Ciclo Trigonométrico e Ciclo Trigonométrico e Razões TrigonométricasRazões Trigonométricas

Conceitos Conceitos anterioresanteriores

Círculo TrigonométricoCírculo TrigonométricoO O ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por um é representado por um

círculocírculo que apresenta que apresenta raioraio igual a igual a 11 e cuja e cujacircunferênciacircunferência é é orientadaorientada..

xx

yy

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

Procuramos a localização de um ângulo, em

ordem crescente, no sentido anti-horário.

O que significa a O que significa a representação de um representação de um

ângulo negativoângulo negativo?? Significa que a Significa que a localizaçãolocalização dele deve dele deve

ser procurada no ser procurada no sentidosentido contrário contrário ((horáriohorário).).

Exemplos:Exemplos:

xx

yy

º30

º30

Determinação de Determinação de quadrantesquadrantes

As As retasretas xx e e yy dividemdividem o o círculocírculo trigonométricotrigonométrico

em em 44 partes, chamadas partes, chamadas quadrantesquadrantes..

4º 4º QQ

3º 3º QQ

2º 2º QQ

1º 1º QQ

Os quadrantes Os quadrantes apresentam sempre a apresentam sempre a

mesma posição no mesma posição no círculo trigonométrico.círculo trigonométrico.

CicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

Unidades de medidas de Unidades de medidas de um ânguloum ângulo

GrauGrau

Exemplos: 30º, 60º, Exemplos: 30º, 60º, 180º180º

rad2

,rad5

4,rad

4

3 RadianoRadiano

Exemplos:Exemplos:

Como passar de grau Como passar de grau para radiano?para radiano?

xx

yy

º180

2º90

2

3º270

2º360

Basta fazer Basta fazer umauma

regra de trêsregra de três,,

sabendo que:sabendo que:º180

Exemplo:Exemplo:

Passar 30º para radianos.Passar 30º para radianos.

º180

º30x

6º180

º30

30º180

x

x

6 30º Logo,

Como passar de radiano Como passar de radiano para grau?para grau?

Ou fazemos uma Ou fazemos uma regra de trêsregra de três, ou , ou procedemosprocedemos

como no exemplo abaixo:como no exemplo abaixo:

º2702

180 . 3

2

180 . 3

grau. para rad 2

3Passar

90º

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

ExercícioExercício

1) Apresente o quadrante onde estão 1) Apresente o quadrante onde estão localizadoslocalizados

os seguintes arcos:os seguintes arcos:

280º- c) 5

7 b) 138º a)

SoluçãoSolução

quadrante 1º 280º- c)

quadrante 3º 252º5

180 . 7

5

7 b)

quadrante 2º 138º a)

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

º138

5

7

º280

Arcos ou Ângulos Côngruos Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes)(Congruentes)

Ângulos côngruosÂngulos côngruos são são ângulosângulos que que apresentam aapresentam a

mesma extremidademesma extremidade e número de e número de voltas voltas diferentesdiferentes..

Exemplo:Exemplo:

...º960º600º240

...º780º420º60 ...º840º480º120

...º1020º660º300

Os Os ângulos côngruos ângulos côngruos que distam que distam 60º60º

do ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são:

ouou

...º780º420º60

º60º360. K

Fórmula GeralFórmula GeralPara medidas em Para medidas em grausgraus..

Para medidas em Para medidas em radianosradianos..

K K número de voltas número de voltas

menor determinação positivamenor determinação positiva

Kº.360

K.2

congruênccongruênciaia

número de número de voltas voltas diferentesdiferentes

mesmamesmaextremidaextremida

dededefiniçãdefiniçãoo

K.2

Kº.360

fórmulafórmulageralgeral

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

Menor Determinação Menor Determinação PositivaPositiva

Menor determinação positivaMenor determinação positiva é o é o ânguloângulo que que

apresenta o apresenta o menor módulomenor módulo em um conjunto em um conjunto dede

arcos côngruos.arcos côngruos.

Exemplo:Exemplo:

A menor determinação positiva é 60º.A menor determinação positiva é 60º.

...º780º420º60

Para Para calcular a MDPcalcular a MDP de um de um ângulo, bastaângulo, basta

dividirdividir esse ângulo esse ângulo por 360ºpor 360º. O . O restoresto dessadessa

divisão é a divisão é a MDPMDP..

Exemplo:Exemplo:

A MDP de 1117º é 37º. A MDP de 1117º é 37º.

Logo, a fórmula geral desses arcos é Logo, a fórmula geral desses arcos é

11111177

3636003333

77

º37º360 K

Menor determinação Menor determinação negativanegativa

MDN = MDP – 360ºMDN = MDP – 360º

Exemplo:Exemplo:

Menor determinação negativa de 1117ºMenor determinação negativa de 1117º

MDP = 37ºMDP = 37º

MDN = 37º - 360º = -323ºMDN = 37º - 360º = -323º

ExercícioExercício

2) Apresente a fórmula geral, em 2) Apresente a fórmula geral, em graus,graus,

dos arcos côngruos a :dos arcos côngruos a :5

35

SoluçãoSolução

º12605

180 . 35

5

35

12612600

363600331818

00

º180º.360 K

Lembrando:Lembrando:

Seno de um arcoSeno de um arco

''1

'OyMx

Mx

hipotenusa

opostocatetosena

sensen

Dependendo do quadrante, Dependendo do quadrante, o o sinalsinal do do senoseno

pode ser pode ser positivo ou positivo ou negativonegativo..

Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º330º

2

1º30 sen

2

1º150 sen

2

1º210 sen

2

1º330 sen

30º30º150150ºº

210210ºº

330330ºº

sensen

Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º315º

2

2º45 sen

2

2º135 sen

2

2º225 sen

2

2º315 sen

45º45º135135ºº

225º225º 315º315º

sensen

sensen

60º60º120º120º

240º240º 300º300º

Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º300º

2

3º60 sen2

3º120 sen

2

3º240 sen 2

3º300 sen

ExercícioExercício

3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: 3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: 9

122

9

4sen - d)

9

5sen- c)

9

4sen b)

9

5sen a)

SoluçãoSolução

280º 2440º MDP

º24409

180 . 122

9

122

xx

yy

º180

º90

º270

º0º360

º280

º809

180 . 4

9

4

º1009

180 . 5

9

5

24424400

363600662828

00

D. Letra 9

4sen

9

122sen Logo,

Cosseno de um arcoCosseno de um arco

'1

'cos Ox

Ox

hipotenusa

adjacentecatetoa

coscos

Dependendo do quadrante, o Dependendo do quadrante, o sinalsinal do do cosseno cosseno

também pode ser também pode ser positivo ou positivo ou negativonegativo..

Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º330º

2

3º30cos 2

3º150cos

2

3º210cos

2

3º330cos

30º30º150150ºº

210210ºº

330330ºº

sensen

coscos

Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º315º

2

2º45cos

2

2º135cos

2

2º225cos 2

2º315cos

45º45º135135ºº

225º225º 315º315º

sensen

coscos

Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º300º

2

1º60cos

2

1º120cos

2

1º240cos 2

1º300cos

sensen

60º60º120º120º

240º240º 300º300º

coscos

Importante saber!Importante saber!

xx

yy

º180

2º90

2

3º270

2º360

1 0º cos

0 0ºsen

0 270º cos

1- 270ºsen

1 180º cos

0 180ºsen

0 90º cos

1 90ºsen

ExercícioExercício

2

3 e)

2

13 d)

0 c)

3- b)

2- a)

:a igual é 6

29 cos 3720ºsen somaA SE) -(Unit 4)

SoluçãoSolução

2

3 60ºsen 120ºsen

º8706

180 . 29

6

29

c letra02

3

2

3

6

29 cos 3720ºsen

37237200

36360010101212

00

870870 363600221515

002

3- 30º cos - 150º cos

ExercícioExercício

324 e)

24-3 d)

423 c)

23-4 b)

423 a)

:é º3015cos2-m

1m

sentença a satisfaz que m real número O CE) -(Unifor 5)

SoluçãoSolução

2

2- 45º cos- 135º cos

c. Letra

4232

826

24

424224

22

22

22

222

m

m

m

30130155

363600 881313

55

22

222

22222

22222

22222

2

2

2

1

m

m

mm

mm

m

m

Tangente de um arcoTangente de um arco

adjacentecateto

opostocateto

a

asentga

cos

xx

yy

sen sen ++

cos +cos +

tg +tg +sen -sen -

cos +cos +

tg -tg -

sen -sen -

cos -cos -

tg +tg +

sen sen ++

cos -cos -

tg -tg -

ExercícioExercício

x?cos o valequanto , 1,5 x tg

e quadrante 1º do é não x Se 6)

SoluçãoSolução

10

15 1,5 x tg

13

132

13.5

1310

13

13

135

10cos

135

10cos

x

x

135

325

100225

1015

2

2

222

y

y

y

y

xx

1155

1100

yy

Cotangente de um arcoCotangente de um arco

asen

acos

a tg

1a cotg

3

4xtg

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 2º quadrante. Se Sendo um arco x do 2º quadrante. Se , ,

entãoentão

Apresenta o mesmo sinal da tangente!

4

3xtg

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 3º quadrante. Se Sendo um arco x do 3º quadrante. Se , ,

entãoentão

Secante de um arcoSecante de um arco

a cos

1a sec

5

3cos x

Apresenta o mesmo sinal do cosseno!

3

5sec x

Exemplo: Exemplo:

Sendo um arco x do 4º quadrante. Se Sendo um arco x do 4º quadrante. Se , ,

entãoentão

Cossecante de um arcoCossecante de um arco

asen

1a cossec

5

4cos x

Apresenta o mesmo sinal do seno!

4

5seccos x

cossecossecc

RazõesRazõesTrigonométricTrigonométric

asassese

cc

sensen

cotgcotgtgtgcoco

ss

congruênccongruênciaia

número de número de voltas voltas diferentesdiferentes

mesmamesmaextremidaextremida

dededefiniçãdefiniçãoo

K.2

Kº.360

fórmulafórmulageralgeral

unidadunidadee

radianradianoo

raradd

gragrauu

ººCicloCicloTrigonométriTrigonométri

coco

círculcírculoo

r = 1r = 1

PropriedadPropriedadeses

4 4 quadranquadran

testes

sentidosentidoanti-anti-horáriohorário

circunferênccircunferênciaia

orientadorientadaa

arcoarcoss

ExercícioExercício

? tgE ? cossec valequanto

,11

60 cotg e

2

3 Se 7)

SoluçãoSolução

11

61 cossec

61

11sen

sen

1 cossec

60

11 x tg

61

3721

3600121

6011

2

2

222

x

x

x

x

1111

6600

xx

60

11 tg

11

60 cotg

BibliografiaBibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Dante, Luiz Roberto – Matemática

Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.

Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241.241.

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