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Ciclo Trigonométrico Ciclo Trigonométrico e Razões e Razões Trigonométricas Trigonométricas

Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

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Page 1: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Ciclo Trigonométrico e Ciclo Trigonométrico e Razões TrigonométricasRazões Trigonométricas

Page 2: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Conceitos Conceitos anterioresanteriores

Page 3: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Círculo TrigonométricoCírculo TrigonométricoO O ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por um é representado por um

círculocírculo que apresenta que apresenta raioraio igual a igual a 11 e cuja e cujacircunferênciacircunferência é é orientadaorientada..

xx

yy

Page 4: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

Procuramos a localização de um ângulo, em

ordem crescente, no sentido anti-horário.

Page 5: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

O que significa a O que significa a representação de um representação de um

ângulo negativoângulo negativo?? Significa que a Significa que a localizaçãolocalização dele deve dele deve

ser procurada no ser procurada no sentidosentido contrário contrário ((horáriohorário).).

Exemplos:Exemplos:

xx

yy

º30

º30

Page 6: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Determinação de Determinação de quadrantesquadrantes

As As retasretas xx e e yy dividemdividem o o círculocírculo trigonométricotrigonométrico

em em 44 partes, chamadas partes, chamadas quadrantesquadrantes..

4º 4º QQ

3º 3º QQ

2º 2º QQ

1º 1º QQ

Os quadrantes Os quadrantes apresentam sempre a apresentam sempre a

mesma posição no mesma posição no círculo trigonométrico.círculo trigonométrico.

Page 7: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

CicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

Page 8: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Unidades de medidas de Unidades de medidas de um ânguloum ângulo

GrauGrau

Exemplos: 30º, 60º, Exemplos: 30º, 60º, 180º180º

rad2

,rad5

4,rad

4

3 RadianoRadiano

Exemplos:Exemplos:

Page 9: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Como passar de grau Como passar de grau para radiano?para radiano?

xx

yy

º180

2º90

2

3º270

2º360

Basta fazer Basta fazer umauma

regra de trêsregra de três,,

sabendo que:sabendo que:º180

Page 10: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo:Exemplo:

Passar 30º para radianos.Passar 30º para radianos.

º180

º30x

6º180

º30

30º180

x

x

6 30º Logo,

Page 11: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Como passar de radiano Como passar de radiano para grau?para grau?

Ou fazemos uma Ou fazemos uma regra de trêsregra de três, ou , ou procedemosprocedemos

como no exemplo abaixo:como no exemplo abaixo:

º2702

180 . 3

2

180 . 3

grau. para rad 2

3Passar

90º

Page 12: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

Page 13: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

1) Apresente o quadrante onde estão 1) Apresente o quadrante onde estão localizadoslocalizados

os seguintes arcos:os seguintes arcos:

280º- c) 5

7 b) 138º a)

Page 14: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

quadrante 1º 280º- c)

quadrante 3º 252º5

180 . 7

5

7 b)

quadrante 2º 138º a)

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

º138

5

7

º280

Page 15: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Arcos ou Ângulos Côngruos Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes)(Congruentes)

Ângulos côngruosÂngulos côngruos são são ângulosângulos que que apresentam aapresentam a

mesma extremidademesma extremidade e número de e número de voltas voltas diferentesdiferentes..

Exemplo:Exemplo:

...º960º600º240

...º780º420º60 ...º840º480º120

...º1020º660º300

Page 16: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Os Os ângulos côngruos ângulos côngruos que distam que distam 60º60º

do ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são:

ouou

...º780º420º60

º60º360. K

Page 17: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Fórmula GeralFórmula GeralPara medidas em Para medidas em grausgraus..

Para medidas em Para medidas em radianosradianos..

K K número de voltas número de voltas

menor determinação positivamenor determinação positiva

Kº.360

K.2

Page 18: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

congruênccongruênciaia

número de número de voltas voltas diferentesdiferentes

mesmamesmaextremidaextremida

dededefiniçãdefiniçãoo

K.2

Kº.360

fórmulafórmulageralgeral

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

Page 19: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Menor Determinação Menor Determinação PositivaPositiva

Menor determinação positivaMenor determinação positiva é o é o ânguloângulo que que

apresenta o apresenta o menor módulomenor módulo em um conjunto em um conjunto dede

arcos côngruos.arcos côngruos.

Exemplo:Exemplo:

A menor determinação positiva é 60º.A menor determinação positiva é 60º.

...º780º420º60

Page 20: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Para Para calcular a MDPcalcular a MDP de um de um ângulo, bastaângulo, basta

dividirdividir esse ângulo esse ângulo por 360ºpor 360º. O . O restoresto dessadessa

divisão é a divisão é a MDPMDP..

Exemplo:Exemplo:

A MDP de 1117º é 37º. A MDP de 1117º é 37º.

Logo, a fórmula geral desses arcos é Logo, a fórmula geral desses arcos é

11111177

3636003333

77

º37º360 K

Page 21: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Menor determinação Menor determinação negativanegativa

MDN = MDP – 360ºMDN = MDP – 360º

Exemplo:Exemplo:

Menor determinação negativa de 1117ºMenor determinação negativa de 1117º

MDP = 37ºMDP = 37º

MDN = 37º - 360º = -323ºMDN = 37º - 360º = -323º

Page 22: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

2) Apresente a fórmula geral, em 2) Apresente a fórmula geral, em graus,graus,

dos arcos côngruos a :dos arcos côngruos a :5

35

Page 23: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

º12605

180 . 35

5

35

12612600

363600331818

00

º180º.360 K

Page 24: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Lembrando:Lembrando:

Page 25: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Seno de um arcoSeno de um arco

''1

'OyMx

Mx

hipotenusa

opostocatetosena

sensen

Page 26: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Dependendo do quadrante, Dependendo do quadrante, o o sinalsinal do do senoseno

pode ser pode ser positivo ou positivo ou negativonegativo..

Page 27: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º330º

2

1º30 sen

2

1º150 sen

2

1º210 sen

2

1º330 sen

30º30º150150ºº

210210ºº

330330ºº

sensen

Page 28: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º315º

2

2º45 sen

2

2º135 sen

2

2º225 sen

2

2º315 sen

45º45º135135ºº

225º225º 315º315º

sensen

Page 29: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

sensen

60º60º120º120º

240º240º 300º300º

Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º300º

2

3º60 sen2

3º120 sen

2

3º240 sen 2

3º300 sen

Page 30: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: 3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: 9

122

9

4sen - d)

9

5sen- c)

9

4sen b)

9

5sen a)

Page 31: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

280º 2440º MDP

º24409

180 . 122

9

122

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

º280

º809

180 . 4

9

4

º1009

180 . 5

9

5

24424400

363600662828

00

D. Letra 9

4sen

9

122sen Logo,

Page 32: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Cosseno de um arcoCosseno de um arco

'1

'cos Ox

Ox

hipotenusa

adjacentecatetoa

coscos

Page 33: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Dependendo do quadrante, o Dependendo do quadrante, o sinalsinal do do cosseno cosseno

também pode ser também pode ser positivo ou positivo ou negativonegativo..

Page 34: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º330º

2

3º30cos 2

3º150cos

2

3º210cos

2

3º330cos

30º30º150150ºº

210210ºº

330330ºº

sensen

coscos

Page 35: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º315º

2

2º45cos

2

2º135cos

2

2º225cos 2

2º315cos

45º45º135135ºº

225º225º 315º315º

sensen

coscos

Page 36: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º300º

2

1º60cos

2

1º120cos

2

1º240cos 2

1º300cos

sensen

60º60º120º120º

240º240º 300º300º

coscos

Page 37: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Importante saber!Importante saber!

xx

yy

º180

2º90

2

3º270

2º360

1 0º cos

0 0ºsen

0 270º cos

1- 270ºsen

1 180º cos

0 180ºsen

0 90º cos

1 90ºsen

Page 38: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

2

3 e)

2

13 d)

0 c)

3- b)

2- a)

:a igual é 6

29 cos 3720ºsen somaA SE) -(Unit 4)

Page 39: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

2

3 60ºsen 120ºsen

º8706

180 . 29

6

29

c letra02

3

2

3

6

29 cos 3720ºsen

37237200

36360010101212

00

870870 363600221515

002

3- 30º cos - 150º cos

Page 40: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

324 e)

24-3 d)

423 c)

23-4 b)

423 a)

:é º3015cos2-m

1m

sentença a satisfaz que m real número O CE) -(Unifor 5)

Page 41: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

2

2- 45º cos- 135º cos

c. Letra

4232

826

24

424224

22

22

22

222

m

m

m

30130155

363600 881313

55

22

222

22222

22222

22222

2

2

2

1

m

m

mm

mm

m

m

Page 42: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Tangente de um arcoTangente de um arco

adjacentecateto

opostocateto

a

asentga

cos

xx

yy

sen sen ++

cos +cos +

tg +tg +sen -sen -

cos +cos +

tg -tg -

sen -sen -

cos -cos -

tg +tg +

sen sen ++

cos -cos -

tg -tg -

Page 43: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

x?cos o valequanto , 1,5 x tg

e quadrante 1º do é não x Se 6)

Page 44: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

10

15 1,5 x tg

13

132

13.5

1310

13

13

135

10cos

135

10cos

x

x

135

325

100225

1015

2

2

222

y

y

y

y

xx

1155

1100

yy

Page 45: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Cotangente de um arcoCotangente de um arco

asen

acos

a tg

1a cotg

3

4xtg

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 2º quadrante. Se Sendo um arco x do 2º quadrante. Se , ,

entãoentão

Apresenta o mesmo sinal da tangente!

4

3xtg

Page 46: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 3º quadrante. Se Sendo um arco x do 3º quadrante. Se , ,

entãoentão

Secante de um arcoSecante de um arco

a cos

1a sec

5

3cos x

Apresenta o mesmo sinal do cosseno!

3

5sec x

Page 47: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 4º quadrante. Se Sendo um arco x do 4º quadrante. Se , ,

entãoentão

Cossecante de um arcoCossecante de um arco

asen

1a cossec

5

4cos x

Apresenta o mesmo sinal do seno!

4

5seccos x

Page 48: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

cossecossecc

RazõesRazõesTrigonométricTrigonométric

asassese

cc

sensen

cotgcotgtgtgcoco

ss

congruênccongruênciaia

número de número de voltas voltas diferentesdiferentes

mesmamesmaextremidaextremida

dededefiniçãdefiniçãoo

K.2

Kº.360

fórmulafórmulageralgeral

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

Page 49: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

ExercícioExercício

? tgE ? cossec valequanto

,11

60 cotg e

2

3 Se 7)

Page 50: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

SoluçãoSolução

11

61 cossec

61

11sen

sen

1 cossec

60

11 x tg

61

3721

3600121

6011

2

2

222

x

x

x

x

1111

6600

xx

60

11 tg

11

60 cotg

Page 51: Ciclo trigonométrico e razões trigonométricas

BibliografiaBibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Dante, Luiz Roberto – Matemática

Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.

Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241.241.

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