CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTACICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

O que você deve saber sobre

A inscrição de ângulos em circunferências possibilita estender a aplicação das relações trigonométricas, obtidas inicialmente para os ângulos agudos no triângulo retângulo, a qualquer ângulo compreendido entre 0o e 360o. Ampliamos, assim, nosso conhecimento sobre triângulos não retângulos.

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I. Ângulos e arcos

Na figura abaixo, o ângulo está inscrito em uma circunferência, na qual o vértice V coincide com o centro. Esse ângulo é denominado central.

A partir da figura, vemos que a razão entre o comprimento do arco e a medida do respectivo raio da circunferência é constante.Essa constante indica a medida do ângulo central, em radianos.

I. Ângulos e arcos

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Sendo K uma constante real.

K

VBBA

VBBA

VBAB

"

""med'

''medmed

O arco correspondente a uma volta completa,

numa circunferência qualquer, mede:

I. Ângulos e arcos

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Correspondência de alguns valores de ângulos em graus e radianos:

Tal correspondência é feita a partir de uma regra de três simples:

360º = 2 rad.

I. Ângulos e arcos

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II. O ciclo trigonométrico

• É uma circunferência de raio unitário e cujo centro coincide com a origem de um plano cartesiano.

• OBC é retângulo em B, e a hipotenusa OC mede 1 (raio da circunferência unitário). As coordenadas (xC, yC) do ponto C são

numérica (e respectivamente) iguais a cos e sen . • Os sinais de seno e cosseno dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico dependem do quadrante no qual a extremidade do arco associado está localizada.

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II. O ciclo trigonométrico

1. Como vimos, se 0o < < 90o, o ponto extremo pertenceao primeiro quadrante, então sen e cos são positivos.

2. Se 90º < < 180o, então sen > 0 e cos < 0.

3. Se 180º < < 270o, então sen < 0 e cos < 0.

4. Se 270º < < 360o, então cos > 0 e sen < 0.

Note ainda que:

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III. A tangente no ciclo trigonométrico

Sobre a circunferência trigonométrica, tomamos um eixo paralelo a Oy e que passa pelo ponto A(1, 0). Todos os pontos sobre esse eixo serão do tipo T(1, t).

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Círculo TrigonométricoClique na imagem abaixo para ver a animação.

A tg não é limitada, e tg e tg 3 não existem, pois, quando se 2 2

prolonga o raio do ciclo trigonométrico associado a esses ângulos centrais, esse prolongamento não cruza o eixo das tangentes.

O sinal da tangente dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico depende do quadrante no qual o ponto T, associado ao ângulo α, está localizado:

III. A tangente no ciclo trigonométrico

1. Se 0o < < 90o ou 180o < < 270o, a coordenada t estará

localizada no semiplano positivo, portanto a tg é positiva.

2. Se 90o < < 180o ou 270o < < 360o, a coordenada t estará

localizada no semiplano negativo, então a tg é negativa.

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IV. Outras relações trigonométricas

No quadro, os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecantee cotangente dos pontos críticos da 1a volta (0o, 90º, 180º, 270º e 360º).

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(Unesp) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta do círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: E

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(Unesp) Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que:

I. X, Y e Z são colineares;II. as retas WX e YZ são perpendiculares;III. X é um ponto exterior ao segmento YZ;IV. a distância YZ é de 90 cm;V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45º e 60º.

4EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

^ ^

RESPOSTA:

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(UEG-GO) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78º oeste e 52º oeste.

Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6.400 km, qual é a distância entre essas duas cidades?

6EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

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(Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a

uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen = , calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou exatamente para 2, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol.

10EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

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53

(UFC-CE)

Calcule o valor numérico da expressão:

em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo.

11EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

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(UFG-GO) A figura ao lado representa uma quadra retangularinscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.

Nessas condições,a) expresse a área da quadraem função do ângulo ;b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima.

13EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

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Determine:a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeue também quando se encontrano apogeu.b) os valores de , quando aaltura h do satélite é de 1.580 km.

16EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(Unesp) A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida , com 0º ≤ ≤ 360º.

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