Aliança sinérgica entre Epistemologia e Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolosálgebra elementar e seus símbolos

Caroline BARDINI – Université Paris 7

30 de Agosto 2004

Os métodos em MatemOs métodos em Matemáática por tica por Jules VuilleminJules Vuillemin

«Toda atualização dos métodos matemáticos vê-se repercutida na filosofia » - J.Vuillemin (1962)

Eco do método inventado pelos matemáticos gregos para aproximar todo irracional por uma fração contínua na Política de Platão. Características da invenção matemática da geometria algébrica presentes no discurso metafísico de Descartes.

A evidenciação por Leibniz do princípio de continuidade e seu uso para apontar os defeitos do método metafísico de Descartes.

A filosofia pode-se permitir o uso das noções de grupo e estrutura algébrica em alguns de seus métodos?

AnAnáálise epistemollise epistemolóógica e métodos em gica e métodos em MatemMatemááticatica

Análise epistemológica: Adotar um recuo em relação aos objetos matemáticos (conceitos, métodosmétodos). Historicidade.

Análise epistemológica: vigilância, distância em relação ao objeto de estudo.

Rigor

Evolução ao longo do tempo, sua dependência em relação aos domínios matemáticos tratados e ao grau de elaboração dos objetos que ela manipula.

Histo

ricida

de

Histo

ricida

de

Epistemologia e DidEpistemologia e Didáática da Matemtica da Matemáática tica (1/2)(1/2)

Adoção de uma distância indispensável no contexto do ensino da matemática onde a ficção de uma aparente transparência do conhecimento é cultivada.

O didático da matemática se interessa na relação tripartite – tal como lhe é possivel observar e em seguida reconstruir, nas salas de aula – entre um professor, alunos e um conhecimento matemático.  (Yves Chevallard)

Examinar de um ponto de vista externo (exterior) o sistema de ensino.

conhecimento aluno(s)

professor

Provocar tais processos dentro do sistema de ensino.

Didática

(Sem procurar fazer da historia um modelo para o ensino)

O didático é confrontado à análise da gênese do conhecimento matemático: o estudo dos mecanismos, das condições e contextos das « descobertas », das causas dos períodos de estagnação, etc.

Conhecimento

Observar e explicar os processos que intervêem no nascimento de um conceito matemático em um aluno.

Alunos

Epistemologia e DidEpistemologia e Didáática da Matemtica da Matemáática tica (2/2)(2/2)

Epistemologia

Articulação entre epistemologia e didArticulação entre epistemologia e didááticatica

Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolos.

Análise epistemológica dos símbolos algébricos

Problemática

(Re)leitura epistemológica de pesquisas didáticas

Ferramenta para analisar o acesso ao simbolismo

Articulação entre filosofia e matemática

Notação matemática

G.G. Granger (1994)J. Vuillemin (1962)

C. Babbage (1821) D. André (1909)F. Cajori (1928) M. Dascal (1978)

Estudo epistemológico retrospectivo sobre a

constituição da linguagem simbólica

M. Serfati (1997)

Desenvolver tarefas

Analisar respostas

ProblemProblemááticatica

René Magritte, A condição humana I

(1933)

- Fragilidade e irregularidade ao efetuar operações algébricas tais a fatoração.

- Como os alunos entrevêem as expressões que eles manipulam? Como enxergam os diferentes elementos que as compõem?

O que hO que háá , para o aluno, por , para o aluno, por trtráás de um ss de um síímbolo?mbolo?

Uma tarefa efetuada às cegas, onde intervêm processos « inquestionáveis », destinados a transformar uma série de fórmulas algébricas que permanecem desprovidas de sentido.

(Re)leitura. (Re)leitura. Parcela desconhecida e Parcela desconhecida e substância desconhecidasubstância desconhecida

DiofanteEncontrar dois numeros cuja soma seja igual a 20 e cuja soma de seus quadrados seja igual a 208.Diofante (notação moderna): (10+x)2+(10-x)2=208 (logo x=2). Sol: 12 e 8

Stacey e MacGregor. Problema TRIANGLEO perimetro desse triângulo mede 44 cm. Escreva uma equação e encontre o valor de x.

Alunos: x =302x cm

x cm

14 cm

Parcela desconhecida : Algo não fornecido pelo texto. Indica que trata-se de um problema onde tudo não é dado.

Substância desconhecida : Valor de uma quantidade, permanente no texto, porém desconhecida.

Papel de uma incógnita operacional, porém não especificamente a incógnita (ou uma das incógnitas), mas auxiliar, cuja identificação permite determinar todas as incógnitas do problema.

Stacey e MacGregor. Problema ‘BUS’Um ônibus levou alunos numa excursão de 3 dias. A distância percorrida no 2° dia excedeu de 85 km aquela percorrida no 1° dia. A distância percorrida no 3° dia excedeu de 125 km aquela percorrida no 1° dia. A distância total percorrida foi de 1410 Km. Seja x o numero de km percorridos no 1° dia. Utilise a álgebra para determinar a distância percorrida cada dia.Alunos: x + 85 + 125 = 1410

(Re)leitura - (Re)leitura - A igualdadeA igualdade (1/2)(1/2)

Igualdade ocupa o papel central e a sua interpretação no registro retórico põe em evidência uma certa assimetria.

Afetação de um atributo a um sujeito :

Dois e três fazem cinco

sujeito atributo

Arithmetica Integra (1544) – Stiefel:“Itaque 2 , multiplicatae in summam extremorum, id est, in 1 A + 1 , faciunt 2 A + 2 , aequata 4335. Deinde 2 multiplicatae in 2 A seu in summam omnium faciunt 4 A aequata 6069. ”

I – O registro retórico

II- Registro simbólico

Igualdade interpretada em termos de equivalência, com as propriedades de:- reflexividade- simetria- transitividade

Recorde (1557) :«   »Nada é mais parecido do que dois traços paralelos à linha de escrita  Laço de Descartes (1637): « »

« « Stru

ggle

for s

uprem

acy »

Strugg

le fo

r supre

mac

y »

z2 -a z + b b

(Re)leitura - (Re)leitura - A igualdadeA igualdade (2/2)(2/2)

47 T:Do you think six plus six equals six plus six? Do you think that is right?

48 Sh: I disagree.49 T: Tell me why.50 Sh: Because / equals doesn’t mean you put six plus six again. You’re supposed to add the numbers up. / That’s what equal means and you put the answer down. And51 T: What if it was six take away six?52 Sh: Then //53 T: Do I have to add to get on the other side?54 Sh: No, you can subtract or add to write the number down.55 T: What if it was six times six?56 Sh: Then you don’t put six times six again. Cause that wouldn’t be the answer.57 T: Okay, so you’re saying it had to be the answer. Equals mean you have to have an answer on the other side?58 Sh: Yeah, because / see if equals wasn’t there when you put all the / when you put all the numbers together / they want to know what’s the answer. And you just don’t put again six times six.

59 T: So you’re telling me it’s not true that six plus six equals six plus six? You say that’s not true? 60 Sh:Yeah because six plus six equals twelve. / Not six plus six.61 T: So six plus six does not equals six plus six?62 Sh:Yeah.63 Ka: Yeah, it does because both of them equal the same amount. / that could be real. You could do that.64 T: Could I put six plus six equals / six plus six? (T writes the following equality on the board : 6+6 = 6+6)65 Ka: Yes.66 Mi: Yes67 S: No.68 T: What is six plus six? Sh?69 Sh: Six plus / six plus six equals twelve.70 T: Oh, this is twelve (placing her hand over the left side of the equality) / And so what is this six plus six (placing her hand over the right side of the equality)?71 Sh: Twelve.72 T: (T writes 12 under each side of the equality 6+6 = 6+6) So you’re telling me it’s not true that twelve equals twelve? // Twelve does not equal twelve?73 Sh: No / I don’t get it. / That’s equal.

6+6 = 6+6 ?6+6 = 6+6 ?

Pontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de histPontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de históóriariaPontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de histPontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de históóriaria

1526 Widmann

Adicione o numero 30 ao numero 3

Subtraia o numero 17 do numero 4

1608 Clavius

1 – 7 Do valor da incógnita, subtraia o numero 7

Intenção do autor:Fornecer ao leitor uma representação simbólica de uma instrução elementar

Ex n°1 Tradução algorítmica dos símbolos

O autor de uma expressão basea-se em seu ‘significado’.

sua estrutura

Ex n°2Traduz simbólicamente a intenção do autor expressa em linguagem natural

As instruções abaixo

- pegue um numero x- multiplique-o por 2- subtraia 5 do resultado obtido- extraia a raíz quadrada do resultado- adicione 3 ao resultado constituem um algoritmo ao cabo do qual obtemos a seguinte formula:

52 x

Escreva algoritmos que permitam obter cada uma das seguintes expressões:

a)      [5(2+x)]2  b)     +2 c)      [2(-x+3)]2

x

13

Ex. n°1Ex. n°1

Escreva as seguintes frases sob forma de expressões algébricas

a) O dobro do quadrado de a

b) A soma do quadrado de 5 e do dobro de a

c) A diferença de 3 e do produto de 7 por x

d) O quadrado da soma de 7 e x

e) O quociente da soma de 3 e a e a diferença de b e 8

Ex. n°2Ex. n°2

Para decifrar uma expressão, começa pelos símbolos operatórios mais internos (‘mais fracos’) e progressivamente re-constrói a hierarquia da expressão

[5(2+x)]2Adicione o numero representado pelo símbolo ‘2’ ao numero cujo símbolo é x. Multiplique o resultado pelo numero representado pelo símbolo ‘5’. Eleve o ultimo resultado ao quadrado.

Baseado no ‘significado’

Intimamente ligado ao símbolo que estrutura a expressão (o ‘ mais forte’ )

Uma expressão algébrica é um conjunto de símbolos traduzindo a execução de uma série de instruções, em uma dada ordem.

Leitor Autor

leitor

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (1/2)(1/2)

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (1/2)(1/2)

Foco nos símbolos operatórios presentes na expressão e seus “status”, dependendo da perspectiva adotada.

Mudança de foco

1 2

.a . a.a + b.b 1 4

+

1 2 5 4 1 2 1 3 1

Descartes (1637) : z2 -a z + b b

a

1 (ponto)1 2

bb

5 (cruz)

3 (cruz)

4 ( )

2 (ponto)

1 (traço) 1 (ponto)

2 (ponto)

1 (traço)

1 4 a a

Examinar a ordem ao considerar os símbolos operatórios que compõem a expressão.

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (2/2)(2/2)

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (2/2)(2/2)

Analisando respostas de alunos Analisando respostas de alunos (1/ 2)(1/ 2)

Exercício Aluno de 13 anos

a2 + b2

3 3

“A soma do terço dos quadrados de a e b”

Re-constrói uma expressão algébrica a partir de sua descrição fornecida em linguagem natural

Portanto duas expressões postas…

Divididas por 3 com um mais no meio.

Completando o ponto de vista do autor

E a soma…do terço… então a soma.“

E depois tem a ao quadrado e b ao quadrado ”

+

+3 3a2 b2

1

2

34

Significado e sintaxe do símbolo interligados

Passo-a-passo reconstrói a árvore combinatória da expressão

Ligue cada uma das expressões abaixo à frase que melhor a descreva. Se você escolher « outro(s) » para uma dada expressão, escreva a sua própria frase no retângulo fornecido. a e b são dois numeros não nulos.

A= 1 + 1 : n°1 : O inverso do quadrado da soma de a e b a2 b2

 B= 1 : n°2 : A soma dos inversos dos quadrados de a e b  a2 + b2

 C= 1 : n°3 : O quadrado da soma dos inversos de a and b  (a + b)2

n°4 : Outro(s) :   

« subtrai um da largura, subtrai um do comprimento e depois multiplica os dois »

« Pega a largura menos um e multiplica pelo comprimento menos um »

(l-1) x (c-1)

Analisando respostas de alunos Analisando respostas de alunos (2/ 2)(2/ 2)

2 (cruz)

1 (traço)

1 (traço)l 1 c1

Leitor

Próximo da descrição da fórmula, linear

Levar em conta não somente a presença de símbolos na descrição, mas também a ordem com a qual as diferentes operações aparecem.

« (…) fazendo largura-1 x comprimento-1 = quantidade de gotas de chocolate numa barra ».