor de 3,5E-5 (m3) por metro

de profundidade e que permanece constante ao longo do tempo de simulação.

77

Figura 54.- Volume de areia produzido em m^3/metro de profundidade

Figura 55.- Deformações plásticas equivalentes no poço

Um detalhe importante na figura 55 é o fato das deformações serem

maiores na direção de influencia da tensão horizontal maior. Pergunta-se porque

o modelo não estaria prevendo os valores obtidos no campo. Duas

possibilidades poderiam ser consideradas para responder essa pergunta, uma

que as constantes no modelo não representam o que acontece no campo e

outra, que as hipóteses do modelo também não se ajustam a esta realidade.

78

Devido ao fato de ter alguns parâmetros que influenciam diretamente a

equação da taxa de geração de massa, como por exemplo, a concentração de

transporte e os valores de λ1 e λ2, forem feitas algumas simulações variando

estes valores. A tabela 5 resume as variações feitas nos parâmetros C, λ1 e λ2

Tabela 5.- Parâmetros utilizados nas simulações

Simulação C λ1 λ2

1 0,001 5E4 75

2 10 5E4 75

3 10 4 0,001

4 1000 4 0,001

Figura 56.- Resultados das simulações 1 e 2 da tabela 5

79

Figura 57 Resultado das simulações 3 e 4

As figuras 56 e 57 apresentam os resultados do volume de areia

produzido nas diferentes simulações feitas. Não se observa maior variação do

comportamento, quer dizer, a variação dos parâmetros não modificou os

resultados obtidos previamente, ou seja, os volumes obtidos de sólidos

continuavam muito baixos.

Para tentar reproduzir os valores de produção de sólidos de campo, foi

introduzida na seqüência uma modificação na equação 6.16 que fornece os

valores de λ a serem usados na análise. A segunda parte da equação 6.16 foi

descartada para não limitar o coeficiente de produção de areia no valor λ2 ,

eliminando-se a restrição superior de λ em λ2.

80

Figura 58.- Resultado da simulação modificando a função do coeficiente de

produção de areia

Eliminar o limite máximo da função não alterou significativamente os

resultados como mostrado na Figura 58. Em seguida tentou-se colocar ao

mesmo tempo a variação dos parâmetros (como mostrado na tabela 6) e deixar

ilimitado o valor de λ (equação 7.1). O resultado na figura 57

Tabela 6.- Parâmetros para a simulação

C λ1

1000 4

( ) ( ){ ppeak

pppeak

pp ggifggg >−×= 1λλ (7.1)

Figura 59.- Volume de areia produzido com as novas modificações (Tabela 6)

Na figura 59, pode se observar a variação no comportamento da curva (já

não é mais uma produção instantânea) assim como do valor do volume de

81

produção de areia. Neste caso, para um tempo de simulação de 30,5 h o volume

produzido atinge valores da ordem de 0,6E-3 (m3) / 36,61 (polegadas3) por cada

metro de profundidade.

O tempo de simulação foi aumentado de 30,5 horas para 60 e assim se

avaliar a influência do tempo nesta analise.

Figura 60.- Volume de areia para o tempo de 60 horas

Nota-se, como mostrado na Figura 60 a tendência da produção de

aumentar com o tempo. Para o caso das 60 horas de simulação, a produção

alcança valores de 0,8E-3 m3 (48,81 polegadas3).

Foi feito um analise de sensibilidade da taxa de transporte dos sólidos

fluidizados. Os resultados resumem-se na seguinte tabela.

Tabela 7.- Analise de sensibilidade da taxa de transporte

Taxa de transporte, CVolume produzido

(m3/m de profundidade)

1 0,35E-05

10 0,50E-05

100 0,20E-03

1000 0,85E-03

Observa-se como este parâmetro tem um efeito marcante no volume de

areia produzido. Para continuar com o estudo, foram utilizados os parâmetros da

tabela 7.

A figura 61 ilustra a seqüência do processo de erosão produto das

modificações efetuadas pelo programa Abaqus na malha.

82

83

Figura 61.- Seqüência do processo de erosão expressado em deformações plásticas

equivalentes (PEEQ)

As seqüências da figura 59 mostram como os nós da malha vão se

desativando e tomando novas posições, que é basicamente o que ocorre com o

processo de malhas adaptativas, explicado no capitulo anterior. Se

considerarmos 3 (m) / 10 (ft) de espessura da camada, o resultado do volume

produzido de areia para o intervalo está representado na figura 62.

Adicionalmente, devido à tendência da curva e poupar tempo de simulação foi

feito um ajuste de curva de potência onde foi extrapolado o comportamento para

um tempo de 200 horas.

Figura 62.- Volume produzido para um tempo de 200 horas

Supondo que a extrapolação na curva seja correta, tem-se para um

tempo de simulação de oito (8) dias um volume de areia produzido de

aproximadamente 25 (bbl) / 3,97 (m3).

84

Até agora foram ajustado parâmetros que são intrínsecos da formação,

os quais são normalmente obtidos através de ensaios de laboratório. Na

equação da taxa de erosão, o único parâmetro que pode ser manipulado é a

velocidade do fluido, que é função direta do gradiente de pressão imposto. Nas

simulações feitas, foi escolhido um poço com características criticas em termos

de drawdown, 46,44 (Mpa) / 6873 (psi), para analisar o efeito deste parâmetro,

foi variada a pressão imposta no interior do poço, diminuendo o valor de

drawdown até 14 (Mpa) / 2072 (psi) os resultados obtidos são apresentados na

figura 63

Figura 63.- Volume produzido em poço com drawdown de 14 (Mpa)

Até um tempo de simulação de 80 horas o volume de areia produzido

alcança valores de oito (8) barris aproximadamente (figura 63). Se compararmos

com a simulação anterior, pode-se observar uma notável influencia da

velocidade do fluido ou drawdown aplicado no analise. As comparações das

duas simulações se apresentam a seguir.

85

Figura 64.- Comparação do volume produzido em função do drawdown

Os resultados obtidos nesta simulação foram comparados com os valores

de produção de areia do campo. Para isto, foi necessário calcular a taxa de

produção média diária da simulação. Utilizando o teorema do valor médio

(também conhecido como teorema de Lagrange) e a figura 62, temos

Tabela 7.- Valor médio da produção de areia na simulação

Dias Valor médio (bbl) Taxa (lb/bbl)

1 2,20 0,18

2 3,60 0,29

3 4,44 0,36

4 5,08 0,41

5 5,61 0,46

6 6,09 0,50

7 6,51 0,53

8 6,88 0,56

No Campo estudado, a produção de areia tem um valor médio de 25 lb

por cada mil barris de petróleo produzido, ou seja, entre 5-10 por cento

aproximadamente da areia produzida na simulação. O resultado é bem

representativo, se é considerada as condições dos poços que foram

comparados. Por um lado, a simulação representa um poço aberto com maior

área efetiva de produção, sem os efeitos do cimento-formação, diâmetro do furo

86

de 0,31 (m) / 12,25 (polegada). No campo tem-se poços do campo, completados

com revestimento e túneis canhoneados de diâmetros de 2 polegadas,

condições geométricas, de tensão, notavelmente distintas.

7.2. Modelo 3D

Logo após ter conseguido resultados satisfatórios no modelo de duas

dimensões, o próximo passo foi gerar resultados no modelo de três dimensões.

Infelizmente, não foi possível atingir a convergência do modelo na etapa de

erosão, porém, os resultados encontrados se mostram em termos de

deformação plástica equivalente ao longo do túnel canhoneado.

Figura 65.- Comportamento da deformação plástica equivalente no túnel canhoneado

Como se observa, as deformações são suficientemente grandes (região

vermelha) se comparada com a deformação de pico ou máxima (determinada

dos ensaios), para iniciar o processo de erosão. Infelizmente, em um problema

tão complexo, altamente não linear, não foi possível estabelecer os motivos de

não se conseguir a convergência nos modelos analisados.

87

Os métodos numéricos por definição devem ser capazes de manejar uma

variedade de condições de contorno complexas, comportamento do material,

características geométricas e parâmetros que dependem do tempo. A principal

razão pela qual os métodos numéricos, em algumas ocasiones, não têm sido

bem sucedidos é devido à complexidade que requerem a montagem e o tempo

das simulações. Seria desejável ter um modelo que seja simples de usar (que

use dados de fácil disponibilidade) e possível de gerar resultados que possam

complementar os modelos analíticos ou melhorar seus resultados em termos de

confiança e consistência.

8. Modelo Analítico de Willson.

Os modelos analíticos de processos de produção de sólidos podem ser

divididos em duas categorias principais, aqueles baseados no critério de falha

por tração e aqueles baseados em ruptura por cisalhamento. O primeiro grupo,

geralmente assume que uma pressão de fluxo critica ou drawdown será o

suficiente para romper a rocha por tração. Esse modo de falha identifica-se mais

em materiais relativamente não cimentados. O uso prático, tem sido mais em

prever o drawdown sem considerar a diminuição da pressão do reservatório,

fazendo o método pouco pratico para modelagem no tempo.

O modelo analítico de Willson relaciona a resistência efetiva da rocha

com as tensões principais in situ assumindo comportamento linear-elástico

aplicado a um elemento da formação próximo ao furo. O furo pode ser o poço

(no caso de poços sem revestimento) ou o túnel canhoneado (no caso de poços

revestidos). A orientação do poço ou canhoneio é tomada em conta

transformando as tensões in situ perpendiculares ao furo. A resistência efetiva

da formação é determinada por correlações ou medidas de laboratório da

resistência do cilindro de parede espessa (ensaio do cilindro oco).

O maximo Critical Bottom Hole Flowing Pressure, CBHFP, calculado no

intervalo, determina o maximo (critico) drawdown permissível (CDP). O Critical

Drawdown Pressure vai ser função da pressão do reservatório, sendo então

função da depleção do reservatório.

8.1. Definição do modelo

O modelo utiliza os seguintes parâmetros:

• Tensões in situ

• Poro-pressão

• Constante poro-elástica de Biot (função da relação de Poisson)

89

• Resistência equivalente da formação

Todos os parâmetros foram em sua maioria definidos em capítulos

anteriores, só o ultimo listado é novo na definição deste trabalho.

A resistência equivalente da formação, definida pelo termo U, tem uma

relação direta com a resistência do cilindro de paredes espessas ou TWC, já que

o ensaio não representa diretamente a pressão de colapso das condições de

poço. A equação que determina dita relação se mostra a seguir.

Onde

correçãodefatorFC =

Os dois primeiros termos da equação corrigem as transformações do

laboratório a condições de campo assim como a resposta de falha a qual é

atribuída à relação OD:ID quem é muito pequena em amostras de laboratório o

que faz influenciar a verdadeira resistência que ocorre no campo.

Existe uma grande influencia da relação OD/ID no valor do TWC. A figura

64 tirada de Willson (2002) mostra os resultados os quais comparam o fator da

resistência relativa em amostras de grandes dimensões (OD/ID=14) com

aquelas de menor escala (OD/ID=3) que são conhecidas como amostras de

tamanho padrão.

Figura 66.- Relação do fator de resistência em função da relação de diâmetros das

amostras de cilindro de parede espessa

)1.8(2 TWCFCU =

90

Como foi justificado no capitulo 5, para os arenitos ensaiados no presente

trabalho, houve necessidade de se fazer uma modificação da relação OD:ID.

Assim foi necessário utilizar o gráfico acima para obter o novo valor de correção

para a determinação da resistência equivalente da formação.

Forem simulados dois casos, o mais critico, o qual em este caso refere-

se ao túnel canhoneado em direção às tensões horizontais mínimas e o pior

cenário o canhoneio em direção às tensões horizontais máximas

Os detalhes da formulação são apresentados no Apêndice B. Os

resultados estão resumidos na figura 67.

Figura 67.- Previsão da produção de areia a partir do modelo analítico de Willson

A figura 67 mostra o resultado do cenário menos favorável, onde o valor

do CBHFP é muito baixo (valor negativo) o que quer dizer que, pode ser imposto

qualquer valor de drawdown e a probabilidade de ter produção de areia será

pequena.

Na figura, também se observa o valor do Critical Drawdown Pressure,

CDP, definida quando a pressão do fundo iguala à pressão do reservatório na

condição depletada. Para este caso, o valor obtido é de 27,87 (Mpa) / 4125 (psi).

Isto quer dizer que esta seria a pressão mínima para a qual é possível a

produção sem probabilidade na produção de areia.

91

Pode-se observar que se houver um decréscimo da pressão do

reservatório abaixo de 34 (Mpa) / 5000 (psi), a janela de trabalho de drawdown

ficará menor, sendo que, com pressões de fluxo menores a 20 (Mpa) / 3000 (psi)

já entraria na área critica.

Comparando os resultados com o comportamento de produção de areia

no campo, conclui-se que o modelo não se ajusta à realidade da área.

92

9. Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros

9.1. Conclusões

Estudar um problema tão complexo e novo como a quantificação da

produção de areia e, além disso, tentar explicar o fenômeno que ocorre no

Campo da Bacia de Maracaibo foi realmente uma meta bastante ambiciosa.

A partir das curvas tensão-deformação e a analise pós-pico, classifico-se o

arenito como altamente resistente (resistências acima de 60 (Mpa)), porém frágil.

O tipo de ruptura em sua maioria foi por cisalhamento

O ajuste na geometria das amostras, de uma relação 3:1 para 2:1, permitiu

obter o valor da resistência no ensaio de cilindro oco ou TWC atingindo valores

de 75 (Mpa).

O tipo de falha que apresentarem algumas amostras neste ensaio foi de

tipo lasqueamento (spalling ou tração), e que por definição de estudos,

caracteriza-se por ter uma produção de areia bastante rápida com o acréscimo

das tensões externas sem conseguir a estabilidade da cavidade. Este resultado

ajusta-se a aquilo que pode estar acontecendo na área.

As velocidades de fluxo, a concentração de transporte e o coeficiente de

produção de areia são parâmetros fundamentais na equação da taxa de erosão.

Para o caso estudado, foi necessário ajustar o valor da constante para gerar

resultados que pudessem ser comparados com aquilo que é observado em

campo.

Na modelagem 2D, o exemplo conseguiu determinar um volume de areia

que em termos de quantificação representa bastante bem o que ocorre na área

se considerarmos a diferença na geometria e as condições estudadas.

Para o caso da modelagem em três dimensões, a analise não convergiu,

no entanto, segundo os resultados obtidos em termos de deformação plástica

fazem pensar que a condição de túnel canhoneado estará exposta a sofrer da

mesma forma o fenômeno de erosão de areia.

93

A partir da modificação na geometria das amostras, foi necessário gerar

um novo fator de correção para o modelo de Willson. Todavia, o modelo não

representou o que ocorre no campo, basicamente porque é função principal da

resistência equivalente da formação quem a sua vez vê-se afetada pelo fator de

correção.

A alta produção de areia no campo deve-se ao conjunto de fatores tanto a

nível macro quanto micro: desde o alto estado de tensões in situ como as

características litológicas do reservatório

9.2. Sugestões

• Fazer estudos paramétricos que permitam determinar a influencia de outros

fatores no fenômeno de produção de areia: estado de tensão, propriedades

mecânicas, permeabilidade.

• Continuar com os estudos da modelagem 3D, tomando em consideração as

direções das tensões e o túnel canhoneado. Estabelecer diferencia e/ou

comparações entre os diferentes modelos de falhas para esta modelagem.

Desta forma, poderá ver-se a influencia das tensões intermediarias na

estabilidade do canhoneado

• Determinar através dos ensaios experimentais os fator de concentração de

transporte, C, e os parâmetros λ1 e λ2 que são função do coeficiente de

produção de areia.

• Fazer mais ensaios de cilindro oco ou TWC para observar a influencia do

raio e estabelecer alguma relação no tipo de falha

• A função apropriada da dependência do coeficiente de produção de areia

sobre o dano da rocha pode ser determinado comparando os resultados do

modelo com ensaios experimentais. Uma forma de verificar a validade destes

resultados é recorrer a algumas observações experimentais que posam ser

quantificadas como, a descarga do fluido e/ou a massa de areia produzida

como função do tempo.

94

10 Referencias Bibliográficas

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.

99

Apêndice A

Determinação das tensões em condições elasto-plasticas em um cilindro oco

Considerações:

rσσσσ θ

==

3

1

Critérios de ruptura da rocha intacta

φφ

φφ

σσσσ

θ

sencg

sensenf

onde

gfgf

r

−=

−+

=

+=+=

1cos2

11

31

No caso da rocha fraturada

100

φφ

σσσσ

θ

sencg

onde

gfgf

r

−=

+=+=

1cos'2'

''31

Equações de equilíbrio na direção radial:

( )

( )

ernapressaoPa

rdrd

gf

rgf

rgf

drd

rdrd

r

Rr

Pa r

rrrr

rr

r

int

'11

'1'

1

=

=+−

+−=

−+=

−=

∫∫ σσ

σσσσ

σσσ

σ

θ

Integrando

( )[ ]

plásticazonadaequaçõesasSão

gfg

Rr

fgf

fg

Rr

fg

Pase

fg

Rr

fgfPa

f

f

r

f

r

'1

'1

'

1'

1'

0

1'

1'1

1

1

1

1

1

1

+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

−

−

−

θσ

σ

σ

Para a zona elástica, define-se

101

( )

elásticaplásticaerfacedapontonoTensão

RRf

RRgP

gfse

RR

P

Rrem

R

R

r

−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

=→=

int

11

12

Pr

Pr

1

Pr2Pr

Pr

2

2

2

2

1

2

2

1

1

θ

θ

σ

σ

σ

Determinação de R

( )[ ]

11

1

11

1

1

1

1'Pr

'1

,0

1'Pr

')1(1

1'

1'1Pr

−

−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

f

f

f

fg

gfRR

temosPapara

fg

gfPafRR

fg

RR

fgfPa

As distribuições na região plástica (Segundo Jaeger & Cook)

102

R

r

PPPP

onde

RRrRRPP

RRRPRP

RRrRRPP

RRRPRP

==

−−

+−−

=

−−

−−−

=

1

2

21

22

2

21

2212

21

22

211

222

21

22

2

21

2212

21

22

211

222

)()(

)()(

θσ

σ

Das equações para determinar Pr, se igualam para determinar R

11

12

11

'2

2

2

21

1+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

RRf

RRgP

RR

fg

f

103

Apéndice B Formulação analítica do modelo de Wilson

Para o caso da condição menos favorável (segundo as condições do campo)

Para evitar a produção de areia, a menor das tensões tangenciais

efetivas (St2-Pw) deve ser menor da resistência efetiva da formação, U, próximo

ao furo

)1()21(

argmax

PrPr

)1(3)1(3

212

121

2

1

υυ

−−

=

====

−−−−=−−−−=

==>

A

asobrecdetensãoSvimaHorizontalTensãoSH

ioreservatordoessãoPopoçodoessãoPw

APoAPwSSStAPoAPwSSSt

SSvSSHSvSH

104

2

2

2

StdosubstituineCBHFPPwqueSendo

StUPwUPwSt

=

−≥≤−

( )

( )

)1(223

,tan

2)(3

var

23

,

,,Pr

23

23

)1(3

*2

*1

*2

*1

21

21

21

21

AAPoUSS

Pe

PedevaloroseobtenequaçãoadoreajusePdevalorodoSubstituin

AAPoUSPAS

PP

pressãodedepleçãoacomhorizontaltensãodaiaçãodaefeitooincluidoseraAgora

AAPoUSSCBHFP

nteanteriormedefinidaequaçãoda

PeCDPPoCBHFPCBHWFPouPwPoCDP

temosCDPessureDrawdownCriticaldocalculooPara

AUAPoSSCBHFPPw

AUAPoSSPw

UAPoAPwSSCBHFPPw

crit

critcrit

critcrit

++−−

=

−Δ

−−−−Δ+

=Δ−

−−−−

=

=−=−=

−−−−

=≥

−−−−

=

−−−−−=≥