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Les cartes de Shewhart
Nicolas SAVY
IUT de Quimper
Dpartement Gnie Biologique
Avril 2000
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Chapitre 1
Introduction
Mise en place du problme
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Introduction
Pour tre efficace, il faut qu elle soit : simple d
utilisation
ne doit pas ncessit de calculs complexes
tre visuel (graphique)
Bien sr, cette tude ncessitera quelques hypothses.
Nous n tudierons que la consigne de type 1.
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Chapitre 2
Phase statique de la carte de contrle :
Vrification des hypothses
Estimation des paramtres
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Phase statique
L objectif de la phase statique est de
dterminer de bonnes estimations des
paramtres de la population totale (laproduction).
Sur un chantillon de grande taille (plusde 100 mesures) , nous
allons faire plusieurs
tests afin de vrifier :
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La normalit
Vu la taille de l chantillon, se faire une
ide de la normalit est relativement simple:
Histogramme,
Droite de Henry.
Le mieux tant de tester la normalit par
un test de Kolmogorov-Smirnov.
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On runit, dans l ordrechronologique, les valeurs en petits
groupes de
mme taille.
On calcule l cart-type de chacun des groupes Si:
Un test de Cochran permet de voir s il existe une diffrence
significative entre ces variances et donc de voir si la
production eststable. La fonction descriminante est donne par :
La stabilit de la production
2
2
max
i
c
s
sC
Il suffit ensuite de comparer Cc la valeur seuil lue dans la
table de
Cochran.
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La spcification
Il est galement possible de vrifier si la
spcification de la moyenne est ralisable
en calculant la moyenne sur cet chantillon.
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La population mise en jeu
La population peut donc tre considre
comme normale N(, ) o les paramtres sont
connus: La moyenne est la spcification m0.
L carttype est bien estim par l cart-type en
rgime stable :
k
s
k
i
i
st
1
2
2
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Chapitre 3
Construction des cartes de contrle
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Carte de la moyenne
date
unit des mesures
Limite suprieure de surveillance
Spcification
Limite infrieure de surveillance
Limite infrieure de contrle
Limite suprieure de contrle
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Carte de l cart-type
date
unit des mesures
Limite suprieure de surveillance
Limite infrieure de surveillance
Limite infrieure de contrle
Limite suprieure de contrle
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Rappels gnraux
La population mise en jeu suit une loi normale demoyenne m0 et d
cart-type st qui seront considrs
comme connus suite aux remarques faites dans la phase
statique.
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Comment observer un drglage ?
Il est bien connu qu une distribution normale est
entirement dtermine par la moyenne et l cart-type.
La population en question est normalement distribue.
Par consquent, pour obtenir un chantillon conforme, il
suffit que la moyenne et l cart-type soient conformes aux
spcifications.
La consquence de ceci est la ncessit de contrler en
mme tempsla moyenne et l cart-type.
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Comment observer un drglage ?
Il faut, pour contrler ces paramtres, les estimer
partir d chantillons. Plusieurs estimateurs sont possibles :
Pour la moyennes :
La moyenne empirique
La mdiane
Pour l cart-type
L estimation de lcart-type
L tendue
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Principe
A des intervalles rguliers, on prlve un chantillon de taille
nfixe.
Le principe est alors de tester si les valeurs de la moyenne et
de
l cart-type estimes partir de cet chantillon sont conformes
auxvaleurs de spcification m0et strespectivement.
Pour ce faire, nous allons voir si ces valeurs sont dans un
intervalle de
confiance. Ces intervalles, ne dpendant que des valeurs m0, st,
net
des valeurs seuils, sont donc fixes dans le temps et donc
matrialisablesur un graphique par des droites.
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Carte de contrle de la moyenne
LSS
S
LIS
LIC
LSC
date
unit des mesures
Intervalle de
confiance au
niveau 95 %
Intervalle de
confiance au
niveau 99,8 %
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Carte de la moyenne
Les limites ont donc les expressions suivantes :
LSC est la droite d equation :
LSS est la droite d equation :
La spcification est la droite d quation :
LIS est la droite d equation :
LIC est la droite d equation :
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Carte de l cart type
Les limites ont donc les expressions suivantes :
LSC est la droite d equation :
LSS est la droite d equation :
LIS est la droite d equation :
LIC est la droite d equation :
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Chapitre 5
Dtermination du nombres n de
mesures effectuer
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Combien de mesures faut-il effectuer ?
Comme toute prise de dcision, celle-ci s accompagnede 2 types de
risque :
Le r isque de fourni sseur
Risque de conclure un drglage alors qu iln yen a pas (risque
).
Le r isque clientRisque de ne pas dtecter un drglage (risque
).
Une fois ces quantit dfinies, il est possible de dterminer la
taille de
l chantillonen fonction de l cartminimal dentre la valeur de
rfrence m0
et la valeur relle inconnue mque le contrle mis en vidence.
Nous ne dtaillerons pas cette technique.
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Chapitre 6
Phase dynamique de la carte de
contrle
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Phase dynamique
A des intervalles de temps rguliers (tous les quarts
d heures, toutes les heures, tous les jours,) on prlve
un chantillon de taille n.
On calcule les estimations de la moyenne et de l cart-
type partir de cet chantillon :
moyenne :
cart-type :
n
i
ix
nx
1
1
n
i
i xx
ns
1
2
1
1
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Phase dynamique
Questions :
La moyenne est-elle conforme la spcification m0?
L cart-type est-elle conforme la spcification st ?
Pour rpondre ces questions, nous allons placer les points
sur les cartes de la moyenne et de l cart-type.
La d cision sera prise partir de la position des points par
rapport aux limites.
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Carte de contrle de la moyenne
LSS
S
LIS
LIC
LSC
date
unit des mesures
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Carte de contrle de la moyenne
En vertu des graphiques prcedents, un dcallage au dela
des limites de surveillances 5 chances sur 100 d tred
au hasard par consquent, il y a 95 chances sur 100 que ce
soit d un drglage de l unitde fabrication
En vertu des graphiques prcedents, un dcallage au dela
des limites de contrles 2 chances sur 1000 d tred au
hasard par consquent, il y a 98 chances sur 1000 que ce
soit d un drglage de l unitde fabrication
Mfiance : surveillance accrue
Alerte : arrt de l unit et rglages
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Carte de l cart-type
LSS
S
LIS
LIC
LSC
date
unit des mesures
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Carte de contrle de l cart-type
En vertu des graphiques prcedents, un dcallage au dela
des limites de surveillances 5 chances sur 100 d tred
au hasard par consquent, il y a 95 chances sur 100 que ce
soit d un drglage de l unitde fabrication
En vertu des graphiques prcedents, un dcallage au dela
des limites de contrles 2 chances sur 1000 d tred au
hasard par consquent, il y a 98 chances sur 1000 que ce
soit d un drglage de l unitde fabrication
Mfiance : surveillance accrue
Alerte : arrt de l unit et rglages
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Autres tests
Il existe d autres tests qui permettent de dceler des
drglages. Ce sont des circonstances ou l onobserve :
Des cycles (erreur systmatique),
Des vnements de faible probabilit.
Le logiciel Minitab propose les neufs tests suivant qui
dcelent un drglage et qui ont pour consquence la
ncessit d arrterl unitde fabrication et de procder un
rglage.
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Autres tests possibles
Un point au del de LSC ou LIC
9 points de suite du mme ct de la ligne centrale
Une tendance croissante ou dcroissante sur 6 points
conscutifs
14 points conscutifs alternativement en dessus et en
dessous de la ligne centrale
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Tests pour la carte de la moyenne
Ces tests ncessite le trac d une limite complmentaire dite
un sigma (intervalle de confiance tel que la valeur seuil
soit
de 1).
2 points sur 3 entre LSS et LSC (ou entre LIS et LIC)
4 points sur 5 plus d un sigma de la ligne centrale (du
mme ct)
15 points de suite moins d un sigma de la ligne centrale
(du mme ct)
8 points de suite plus d unsigma de la ligne centrale (des
deux cts)
