46

Chap 5. Geometrical Optics-Paraxial Theory

기하광학은 광의 wavefront를 용도에 맞게 조작하는 기술의 학문으로 회절을 무시하고 반사나

굴절만 적용된다.

5.1 Lenses

용어 설명(Glossary)

초점(focal point): 구형파(spherical wave)의 일부가 수렴(converging)하는 점.

광 시스템(optical system): 반사나 굴절물체의 근방에 점 광원(point source)을 가짐으로써 그

광을 이용하도록 설계된 구조 체계.

Stigmatic (우측 그림 참조): 점 S 로부터 온 콘(corn)

형태의 광이 한 점을 지나가는 점 P 가 존재할 때 이

구조(system)를 stigmatic하다고 한다. 이때 P 를 S

의 완전한 상(perfect image)이라 하고 P 와 S 를 켤

레 점(conjugate points), S 가 있는 곳을 사물공간

(object space), P 있는 곳을 상공간(image space)이

라 한다.

Aspherics: 평면(planar)이나 구(sphere)가 아닌 면을

가진 광 요소이며 예로서 렌즈나 거울(mirror)이 있다.

Vertex: 광 축에 놓인 구면의 꼭지점.

광축(Optical axis): 렌즈나 거울에서 꼭지점(vertex)과 중심을 잇는 선. 그림에서 SP .

,o is s 또는 ,p i : 꼭지 점으로부터 각각 사물과 상의 거리(object and image distance).

5.1.1 구면의 굴절식

아래 그림과 같이 광이 이루어지면 광로는 일정(Fermat's principle)하다. 즉 광이 어떤 길을 취하

여 P 점에 가든 그것은 일정하다. 이것을 수학적 표현으로 바꾸면 OPL constant 이며 에 대

한 미분 값은 0 이다.

47

1 2OPL constanto in l n l (5.1)

2 2 1/ 2[ ( ) 2 ( )cos ]ol r p r r p r

2 2 1/ 2[ ( ) 2 ( )cos ]il r i r r i r

이들을 (5.1)에 대입하고 에 대해 미분.

( )0

d OPL

d :

2 2

1

1[ ( ) 2 ( )cos ]

2 o

dn r p r r p r

l d

2 2

2

1[ ( ) 2 ( )cos ] 0

2 i

dn r i r r i r

l d

1 2 1 2( )sin ( )sin ( ) ( )0 0

o i o i

n r p r n r i r n p r n i r

l l l l

위의 수식을 정돈하면

1 2 2 1 1 2 2 11( )

o i i o o i i o

n r n r n i n p n n n i n p

l l l l l l r l l (5.2)

삼각함수의 전개 2 4 6

cos 12! 4! 6!

3 5 7

sin3! 5! 7!

만일 점 A가 V 에 접근, 즉 광 축에 접근하는 광선(paraxial ray)이라면 ol p , il i . 이 조건

은 0 으로 cos 1 이며, 이러한 경우의 광학을 first-order, paraxial, 또는 Gaussian

optics 라 한다. 이때 (5.2)는 다음과 같이 표현된다.

1 22 1

1( )

n nn n

p i r (5.3)

이것은 하나의 구면에서 나타나는 공식으로 , ,p i r 은 각각 광축에 놓인 구면의 꼭지점 V 로부터

거리로 모두 양수(positive number)이다.

초점(focus) 구하기

(a) 물체공간(object space)의 어떤 특정 지점에서 오는 광이 무한대의 거리에 상을 맺을 때, 즉

상 공간(image space)에서 평행으로 광이 진행하여 i 인 지점에서 상을 맺는 다고 가정할

때, 이때의 점을 물체공간에 있는 초점거리(first or object focal length) of 로 정의하고 그 점 oF

를 첫 번째(first) 또는 object focus라 한다.

1 2 12 1

2 1

1( )

( )o

o

n n nn n f r

f r n n

(5.4)

(b) 무한대에 놓여 있는 물체, 즉 p로부터 온 빛은 한 점에 상을 맺는다. 이 경우 i 를 상

쪽에 있는 초점거리(second or image focal length) if 로 정의 하고 그 점 iF 를 두 번째(second)

또는 image focus라 한다.

48

1 2 22 1

2 1

1( )

( )i

i

n n nn n f r

f r n n

(5.5)

만일 1 1n (공기나 진공)인 경우 렌즈의 굴절률을 2n n 이라 하면 (5.3)~(5.5)식은 다음과 같다.

1 1( 1)

nn

p i r (5.6)

1

( 1)of r

n

(5.7)

( 1)i

nf r

n

(5.8)

5.1.2 얇은 렌즈(Thin Lens)

다양한 면에 수식 (5.3)을 적용하기 위하여 공식이 만들어진 구면의 상황을 잘 기억하여야 한다.

즉 볼록 구면의 곡률반경 r 은 우측, 소스 S 는 좌측, S 에 대한 상 P ( S 의 켤래 점)는 우측 그

리고 2 1n n 임을 명심하도록 하자.

렌즈의 종류

수렴렌즈(볼록렌즈: convex lens): 빛이 실 초점(real focus)에 모이는 렌즈.

발산렌즈(오목렌즈: concave lens): 빛이 허초점(virtual focus)에 모이는 렌즈.

렌즈의 부호 협약(Convention)

구면에 따라서 적용되는 반경의 부호는 아래 그림처럼 정의 된다.

(a) 좌측의 곡면이 볼록(convex)이면 1 0r , 반대로 오목(concave)이면 1 0r

(b) 우측의 곡면이 볼록이면 2 0r , 오목이면 2 0r

(c) 평면(planar)이면 항상 r

렌즈공식(Gaussian lens formula)

단일 구면에 대한 공식 (5.3)을 이용하여 렌즈공식을 유도한다.

1 22 1

1( )

n nn n

p i r [5.3]

우측 2 1( ) /n n r 이 고정된 값에 대해 p 가 크면 i 는 상대적으로 작다. 따라서 p 가 감소하면 i

는 꼭지점(vertex)으로부터 멀어지며 op f 이면 i 로 이 경우 다음식이 성립한다.

49

12 1

1( )

nn n

p r

만일 p 가 이보다 작아지면 i 는 음수(negative)가 되고 상은 virtual이다. 아래 그림은 광원 S 가

놓인 자리에 따라 맺어지는 상을 보여준다.

양면을 가진 Lens의 공식 유도

양면이 곡면인 렌즈에 적용되는 일반공식을 유도하려면 우선 단일 구면의 점들에 대한 물리적인

상황을 이해하는 것이 필요하다. 여기서 S 와 P , 'P 은 다음과 같이 기술되는 점들이다.

S 에서 나온 광은 1V 의 곡면에서 굴절하여 'P 의 virtual image를 맺는다. 한편 그림에서 곡면

2V 의 관점에서 보면 'P 은 P 에서 나와 모인 점이다. 즉 'P 은 다음의 두 가지 해석이 가능하다.

(a) 'P 은 1V 곡면에 의해 만들어지는 S 의 가상 켤레 점(virtual conjugate point)이다.

(b) P 는 2V 곡면에 의해 만들어지는 'P 의 실제 켤레 점(real conjugate point)이다.

이들에 대한 렌즈 관계식을 유도하자. 렌즈 주위의 굴절률을 1n , 렌즈의 굴절률을 2n 라 하면

1V 에 대한 , 'S P conjugate points 관계식은 (5.3)으로 주어진다.

50

1 22 1

1 1 1

1( )

n nn n

p i r (5.9)

2V 에 대한 P , 'P conjugate points 관계식은 다음의 식으로 주어진다.

1 21 2

2 2 2

1( )

n nn n

i p r (5.10)

2 1p i d 이므로 (5.10)은

1 21 2

2 1 2

1( )

n nn n

i i d r

(5.11)

(5.9) (5.11): 1 1 2 22 1

1 2 1 1 1 2

1 1( )( )

n n n nn n

p i i i d r r

1 1 22 1

1 2 1 2 1 1

1 1( )( )

( )

n n n dn n

p i r r i i d

(5.12)

만일 렌즈의 두께가 0d (thin lens)라면 (5.12)는

1 12 1

1 2 1 2

1 1( )( )

n nn n

p i r r (5.13)

Thin lens의 경우 2 1V V 이고 1p p , 2i i 로 수렴한다. 1 1n (공기), 2n n 로 표기하면

1 2

1 1 1 1( 1)( )n

p i r r (5.14)

1p 이면 2 ii f 로 수렴한다. 즉 2i 는 image space의 초점거리 if 가 된다.

2i 이면 1 op f 로 수렴한다. 즉 1p 은 object space의 초점거리 of 가 된다.

p , 또는 i 일 때 o if f f .

1 2

1 1 1( 1)( )n

f r r (5.15)

(5.15)는 다음과 같이 Gaussian lens formula(Lens maker’s formula)로 표현된다.

Gaussian Lens Formula: 1 1 1

p i f (5.16)

(예제) 1.5n 인 얇은 볼록-평면 렌즈(convex-planar lens)의 반경이 각각 1 5cmr , 2r 그

리고 빛이 볼록 렌즈 방향에서 입사할 때 초점거리

1 1 1(1.5 1)( ) 10cm

5cmf

f

렌즈에서 빛의 진행 방법

(a) 렌즈의 중심을 지나는 광선은 굴절 없이 통과한다.

(b) 광 축에 평행하게 들어오는 광선은 초점을 지난다.

(c) 초점을 지나는 광선은 광 축에 평행하게 나간다.

상이 맺어지는 위치( 1 2PP )는 이중 두 선 이상이 만나는 지점이며 크기 및 종류(real or virtual)는

렌즈로부터 source( 1 2S S )가 놓인 위치에 따라 결정된다.

거리의 부호(The sign convention of distance)

51

(a) 실제 광이 지나가거나 만나서 이루어지는 축 상의 거리들은 양수이다.

아래 그림에 나타난 축 상의 거리들은 지나는 광들에 의해 만들어 지므로 , , , , 0o ip i f x x

(b) 광의 연장선상에 맺어지는 거리들은 음수이다.

오목렌즈에서 평행하게 들어온 광은 발산하며 그 발산된 광을 역으로 그리면 초점에서 만난다. 이

때의 초점은 허초점으로 그 거리는 0f , 또한 상도 허상을 만들면 렌즈로부터 상까지의 거리는

0i 이다.

(c) 축 상의 거리들은 위로 서면 양수, 아래로 서면 음수이다. 아래 그림에서 0oy , 0iy .

기하학에 의한 thin-lens equation(Gaussian lens formula)의 증명

위의 그림에는 두 각이 같은 다음의 닮은 꼴(similar) 삼각형이 존재하며, 그에 따른 다음의 비례

식이 성립한다.

2 1 o oS S F BOF : | |

o o

i

y xp f

y f f

(5.17)

2 1i iAOF P PF : | |

o

i i

y f f

y i f x

(5.18)

2 1 2 1S S O P PO : | |

o

i

y p

y i (5.19)

(5.17)과 (5.19)를 결합하면, p f p

f i

:

1 1 11

p p

f i p i f

(5.18)과 (5.19)를 결합하면, f p

i f i

:

1 1 1i f i

f p p i f

이들은 위에서 유도한 (5.16)의 Gaussian lens formula이다.

상 및 배율

상(image)의 종류

(a) 실상(real image): 광이 맺어져 만드는 상으로 단일 얇은 렌즈(thin lens)에서는 음수의 배율을

가지며 역상(inverted image)이다.

(b) 허상(virtual image): 광의 연장선상에 가상적으로 맺어지는 상으로 단일 얇은 렌즈에서는 양

수의 배율을 가지며 직립상(erected image)이다.

52

배율의 정의

(a) Lateral or transverse magnification TM m

정의: i

o

ym

y or

im

p (5.20)

여기서 0iy 이다. TM 는 (5.17)과 (5.18)에 의해 달리 표현될 수 있다.

2 1 oS S O BOF : i

o

xfm

x f (5.21)

렌즈 방정식에 대한 Newtonian form: 2

i of x x (5.22)

(b) Longitudinal Magnification LM

(5.22)를 미분하면

0 i io i i o

o o

dx xx dx x dx

dx x (5.23)

정의: i iL L

o o

dx xM M

dx x (5.24)

(5.22)의 2 /i ox f x 를 (5.24)에 대입하고 (5.21)을 적용하면

2 2( )iL L

o o

x fM M m

x x (5.25)

(예제) 10cmf ( 2r f )인 볼록렌즈에서 물체의 위치에 따른 상의 위치, 배율 및 형태.

(a) 60cmp ( p r ): 1 1 1

12cm60 10

ii

배율 및 상의 형태: 12 1

60 5m

렌즈의 반경보다 멀리 있는 물체의 상은 역 실상

(inverted real image)이며 물체 보다 작다.

(b) 20cmp ( p r ): 1 1 1

30cm15 10

ii

배율 및 상의 형태: 20

120

m

렌즈의 중심에 놓인 물체의 상은 역 실상이며 물체의

크기와 같다.

(c) 15cmp ( f p r ): 1 1 1

30cm15 10

ii

배율 및 상의 형태: 30

215

m

초점과 렌즈의 반경 사이에 놓인 물체의 상은 역 실상이며 물체보다 크다.

(d) 10cmp ( p f ): 1 1 1

10 10i

i

초점에 놓인 물체의 상은 맺어지지 못한다.

53

(e) 5cmp ( p f ): 1 1 1

10cm5 10

ii

배율 및 상의 형태: 10

25

m

초점 안에 놓인 물체의 상은 직립 허상(erected imaginary image)이며 물체보다 크다.

5.1.3 Thin lens combinations (compound lenses)

광선 추적

(a) 렌즈 2L 가 렌즈 1 2,L L 의 초점들 사이에 위치할 때

그림에서 일단 2L 를 무시하고 1L 에 대한 광선(ray)들을 그려보면 광선 1은 광 축에 평행하게 들

어와 1L 의 초점 1iF 으로 굴절하며, 광선 2 는 1L 의 초점 1oF 을 지나 평행으로 진행한다. 그리고

1L 렌즈의 중심을 지나는 광선 3 은 굴절 없이 진행하며 언급된 모든 광선들은 'P 에서 만난다.

역으로 'P 에서 2L 의 중심으로 향하는 광선 4 는 직진하여 1L 에서 object S 로 굴절하는 것으로

추정할 수 있다. 광선 2 는 2L 를 무시한 1L 에 의해 만들어지는 광이므로 두 렌즈의 조합에서 이

광은 2L 에서 이것의 초점 2iF 로 굴절한다. 그러므로 광선 4 와 광선 5 가 만나는 곳에 복합렌즈

1L 과 2L 의 상이 만들어진다.

(b) 렌즈 2L 가 렌즈 1 2,L L 의 초점들 밖에 위치할 때

1L 에 의해 광선1과 3이 'P 실상을 만들고 다시 이 광선들이 진행하여 2L 에 의한 상 P 를 만든

54

다. 광선 2 는 P 로부터 역 추적 선으로 2L 의 중심을 지나 1L 에서 S 로 그려진다. 이 조합에서

P 는 'P 의 위치에 따라 상의 종류가 달라진다. 만일 'P 이 밖에 위치하면 그림과 같이 그려지고,

'P 이 안 쪽에 있으면 2L 의 좌측에 허상을 만든다. 즉 'OP f 이면 우측 직립 실상, 'OP f

이면 좌측 역전 허상이다.

수식적 분석

1L 에 대한 lens의 Gaussian form을 1i 과 1p 으로 각각 표현하면

1 1 1

1 1 1

p i f (5.26)

1 11

1 1

p fi

p f

(5.27)

1 11

1 1

i fp

i f

(5.28)

2L 에 대한 lens의 Gaussian form을 2i 와 2p 로 각각 표현하면

2 2 2

1 1 1

p i f (5.29)

2 22

2 2

p fi

p f

(5.30)

2 22

2 2

i fp

i f

(5.31)

그림에서 2 1p d i (5.32)

두 번째 그림은 (5.32)와 일치하지만 첫 번째 그림은 일치하지 않는 것처럼 보인다. 그러나 'P 이

실제 광선으로 맺어지는 상이 아니기 때문에 이 그림에서 1i 은 수식적용 시 1i 이어야 한다.

(5.30)에 (5.32)와 (5.27)을 대입하면

1 2 2 1 1 2 1 12

1 2 2 1 1 1 1

( ) /( )

/( )

d i f df p f f p fi

d i f d f p f p f

(5.33)

배율(magnification): 11

1

im

p , 2 2

2

2 1

i im

p d i

(5.34)

총 배율(total magnification): 1 2m m m (5.35)

1 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1

( )( )( ) /

i i i i im

p d i p d i p d i p

(5.27)의 1i 을 대입: 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/( / ) ( )

i i fm

p d p f p f p d p f p f

(5.36)

복합(combination) 렌즈의 초점거리

얇은 렌즈의 초점을 구하는 방법, 즉 초점 1oF 에 위치한 물체로부터 오는 광은 광 축에 평행하게

진행하므로 무한대의 거리에 상을 맺으며, 이와 반대로 무한대에 있는 물체( p )로부터 온 빛

은 한 점에 상을 맺는다는 원리를 이용하여 복합렌즈의 초점들을 구한다.

55

(a) 만일 2L 에 의해 만들어 지는 상이 무한대에 있다면 2L 에 들어오는 object 'P 은 초점 2oF 에

있을 것이다. 즉, 2i 이면 2 2p f 이다. 이 때 (5.32)는 1 2i d f .

(5.28)에 이 조건을 적용하면

1 1 2 11 1 2

1 1 1 2

( )|

( )i

i f d f fp p

i f d f f

(5.37)

1p 은 복합렌즈 1L 의 좌측 vertex 로부터 거리이며 특별히 . . .f f l (forward focal length)이라 한

다. 다른 말로 표현하면 이점에 물체가 놓이면 복합렌즈의 상은 맺어지지 않고 광은 평행하게 진

행하여 무한대에서 상을 맺는다.

2 1

1 2

( ). . .

( )

d f ff f l

d f f

(5.38)

(b) 같은 방법으로, 1p 이면 1 1 1( )p f p .

이 경우 (5.30)은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

2 1 1 2 1 12

2 1 1 1 1

/( )

/( )

df p f f p fi

d f p f p f

1 22 1

1 2

( )|

( )p

d f fi

d f f

(5.39)

2i 는 2L 의 우측 vertex 로부터의 거리이며 특별히 . . .f b l (backward focal length)이라 한다. 다른

말로 표현하면, 1L 으로부터 먼 곳에서 들어온 광은 복합렌즈의 . . .f b l 에 수렴한다.

1 2

1 2

( ). . .

( )

d f ff b l

d f f

(5.40)

특별한 경우의 . . .f f l 과 . . .f b l

(a) 만일 1 2d f f 이면, . . . . . .f f l f b l . 즉 초점 길이들이 존재하지 않는다. 이것은 파가

굴절 없이 평면 파로 들어와 평면 파로 나가는 것을 의미한다.

(b) 만일 0d 이면, 즉 두 렌즈가 접촉된 경우

1 2

1 2

. . . . . .f f

f f l f b lf f

(5.41)

이것은 얇은 렌즈 2 개가 붙어 있을 경우로 결합된 복합 얇은 렌즈의 실제적인 초점거리

(effective focal length)를 정의해 준다.

1 2

1 1 1

f f f (5.42)

일반화하여 n 개의 접촉렌즈(contact lens)들의 effective focal length는

1 2

1 1 1 1

nf f f f (5.43)

수식의 요약

2 1

1 2

( ). . .

( )

d f ff f l

d f f

(5.44)

1 2

1 2

( ). . .

( )

d f ff b l

d f f

(5.45)

56

2 1 1 2 1 12

2 1 1 1 1

/( )

/( )

df p f f p fi

d f p f p f

(5.46)

2 1

1 1 1 1( )

i fm

d p f p f

(5.47)

(예제) 2L 의 위치에 따른 초점거리, 상의 위치 및 배율

1 30cmf , 2 50cmf , 1 50cmp 라고 가정하자.

(a) 1p d 의 경우로 20cmd 일 때

(20 50)(30). . . 15cm

20 (30 50)f f l

(20 30)(50). . . 8.33cm

20 (30 50)f b l

2

(20)(50) (50)(30)(50) /(50 30)26.2cm

20 50 (50)(30) /(50 30)i

(26.2)(30)0.715

(20)(50 30) (50)(30)m

역 허상이 되는 것을 알 수 있는 이유: 1L 에 의해 만들어진 상은 2L 의 초점 2oF ( 2 50cmf )의

오른 쪽에 존재한다. 따라서 2L 에 의해 만들어지는 상은 허상이다.

(b) 1p d 의 경우로 60cmd 일 때

(60 50)(30). . . 15cm

60 (30 50)f f l

(60 30)(50). . . 75cm

60 (30 50)f b l

2

(60)(50) (50)(30)(50) /(50 30)15.54cm

60 50 (50)(30) /(50 30)i

(15.54)(30)1.55

(60)(50 30) (50)(30)m

5.2 Stops

Aperture stop(A.S.): 상의 질을 높이기 위하여 광

량을 조절하고 렌즈의 가장자리로부터 들어오는 광

을 차단하도록 역할 하는 조리개(diaphrgam)이며

일반적으로 렌즈 뒤에 위치한다.

Field stop(F.S.): System에 의해 상으로 만들어지는

물체의 크기(size)나 각 폭(angular breadth)을 제한

하는 요소. 이것은 장비의 field-of-view를 결정하는

요소이다.

57

5.2.1 Entrance and Exit Pupils

Entrance pupil: 이것은 Lens나 A.S.가 없다면 그림처럼 광 축의 렌즈 중심과 물체의 중심으로

부터 온 광이 만나는 지점으로 A.S.의 image이다.

Exit pupil: Entrance pupil을 만드는 선에서 실제 광과 렌즈의 중심에서 온 선이 만나는 위치에

서의 A.S. image이다.

Chief ray: A.S 의 중심을 지나가는 광 축에서 빗겨난 ray. Chief ray 는 entrance pupil 의 중앙

점(Enp)으로 들어와 exit pupil 의 중앙 점(Exp)을 통해 지나가는 선을 말한다. Chief ray 는 렌즈의

aberration(초점의 퍼짐 현상)을 교정할 때 특별히 중요하다.

5.2.2 Relative Aperture and f-number

Image 평면에서 flux density: 2( / )D f

여기서 D는 entrance diameter. /D f 는 relative aperture.

f number( /#f ): /# /f f D (5.48)

58

/#f 는 single symbol이다. 예로서 25mm aperture, 50mm focal length이면 /#f 는 2 이다.

사진의 노출시간(photographic exposure time)은 /#f 의 자승에 비례한다. 이것을 렌즈의 속도

(speed)라 한다. /1.4f 렌즈는 / 2f 렌즈 보다 두 배 정도 더 빠르다.

5.3 Mirrors

5.3.1 평면 거울

허상: 반사 빛의 연장선상에 맺히는 상

실상: 빛의 진행하는 방향에 맺히는 상

평면거울은 허상을 만든다.

상이 맺히는 위치: i p

허상의 경우 상이 맺히는 거리는 음수이다.

자신의 전체를 보려면 자기 키의 1/ 2 되는

평면 거울이 필요하다.

5.3.2 구면 거울

구면 거울에 사용되는 정의

초점(focus) F : 광 축에 평행으로 들어온 광이 구면에서

반사하여 통과 하는 한 점.

곡률 중심(center) C : 구면 거울의 중심.

꼭지점(vertex) V : 중심축(광축)이 구면과 만나는 점.

곡률 반경 r : 구면의 원에 대한 반지름.

초점거리 / 2f r : 구면으로부터 초점까지의 거리.

물체 거리 p : V 로부터 물체까지의 거리.

상 거리 i : V 로부터 상까지의 거리.

오목과 볼록 거울에서 맺어지는 상을 찾는 법(광선 추적 법)

(a) 중심축에 평행한 광선은 반사 후 초점을 지난다.

(b) 초점을 지나 반사한 빛은 중심축과 평행하게 진행한다.

(c) Vertex에 들어온 빛은 같은 각도로 반사한다.

(d) 거울의 중심으로 들어온 빛은 반사 후 같은 경로로 되돌아간다.

오목거울(concave mirror)

물체가 놓인 위치에 따라 맺어지는 상의 상태(그림 참조)

중심 밖에 놓인 물체: 실상, inverted, 배율 | | | / | 1i om y y

중심에 놓인 물체: 실상, inverted, | | 1m

59

중심과 초점 사이: 실상, inverted, 배율 | | 1m

초점에 놓인 물체: 상을 맺지 못함

초점과 vertex 사이: 허상, erected | | 1m

볼록거울(convex mirror)

허상, erected, | | 1m

거울의 부호 협약(sign convention)

실제 광이 진행하는 쪽에 있는 모든 값들의 부호는 ( ).

광의 연장선상에 있는 상의 거리, 초점거리 및 반경의 부호

는 ( ).

(예) 오목거울의 경우 빛은 실 초점(real focus)에 모이며(converging) 초점거리는 0f . 이와

반대로 볼록거울은 빛이 분산하는(diverging) 연장선 상의 허 초점(virtual focus)에 모이는 것처

럼 보이며 이 때 초점거리는 0f 이다.

오목거울: , , 0f r p . 실상을 맺을 때 0i , 허상을 맺을 때 0i .

볼록거울: 0p , , , 0f r i .

배율: i

o

yim

p y (5.49)

여기서 iy 와 oy 는 광 축의 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수이다.

0m : 바로 선 상(erected image)

0m : 거꾸로 선 상(inverted image)

5.3.3 Mirror 공식

SAI 는 CA에 의해서 2 등분된다. 이 경우

SC CI

SA IA (5.50)

| |SC p r p r

| | ( )CI r i r i

60

축에 근접해 들어오는 광(paraxial rays)은

SA p , IA i

이들을 (5.50)에 대입하면

1 1 2p r i r

p i p i r

(5.51)

초점의 정의

lim oi

p f

: 1 1 2

2o

o

rf

f r

(5.52)

lim ip

i f

: 1 1 2

2i

i

rf

f r

(5.53)

(5.52)와 (5.53)에 의해 구면 거울의 초점은 다음과 같이 정의 된다.

2o if f f

r (5.54)

따라서 (5.54)는 렌즈에서의 (5.16)식인 Gaussian lens formula와 동등하게 표현된다. 즉

1 1 1

p i f (5.55)

5.4 Prisms

프리즘은 빛의 분산이나 상의 위치변환(a change in the orientation of an image)에 주로 사용된다.

5.4.1 확산(Dispersive) Prism

우측 그림의 사각형 ABCD에서 o180BCD

1 2t i (5.56)

Angular deviation: 프리즘에 입사한 ray1과 프리즘을

떠나는 ray3이 만드는 각.

1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )i t t i i t t i

1 2( )i t (5.57)

공기( 1an )에 대한 ray1과 2 , ray 2 와 3에 대해 Snell's law 를 적용하고 (5.56)의

2 1i t 를 대입하면

1 1 1 1sin sin sin sin /i t t in n (5.58)

2 2 1sin sin sin( )t i tn n (5.59)

(5.59)의 우측 항을 전개하고 변형하면

1 1 1sin( ) sin cos cos sint t t

2 1/ 2 2 1/ 2

1 1 1cos (1 sin ) (1 sin / )t t i n

2 1/ 2

1 1 1sin( ) (sin )(1 sin / ) cos sin /t i in n (5.60)

(5.60)에 의해 (5.59)는

61

2 2 1/ 2

2 1 1sin (sin )( sin ) cos sint i in

1 2 2 1/ 2

2 1 1sin [(sin )( sin ) cos sin ]t i in (5.61)

Angular deviation (5.57)은

1 2 2 1/ 2

1 1 1sin [(sin )( sin ) cos sin ]i i in (5.62)

굴절률 n 는 주파수 의 함수, 즉 ( )n 이므로 (5.62)는 angular deviation이 에 의존함을 보

여 준다. 그러므로 은 주파수 또는 파장의 함수로 표기할 수 있다.

( ) 또는 ( )

단색 광(monochromatic beam)을 사용하여 입사각에 의존하는 최소(minimum) deviation을

(5.62)로 측정할 수 있다. 이 값을 찾으려면 입사각에 대한 1/ 0id d 인 지점이다.

좀더 쉬운 수식 (5.57)을 미분하면

22 1

1 1

1 0tt i

i i

ddd d

d d

(5.63)

또한 (5.56)을 미분하면

1 2 1 20 t i t id d d d (5.64)

Snell's law인 (5.58)과 (5.59)를 미분하고 여기에 (5.63)과 (5.64)를 이용하면

1 1 1 1 1 1 1 2cos cos cos cosi i t t i i t id n d d n d

2 2 2 2 2 1 2 2cos cos cos cost t i i t i i id n d d n d

두식을 나누고 이것을 사인으로 표시하면 2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

cos cos 1 sin 1 sin

cos cos 1 sin 1 sin

i t i t

t i t i

우측은 Snell's law로부터 다음과 같이 된다. 2 2 2

1 1

2 2 2

2 2

1 sin sin

1 sin sin

i i

t t

n

n

1n 이기 때문에

1 2i t (5.65)

1 2t i (5.66)

deviation 이 최소인 ray 는 프리즘을 등방되게

(symmetrically) 횡단한다. 즉 ray 가 프리즘의

base에 평행으로 진행하면 deviation은 최소이다.

우측 그림은 1.5n , o60 인 프리즘에서

deviation 값의 변화를 보여준다.

최소 deviation 에 의한 굴절률의 측정

m 일 때 (5.57)은 (5.65)에 의해

1 2 1

1( ) ( )

2m i t i m (5.67)

62

그리고 (5.56)은 (5.66)에 의해

1 2 1

1

2t i t (5.68)

첫 번째 면에 대한 Snell's law에 (5.67)과 (5.68)을 대입하면

1

1

sin sin[( ) / 2]

sin sin( / 2)

i m

t

n

(5.69)

(5.69)는 물질의 굴절률(refractive index)을 가장 정

확히 재는 방법의 하나이다. 보통 유리로 만든 빈 프

리즘에 재려고 하는 기체나 액체를 넣고 측정한다. 우

측 그림의 Pellin-Broca 프리즘은 spectroscopy에서

중요한 constant-deviation dispersing 프리즘으로 사

용된다.

5.4.2 Reflecting prisms

이등변삼각형(isosceles)인 우측 그림의 프리즘에 광

이 들어온다고 가정할 때, 입사각이 임계각 이상이면

internal reflection이 일어나므로

sin c t in ( tt i

i

nn

n )

들어오는 광과 나가는 광 사이의 deviation angle

180o BED (5.70)

ABCD에서

o360ABE BED EDA

o360BED ABE EDA

o

190 iABE

o

290 tEDA

o o o o

1 2 1 2360 (90 ) (90 ) 180i t i tBED (5.71)

(5.71)을 (5.70)에 대입하면

1 2i i (5.72)

BFC 와 DGC 에서 BFC DGC , BCF DCG .

그러므로 1 2t i

이것은 Snell's law에 의해 1 2i t 와 동등하다. 따라서

12 i (5.73)

(5.73)의 는 n 에 의존하지 않기 때문에 이 경우 프리즘은 무색(achromatic)하다고 말한다.

63

5.5 Fiber Optics

5.5.1 Fiber Optics 의 원리

Optic fiber의 diameter는 D , 길이 L , 전 반사하여 공

기로 나오기 까지 fiber 내에서 진행한 총 길이를 l 이라

하면,

/ cos tl L (5.74)

Snell's law: sin sin cosi t tn 2

2 1/ 2 1/ 2

2

sincos (1 sin ) (1 )i

t tn

(5.75)

(5.75)를 (5.74)에 대입하면

2 2 1/ 2( sin )i

nLl

n

(5.76)

The number reflection N in the fiber: 1/ sin t

lN

D

2 2 1/ 2

sin1

( sin )

i

i

LN

D n

(5.77)

5.5.2 Fiber-optic Sensors and their Applications

(i) 응용원리, 구조 및 형태

Optic-fiber 장비들은 전기선으로 이루어진 장비들을 광 fiber로 대치한 것과 같다. 다른 점은 전

기 장비들이 구리 선을 통해 전기신호를 보낸다면 optic-fiber 장비들은 빛 신호를 fiber 선을 통

해 보낸다. 장비에서 송신기(transmitter)는 전기선에서 오는 cord화 된 신호를 받아 이것을 빛의

신호로 바꾸는 역할을 한다. 일반적으로 다이오드[light-emitting diode (LED)]나 또는 레이저 다

이오드[injection-laser diode (ILD)]가 전기신호를 광 신호로 바꾸는 일을 담당한다. 그리고 렌즈

로서 빛 신호를 집속하여 광 fiber로 들어가게 한다. 일단 빛 신호가 목적지에 도달하면 그 신호

는 광 리시버(receiver)에 전달되고 여기서 다시 전기 신호로 바뀌면서 컴퓨터나 전화 또는 TV와

같은 통화 장치에 신호를 전달한다.

(a) 구 조

64

모든 optical fiber는 낮은 굴절률의 cladding이 높은 굴절률을 갖는 core를 감싸고 있는 형태를

취하며 일반적으로 위의 그림과 같은 구조를 갖고 있다.

Core: 순도가 높은 silica나 germanium의 복합물질이거나 또는 특수 플라스틱이며 이 속으로 빛

이 보내진다.

Cladding: core에 입혀진 순수한 silica로 굴절률이 core보다 약간 작다. 이것은 빛이 core속에

머무르게 하는 역할을 한다.

Buffer coating: Core와 cladding을 보호하는 피복.

Strength material: 케이블이 당겨질 때 늘어나는 것을 방지하기 위한 물질.

Jacket: 화학물질이나 다른 solvent로부터 내부를 보호하기 위한 피복 막.

(b) 형 태

Optic-fiber의 형태는 사용 용도에 따라 기본적인 두 종류가 존재한다.

(1) 다중모드 fiber(multi-mode fiber)

다중 모드의 의미는 빛이 fiber의 core내에서 많은 다른 길(일명 모드)을 따라 여행할 수 있는 것

을 의미하며 따라서 광 fiber의 core가 상대적으로 굵다. 즉 fiber로 들어오는 빛이 다양한 각에

서 들어온다.

-약 62.5 미크론 이상의 큰 core.

-신호 발생장치로는 주로 830-1300 nm의 LED가 사용됨.

- LAN(Local Area Network)으로 사용

여기에는 다시 core내에서 굴절률의 차이를 두어 광 신호가 어떻게 진행하는 가에 따라 두 종류

로 분류된다. 즉 재질이 한 종류의 유리로 이루어져 빛이 직선으로 진행하는 계단식 굴절 다중모

드 fiber(step index multi-mode fiber)와 굴절률이 다른 많은 다른 층으로 이루어진 경사 굴절

다중모드 fiber(graded index multi-mode fiber)로 구분된다. 경사굴절 다중모드 fiber는 큰 core

사이즈를 갖고 있고 source power의 coupling이 사용된다.

65

(2) 단일 모드 fiber(single mode fiber)

-약 9 미크론 정도의 core

-1300-1550 nm의 레이저용으로 전화나 TV에 사용

단일모드는 신호를 대단히 빠른 속도로 다중모드 보다 먼 거리를 보낼 수 있다.

빛이 진행하는 모습을 좀도 세밀하게 관찰한 그림이 위에 그려져 있다.

아래의 Table은 전형적인 다중모드와 단일 모드의 특성을 나타낸 표이다.

Fiber Type Core/

Cladding Diameter Attenuation Coefficient (dB/km) Bandwidth@1300 m

(microns) 850 nm 1300 nm 1550 nm (MHz-km)

Step Index 200/240 6 NA NA 50@850

Multimode 50/125 3 1 NA 600

Graded Index 62.5/125 3 1 NA 500

85/125* 3 1 NA 500

100/140* 3 1 NA 300

Single mode 8-9/125 NA 0.5 0.3 high

Plastic 1 mm (1 dB/m @665 nm) Low

(ii) Detector의 감지영역

Optic-fiber로 전달된 빛 신호는 그 끝에서 그 빛을 전기 신호로 바꾸어 주는 검출기(detector)의

역할이 중요하다. 일반적으로 이러한 물질은 광에 대단히 민감한 것을 사용하게 되는 데 그러한

것으로는 silicon(Si), Germanium(Ge), 또는 Indium/Gallium/Arsenide (InGaAs)등이 있다.

실리콘 광 다이오드: 400~1000 nm. 낮은 잡음(low noise) 검출기로 820nm LED와 유리 fiber 또

는 665nm LED 와 플라스틱 fiber와 함께 표준의 데이터 컴퓨터 링크에 주로 사용된다.

파장 별 검출기 반응

Detector Type Wavelength

Range (nm) Power Range (dB/m) Comments

Silicon 400-1100 +10 to -70

Germanium 800-1600 +10 to -60 -70 with small area detectors,

+30 with attenuator windows

InGaAs 800-1600 +10 to -70 Small area detectors may

overload at high power (.0dBm)

66

Germanium과 Indium/Gallium/Arsenide 광 다이오드:

800 to 1600nm. 단일모드 유리 fiber에 광범위하게 사용.

일반적으로 전기잡음은 면적에 비례.

예를 들어 직경 2mm Ge 검출기는 5mm 검출기 보다 잡

음이 약 10-50배 정도 낮음. 그러나 면적이 작으면 fiber

와 다이오드의 중심을 맞추는 것이 어렵다.

(iii) Optic-fiber의 응용

소개

약 40년 전 처음으로 광섬유를 이용한 센서 장비가 특허를 받은 이래 빠른 속도로 광섬유 센서

기술이 발달하고 있다. 초기에는 fiber의 특성을 연구하고 초보적인 역학적 센서들이 연구되고 개

발되었으나 오늘날에는 전 분야에 걸쳐 크게 응용성을 발휘하고 있다.

Fiber는 1970년 이전에 이미 만들었으나 그때까지는 사용이 불가능하였다. 이것은 20dB/km 손

실을 갖는 fiber를 생산하지 못했기 때문으로, 20dB/km loss는 빛이 1km 진행할 때에 1%의 세

기가 손실되는 것을 의미한다. 오늘날에는 용도에 따라 감쇠되는 양이 0.5dB/km to 1000dB/km

되는 fiber를 다양하게 생산하며, 1977년에 처음으로 전화 회사들이 광 fiber를 사용하는 장비를

생산하기 시작하였다. 오늘날의 전화 회사들은 장거리 연결은 물론 모든 시스템에 fiber를 사용하

며, 케이블 TV사는 그들만의 광케이블 시스템을 구축하여 TV조차 광으로 신호를 보내고 받는

기술을 개발하고 있다.

Local Area Networks (LAN)은 대학, 병원, 회사와 같이 한 공동체 내에서 컴퓨터들을 프로그램

과 데이타를 공유하도록 구축된 연결 체를 의미하며 오늘날 이것은 구리 선에서 광 케이블로 급

격히 이전되고 있다. 또한 전기회사들은 그들의 power grid systems에 광 케이블을 적용하고 있

다. 위의 내용은 큰 단위로 본 fiber의 응용이다. 작은 단위로는 이것보다 더 광범위하게 연구되

고 사용되고 있다. 그것으로는

- Mechanical sensor--pressure, strain, temperature

- Medical sensor

- Chemical sensor

- 기타.

광산업과 관련된 두 중요한 발전

(a) 광전자 산업

- 레이저 다이오드의 대량생산

- Compact Disk Players

- Laser Printers

- Bar Cord Scanners)

67

- Telecommunications

- 기타 등등

(b) 광섬유 산업

광섬유 대량생산과 기술의 발달로 다음과 같은 요소들을 잴 수 있는 광 센서들의 개발이 이루어

지고 있다.

- 온도, 습도, 점도

- 압력, 스트레인, 음향, 진동

- 선형 및 각에 의존하는 체계(Linear and angular position)

- 회전 및 가속도(Rotation and acceleration)

- 전자기장 측정(Electric-Magnetic field measurements)

- 화학물질의 측정 특히 의학 분야

그 외에 상업적으로 존재하거나 또는 존재하지 않는 센서들의 개발.

광 fiber 센서는 그 외형적인 형태에 따라 크게 두 가지로 나누어지거나 또는 측정하는 원리에 따

라 둘로 나누어 볼 수 있다.

외형적인 형태에 따른 분류

(a) 외인성 센서(Extrinsic or Hybrid Sensors)

Fiber를 통해 들어온 빛이 광 modulator에서 환경적인 영향으로 변하고 이것을 fiber 끝에서 검

출기로 측정하는 형태. 대부분 빛의 강도 변화로서 환경변화를 측정한다. 환경적인 요소란 광섬유

속을 지나가는 빛에 영향을 주는 진동, 압력, 습도, 화학 또는 물리적인 인자와 같은 모든 것을

포함한다.

(b) 내인성 센서(Intrinsic or All Fiber Sensors)

광 modulator가 없이 순수 fiber 만으로 이루어진 센서들이다. 원리는 외인성 센서와 같이 광섬

유를 지나가는 빛의 양을 측정한다. 위와 크게 다른 것은 광의 spectrum의 변화가 주종을 이룬다.

※ 스펙트럼: 여러 파장이 섞여 있는 빛을 분리하여 보는 것. 예를 들면 햇빛을 프리즘에 놓으면

7 가지 색으로 분리되는 데 이것을 햇빛의 스펙트럼이라 한다.

Optic-fiber 센서

fiber 센서는 그 검출원리에 따라 여러 가지로 구분하여 설명할 수 있다. 세분하면 다음과 같다.

68

- 빛의 강도(intensity) 변화

- 위상각(phase)의 변화

- 주파수(frequency) 변화

- 편광(polarization)

- 스펙트럼의 내용(Spectral contents)

여기서는 빛의 강도를 측정하는 센서와 빛의 내용의 변화를 측정하는 스펙트럼 센서들로 크게 나

누어 소개한다.

(a) 빛 강도(Intensity) 감지센서

어떤 물질을 통과하고 난 다음의 빛의 강도는 Beer-Lambert 법칙에 의해 감소한다. 즉

o

xI I e

여기서 oI 는 처음 보낼 때의 빛의 강도이고 I 는 측정하고자 하는 물질을 통과하고 난 다음의 빛

의 양이다. 그리고 는 감쇄계수 또는 흡수계수라 하여 물질마다 갖고 있는 고유한 값이며 x 는

빛이 통과한 거리이다. 이 원리를 이용하여 만들어진 센서들을 특히 역학센서(mechanical

sensors)라 하여 온도, 습도, 압력, 진동 또는 위치와 같은 것을 재는 데 유용하게 사용된다.

(1) Closure Sensor

두 fiber 끝이 가깝게 붙어 있고 그 사이에 gap을 형성하

는 외인성 센서(extrinsic sensor)이다. 이 센서는 fiber

gap에 측정하고자 하는 물질을 놓고 Beer-Lambert 법칙

에 의한 빛의 흡수강도로서 물질의 변화나 특성을 찾아낸

다. 예로서 gas chamber 내에 이러한 센서를 설치할 경우

chamber 내의 여러 변화를 알아 낼 수 있다.

다음 그림은 당 또는 콜레스테롤과 같은 피 속 물질의 농도를 측정하는 장치이다. 이 방법을 사용

했을 경우 개인 소지가 가능한 소형장비가 될 수 있고 이러한 구조의 센서를 이용하면 시료 사용

량은 마이크로 그람 또는 nanogram 정도면 충분하다. 따라서 현재 병원에서 사용하는 비싼 시료

값의 백분의 일 이하의 비용으로 효과적인 측정을 할 수 있다.

69

(2) 진동 센서(Vibration Sensor)

두 개의 평행한 fiber 끝에 외부의 진동이나 압력에 민감하게 반응하는 거울을 갖는 센서로, 나오

는 빛의 강도는 외부에서 주는 영향과 선형관계가 되도록 만들어 진다.

(3) 위치변화 센서(Translation sensor)

검출기로 이루어진 출력 단은 입력의 위치에 비례하도록 되어 있다. Fiber를 통해 한 선으로 들어

오는 빛의 위치가 변하면 그 변한 위치에 놓여 있는 검출기가 빛을 감지함으로써 본래의 위치로

부터 변한 위치를 찾게 하는 구조를 갖고 있다. 이 아이디어를 확장해서 상용화된 센서들이 많이

있는 데, 그 대표적인 것으로는 회전위치 센서(rotary position sensor)와 선형 위치센서(Linear

position sensor)를 들 수 있다.

위치센서를 사용하는 이유: 자연으로부터 오는 전자기파에 장비가 간섭을 받는 일이 없으므로 안

전하며 그에 따른 차폐무게와 비용을 상당히 줄일 수 있다.

- 비행기의 방향타나 보조날개

- 캬브레이터의 조절판과 자동기아 변속기

상업적으로 나와 있는 위치 또는 전이센서의 예로 회전 위치센서(rotary position sensor)는

reflectance patches 의 코드 판(code plate)을 갖고 있고 각 코드는 고유한 위치를 나타낸다.

선형 위치센서(Linear Position Sensor)

분할다중 송신(WDM)방식: LED에서 나온 광을 WDM에서 파장 별로 분리하여 인코더 카드로

전송하고 다시 카드 위의 patch에서 반사되어 돌아온 신호를 파장에 따라 검출기가 분리해서 읽

어내는 구조를 갖고 있다. 그림에서 검은 부분은 반사도가 큰 patch이고 빈 공간은 반사도가 낮

은 patch이다. 반사 신호는 재결합하여 고유 검출기에서 읽혀 질 수 있도록 두 번째 WDM에서

다시 분리된다.

70

시간 다중분할(Time Division Multiplexing) 방식: 빛은 펄스형태로 보내지고 다중 신호를 보내

는 fiber들로 분리된다. 각 fiber들은 인코더 판으로부터 돌아온 신호를 분리하는 지연라인(delay

line)을 갖도록 배열된다.

(4) 전반사를 이용한 센서들

아래 그림처럼 광섬유를 지나온 빛이 끝 면에서 임계각 이상이 되면 그 빛은 공기 밖으로 나가지

못하고 다시 되돌아온다. 측정은 되돌아온 빛과 처음 보낸 빛의 강도 변화로서 경계면에 어떤 일

이 일어나고 있는지를 알 수 있다.

사용범위: 진동, 압력, 수위(liquid level)

액체 높이 감지센서(Liquid level sensor): 끝 면은 임계각 보다 크게 경사를 이루고 있다. 만일

그 면이 공기보다 굴절률이 큰 어떤 액체에 닿으면 빛은 그 액체 속으로 굴절하게 되고 되돌아오

는 빛은 거의 없을 것이다.

사용범위: 황산이나 염산처럼 맹독성과 부식성을 갖는 물질의 높이를 조절하는 센서로 사용.

마이크로벤드센서

Fiber는 임계각을 넘지 않도록 굽은 반경이 잘 가공된 치구

사이에 장치되어 있다. 만일 이장치를 진동이나 압력 또는

온도에 의해 변화가 일어나면 그 치구는 변하게 되고 그때

장치된 fiber는 임계각을 넘게 되어 빛의 손실이 일어난다.

(b) 스펙트럼을 이용한 센서(Spectral Sensors)

주위 환경으로 영향을 받은 빛 파장의 내용을 분석함으로써 상태를 알아내는 원리를 갖고 있다.

fiber는 일정한 파장을 가진 빛을 보내는 것이기 때문에 스펙트럼을 분석하는 것은 가장 보편적인

방법이므로 그 응용은 거의 무궁무진하다. 따라서 기계, 전자, 건축, 의학 등 모든 분야에 걸쳐 폭

넓게 사용된다. 그 응용 원리로는 다음과 같은 것들이 있다.

- 흑체복사(Blackbody Radiation)

- 형광(Fluorescence)

- Etalon

- Dispersive Gratings

71

(1) 흑체복사 센서(Blackbody Radiation Sensors)

이 센서는 흑체복사에 fiber 센서를 삽입하고 그로부터 나오는 광을 렌즈로 집속하여 좁은 밴드

필터를 통과한 지정된 파장의 강도가 온도에 비례하도록 설계되어 있다. 용광로와 같은 고온을 재

는데 유용하다.

(2) 흡수 스펙트럼 센서

Fiber의 끝에 검출부가 있어 어떤 특수 스펙트럼을 흡수한다. 그 흡수 곡선은 온도나 압력에 비

례하도록 설계되어 있다.

(3) 형광 센서(Fluorescent Sensors)

Fiber 내에 어떤 특수 물질을 넣고 외부와 반응하여 빛이 나오게 하도록 설계된 것으로 의학, 화

학 또는 생명공학에서 물질의 분석에 유용하게 사용될 수 있는 센서이다. 일반적으로 측정하고자

하는 물질의 양은 대단히 적기 때문에 형광센서들은 이것에 잘 적응하도록 설계되어 있다. 특히

이 분야는 의학용으로 크게 각광을 받으면서 급진적인 발전을 하고 있다. 현재 개발되고 있는 의

학용 센서들을 소개하면

-페니실린 바이오센서(Penicillin Biosensor)

-증발 유기체 화합물 검출 센서(Volatile organic

compound monitoring sensor)

- 산도 측정 (Ph sensor)

- 인 화합물 검출 (Phosphorous detection sensor)

- 당 검출 (Glucose sensor)

- 콜레스테롤 검출(Cholesterol sensor)

- 군의 화학 작용제 검출(Chemical agent sensor)

등등 수많은 센서들이 연구 중이거나 개발되어 시판 중에 있다. 우측 그림은 대표적인 화학물질

분석용 센서로 fiber 끝에 에취(etch)된 형광물질의 팊을 갖고 있다. 이것은 외부와 반응하여 얻

어진 형광의 양을 가지고 물질의 농도, 온도, 점도 및 습도는 물론이고 화학성분까지도 분석할 수

있는 능력을 갖는다.

(4) Grating Sensors

72

광 통신 시 fiber들은 장시간에 걸쳐 불순물로 들어 있는 게르마니움이 Ge-Si의 복합물을 만들고

한곳에 모여 굴절률이 주위와 다르게 됨으로써 통신을 방해한다. Grating 센서는 fiber 내의 이러

한 현상으로부터 연구가 시작되었고 Strain Sensor로 가장 각광받는 분야가 되었다. 즉 관찰이 요

구되는 구조물에 이 센서를 묻어 두고 grating이 팽창하거나 수축할 때의 변화를 측정하여 장기

적인 안전대책을 세울 수 있다. 예로서 1300nm 에서 작동하는 grating의 경우 파장 변화는

microstrain당 약 310 nm

정도이며, 현재는 fiber 내에 grating하는 기술 자체가 하나의 연구 분

야이다. Ge나 Boron이 많이 들어 있는 fiber를 만들고 그 위에 간섭된 레이저를 쪼이면 광이 있

는 곳에만 굴절률이 다른 무늬가 생긴다.

(c) 광섬유 간섭 센서(Interferometric sensors)

기본적으로 빛의 간섭현상을 이용한다. 여기에 속하는 센서들은 다음의 상업용 또는 연구용 장비

에 적용하는 원리들을 사용하고 있다.

- Sagnac Interferometers

- Ring Resonator

- Mach-Zehnder Interferometers

- Michelson Interferometers

응용분야

- 운항 및 항공 시스템(Navigation Systems)

-인공위성 추적 장치(Pointing and tracking of Satellite)

-항공과 미사일의 내부측정 장치

-유도장치(Guidance Systems)

- 광산, 터널 작업 장치

- 자동조정 장치(Automatic Control Systems)

이들의 응용 원리는 빛의 간섭(interference)과 회절(diffraction) 특성을 이용한다.

73

Fiber 간섭 센서의 종류

(1) Sagnac Interferometer

Beam Splitter에 의해 입사하는 광은 둘로 나뉘어지고 서로 반대방향으로 진행하여 검출기에 각

각 들어온다. 이때 두 빛은 행로 차가 발생하여 검출기에서 간섭을 하고 그 간섭의 형태를 측정하

여 여러 가지 환경변화를 알아내는 구조를 갖고 있다.

측정원리: 그림처럼 fiber 코일이 시계방향으로 돈다면 Beam Splitter에 갈라진 빛은 각각 시계방

향과 반 시계방향으로 진행하게 될 것이다. 이때 검출기에 들어오는 광의 위상 차는 회전속도에

비례하는 값으로 나타난다. 즉

반 시계방향으로 걸린 시간: 1

8

2

Rt

c R

시계방향으로 걸린 시간: 2

8

2

Rt

c R

시간차:

2

1 2 2

8Rt t t

c

시간차에 의한 간섭무늬의 이동 수: 4A

Nc

여기서 A 는 fiber로 둘려 쳐진 면적, c 는 광속, 는 빛의 파

장, 는 각속도이다. 따라서 이런 종류의 센서는 회전위치를 잴 수 있을 뿐만 아니라 회전속도

를 재는 곳에서도 유용하게 사용될 수 있다.

이 센서에 해당하는 대표적인 응용분야는 광 자이로(optic gyro)이다. 이들은 자동차나 비행기에

사용하는 고가의 기계적인 자이로 보다 더 높은 감도와 신뢰도를 가지며 가격 면에서는 십분의

일 이상으로 싸다. 이 밖에도 Sagnac에 기초한 센서들은 음향에 반응하는 센서가 필요한 곳에 또

는 strain과 같이 힘이 천천히 변하는 곳에서도 사용이 가능하다.

아래 그림은 열린 루프 자이로(open loop gyro)로 o0.01 to 100 / h 의 변화를 측정할 수 있는 감

도를 갖는다. 한편 두 번째 그림은 닫힌 루프 자이로(closed loop gyro)로 주파수 이동장치

(frequency shifter)를 사용하고 내부적으로 위상변화 장치(phase shifter)를 갖고 있음으로써 보

다 정교한 변화를 감지해 내기 때문에 자동항법장치와 같은 곳에 사용된다.

74

(2) Mach-Zehender 및 Michelson 간섭계

이 간섭계들의 가장 큰 장점은 fiber로만 이루어져 있기 때문에 대단히 간편하게 만들 수 있고 구

조적으로 자유로우며 높은 감도를 갖는 것이다. 다음 그림은 fiber로만 이루어진 다양한 형태의

간섭계이며, 그 중 우측 그림은 전형적인 Mach-Zehender 간섭계로 transducer 내의 fiber를 통

과한 두 빛이 그 transducer 내의 어떤 영향으로 검출기에서 위상 차로 나타난다.

Michelson 간섭계는 fiber 끝에 있는 반사경으로부터 빛이 검출기로 되돌아와 간섭을 일으킨다.

이러한 간섭무늬로 온도, 압력, 위치, 진동 등 다양한 물리적 및 화학적 특성을 분석해 낼 수 있

는 고성능의 센서로 사용된다.

(d) 종합응용 분야(Total applications)

위에 열거한 여러 종류의 센서들을 종합하여 미래에는 다음과 같은 일이 일어날 것이다.

기존역학, 화학 및 의학센서의 대치

- 자동차나 비행기에서 fiber 자이로의 보편사용

- 화학센서의 다양화

- 가정에서 진단하고 치료받을 수 있는 의학센서의 등장

- 대부분의 역학센서를 광센서로 대치

- 완전한 새로운 개념의 Smart System의 센서시장 형성

(1) 통합의료 체계

가정에서 의료 센서로 잰 기록을 병원에 직접 보내고 치료받는 시스템

75

(2) Smart Manufacturing 시스템

기계 곳곳에 fiber 감지센서가 장착되어 필요한 모든 정보를 읽어내고 자동운전 및 경고를 발하는

공장의 출현

(3) Smart Constructions

건축물 건설 시 광 fiber 센서를 묻어 긴 term으로 재난 경계를 한곳에서 통합관리

5.6 Optical Systems

5.6.1 Eyes

하나의 중심 lens system을 가진 눈: 연속적 실상을 형성하는 민감한 스크린이나 망막을 가진 문

어(octopus), 일단의 거미 류(spider), 사람과 같은 척추동물(vertebrates)의 눈.

겹눈(multifaceted compound eye): 수많은 작은 field-of-view의 점으로 이루어진 mosaic

sensory image를 만들어 감지하는 눈으로 초파리(horsefly)는 약 7000, 장수잠자리(dragonfly)는

약 30,000 그리고 개미는 약 50개의 겹눈을 가지고 있다. 이것은 디지털(digital) 신호로 상을 만

드는 컴퓨터(computer)에 의해 상을 보는 것과 같다.

76

5.6.2 사람 눈의 구조

거의 구형으로 길이는 약 24mm , 폭은 약 22mm이다.

Sclera(공막): 질기고 유연한 shell을 담고 있는

젤리 같은 물질로 희고 불투명하다.

Cornea(각막): 투명하고 첫 번째의 강력한 볼록

한 요소이며, 굴절의 대부분이 air-cornea

interface에서 일어난다. 굴절률은 1.336cn .

Aqueous humor(안구 수양액): 1.336ahn 으

로 깨끗한 물 같은 액체이며 cn 와 굴절률이 비

슷하기 때문에 cornea와 aqueous humor의

interface에서 반사하는 빛은 거의 없다.

Iris(홍채): 조리개와 같은 것으로 hole이나

pupil을 통해 눈으로 들어오는 빛의 양을 조절

하는 aperture stop으로 역할 한다. 민족에 따라

눈동자의 색을 결정하는 부분이기도 하다. Iris는

근육에 의해 확장하거나 수축하여 광에 노출되는 pupil의 크기를 2 ~ 8mm 로 조절한다. 가까운

이미지를 초점에 맞추게 하는 역할도 한다.

Crystalline lens(수정체): 양파처럼 22000 개의 세밀한 층(layer)으로 이루어져 있고, 굴절률은

내부 core에서 1.406부터 밀도가 낮은 외피에서 1.386에 걸쳐있다. 정밀하게 초점을 맞추는 역

할(fine-focusing mechanism)은 이곳에서 이루어진다.

각막(cornea)과 수정체(crystalline lens)는 double-element 렌즈로 작용하며 object 초점이

15.6mm , 망막(retina) 위에 맺는 image 초점이 24.3mm 인 효율적인 복합렌즈이다.

Vitreous humor(유리체): 1.337vh

n 인 투명한 gelatinous 물질

Choroid(맥락막): 검은 층으로 혈관(blood vessels)과 melanin이 이곳에 있다. 빗겨난 광의 흡수

체이다.

Retina(망막): 붉은 다층구조 속에서 전기화학(electrochemical) 반응에 의한 빛의 흡수 체이며

여기에는 합하여 125million 정도 되는 두 종류의 광인지(photoreceptor) 세포가 있다.

(a) Rod: 직경이 약 0.002mm인 기둥모양의 세포로 고감도(high speed)의 흑백 film과 같다.

(b) Cone: 직경이 약 0.006mm로 6 ~ 7 million의 세포가 존재하며 저감도(low speed) color

film과 같고 낮은 광 수준에서는 반응이 없다(insensitive).

Blind point(맹점): 신경이 나가는 지역으로 rod나 cone같은 감지기(receptor)가 없기 때문에 감

지능력이 없는 지점이다.

정상적인 눈의 감지 범위(normal wavelength range): 390 780nm

각막을 제거하거나 다른 부위를 수술했을 때 감지 가능 범위: 310 1050nm

77

5.6.3 Eyeglasses

Dioptric power A : 초점거리의 역수, 즉 1/ fA (5.78)

Dioptric power의 unit: 1m로 단순히 D 로 쓰고 diopter라 한다.

11D 1/ m 1m (5.79)

(예) 초점거리 1m 의 converging lens: 1DA

초점거리 2m 의 diverging lens: D/ 2 A

공기 중에서 얇은 렌즈의 초점 거리 공식은

1 2

1 1 1( 1)( )n

f r r (5.80)

이므로 이것의 dioptric power는 단순히

1 2

1 1( 1)( )n

r r A (5.81)

만일 2r (우측 planar)이면

1

1

1n

r

A (5.82)

만일 1r (좌측 planar)이면

2

2

1n

r

A (5.83)

조합된 두 렌즈의 초점 공식은

1 2

1 1 1

f f f (5.84)

이므로 이것의 dioptic power는 단순히

1 2 A A A (5.85)

(예) 1 10DA 이고 2 10D A 면 0P .

렌즈의 power는 그것의 면(surfaces) power들의 합과 같다. 예로서 만일 수정체(crystalline

lens)의 power가 19D 이고 각막(cornea)이 43D 일 때 본래 교정되지 않은 눈(the intact

unaccommodated eye)의 총 power는 58.6D 이다.

근시(nearsightedness)-Negative lenses

Far point: 상(image)이 망막(retina)에 놓이게 하는 점.

근시안(Myopia): 망막(retina) 앞에 초점이 형성되는 안구로 far point는 무한대(infinity)에 있지

않고 좀더 안구에 가까이 있다. 만일 눈의 far point가 2m 라면

1 1 1 1 12m

2f

f p i

:

1 1D

2m 2 A

눈-렌즈(eye-lens)로부터 망막까지의 거리

if : 교정 렌즈의 초점거리

78

ef : 눈의 초점거리

( ). . .

( )

l e

l e

d f fb f l

d f f

(5.86)

유사하게 eye-lens를 결합한 동등한 contact lens: 1 1 1

c ef f f (5.87)

여기서 . . .f b f l

( )1 1 1 1

( )

l e

c e l e c l

d f f

f f d f f f f d

(5.88)

이에 대한 dioptric power: (1 )

lc

ld

AA

A (5.89)

원시(Farsightedness)-Positive lenses

Hyperopia: 두 번째 초점이 망막 뒤에 놓이는 눈. 이것을 교정해 주려면 positive spectacle

lens를 눈앞에 두어야 한다. 만일 원시의 near point가 125cm라면 25cm 에 있는 물체의 상을

-125cm에서 오는 것으로 만들어 주어야 한다. 따라서 초점은

1 1 1 1

1.25 0.25 0.31f

: 0.31D A

79

5.6.4 The Magnifying Glass

볼록렌즈의 경우 물체를 초점거리 안에 놓으면 눈이 허상을 바라보게 되어 물체는 크게 보인다.

Magnifying power MP 또는 angular magnification MA: near point 거리 (normal viewing

distance)의 눈에 의한 망막 image 크기에 대한 기구를 통해 보여 지는 망막 image의 크기 비.

a

u

MP

(5.90)

a : aided eye로 물체의 top 광이 만드는 각

u : unaided eye로 물체의 top 광이 만드는 각

Paraxial region에 제한한다면

tan ia a

ya a

L , tan o

u u

o

ya a

d

i o

o

y dMP

y L (5.91)

, , , 0i o oy y d L 이기 때문에 0MP . 배율공식 / /i om y y i p 를 적용하면

oidMP

pL (5.92)

또한 렌즈공식에서

1 1 1(1 )

i i

p i f p f (5.93)

80

이것을 대입하면

(1 )( )odiMP

f L (5.94)

( )i L l 이므로

(1 )( ) [1 ( )]o od dL lMP L l

f L L

A (5.95)

이 식은 특별히 세 가지 경우에 관심이 있다.

(a) l f : 0MP d A (5.96)

(b) 0l : 1

( )oMP dL

A (5.97)

만일 oL d 라면 (5.96)은 1oMP d A (5.98)

0 25cmd 를 택하면 0.25 1MP A

L 할 때에 MP , 또한 l 할 때에 MP

(c) p f 일 때에 virtual image는 infinity에 위치하므로 이것은 L조건에 해당한다. 즉

L : oMP d A (5.99)

로 l 의 모든 적용 가능한 값에 대해 성립한다.

Eyepieces or ocular

Eyepiece or ocular(접안렌즈): a visual instrument, 기본적으로 확대경(magnifier).

이것은 실제 사물을 보는 것이 아니라 사전(preceeding) 렌즈 시스템에 의에 형성된 중간단계

(intermediate)의 상을 본다. 이러한 장치로는 spotting scope, compound microscope, telescope,

binocular등이 있다.

Ocular는 intermediate image의 visual image를 제공하여야 함으로 정상적인 이완된 눈

(a normal, relaxed eye)으로 편안하게 볼 수 있어야 한다. 더욱이 이것은 exit pupil이나 eye

point의 중앙에 위치하여야 한다. 보통 eye point는 마지막 표면으로부터 최소 10mm 정도 되는

편안한 장소에 놓이게 한다. 접안렌즈의 배율(ocular magnification)은 다음과 같다.

oMP d A 또는 250mm/MP f

81

Huygens ocular: 눈에 근접되어 있는 렌즈를 eye-lens라 하며 microscope에 많이 사용한다.

ocular 속의 첫 번째 렌즈는 field-lens이다. eye-lens로부터 eye point까지의 거리를 eye relief라

하고 3mm정도이다. 이 ocular는 들어오는 광이 eye-lens에 대해 가상(virtual) object를 형성하

기 위하여 수렴 광을 요구한다.

Ramsden eyepiece: principal focus는 field-lens앞에 있다. 중간 상(intermediate image)은 접근

이 쉽도록 principal focus에 나타나며 그곳에 십자선(reticle)을 긋고 정확한 scale 또는 각으로

나누어진 원형 grid를 담는다. 십자선과 중간상이 동일 평면에 있기 때문에 동시에 둘은 초점이

잘 맞추어 진다.

Kellner eyepiece: 이것은 wide-field telescope에 가장 일반적으로 사용되는 것으로, 상의 질

(image quality)에서 일정한 개선을 가져오며 eye relief는 위의 두 device의 사이에 있다.

이밖에

Orthoscopic eyepiece: a wide field, high magnification, long eye relief ( 20mm )

symmetrical(Plossl) eyepiece: similar to orthoscopic ocular but superior to it

Erfle eyepiece: the most common wide-field (o30 ). 모든 abberations를 잡아주고 상대적으로

비싸다.

연습문제