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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA

MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

04. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS SEÇÕES – PARTE I. Momento de primeira ordem; centróide de áreas simples e compostas (plano); centróide de curvas; teorema de Pappus-Guldinus.

Resitência Distribuição de Tensões

Tensões =

Propriedade Geométrica da Seção SolicitaçõesÁrea Esforço Normal e Cortante

Momento estático Corte e FlexãoBaricentro Todas as solicitações

Momento Axial de Inércia Corte e FlexãoProduto de Inércia Flexo-Tração

Momento Polar de Inércia Torção

Determinação do ponto de aplicação do peso de um corpo: (sistema de forças paralelas)

P = P ; P Mx = yP ; My = xPMRx = yP ; MRy = xP

x P = MRy = xP y P = MRx = yP

y

x

y

x

PP

yx

Solicitações P. G. S.

SERGIO TRANZILLO FRANÇA

E. CIVIL - 01

x ; y baricêntro do corpo ( ou centro de gravidade)

Para uma placa homogênea, de espessura constante: P = e A ; P = e A

Eliminando e e, e fazendo A dA:

Para um arame:

Simetria:Um eixo de simetria centróide sobre o eixoDois eixos de simetria centróide no encontro dos eixosCentro de simetria centróide neste ponto

Figuras compostas (placas e arames): Divide-se em figuras simples, com x e y de cada figura conhecidos (tabela anexa)

Calcula-se x e y da figura composta:Para cada figura: Ai ; xi ; yi

Mix = Aiyi ; Miy = Aixi

Figura Ai xi yi xiAi yiAi

Σ A Σ xiAi Σ yiAi

Cuidado!!! Sinal (posição relativa dos eixos)Área VazadaPosição da figura na tabela

Superfície de revolução: gerada pela rotação de uma curva;Corpo de revolução: gerado pela rotação de uma área;

Teorema de Pappus-Guldinus: I – Área de uma Superfície de revolução: A = 2YL II - Volume de um Corpo de revolução: V = 2YA

x = ∫ xdA / ∫ dA

y = ∫ ydA/ ∫ dA

∫ xdA – momento estático ou de 1a ordem em relação a y∫ ydA - momento estático ou de 1a ordem em relação a x

x ; y centróide da área (centro geométrico) (superfície do corpo)

Valores da tabela

E. CIVIL - 02

x = ∫ xdL / ∫ dL ; y = ∫ ydL/ ∫ dL

x = Σ xiAi / Σ Ai ; y = Σ yiAi/ Σ Ai


by

a

y

x

4r

3

r2

2

x

y

Y=kxn

x

y

a

y

x

h

r

2

x

y

y

x

b y

x

a

CENTRÓIDE DE FORMAS COMUNS

Forma da Superfície Área x yTriângulo RetânguloBase = bAltura = h

Quarto de Círculo

Raio = r

Semi-círculo

Raio = r

0

Quarto de elipse

Semi-elipse 0

Dois segmentos de reta e um arco de parábola de grau n

Setor Circular

Raio = rÂngulo total 2 (em radianos)

0

Forma da Curva Comprimento x yQuarto de CircunferênciaRaio = r

Semi-circunferênciaRaio = r r 0

Arco de circunferênciaRaio = rÂngulo total 2 (em radianos)

0

b

3

h

3bh

2

r2

4

4r

34r

3

ab

4

4a

3

4b

3

4b

3

ab

2

ah

n +1

n+1

n +2a

n+1

4n +2h

2rsen 3r2

2r

2r

2r

2rrsen

E. CIVIL - 03


EXERCÍCIOS

E. CIVIL - 04

4m

4m

2mx

y

2m

1. Determine, por integração, o centróide da área limitada pelas curvas ilustradas:

Para as questões 2 e 3, determine o centróide dos arames ilustrados.

2.

3.

Para as questões de 4 a 11, determine o centróide das áreas indicadas: (distâncias em mm)4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

4

4

y

x

y = ¼ x2

y2 = 4x

120

100

60

100

100

100

150

m

m

33

3

R=15

3060R=30

mm

mm

1515

30

50

80

1200

3000

4006002400600

R=30

60º

60º

100

Y=4x

36

r

y

Y=x3 / 3

R=3

3x


y= x2/k4

6

a

12. Determinar o centróide da área indicada, e o volume do sólido gerado por sua rotação em torno do eixo a (distâncias em centímetros).

13. A área indicada gira ao redor do eixo a, formando um sólido de volume 51,2 cm2. Determine a coordenada Y do centróide da área.

14. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área indicada, em torno do eixo x e do eixo b, bem como a área da superfície de cada sólido:

15. Determine, utilizando o teorema de Pappus, o volume do reservatório ilustrado, e a área de sua superfície lateral.

RESPOSTAS:

1. X = 1,8; Y = 1,82.X = 24,41 mm; Y = 40,64 mm3. X = 2,43 m ; Y = 1,31 m4. X = 55,38 mm; Y = 93,85 mm5. X = 5,26 mm; Y = 06. X = 0,22 mm; Y = 2,927. X = 3,91 mm; Y = 4,87 mm8. X = 59,26 mm; Y = 14,97 mm9. X = 27,92 mm; Y = 14,16 mm10.X = 4,96 mm ; Y = 3,22 mm11.X = 2,22 m ; Y = 1,41 m12. X = 3,55 cm ; Y = 1,61 cm; V = 131,62 cm3

13. 2,414. Eixo x: V = 210,08 m3 ; A = 250 m2 Eixo b: V = 1292,83 m3 ; A = 1487,86 m2

15. V = 207,35 m3; A = 160,22 m2

b

2,0m

= 6 m

4 m

6 m

4,0m

4,0m4,0m4,0m

a

6

y = x3 / 6

2 1

x

y

E. CIVIL - 05


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