Centro de Massa e Momento Linear - Profº Carlos Alberto · um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma ... Se o passageiro pula verticalmente para cima

Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com

Disciplina: Mecânica BásicaDisciplina: Mecânica Básica

Professor: Carlos AlbertoProfessor: Carlos Alberto

Centro de Massa e Centro de Massa e Momento LinearMomento Linear



O Centro de MassaO Centro de Massa“O centro de massa de um sistema de partículas é o

ponto que se move como se (1) toda a massa do

sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas

as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”.

✔ Sistema de partículasSistema de partículas

cm


O Centro de MassaO Centro de Massa

Se x1 = 0


cm

m1 = m2 m1 > m2

cm



Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas


Em 3D

(DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)



✔ Corpos maciçosCorpos maciços

✔ SimetriasSimetrias

Para cada componente


Três partículas de massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um

triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse

sistema?

Exemplo 9.1: (Halliday, p220)Exemplo 9.1: (Halliday, p220)

cm


Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,

como mostrado na figura abaixo.

Exemplo 5.15: (Tipler, p148)Exemplo 5.15: (Tipler, p148)

0,4 m

0,2 m

0,2 m

0,8 m


Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,

como mostrado na figura abaixo.


y

x

m2

m1

0,70,4

0,2

0,5

0,4 m

0,2 m

0,2 m

0,8 m


A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de

raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de

coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.


x

y

Placa P


CMR

A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de

raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de

coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.


x

y

CMP

CMC

Placa CompostaC = R + P


Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração

✔ Barra uniformeBarra uniforme

dm = λ dx

dx

z

y

x


Encontrando o centro de massa por integraçãoEncontrando o centro de massa por integração

✔Anel semicircularAnel semicircular

y

xθ

dθ

ds = R dθ


Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa

Derivando os dois lados:

Derivando novamente os dois lados:

0


Movimento do centro de massaMovimento do centro de massa

Movimento do corpo

(ou sistema de partículas)

Movimento do CM

Movimento das partículas

Em Relação ao CM

“O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”.


Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante.

No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois

fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos

fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na

vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar.


cm

cm


James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a

superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James

possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma

caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as

extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0

m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância

percorrida por ele?

Exemplo 8.14: (Young, p260)Exemplo 8.14: (Young, p260)


Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo

(massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro

está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece

para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto

o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força

horizontal exercida pela água)



Momento linearMomento linear(quantidade de movimento)(quantidade de movimento)

“A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força

resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”.

✔ 2ª Lei de Newton2ª Lei de Newton

(DEFINIÇÃO)

Para uma partícula:

Para um sistema de partículas:

No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo).


Colisão e ImpulsoColisão e Impulso

x

✔ Colisão simplesColisão simples

(DEFINIÇÃO DE IMPULSO)(TEOREMA DO MOMENTO

LINEAR E IMPULSO)

No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes

segundo). Como N = kg · m/s2, temos:


Colisão e ImpulsoColisão e Impulso✔ Colisão simplesColisão simples

Se a função é conhecida, podemos calcular integrando a função. Se temos um

gráfico de em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t.

Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o

mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:


Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a

massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00

mm além do ponto de contato.

(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?

(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce

sobre sua mão?

Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)


Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede.

Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para

a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20

m/s.

(a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a

parede.

(b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache

a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.

Exemplo 8.2: (Young, p.251)Exemplo 8.2: (Young, p.251)

Comumente, o intervalo de tempo

durante a qual uma bola de tênis

permanece em contato com uma

raquete é aproximadamente igual

a 0,01 s. A bola visivelmente se

achata por causa da enorme

força exercida pela raquete.


A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com

um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma

velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de

30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50

m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m

do piloto é de 80 kg.

(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão?

(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto

experimenta durante a colisão?



Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em

queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do

elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha

que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos

(a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a

colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0

m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar

com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média

(supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)?

Questão 33: (Halliday, p250)Questão 33: (Halliday, p250)


Conservação do momento linearConservação do momento linearVimos que

Sistema isolado → Força resultante nula

Sistema fechado → # de partículas constante

Lei de Conservação do

Momento Linear

“Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total do sistema não pode variar”.

Não confunda Momento e Energia!!! Momento tem componentesMomento tem componentes

x, y e z!x, y e z!


Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em

um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x

com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?

Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)


Um atirador segura um rifle de massa mR = 3,0 kg frouxamente de modo que a

arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa mB = 5,0 g

horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por vB = 300 m/s. Qual é a

velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do

momento linear total final da bala e do rifle?

Exemplo 8.4: (Young p.255)Exemplo 8.4: (Young p.255)


Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de

massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o

coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é

mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade escalar final vfC = 5,0 m/s.

(a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?

(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?



Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme

mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0

m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg,

que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a

velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º

com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B?



Momento e energia cinética em colisõesMomento e energia cinética em colisões

Energia Cinética Conservada Colisão Elástica

Perda de Energia Cinética Colisão inelástica

Perda Máxima Perfeitamente inelásticaPerfeitamente inelástica

Antes Depois


Colisões inelásticas em uma dimensãoColisões inelásticas em uma dimensão✔ Colisão inelástica unidimensionalColisão inelástica unidimensional

✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionaisColisões perfeitamente inelásticas unidimensionais

Antes Depois


O pêndulo balístico era usado para medir a

velocidade dos projéteis antes que os dispositivos

eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na

figura abaixo era composta por um bloco de madeira

de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas

compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada

conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente.

O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro

de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de

o pêndulo parar momentaneamente no final de uma

trajetória em arco de circunferência. Qual é a

velocidade da bala antes da colisão?



Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte

em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de

massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os

ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se

engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A

seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão.

Qual é a sua resposta?



Colisões ElásticasColisões Elásticas

Antes Depois

Pela conservação do momento:

Pela conservação da energia cinética:

Não é Solúvel!!!


Colisões elásticas em uma dimensãoColisões elásticas em uma dimensão

✔ Casos particulares:Casos particulares:

i) Massas iguais

ii) Alvo em repouso

Trocam velocidade

(a) (b)


Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica

frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura).

Encontre as velocidades finais dos dois blocos.

Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)


A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa mA = 0,500 kg e o

disco B possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s

no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é

desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final vB2 e os ângulos α e β indicados na figura.



Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem

atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com

velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?



Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam

rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v2x, comum dos

dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia

cinética final.


Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos

para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as

colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?


Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.comProfº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com

Documents

Centro de Massa e Momento Linear - Profº Carlos Alberto · um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma ... Se o passageiro pula verticalmente para cima