CCI-22-EDO-Exercicios_sistema massa mola amorteceder.pdf

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  • CCI-22 Matemtica Computacional/ 2008

    SISTEMA S01 - Sistema Mecnico Massa-Mola-

    Amortecedor montado em um carro

    Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor montado em um carro

    de massa desprezvel, como mostra a figura abaixo. Um amortecedor um

    dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidrulico. Nesse sistema, m

    representa a massa, b, o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a constante da

    mola.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S02 - Sistema Mecnico Massa-Mola-

    Amortecedor

    Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor montado em um carro

    de massa desprezvel, como mostra a figura abaixo. Um amortecedor um

    dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidrulico. Nesse sistema, m

    representa a massa, b, o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a constante da

    mola.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S03 - Sistema Mecnico Massa-Mola-

    Amortecedor

    Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor montado em um carro

    de massa desprezvel, como mostra a figura abaixo. Um amortecedor um

    dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidrulico. Nesse sistema, m

    representa a massa, b, o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a constante da

    mola.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S04 - Sistema Mecnico Pndulo Invertido

    Um pndulo invertido montado em um carro motorizado mostrado na figura

    abaixo. O pndulo invertido instvel, pois pode cair a qualquer instante, para

    qualquer direo, a menos que uma fora adequada de controle seja aplicada a

    ele. A fora de controle u aplicada ao carro. Considere que o centro de gravidade

    da haste do pndulo esteja situado no centro geomtrico dele.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S05 - Sistema Mecnico Pndulo Invertido

    Um pndulo invertido montado em um carro motorizado mostrado na figura

    abaixo. Nesse sistema a massa est concentrada no topo da haste, o centro de

    gravidade o centro da bola do pndulo.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S06 - Sistema Mecnico Simplificado de

    Suspenso de um Automvel

    Uma verso simplificada do sistema de suspenso de um automvel mostrada na

    figura abaixo. Admite-se que o movimento ix no ponto P seja a entrada do

    sistema e o movimento vertical 0x do carro seja a sada.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S07 - Sistema Mecnico Simplificado de

    Suspenso de um Automvel ou Motocicleta

    Uma verso simplificada da suspenso de um automvel ou de uma motocicleta

    mostrada na figura abaixo. Suponha que os deslocamentos x e y sejam medidos a

    partir das respectivas posies de repouso que ocorrem na ausncia da entrada u .

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S08 - Sistema de Nvel de Lquidos

    Considere o sistema de nvel de lquido da figura abaixo. Nesse sistema, o lquido

    flui em uma vlvula de restrio, na lateral do reservatrio. A resistncia no

    escoamento laminar constante e anloga aa resistncia eltrica. Neste sistema,

    iq = pequeno desvio da taxa de escoamento de entrada em realao a seu valor

    de regime permanente, m3 /s

    h= pequeno desvio de nvel a partir de seu valor de regime permanente, m

    Equao Diferencial desse sistema para um valor constante R dada por:

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    SISTEMA S09 - Sistema Mecnico Pndulo Simples

    Seja o sistema constitudo por um corpo de massa m e uma haste rgida de

    comprimento l (de massa desprezvel) que pode se mover livremente num plano

    vertical de acordo com a figura abaixo.

    Equao Diferencial dada por:

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    SISTEMA S10 - Sistema Populacional Predador-Presa Admita a convivncia de duas espcies de peixes em um lago: A (presa)

    alimenta-se de plantas que existem em abundncia, B (predador) sobrevive

    alimentando-se da espcie A. O sistema de equaes diferenciais constitudos

    pelas equaes abaixo o modelo de Lotka-Volterra para a dinmica populacional

    do sistema predador-presa. Seja )(tx a populao de A e )(ty a de B. O nmero de

    indivduos de A comidos por B admitido ser proporcional ao inmero de

    encontros entre A e B; da o fator xy . Para a populao de B admite-se que na

    ausncia de presa a taxa de mortalidade dessa espcie supera a de nascimentos;

    resulta a diminuio da populao de B (num intervalo t ). Os parmetros k a, e bL, so constantes.

    bxyLyy

    axykxx

    +==

    .

    .

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    SISTEMA S11 - Sistema Mecnico Sismgrafo Um sismgrafo indica o deslocamento de sua carcaa em relao ao espao

    inercial. utilizada para medir deslocamentos de terra durante terremotos (abalos

    ssmicos). A figura abaixo indica o diagrama esquemtico de um sismgrafo.

    Definio das variveis:

    ix = deslocamento da carcaa relativo ao espao inercial

    0x = deslocamento da massa m relativa ao espao inercial

    y = 0x - ix = deslocamento da massa m relativamente carcaa

    A equao para este sistema dada por:

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    SISTEMA S12 - Sistema Eletro-Mecnico Considere o sistema eletro-mecnico o motor c.c. controlado por armadura

    indicado na figura abaixo. Neste sistema,

    aR = resistncia do enrolamento da armadura, ohms

    aL = indutncia do enrolamento da armadura, henrys

    ai = corrente do enrolamento da armadura, ampres

    ae = tenso aplicada na armadura, volts

    be = fora contra eletromotriz, volts = deslocamento angular do eixo do motor, radianos T =torque fornecido pelo motor, N . m J = momento de inrcia equivalente do motor e da carga referida ao eixo do motor, kg.m2 f = coeficiente de frico-viscosa equivalente do motor e da carga referida ao eixo do

    motor, kg.m/rad/s

    As equaes diferenciais para este sistema so

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    SISTEMA S13 - Sistema Trmico Considere o sistema trmico indicado na figura abaixo. Neste sistema,

    R = resistncia trmica, Cs/cal

    C = capacitncia trmica, cal/C

    = variao de temperatura ih = pequena variao na taxa de entrada de calor

    A equao diferencial para este sistema dada por:

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    SISTEMA S14 - Sistema Mecnico Massa-Mola-Amortecedor

    Considere o sistema mecnico massa-mola-amortecedor mostrado na figura

    abaixo. Suporemos que o sistema est inicialmente em repouso.

    As equaes que descrevem a dinmica do sistema so

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    SISTEMA S15 - Sistema Mecnico Acelermetro Suponha que a carcaa do acelermetro est firmemente aclopada a uma

    estrutura de uma aeronave. O acelermetro indica a acelerao de sua carcaa em

    relao ao espao inercial. O diagrama esquemtico de um acelermetro

    mostrado na figura abaixo. Nesse sistema,

    ix = deslocamento da carcaa em relao ao espao inercial

    0x = deslocamento da massa m relativa ao espao inercial

    y = 0x - ix = deslocamento da massa m relativamente carcaa

    A equao para este sistema

    mgsenxmkyyfym +=++ 1.....

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    SISTEMA S16 - Sistema Mecnico Massa-Mola-Amortecedor

    Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor ilustrado na figura

    abaixo. Onde x indica a posio e v a velocidade.

    As equaes diferenciais que descrevem a dinmica para este sistema so

    )(

    )()(

    21122222

    .

    2

    21111

    .

    11

    xxKxKvBvM

    tfxxkvBvM a

    =++=++

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    SISTEMA S17 - Sistema Mecnico Massa-Mola-

    Amortecedor Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor ilustrado na figura

    abaixo. Onde x indica a posio e v a velocidade.

    As equaes que descrevem a dinmica para este sistema so

    )(

    )()(

    211222222

    .

    2

    21111

    .

    11

    xxKgMxKvBvM

    tfxxkvBvM a

    =+++=++

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    SISTEMA S18 - Sistema Mecnico Massa-Mola-

    Amortecedor Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor ilustrado na figura

    abaixo. Onde x indica a posio e v a velocidade.

    As equaes diferenciais que descrevem a dinmica para este sistema so

    )()()(

    0)()(

    121222

    .

    2

    1212211

    .

    11

    tfvvBxxKvM

    vvBxxkxKvM

    a=++=+

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    SISTEMA S19 - Sistema Mecnico Massa-Mola-Amortecedor

    Considere um sistema mecnico massa-mola-amortecedor ilustrado na figura

    abaixo. Onde x indica a posio e v a velocidade.

    As equaes diferenciais que descrevem a dinmica para este sistema so

    )()(

    0)(

    22321122

    .

    2

    2221121

    .

    11

    tfBvxKKBvxKvM

    BvxKBvxkkvM

    a=+++=+++

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    SISTEMA S20 - Sistema Mecnico Massa-Mola-Amortecedor

    Consider