CICLO TRIGONOMÉTRICO

MATEMÁTICAProf. Leonardo

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CICLO TRIGONOMÉTRICO1. Arcos e ângulosConsiderando uma circunferência de centro O e raio R e dois pontos distintos A e B, os quais a dividem em duas partes.

A

B

O

X

Os pontos A e B são as extremidades do arco AXB.O ângulo AOB é chamado de ângulo central, pois o seu vértice está no centro da circunferência.

Temos que:med (AOB) = med (AXB)

2. Medidas de arcos e ângulos

Para se medir arcos e ângulos usaremos as unidades grau e radiano.

I. Grau: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada um desses arcos mede 1º.

II. Radiano: Um arco mede 1 radiano(rad) se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência.

3. Comprimento de um arco

Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa circunferência de raio R, temos que:

radR

Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:

radouradπ 14,3180180

Exemplos:

1. Transformar em radianos:a) 120º b) 315º

rad32

180.120x

x120rad180)a.1

rad47

180.315x

x315rad180)b.1

2. Transformar em graus:

rad3)c

rad45)b

rad52)a

725

180.2rad52)a.2

2254

180.5rad45)b.2

603

180rad3)c.2

3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? 14,3Adote

m9426.157:serádistânciaa,voltas6dáatletaoComo

.m157C25.14,3.2Colog,R2Cé

nciacircunferêdaocomprimentO.R2Dpois

,m25Rentão,m50DSe

4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu comprimento é 31,4 m. 14,3Adote

m514,3.24,31R,Logo

2CRentão ,R2C Como

5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio 60 cm. 14,3 Adote

cm1,47L14,31515L 604Lentão,R.LComo

.4,sejaou,rad4obtemos radianosem45ndoTransforma.5

6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?

8091804 então ,rad9

4RL ,Logo

.raio de cm9 de nciacircunferê numa 4C22R.2C ocompriment

de arco um em dotransforma é aro O.6

3. As funções Seno, cosseno e Tangente no Ciclo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário (R = 1 u.c.) na qual se tem como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer com origem dos arcos.

Este ciclo será centrado no plano cartesiano de modo que o eixo das abcissas passe pelo ponto A.

O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0).Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.

A(1,0)

+

_

B(0,1)

A’(- 1,0)

B’(0,- 1)

0R = 1

Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte vale 90º ou .rad2

Qº4x360x270seQº3x270x180se

Qº2x180x90seQº1x90x0se

:que temos ,ciclono qualquer arco um x Sendo

1º Q2º Q

3º Q 4º Q

0º

90º

180º

270º

360º

4. Arcos côngruosDois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico.Por exemplo: 1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º.

Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos.Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois

30º + 360º = 390º, 30º + 2.360º = 750º, 30º - 360º = - 330º30º - 2.360º = - 690º

Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão

ZK,K.36030x

.,360cosexp,

ZKKαxporeleacôngruosarostodosressar

sepodegrausαmedearcoumse

.,2cosexp

,

ZKπKαxporeleacôngruosarostodosressar

sepoderadianosαmedearcoumse

3600mindet

αexdeprincipalaçãoeraαsendo

παexdeprincipalaçãoeraαsendo

20mindet

5. Determinação do quadrante.Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual

eles se encontram.

rad316)frad2

25)e

rad437)d2535)c

1190)b752)a

Exercícios:1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos abaixo:

Zk,k6x)a

)Zk.(4k8x)d

)Zk(,.k24x)c

Zk,2k32x)b

2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:

rad419)d rad7

45)c 2580)b 1910)a

3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e 130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.

)radianosem(,2k3613xe2k6xe )grausem(,k36065x

ek36030x sãocosardessesgeralressãoexpatotanPor .65mede AEarcooe30medeADarcoo

então),E(65éACdemetadeae),D(30éABdemetadeaComo

4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a 150º ?

1230,870,510,150x,totanPor.15001590x4k

1230x3k870x2k510x1k150x0k

paraentão,k360150x

FIM !!!