Cássio Rogério Dantas Garcia José Maurício Costa Lima O ...ccse.uepa.br/downloads/tcc/2009/garcia_lima_2009.pdf · GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha

0 GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha de saltos ...

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Licenciatura em Matemática

Cássio Rogério Dantas Garcia

José Maurício Costa Lima

O Número de Ouro na Escolha do Salto de Sapatos

Femininos

BELÉM - PA 2009


Cássio Rogério Dantas Garcia José Maurício Costa Lima


Femininos

Trabalho de conclusão de curso apresentado com requisito para obtenção do título de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

BELÉM – PA 2009


FICHA CATALOGRÁFICA


Cássio Rogério Dantas Garcia José Maurício Costa Lima


Femininos

Trabalho de conclusão de curso apresentado com requisito para obtenção do título de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Data da aprovação: 05/02/2009 Banca Examinadora _______________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Matemática Universidade do Estado do Pará-UEPA _____________________________________ Prof. M.S.c Miguel Chaquian Mestre em Matemática UEPA-UNAMA _____________________________________ Prof. M.S.c José Antonio Barros Universidade do Estado do Pará


Jamais poderia ser diferente, meu silêncio é incontestável, mas meu coração mantém a verdade de meus anseios. Prefiro não gerar indagações alheias, mas em poucas palavras, dedico a uma pessoa: Meu pai, CARLOS RODRIGUES GARCIA ,

conhecido como “CIENTISTA”, imagem de coragem e conhecimento. Também ao meu primogênito VANN PIERRE DE ALBUQUERQUE GARCIA , que dedicarei toda

minha vida para confortá-lo e amá-lo pela eternidade.

Cássio Garcia

Dedico este trabalho às minhas falecidas MÃES Raimunda Rodrigues (avó) e Raimunda Filha “Dadinha” (tia) que me acolheram no momento em que fui deixado

por minha mãe biológica na porta da casa de minha avó.

José Maurício Lima


AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente à Deus, que me proporcionou sonhos e, mais

importante, me mostrou os verdadeiros caminhos dessas sonhos, transformando as trevas em luzes para que eu nunca perca suas orientações e conselhos de amor, perseverança e obediência.

À todos integrantes da minha árvore genealógica, especialmente minha mãe SUENE DA SILVA DANTAS , mulher guerreira de batalha e vitórias, que nunca mensurou esforços e, muito menos, amor para que minha vida fosse uma das melhores, independentemente de nossas condições financeiras. És mulher da minha vida, um dos principais motivos de todos meus esforços e vitórias.

À pessoa que conquistou meu ser e minha alma, mãe do meu primogênito, DANIELE FERREIRA DE ALBUQUERQUE GARCIA , conhecida com “MY LIFE”, que compartilho segredos, amizade e principalmente amor. Sinceros agradecimentos por me suportar e escolher como amado.

Àqueles que me ensinaram a compartilhar sentimentos bons e ruins e, acima de tudo, contribuem até hoje para formação de meu caráter profissional e amigo. Obrigado meus parceiros de vida: Maurício Lima, Rafael Sodré e Manoel Pimentel.

Aos amigos que compartilhei lamentações e conquistas na vida acadêmica: Raymar Dickinson (Raydix), Daniel Monteiro (Dandan), Antônio Carlos (Ponto doc), Idaiany Mendes (Idra), Patricia Alexandre (Potência), Maria Alice Feio (Mary Jane), Elane Cristina e, em especial, o Raphael Ratis (pelo colaboração na coleta de medidas).

Aos meus mestres de excelência que mostraram fidelidade em seus ensinamentos matemáticos e de história de vida, que serão exemplos seguidos por toda vida. Tornaram-se imortais e memoráveis: O Prof. Dr Pedro Franco de Sá, amigo e orientador deste trabalho, com quem adquirir raros conceitos matemáticos e de vida; A Prof. Msc. Eliane Oliveira, que mostrou verdades que nem imaginava existirem; A Prof. Msc. Acylena Coelho, ícone exemplar de compromisso e respeito pelo ensino; A Prof. Selma Santalices, que me tornou honrado em ser seu aprendiz.

À UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ que mudou minha concepção de mundo. Acolheu-me como uma MÃE, quando nem imaginava a razão da cor do céu (Azul). Hoje, sei essa razão e, me mostrou ainda mais, me ensinou a demonstrar, por leis matemáticas, a razão do céu azul assim como provar sua existência e unicidade. Entretanto, nunca esquecerei o ensinamento mais importante e valioso: como e que recursos utilizar para ensinar meus futuros alunos, “O CÉU AZUL”. Obrigado MÃE.

CÁSSIO GARCIA


AGRADECIMENTOS

À Deus, que me deu força, saúde e sabedoria para enfrentar os desafios

da vida. À todos os membros de minha família, que de forma direta ou indireta me

ajudaram a chegar até aqui e, em especial ao meu pai José Francisco que mesmo sem falar muito me ensinou muita coisa para a vida.

Às pessoas que hoje fazem parte do meu dia-a-dia Renato Miranda, “irmão” que muito me ajudou neste trabalho, Rafael Miranda, outro “irmãozão” Socorro Miranda, que sempre me orientou como uma “mãe” e ao meu tio-pai Raimundo José. Sem essas pessoas eu dificilmente conseguiria realizar esse sonho.

Aos meus amigos do peito Cássio Garcia, Rafael Sodré e Pimentel. Aos amigos que conquistei nestes 4 anos, dentro da Universidade,

Raymar Dickinson, Daniel Monteiro, Patrícia Alexandre, Rafael Ratis,que teve uma contribuição muito especial neste trabalho, Idaiany Mendes, Alice Messias Elane Cristina e fora, Dª Zara, Sr. Osmar, Elaine Lopes, Romulo Aires, Claudio Pinho, família Lisbôa...

A todos os mestres que tive o privilégio de conhecer na universidade. Em especial Aos professores que marcaram a minha vida acadêmica,

fornecendo ensinamentos para a vida: Prof. M.S.c Acylena Coelho, Prof. Selma Santalices, Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, orientador deste trabalho e um grande amigo, Prof. M.S.c Eliane Oliveira, em quem eu me espelho como profissional da área de educação.

Á universidade que me transformou em um profissional capacitado e um cidadão consciente.

Ao colégio Impacto, pela oportunidade de trabalho. À todos, de coração, o meu MUITO OBRIGADO.

JOSÉ MAURÍCIO LIMA


RESUMO

GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha de sapatos com salto . 2009. 105f. Trabalho de conclusão de curso (Graduação em Matemática) – Centro de Ciências Sociais e Educação, Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

O que um encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de salvador Dalí, as magníficas conchas em espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum? É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número que no século XIX recebeu o título honorífico de Número de Ouro, Razão Áurea e Secção Áurea. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de Proporção Divina, devido à crença de que esta possua alguma relação com a criação do universo. Estudos recentes vêm mostrando uma relação direta entre a razão áurea e a beleza. É partindo dessa relação que nos propomos analisar a relação entre a proporção áurea e a percepção estética feminina como um fator de elegância, na escolha de figuras e, em especial, de sapatos com salto. A pesquisa foi realizada no Hangar - Centro de Convenções & Feiras da Amazônia – nos dias 25 e 26 de agosto de 2008 em Belém-PA, com mulheres como público amostral e os dados foram coletados por meio de um protocolo de pesquisa e analisados com o programa Microsoft Office Excell 2007. A análise desses dados mostrou que 57% tinham de 16 a 20 anos; 58% admitiam possuir ensino médio incompleto; 46% e 45% afirmam, respectivamente, usar saltos e somente em ocasiões especiais; 92% consideraram sapatos com salto um fator de elegância; 44% escolheram a figura C como a mais bela. Verificamos que há, de fato, uma relação entre a Proporção Áurea e a elegância, na opinião das colaboradoras. As colaboradoras que afirmaram não utilizar freqüentemente sapatos com salto evidenciam uma razão entre a altura total e a altura do umbigo ao chão relativamente próximo da Razão Áurea, comprovando uma possível ligação direta com a proporção tratada na obra O Homem Vitruviano.

Palavras-chave: Educação; Proporção Áurea; Fator Elegância; Sapatos com salto; Retângulo áureo.


ABSTRACT

GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha de sapatos com salto . 2009. 105f. Trabalho de conclusão de curso (Graduação em Matemática) – Centro de Ciências Sociais e Educação, Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

What a charming arrangement of red rose petals in the famous picture "The Sacrament of the Last Supper" by Salvador Dalí, in the magnificent spiral shells of mollusks and procreation of rabbits have in common? It is hard to believe, but these examples have in common and different number than in the nineteenth century received the honorific title of Number of Gold, Golden Ratio and Golden Section. A book published in Italy at the beginning of the sixteenth century came to call the Divine Proportion of reason, because of the belief that this has any relation with the creation of the universe. Recent studies have shown a direct relationship between the golden ratio and beauty. It is from this relationship that we propose to examine the relationship between the golden ratio and aesthetics female perception of elegance as a factor in the choice of figures and, especially shoes with heel. The research was held in Hangar - Convention Center & Trade Fair of the Amazon - on 25 and 26 August 2008 in Belém-PA, with women as a public sample and data were collected through .a research protocol and analyzed with the Microsoft Office Excel 2007 program The analysis of these data showed that 57% had 16 to 20 years, 58% admitted having incomplete secondary education, 46% and 45% say, respectively, using jumps and only on special occasions, 92% felt shoes jumping with a factor of elegance , 44% chose the figure C as the most beautiful. We note that, in fact, a relationship between the Golden Ratio and elegance, in the opinion of contributors. The collaborators who said not to use shoes with heel often show a ratio between height and total height of the navel to the ground relatively close to the Golden Ratio, showing a possible direct link with the proportion treated in the work Vitruvian Man. Keywords: Golden Share; Factor Elegance; Shoes with jump; Golden rectangle.


LISTA DE ILUSTRAÇÕES

GRÁFICO 1: Faixa etária dos indivíduos pesquisados 75

GRÁFICO 2: Grau de Escolaridade das colaboradoras. 76

GRÁFICO 3: Você costuma usar com freqüência sapatos com

saltos?

77

GRÁFICO 4: Você acredita que o salto lhe deixe coma aparência

mais elegante?

79

GRÁFICO 5: Se você pudesse, usaria com freqüência um salto

mais alto ou mais baixo?

82

GRÁFICO 6: Comportamento do erro de acordo com salto sugerido

Ass

83

GRÁFICO 7: Classificação das figuras em relação à beleza. 88

FIGURA 1: Pitágoras, cercado por Empédocles, Averroes, Hipatia e

Parmênides, no afresco. A Escola de Atenas, de

Rafaello Sanzio (1509).

22

FIGURA 2: Triângulos para a demonstração do Teorema de

Pitágoras.

25

FIGURA 3: Divisão de um segmento em média e extrema razão. 28

FIGURA 4: Pentagrama 30

FIGURA 5: Pirâmide 32

FIGURA 6: Estela Babilônica 34

FIGURA 7: Leonardo de Pisa 38

FIGURA 8: Resolução do problema dos coelhos 40

FIGURA 9: Óptica dos raios de luz 41

FIGURA 10: Possíveis situações de perda e ganho de energia que

pode ocupar o átomo de hidrogênio.

42

FIGURA 11: O Pentagrama 44

FIGURA 12: Insígnia da ordem dos cavaleiros 45

FIGURA 13: Justaposição do pentagrama à cabeça de bode 46

FIGURA 14: Relações Pentágono-Pentagrama I 47

FIGURA 15: Relações Pentágono-Pentagrama II 49

FIGURA 16: Pirâmide Construída 50


FIGURA 17: Distribuição dos galhos das plantas segundo a

seqüência de Fibonacci

51

FIGURA 18: Ângulo entre duas folhas 52

FIGURA 19: Estrela do mar 53

FIGURA 20: Flor de Cera 53

FIGURA 21: Petúnia 54

FIGURA 22: Espiral logarítmica no retângulo áureo 54

FIGURA 23: Girassol 55

FIGURA 24: Rosa 56

FIGURA 25: As posições e os ângulos das pétalas de uma rosa 56

FIGURA 26: Cauda de um Pavão e as espirais logarítmicas. 57

FIGURA 27: Proporções (A) Or-Me/Ena-Enp; (B) Or-Me/A-Pog; (C)

Or-Me/Co-Go; (D) Go-Pog/N-Ena;(E) Go-Pog/Ena-

Enp; (F) Co-Gn/Go-Pog; (G) Ena-AA/N-Ena; (H) SO-

POOr/Ena-Enp.

58

FIGURA 28: Monalisa 60

FIGURA 29: São Jerônimo. 60

FIGURA 30: O Homem Vitruviano 62

FIGURA 31: Retrato de Pablo Picasso, por Juan Gris (1912) 63

FIGURA 32: Arlequin. 64

FIGURA 33: O Café de Cândido Portinari 64

FIGURA 34: O Batismo de Cristo de Piero Della Francesca. 65

FIGURA 35: Afrodite de Milos 66

FIGURA 36: As medidas sem o sapato com salto. 73

FIGURA 37: As medidas com o sapato com salto. 74


LISTA DE QUADROS

QUADRO 1: Faixa Etária 75

QUADRO 2: Grau de escolaridade 76

QUADRO 3: Freqüência da utilização de sapatos com salto 77

QUADRO 4: Salto de um sapato como fator de elegância. 78

QUADRO 5: Opinião referente a utilização de um salto mais alto ou

mais baixo.

82

QUADRO 6: Opinião referente classificação de figuras em relação à

beleza.

87


LISTA DE TABELAS

TABELA 1: Dados das colaboradoras que responderam não à

pergunta 3 do protocolo de pesquisa.

78

TABELA 2: Margem de erro das razões R1 e, ao colocar o salto, R2

com relação ao número de ouro.

79

TABELA 3: Participantes que não acreditam que sapatos com salto

possam deixá-las mais elegantes.

80

TABELA 4: Agrupamentos e suas características comuns. (continua) 81

TABELA 4: Agrupamentos e suas características comuns.

(conclusão)

82

TABELA 5: Casos especiais 85


LISTA DE SIGLAS

Ais Altura ideal do salto o sapato para estar o individuo estar na razão áurea.

An Altura normal

Ans Altura normal com sapato com salto

As Altura do salto

Ass Altura do salto sugerido pela pesquisada

Au Altura do umbigo ao chão

Aus Altura do umbigo ao chão com salto

E1 ERRO 01 (%) = Erro percentual de R01 em relação a razão áurea



R1 RAZÃO 1: É a razão sem a utilização de um sapato com salto

R2 RAZÃO 2: É a razão com a utilização de um sapato com salto

R3 RAZÃO 3: É a razão com a utilização de um sapato com salto sugerido pela colboradoras


SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 16

1.1. OBJETIVOS 18

1.1.1. OBJETIVO GERAL 18

1.1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 18

2. A PERCEPÇÃO DE BELEZA 19

3. A ESCOLA PITAGÓRICA 22

4. A PROPORÇÃO ÁUREA 27

4.1. AS POSSÍVEIS ORIGENS DO NUMERO DE OURO 29

4.1.1 O SURGIMENTO LIGADO AOS PITAGÓRICOS 29

4.1.2. O SURGIMENTO LIGADO AOS EGÍPCIOS 31

4.1.3. O SURGIMENTO LIGADO AOS BABILÔNIOS 33

4.2. DEFINIÇÃO DE EUCLIDES E EQUAÇÃO ALGÉBRICA GERAL DA

PROPORÇÃO ÁUREA

35

4.3. CURIOSIDADES ACERCA DO NÚMERO DE OURO 37

4.3.1. LEONARDO DE PISA 38

4.3.2. O PENTAGRAMA 44

4.3.3. EVIDÊNCIAS DA RAZÃO ÁUREA EM DIVERSAS ÁREAS 51

5. METODOLOGIA 67

5.1. TIPO DE ESTUDO 67

5.2. LOCAL DA PESQUISA 67

5.3. POPULAÇÃO DE ESTUDO 67

5.4. DEFINIÇÃO DA AMOSTRA 67

5.5. PERÍODO DA PESQUISA 67

5.6. CRITÉRIOS DE INCLUSÃO 67

5.7. VARIÁVEIS ESTUDADAS 68

5.8. PROCEDIMENTOS 68

5.8.1. PROCEDIMENTOS GERAIS 68

5.8.1.1. DIVULGAÇÃO E APRESENTAÇÃO DA PESQUISA 68

5.8.1.2. A COLETA DE DADOS 69


5.8.1.2.1. APLICAÇÃO DOS PROTOCOLOS: 69

5.8.1.2.2. OBTENÇÃO DAS MEDIDAS 73

5.8.1.3. RISCO E BENEFÍCIO 74

5.8.2. PROCEDIMENTOS ESTATÍSTICOS 74

6. RESULTADOS E DISCUSSÕES 75

7. CONCLUSÃO 90

REFERÊNCIAS 92

APÊNDICE A 96

APÊNDICE B 97

APÊNDICE C 98

APÊNDICE D 99

APÊNDICE E 100

APÊNDICE F 101


1. INTRODUÇÃO

Muitas vezes pensamos que a matemática pertence somente aos livros

didaticos, aos cursos e as aplicação técnicas, cujos conceitos muitas vezes fogem

do homem comum. Deixamos passar despercebido em nosso dia-a-dia muitas

interações com a matemática, no entanto ao observarmos atenciosamente o mundo

natural ao nosso redor, poderemos verificar uma grande quantidade de matemática

presente em tudo, desde os mais simples detalhes. (CONTADOR, 2007, p.203-204)

O homem, através da matemática sempre procurou descobrir na Natureza

certas propriedades ou estruturas, pois a partir dessas descobertas ele poderá dar

sentido e criar uma lógica para entender seu desenvolvimento. São esssas

descobertas que o leva a criar uma teoria matemática, depois de uma

demonstração, que mais tarde se transformará em um teorema, e assim, progride

em formas cada vez mais ricas e elaboradas de entendimento. (CONTADOR, 2007,

p. 203 - 204).

Partindo deste princípio, poderíamos perguntar ao leitor, o que um

encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O

Sacramento da Última Ceia”, de Salvador Dalí, as magníficas conchas em espirais

de moluscos (náutilos), o crescimento das plantas, a organização das sementes dos

girassóis, a simetria de insetos como a borboleta e a libélula, algumas obras do

gênio da pintura Renascentista Leonardo Da Vinci, a arquitetura grega e a

procriação de coelhos têm em comum? É difícil de acreditar, mas esses exemplos

bem díspares têm em comum certo número que no século XIX recebeu o título

honorífico de “número de Ouro”, “Razão Áurea” e “Secção áurea”. Um livro

publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de

“Proporção Divina” (LÍVIO. 2007, p. 13) “devido à crença em sua relação com

aspectos da beleza que seriam obras de Deus” (MEISNER, 2004 apud ONO et al,

2007).

GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C.

O número de ouro é obtido por meio da

média e extrema razão” (EUCLIDES, apud EVES,1992) que segundo Lauro (2005),

consiste em dividir um segmento de reta em duas partes

entre a menor e a maior parte fosse igual a razão entre a maior parte e o segmento

total.

O resultado da divisão desses segmentos é igual a 1,618033...

representado pela letra grega

dos responsáveis pela contrução do famoso templo

com frequencia em suas obras.

O padrão estético que os gregos inventaram, dominou o conceito de

beleza em todo o mundo ocid

ocidentais, consolidando

pintura, Leonardo da Vinc, usou com maestria o número de ouro como referencia

para as proporções do corpo humano em s

“Homem Vitruviano”, construido a partir do contato de leonardo da Vinci com os

trabalhos do arquiteto romano Marcus Vitruvios. (CONTADOR, 2007, p.222).

No Homem Vitruviano

estrutura ideal do corpo humano. Segundo várias tradições antigas, o umbigo divide

o corpo humano de acordo com ela, ou seja, o resultado da divisão da altura total

pela altura do umbigo, deve ser o número de ouro.(CONTADOR, 2007, p.222).

Diante deste contexto, nos pro

feminina, dando ênfase à escolha de sapatos com saltos, nos valendo da ideia de

que o umbigo divide o corco humano em média e extrema razão, fazendo alusão às

idéias de Vitruvius.

GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha de saltos ...

O número de ouro é obtido por meio da “divisão de um segmento em


consiste em dividir um segmento de reta em duas partes, de tal modo que a razão



representado pela letra grega φ (fi) , em homenagem ao escultor grego Fídias

dos responsáveis pela contrução do famoso templo grego Partenon

com frequencia em suas obras.


beleza em todo o mundo ocidental e tornou-se padrão para diversos povos

ocidentais, consolidando-se ao longo do tempo. Entre outros grandes gênios da

inc, usou com maestria o número de ouro como referencia

para as proporções do corpo humano em seus trabalhos, dos quais destacamos

”, construido a partir do contato de leonardo da Vinci com os


Homem Vitruviano podemos ver a proporção áurea relacionada com a

l do corpo humano. Segundo várias tradições antigas, o umbigo divide



Diante deste contexto, nos propusemos a analisar a percepção estética



17

“divisão de um segmento em


, de tal modo que a razão



(fi) , em homenagem ao escultor grego Fídias (um

Partenon) que a utilizava


se padrão para diversos povos

se ao longo do tempo. Entre outros grandes gênios da

inc, usou com maestria o número de ouro como referencia

os quais destacamos o

”, construido a partir do contato de leonardo da Vinci com os


podemos ver a proporção áurea relacionada com a

l do corpo humano. Segundo várias tradições antigas, o umbigo divide



pusemos a analisar a percepção estética




1.1 OBJETIVOS

1.1.1 OBJETIVO GERAL

Analisar a relação entre a proporção áurea e a percepção estética

feminina como um fator de elegância, na escolha de figuras e, em especial, de

sapatos com salto.

1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar a faixa etária da amostra de estudo, bem como o grau de

escolaridade com vistas a fazer possíveis relações acerca da preferência

dos sapatos com salto maior ou menor.

Verificar se a freqüência da utilização de sapatos com salto pode ser

influenciado pela relação da RAZÃO 1 (razão entre a medida da altura e a

medida do umbigo ao chão) com a razão áurea.

Verificar se as opiniões das colaboradoras referente a um sapato com salto

como um fator de elegância, bem como, relacioná-las com a proximidade da

RAZÃO 1 e da razão áurea.

Identificar se a escolha de um sapato com salto mais baixo ou mais alto do

que o salto em uso no momento da pesquisa aproxima ou distancia a

medida da razão R2 da razão áurea

Verificar se as colaboradoras, ao utilizar a medida do salto sugerido, ficarão,

nessas condições, com suas proporções relativamente próximas da

Proporção Áurea.

Verificar se a presença de retângulos áureos em uma imagem tem alguma

influência na classificação de uma imagem como mais ou menos agradável.

Verificar se a proposição apresentada pelo arquiteto romano Marcus

Vitruvius, de que o umbigo divide o corpo em média e extrema razão se

mostra verdadeira na população de estudo.


2. A PERCEPÇÃO DE BELEZA

O culto ao belo sempre esteve ligado à história da evolução humana e por

influência de diversos fatores como a época e cultura, diferentes padrões e ideais de

beleza foram adotados. Mas em que consiste o belo? Seria possível criar um

conceito universal para a beleza, um conceito que pudesse sobreviver às mudanças

culturais?

Para responder a essas perguntas é importante conhecermos as

principais idéias relacionadas ao conceito de beleza, bem como as possíveis

“alterações” que esse conceito sofreu com o passar dos anos desde os conecitos

mais primitivos até os con até os dias atuais.

Beleza é uma palavra que tem desafiado os esforços dos filósofos na busca de uma definição que mereça concordância geral. Contudo, não é necessária a sabedoria do filósofo para articular algumas palavras significativas a seu respeito. Uma informação incontrovertível poderia ser: A beleza desperta emoção. (HUNTLEY, 1985, p. 24).

A estética como uma dimensão própria do homem, vem despertando,

desde a Grécia antiga o interesse e a preocupação no ser por aquilo que,

efetivamente, o agrada. Essa disposição ao questionamento do conceito de beleza,

a busca incessante pela compreensão e delimitação deste conceito move a estética

no transpassar da vida humana como disciplina filosófica. (VALE, 2005, p. 1)

O termo belo deve ser visto como um conceito filosófico e, por esse

motivo, passível de várias definições e interpretações. É um termo empregado em

diversas acepções e aplicado a realidades bem diferentes. Esse conceito é utilizado

ora caracterizando objetos produzidos pelo homem, ora aspectos da natureza, ora

ações e sentimentos humanos, ora o próprio homem e alguns de seus conceitos

morais (BERTOLLO & OLIVEIRA, 200?, p.3)


Para Platão1, o belo é o bem, a verdade, a perfeição; existe em si mesma apartada do mundo sensível, residindo, portanto, no mundo das idéias. A idéia suprema da beleza pode determinar o que seja mais ou menos belo. Em O banquete, Platão define o amor como a junção de duas partes que se completam, constituindo um ser andrógino que, em seu caminhar giratório, perpetua a existência humana. Esse ser, que só existe no mundo das idéias platônico, confere à sua natureza e forma uma espécie peculiar de beleza: a beleza da completude, do todo indissociável, e não uma beleza que simplesmente imita a natureza. Assim, temos em Platão, uma concepção de belo que se afasta da interferência e da participação do juízo humano, ou seja, o homem tem uma atuação passiva no que concerne ao conceito de belo: não está sob sua responsabilidade o julgamento do que é ou não é belo (VALE, L.F, 2005

Aristóteles2 contrapõe-se às idéias de Platão com relação a este conceito

acreditando que o belo seja sim uma característica inerente ao homem, “afinal, a

arte é uma criação particularmente humana e, como tal, não pode estar num mundo

apartado daquilo que é sensível ao homem. A beleza de uma obra de arte é assim

atribuída por critérios tais como proposição, simetria e ordenação, tudo em sua justa

medida” (VALE, 2005, p. 1)

O belo como manifestação do bem é o centro da teoria platônica. A doutrina do belo como manifestação da verdade é própria do Romantismo3, enquanto como simetria foi apresentada pela primeira vez por ARISTÓTELES que afirma ser o belo constituído pela ordem, pela simetria e, por uma grandeza capaz de ser envolvida, em seu conjunto, por um só olhar (OLIVEIRA et al, 2007).

1 Platão de Atenas (Atenas,428/27– Atenas, 347 a.C.) foi um filósofo grego. Discípulo de Sócrates, fundador da Academia e mestre de Aristóteles. Acredita-se que seu nome verdadeiro tenha sido Arístocles; Platão era um apelido que, provavelmente, fazia referência à sua característica física, tal como o porte atlético ou os ombros largos, ou ainda a sua ampla capacidade intelectual de tratar de diferentes temas. Πλάτος (plátos) em grego significa amplitude, dimensão, largura. Sua filosofia é de grande importância e influência. Platão ocupou-se com vários temas, entre eles ética, política, metafísica e teoria do conhecimento. (PLATÃO DE ATENAS, Wikipédia 2008) 2 Aristóteles (em grego Αριστοτέλης) nasceu em Estagira, na Calcídica (384 a.C. - 322 a.C.). Filósofo grego, aluno de Platão, filho de Nicômano e professor de Alexandre, o Grande. Considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos e criador do pensamento lógico. Figura entre os mais influentes filósofos gregos, ao lado de Sócrates e Platão, que transformaram a filosofia pré-socrática, construindo um dos principais fundamentos da filosofia ocidental. Aristóteles prestou contribuições importantes em diversas áreas do conhecimento humano, destacando-se: ética, política, física, metafísica, lógica, psicologia, poesia, retórica, zoologia, biologia, história natural. É considerado por muitos o filósofo que mais influenciou o pensamento ocidental. (ARISTÓTELES, Wikipédia 2008) 3 O Romantismo foi um movimento artístico, político e filosófico surgido nas últimas décadas do século XVIII na Europa que perdurou por grande parte do século XIX. Caracterizou-se como uma visão de mundo contrária ao racionalismo que marcou o período neoclássico e buscou um nacionalismo que viria a consolidar os estados nacionais na Europa. (ROMANTISMO, Wikipédia 2008)


Esses dois grandes filósofos, Platão e Aristóteles, durante muito tempo

questionaram o significado intrínseco do conceito de beleza e definiram o termo

estética como “o estudo da beleza e a Filosofia da Arte”. “A Arte e a Arquitetura

gregas clássicas floresceram nos séculos IV e V a.C., período denominado Idade de

Ouro da Grécia. Em seguida, a Grécia foi dominada por Alexandre4 e o período,

conhecido por helênico. A característica mais importante da arte grega é a forma

facial idealizada com balanço e harmonia. (BERTOLLO & OLIVEIRA, 200?, p.3)

Posteriormente, a autoridade eclesiástica da Idade Média introduz na concepção do belo a identificação direta com Deus, como um ser único e supremo a serviço do Bem e da Verdade. Tanto Santo Agostinho quanto São Tomás de Aquino identificam a beleza com o Bem, ademais da igualdade, do numero, da proporção e da ordem: estes atributos nada mais são do que reflexos da própria beleza de Deus. (VALE, 2005, p. 1)

Na concepção de Kant (RICKETTS, 1982 apud OLIVEIRA et al, 2007), o

belo é o que é representado sem conceito, como objeto de uma satisfação universal.

Segundo VALE (2005, p.1) Kant vê a estética como um estado de vida de

direito próprio, “uma capacidade de fruição intimamente relacionada a outras

capacidades cognitivas do ser humano, sem depender, necessariamente, da

aquisição de conhecimento, ou seja: para contemplar o belo, o sujeito não se vale

das determinações das capacidades cognitivas das faculdades do conhecimento”.

Na percepção e julgamento de um objeto, o sujeito abarca a plenitude de suas

características, observa o objeto como um todo e não as características isoladas.

Para Leonardo Da Vinci, artista plástico, cientista e escritor italiano e

considerado um dos maiores pintores do Renascimento, o modelo de beleza foi

traduzido pelo quadro Mona Lisa (quadro que será comentado mais adiante). Para

ele, e para o pensamento da época, a mulher bela tinha que preencher, literalmente,

o seu 'campo de visão', ou seja, as mulheres tinham que ser 'rechonchudinhas' e

trajando muitas roupas, por pressão moral. Hoje em dia, o belo, para a moda, é uma

mulher magra. É comprovado assim, que o conceito de beleza tem variações

através do contexto (época, espaço etc). O que não se altera nunca são os

fundamentos básicos da beleza: A proporção e a simetria (BELEZA, 2008). 4 Alexandre III da Macedônia, dito o Grande ou Magno (20 de julho de 356 a.C. em Pella – 10 de junho de 323 a.C., em Babilônia) foi o mais célebre conquistador do mundo antigo, era filho de Filipe II da Macedônia e de Olímpia do Épiro, mística e ardente adoradora do deus grego Dionísio. Em sua juventude, teve como preceptor o filósofo Aristóteles. (ALEXANDRE III, Wikipédia 2008)


3. A ESCOLA PITAGÓRICA

FIGURA 1- Pitágoras, cercado por Empédocles, Averroes,

Hipatia e Parmênides, no afresco. A Escola de Atenas, de

Rafaello Sanzio (1509).

Fonte: http://www.fflch.usp.br/df/opessoa/Pitagoras-Rafael.jpg

Segundo Bastian (2000, p.13) Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C., na

ilha egéia de Samos, na Grécia, não longe de Mileto, lugar do nascimento de Thales.

Sua figura está envolta em mitos e lendas, uma vez que não existem relatos

originais sobre sua vida e trabalhos. O grande mérito de Pitágoras teria sido a

percepção de que os números existem independentemente do mundo concreto.

Desse modo, ele poderia descobrir verdades que ficariam acima de preconceitos e

opiniões.

“Com mais ou menos dezenove, iniciou uma viagem em direção ao oriente; dirigiu-se primeiro à Babilônia onde esteve em contato com os sábios da terra, homens que pertenciam uma raça já antiga em cultura; depois, dirigiu-se à Índia encontrou Ciência e também Filosofia budista, que o influenciou pelo resto de sua vida. No Egito, esteve em contato com sacerdotes do Nilo. Quando regressou à Grécia já estava com 53 anos e tornou-se líder de um movimento religioso por toda a Grécia, movimento este que tinha como base o misticismo, ritos de abstinência, pureza e meditações, e seus adeptos usava roupas que os distinguiam das pessoas comuns. Movimento este que ficou conhecido como Escola Pitagórica, que durou cerca de 150 anos, e a visão mística dos pitagóricos não os impediu de fundarem a Aritmética, ou a Ciência dos Números. (CONTADOR, p.51-52).


A Escola Pitagórica, segundo Pinedo (2004, p. 04), era politicamente

conservadora e tinha um código de conduta rígido. O vegetarianismo era imposto a

seus membros, o pitagorismo aceitava a doutrina da metempsicose, ou

transmigração das almas, com a preocupação conseqüente de que se podia matar

um animal que fosse a moradia da alma de um amigo morto. Ainda, relata que os

ensinamentos principais eram voltados em uma explicação de fenômenos naturais

através de números.

“Pitágoras ensinava a seus discípulos que os números governavam o mundo e que, por isso, todos os fenômenos que ocorriam na terra, no ar, no fogo, ou na água, podiam ser expressos, avaliados e previstos por meio de números. Para tais, o número não era considerado, como uma quantidade abstrata, mas como uma virtude intrínseca ética do “um” supremo, o Deus, a origem da harmonia universal. (PINEDO, 2004 p. 04)”.

Contador (2007, p. 52) destaca que Pitágoras, como astrônomo, foi o

primeiro a afirmar que terra era redonda e estava suspensa no espaço. Observar o

céu permitiu a Pitágoras vislumbrar a existência de uma ordem no Universo. Com

base nesta premissa, ele cunhou o termo cosmos, que até hoje é utilizado como

sinônimo de Universo, e em grego significa exatamente o objeto de sua busca:

ordem. Num contexto mais amplo, o Cosmos seria o mais belo dos corpos,

harmonioso e perfeito. A perfeição foi um atributo bastante aplicado por Pitágoras.

Contador (2007, p. 52) ainda comenta que Pitágoras é obcecado por

números, nos deixou a célebre frase: todas as coisas são números. Achava que o

universo era uma escala musical e ao número 1 (um) atribuía a própria essência da

vida, pois tudo vem de deus que é onipotente, onipresente e onisciente e é

simplesmente um. Com sua teoria dos números, desenvolveu o estudo das notas

musicais que levou a descobrir que cordas em vibração emitem sons que dependem

de seus comprimentos. Assim de uma forma esplêndida, através de um instrumento

de cordas para ensaiar e demonstrar essa teoria, que talvez tenha sido o primeiro

experimento na história, onde a Matemática foi relacionada com a Natureza, assim

como a primeira tentativa de equacionar um fenômeno natural. Tal relação era tão

perfeita que não só os sons naturais, mas todos os eventos deveriam ser

representados por harmonias.


“Os primeiros sinais de casamento entre a matemática e a música surgem no século VI a.C. quando Pitágoras através de experiências com sons do monocórdio5, efetua uma de suas mais belas descobertas, que dá à luz, na época, ao quarto ramo da matemática: a música. Os principais teóricos musicais da escola Pitagórica foram Pitágoras e Filolau no período pré-clássico, bem como Arquitas, Aristoxeno e Aristóteles no período clássico.” (SÓ MATEMÁTICA, 2008).

Em sua sociedade secreta, os pitagóricos tinham o pentagrama6, ou a

estrela de cinco pontas, como emblema (...) toda e qualquer descoberta deveria ser

atribuída ao mestre e jamais deve ser revelada a uma pessoa estranha, ou seja,

juravam não revelar descobertas científicas da sociedade para o mundo. A pena

para os desobedientes era a morte. Diz-se que foi Pitágoras (ou sua sociedade) o

responsável pela introdução de sistema de pesos e medidas na Grécia. (Contador

2007, p. 52).

A geometria do pentagrama e suas associações metafísicas foram

exploradas pelos pitagóricos, que o consideravam um símbolo da perfeição. A

Relação matemática encontrada nessa figura, símbolo da perfeição, ficou conhecida

como Proporção Áurea [...] (CONTADOR, 2007. p. 39)

Por menos que uma pessoa conheça Matemática, quando falamos em

Pitágoras, de imediato vem à mente o famoso Teorema de Pitágoras, ou seja, a

relação entre os lados e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Para Contador

(2007, p. 61), Pitágoras foi o primeiro homem a não criar, mas conceituar e deduzir

esse teorema; embora os babilônios não tenham nos deixado deduções, esta

relação já era conhecida por eles cerca de dois mil anos antes, principalmente o

arranjo de lados 3, 4 e 5. Entre as várias deduções existentes, vejamos uma simples

que comprova esse teorema. Seja conforme a FIGURA 2, um triângulo retângulo de

lados b, c e hipotenusa a, a partir dele, montemos quadrado cujo lado seja a

hipotenusa desse triângulo.

5 “Possivelmente inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo, ainda, um cavalete móvel colocado sob a corda estendida e a altura musical do som emitido quando tocada” (SÓ MATEMÁTICA, 2008). 6 O pentagrama é composto de um pentágono regular e cinco triângulos isósceles côngruos, tal que a razão entre o lado do triângulo e sua base (lado do pentágono) é o número de ouro. (PENTAGRAMA, Wikipédia 2008)


FIGURA 2- Triângulos para a demonstração do Teorema de Pitágoras.Fonte: CONTADOR, 2007, p.61

Vemos que o mesmo triângulo retângulo repete

formando um quadrado de lado

ganhamos no centro, um pequeno quadrado de lado

de S’, então se chamarmos de

temos:

a = Hipotenusa, b = cateto maior

S = área do quadrado grande

2 SeaS =

'4321 sssssS ++++=

2

.

2

.

2

.

2

. cbcbcbcbS ++++=

22 ..2..2 ccbbcbS +−+=

Logo: 222 cba +=

Contador (2007,

Matemática em Aritmética ou números absolutos, Música em números aplicados,

Geometria em grandezas em repouso e Astronomia em grandezas em movimento.

Estudos sobre a Aritmética, Geometria, Música e Astronomia


Triângulos para a demonstração do Teorema de Pitágoras.CONTADOR, 2007, p.61

Vemos que o mesmo triângulo retângulo repete-se por quatro vezes

formando um quadrado de lado a, cuja a área chamaremos de

ganhamos no centro, um pequeno quadrado de lado b – c e área que chamaremos

, então se chamarmos de S1, S2, S3 e S4 as áreas dos triângulos 1, 2, 3 e 4

cateto maior e c = cateto menor

área do quadrado grande e S’ = área do quadrado grande

2)(' cbS −=

2)( cb −+

Contador (2007, p. 61) afirma que foi Pitágoras quem classificou a



Estudos sobre a Aritmética, Geometria, Música e Astronomia

25

Triângulos para a demonstração do Teorema de Pitágoras.

se por quatro vezes

, cuja a área chamaremos de S, note o leitor que

e área que chamaremos

as áreas dos triângulos 1, 2, 3 e 4

61) afirma que foi Pitágoras quem classificou a



eram considerados


fundamentais para os pitagóricos. Assim como Sócrates7, Pitágoras não escreveu

qualquer trabalho que tenha chegado até nós, logo, o que sabemos tem origem em

três fontes:

1- Os escritos de seus discípulos e seguidores como Nicômano8, autor de

Introdução à Aritmética, onde retrata os ensinamentos dos pitagóricos.

2- Nas obras de Platão que, por sua vez, foi muito influenciado pelos

seguidores de Pitágoras.

3- Nas obras de Aristóteles que cita e resume o pensamento pitagórico,

embora muitas vezes discorde do mesmo.

A cidade de Milos, palco principal dos pitagóricos, quando de uma

revolução por volta de 501 a.C., teve o governo derrubado, o palácio incendiado e

vários pitagóricos foram assassinados; o próprio Pitágoras fugiu para Tarento, de

onde se dirigiu para Metaponto e aí perdeu a vida numa revolta em 501 a.C. A

biografia de Pitágoras só foi escrita por volta do ano de 300 d.C. por Diógenes

Laércio9, portanto muita coisa é desconhecido ou lendária. Mas, Contador (2007)

reafirma que o homem, chamado Pitágoras, morreu, mas seus ensinamentos

continuaram e seu trabalho foi escrito por Filolau10 cerca de cem anos depois de sua

morte.

7 Sócrates (em grego, Σωκράτης [Sōkrátēs], (470–399 a.C.) foi um filósofo ateniense, um dos mais importantes ícones da tradição filosófica ocidental, e um dos fundadores da atual Filosofia Ocidental. (SOCRÁTES, Wikipédia 2008) 8 Escritor, filósofo e aritmético grego nascido em Gerasa. Fez parte do grupo de filósofos, com centro em Alexandria, que procuravam reviver os ensinamentos de Pitágoras. Sua mais importante produção foi Introductio Arithmeticae (100 d. C.), uma introdução à teoria dos números sob o ponto de vista da filosofia pitagórica, na qual explicava a classificação pitagórica de números pares e ímpares, definições de números primos, compostos e perfeitos, estudos de potenciação, combinação de razões, etc. (NETSABER BIOGRAFIAS, 2009) 9 Diógenes Laércio (em grego ∆ιογένης Λαέρτιος, Dioguénes Laértios, 200 - 250), historiador e biógrafo dos antigos filósofos gregos. A sua maior obra é Vidas e doutrinas dos filósofos ilustres, composta por dez livros, que contêm relevantes fontes de informações sobre o desenvolvimento da filosofia grega. (DIÓGENES, Wikipédia 2008) 10 Filolau de Crotona (século V a.C.) foi um filósofo pitagórico. Tradicionalmente se aceita que este filósofo tenha escrito um livro em que expunha a doutrina pitagórica (que era secreta e reservada apenas aos discípulos). Os fragmentos do livro conservam os mais antigos relatos sobre o pitagorismo e influenciaram fortemente Platão que, segundo a tradição, teria mandado comprar o referido livro, pagando por ele uma razoável quantia. (FILOLAU, Wikipédia 2008)


Na Música, Pitágoras descobriu que um intervalo musical poderia ser

expresso através de uma relação entre dois números. Foram os pitagóricos os

primeiros a dar verdadeiras demonstrações na história da Matemática entre elas:

que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180 graus e

irracionalidade da raiz quadrada de dois; conceitos como números pares e números

ímpares, o maravilhoso Teorema de Pitágoras, além de algumas nomenclaturas

deixadas pelos pitagóricos, que continuam, mesmo sem percebermos, em nosso

dia-a-dia.

4. A PROPORÇÃO ÁUREA

O que um encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso

quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de salvador Dalí, as magníficas conchas em

espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum? É difícil de

acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número que no

século XIX recebeu o título honorífico de Número de Ouro, Razão Áurea e Secção

Áurea. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa

razão de Proporção Divina (Lívio, 2007, p. 13)

A primeira definição mais clara deste número, conhecido como “razão

áurea” foi datada por volta de 300 a.C, pelo fundador da geometria como sistema

dedutivo formalizado, Euclides de Alexandria11.

11 Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi um professor, matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Uma de suas obras mais conhecidas é Os elementos, refere-se de um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 A.C. (EUCLIDES, Wikipédia 2008)


Euclides definiu uma proporção derivada da simples divisão de uma linha

no que ele chamou de “razão extrema e média”. Nas palavras de Euclides: “diz-se

que uma linha é cortada na Razão extrema e média quando, assim como a linha

toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o menor (LIVIO,

2007, p. 14).

FIGURA 03 - Divisão de um segmento em média e extrema razão

Para melhor exemplificar esta razão, observe (FIGURA 03) que o

segmento AB é maior que o segmento AC, ao mesmo tempo em que AC é maior

que BC. Se a razão entre os segmentos AB e BC for exatamente igual à razão entre

os segmentos AC e BC, então a linha foi cortada na razão definida por Euclides

como “razão extrema e média” e o valor desta razão segundo Lauro, 2005, o

resultado da divisão desses segmentos é igual a 1,618033... representado pela letra

grega φ (fi) , em homenagem ao escultor grego Fídias12 que a utilizava com

freqüência em suas obras.

Na literatura matemática profissional, o símbolo habitual para a razão

áurea é a letra grega tau (τ, do grego toun que significa “o corte”,“ a secção”). No

início do século XX, o matemático Americano Mark Baar deu à razão o nome de fi (φ

), a primeira letra grega no nome de Fídias, o grande escultor grego que viveu entre

490 e 430 a.C. As maiores realizações de Fídias foram o Partenon de Atenas e o

Zeus13 no templo de Olímpia, que segundo alguns estudos possuem a razão áurea

em sua composição. (LÍVIO, 2007, p. 16)

12 Fídias (em grego Φειδίας — Pheidias) (Atenas, 490–Olímpia, 430 a.C.) foi um escultor grego que se formou na escola dos mestres de Argos. Nenhuma de suas obras se conservou. No entanto, as esculturas do Partenon, que por ele foram concebidas (e provavelmente executadas sob sua supervisão) atestam seu gênio. Sua contribuição própria e mais famosa relaciona-se também com o Partenon: trata-se da célebre Athena Parthenos, de ouro e marfim e com mais de 12 metros de altura. (FÍDIAS, Wikipédia 2008) 13 Zeus era deus do céu e da Terra, senhor do Olimpo, deus supremo. Conhecido pelo nome romano de Júpiter. foi considerado um deus do tempo, com raios, trovões, chuvas e tempestades atribuídas a ele. Mais tarde, ele foi associado à justiça e à lei. Havia muitas estátuas erguidas em honra de Zeus, a mais magnífica era a sua estátua em Olímpia, uma das sete maravilhas do mundo antigo. Originalmente, os jogos olímpicos eram realizados em sua honra. (ZEUS, Wikipédia 2008)


4.1. AS POSSÍVEIS ORIGENS DO NUMERO DE OURO.

A origem deste número ainda gera grandes discussões no meio

acadêmico. Alguns autores como Pereira e Câmara (2006, p. 152) afirmam que a

razão áurea teria surgido com Pitágoras, baseando-se nas propriedades do

pentagrama, símbolo da escola pitagórica, que possui uma estreita relação com a

razão áurea. Autores como Eves (1992, p. 44 apud Lauro 2005, p. 36), que dizem

que a razão áurea pode ter sido conhecida mesmo antes da época dos gregos. O

historiador Heródoto relata que os sacerdotes egípcios disseram que na pirâmide de

Gizé14, a razão entre suas dimensões é ϕ. Ainda há uma remota possibilidade de o

número de ouro ter surgido com os babilônios no segundo milênio antes de cristo.

Para termos uma idéia mais abrangente a cerca desta discussão a

respeito do surgimento do número de ouro, apresentaremos o que motiva cada uma

das vertentes.

4.1.1 O surgimento ligado aos Pitagóricos

Como já mencionamos anteriormente, os pitagóricos se organizavam em

uma irmandade que tinha como símbolo o Pentagrama. Este possui uma estreita

relação com um pentágono regular (figura de cinco ângulos e cinco lados iguais),

pois conectando-se todos os vértices do pentágono por diagonais, obtem-se um

pentagrama. As diagonais desse pentagrama maior formará um outro pentagrama

no centro do pentágono, o qual formará um pentágono ainda menor e assim

sucessivamente nesta progressão continua e infinita continuar-se-á formando

pentágonos e pentagramas (FIGURA 4).

14 As Pirâmides de Gizé, ou Guiza, ocupam a primeira posição na lista das sete maravilhas do mundo

antigo. A grande diferença das Pirâmides de Gizé em relação às outras maravilhas do mundo é que

elas ainda persistem, resistindo ao tempo e às intempéries da natureza, encontrando-se em relativo

bom estado e, por este motivo, não necessitam de historiadores ou poetas para serem conhecidas, já

que podem ser vistas. (AS PIRÂMIDES DE GIZÉ, Wikipédia 2008)


FIGURA 4 Fonte: LIVIO, 2007

Segundo Lívio

figuras é que, se olharmos os segmentos de linha em ordem decrescente de

comprimento (aqueles marcados com a, b, c, d, e, f na figura), poderemos provar

facilmente, usando geometria elementar, que cada s

antecessores por um fator que exatamente igual à razão áurea, isto é, a razão entre

os segmentos a e b é ϕ, assim como a razão entre b

A divisão áurea é conhecida desde os pitagóricos de cinco que tudo indica, essa divisão foi descoberta no pentágono regular, que exibe uma surpreendente profusão de segmentos na razão áurea. Talvez este tenha sido o motivo que levou os pitagóricos a adotarem o pentagrama (pentágono regular estrelaCamara, 2005, p.152).

Além de Pereira e

intitulado “A descoberta da incomensurabilidade por Hipaso de Metaponto

publicado em 1945 e citado por Lívio, (2007,

os primeiros a descobrir a razão

15 Hipaso de Metaponto (em Grego clássico: membro da Escola pitagórica. Nasceu em torno do ano 500 a.C. em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia situada no Golfo de Tarento, ao sul do que agora é a Itália.METAPONTO, Wikipédia 2008)


FIGURA 4 - Pentagrama LIVIO, 2007, p.48

Lívio (2007, p.48), uma propriedade notável de todas essas



facilmente, usando geometria elementar, que cada segmento é menor que seus


, assim como a razão entre b e c, c e d e assim por diante.

A divisão áurea é conhecida desde os pitagóricos de cinco que tudo indica, essa divisão foi descoberta no pentágono regular, que exibe uma surpreendente profusão de segmentos na razão áurea. Talvez este tenha sido o motivo que levou os pitagóricos a adotarem o pentagrama (pentágono regular estrelado) como símbolo de sua seita. (Pereira e Camara, 2005, p.152).

Além de Pereira e Camara (2005), o autor Kurt Von Fr

A descoberta da incomensurabilidade por Hipaso de Metaponto

e citado por Lívio, (2007, p. 49) sugere que os pitagóricos foram

os primeiros a descobrir a razão áurea e a incomensurabilidade.

Hipaso de Metaponto (em Grego clássico: Ἵππασος Μεταποντῖνος) foi um filmembro da Escola pitagórica. Nasceu em torno do ano 500 a.C. em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia situada no Golfo de Tarento, ao sul do que agora é a Itália.

, Wikipédia 2008)

30

(2007, p.48), uma propriedade notável de todas essas



egmento é menor que seus


e c, c e d e assim por diante.

A divisão áurea é conhecida desde os pitagóricos de cinco séculos a.C. Ao que tudo indica, essa divisão foi descoberta no pentágono regular, que exibe uma surpreendente profusão de segmentos na razão áurea. Talvez este tenha sido o motivo que levou os pitagóricos a adotarem o pentagrama

do) como símbolo de sua seita. (Pereira e

Kurt Von Fritz, em seu artigo

A descoberta da incomensurabilidade por Hipaso de Metaponto15”,

sugere que os pitagóricos foram

) foi um filósofo pré-socrático, membro da Escola pitagórica. Nasceu em torno do ano 500 a.C. em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia situada no Golfo de Tarento, ao sul do que agora é a Itália. (HIPASO DE


Ainda segundo Lívio (2007, p. 49) esses historiadores da matemática

afirmavam que a preocupação pitagórica com o pentagrama e o pentágono,

combinada com o conhecimento geométrico que havia no meio do século V a.C,

tornou plausível que os pitagóricos, e, em particular, talvez Hipaso de Metaponto,

tenham descoberto a Razão áurea e, através dela, a incomensurabilidade.

4.1.2. O surgimento ligado aos Egípcios

Uma das bases para afirmar que o surgimento da razão áurea está no

Egito antigo é fornecida nas palavras do escritor Martin Gadner, 1989 citada por

Lívio (2007, p. 71) a respeito da Pirâmide de Gizé.

Heródoto16 afirma que a pirâmide foi construída de forma que a área de

cada face fosse igual a área de um quadrado cujo lado fosse igual à altura da

Pirâmide (Martin Gadner, 1989 apud Lívio, 2007, p. 71).

Segundo Lívio (2007, p. 72), o mesmo fora citado por vários outros

autores como Frederick William, 1860 e Midhat J. Gazalé, 1999. Mas o mais

importante é que dizer que a pirâmide foi construída de forma que a área de cada

face fosse igual à área de um quadrado cujo lado fosse igual à altura da Pirâmide é

equivalente a dizer que a grande pirâmide foi projetada de tal maneira que a razão a

altura de sua face triangular e a metade do lado da base fosse igual à razão áurea.

Outro autor a destacar esta vertente a cerca do surgimento da razão

áurea é Paulo Roberto Contador em seu livro intitulado A matemática na arte e na

vida, publicado em 2007 pela editora Física.

Segundo Contador (2007, p. 96), existe uma lenda descrita por Heródoto,

em que as grades pirâmides do Egito foram construídas de modo que a área de uma

das faces inclinadas é igual ao quadrado de sua altura.

16 Heródoto (em grego, Ἡρόδοτος - Hēródotos, na transliteração) foi um historiador grego, continuador de Hecateu de Mileto, nascido no século V a.C. Foi o autor da história da invasão persa da Grécia nos princípios do século V a.C., conhecida simplesmente como As histórias de Heródoto. (HERÓDOTO, Wikipédia 2008)


E partindo desta lenda, Contador (2007, p. 96) reproduz o seguinte

raciocínio.

Seja a pirâmide, cuja base é um quadrado de lado 2a, a altura h, e a

altura das faces s. A área S da face é dada por:

saSsa

S .⇒2

.2 == dessa forma, 2. hsa =

FIGURA 5 - Pirâmide Fonte: CONTADOR, 2007, p.96

Por Pitágoras temos: 222 - ash = assim, ⇒-. 22 assa = ( ) 2aass =−

, ou a proporção áurea, que será mostrada na forma de uma expressão semelhante

a essa na seção 4. A Grande Pirâmide de Quéops17 tem base com lado igual a

233,16 m e altura igual a 148,3 m, daí temos:

56,188⇒2,14858,116⇒ 222222 =+=+= ssahs

Assim: 6174,158,116

64,188 ==a

s considerando-se o desgaste da altura desde

sua construção podemos afirmar que esta relação é igual a φ . Da trigonometria,

sabe-se que a relação a

s exprime a secante do ângulo A, assim sec A = 1,618, e o

ângulo cuja secante tem esse valor é 51º50’.

17 A Pirâmide de Quéops (ou Khufu), construída para ser a tumba do Faraó Quéops da quarta dinastia, cujo reinado se estendeu de 2551 a 2528 a.C, necessitou de uma força de trabalho de cerca de 100 mil pessoas empregadas durante 20 anos, estes homens eram livres. É a maior das três pirâmides de Gizé: sua altura original era de 146,6 metros, mas atualmente é de 137,16 m, pois falta parte do seu topo e o revestimento. (A PIRÂMIDE DE QUÉOPS, Wikipédia 2008)


“a grande pirâmide de Quéops de Giza foi construída por volta de 4750 a.C. com uma altura superior a 148 metros, seu ângulo de inclinação é 51º52’, a primeira pirâmide construída próximo a Medumi possiu exatamente o mesmo ângulo e as outras pirâmides de Giza, construídas por volta de 4600 a.C., possuem ângulos de inclinação de 53º10’ e 51º10’, esses números podem ser meras coincidências, mas, se não o forem, podemos afirmar que os Egípcios, por volta de 5000 a.C. já conheciam a relação áurea” (CONTADOR, 2007. P. 97).

4.1.3. O surgimento ligado aos Babilônios

Em se tratando dos Babilônios, Lívio (2007, p. 59-60) afirma que estudos

de tabuletas cuneiformes18 que datam do segundo milênio a.C. que foram

descobertas em 1936 em Susa, no Irâ, deixam pouca dúvida de que os babilônios

da primeira dinastia sabiam pelo menos de uma fórmula aproximada da área de um

pentágono. O interesse babilônico por essa figura pode ter se originado do simples

fato de ela era obtida quando as pontas de todos os cinco dedos eram pressionadas

sobre uma placa de argila. Lê-se numa linha numa tabuleta de Susa: “1 40, a

constante da figura de cinco lados”. Como os Babilônios utilizavam o sistema

sexagesimal (base 60), os números 1 40 devem ser interpretados como 6040

1 + , ou

1,6666.., para a área de um pentágono, algo próximo do número de ouro. É claro

que esse valor encontrado pelos Babilônicos é uma aproximação da área de um

pentágono baseada na suposição de que numa relação em que o perímetro de

qualquer polígono regular (figura de lados e ângulos idênticos) que é totalmente

valida para o hexágono regular, mas dá uma boa aproximação para o pentágono,

uma vez que a verdadeira área de um pentágono regular de lado unitário é igual a

1,720. (Lívio, 2007, p. 59-60).

18 Tabuleta Cuneiforme ( ou Escrita Cuneiforme) foi desenvolvida pelos sumérios e é a designação geral dada a certos tipos de escrita feitas com auxílio de objetos em formato de cunha. É, juntamente com os hieróglifos egípcios, o mais antigo tipo conhecido de escrita, tendo sido criado pelos sumérios por volta de 3500 a.C. Inicialmente a escrita representava formas do mundo (pictogramas), mas por praticidade as formas foram se tornando mais simples e abstratas. (ESCRITA CUNEIFORME, Wikipédia 2008)


Apesar de todas as importantes descobertas matemáticas antigas e da

intima relação entre o sistema pentágono

absolutamente qualquer evidência M

razão áurea. Entretanto, na história desse número aparecem diversos autores que

afirmam que a razão áurea era encontrada em estrelas e baixo

assírios. (LÍVIO, 2007, p.

Lívio (2007, p.

guia destinado a iniciantes para construir o universo diz que

(FIGURA 6) que mostra os sacerdotes conduzindo um iniciado para um “encontro”

com o deus Sol contém “muitas relações de razão áurea”” e o analista de arte

Helene Hedian que publicou um artigo em 1976 no periódico

onde afirma que um baixo

obra encontra-se atuamente no Metropolitan Museum of Art) se encaixa

perfeitamente num retângulo com

FIGURA 6 Fonte:



intima relação entre o sistema pentágono-pentagrama e a razão áurea, não existe

solutamente qualquer evidência Matemática de que os Babilônios conhecessem a


afirmam que a razão áurea era encontrada em estrelas e baixo-relevos Babilônicos e

, 2007, p. 61)

(2007, p. 61) cita como exemplo o autor Michael Schneide

guia destinado a iniciantes para construir o universo diz que “uma estela Babilônica

) que mostra os sacerdotes conduzindo um iniciado para um “encontro”


edian que publicou um artigo em 1976 no periódico The fibonacci Quarterly

onde afirma que um baixo-relevo de um semideus alado assírio do século IX a.C.(a

se atuamente no Metropolitan Museum of Art) se encaixa

perfeitamente num retângulo com dimensões relacionadas pela razão áurea.

FIGURA 6 - Estela Babilônica Fonte: CONTADOR, 2007, p.97

34


pentagrama e a razão áurea, não existe

atemática de que os Babilônios conhecessem a


relevos Babilônicos e

Michael Schneider em um

“uma estela Babilônica

) que mostra os sacerdotes conduzindo um iniciado para um “encontro”


The fibonacci Quarterly

relevo de um semideus alado assírio do século IX a.C.(a

se atuamente no Metropolitan Museum of Art) se encaixa

dimensões relacionadas pela razão áurea.


Diversos são os trabalhos que relatam de alguma relação de objetos

babilônicos com a razão áurea, mas devemos tomar um pouco de cuidado, pois não

existe qualquer documentação que comprove que os artistas babilônicos utilizaram a

razão áurea conscientemente.

4.2. DEFINIÇÃO DE EUCLIDES E EQUAÇÃO ALGÉBRICA GERA L DA

PROPORÇÃO ÁUREA.

Nas palavras de Euclides: “diz-se que uma linha é cortada na Razão

extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior segmento, o

maior segmento está para o menor.

Daí, tiramos: 11

1 2 +=⇒=+xx

x

x

x (I)

Resolvendo a equação, teremos:

012 =−− xx onde a = 1, b = -1 e c = -1, teremos

a

acbbx

2

42±−=

( ) ( ) ( )1.2

1.1.411 2 −−−±−−=x

.2

51±=x

...618033,1.2

51' =+=x e

.2

51''

−=x

A equação (I) é a equação algébrica do segundo grau da proporção

áurea, onde uma das raízes é ϕ, como vimos.

Multiplicando a equação (I) por x, teremos:


xxx += 23 (II)

De (I) tiramos 12 −= xx que substituindo em (II) nos dá:

1-2 23 xx = (III)

Substituindo (I) na incógnita 2x em (III) obteremos:

123 += xx (IV)

Multiplicando (II) por x obtemos:

234 xxx += (V)

Substituindo (III) em 3x em V obteremos:

1-312 24224 xxxxx =⇒+−= (VI)

Agora substituindo (I) em 2x em (VI)

( ) 23⇒113 44 +=+= xxxx (VII)

Continuando as substituições obteremos:

35⇒2-5 525 +== xxxx

58⇒3-8 626 +== xxxx

813⇒8-13 727 +== xxxx

Esta seqüência pode ser generalizada para:

1-n2-n2 ⇒F- FxFxxFx n

nn

n +==

Esta é a equação algébrica geral da proporção áurea onde

2-n1-n, FeFFn não os números de Fibonacci, dos quais abordaremos mais

adiante.


4.3. CURIOSIDADES ACERCA DO NÚMERO DE OURO

Algumas das maiores mentes matemáticas de todos os tempos, de

Pitágoras e Euclides na Grécia antiga, passando pelo matemático italiano da idade

média Leonardo de Pisa e o astrônomo renascentista Johannes Kepler19, até figuras

científicas do presente, como o físico alemão de Oxford Roger Penrose20, passaram

horas sem fim trabalhando com esta simples razão e suas propriedades. Mas a

fascinação pela razão áurea não se restringe aos matemáticos. Biólogos, músicos,

artistas, historiadores, arquitetos, psicólogos e até místicos têm examinado e

debatido as bases da ubiqüidade e seu apelo. De fato, provavelmente é correto dizer

que a razão áurea tem inspirado pensadores de todas as disciplinas mais do que

qualquer outro número na história da matemática.

A atratividade do número de ouro origina-se, antes de tudo, do fato de

que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.

Para que possamos enxergar, de fato, a razão áurea nos lugares mais

inusitados e inesperados é importante conhecermos um pouco da vida e de um dos

trabalhos mais conhecidos do matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como

Fibonacci e das propriedades da relação pentágono-pentagrama com a razão áurea.

Conhecidas as principais propriedades da Razão Áurea, poderemos

apresentar ao leitor boa parte das áreas em que esta incrível razão está presente,

bem como fazer uma interessante discussão da sua relação com a beleza, perfeição

e harmonia.

19 Johannes Kepler foi um astrônomo. Formulou as três leis fundamentais da mecânica celeste, conhecidas como leis de Kepler. Dedicou-se também ao estudo da óptica. Em defesa da astrologia, publicou Tercius interveniens, onde criticava aqueles que atacavam a astrologia pelo seu viés supersticioso e não a distinguiam da astrologia como cosmologia. É importante notar que Kepler defendia a astrologia como cosmologia, como explicação do modo como se processam as relações entre astros e acontecimentos terrenos, dentro do âmbito da atuação divina. É clara sua crítica tanto aos céticos quanto aos supersticiosos. (KEPLER, Wikipédia 2008) 20 Sir Roger Penrose, (Colchester, 8 de Agosto de 1931) é um físico matemático inglês e professor emérito de Matemática da Universidade de Oxford. Filho do cientista Lionel S. Penrose e de Margaret Leathes, é irmão do matemático Oliver Penrose e do mestre no xadrez Jonathan Penrose. Altamente reconhecido por seus trabalhos em física matemática, em particular por suas contribuições para a relatividade geral e a cosmologia, Penrose tem contribuições em matemática recreacional e na filosofia. (ROGER PENROSE, Wikipédia 2008)


4.3.1. Leonardo de Pisa

Leonardo de Pisa “o principal e talvez o melhor matemático do período

medieval, nascido na cidade de Pisa, 1175-1250, também conhecido como

Leonardo Fibonacci” (CONTADOR, 2007. p. 133.)

FIGURA 7 – Leonardo de Pisa Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Fibonnacci/Fibonacci%201.jpg

Fibonacci, inspirado por seu pai que era funcionário de comercio e

alfândega fez diversas viagens ao Egito, Sicília, Grécia e Síria, onde teve contato

com a matemática oriental e árabe. Conhecedor que era dos algarismos indos-

arábicos, pela primeira vez um matemático cristão escreveu e publicou em 1202, um

trabalho, Liber Abaci, ou livro do Ábaco, título que não condiz com o conteúdo da

obra, pois trata de conceitos e problemas algébricos. Ele descreveu nos quinze

primeiros capítulos o modo de tratamento que se deve dar aos nove algarismos

indianos mais o zephirum ou zero; mostrou métodos de cálculos com frações

comuns, sexagesimais e unitárias, mas não as decimais, discute sobre raízes de

equações do segundo e terceiro graus e cálculo de raízes quadradas e cúbicas.

Publicou em 1220 o trabalho pratica Geometriae, sobre geometria e trigonometria e,

em 1225, escreveu o Liber Quadratorum sobre análise indeterminada. (CONTADOR,

2007. p.133).


Entre todos os seus trabalhos, o mais conhecido é o Liber abaci que

segundo Lívio, (2007, p. 114) deu a Fibonacci um reconhecimento considerável,

fazendo com que sua fama chegasse aos ouvidos do imperador romano Frederico II,

conhecido como Stupor Mundi (“maravilha do mundo”) por patrocinar a matemática e

as ciências. Foi convidado a comparecer diante do imperador de Pisa no inicio dos

anos 1220 e foi apresentado a uma série de problemas que foram considerados

muito difíceis pelo mestre Johannes Palermo, um dos matemáticos da corte, mas

ainda segundo Lívio (2007, p. 114), Fibonacci resolveu todos os problemas de modo

bastante engenhoso.

O papel de Fibonacci na história da razão áurea é fascinante, pois ao

escrever o livro Prática de Geometria, foi responsável por um progresso significativo,

mas ainda não espetacular.

As contribuições diretas de Fibonacci para a literatura da Razão áurea aparecem num livro pequeno sobre Geometria, practica Geometriae (Prática de Geometria), que foi publicado em 1223. Ele apresentou novos métodos para o cálculo da diagonal e da área do pentágono, cálculos dos lados do pentágono e do dodecágono a partir do diâmetro do circulo inscrito e do circunscrito, e computações de volumes do dodecaedro e do icosaedro, todos os quais estão ligados à razão áurea. Na solução desses problemas Fibonacci demonstra um profundo conhecimento da geometria euclidiana. Embora suas técnicas matemáticas empreguem até certo ponto, trabalhos anteriores, em particular Sobre o pentágono e o decágono, de Abul Kamil, há poucas dúvidas de que Fibonacci aprimorou o uso das propriedades Razão áurea em várias aplicações geométricas. Contudo, sua contribuição mais importante para a razão áurea e a que mais lhe trouxe fama deriva de um problema aparentemente inocente do Liber abaci. (LÍVIO, 2007. p.114)

O problema ao qual Lívio (2007, p.114) se refere trata da reprodução de

coelhos, algo que aparentemente importaria mais para a biologia do que para a

matemática e não tem nada a ver com a razão áurea.

“Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um número. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá a luz um novo par que é fértil a partir do segundo mês.” (LIVIO, 2007. p. 116).

Para que entendamos a importância deste problema para a matemática,

bem como a relação com a razão áurea resolveremos esse problema por meio de

um esquema desenvolvido por Contador (2007, p. 134).

Chamaremos de P um par de coelhos e de P1 os pares gerados por P, P2

os gerados por P1 e assim sucessivamente, então vamos montar uma tabela para


seis meses, lembrando que: o primeiro par de coelhos, além de ser adulto, não entra

em nosso resultado, mas esse primeiro par continuará gerando um par a cada mês;

e o primeiro par de coelhos somente procriará um novo para no terceiro mês. Ver

figura abaixo. (CONTADOR, 2007. p. 134-135).

FIGURA 8 - Resolução do problema dos coelhos Fonte: CONTADOR, 2007, p.134

Note que existe uma particularidade nessa seqüência, cada termo é

formado pela soma dos dois termos anteriores, assim não precisamos continuar

nossos cálculos até o mês doze. Sua generalização é dada por:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... naaa ,, 1-n2-n

Onde 1-n2-n, aaan += , com 2>n .

Essa seqüência ficou conhecida como Seqüência de Fibonacci ou Série

de Fibonacci. O nome Fibonacci é tão famoso hoje porque essa seqüência está

longe de ficar limitada à reprodução de coelhos. Encontraremos esta seqüência em

uma variedade inacreditável de fenômenos aparentemente sem relação.

Vamos começar examinando um fenômeno que está tão distante do tema

geração de coelhos quanto se pode imaginar: a óptica dos raios de luz.

Este exemplo é citado por Lívio, (2007, p. 117).

Suponha que temos duas placas de vidro ligeiramente diferentes

(propriedades de refração da luz, ou “índices de refração” da luz diferentes),

colocadas face a face, (FIGURA 9a). Se expusermos as placas à luz, os raios

podem (em princípio) se refletir internamente em quatro superfícies antes de emergir

(FIGURA 9a). Mais especificamente eles podem passar diretamente sem se refletir,

ou podem ter uma reflexão interna, duas reflexões internas, três reflexões internas, e


assim por diante, potencialmente um número infinito de reflexões intern

emergir. Todos esses caminhos são permitidos pelas leis da óptica. Agora, conte o

número de raios que emergem desse sistema de duas placas. Há apenas um raio

emergente no caso de não reflexão (FIGURA 9b

emergentes considerando

exatamente uma reflexão interna (FIGURA 9c

podem seguir. Há três raios de luz emergentes para todas as possibilidades de dua

reflexões internas (FIGURA 9d

oito caminhos se o raio reflete quatro vezes (FIGURA 9f

reflexões (FIGURA 9g); e assim por diante.

FIGURA 9 - Fonte: LÍVIO, 2007, p


assim por diante, potencialmente um número infinito de reflexões intern



caso de não reflexão (FIGURA 9b). Há apenas dois raios de luz

considerando-se todas as possibilidades quando os raios podem ter

uma reflexão interna (FIGURA 9c), pois existem dois caminhos que

podem seguir. Há três raios de luz emergentes para todas as possibilidades de dua

reflexões internas (FIGURA 9d); cinco raios de luz para três reflexões (FIGURA 9e

reflete quatro vezes (FIGURA 9f); treze caminhos

); e assim por diante.

Óptica dos raios de luz 2007, p.134

41

assim por diante, potencialmente um número infinito de reflexões internas antes de



). Há apenas dois raios de luz

se todas as possibilidades quando os raios podem ter

), pois existem dois caminhos que

podem seguir. Há três raios de luz emergentes para todas as possibilidades de duas

para três reflexões (FIGURA 9e);

); treze caminhos para cinco


A seqüência d

experiência, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., formam a seqüência de Fibonacci.

Partiremos agora para um exemplo ainda menos provável de ter alguma

relação com a seqüência de Fibonacci e o problema da reprodução de

Na FIGURA 10,

de energia, também estão relacionados aos números de Fibonacci, exemplo deste

fenômeno é o átomo de hidrogênio. Partindo da condição do átomo em seu estado

neutro de energia (estado 0), ele pode ganhar ou perder energia sucessivamente,

um ou dois quanta de energia, de modo a ocupar um nível acima de energia (estado

1), ou dois níveis acima de energia (estado 2). O diagrama a seguir mostra as

possíveis situações de perda e ganh

hidrogênio. (CONTADOR, 2007.

FIGURA 10- Pocupar o átomo de hidrogênio. Fonte: Contador,


A seqüência dos números de raios de luz que surgiram ao longo da



relação com a seqüência de Fibonacci e o problema da reprodução de

Na FIGURA 10, O ganho e a perda de energia de alguns átomos,

, também estão relacionados aos números de Fibonacci, exemplo deste


(estado 0), ele pode ganhar ou perder energia sucessivamente,



possíveis situações de perda e ganho de energia que pode ocupar o átomo de

hidrogênio. (CONTADOR, 2007. p.194)

Possíveis situações de perda e ganho de energia que pode ocupar o átomo de hidrogênio.

Contador, 2007. P.134

42

os números de raios de luz que surgiram ao longo da



relação com a seqüência de Fibonacci e o problema da reprodução de coelhos.

O ganho e a perda de energia de alguns átomos, quanta

, também estão relacionados aos números de Fibonacci, exemplo deste


(estado 0), ele pode ganhar ou perder energia sucessivamente,



o de energia que pode ocupar o átomo de

ossíveis situações de perda e ganho de energia que pode


Antes de darmos continuidade às situações mais diversas onde veremos

essa seqüência de números de Fibonacci, é importante fazermos a relação dela com

a razão áurea.

Observe alguns números da seqüência de Fibonacci -- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, 34, 55, 89, 144, 233..., e em seguida observe as razões a seguir:

00000,1=11

617647,1=

3455

00000,2=12

618182,1=

5589

50000,1=23

617978,1=

89144

666666,1=35

618056,1=

144233

60000,1=58

618026,1=

233377

625000,1=8

13 618037,1=

377

610

615385,1=1321

618033,1=

610987

619048,1=2134

Perceba que à medida que avançamos na seqüência de Fibonacci, a

razão entre dois números sucessivos, o maior sobre o menor, oscila em torno da

razão áurea, propriedade essa que fora descoberta, segundo Lívio (2007, p. 121),

em 1611 (embora possivelmente um anônimo italiano o tenha feito antes) pelo

famoso astrônomo alemão Johannes Kepler.

Dessa forma podemos dizer que os padrões da natureza que são regidos

pela seqüência de Fibonacci possuem ligação direta com a razão áurea.


4.3.2. O Pentagrama

FIGURA 11 - O Pentagrama. Fonte: http://web.prover.com.br/nominato/images/pentagrama.gif

O pentagrama está entre os principais e mais conhecido símbolos, uma

vez que ao longo de sua história foi utilizado por vários povos e teve inúmeros

significados.

Segundo Contador (2007, p. 27), talvez o exemplo mais antigo seja do

período de Uruk IV na Babilônia, cerca de 3000 a.C. Por volta do século V a.C. os

pentagramas foram usados pelos gregos em moedas; aparecem em um disco de

alabastro ou embalagem para perfume que data da época Alexandrina ou de

Alexandre, 356 a.C. – 323 a.C. e, depois em cerâmicas com os italianos e judeus.

Na maioria das vezes uma letra era escrita em cada ponta da estrela, que no caso

da Grécia, as letras, localizadas nas pontas do pentagrama, deram origem à palavra

higiene, pois seu significado estava ligado à saúde.

Na antiga Mesopotâmia, o pentagrama foi usado com inscrições reais, também foi usado como símbolo de poder imperial e entre os hebreus como símbolo da verdade inserido junto aos cinco livros do Pentateuco ou do velho testamento, atribuídos a Moises. Os primeiros cristãos relacionaram o pentagrama às cinco chagas de cristo e, desde então, até os tempos medievais, foi usado como um símbolo cristão. (CONTADOR, 2007, p. 28).


É interessante ressaltar que nem sempre o pentagrama teve um

significado positivo, durante o período medieval, mais precisamente em decorrência

da inquisição21, o pentagrama foi associado ao diabo.

Durante o período da inquisição, a igreja católica, por intcriou várias acusações e mentiras contra os templários, como o de cuspir na cruz, praticar rituais de cunho sexual e homossexual, essa acusação foi alicerçada no símbolo da ordem que tinha dois cacavalo [...]e a falsos ídolos, a conseqüência foi imediata: o pentagrama foi associado, por justaposição, como mostra a figura a seguir, a uao diabo [...]

Nas figuras 12 e 13,

o mesmo cavalo e a figura a qual Contador se referia em sua citação.

FIGURA 12Fonte:

21 Inquisição (do latim Inquisitio Haereticæ Pravitatis Sanctum Officium) é umjudicial de inquirir, o que se traduz e significa perguntar, averiguar, pesquisar, interrogar etc.Inquisição ganhou mais relevo na época da Reforma (para os católicos) ou Contra(chamada assim pelos protestantes) com as crescentes suspeitas populares. Portanto, tratauma inquirição, em assuntos de fé, evitando a condenação de alguém sem investigaçãoTecnicamente, Inquisição é confundida com "Tribunal do Santo Ofício". O segundo é uma entidade que tem por função fazer inquisições. Ao contrário do que é comum pensar, o "tribunal do Santo Ofício" é uma entidade jurídica e não tinha forma de execum réu, era entregue ao poder régio, muitas vezes com o pedido de que não houvesse danos nem derramamento de sangue. Este tribunal era muito comum na Europa a pedido dos poderes régios, pois queriam evitar condenações por mão popular.


interessante ressaltar que nem sempre o pentagrama teve um


, o pentagrama foi associado ao diabo.

Durante o período da inquisição, a igreja católica, por intcriou várias acusações e mentiras contra os templários, como o de cuspir na cruz, praticar rituais de cunho sexual e homossexual, essa acusação foi alicerçada no símbolo da ordem que tinha dois cavaleiros usando o mesmo cavalo [...]. Os templários também foram acusados de adoração ao demônio e a falsos ídolos, a conseqüência foi imediata: o pentagrama foi associado, por justaposição, como mostra a figura a seguir, a uao diabo [...]. (CONTADOR, 2007.p.33).

12 e 13, a insígnia da ordem que tinha dois cavaleiros usando


FIGURA 12 - Insígnia da ordem dos cavaleirosFonte: CONTADOR, 2007, p.32

Inquisição (do latim Inquisitio Haereticæ Pravitatis Sanctum Officium) é um judicial de inquirir, o que se traduz e significa perguntar, averiguar, pesquisar, interrogar etc.

ganhou mais relevo na época da Reforma (para os católicos) ou Contra(chamada assim pelos protestantes) com as crescentes suspeitas populares. Portanto, tratauma inquirição, em assuntos de fé, evitando a condenação de alguém sem investigaçãoTecnicamente, Inquisição é confundida com "Tribunal do Santo Ofício". O segundo é uma entidade que tem por função fazer inquisições. Ao contrário do que é comum pensar, o "tribunal do Santo Ofício" é uma entidade jurídica e não tinha forma de executar penas. O resultado da inquisição, feita a um réu, era entregue ao poder régio, muitas vezes com o pedido de que não houvesse danos nem derramamento de sangue. Este tribunal era muito comum na Europa a pedido dos poderes régios,

denações por mão popular. (INQUISIÇÃO, Wikipédia 2008)

45

interessante ressaltar que nem sempre o pentagrama teve um


Durante o período da inquisição, a igreja católica, por interesses próprios, criou várias acusações e mentiras contra os templários, como o de cuspir na cruz, praticar rituais de cunho sexual e homossexual, essa acusação foi

valeiros usando o mesmo emplários também foram acusados de adoração ao demônio

e a falsos ídolos, a conseqüência foi imediata: o pentagrama foi associado, por justaposição, como mostra a figura a seguir, a uma cabeça de bode, ou

a insígnia da ordem que tinha dois cavaleiros usando


Insígnia da ordem dos cavaleiros

termo que deriva do ato judicial de inquirir, o que se traduz e significa perguntar, averiguar, pesquisar, interrogar etc. A

ganhou mais relevo na época da Reforma (para os católicos) ou Contra-Reforma (chamada assim pelos protestantes) com as crescentes suspeitas populares. Portanto, trata-se de uma inquirição, em assuntos de fé, evitando a condenação de alguém sem investigação prévia. Tecnicamente, Inquisição é confundida com "Tribunal do Santo Ofício". O segundo é uma entidade que tem por função fazer inquisições. Ao contrário do que é comum pensar, o "tribunal do Santo

utar penas. O resultado da inquisição, feita a um réu, era entregue ao poder régio, muitas vezes com o pedido de que não houvesse danos nem derramamento de sangue. Este tribunal era muito comum na Europa a pedido dos poderes régios,

, Wikipédia 2008)


FIGURA 13Fonte: CONTADOR, 2007, p.33

No renascimento, um novo conceito de mundo se apresentava ao homem e o pentagrama, com seu significado místico, voltava à luz, saindo do anonimato e sendo apresentado ao continente europeu. Por conhecer bem suas propriedades matemáticas, Pitágoras e seus seguidores, há muito, já haviam adotado a estrela de cinco pontas como símbolo para representar a sua sociedade spitagórico ou o home místicotomar seu lugar. O pentagrama reaparece, em seguida, em forma de uma figura humana com os braços e as pernas abertas, disposto em cinco partes em forma de cruz; e repreda ordem e da perfeição da verdade divina. (CONTADOR, 2007.p.36).

O Pentagrama é uma figura geométrica que podemos encontrar a maior

quantidade de razões áureas. Como muitos acreditam, não foi por acaso

a escolhida como símbolo

com facilidade, encontrar várias propriedades, a saber.


FIGURA 13- Justaposição do pentagrama à cabeça de bodeCONTADOR, 2007, p.33

No renascimento, um novo conceito de mundo se apresentava ao homem e o pentagrama, com seu significado místico, voltava à luz, saindo do anonimato e sendo apresentado ao continente europeu. Por conhecer bem suas propriedades matemáticas, Pitágoras e seus seguidores, há muito, já haviam adotado a estrela de cinco pontas como símbolo para representar a sua sociedade secreta. E, finalmente, o homem pitagórico ou o home místico-moralista podia, novamente, tomar seu lugar. O pentagrama reaparece, em seguida, em forma de uma figura humana com os braços e as pernas abertas, disposto em cinco partes em forma de cruz; e representando o símbolo, não apenas do conhecimento, mas da ordem e da perfeição da verdade divina. (CONTADOR, 2007.p.36).


quantidade de razões áureas. Como muitos acreditam, não foi por acaso

a escolhida como símbolo da escola pitagórica. Da FIGURA 13

com facilidade, encontrar várias propriedades, a saber.

46

Justaposição do pentagrama à cabeça de bode

No renascimento, um novo conceito de mundo se apresentava ao homem e o pentagrama, com seu significado místico, voltava à luz, saindo do anonimato e sendo apresentado ao continente europeu. Por conhecer bem suas propriedades matemáticas, Pitágoras e seus seguidores, há muito, já haviam adotado a estrela de cinco pontas como símbolo para

ecreta. E, finalmente, o homem moralista podia, novamente,

tomar seu lugar. O pentagrama reaparece, em seguida, em forma de uma figura humana com os braços e as pernas abertas, disposto em cinco partes em forma de cruz; e

sentando o símbolo, não apenas do conhecimento, mas da ordem e da perfeição da verdade divina. (CONTADOR,


quantidade de razões áureas. Como muitos acreditam, não foi por acaso que ela foi

da escola pitagórica. Da FIGURA 13 a seguir podemos,


Sejam R e r os raios dos círculos maior e menor respectivamente, com

centro comum O, onde o pentágono A’, B’, C’, D’, E’ está inscrito no círculo maior, e

o pentágono P,Q,R,S,T com lado 1, está inscrito no círculo menor.

FIGURA 14- Relações Pentágono-Pentagrama I Fonte: CONTADOR, 2007, p.119

- Sendo 1=PT , de imediato tiramos que ϕ== '' TDPA .

- Os triângulos OAP e 'PCD são semelhantes e rOP= , daí vem que:

( )

2⇒⇒

.2⇒

1.2

1.2⇒12

1

⇒'

'

2

3 φφ

φ

φφ

φ

φ

==

++=

+

+==

r

OA

r

OA

r

OA

r

OA

PD

CD

OP

OA


- Os triângulos POA' e OZS são semelhantes, como φ=QS logo φ1=ZS ,

daí vem que:

2'⇒1

'⇒'

' φφφ

===r

OArOA

ZS

OS

PA

OA

- De imediato temos que: φ.2' =

OA

OA

- A diagonal QS tem comprimento igual à φ .

- Sendo X o ponto de intersecção entre duas diagonais então:

φ===XT

XB

XR

PX

QX

SX '

- Prolongamento SQ , este vai interceptar '' BA com V e, como VQS é

paralelo à ''DA , temos:

φ==='

''

'

'

SD

SB

QP

QB

VA

VB

- Todos os seis segmentos ,'' DA ,'TA ,'PA ,PT XZeRX estão em

progressão geométrica. Vejamos, da figura temos que:

1.2'' += φDA , como 31.2 φφ =+ , logo 3'' φ=DA

1' += φTA , como 21 φφ =+ , logo 2' φ=TA

φ=PA '

1=PT

1== PXPQ , sabemos que 1−=⇒=⇒= φφ

φ RXPX

RXRX

PX

- Os triângulos PRT e XRZ são semelhantes, pois PT e paralelo a XZ ,

logo:

21

1

11−

−

−

=⇒+

=⇒= φφ

φXZ

XZ

RP

RX

PT

XZ


- O pentágono A’, B’, C’, D’, E’ possui lados cada qual com comprimento

igual a 2φ .

- Os triângulos A’B’Q e PQR são opostos pelo vértice e A’B’ e PR são

paralelos, logo eles semelhantes. Assim:

2''11

1

''''' φφ

φ

=⇒=+

⇒= BABA

PQ

QA

PR

BA

- A relação entre os raios dos círculos é dada por: 2φ=r

R

- Na figura a seguir

FIGURA 15- Relações Pentágono-Pentagrama II Fonte: CONTADOR, 2007, p.120

Dobrando triângulo A’PQ na linha PQ, e repetindo o processo para os

outros triângulos correspondentes do pentagrama de modo que os pontos A’, B’, C’,

D’ e E’ se encontrem em H, obtemos uma pirâmide de altura OH. Daí tiramos que:


FIGURA 16 - Pirâmide Construída Fonte: CONTADOR, 2007, p.120

2=OA

OH e φ=r

OH

Como acabamos de ver, o pentagrama também possui relações diretas

com a proporção áurea. Neste momento retornaremos a mostrar algumas

curiosidades a cerca desta proporção.

Pegue, por exemplo, uma maçã qualquer (...). você irá encontrar as sementes da maçã arrumadas num padrão de estrela de cinco pontas ou pentagrama. Cada um dos cinco triângulos isósceles que formam as pontas do pentagrama tem a propriedade de que a razão entre o comprimento do seu lado mais comprido e do mais curto (a base) é igual à razão áurea, 1,618,,, (...) (LIVIO,2007. p.18).

Lívio (2007, p. 14) ainda cita que de acordo com a tradição Budista, num

de seus sermões Buda não proferiu uma única palavra, segurando, durante todo o

sermão uma simples flor diante de sua platéia.

O pentágono talvez seja a forma mais visível e simples, a natureza usa essa forma geométrica em vários seres vivos. São exemplos da forma pentagonal, a petúnia, o jasmim estrela, a estrela do mar, a flor de cera (...). Todas as plantas que possuem a forma pentagonal estão ligados diretamente à proporção áurea ou à secção áurea, pois ela está em seu interior. Também sem dificuldades podemos dizer que elas estão diretamente ligadas as plantas que possuem cinco pétalas ou um número múltiplo de cinco, característica comum das plantas que dão frutos comestíveis. Talvez seja mera coincidência possuirmos cinco dedos em cada uma das mãos. (CONTADOR, 2007, p. 204)


4.3.3. Evidências da Razão Áurea em diversas áreas

Segundo contador, (2007, p. 206) outro fato bastante interessante

relacionado às plantas e a razão áurea esta na distribuição dos galhos de algumas

árvores.

FIGURA 17 - Distribuição dos galhos das plantas segundo a seqüência de Fibonacci Fonte: CONTADOR, 2007, p. 206

A planta de nome achillea22 ptarmica é considerada um grande exemplo

desta distribuição. Ao encontrar qualquer planta que segue esta seqüência,

verificamos de imediato que ela torna-se mais harmoniosa e bela. (LÍVIO, 2007,

p.128)

As folhas ao longo do galho de uma planta ou os talos ao longo de um ramo tendem a crescer em posições que otimizariam sua exposição ao sol, à chuva e ao ar. À medida que um talo vertical cresce, ele produz folhas em pontos com espaçamento bem regular. (...) A planta de nome Iachillea ptarmica é considerada um grande exemplo desta distribuição. Ao encontrar qualquer planta que segue esta seqüência, verificamos de imediato que ela torna-se mais harmoniosa e bela. (LÍVIO, 2007, p. 128)

22 Achillea é um gênero botânico pertencente à família Asteraceae. (ACHILLEA, Wikipédia 2008)


Segundo Contador, (2007, p. 214) pesquisas mostram que a distribuição

de folhas ao longo de um ramo não se dá de forma aleatória, a cada conjunto de 3,

5, 8, 13... folhas, existe uma predominância em função do número de voltas ao redor

de um ramo de um mesmo ângulo, ou seja, eles são aproximadamente iguais. O

matemático inglês Wiesner, em 1875, chegou à conclusão sobre qual deveria ser o

ângulo entre as folhas num caule de uma árvore, de modo que estas ficassem

melhor expostas à luz solar e chegou ao resultado:

º5,137º360

2 ==φ

θ

FIGURA 18 - Ângulo entre duas folhas Fonte: CONTADOR, 2007, p.214

Os resultados de um estudo publicado no livro do ano da Ciência e do

futuro em 1977 também foram citados por Contador (2007, p. 215) para mostrar a

presença da secção áurea por meio da seqüência de Fibonacci em elementos da

natureza. Segundo contador, o estudo fora realizado com 2000 abacaxis e foi

verificado o predomínio de três, algumas vezes quatro, diferentes espirais de

Fibonacci.

As espirais áureas são muito difundidas no mundo biológico, os chifres de alguns animais crescem segundo a espiral equiangular. Pesquisas mostram que os chifres das cabras, dos antílopes e de outros animais crescem segundo a espiral áurea, se encontram com mais freqüência na natureza. [...] Grande parte dos seres vivos têm suas formas baseadas na simetria do pentágono e na espiral áurea, são exemplos desse fenômeno animais terrestres e marinhos, flores etc...(CONTADOR, 2007.p.217).


FIGURA 19- Estrela do mar Fonte: http://www.trilhasemergulho.com.br

FIGURA 20- Flor de Cera Fonte: http://baixaki.ig.com.br/imagens/wpapers/BXK13973_flor-de-cera-2800.jpg


FIGURA 21 - PetúniaFonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Petunia.jpg

A espiral logarítmica e a razão áurea caminham de mãos dadas. Ao

examinar a série de retângulos áureos aninhados obtidos quando removemos

quadrados de um retângulo áureo

esses quadrados os lados em razões áureas, obteremos uma espiral logarítmica.

(LÍVIO, 2007, p.140).

FIGURA 22- Espiral logarítmica no retângulo áureoFonte: http://www.cfgama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/imagens/inouro/apnouro/image19.gif


Petúnia http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Petunia.jpg



quadrados de um retângulo áureo (FIGURA 22) e ligar os pontos sucessivos onde


Espiral logarítmica no retângulo áureo http://www.cf-sebastiao-

ama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/imagens/inouro/apnouro/image19.gif

54

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Petunia.jpg



gar os pontos sucessivos onde


ama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/imagens/inouro/apnouro/image19.gif


A beleza de um girassol não se resume apenas ao seu formato ou ao seu

movimento diário atrás do sol. Ao olhar com atenção seu núcleo, com facilidade

verificamos que suas sementes estão distribuídas em várias espirais, tanto no

sentido horário, quanto no sentido anti-horário, mas o mais surpreendente é quando

contamos a quantidade dessas espirais. Dependendo do tamanho do girassol,

desde 21 espirais orientadas num sentido, sobreposta a 34 espirais no outro sentido

(Contador, 2007, p. 206 publicado pela scientific americam 1955).

FIGURA 23 - Girassol Fonte: http://suckandsmile.files.wordpress.com/2008/07/girassol.jpg


A beleza simétrica do arranjo da

é por acaso, ela também esta baseada na pres

mostra as posições e os ângulos dessas pétalas. Cálculos mostram que os ângulos

que definem as posições dessas pétalas são as partes fracionárias dos múltiplos das

frações 1/ϕ (CONTADOR,

FIGURA 24 Fonte:

FIGURA 25 - As posições e os ângulos dasFonte: CONTADOR, 2007, p.

Encontramos também as

diferentes arraias, nas estruturas ósseas das rãs e dos cavalos, nos “olhos” da

cauda do pavão (FIGURA 26)

áureas, em insetos como besouros, as borboletas, as libélula


A beleza simétrica do arranjo das pétalas de uma rosa

é por acaso, ela também esta baseada na presença da razão áurea. A FIGURA 25



(CONTADOR, 2007, p. 215).

FIGURA 24 - Rosa Fonte: http://homepage.oniduo.pt/rrodrigues/horoscopo_flores/rosa.jpg

As posições e os ângulos das pétalas de uma rosaCONTADOR, 2007, p. 214

Encontramos também as proporções da secção áurea nas formas das


(FIGURA 26) que estão nos pontos de interseção de espirais

áureas, em insetos como besouros, as borboletas, as libélula

56

s pétalas de uma rosa (FIGURA 24) não

ença da razão áurea. A FIGURA 25



http://homepage.oniduo.pt/rrodrigues/horoscopo_flores/rosa.jpg

de uma rosa

proporções da secção áurea nas formas das


que estão nos pontos de interseção de espirais

áureas, em insetos como besouros, as borboletas, as libélulas, as abelhas, as


vespas, as formigas, os grilos e os louva-a-deus (DOCZI, 1990 apud Lauro, 2005,

p.49).

FIGURA 26 - Cauda de um Pavão e as espirais logarítmicas. Fonte: http://www.fiocruz.br/biosseguranca/Bis/infantil/pavao.jpg

Estudos têm demonstrado que a beleza, a harmonia e o equilíbrio têm

relação direta com a proporção áurea. Os indivíduos têm preferência estética por

objetos com proporção áurea (HINTZ et al, 1971; BENJAFIELD, 1976; RICKETTS,

1982; JEFFERSON, 2004; GIL et al, 2002 apud ONO et al, 2007).

Ricketts (1982 apud OLIVEIRA et al, 2007) fez algumas considerações a respeito da proporção divina com relação à análise facial, constatando como verdadeiro que nas faces consideradas belas a proporção divina se mostra presente. Essa afirmação vem sendo estudada e avaliada por outros pesquisadores e as respostas encontradas são pouco ou bastante contraditórias, principalmente por estarem relacionadas ao conceito e a caracterização daquilo que se reconhece como belo. Provavelmente esteja apenas ao alcance do que seria definido como perfeito, ou ainda relacionado à concepção de Kant quanto ao belo ser o objeto de uma satisfação universal.

Torres (1970), Ghyka (1977) e Ricketts (1982) afirmaram que, além de

esteticamente mais agradáveis, estruturas em proporção áurea são mais estáveis e

funcionalmente mais eficientes e, com base nessas informações, demonstraram-na

presente no corpo humano.

Entre tantas outras aplicações, a “razão dourada”, referindo-se à

proporção áurea, tem lugar reservado também aos consultórios de odontologia.


Atualmente, a busca de tratamentos odontológicos estéticos tem sido priorizada em

diversas áreas da odontologia. Vários são os recursos utilizados em busca de um

sorriso perfeito. Respeitando as regras da proporção áurea e os movimentos

mandibulares dos pacientes, são utilizados instrumentos para verificar o

posicionamento correto da arcada dentária. (GOMES et al, 2003 apud Lauro, 2005.

p.44)

Um estudo recente (ONO, et al, 2007, p. 154 – 159) que buscou verificar,

por meio de radiografias cefalométricas laterais de indivíduos com uma disfunção na

arcada dentária, se algumas medidas apresentavam-se em proporção áurea no

esqueleto crânio-facial de indivíduos dolicofaciais (face alongada), braquifaciais

(face achatada) e mesofaciais (face intermediária) mostrou que de das oito razões

avaliadas (FIGURA 27), foram encontradas quatro proporções áureas (Or-Me/A-Pog,

Or-Me/Co-Go, Ena-AA/N-Ena e SO-POOr/Ena-Enp) no grupo de indivíduos

mesofaciais

FIGURA 27 - Proporções (A) Or-Me/Ena-Enp; (B) Or-Me/A-Pog; (C) Or-Me/Co-Go; (D) Go-Pog/N-Ena;(E) Go-Pog/Ena-Enp; (F) Co-Gn/Go-Pog; (G) Ena-AA/N-Ena; (H) SO-POOr/Ena-Enp. Fonte: ONO, 2007, p.156.

A natureza está repleta de elementos que fortalecem a idéia de que a

razão áurea possui alguma relação com a beleza, no entanto este conhecimento


manteve-se durante muito tempo restrito aos matemáticos, às pessoas que se

dedicavam a trabalhar com a geometria.

O renascimento produziu uma importante mudança na direção da história

da razão áurea. A partir de então, esse conceito deixou de ficar restrito à

matemática. Agora, a Razão áurea encontrava seu caminho nas explicações dos

fenômenos naturais e nas artes. (LÍVIO, 2007, p.183).

Após o período Greco-romano, mas precisamente na renascença que a proporção áurea deixou de ser apenas um ente matemático e rumou de forma definitiva em direção às artes. Foi principalmente através da pintura, que o homem pôde exprimir as verdadeiras proporções do corpo humano e de tudo aquilo que tem vida. O homem renascentista descobriu, ou redescobriu, que a Proporção áurea é um dos mais eficientes recursos para se alcançar por meio da proporcionalidade, a estética e a beleza. (CONTADOR, 2007, p.168).

Um nome que aparece quase que invariavelmente em quase todas as

afirmações a cerca do aparecimento da Razão áurea na pintura é o de Leonardo da

Vinc com um de seus trabalhos mais conhecidos A Monalisa23 (FIGURA 26). (LÍVIO,

2007, p. 186).

No quadro mais conhecido de Leonardo da Vinci, Monalisa “é fácil

verificar o emprego de vários retângulos áureos em torno de seu rosto e,

subdividindo o retângulo que tem a linha dos olhos, como referencia, novamente

encontramos retângulos áureos. Em outro quadro, este inacabado, mas também de

sua autoria, denominado São Jerônimo24 (FIGURA 27), pintado por volta de 1483, a

figura principal está perfeitamente contida num retângulo áureo” (CONTADOR,

2007, p.170-171).

23 Mona Lisa (também conhecida como La Gioconda ou, em francês, La Joconde, ou ainda Mona Lisa del Giocondo), é a mais notável e conhecida obra do pintor italiano Leonardo da Vinci. O quadro apresenta uma mulher com uma expressão introspectiva e um pouco tímida. O seu sorriso restrito é muito sedutor, mesmo que um pouco conservador. Seu corpo representa o padrão de beleza da mulher na época de Leonardo. Começou o retrato em 1503 e terminou-o três ou quatro anos mais tarde. A pintura a óleo sobre madeira de álamo encontra-se exposta agora no Museu do Louvre, em Paris, e é a maior atracção do museu. (MONA LISA, Wikipédia 2008) 24 São Jerônimo é uma pintura de Leonardo da Vinci. Na época da pintura desta obra Leonardo estava em Milão, contudo deixou um trabalho inacabado, mas que mesmo assim nos revela algumas das características essenciais do artista. Nos mostra São Jerônimo em uma pose dramática, com o braço direito estendido, à entrada da caverna escura. A obra foi muito danificada, parte dela tendo sido aparentemente usada como tampo de mesa antes de ser resgatada e, até certo ponto, restaurada. Mede 103 cm X 75 cm (Tempéra e Óleo sobre Madeira). Conserva-se na Pinacoteca do Museu Vaticano. (SÃO JERÔNIMO, Wikipédia 2008)


FIGURA 28 - Monalisa Fonte: http://tymask.files.wordpress.com/2008/05/monalisa.jpg

FIGURA 29- São Jerônimo. Fonte: http://www.famiglia.barone.nom.br/sao_jeronimo.jpg


Lívio (2007, p. 187) toma um pouco mais de cautela em fazer tais

afirmações, uma vez que “Monalisa foi tema de tantos livros de especulações

contraditórias de estudiosos e populares que praticamente impossível de se chegar

a qualquer conclusão inequívoca”.

[...] supõe-se que a Razão Áurea deveria ser encontrada nas divisões de um retângulo em torno do rosto de Mona Lisa. Na falta de qualquer indicação clara (e documentada) do lugar exato onde esse retângulo deveria ser desenhado, essa idéia representa apenas outra oportunidade para malabarismos áureos. (LIVIO, 2007, p.186-187)

Uma das fortes indicações de que Leonardo usou a razão áurea em

alguns de seus trabalhos está no fato de ele ter sido responsável pelas ilustrações

de um tratado de três volumes intitulado Divina proportione de Luca de Paciolli25,

publicado em 1509.

O segundo volume de Divina proportione é um tratado sobre proporção e

suas aplicações na arquitetura e no corpo humano. O tratamento de Pacioli foi

baseado, em grande parte, no trabalho do eclético arquiteto romano Marcus

Vitruvius Pollio26 (70-25 a.C) (LÍVIO, 2007, p.157).

[...] no corpo humano, o ponto central naturalmente é o umbigo. Por se um homem for colocado deitado de costas, com as mãos e os pés estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mãos e de seus pés irão tocar a circunferência do circulo descrito a partir desse ponto. É assim como o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada também pode ser encontrada a partir dele. Pois se medirmos a distancia da sola dos pés até o topo da cabeça e depois aplicarmos essa medida aos braços esticados, veremos que a largura será a mesma que a altura, como no caso de superfícies planas que são perfeitamente quadradas. (VITRIVIUS, apud LIVIO, 2007, p.157)

25 Luca de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano. O livro “Summa” tornou Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509 escreveu a sua segunda obra mais importante, De Divina proportione, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre proporções artísticas (LUCA DE PACIOLI, Wikipédia 2008) 26 Marcos Vitrúvio Polião, em latim Marcus Vitruvius Pollio, foi um arquiteto e engenheiro romano que viveu no século I a.C. e deixou como legado a sua obra em 10 volumes, aos quais deu o nome de De Architectura (aprox. 40 a.C.) que constitui o único tratado europeu do período grego-romano que chegou aos nossos dias e serviu de fonte de inspiração a diversos textos sobre construções, hidráulicas, hidrológicas e arquitetônicas desde a época do Renascimento. Os seus padrões de proporções e os seus princípios arquiteturais: utilitas, venustas e firmitas (utilidade, beleza e solidez), inauguraram a base da Arquitetura clássica. (VITRUVIUS, Wikipédia 2008)


Leonardo, ao conhecer o livro De architectura, de Marcus Vitruvius,

encontrou as seguintes palavras: O corpo humano constrói-se a partir de um circulo

e do quadrado, dando origem a mais um de seus quadros mais famosos O Homem

Vitruviano (CONTADOR, 2007, p. 220).

No Homem Vitruviano (FIGURA 30), veremos a Proporção Áurea

relacionada com a estrutura ideal do corpo humano. Segundo várias tradições

antigas, o umbigo divide o corpo humano de acordo com ela, ou seja, o resultado da

divisão da altura total pela altura do umbigo deve ser o número de ouro. Apesar de

que quando a criança nasce, o umbigo situa-se exatamente na metade do corpo,

com o crescimento esse para a ocupar a posição de divisão phi , e o órgão genital é

que passa a ocupar o meio do corpo. Assim, se a altura total for 1, a altura até o

umbigo será φ

1 e do umbigo até o alto da cabeça será 2

1

φ, e o órgão genital terá

altura 21

(FIGURA 28).

FIGURA 30 - O Homem Vitruviano Fonte: Adaptada de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Da_ Vinci_ Vitruve_Luc_Viatour.jpg

2

1φ

1

21

φ

1


Por mais que existam sérias dúvidas sobre a utilização da Razão Áurea

pelo próprio Leonardo da Vinci, que não era apenas amigo de Paciolli, mas também

o ilustrador do livro Divina Proporcione de Luca de Paciolli, da Razão Áurea nas

suas pinturas, isso não quer dizer que ninguém a utilizou. (LÍVIO, 2007, p. 190).

Lívio (2007, p. 194) complementa esse comentário dizendo que “alguns

autores cubistas, aqueles com tendência do Cubismo27, um dos exemplos foi pintor

espanhol Juan Gris28 (1887-1927), que usou a Razão Áurea em alguns de seus

trabalhos” (FIGURA 31 - 32).

Naquele momento eu estava interessado em teorias de proporções matemáticas, como os outros cubistas, e tentei aplicá-las às minhas esculturas. Todos nós tínhamos uma curiosidade pela idéia de uma regra áurea ou Secção áurea, um sistema que se acreditava que condicionava a arte e a arquitetura da antiga Grécia. (LIPCHITZ, APUD LÍVIO, 2007, p. 194 -195).

FIGURA 31 - Retrato de Pablo Picasso, por Juan Gris (1912) Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:JuanGris.Portrait_of_Picasso.jpg

27 Cubismo é um movimento artístico que ocorreu entre 1907 e 1914, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Broque.O Cubismo tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando todas as partes de um objeto no mesmo plano. A representação do mundo passava a não ter nenhum compromisso com a aparência real das coisas. (CUBISMO, Wikipédia 2008) 28 Juan Gris, pseudônimo de Juan José Victoriano González (Madrid, 1887 — Boulogne-sur-Seine, 1927), foi um dos mais famosos e versáteis pintores e escultores cubistas espanhóis. Apesar de ter falecido jovem, Juan Gris representa o expoente máximo do cubismo sintético. (JUAN GRIS, Wikipédia 2008)


Segundo Contador (2007, p.

nome Modernismo29, a Proporção Áurea também passou a fazer parte da técnica

usada para a pintura. Na opinião do autor um ótimo exemplo é o trabalho de

Cândido Portinari de 1935 de nome

FIGURA 33FONTE:

http://rpassaro.zip.net/images/por.jpg

29 Modernismo (ou movimento moderno) o conjunto de movimentos culturais, escolas e estilos que permearam as artes e o design da primeira metade do século XX. O movimento moderno baseouna idéia de que as formas "tradivida quotidiana tornaram-se ultrapassadas, e que se fazia fundamental deixálugar uma nova cultura. (MODERNISMO


FIGURA 32 - Arlequin. FONTE:

Lívio, 2007, p.194

Segundo Contador (2007, p. 169), no Brasil, a partir do movimento de

, a Proporção Áurea também passou a fazer parte da técnica


i de 1935 de nome O Café (FIGURA 33).

FIGURA 33 - O Café de Cândido Portinari http://rpassaro.zip.net/images/por.jpg

odernismo (ou movimento moderno) o conjunto de movimentos culturais, escolas e estilos que permearam as artes e o design da primeira metade do século XX. O movimento moderno baseouna idéia de que as formas "tradicionais" das artes plásticas, literatura, design, organização social e da

se ultrapassadas, e que se fazia fundamental deixáODERNISMO, Wikipédia 2008)

64

169), no Brasil, a partir do movimento de

, a Proporção Áurea também passou a fazer parte da técnica


odernismo (ou movimento moderno) o conjunto de movimentos culturais, escolas e estilos que permearam as artes e o design da primeira metade do século XX. O movimento moderno baseou-se

cionais" das artes plásticas, literatura, design, organização social e da se ultrapassadas, e que se fazia fundamental deixá-las de lado e criar no


Contador (2007, p. 169) ainda cita um trabalho de pintor e matemático

italiano chamado Piero Della Francesca30 (Figura 34).

FIGURA 34 - O Batismo de Cristo de Piero Della Francesca. Fonte: Adaptada de http://betoqueiroz.files.wordpress.com/2008/01/ battesimo.jpg

30 Piero Della Francesca (1416 — 1492) foi um pintor e matemático italiano do Quatrocentos, nome dado à segunda fase do movimento Renascentista italiano. Tal quais os grandes mestres de seu tempo, Piero primou sempre pela criatividade em relação ao passado medieval, apresentando técnicas e temáticas inovadoras como, por exemplo, o uso da tela e da pintura a óleo, o retrato, a representação da natureza, o nu, e, sobremaneira, a perspectiva e a criação do volume. (PIERO DELLA FRANCESCA, Wikipédia 2008)

1

2

2

φ φ1

3

1

φ 2

1

φ

3

1

φ 2.2

1

φ


A estética, que hoje se estende a todas as áreas do conhecimento humano, não é privilégio apenas do homem atual, a busca pelo belo é comprovada em inúmeros desenhos ao longo da história. [...] as criações dos grandes escultores gregos, que até hoje são consideradas padrões da beleza e da harmonia, em sua maioria, tinham como referencia a Proporção Áurea. Para as suas construções. A estátua de Afrodite de Melos (ou Vênus de Milo31), que é uma das mais conhecidas esculturas da Grécia Antiga. É considerada a peça mestre da beleza da mulher [...] (CONTADOR, 2007, p.173).

FIGURA 35 – Afrodite de Milos Fonte:

Adaptada de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons

/thumb/3/3d/Aphrodite_of_Milos.jpg

É partindo da relação do número de ouro com a beleza, muito bem

retratado pela Afrodite, no que concerne à beleza feminina que torna-se relevante a

realização de um estudo exploratório da Proporção Áurea na estética feminina.

31 A Vênus de Milo é uma famosa estátua grega. Ela representa a deusa grega Afrodite, do amor sexual e beleza física, tendo ficado no entanto mais conhecida pelo seu nome romano, Vênus. É uma escultura em mármore com 203 cm de altura, que data de cerca de 130 a.C. (VÊNUS DE MILO, Wikipédia 2008)

φ1

1


5. METODOLOGIA

5.1. TIPO DE ESTUDO

Realizou-se um estudo do tipo seccional ou transversal. O estudo buscou

observar a presença do número de ouro nas escolhas estéticas femininas por meio

de imagens e, em especial, do uso de sapatos com salto.

5.2. LOCAL DA PESQUISA

A pesquisa foi realizada na Feira de Orientação Profissional da Rede

Pública Estadual que aconteceu no Hangar – Centro de Convenções & Feiras da

Amazônia – nos dias 25 e 26 de agosto de 2008, concentrando-se no stand da

Universidade do Estado do Pará - UEPA no curso de Licenciatura Plena em

Matemática.

5.3. POPULAÇÃO DE ESTUDO

A população de estudo foi constituída de pessoas do sexo feminino.

5.4. DESCRIÇÃO DA AMOSTRA

Foram pesquisados 100 (Cem) indivíduos do sexo feminino com idades

variando de 11 a 60 anos.

5.5. PERÍODO DA PESQUISA

A pesquisa foi realizada no dia 26 de agosto de 2008.

5.6. CRITÉRIOS DE INCLUSÃO

• Ser do sexo feminino;

• Assinar o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (APÊNDICE A);


5.7. VARIÁVEIS ESTUDADAS

• Variáveis demográficas:

Idade;

Grau de escolaridade;

• Variáveis pessoais:

Utilização de sapatos com salto como fator de elegância;

A percepção estética no número de ouro em imagens de um rosto;

5.8. PROCEDIMENTOS

5.8.1. Procedimentos gerais

Realizou-se a coleta de dados a partir de um Protocolo de Pesquisa

(APÊNDICE B). O processo de desenvolvimento e acompanhamento da pesquisa foi

adotado a partir de uma seqüência de etapas:

5.8.1.1. Divulgação e Apresentação da Pesquisa

A divulgação e apresentação da pesquisa foram realizadas no stand no

UEPA auxiliadas por recursos tecnológicos e/ou visuais para finalidade de atrair

possíveis candidatas à pesquisa.

Recursos tecnológicos e/ou visuais utilizados:

a) Computador e Data Show: Reprodução de slides com imagens

(APÊNDICE C) e vídeos relacionados às curiosidades da razão áurea.

b) Banner: Um recurso visual (APÊNDICE D) utilizado para atrair a

atenção feminina no uso de sapatos com salto relacionado com o fator estético

feminino, assim como, esclarecer o procedimento fundamental da pesquisa e

determinar, no momento da pesquisa, a medida ideal através de uma formula

especifica (APÊNDICE E) que as colaboradoras tornem-se cada vez mais elegante,

de acordo com os objetivos em questão.


5.8.1.2. A Coleta de dados

Neste momento apresentaremos de que forma foram obtidas as

informações referentes à pesquisa.

5.8.1.2.1. Aplicação dos Protocolos:

Após a leitura e a assinatura do Termo de Consentimento Livre e

Esclarecido, os entrevistados foram orientados a responder 6 (Seis) perguntas

(extraídas do Protocolo de Pesquisa), a saber:

A) Perguntas referentes às variáveis demográficas:

PERGUNTA 01:

OBJETIVO: Identificar a faixa etária da amostra de estudo com vistas a

fazer possíveis relações acerca da preferência dos sapatos com salto maior ou

menor.

PERGUNTA 02:

OBJETIVO: Identificar o grau de escolaridade da amostra de estudo.

B) Perguntas referentes às variáveis pessoais:

PERGUNTA 03:


OBJETIVO: Verificar se a freqüência da utilização de sapatos com salto

pode ser influenciado pela relação da RAZÃO 01 (razão entre a medida da altura e a

medida do umbigo ao chão) com a razão áurea.

PERGUNTA 04:

OBJETIVO: Verificar as opiniões dos indivíduos pesquisados referente a

um sapato com salto como um fator de elegância, bem como, relacioná-las com a

proximidade da RAZÃO 01 e da razão áurea.

PERGUNTA 05:

OBJETIVO: Identificar se a escolha de um sapato com salto mais baixo

ou mais alto do que o salto em uso no momento da pesquisa aproxima ou distancia

a medida da RAZÃO 02 do número de ouro.

PERGUNTA 06:


Esta questão é uma adaptação de estudos já realizados objetivando

buscar fazer a relação de elementos baseados na razão áurea e a

DESCRIÇÃO:

mesmo rosto feminino. Percebemos em que cada figura A, B, C ou D é composta

por: uma imagem de um rosto feminino e um retângulo. Apesar de serem figuras

aparentemente semelhantes, são

Acompanharemos o processo de composição de cada figura, a respeitar a

seqüência:

i) Iniciamos a composição de cada figura a partir de duas imagens: um

rosto feminino (Imagem 01

Imagem 01

ii) Dividimos a

sendo que a primeira imagem (

das dimensões da Imagem 01

segunda imagem (Imagem 01. B

que não estão na razão áurea. O processo para originar duas ima

partir da Imagem 02 é análogo ao processo anterior.

32 Imagem 01 (WORLD MYSTERIES, 2009



buscar fazer a relação de elementos baseados na razão áurea e a

DESCRIÇÃO: A questão 06 mostra uma seqüência de imagens de um

. Percebemos em que cada figura A, B, C ou D é composta


aparentemente semelhantes, são figuras formadas por composições distintas.


Iniciamos a composição de cada figura a partir de duas imagens: um

Imagem 01 32) e um retângulo (Imagem 02 ).

Imagem 01 Imagem 02

Dividimos a Imagem 01 em duas outras aparentemente semelhantes,

sendo que a primeira imagem (Imagem 01. A ) foi originada a partir das alterações

Imagem 01 de tal sorte que esta fique na proporção áurea; já

Imagem 01. B ) manteve as proporções de origem da

que não estão na razão áurea. O processo para originar duas ima

é análogo ao processo anterior.

WORLD MYSTERIES, 2009).

71


buscar fazer a relação de elementos baseados na razão áurea e a beleza.

A questão 06 mostra uma seqüência de imagens de um

. Percebemos em que cada figura A, B, C ou D é composta


figuras formadas por composições distintas.


Iniciamos a composição de cada figura a partir de duas imagens: um

em duas outras aparentemente semelhantes,

) foi originada a partir das alterações

de tal sorte que esta fique na proporção áurea; já

) manteve as proporções de origem da Imagem 01

que não estão na razão áurea. O processo para originar duas imagens distintas a


Imagem 01. A Imagem 01.

iii) De posse das imagens anteriores e aplicando o Princípio Fundamental

da Contagem formamos 4 (quatro) figuras distintas. As figuras foram construídas

com as seguintes características:

FIGURA A: A moldura é um retângulo áureo, mas a foto não.

FIGURA B: A

FIGURA C: A foto e a moldura não são retângulos áureos.

FIGURA D: Esta figura possui tanto a foto quanto a moldura no formato

de retângulos áureos.

OBJETIVO: Verificar se a presença de retângulos áureos em

imagem tem alguma influência na classificação de uma imagem como mais ou

menos agradável.


Imagem 01. A Imagem 01. B Imagem 02. A Imagem 02. B

De posse das imagens anteriores e aplicando o Princípio Fundamental


com as seguintes características:

A moldura é um retângulo áureo, mas a foto não.

foto é um retângulo áureo, mas a moldura não.

A foto e a moldura não são retângulos áureos.

Esta figura possui tanto a foto quanto a moldura no formato

OBJETIVO: Verificar se a presença de retângulos áureos em


72

Imagem 02. B

De posse das imagens anteriores e aplicando o Princípio Fundamental


A moldura é um retângulo áureo, mas a foto não.

foto é um retângulo áureo, mas a moldura não.

A foto e a moldura não são retângulos áureos.

Esta figura possui tanto a foto quanto a moldura no formato

OBJETIVO: Verificar se a presença de retângulos áureos em uma



5.8.1.2.2. Obtenção Das Medidas

No protocolo ainda havia um espaço destinado para registro das medidas

aferidas na pesquisa.

Foi necessário adaptar no

medidas da altura e da altura do umbigo ao chão dos indivíduos com o sapato com

salto.

Procedimentos para a obtenção das m

1º PROCEDIMENTO:

Chão (Au ), sem a utilização de sapatos. As mulheres foram orientadas a retirar o

sapato com salto e se colocarem de pés encostadas a uma parede.

Com a utilização de uma régua e uma fita métrica, fizemos as seguintes

medições (APÊNDICE F

FIGURA 36- AFonte: AdaptadoCwk/KFpo_pOOAGk/s400/BANHEIRO_FEMININO.jpg


Obtenção Das Medidas


Foi necessário adaptar no protocolo outro espaço para registrar as


Procedimentos para a obtenção das m edidas

1º PROCEDIMENTO: Medir Altura Normal (An ) e Altura do Umbigo ao

lização de sapatos. As mulheres foram orientadas a retirar o



ÊNDICE F):

As medidas com a ausência de sapato com saltoAdaptado de http://bp2.blogger.com/_REIRSDAuN7Y/SIUXMCw7XvI/AAAAAAAA

Cwk/KFpo_pOOAGk/s400/BANHEIRO_FEMININO.jpg

73


protocolo outro espaço para registrar as


) e Altura do Umbigo ao

lização de sapatos. As mulheres foram orientadas a retirar o



sapato com salto. http://bp2.blogger.com/_REIRSDAuN7Y/SIUXMCw7XvI/AAAAAAAA


2º PROCEDIMENTO: Medir a Altura normal com salto (Ans ), a medida da

altura do umbigo ao chão com salto (Aus ) e a altura do sapato com salto (As ).

Com os mesmos instrumentos utilizados anteriormente, medimos:

FIGURA 37- As medidas com a presença de sapato com salto. Fonte: Adaptado de http://bp2.blogger.com/_REIRSDAuN7Y/SIUXMCw7XvI/AAAAAAAAC wk/KFpo_pOOAGk/s400/BANHEIRO_FEMININO.jpg

5.8.1.3. RISCO E BENEFÍCIO

De acordo como O Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, o sigilo

das identidades dos pesquisados foram garantidos e preservados. O principal motivo

deste trabalho não apresentar em anexo os 100 protocolos das pesquisadas que,

por sua vez, continham as identificações e suas respectivas assinaturas.

5.8.2. PROCEDIMENTOS ESTATÍSTICOS

Os dados coletados foram inseridos em banco de dados do programa

Microsoft Office Excel 2007. A descrição do perfil amostral com análise percentual foi

demonstrada por meio de gráficos e tabelas do Microsoft Office Excel 2007.

Na construção das tabelas e gráficos do Microsoft Excel (2007) foram

utilizadas algumas siglas que serão usadas ao longo do trabalho mencionadas

anteriormente.


6. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Apesar da grande quantidade de estudos com a temática do número de

ouro, há uma escassez de trabalhos com a abordagem semelhante à do presente

estudo, justificando a ausência de comparações de algumas das variáveis

estudadas com a literatura.

Neste moment

discussão de cada uma das perguntas contidas no protocolo de pesquisa.

Com o objetivo de identificar a faixa etária da amostra de estudo com

vistas a fazer possíveis relações acerca da preferência

ou menor solicitamos a marcação do seguinte quadro (QUADRO 1) por parte das

colaboradoras.

QUADRO 1- Faixa EtáriaFonte: Protocolo de Pesquisa, 2008

Com os dados obtidos, foi possível verificar que a maior parte dos

indivíduos pesquisados tinha entre 16 e 20 anos, seguido dos indivíduos com idade

variando de 11 a 15 anos (GRÁFICO

GRÁFICO 1 FONTE: Protocolo de P


. RESULTADOS E DISCUSSÃO




estudadas com a literatura.

Neste momento serão apresentados os principais resultados seguidos da



vistas a fazer possíveis relações acerca da preferência dos sapatos com salto maior


Etária Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008



iando de 11 a 15 anos (GRÁFICO 1).

1 – Faixa etária das colaboradoras rotocolo de Pesquisa, 2008.

75




o serão apresentados os principais resultados seguidos da



dos sapatos com salto maior





Objetivando identificar o grau de escolaridade da amostra de estudo as

colaboradoras, elas foram orientadas a fazer a marcação do seguinte quadro

(QUADRO 2).

QUADRO 2 – Grau de escolaridade Fonte : Protocolo de Pesquisa, 2008.

A análise dessas marcações indicou 58 pessoas com o Ensino Médio

incompleto, seguido de 16 pessoas com o Ensino Médio completo (GRÁFICO 2).

GRÁFICO 2: Grau de Escolaridade das colaboradoras. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.


Os dois resultados (idade e grau de escolaridade) apresentados têm

influencia direta do público alvo da feira na qual a pesquisa foi realizada: jovens de

11 a 20 anos com o grau de escolaridade variando do Ensino Médio incompleto ao

Ensino Médio completo.

Com o objetivo de

salto pode ser influenciada

altura e a medida do umbigo ao chão) com a razão áurea fizemos a seguinte

pergunta (QUADRO 3)

QUADRO 3 – Freqüência da utilizaçFonte : Protocolo de Pesquisa, 2008.

Com a análise das respostas desta pergun

colaboradoras afirmaram

que afirmaram utilizar somente em ocasiões especiais. Apenas 9% afirmaram não

utilizar com freqüência sapatos com salto (GRÁFICO

GRÁFICO 3: Você costuma usar com freqüência sapatos com saltos?Fonte: Protocolo de Pesquisa

45%

Sim - 46% Não





Ensino Médio completo.

Com o objetivo de analisar se a freqüência da utilização de sapatos

salto pode ser influenciada pela relação da RAZÃO 01 (razão entre a medida da


Freqüência da utilização de sapatos com salto: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Com a análise das respostas desta pergunta, verificamos que 46% da

colaboradoras afirmaram utilizar com freqüência sapatos com salto, seguido de 45 %

izar somente em ocasiões especiais. Apenas 9% afirmaram não

ncia sapatos com salto (GRÁFICO 3).

Você costuma usar com freqüência sapatos com saltos?esquisa, 2008.

46%

9%Não - 9% Somente em ocasiões especiais

77




se a freqüência da utilização de sapatos com

(razão entre a medida da


ão de sapatos com salto

ta, verificamos que 46% das

utilizar com freqüência sapatos com salto, seguido de 45 %

izar somente em ocasiões especiais. Apenas 9% afirmaram não

Você costuma usar com freqüência sapatos com saltos?

46%

Somente em ocasiões especiais - 45%


Em se tratando das colaboradoras que afirmaram não usar salto com

freqüência (9%), todas possuem um erro com relação à razão áurea (ϕ = 1,618) não

superior a 1,54% (TABELA 1).

TABELA 1 – Dados das colaboradoras que responderam não à pergunta 03 do protocolo de pesquisa.

Colaboradoras An Au As Ass Ais R1 fi ( φ ) E1

C-5 158 98 0 3 -0,913 1,612 1,618 0,36%

C-6 156 98 0 3 -4,149 1,592 1,618 1,62%

C-17 165 102 0 0 -0,058 1,618 1,618 0,02%

C-23 180 110 0 5 3,269 1,636 1,618 1,13%

C-33 161 98 0 1 3,942 1,643 1,618 1,54%

C-43 161 98 0 0 3,942 1,643 1,618 1,54%

C-49 162 101 0 0 -2,294 1,604 1,618 0,87%

C-65 163,4 101,2 0 0 -0,553 1,615 1,618 0,21%

C-66 161,9 98,9 10 6 3,042 1,637 1,618 1,17%

Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Todas essas colaboradoras possuem uma RAZÃO 1 próxima da

proporção áurea e 8 delas não estavam utilizando sapatos com salto (TABELA 1).

Destas colaboradoras, a C-66 era a única que estava utilizando um

sapato com um salto (10 cm), mas afirmou gostar de usar um salto mais baixo (6

cm) que segundo o cálculo do salto ideal (Ais ) o aproximaria ainda mais da

proporção áurea. Matematicamente, os valores negativos de Ais apresentados na

tabela, significam que tais participantes possuem pernas compridas com relação ao

tronco (parte acima do umbigo) e por isso elas apresentam uma razão R1 menor

que a razão áurea. Baseando-se na proporção áurea, esses participantes ficaram

cada vez mais desproporcionais à medida que utilizam sapatos com salto.

De acordo com as opiniões das colaboradoras, verificamos no QUADRO

4 objetivando analisar se um sapato com salto como um fator de elegância, bem

como, relacioná-las com a proximidade da RAZÃO 01 e da razão áurea.

QUADRO 4 – Salto de um sapato como fator de elegância. Fonte : Protocolo de Pesquisa, 2008.


A maioria das colaboradoras

alto elas ficam mais elegantes (92%),

(GRAFICO 4).

GRÁFICO mais elegante?Fonte: Proto

Tal fato nos possibilita inferir que o salto de um sapato seja um elemento

que favoreça a elegância, na

Em se tratando dos 92% das colaboradoras

com salto como um fator de elegância, verificamos que 57% destas

possuem um erro E1 (erro da razão R

1,8% , ou seja, essas colaboradoras possuem a razão R

de ouro. Ao colocar um sapa

estava utilizando no momento da pesquisa

1,8%, aumenta e conseqüentemente o número de pessoas fora desse intervalo

diminui. (TABELA 2).

TABELA 2: Margem de erro das razões ouro.

Erro

Inferior a 1,80%

Superior a 1,80%

FONTE: Protocolo de Pesquisa


A maioria das colaboradoras acredita que ao utilizar um sapato com salto

elas ficam mais elegantes (92%), enquanto que somente 8% não acreditam

GRÁFICO 4: Você acredita que o salto lhe deixe coma aparência mais elegante?

rotocolo de Pesquisa, 2008.


a elegância, na opinião dessas colaboradoras.

atando dos 92% das colaboradoras que afirmaram ver os sapatos

com salto como um fator de elegância, verificamos que 57% destas

possuem um erro E1 (erro da razão R1 com relação ao número de ouro)

colaboradoras possuem a razão R1 bem próxima do número

de ouro. Ao colocar um sapato com salto (no caso, o sapato que a

estava utilizando no momento da pesquisa), o número de pessoas com erro

aumenta e conseqüentemente o número de pessoas fora desse intervalo

Margem de erro das razões R1 e, ao colocar o salto, R2 com relação ao número de

R01 R02

57%

79%

43%

21%

esquisa, 2008

79

acredita que ao utilizar um sapato com salto

mente 8% não acreditam

Você acredita que o salto lhe deixe coma aparência


que afirmaram ver os sapatos

com salto como um fator de elegância, verificamos que 57% destas colaboradoras

1 com relação ao número de ouro) inferior a

1 bem próxima do número

o sapato que a colaboradora

, o número de pessoas com erro inferior

aumenta e conseqüentemente o número de pessoas fora desse intervalo

R1 e, ao colocar o salto, R2 com relação ao número de

Comportamento

Crescimento

Decrescimento


Este fato nos possibilita afirmar que a escolha de um sapato com salto

além de ter relação com a elegância na opinião das colaboradoras tem grandes

possibilidades de estar ligado ao número de ouro, uma vez que, ao colocar um

sapato com salto, elas sentem-se mais elegantes e a razão entre a altura e o umbigo

tende a aproximar-se da proporção áurea.

Considerando-se as colaoraoras que optaram por não considerar o

sapato com salto como fator de elegância (8%), foi verificado que, apesar de não

acreditarem que o sapato com salto as deixe mais elegante, exatamente 5

participantes estavam utilizando (TABELA 3).

TABELA 3: Participantes que não acreditam que sapatos com salto possam deixá-las mais elegantes.

Colaboradora As Ass Ais R1 fi ( φ ) R2 E1 E2

C-6 - 3 -4,149 1,592 1,618 - 1,62% -

C-29 9 - 9,56 1,681 1,618 1,608 3,88% 0,63%

C-43 - - 3,942 1,643 1,618 - 1,54% -

C-46 11 4 3,087 1,638 1,618 1,578 1,25% 2,45%

C-52 9 4 0,706 1,622 1,618 1,571 0,27% 2,88%

C-65 - - -0,553 1,615 1,618 - 0,21% -

C-75 8 4 1,238 1,626 1,618 1,589 0,48% 1,78%

C-94 6 2 4,982 1,651 1,618 1,625 2,04% 0,45%


Aqui se faz necessária uma análise mais detalhada de algumas

colaboradoras, que foram agrupadas, segundo os autores, a partir de características

comuns. Vejamos os agrupamentos na tabela a seguir:

TABELA 4: Agrupamentos e suas características comuns. (continua)

Grupo Colaboradoras Características comuns

A

C-06

C-43

C-65

São aquelas que não utilizavam sapato com salto. Estas admitem erros

E1 inferiores a 1,80%, ou seja, é uma característica das colaboradoras

cujas proporções R1 estão com uma proximidade considerável em

relação com número de ouro.


(conclusão)

Grupo Colaboradoras Características comuns

B

C-42

C-52

C-75

São aquelas que mesmo não considerando que sapatos com salto as

deixem mais elegantes, no momento da pesquisa estavam com este

acessório. Ao observarmos seus dados, verificamos que elas também

estão com erros E1 inferiores a 1,80%, e quando estavam utilizando os

sapatos com salto os erros E2 aumentaram consideravelmente, alguns

superaram 1,80%, ou seja, as proporções R2 divergiram em relação ao

número de ouro . Em outras palavras, e baseado nos dados

estatísticos, as colaboradoras já estão com sua proporção R1 muito

próxima da proporção áurea, o que está de acordo com sua preferência

em não considerar que sapatos com salto as deixem mais elegantes.

Mostram uma relação interessante o número de ouro e o fator estético

de elegância.

C C-29

C-94

São aquelas que mesmo não considerando que sapatos com salto as

deixam mais elegantes, no momento da pesquisa estavam também

com este acessório.

Na C-29, a proporção R1 admite um erro E1 superior a 1,80%, por

volta de 3,88%, entretanto, com a utilização de um sapato com salto (9

cm), o erro E2 decresceu consideravelmente, passando se 3,88% para

0,63%. Em outras palavras, a colaboradora não considera que um

sapato com salto a deixe mais elegante, mas, em contrapartida, estava

utilizando um salto que a deixe com a razão entre a altura e a altura do

umbigo ao chão muito próximo da razão áurea .

Com a C-94 acontece algo parecido, uma vez que ao utilizar seu

sapato com salto o erro relacionado à proporção áurea diminui de

2,05% para 0,45%, mostrando mais uma vez que a escolha do salto

está aproximando a proporção R1 da proporção áurea.



Na QUESTÃO 05 (QUADRO 5), temos com

escolha de um sapato com salto mais baixo ou mais alto do que o salto em uso no

momento da pesquisa aproxima ou distancia a medida da

ouro.

QUADRO 5 – Opinião referente a utilização de um salto mais alto ou mais baFonte : Protocolo de Pesquisa, 2008.

Em se tratando da possibilidade de um sapato com um salto mais baixo

ou mais alto, 62% das colaboradoras

o que estava sendo utilizado no momento da pesquisa, enquanto

gostariam de um mais baixo (GRAFICO

GRÁFICO 5: Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou mais baixo? Fonte: Protocolo de P

De acordo com o

predominante foi a escolha de um salto mais alto (

menor, 30% optou por um sapato com um salto mais baixo; e somente 8% não

respondeu essa questão. Entretanto, de acord

QUADRO 5 apresentaria uma segunda parte que caberia outra análise referente à


Na QUESTÃO 05 (QUADRO 5), temos como objetivo:


momento da pesquisa aproxima ou distancia a medida da RAZÃO 02

Opinião referente a utilização de um salto mais alto ou mais ba: Protocolo de Pesquisa, 2008.


das colaboradoras gostariam de utilizar um salto mais alto do que

o que estava sendo utilizado no momento da pesquisa, enquanto

riam de um mais baixo (GRAFICO 5).

Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou

Protocolo de Pesquisa, 2008.

De acordo com o GRÁFICO 5, referente a questão 05, a opinião

colha de um salto mais alto (62%) e, em número percentual


respondeu essa questão. Entretanto, de acordo com o protocolo de pesquisa, o

apresentaria uma segunda parte que caberia outra análise referente à

82

objetivo: Identificar se a


RAZÃO 02 do número de

Opinião referente a utilização de um salto mais alto ou mais baixo.


gostariam de utilizar um salto mais alto do que

o que estava sendo utilizado no momento da pesquisa, enquanto que 30%

Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou

, referente a questão 05, a opinião

e, em número percentual


o com o protocolo de pesquisa, o

apresentaria uma segunda parte que caberia outra análise referente à


sugestão de uma medida, em centímetros, que corresponderia em somar ou subtrair

da medida do salto utilizado no momento para obter a Altura do salto sugerido (Ass )

e, posteriormente, compararmos com Altura ideal do salto (Ais ) que, por sua vez,

poderia estar na razão áurea, porém essa análise torna-se irrelevante e poderá

alterar em alguns sentidos a interpretação correta da pergunta, pois quase a metade

dos pesquisados interpretaram a questão de forma errada; alguns entenderam que

era para registrar a medida do salto que desejaria usar no momento; outros

interpretaram que era para optar se gostam de sapatos com salto “baixo” ou “alto”; e

poucos nem utilizavam sapato com salto, mas registraram que preferiam um salto

mais baixo, julgamos que estas interpretaram como se gostassem de sapatos com

salto baixo. Mas, de acordo com as interpretações dos autores referente a tal

medida sugerida, é interessante analisar e discutir a utilização de um sapato com

salto em relação ao número de ouro, bem como investigar sua influencia com o fator

de elegância dessas colaboradores. Verificar a relação entre a razões R1 e R3, com

seus respectivos erros, E1 e E3, ou seja, quando as colaboradoras estiverem

usando as medidas de seus saltos sugeridos, seus erros, nessas condições e em

relação ao número de ouro, aumentam, diminuem ou permanecem constantes.

Assim vejamos:

Diminui Permanece Aumenta

GRÁFICO 6: Comportamento do erro de acordo com salto sugerido Ass Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

A razão R3 é uma proporção originada a partir da razão R1 e a medida

ideal do salto sugerido Ais , gerando um erro E3 em relação ao número de ouro, mas


essas considerações já foram citadas. De posse disso, percebemos estatisticamente

no GRÁFICO 6, que há uma diminuição considerável do erro E3 de 50% entre as

colaboradoras, quando supostamente utilizarem a medida do salto sugerido por

cada uma, ou seja, a metade das colaboradoras sugeriu uma medida de um salto

que julgam sentir-se confortável e elegante, diferentemente da medida que estavam

em uso, e nessas condições, suas proporções R3 tornam-se muito mais próximos do

ponto de convergência em análise, o número de ouro (1,618). Novamente, temos

uma forte relação entre a razão áurea e o fator estético de elegância no que se

refere à utilização de um sapato com salto. Em contrapartida, apenas 19% das

colaboradoras aumentaram o erro E3 ao julgaram à medida que desejariam usar e,

por sua vez, sentirem-se mais elegantes, isso quer dizer que, nessas condições,

suas proporções R3 distanciariam da proporção áurea, havendo agora, mais uma

evidência contrária ao da pesquisa. Poderíamos supor alguns questionamentos, tais

como: Será que tais colaboradoras admitem alguma noção de medida? Uma

ausência dessa noção poderia prejudicar a pesquisa? Mas, são questionamentos

que deveriam ser inseridos na pesquisa, mas não foram implantadas, talvez

pudesse possivelmente mostrar um resultado satisfatório, porém, deixamos a cargo

de futuras pesquisas sobre essas variáveis.

Observe também no mesmo gráfico que 31% das colaboradoras, o erro

E3 permaneceu constante (E3 = E1) devido ao fato de não sugerirem nenhuma

medida de salto ou apenas registrarem o valor 0 (zero). No entanto, o mais

interessante é que a maioria dessas admite um erro muito pequeno em relação ao

numero de ouro e, ainda mais, consideram não utilizar sapatos com salto

freqüentemente e não precisam de salto alto para estar elegante. Nesse caso, essas

colaboradoras enquadram-se perfeitamente nos padrões áureos e o fator estético de

elegância sob as considerações da utilização de sapatos com salto.

Na tabela abaixo, há duas particularidades que julgamos interessantes e

especiais para uma análise mais minuciosa. Vejamos:

TABELA 5: Casos especiais.

Colaboradora As Ass Ais R01 R02 E01 E02 R03 E03

C-17 0 0 -0,058 1,618 - 0,02% - 1,618 0,02%

C-13 10 15 13,560 1,711 1,606 5,75% 0,74% 1,610 0,52%



A colaboradora C-17 faz as considerações: utiliza sapatos com salto alto,

com freqüência, somente em ocasiões especiais e ainda, admite que esses

acessórios a deixa aparentemente mais elegante, porém não estava utilizando

sapato com salto nem sugeriu a medida do salto desejado. Entretanto, mostra um

erro E1 de 0,02% (TABELA 5), o que é praticamente desprezível, a firmar três casas

decimais idênticas ao numero de ouro (1,618...) e a medida do salto ideal Ais é

praticamente nula. Em outras palavras, a colaboradora em discussão representa a

que possui o menor erro E1 e, conseqüentemente, enquadra-se perfeitamente na

idéia de proporção áurea aplicada na obra de Leonardo da Vinci, O Homem

Vitruviano. Mas, a curiosidade faz-se além de sua proporção R1, é relacionar suas

respostas com tal proporção e tentar levantar algumas indagações: Porque será que

ela faz essas considerações sob a utilização de um sapato com salto, já que

apresenta uma proporção R1 absurdamente próxima do numero de ouro? Para os

padrões áureos de medidas dessa pesquisa, ela já não se sentiria elegante sem a

utilização de um sapato com salto? Certamente, as considerações da colaboradora

C-17 discordam da verificação objetivada pela pesquisa ou vice-versa. Referente à

incompatibilidade em questão, levantamos uma hipótese questionável a seguir: Será

que a moda, propagada entre as diversas mídias, influenciou a C-17 em suas

considerações? O motivo dessa indagação foi que a mesma não estava utilizando

salto no momento e, muito menos, sugeriu alguma medida, apesar de estarmos em

um local aparentemente elegante vivenciando uma ocasião especial. Podemos

considerar uma possível contradição entre as respostas da C-17? Ou tentar

enxergar de uma concepção feminina, a cansaria andar de salto por todo local por

horas naquele momento? São considerações e questionamentos que basicamente

divergiram de certa forma, e não proporcionaram uma análise real e objetiva, talvez

por outras variáveis que não estão na pesquisa.


A colaboradora C-13 faz as considerações: utiliza sapatos com salto alto,

com freqüência, em todas as ocasiões e ainda, admite que um sapato com salto alto

aumenta o seu fator de elegância e sugere a medida do salto desejado de 15 cm,

sendo que no momento da pesquisa estava utilizando um salto de 10 cm. A TABELA

5 mostra um erro E1 de 5,75%, considerado um dos maiores erros da pesquisa,

assumindo uma proporção R1 de 1,711, o que é relativamente distante da proporção

áurea e para que fique próximo de tal proporção precisaria de uma medida ideal Ais

por volta de 13,5 cm. Quando C-13 estava utilizando salto de 10 cm seu erro E2

diminui absurdamente para 0,74% e, ainda diminui mais, para um erro E3 (0,52%),

quando operamos com a medida ideal do salto sugerido de 15 cm. Em outras

palavras, a colaboradora em discussão não apresenta proporção R1 próxima da

proporção áurea, mas em compensação, à medida que ela utiliza um salto alto

convergente a sua medida ideal Ais, sua proporção tenderá cada vez mais para o

número de ouro e, nessas condições, se enquadraria no ideal que o umbigo divide o

corpo em média e extrema razão e que, por sua vez, estaria possivelmente

mantendo alguma ligação com o fator de elegância. Neste caso, as considerações

de C-13 concordam perfeitamente com os padrões áureos assumidos na pesquisa,

ou seja, ela admite usar saltos altos e freqüentemente e, assim, sentir-se elegante, o

que estar de acordo com sua necessidade de um sapato com salto alto como

analisamos anteriormente. A colaboradora C-13 apresenta um indício forte de uma

relação direta entre a proporção áurea e o fator estético de elegância sob influência

da utilização de um sapato com salto.


Agora, vamos (de acordo com QUADRO 6) verificar se a presença de

retângulos áureos em uma imagem tem alguma influência na classificação de uma

imagem como mais ou menos agradável.

QUADRO 6 – Opinião referente classificação de figuras em relação à beleza. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

No GRÁFICO 7, em se tratando da analise das imagens trabalhadas a

partir de retângulos áureos, verificamos que a figura D (a figura e a moldura são

retângulos áureos) foi escolhida por apenas 13% das participantes como a 1º mais

bela, agradável, enquanto que a figura C (não possui nem a imagem e nem a

moldura no formato de retângulos áureos) foi escolhida como a mais bela por 44%

das colaboradoras.


FIGURA A FIGURA B FIGURA C FIGURA D

PRIMEIRA FIGURA MAIS BELA SEGUNDA FIGURA MAIS BELA

TERCEIRA FIGURA MAIS BELA QUARTA FIGURA MAIS BELA

GRÁFICO 7: Classificação das figuras em relação à beleza. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Este fato nos leva a crer que, na opinião das mulheres o retângulo áureo

não possui influencia no que se refere à idéia de beleza, agradabilidade.

Segundo Lívio (2007, p.202) muitos autores afirmam que o Retângulo

Áureo é o mais esteticamente agradável de todos os retângulos. Um estudo de

Fechner (apud LÍVIO, 2007, p. 204) na qual foram colocados dez retângulos na

frente de um indivíduo a quem se pedia que escolhesse o mais agradável e o menos

agradável. Os retângulos variavam no quociente entre o comprimento e a largura de

um quadrado (cuja razão entre o comprimento e a largura é iguala 1), até um

retângulo alongado, cuja razão entre o comprimento e a largura era de 2,5. Nessa

experiência, 76% das escolhas se concentraram em três retângulos que tinham as

razões 1,75, 1,62, 1,50, com o pico no retângulo áureo, considerado na pesquisa

C A

D

B


como 1,62. Cada um dos outros retângulos foi escolhido por menos de 10% das

pessoas.

Livio (2007, p. 204) cita ainda o estudo de Godkewitsch publicado em

1974. Neste estudo a razão entre o comprimento e a largura de vinte e sete

retângulos foram organizados em três classes. Em uma classe, a razão áurea vinha

depois do retângulo mais alongado; em outra, estava no meio, e no terceiro vinha

depois do mais curto.

Os resultados da pesquisa, segundo Godkewitsch, mostraram que a

preferência pelo retângulo áureo estava relacionado à sua posição na classe dos

retângulos apresentados, bem como do fato de que fora usada a classificação de

preferências médias (em vez de primeiras escolhas) nas primeiras experiências.

De acordo com Godkewitsch:

A questão básica, se existe ou não, no mundo ocidental, uma preferência estética verbalmente expressa e confiável por uma razão específica entre o comprimento e a largura de formatos retangulares provavelmente pode ser respondida negativamente. A teoria estética dificilmente tem qualquer análise racional que veja a Secção Áurea como um valor decisivo na beleza visual formal.

Segundo Livio (2007, p. 207), o psicólogo Britãnico Chris McManus

discordou das conclusões de Godkewitsch publicando em 1980 os resultados de um

estudo cuidadoso, utilizando o método de comparações em pares, no qual um

julgamento é feito para cada par de retângulos. McManus concluiu que “ existe

razoável evidencia do fenômeno que Fichner defendeu, mesmo que a própria

metodologia de Fichner, na sua metodologia seja bastante suspeita, devido a

artifícios metodológicos”


7. CONCLUSÃO

Na pesquisa, existem evidencias de que a razão áurea tenha grande

influência na freqüência da utilização de sapatos com salto, pois as colaboradoras

que afirmaram não utilizar freqüentemente sapatos com salto, possuem o resultado

da divisão da altura total e da altura do umbigo ao chão muito próximo da razão

áurea, o valor de 1,618 (atribuindo assim, uma possível ligação direta entre tal

proporção e o ideal de proporção áurea empregado na obra de Leonardo da Vinci, O

Homem Vitruviano). Mas, em contrapartida, há alguns casos que divergiram dos

objetivos da pesquisa, talvez tal divergência seria porque não teríamos variáveis

suficientes e necessárias no decorrer da pesquisa, apesar de alguns resultados e

discussões admitirem curiosidades peculiares, aguçando de certa forma,

consideravelmente o interesse dos autores.

O sapato com salto foi visto por 92% das colaboradoras como um fator de

elegância. Por conseguinte, percebemos que esse resultado pode estar estreitado

com a razão áurea e o a percepção estética feminina (fator de elegância), mas, para

as colaboradoras, há também paralelo uma grande influência da sociedade no que

se refere à moda, proporcionando idéias que as mulheres devem estar altas

independente se estiverem confortáveis ou não. Em outra análise, Em 50% das

colaboradoras, o salto sugerido aproximou a razão entre a altura total e a altura do

umbigo ao chão da razão áurea. Em alguns casos, essa escolha foi considerada

ideal, uma vez que o salto sugerido pelas colaborados as deixou com esta razão

igual ao número de ouro, levadas em consideração três casas decimais.

Não houve qualquer evidencia de que a presença de retângulos áureos

em imagens possa torná-las mais agradáveis ou mais belas, uma vez que, na

opinião das colaboradoras, a imagem considerada mais agradável apresentada nos

protocolos foi a que não possuía nem o formato, nem a moldura na forma de

retângulos áureos.


A experiência em discussão nos mostrou, novamente, evidências reais,

curiosas e, também, algumas que, mesmo mostrando certas peculiaridades,

divergiram (ou distanciaram) dos objetivos propostos, mas serviu fundamentalmente

para abranger nossas expectativas e interesses para futuras pesquisas sobre tal

assunto, considerando novas variáveis importantes (identificadas no decorrer das

discussões) que poderiam ter contribuindo ainda mais na pesquisa.

Na pesquisa existe certo apelo estético para ver a beleza que existe na

matemática, e essa arte na matemática é inegável. Mesmo que se queira

menosprezar a sua importância, ela não deixa de estar presente.

A matemática apenas tem o poder de estimular emoções individualmente,

daí sua menor visibilidade. Porém, não há nenhuma pessoa instruída que seja

totalmente desprovida de sensibilidade.

Esperamos com esse trabalho contribuir, ainda que modestamente, para

o incentivo ao estudo da geometria e para um melhor entendimento dessa

misteriosa e enigmática razão, considerada por muitos como uma oferta de Deus ao

mundo.


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APÊNDICE A – Termo de Consentimento Livre e Esclare cido

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

(Baseado na Resolução Nº. 196 de 10/10/1996 do Conselho Nacional de Saúde) Pesquisa : Uma análise da escolha de Sapatos com salto em: A Proporção Áurea e a Percepção Estética Feminina Prezada Sra.,

Você foi selecionada para participar da pesquisa sobre o número de ouro, um número místico, cheio de beleza e mistérios. Esta pesquisa está sendo realizada por docente e discentes do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade do Estado do Pará, e tem como objetivo mostrar que as mulheres ao escolherem um salto alto, procuram aproximar, cada vez mais a razão entre sua altura e a altura do umbigo ao chão da razão áurea (número de ouro), mesmo que de forma inconsciente.

Com esse estudo, se buscará mostrar à comunidade acadêmica mais uma surpresa relacionada a esta razão. Buscamos mostrar que além das artes, da música, da natureza... ela está mais próxima do que todos nós imaginamos, está no inconsciente das pessoas, em especial das mulheres ao escolherem um sapato com salto. Sua participação é de suma importância e consistirá em responder as perguntas contidas neste questionário e devolvê-lo para o entrevistador. O questionário não é identificável e em nenhuma hipótese serão divulgados dados que permitam a sua identificação. Os dados serão analisados em conjunto, guardando assim o absoluto sigilo das informações pessoais . Queremos também deixar claro que sua participação é de seu livre-arbítrio , não havendo pagamento pela mesma, podendo se recusar a responder quaisquer perguntas do questionário. Após a conclusão da coleta de dados, os mesmos serão analisados e será elaborado um trabalho (Trabalho de conclusão de curso) pelos autores da pesquisa, ao qual será feita a divulgação, para o meio acadêmico e científico.

Autores da pesquisa

José Maurício Costa Lima Graduando em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade do Estado do Pará End: Travessa Vileta 1121 - Tel: 32441858 / 88282611

Cássio Rogério Dantas Garcia Graduando em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade do Estado do Pará End: Cj. Providência (Val-de-Cans), casa 72, r 12 q 18 - Tel: 3233-1208/ 8834-3679

Prof.Dr. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação pela UFRN End: Av Senador Lemos 4307 - Tel: 40099508/ 96150356

CONSENTIMENTO LIVRE ESCLARECIDO:

Declaro que li as informações acima sobre a pesquisa e que me sinto perfeitamente esclarecido sobre o conteúdo da mesma, assim como seus riscos e benefícios. Declaro ainda que por minha livre vontade, aceito participar da pesquisa cooperando com as informações contidas no formulário.

Belém, _____ / _____ / ______. Assinatura:


APÊNDICE B

NOME _______________________________________________ MEDIDAS

ALTURA SEM SALTO

01. FAIXA ETÁRIA: �� 11 a 15 anos �� 16 a 20�� 31 a 35 anos �� 36 a 40 02. GRAU DE ESCOLARIDADE:�� Nunca estudou �� Ensino Fundamental Incompleto �� Ensino Médio Incompleto �� Ensino Superior Incompleto 03. Você costuma usar com freqüência sapatos com salto alto�� Sim �� Não �� Some 04. Você acredita que o salto lhe deixe com a aparê ncia mais elegante?�� Sim �� Não 05. Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou mais baixo? Aproximadamente, quantos centímetros? momento da pesquisa. �� Mais alto �� Mais baixoAproximadamente quantos centímetros:_____________ 06. Com bastante atenção, enumere de 1 a 4 as figur as abaixo de acordo com as especificações: ( 1 ) Primeira mais bela (agradável)( 2 ) Segunda mais bela (agradável)( 3 ) Terceira mais bela (agradável)( 4 ) Quarta mais bela (agradável)


( ) ( ) ( ) (


APÊNDICE B – Protocolo de Pesquisa, 2008

NOME _______________________________________________

ALTURA DO UMBIGO AO CHÃO SEM SALTO ALTURA DO SALTO

16 a 20 anos �� 21 a 25 anos �� 26 a 30 anos36 a 40 anos �� 40 a 45 anos �� 46 a 50 anos

02. GRAU DE ESCOLARIDADE:

Ensino Fundamental Incompleto �� Ensino Fundamental CompletoEnsino Médio Incompleto �� Ensino Médio Completo Ensino Superior Incompleto �� Ensino Superior Completo

com freqüência sapatos com salto alto ? Somente em ocasiões especiais

04. Você acredita que o salto lhe deixe com a aparê ncia mais elegante?

05. Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou mais baixo? Aproximadamente, quantos centímetros? Tome como base o salto que você está usando no

Mais baixo Aproximadamente quantos centímetros:_____________

06. Com bastante atenção, enumere de 1 a 4 as figur as abaixo de acordo com as

( 1 ) Primeira mais bela (agradável) ( 2 ) Segunda mais bela (agradável) ( 3 ) Terceira mais bela (agradável) ( 4 ) Quarta mais bela (agradável)

Obrigado, sua participação foi de ouro!


( ) ( ) ( ) (

97

Protocolo de Pesquisa, 2008 .

ALTURA DO SALTO

0 anos a 50 anos

Ensino Fundamental Completo

04. Você acredita que o salto lhe deixe com a aparê ncia mais elegante?

05. Se você pudesse, usaria com freqüência um salto mais alto ou mais baixo? que você está usando no

06. Com bastante atenção, enumere de 1 a 4 as figur as abaixo de acordo com as


( ) ( ) ( ) ( )


APÊNDICE C – Imagens dos slides de Divulgação da Pe squisa, 2008.

Legenda: Qual imagem você julgaria a mais bela?

Fonte: Divulgação de Pesquisa, 2008

Legenda: Qual imagem você escolheria?



APÊNDICE D – Banner de Divulgação da Pesquisa, 2008 .

Legenda: Beleza VS Matemática, número de ouro

1,618033..., Seja ainda mais elegante! Descubra a medida

ideal de seu salto.



APÊNDICE

RAZÃO 1 – R1

RAZÃO 2 – R2

RAZÃO 3 – R3

ERRO 1 – E1 (%)

ERRO 2 – R2 (%)

ERRO 3 – E3 (%)

Altura do salto ideal –


APÊNDICE E – Fórmulas no Microsoft Excel

AuAn /=

AusAns/=

)/()( AisAusAisAns ++=

)2))^618,1/1(1(( RRAIZ −= e depois clicar em



Ais

618,0/)*618,1( AnAu −=

100

Microsoft Excel

e depois clicar em

e depois clicar em

e depois clicar em


APÊNDICE F – Registros de pesquisa, 2008

Legenda: Autores (CÁSSIO GARCIA e MAURÍCIO LIMA) e

o Banner

Fonte: Registros de Pesquisa, 2008

Legenda: Autores (CÁSSIO GARCIA e MAURÍCIO LIMA)

e slides



Legenda: Medições e esclarecimentos da pesquisa


Legenda: Medições na Colaboradora C-1



Legenda: Determinando para as colaboradoras a Medida Ideal do Salto


0


Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Matemática Av. Djalma Dutra S/n

66030-010 Belém - PA

Documents

Cássio Rogério Dantas Garcia José Maurício Costa Lima O ...ccse.uepa.br/downloads/tcc/2009/garcia_lima_2009.pdf · GARCIA, C. R. D.; LIMA, J. M. C. O número de ouro na escolha