Categorias,algebra homologica,categorias derivadas

slides de aula

Sasha Anan′in

ICMC, USP, Sao Carlos

02/09/2015 – 07/10/2015

2. O lema de Yoneda,funtores representaveis,

funtores adjuntos, categorias aditivas,categorias abelianas e outras bagatelas

2.1. Funtores de Yoneda. Qualquer morfismo cf−→ c ′ numa categoria

arbitraria C define uma transformacao naturalC(f ,−) : C(c ′,−)→ C(c ,−), onde, para x ∈ C, a funcaoC(f , x) : C(c ′, x)→ C(c , x) e definida pela regra

C(f , x) : (c ′g−→ x) 7→ (c

g◦f−→ x).

Portanto, obtemos um funtor contravariante Y : C → Cat(C,Set),chamado funtor de Yoneda. O funtor de Yoneda representa a categoria Cna categoria dos funtores Cat(C,Set) = SetC . A dualidade produz ofuntor covariante Y ′ : C → Cat(Cop,Set), definido pelas seguintes regras:

Y ′ : C 3 c 7→ C(−, c) ∈ Cat(Cop,Set)

para objetos eS. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 2 / 1

Y ′ : (cf−→ c ′) 7→

(C(−, f ) : C(−, c)→ C(−, c ′)

)para morfismos, onde, para todo x ∈ C, definimos

C(x , f ) : C(x , c)→ C(x , c ′), C(x , f ) : (xg−→ c) 7→ (x

f ◦g−→ c ′).

O funtor Y ′ tambem e dito funtor de Yoneda.

2.2. Composicoes de funtores com transformacoes naturais. Sejat : F → F ′ uma transformacao natural entre funtores F ,F ′ : C → C′ e sejaG : C′ → C′′ um funtor. Entao a regra (G ◦ t)c := Gtc , com c ∈ C, defineuma transformacao natural G ◦ t : G ◦ F → G ◦ F ′.Seja s : G → G ′ uma transformacao natural entre funtoresG ,G ′ : C′ → C′′ e seja F : C → C′ um funtor. Entao a regra(s ◦ F )c := sFc , com c ∈ C, define uma transformacao naturals ◦ F : G ◦ F → G ′ ◦ F . Assim, nas circunstancias descritas acima, temosas composicoes de funtor e transformacao natural.

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2.3. Lema (de Yoneda). Seja C uma categoria, seja F : C → Set umfuntor e seja c ∈ C. Entao a funcao

yC,F ,c : Cat(C,Set)(C(c ,−),F

)→ Fc ,

yC,F ,c :(C(c,−)

t−→ F)7→ tc1c ∈ Fc

e uma bijecao. A funcao yC,−,− e natural.

Fc -tc F ′cFf ? F ′f ?

Fc ′ -tc ′ F ′c ′

Demonstracao. Sejam Ft−→ F ′ uma transformacao natu-

ral entre funtores F ,F ′ : C → Set e f : c → c ′ um morfismoda categoria C. Pelo diagrama comutativo a direita, obte-

mos o morfismo γ := F ′f ◦ tc = tc ′ ◦ Ff : Fc → F ′c ′ induzido por t e f .E facil ver que este γ atende as propriedades funtoriais, ou seja, obtemosum funtor Cat(C,Set)× C → Set, que leva o par (F , c) para Fc e omorfismo (t, f ) : (F , c)→ (F ′, c ′) para γ. Realmente, temos γ = F ′f ◦ tce γ′ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ para (t ′, f ′) : (F ′, c ′)→ (F ′′, c ′′). Sendo t ′ umatransformacao natural,γ′ ◦ γ = F ′′f ′ ◦ t ′c ′ ◦ F ′f ◦ tc = F ′′f ′ ◦ F ′′f ◦ t ′c ◦ tc = F ′′(f ′ ◦ f ) ◦ (t ′ ◦ t)c .

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Cat(C,Set)(C(c ,−),F

)-yC,F ,c Fc

Γ?

γ?

Cat(C,Set)(C(c ′,−),F ′

)-

yC,F ′,c ′F ′c ′

Para verificar que yC,−,− e umatransformacao natural entre fun-tores deste tipo, basta verificar acomutatividade do diagrama a

esquerda, onde Γ, induzido por t e f , e dado pela regraΓ :(C(c ,−)

α−→ F)7→ t ◦ α ◦ C(f ,−). Seja C(c ,−)

α−→ FC(c , c) -αc Fc

C(c , f )?

Ff?

C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

uma transformacao natural. Entao o diagrama a di-reita e comutativo e C(c , f ) : 1c 7→ f . Portanto,Ff (αc1c) = αc ′f e γ◦yC,F ,c : α 7→ (tc ′ ◦Ff )(αc1c) =tc ′(Ff (αc1c)

)= tc ′(αc ′f ). Por outro lado, yC,F ′,c ′ ◦ Γ : α 7→

(t ◦ α ◦

C(f ,−))c ′

1c ′ =(tc ′ ◦ αc ′ ◦ C(f , c ′)

)1c ′ = tc ′

(αc ′(1c ′ ◦ f )

)= tc ′(αc ′f ).

C(c , c ′) -αc ′ Fc ′

C(c , g)?

Fg?

C(c , c ′′) -αc ′′ Fc ′′

Se αc1c e conhecido, entao, pela comutatividade dodiagrama acima, segue que, para qualquer morfismof : c → c ′ em C, e necessario definir αc ′f = Ff (αc1c).Em outras palavras, o valor de αc1c define univoca-

mente toda funcao αc ′ , com c ′ ∈ C, e, portanto, define univocamente atransformacao α. Assim, yC,F ,c e injetivo. Seja s ∈ Fc . Precisamos criaruma transformacao natural α : C(c ,−)→ F que, por yC,F ,c , vai para s.

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Para qualquer f ∈ C(c, c ′), facamos αc ′f = Ff (s) ∈ Fc ′. Como αc1c = s,e suficiente verificar que α e uma transformacao natural, isto e, que paraqualquer g ∈ C(c ′, c ′′) e valida a igualdade αc ′′ ◦ C(c, g) = Fg ◦ αc ′ .Aplicando as partes da igualdade a um morfismo arbitrario f : c → c ′,temos (Fg ◦ αc ′)(f ) = Fg

(Ff (s)

)e(αc ′′ ◦ C(c , g)

)(f ) = αc ′′(g ◦ f ) =

= F (g ◦ f )(s) = (Fg ◦ Ff )(s) = Fg(Ff (s)

)�

2.4. Definicao. Um funtor F : C → Set isomorfo a um funtor do tipoC(c ,−), c ∈ C, e dito representavel. Um funtor F : Cop → Set isomorfoa um funtor do tipo C(−, c) tambem e dito representavel. Dizemos que crepresenta F . Pelo Lema 2.3 e pelo Criterio 1.8, o funtor de Yoneda Yinduz uma anti-equivalencia entre a categoria C e a categoria (completa)de todos os funtores representaveis (covariantes). O Lema 2.3 tem o seudual (cuja prova pode ser lida num espelho), seguindo daı que o funtor deYoneda Y ′ tambem induz a equivalencia entre C e a categoria dos funtoresrepresentaveis (contravariantes).

Assim, sendo conhecidas, todas as setas de c (outra variante: para c)definem um objeto c ∈ C univocamente a menos de isomorfismo.

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Portanto, podemos estudar objetos usando somente “interrelacoes” (=setas) entre si. Uma outra “consequencia” do lema de Yoneda: caso umfuntor nao-representavel faca muito bem o papel de objeto,poderıamos estender a categoria original adicionando um objetonovo, ou seja, supondo que o funtor e representavel.Funtores representaveis sao relacionados com construcoes universais.Ja vimos no Exemplo 1.15.6 que um objeto que representa o funtorC(∗, c)× C(∗, c ′) e simplesmente o produto c × c ′. Mais geralmente,podemos definir uma construcao universal numa categoria arbitraria,usando a construcao analoga a feita em Set (os “melhores funtores domundo” traduzem uma para outra) e requerendo que o funtorcorrespondente seja representavel.Por exemplo, o limite pode ser definido como o objeto que representa umfuntor apropriado. Seja I uma categoria (de ındices) e seja C umacategoria arbitraria. Definamos o funtor diagonal ∆ : C → Cat(I, C).Para c ∈ C, o funtor ∆c e constante: ∆c i = c e ∆c f = 1c para todos

i ∈ I e f ∈ Mor I. Para um morfismo cf−→ c ′ em C, a transformacao

natural ∆fi : ∆c i → ∆c ′ i e simplesmente f para todo i ∈ I.

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Seja F : I → C um funtor. O limite lim←−i∈I

Fi representa o funtor contravari-

ante c 7→ Cat(I, C)(∆c ,F ). Em outras palavras, temos um isomorfismonatural C

(−, lim←−i∈I

Fi)' Cat(I, C)(∆−,F ). A seta lim

←−i∈I

Fi → Fi para i ∈ I e

induzida pela transformacao natural Cat(I, C)(∆−,F )→ C(−,Fi) dada

por (∆ct−→ F ) 7→ (c = ∆c i

ti−→ Fi).

Os “melhores funtores do mundo” tambem traduzem estruturas definidasem Set para outra categoria C. Ja sabemos como definir uma estrutura degrupo para um objeto G ∈ C na categoria C.Podemos definir um grupo de outro modo: seja C uma categoria comprodutos finitos, isto e, existe o produto para qualquer colecao finita deobjetos de C. Um objeto G ∈ C e um grupo em C se e so se todacomponente C(c ,G ) do funtor C(−,G ) for um grupo (no sentidoordinario) em Set e, para todo morfismo h : c → c ′ em C, a funcaoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) for um homomorfismo de grupos. Em outraspalavras, o funtor C(−,G ) : Cop → Set passa pela categoria de grupos, ou

seja, podemos decompor C(−,G ) : Cop → GrpR−→ Set, onde E e o funtor

“esquecimento”, que “esquece” a estrutura de grupos em Set.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 8 / 1

Verifiquemos a equivalencia das definicoes.Seja G ∈ C um grupo como na primeira definicao. Entao temos tres setasµ : G × G → G , i : G → G e e : f → G , onde f e um objeto final em C.Estas setas satisfazem as propriedades de associatividade, do inverso e daunidade, como nos diagramas acima. O morfismo µ : G × G → G induzuma transformacao natural

µ• : C(∗,G )× C(∗,G ) ' C(∗,G × G )→ C(∗,G )

que define a operacao em C(c ,G ) (de fato, pela composicao com µ) paratodo c ∈ C. Sendo µ• uma transformacao natural, a funcaoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) e um homomorfismo para qualquer morfismoh : c → c ′ em C. Apliquemos o funtor C(c ,−) ao diagrama deassociatividade. Observemos que a transformacao

C(∗,G )× C(∗,G )× C(∗,G ) ' C(∗, (G × G )× G

)'

' C(∗,G × (G × G )

)' C(∗,G )× C(∗,G )× C(∗,G )

induzida por t e identica. Utilizando nossos isomorfismos naturais, e facilverificar que o diagrama no proximo slide e comutativo, isto e, a operacaoem C(c ,G ) e associativa.

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C(c ,G )× C(c,G )× C(c ,G ) -1C(c,G) × µc C(c ,G )× C(c ,G )

µc × 1C(c,G)?

µc?

C(c,G )× C(c ,G ) -µc C(c,G )

O morfismo e : f → G induz a funcao C(c , e) : C(c, f )→ C(c ,G ) que levao unico morfismo de C(c, f ) em uc ∈ C(c ,G ). Aplicando o funtor C(c ,−)ao diagrama da unidade, e facil observar que uc e a unidade em C(c ,G ).Analogamente, verificamos que a funcao C(c , i) : C(c,G )→ C(c ,G ) indicao inverso em C(c,G ).

C(c ,G × G ) -µc C(c ,G )

C(h,G × G )6 C(h,G )6

C(c ′,G × G ) -µc ′ C(c ′,G )

Reciprocamente, se o funtor C(−,G )pas- sa pela categoria Grp, entao, paratodo morfismo h : c → c ′ em C, a funcaoC(h,G ) : C(c ′,G )→ C(c ,G ) e um ho-momorfismo de grupos. Em outras palavras, o diagrama a direita ecomutativo, onde µc denota a funcao µc : C(c ,G × G )→ C(c ,G )induzida pela operacao em C(c ,G ). Assim obtemos uma transformacaonatural µ• : C(−,G × G )→ C(−,G ) que, pelo lema de Yoneda, e induzidapor uma seta µ : G × G → G .

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Ja sabemos que a associatividade da operacao µc se expressa na forma dacomutatividade do diagrama obtido pela aplicacao do funtor C(c,−) aodiagrama de associatividade na primeira definicao de grupo. Sendo acomutatividade valida para qualquer c ∈ C, obtemos um analogo diagramacomutativo de transformacoes naturais. Pelo lema de Yoneda, daı segueque µ e associativo. Na categoria com produtos finitos C existe um objeto

C(c , f ) -ec C(c ,G )

C(h, f )6 C(h,G )6

C(c ′, f ) -ec ′ C(c ′,G )

final f ∈ C, produto de zero objetos. Para todoc ∈ C, consideremos a funcao ec : C(c , f ) →C(c ,G ) que leva o unico morfismo de C(c , f ) naunidade uc do grupo C(c ,G ). Para todo mor-fismo h : c → c ′, o diagrama e comutativo, pois o homomorfismo C(h,G )leva a unidade uc ′ de C(c ′,G ) na unidade uc de C(c ,G ). Assim obtemosuma transformacao natural e• : C(−, f )→ C(−,G ) que, pelo lema de

Yoneda, e induzida por uma unica seta e : f → G . E facil verificar que odiagrama da unidade e comutativo. De forma analoga, obtemos umatransformacao natural i• : C(−,G )→ C(−,G ), definida em cadacomponente pela indicacao do inverso. Ela e induzida por um unicomorfismo i : G → G que satisfaz a comutatividade do diagrama do inverso.

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Para o conceito dual, se G e um cogrupo na categoria C, entao G e umgrupo na categoria Cop. Assim, o funtor Cop(−,G ) : C → Grp induz umfuntor C(G ,−) : C → Grp, ou seja, para todo c ∈ C, temos C(G , c) umgrupo em Set. A esfera Sn com a comultiplicacao Sn → Sn ∨ Sn e umcogrupo na categoria Homot∗. Portanto, se X ∈ Homot∗ e um espacotopologico com um ponto ∗ distinguido, πn(X , ∗) := Homot∗(Sn,X ) e umgrupo em Set. Este grupo e dito n-esimo grupo homotopico de X . Emparticular, para n = 1, obtemos π1(X , ∗) := Homot∗(S1,X ), o grupofundamental.

Seja L : S → C um funtor. Suponhamos que, para todo c ∈ C, o funtorcontravariante C(L−, c) : S → Set seja representavel. Entao existe umRc ∈ S tal que C(L−, c) ' S(−,Rc). Todo morfismo h : c → c ′ induzuma transformacao natural C(L−, h) : C(L−, c)→ C(L−, c ′), que esimplesmente a composicao C(−, h) ◦ L de um funtor com uma transforma-cao natural definida anteriormente. Portanto, obtemos uma transformacaonatural S(−,Rc)→ S(−,Rc ′). Pelo lema de Yoneda, ela e induzida porum morfismo Rf : Rc → Rc ′. Em outras palavras, obtemos um funtorR : C → S e, finalmente, um isomorfismo natural C(L−,−) ' S(−,R−).

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2.5. Definicao. Funtores L : S → C e R : C → S sao ditos adjuntos (L eadjunto a R a esquerda e R e adjunto a L a direita) se temos umisomorfismo natural C(L−,−) ' S(−,R−). Da consideracao acima, segueque o funtor adjunto a direita a um funtor L e unico a menos deisomorfismo. Pela dualidade, o mesmo e valido para o funtor adjunto aesquerda.

2.6. Exemplos.1. Consideremos uma categoria algebrica A cujos objetos tem por base umconjunto (tais como modulos, grupos, algebras, espacos lineares, etc.).Ao olhar tais objetos apenas como conjuntos, estamos aplicando um funtorR que “esquece” a estrutura embutida nos objetos. Este funtor tem umadjunto L que gera livremente por um conjunto de geradores o objeto daestrutura em questao (modulo livre, grupo livre, anel de polinomios, etc.).Caso A = Link , o funtor L : Set→ Link associa a B ∈ Set o espacok-linear kB com base B.Caso A = Grp, obtemos grupo livre LB com geradores livres B ∈ Set.Caso A = CAlgA com A ∈ CRng (a categoria de A-algebrascomutativas), temos a algebra de polinomios LB := A[B] com coeficientesem A, cujas variaveis sao elementos de B.

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2. Podemos “esquecer” apenas uma parte da estrutura.Para o funtor de esquecimento R : Ab→ Grp, o adjunto a esquerda e aabelianizacao de um grupo, LG := G/[G ,G ].Para o funtor R : R Mod→ Ab, onde R ∈ Rng e um anel associativo,o adjunto a esquerda tem a forma R ⊗Z −.Para o funtor R : R ModR′ → R Mod (os objetos da categoria R ModR′

sao (R,R ′)-bimodulos, onde R,R ′ ∈ Rng), o adjunto a esquerda tem aforma −⊗Z R ′.Para o funtor R : AlgA →Mon, onde Mon denota a categoria demonoides e A ∈ CRng, o adjunto a esquerda tem a forma LM := A[M].A construcao A[G ], chamada A-algebra do grupo G , se usa comfrequencia para G ∈ Grp.Para o funtor R : AlgA →ModA, A ∈ CRng, o adjunto a esquerda e aA-algebra tensorial LM := TAM :=

⊕i∈N

M⊗i , onde

M⊗i := M ⊗A · · · ⊗A M︸ ︷︷ ︸i

e M⊗0 := A. A multiplicacao em TAM e induzida

pelo produto tensorial de elementos.

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Denotemos por Domm a categoria de domınios comutativos cujosmorfismos sao homomorfismos injetores e por R : Fld ↪→ Domm,a subcategoria completa de corpos comutativos. O funtor adjunto a R aesquerda produz o corpo de fracoes de um dominio, LD := KD.Denotemos por Met a categoria de espacos metricos; os morfismos saofuncoes que preservam a metrica. Seja R : CompMet ↪→Met asubcategoria completa de espacos metricos completos. Entao o funtoradjunto a R a esquerda elabora o completamento de um espaco metrico,LM := M.3. Sejam I uma categoria (de ındices), C uma categoria completa eF : I → C um funtor. O isomorfismo de funtoresC(−, lim←−i∈I

Fi)' Cat(I, C)(∆−,F ) e natural em F . Isto significa que o

funtor lim←−i∈I

e adjunto a direita ao funtor diagonal ∆ : C → Cat(I, C).

2.7. Lema. Seja F : I → C um funtor que possui o limite lim←−i∈I

Fi e sejam

L : S → C e R : C → S funtores adjuntos. Entao R lim←−i∈I

Fi = lim←−i∈I

RFi. Em

palavras: qualquer funtor que possui adjunto a esquerda preserva limites.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 15 / 1

Demonstracao. Denotemos l := lim←−i∈I

Fi e sejam αi : l → Fi , i ∈ I,

as correspondentes setas em C. Consideremos um objeto((βi )i∈I , s

)da

categoria S → RF , onde βi : s → RFi , i ∈ I, sao setas em S.O isomorfismo natural ϕ : C(L−,−)→ S(−,R−) providencia as setasγi : Ls → Fi , i ∈ I, isto e, γi = ϕ−1βi . Para toda seta f : i → j em I,temos (RFf )βi = βj . Pela naturalidade de ϕ−1, obtemos (Ff )γi = γj . Emoutras palavras,

((γi )i∈I , Ls

)e um objeto da categoria C → F . Pela

definicao de limite, ganhamos uma unica seta g : Ls → l tal que αig = γi .Aplicando ϕ a g , obtemos a seta h := ϕg : s → Rl que satisfaz(Rαi )h = βi para todo i ∈ I pela naturalidade de ϕ. A unicidade de tal hse obtem por aplicar novamente o isomorfismo natural ϕ �

2.8. Lema. Sejam L : S → C e R : C → S funtores.Se L e R sao adjuntos atraves de um isomorfismo naturalϕ : C(L−,−)→ S(−,R−), entao temos as transformacoes naturais(chamadas unidade e counidade)

(2.8.1) η : 1S → RL, ε : LR → 1C

definidas pelas regras ηs = ϕs,Ls1Ls e εc = ϕ−1Rc,c1Rc para c ∈ C e s ∈ S.

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As composicoes

(2.8.2) Rη◦R−→ RLR

R◦ε−→ R LL◦η−→ LRL

ε◦L−→ L

sao iguais a 1R e 1L, respectivamente.Reciprocamente, sejam dadas transformacoes naturais (2.8.1) tais que ascomposicoes (2.8.2) sao iguais a 1R e 1L, respectivamente. Entao ϕs,c

definido pela regra ϕs,c f = (Rf )ηs para f : Ls → c e um isomorfismonatural ϕ : C(L−,−)→ S(−,R−).

1Ls ∈ C(Ls, Ls) -ϕs,Ls S(s,RLs) 3 ηsC(Ls, Lg)

? ?S(s,RLg)

Lg ∈ C(Ls, Ls ′) -ϕs,Ls′ S(s,RLs ′) 3 ∗C(Lg , Ls ′)6 6S(g ,RLs ′)

1Ls′ ∈ C(Ls ′, Ls ′) -ϕs′,Ls′ S(s ′,RLs ′) 3 ηs′

Demonstracao. Sejam f :c →c ′ e g : s → s ′ morfismos emC e S, respectivamente. Pelacomutatividade do diagrama adireita, o elemento marcado por∗ e igual a (RLg)ηs = ηs′g ,

implicando que η e natural.

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εc ∈ C(LRc , c) -ϕRc,c S(Rc ,Rc) 3 1RcC(LRc , f )

? ?S(Rc ,Rf )

∗∗ ∈ C(LRc , c ′) -ϕRc,c ′ S(Rc ,Rc ′) 3 Rf

C(LRf , c ′)6 6S(Rf ,Rc ′)εc ′ ∈ C(LRc ′, c ′) -ϕRc ′,c ′S(Rc ′,Rc ′) 3 1Rc ′

Pela comutatividade do diagra-ma a direita, as ϕRc,c ′-imagensdos elementos f εc e εc ′(LRf ),marcados por ∗∗, sao iguais.Sendo ϕRc,c ′ injetivo, conclu-ımos que ε e natural.Para morfismos f : Ls → c e g : s → Rc em C e S, respectivamente,temos os diagramas comutativos

1Ls ∈ C(Ls, Ls) -ϕs,Ls S(s,RLs) 3 ηsC(Ls, f )? ?S(s,Rf )

f ∈ C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc) 3 (Rf )ηs

εc(Lg) ∈ C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc) 3 g

C(Lg , c)6 6S(g ,Rc)εc ∈ C(LRc , c) -ϕRc,cS(Rc ,Rc) 3 1Rc

isto e,

(2.8.3) ϕs,c f = (Rf )ηs , ϕs,c

(εc(Lg)

)= g .

Da primeira igualdade com s := Rc e f := εc , obtemos 1Rc = ϕRc,cεc =(Rεc)ηRc = (R ◦ ε)c(η ◦ R)c , portanto, 1R = (R ◦ ε) ◦ (η ◦ R). Aplicandoa segunda igualdade de (2.8.3) a c := Ls e g := ηs , obtemosϕs,Ls

(εLs(Lηs)

)= ηs = ϕs,Ls1Ls . Como ϕs,Ls e injetivo, entao

1Ls = εLs(Lηs) = (ε ◦ L)s(L ◦ η)s e, portanto, 1L = (ε ◦ L) ◦ (L ◦ η).S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 18 / 1

C(Ls, c) -ϕs,c S(s,Rc)

C(Lb, a)? ?S(b,Ra)

C(Ls ′, c ′) -ϕs′,c ′ S(s ′,Rc ′)

Reciprocamente, sejam dadas transforma-coes naturais (2.8.1) tais que as composi-coes (2.8.2) sao iguais a 1R e 1L, respecti-vamente. Primeiramente verifiquemos que

ϕ introduzida no Lema 2.8 e uma transformacao natural. Sejam a : c → c ′

e b : s ′ → s morfismos em C e S, respectivamente. Entao o diagrama adireita e comutativo, pois, para f : Ls → c , sao validas as igualdades

S(b,Ra)(ϕs,c f ) = S(b,Ra)((Rf )ηs) = (Ra)(Rf )ηsb,

ϕs′,c ′(C(Lb, a)f

)= ϕs′,c ′

(af (Lb)

)= R

(af (Lb)

)ηs′ = (Ra)(Rf )(RLb)ηs′

e η e uma transformacao natural: ηsb = (RLb)ηs′ .Para qualquer morfismo g : s → Rc em S, facamos ψs,cg := εc(Lg). Agora

ψs,c(ϕs,c f ) = ψs,c

((Rf )ηs

)= εc

(L((Rf )ηs

))= εc(LRf )(Lηs) =

= f εLs(Lηs) = f (ε ◦ L)s(L ◦ η)s = f 1Ls = f ,

pois ε e natural e a segunda composicao em (2.8.2) e igual a 1L.

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De forma semelhante,

ϕs,c(ψs,cg) = ϕs,c

(εc(Lg)

)=(

R(εc(Lg)

))ηs = (Rεc)(RLg)ηs =

= (Rεc)ηRcg = (R ◦ ε)c(η ◦ R)cg = 1Rcg = g ,

pois η e natural e a primeira composicao em (2.8.2) e igual a 1R �

2.9. Definicao. Um morfismo i e dito monomorfismo (ou mono) seig1 = ig2 implica g1 = g2. Um morfismo p e dito epimorfismo (ou epi) sef1p = f2p implica f1 = f2.

E claro que a composicao de dois monomorfimos (epimorfismos) e ummonomorfismo (epimorfismo). Se fg e mono (epi), entao g e mono(f e epi). Em particular, se fg e um isomorfismo, entao f e epi e g e mono.

2.10. Definicao. Uma categoria C cujos C(c , c ′) sao munidos de estruturade grupo abeliano de modo que a composicao de morfismos seja biaditivae dita Ab-categoria. E obvio que a categoria dual Cop a umaAb-categoria C e uma Ab-categoria. Seja F : C → C′ um funtor entreAb-categorias. O funtor F e dito aditivo se preserva a adicao demorfismos, isto e, se F : C(c1, c2)→ C′(Fc1,Fc2) e um homomorfismo degrupos abelianos para todos c1, c2 ∈ C.

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Do mesmo jeito que uma categoria de um objeto so e um monoide, umaAb-categoria de apenas um objeto e simplesmente um anel (associativo,nao-comutativo e com unidade). Portanto, podemos tratar deAb-categorias como sendo “aneis” com varios objetos. Desta maneira,os funtores aditivos sao simplesmente os “homomorfismos” de “aneis”.Os funtores “melhores do mundo” relacionados com uma Ab-categoria Csao obviamente aditivos, e, portanto, podemos considerar os funtoresC(c ,−) e C(−, c) como funtores aditivos dos tipos C(c ,−) : C → Ab eC(−, c) : Cop → Ab. Assim, se C possui produtos finitos, todo objeto de Ce um grupo (e e cogrupo) abeliano em C. (Alem disso, o bifuntor C(−,−)e biaditivo.)Em qualquer Ab-categoria, um monomorfismo e simplesmente umnao-divisor de zero a esquerda e um epimorfismo e simplesmente umnao-divisor de zero a direita.Seja 0 ∈ C um objeto numa Ab-categoria C tal que C(0, 0) = 0. Entao 0 efinal e inicial. Realmente, h0 = h0 + h0 implica h0 = 0. Pelas mesmasrazoes, 0h = 0. Agora 10 = 0 e C(c , 0) = C(0, 0)C(c , 0) = {0}, isto e, 0 efinal. De forma analoga, 0 e inicial. Obviamente, o morfismo 0 : c → c ′ esimplesmente a composicao c → 0→ c ′.

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Vamos supor que tal 0 ∈ C, chamado de objeto nulo, exista.Sejam a, b ∈ C dois objetos. Suponhamos que existam o coproduto

aj1−→ a t b

j2←− b e o produto aπ1←− a× b

π2−→ b. Entao os diagramas

a���1j1 a t b

PPPPq1a?

p1

a

PPPi j2

����) 0

b a���)

p1 a t b

PPPPiπ1

?i

a× b

PPPqp2

���1π2

b a���1j1 a t b

PPPPq0?p2

b

PPPi j2

����) 1b

b

laterais produzem os morfismos ap1←− a t b

p2−→ b satisfazendo asigualdades p1j1 = 1a, p1j2 = 0, p2j1 = 0, p2j2 = 1b. Portanto, obtemos odiagrama comutativo central com π1i = p1 e π2i = p2.

2.11. Definicao. Se o i indicado e um isomorfismo, entao dizemos que osobjetos a, b ∈ C possuem biproduto. Neste caso, podemos supor quei = 1. Daı temos p1 = π1, p2 = π2 e

(2.11.1) π1j1 = 1a, π1j2 = 0, π2j1 = 0, π2j2 = 1b, j1π1 + j2π2 = 1a×b.

A ultima igualdade e valida pelas propriedades do produto a× b, poisπ1(j1π1 + j2π2) = π1 = π11a×b e π2(j1π1 + j2π2) = π2 = π21a×b. E facilverificar que os morfismos j1, j2, π1 e π2 satisfazendo as igualdades(2.11.1) definem o biproduto.

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Usando o delta de Kronecker, podemos reescrever as igualdades (2.11.1)como

(2.11.2) παjβ = δαβ,∑

α jαπα = 1.

De forma semelhante, podemos definir o biproduto de qualquer colecaofinita de objetos. Seja dada uma colecao finita de objetos {a1, . . . , an}.Suponhamos que existam coproduto e produto destes objetos, edenotemos por jα e πα os respectivos morfismos de/para aα. Entao asigualdades (2.11.2) (com um isomorfismo no lugar de 1) implicam oisomorfismo a1 t · · · t an ' a1 × · · · × an. Ainda mais, as igualdades(2.11.2) implicam que os morfismos jα’s e πα’s definem coproduto eproduto. Vamos denotar o biproduto por ⊕ e chamar os j’s e π’s deinjecoes e projecoes, respectivamente. Assim, concluımos que qualquerfuntor aditivo entre Ab-categorias preserva biprodutos. E facil verificar queo biproduto e, num certo sentido, associativo e comutativo.

2.12. Observacao. Sejam a = a1 ⊕ · · · ⊕ al e a′ = a′1 ⊕ · · · ⊕ a′m bipro-dutos numa Ab-categoria C munidos de projecoes e injecoes πα, π′β, jα,j ′β, respectivamente. Entao o grupo abeliano C(a, a′) e a soma direta dosgrupos abelianos C(aα, a

′β) e pode ser apresentado na forma de uma matriz

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(2.12.1) C(a, a′) =

C(a1, a′1) . . . C(al , a

′1)

.... . .

...C(a1, a

′m) . . . C(al , a

′m)

onde o morfismo h ∈ C(a, a′) tem as componentes hβα = π′βhjα namatriz Mh. Se a′′ = a′′1 ⊕ · · · ⊕ a′′n e um terceiro biproduto, entao podemoscalcular a composicao h′h de h ∈ C(a, a′) e h′ ∈ C(a′, a′′) usando amultiplicacao “usual” das matrizes correspondentes: Mh′h = Mh′Mh �

2.13. Definicao. Uma Ab-categoria C e dita aditiva se possui um objetonulo e biprodutos.

2.14. Definicao. Seja h : a→ b um morfismo numa Ab-categoria C.

n -k a -h b6g

x���f

a -h b -k′

c@@Rf ′

y?g ′

Dizemos que um morfismo k : n→ a e nucleode h se hk = 0 e se, para todo morfismof : x → a tal que hf = 0, existe um unico

morfismo g : x → n que faz o diagrama a esquerda comutativo. Em outraspalavras, o nucleo e o equalizador de h e 0.

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Dizemos que um morfismo k ′ : b → c e conucleo de h se k ′h = 0 e se,para todo morfismo f ′ : b → y tal que f ′h = 0, existe um unico morfismog ′ : c → y que faz o diagrama a direita e comutativo. (Assim, o conucleode h e o coequalizador de h e 0.)

a -hb

?f f ′

?a′ -h′

b′

Ker h -ker ha -h

b

k(f , f ′)? ?

f f ′?

Ker h′ -ker h′a′ -h′

b′

Denotamos por Ker hker h−→ a

h−→ b e

ah−→ b

co h−→ Co h os nucleo e conucleode h. E facil ver que ker h e mono eque co h e epi.

Suponhamos que o nucleo de qualquer morfismo de C sempre exista.Neste caso, se o diagrama a esquerda e comutativo, entao existe um unicomorfismo k(f , f ′) tal que o diagrama a direita e comutativo. Em outraspalavras, Ker e um funtor Ker : C2 → C e ker e uma transformacaonatural ker : Ker→ c∗, onde c∗ : C2 → C e o funtor “comeco” de setadefinido no Exemplo 1.9.3. O fato analogo e valido para o conucleo.

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(Ker h)c -ker hc C(c , a)

(Ker h)f 6 C(f , a)6

(Ker h)d -ker hd C(d , a)

Seja C uma Ab-categoria e seja h : a → bum morfismo em C. Consideremos o funtorcontravariante Ker h− : C → Ab definindo(Ker h)c := Ker C(c , h) para c ∈ C e determi-nando (Ker h)f no diagrama comutativo a direita para f : c → d .No diagrama, a transformacao natural ker h• e de fato a inclusao(Ker h)c ↪→ C(c , a). Seja n ∈ C um nucleo de h. Entao e facil ver que ofuntor Ker h− e representado em C por n. Reciprocamente, suponhamosque Ker h− e representavel e seja n ∈ C um objeto que o representa.Entao ker h• induz uma transformacao natural C(−, n)→ C(−, a) que,pelo lema de Yoneda, e induzida por um unico morfismo k : n→ a,k ∈ (Ker h)n. Usando o isomorfismo Ker h− ' C(−, n), podemos verificarque n e o nucleo de h. Assim, podemos definir, de maneira equivalente,o nucleo de h pela representatividade do funtor Ker h−. (Pode afirmar edemonstrar algo dual para conucleos?)

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Ker h -ker h a -h b -co h Co h

?co(ker h)

Co(ker h)����3f

-g Ker(co h)

6ker(co h)

Suponhamos que numa Ab-categoria C os nucleos e conucleos sempreexistam. Seja h : a→ b um morfismo de C. Como h ker h = 0, entaoexiste um (unico) morfismo f : Co(ker h)→ b tal que f co(ker h) = h.Sendo (co h)h = 0, concluımos daı que (co h)f co(ker h) = 0. Sabemosque co(ker h) e epi, logo, (co h)f = 0. Agora podemos encontrar um(unico) morfismo g : Co(ker h)→ Ker(co h) tal que

(ker(co h)

)g = f .

Finalmente, encontramos g tal que h =(ker(co h)

)g co(ker h). Este g e

unico, pois ker(co f ) e mono e co(ker f ) e epi. (Voce pode descobrir todaessa argumentacao so olhando para o diagrama, sem ler o texto. A mesmareceita serve na maioria dos casos a seguir.)

2.15. Definicao. Uma categoria aditiva C e dita abeliana se todomorfismo h de C possui nucleo e conucleo e o morfismog : Co(ker h)→ Ker(co h) construıdo acima e um isomorfismo.

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Grosso modo, podemos falar que uma categoria aditiva e abeliana seCo(ker h) = Ker(co h) para todo morfismo h. Neste caso, todomorfismo h esta decomposto em um epimorfismo e ummonomorfismo, h = me.

Ker h -ker h a���7co(ker h)

x

SSSw

ey

SSSwker(co h)

b -co h Co h

���7m

Ker h -ker h a���7co(ker h)

x

SSSw

ey?

f

SSSwker(co h)

b -co h Co h

���7m

Vamos mostrar que esta decomposicao e unica a menos de umisomorfismo. Consideremos o diagrama comutativo a esquerda com e epi,m mono e com h =

(ker(co h)

)co(ker h). Sendo h ker h = 0, concluımos

que me ker h = 0. Daı, e ker h = 0, pois m e mono. Logo, existe ummorfismo f : x → y tal que e = f co(ker h). Agora(ker(co h)

)co(ker h) = h = me = mf co(ker h) com co(ker h) epi.

Portanto, ker(co h) = mf e o diagrama a direita e comutativo. Istoimplica que f e epi e mono. Resta aplicar o item 3 da

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2.16. Proposicao. Seja C uma categoria abeliana e seja h : a→ b ummorfismo em C. Entao sao validas as seguintes afirmacoes.

1. h e mono se e so se Ker h = 0.2. h e epi se e so se Co h = 0.3. h e um isomorfismo se e so se h e mono e epi.4. h e epi se e so se h = co(ker h).5. h e mono se e so se h = ker(co h).

a���7e

x

SSSw

e ′

y?

i

SSSwm

b

���7m′

6. h possui uma unica decomposicao h = me com e epi em mono (a menos de um isomorfismo, isto e, se h = m′e ′

com e ′ epi e m′ mono, entao existe um isomorfismo i talque e ′ = ie e m = im′; vide o diagrama a direita).

7. Para quaisquer duas setas ah−→ c

f←− b existe o pullback (dado pelaformula a×c b := Ker(hπa − f πb)).

Ker h′ -ker h′a×c b -h′

b

i?

f ′?

f?

Ker h -ker ha -h

c

O pullback induz o isomorfismo i entre nucleosno diagrama comutativo a esquerda. Alem disso,se h e epi, entao h′ e epi.

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Co h′ �co h′

a tc b�h′

b

j 6 f ′ 6 f 6

Co h �co h

a�h

c

8. Para quaisquer duas setas ah←− c

f−→ bexiste o pushout (dado pela formula a tc b :=Co(jah−jbf )). O pushout induz o isomorfismo jentre conucleos no diagrama comutativo a dire-ita. Alem disso, se h e mono, entao h′ e mono.

Demonstracao. 1 e 2 sao triviais.

a -hb

co(ker h)?

ker(co h)6

Co(ker h) -gKer(co h)

3. Temos o diagrama comutativo a di-reita com um isomorfismo g . Por 1,Ker h = 0 e ker h = 0. Portanto,

00−→ a

1a−→ a e o diagrama de co(ker h).Assim, podemos supor que Co(ker h) = a e que co(ker h) = 1a. De maneirasemelhante, Ker(co h) = b e ker(co h) = 1b. Agora, g = h.4. Se h = co(ker h), entao h e epi. Seja h epi. Sendo h =

(ker(co h)

)co(ker h)

com h epi, concluımos que ker(co g) e epi. Mas, ker(co g) e mono. Por 3,ker(co g) e um isomorfismo.5 e dual a 4.6 agora segue de 3.

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d -h′′

bf ′′

?f?

a -h c

7. Provemos que o nucleo indicado representa o pullback. No dia-grama comutativo a direita, existe um (unico) morfismo g : d →a × b tal que f ′′ = πag e h′′ = πbg . A comutatividade dodiagrama a direita e equivalente ao fato que rg = 0, onde r :=hπa − f πba × b → c . Sendo universal, o nucleo k : Ker r → a × b induzum unico morfismo ϑ : d → Ker r tal que kϑ = g . Como as igualdadesf ′′ = πag e h′′ = πbg definem g de maneira unica, entao ϑ e definidounivocamente pelas igualdades f ′′ = πakϑ e h′′ = πbkϑ, isto e, pelasigualdades f ′′ = f ′ϑ e h′′ = h′ϑ, onde f ′ := πak e h′ := πbk . Em outraspalavras, Ker r e o pullback a×c b.

Ker h′ -ker h′a×c b -h

′b

f ′?

f?

Ker h -ker ha -h

c

d -0 bf ′′

?f?

a -h c

Suponhamos agora que no diagramaa esquerda hf ′′ = 0. Entao obtemoso diagrama comutativo a direita queinduz um unico morfismo g : d → a×c b tal

que f ′g = f ′′ e h′g = 0. Logo, existe um unico morfismo j : d → Ker h′

tal que g = (ker h′)j . Assim, temos um unico j satisfazendo a igualdadef ′(ker h′)j = f ′′. Isto significa que f ′ ker h′ : Ker h′ → a e o nucleo deh : a→ c .

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Suponhamos que h seja epi. Temos rja =(hπa − f πb)ja = h. Logo, r e

epi. Por 4, r = co k na sequencia a×c bk−→ a× b

r−→ c . Temosh′ = πbk . Se 0 = gh′ para algum g : b → d , entao 0 = gπbk . Sendor = co k , existe um (unico) morfismo ϑ : c → d tal que gπb = ϑr .Consequentemente, 0 = gπbja = ϑrja = ϑ(hπa − f πb)ja = ϑh. Daı, ϑ = 0,gπb = 0 e g = 0, pois h e πb sao epis.8 e dual a 7 �

2.17. Definicao. Denotamos Co(ker h)(' Ker(co h)

)por Im h, a ima-

gem de h, Im h := Co(ker h). Pela Proposicao 2.16.6, todo morfismoh : a→ b se decompoe, univocamente, na composicao do epimorfismoπ : a→ Im h e do monomorfismo i : Im h→ b, f = iπ.

Lidando com uma categoria abeliana, usualmente fixamos os seguintesfuntores e as correspondentes transformacoes naturais: ⊕n

i=1, πi , ji , Ker,ker, Co, co, Im, etc. Claramente, podemos fazer isto de modo queKer(−h) = Ker h, ker(−h) = ker h, Co(−h) = Co h, co(−h) = co h e,portanto, Im(−h) = Im h para todo morfismo h.

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2.18. Definicao. Dizemos que a sequencia ah−→ b

f−→ c e semiexataem b se fh = 0. Neste caso, h = iπ, onde π : a→ Im h e epi ei : Im h→ b e mono. Logo, fiπ = 0, o que implica fi = 0.Consequentemente, obtemos j : Im h→ Ker f tal que i = (ker f )j . Assim,

Im h -jKer f

π6 ker f?

a -hb

toda sequencia ah−→ b

f−→ c semiexata em b gerauma decomposicao de h com j mono (vide o diagrama adireita). Se j e um isomorfismo, entao a sequencia e ditaexata em b. Uma sequencia · · · → a→ b → c → . . . edita (semi)exata se ela e (semi) exata em cada um de seus termos. Obvia-

mente, 0 → ah−→ b (respectivamente, b

h−→ a → 0) e exata em a se eso se h e mono (respectivamente, epi). Agora e facil ver que o fato de a

sequencia 0 → ah−→ b

f−→ c ser exata e equivalente a h = ker f . Para

provar o fato dual que a sequencia ah−→ b

f−→ c → 0 e exata se e so sef = co h, podemos utilizar a seguinte observacao.

2.19. Observacao. A sequencia ah−→ b

f−→ c e exata em b se e so seexiste uma decomposicao de f , em epi e mono, dada por

bco h−→ Co h

m−→ c.

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Im h -j

Ker f

π6 ker f?

a -h b -f c

co h?

ZZZ~

p 6l

Co h -β

α� Im f

Demonstracao. Suponhamos que a sequenciaseja exata. Utilizando a decomposicao da Defini-cao 2.17 para f e o diagrama da Definicao 2.18para h, obtemos o diagrama comutativo a direita,onde j e iso, π e p sao epis e l e mono. Comolph = 0 e l e mono, temos ph = 0. Logo, existeum unico α : Co h→ Im f tal que α(co h) = p.Por outro lado, 0 = (co h)h = (co h)(ker f )jπ. Sendo π e j epis, (co h)(ker f )= 0. Pela Definicao 2.17, Im f ' Co(ker f ). Daı obtemos um unicoβ : Im f → Co h tal que βp = co h. Agora, utilizando o fato que p e co hsao epis, e facil ver que α e β sao inversos um do outro e, assim, estabelecemum isomorfismo Im f ' Co h. Resta definir m := lα.Reciprocamente, se f e decomposto como b

co h−→ Co hm−→ c com m mono,

entao a sequencia ah−→ b

f−→ c e exata em b, pois, sendo m mono,Ker f = Ker

(m(co h)

)“coincide” com Ker(co h) = Im h �

O fato obtido e dual a Definicao 2.18 que, na verdade, diz que a sequen-

cia ah−→ b

f−→ c e exata em b se e so se h se decompoe como

ae−→ Ker f

ker f−→ b com e epi.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 34 / 1

y ×x ′ y ′

��p

y

?ϑ

x@@@R

f

@@@R

ϑ′

@@Rp′

y ′

?ϑ′′

x ′′

���

f ′′

���

ϑ′1

x ′

?f ′

a

2.20. Definicao. Seja a ∈ C. Dizemos que f : x → ae f ′ : x ′ → a sao equivalentes, f ≡ f ′, se existemepimorfismos ϑ : y → x e ϑ′ : y → x ′ tais que f ϑ =f ′ϑ′. Mostremos que f ≡ f ′ e f ′ ≡ f ′′ implicam f ≡ f ′′.Realmente, temos o diagrama comutativo a direita comϑ, ϑ′, ϑ′1 e ϑ′′ epis. Pela Proposicao 2.16.7, p e p′ saoepis. Agora f ϑp = f ′′ϑ′′p′ com ϑp e ϑ′′p′ epis. Assim,obtemos uma relacao de equivalencia. Uma classe deequivalencia se chama de membro de a, x ∈m a. Podemos falar sobre aimagem de um membro: Seja x ∈m a, f : x → a, um membro e sejah : a → b um morfismo. Entao hf : x → b define a imagem hx ∈m b.E facil ver que x ≡ x ′ implica hx ≡ hx ′. Tambem faz sentido dizer −x ∈m aou x ≡ 0.

Os membros substituem elementos na caca em diagramas:

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2.21. Proposicao (as regras elementares para caca em diagramas).

1. Um morfismo h : a→ b e nulo se e so se hx ≡ 0 para todo x ∈m a.2. Um morfismo h : a→ b e mono se e so se hx ≡ 0 implica x ≡ 0 paratodo x ∈m a (ou, equivalentemente, hx ≡ hx ′ implica x ≡ x ′ para todosx , x ′ ∈m a).3. Um morfismo h : a→ b e epi se e so se, para todo y ∈m b, existe umx ∈m a tal que hx ≡ y.

4. Uma sequencia ah−→ b

f−→ c e exata em b se e so se fh = 0 e, paraqualquer y ∈m b com fy ≡ 0, existe um x ∈m a tal que hx ≡ y.5 (subtracao). Sejam dados um morfismo h : a→ b e dois membrosx , y ∈m a tais que hx ≡ hy. Entao existe z ∈m a (podemos denotarz ≡ x − y) tal que hz ≡ 0 e, para qualquer morfismo f : a→ c, temosfx ≡ 0 =⇒ fz ≡ −fy e fy ≡ 0 =⇒ fz ≡ fx.

Demonstracao. 1. Como 1a : a→ a induz a ∈m a, entao ha ≡ 0 implicah = 0.2. Se h e mono e hx ≡ hx ′ para f : x → a e f ′ : x ′ → a, entaohf ϑ = hf ′ϑ′ para epimorfismos ϑ e ϑ′ apropriados. Isto implica f ϑ = f ′ϑ′

e assim x ≡ x ′.S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 36 / 1

Reciprocamente, seja hf = 0 para algum f : x → a. Entao x ≡ 0 e existeum epimorfismo ϑ : z → x tal que f ϑ = 0. Logo, f = 0. Assim concluımosque h e mono.

a×b y-h′

yf ′

?f?

a -h b

z

?ϑ

x

?f

SSSwϑ′

b

?1b

a -h b

3. Suponhamos que h seja epi. Seja y ∈m b,f : y → b. No diagrama a esquerda, h′ e epi pelaProposicao 1.16.7. Assim obtemos um membro x =a×b y ∈m a tal que hx ≡ y . Reciprocamente,

aplicando a propriedade de h ao membro y := b ∈m b, obtemoso diagrama comutativo a direita com ϑ e ϑ′ epis. Sendo h divisor a esquerdado epimorfismo ϑ′, concluımos que h e epi.4. Suponhamos que a sequencia seja exata em b. Seja y ∈m b, g : y → b,com fy ≡ 0.

AAAAAU

g����π′

y

?t

a×Im h y

?���πIm h@@Rker f

a -h

b -f

c

Entao, para um epimorfismo ϑ : z → y , temosfgϑ = 0. Logo, fg = 0 e g = (ker f )t para algumt : y → Ker f = Im h. No diagrama a esquerda,h = (ker f )π com π epi. Pela Proposicao 1.16.7,π′ e epi e hx ≡ y , onde x := a×Im h y ∈m a.

S. Anan′ in (ICMC) categorias 02/09/2015 – 07/10/2015 37 / 1

z�

�ϑ′ Q

QQsϑ

x@@R

g

Im h -j Ker f6π ?ker fa -

hb -

fc

Reciprocamente, aplicando a propriedade ao membroy := Ker f ∈m b, obtemos o diagrama a direita comϑ e ϑ′ epis. Isto e, (ker f )jπgϑ′ = (ker f )ϑ, ou seja,jπgϑ′ = ϑ, implicando que j e epi.

z��ϑ x -u a

@Rh

b@Rϑ′ y -v a��h

5. Temos o diagrama comutativo a direita abaixo comϑ e ϑ′ epis. Agora, z ∈m a desejado e uϑ− vϑ′ : z → a �

A Proposicao 2.21 possibilita aplicar os argumentos usuaisna caca em diagramas. A “receita” e provar primeiramenteum fato com uso de elementos como na categoria Ab etrocar depois “elementos” por “membros”. O unico lugar em que isto naofunciona e na construcao de morfismos. Um exemplo disto e o seguintelema.

2.22. Lema (da serpente). Dado um diagrama comutativo

0 - a1 -ia2 -p

a3 - 0

h1?h2?

h3?0 - b1

-jb2

-πb3- 0

com linhas exatas, entao existe um morfismo δ : Ker h3 → Co h1 tal que a

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sequencia

(2.22.1)

0→ Ker h1i ′−→ Ker h2

p′−→ Ker h3δ−→ Co h1

j ′−→ Co h2π′−→ Co h3 → 0

e exata, onde os morfismos i ′, p′, j ′ e π′ sao induzidos:

0-Ker h1-i ′

Ker h2-p′

Ker h3-δ

ker h1?

ker h2?

ker h3?

0 - a1 -ia2 -p

a3 - 0

h1?h2?

h3?0 - b1

-jb2

-πb3- 0

co h1?

co h2?

co h3?-δ Co h1

-j ′Co h2

-π′

Co h3- 0

Demonstracao. Para definir δ consideremos o diagrama

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0 - a1 -ker qa2 ×a3 Ker h3

-q Ker h3-0

1a1?k?

ker h3?

0 - a1 -ia2 -p

a3 - 0

h1?h2?

h3?0 - b1

-jb2

-πb3- 0

co h1?

c?

1b3?0-Co h1

-gCo h1 tb1 b2

-co gb3- 0

Sendo p epi e sendo j mono, pela Proposicao 2.16.7 (e 2.16.8), q e epi,g e mono, as linhas no diagrama sao exatas e o diagrama e comutativo.Consideremos o morfismo δ0 := ch2k. Temos δ0(ker q) = 0 eq = co(ker q). Logo, existe um morfismo u : Ker h3 → Co h1 tb1 b2 talque uq = δ0. Sendo 0 = (co g)δ0 = (co g)uq com q epi, concluımos que(co g)u = 0. De g = ker(co g) segue que existe um morfismoδ : Ker h3 → Co h1 tal que gδ = u.

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Agora descrevemos δ usando membros. Seja x ∈m Ker h3, f : x → Ker h3.Pela Proposicao 2.21.3, existe x2 ∈m a2, f2 : x2 → a2, tal quepx2 ≡ (ker h3)x . Como 0 ≡ h3(ker h3)x ≡ h3px2 ≡ πh2x2 e a sequencia0→ b1 → b2 → b3 → 0 e exata em b2, entao, pela Proposicao 2.21.4,existe y1 ∈m b1 tal que jy1 ≡ h2x2. Facamos y ≡ (co h1)y1 e mostremosque y ≡ δx . (Pela Proposicao 2.21.1, isto define δ univocamente.) PelaProposicao 2.21.2, e suficiente demonstrar que gy ≡ gδx , pois g e mono.Em outras palavras, precisamos verificar que g(co h1)y1 ≡ ux , isto e, quech2x2 ≡ ux . Se encontramos z ∈m a2×a3 Ker h3 tal que qz ≡ x e kz ≡ x2,

(2.22.2)

x

?ker h3

(ker h3)xx2 -p

?h2

h2x2y1 -j

?co h1

(co h1)y1

z���ϑ

x -f Ker h3

@@Rker h3a3

@@Rϑ′ x2 -f2 a2

���p

entao ch2x2 ≡ ch2kz ≡ δ0z ≡ uqz ≡ ux e tudo esta feito. Para algunsepimorfismos ϑ e ϑ′ temos o diagrama comutativo a direita.

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Portanto, existe um morfismo ε : z → a2 ×a3 Ker h3 tal que qε = f ϑ ekε = f2ϑ

′. Em outras palavras, z ∈m a2 ×a3 Ker h3, qz ≡ x e kz ≡ x2.A exatidao da sequencia (2.22.1) pode ser obtida pela caca no diagramado lema usando a Proposicao 2.21 e a “definicao” (2.22.2) do morfismo δ.Deixamos tal demonstracao a cargo do leitor �

2.23. Observacao. A Ker-Coker-sequencia e funtorial. Isto significa oseguinte. Suponhamos que (h1, h2, h3) e (h′1, h

′2, h′3) participem nos

diagramas comutativos D e D ′ com linhas exatas, como aquele doLema 2.2.2, e seja D → D ′ um morfismo entre os diagramas dado pormorfismos f1, f2, f3, g1, g2, g3 (isto significa que a parte correspondente dodiagrama no proximo slide e comutativa). Entao o diagrama

0 - Ker h1- Ker h2

- Ker h3-δ Co h1

- Co h2- Co h3

- 0

f ′1 ?f ′2 ?

f ′3 ?g ′1?

g ′2?g ′3?

0 - Ker h′1- Ker h′2

- Ker h′3-δ′

Co h′1- Co h′2

- Co h′3- 0

e comutativo, onde todos os morfismos, alem de δ e δ′, sao induzidos.

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Demonstracao. Ja que todos os morfismos, alem de δ e δ′, sao induzidos,resta mostrar a comutatividade do quadrado central (pois os outros quad-rados sao comutativos pelo fato que Ker e Co sao funtores). Isto se fazpela caca no diagrama abaixo utilizando a “definicao” (2.22.2) de δ e δ′

Co h1-δ ��3g ′1

Co h′1-δ′

?

?0 b1 b2 b3 0- - - -�

�3g1���3g2

���3g3

0 - b′1 - b′2 - b′3- 0?

h1

?

h2

?

h3

0 - a1 - a2 - a3- 0���3f1

���3f2

���3f3

?h′1

?h′2

?h′3

0 - a′1 - a′2 - a′3- 0

?

Ker h3 -δ��3f ′3

?

Ker h′3 -δ′

�

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Outros exemplos de aplicacao de caca em diagramas sao os “4-lema” e“5-lema”.

2.24. Lema (4-lema). Seja dado um diagrama comutativo a esquerdacom a primeira linha semiexata em a2 e exata em a3 e com a segundalinha exata em b2. Se h2 e h4 sao monos e h1 e epi, entao h3 e mono.

a1 -f1 a2 -

f2 a3 -f3 a4

h1?h2?

h3?h4?

b1-g1 b2

-g2 b3-g3 b4

a2 -f2 a3 -

f3 a4 -f4 a5

h2?h3?

h4?h5?

b2-g2 b3

-g3 b4-g4 b5

Seja dado um diagrama comutativo a direita com a primeira linha exataem a4 e com a segunda linha exata em b3 e semiexata em b4. Se h2 e h4

sao epis e h5 e mono, entao h3 e epi �

a1 -f1 a2 -

f2 a3 -f3 a4 -

f4 a5h1?

h2?h3?

h4?h5?

b1-g1 b2

-g2 b3-g3 b4

-g4 b52.25. Corolario (5-lema). Seja dado um diagrama comutativo acima coma primeira linha semiexata em a2 e exata em a3 e a4, com a segunda linhaexata em b2 e b3 e semiexata em b4. Se h1 e epi, h5 e mono, h2 e h4 saoisomorfismos, entao h3 e um isomorfismo �

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Exercıcios

1. Prove todas as afirmacoes cujas demonstracoes foram omitidas nasnotas de aulas.2. Prove a seguinte versao do lema de Yoneda.Denotamos por Cat(∗,Set)× ∗ a categoria seguinte:

• Um objeto de Cat(∗,Set)× ∗ tem a forma (C,F , c), onde C e umacategoria arbitraria (isto e, C = ∗), F : C → Set e um funtor e c ∈ C.• Um morfismo em Cat(∗,Set)× ∗ entre (C,F , c) e (C′,F ′, c ′) tem aforma (G , t, f ), onde G : C → C′ e um funtor, t : F → F ′ ◦ G e umatransformacao natural entre funtores do tipo C → Set e f : Gc → c ′ e ummorfismo em C′.• A composicao entre (G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′) e(G ′, t ′, f ′) : (C′,F ′, c ′)→ (C′′,F ′′, c ′′) e definida pela regra(G ′, t ′, f ′) ◦ (G , t, f ) :=

(G ′ ◦ G , (t ′ ◦ G ) ◦ t, f ′ ◦ G ′f

).

O funtor −2−3 : Cat(∗,Set)× ∗ → Set e definido como−2 −3 (C,F , c) := Fc para um objeto (C,F , c) e−2 −3 (G , t, f ) := (F ′f ) ◦ tc : Fc → F ′c ′ para um morfismo(G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′).

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O funtorT := Cat(−1,Set)

(−1 (−3,−4),−2 −4

): Cat(∗,Set)× ∗ → Set, onde

−1 ∈ Cat, −2 ∈ Cat(−1,Set), −3,−4 ∈ −1, e definido de maneiraseguinte. Para um objeto (C,F , c), facamosT (C,F , c) := Cat(C,Set)

(C(c ,−),F

). Para um morfismo

(G , t, f ) : (C,F , c)→ (C′,F ′, c ′), facamos

T (G , t, f ) :(C(c ,−)

α−→ F)7→(C′(c ′,−)

α′−→ F ′), onde

α′x ′ : (c ′g−→ x ′) 7→

((F ′g) ◦ (F ′f ) ◦ tc ◦ αc

)1c .

A transformacao natural y : Cat(−1,Set)(−1 (−3,−4),−2 −4

)→ −2−3

de fato mencionada no lema de Yoneda se aplica para os funtores do tipoCat(∗,Set)× ∗ → Set.

3. Se ainda esta vivo/viva, imagine que, talvez, a naturalidade do exercıcioanterior pode ser estendida para funtores do tipo Cat(∗, †)× ∗ → †, onde† denota uma categoria arbitraria S que possui produtos finitos (e objetofinal), usando o conceito de categoria S no lugar de Set : para“c, c ′ ∈ C”, temos “C(c , c ′) ∈ S” . . . Assim, como resultado, obtemossomente uma forma: so Cat faz sentido . . .

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4. Responda a pergunta da nota de rodape 7 na pagina 17 das notas deaula.

5. Encontre uma demonstracao envolvendo uso de membros para aprimeira parte do Lema 2.24. Tente adota-la para a segunda parte.

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