Ciência e arte: da Cristalografia Ciência e arte: da Cristalografia convencional aos quase-cristaisconvencional aos quase-cristais

A difração é utilizada no estudo de arranjos de A difração é utilizada no estudo de arranjos de átomos e moléculasátomos e moléculas..

DNA

A difração é utilizada no estudo de arranjos de A difração é utilizada no estudo de arranjos de átomos e moléculasátomos e moléculas..

YBa2Cu3O7-x (0 < x < 0.5)Superconductor

YBa2Cu3O6

Antiferromagnético

A difração é utilizada no estudo de arranjos de A difração é utilizada no estudo de arranjos de átomos e moléculasátomos e moléculas

Densidade eletrônicaDensidade eletrônica

xyz

ResoluçãoResolução

Radiação Eletromagnética

cmR

cm

cm

e13

324

8

1082.2

10

10

9999.02

1

n

2

22

1mc

e

S i

O

C

Org n

B

A

Como então, observar uma molécula?

Experimento de YoungExperimento de Young

Onda Plana incidente

As fendas agem como fontes secundarias

Interferência construtiva quando as ondas estão

em fase

021

22ssr

rderSF Sri 32

SdeSFr Sri 32

10 ss

1 2

r

r

0s

s

0ssS

dVrFd )(

)(r

Sr 2O

Para o átomo isolado jPara o átomo isolado j

jrSij

j

eSfSF .2

Sf j

rderSF Srij

32

Fator de formaFator de forma

Para uma moléculaPara uma molécula

Porque um cristal?Porque um cristal?

Multiplicação

Convolução

Diffraction GeometryDiffraction Geometry

h k l Io (Io)-1 -9 -3 557 6-1 -3 -9 543 8

S i

O

C

Org n

B

A

O que faz um cristalógrafo?

O problema, tem solução?O problema, tem solução?

2~ hklFhklI

jjj lzkyhxij

j

ehklfhklF 2

]()()[2 kjkjkj zzlyykxxhikj

kj

effhklI

Problema das fases

Complexo de MercúrioComplexo de Mercúrio

Os cristaisOs cristais

Cristais imperfeitos, condição fundamental para a validade da 1ª aproximação de Born

Um pouco da parte experimentalUm pouco da parte experimental

Luz Polarizada

Luz Incidente

polarizador

analisador

Não passa a luz

Cristal Isotrópico

Não passa a luz

CristalAnisotrópico

passa a luz

glass fibre

crystal

Cabeça goniométrica

Como montar um cristal

Simetria cristalinaSimetria cristalina

A simetria se manifesta nos A simetria se manifesta nos diagramas de difraçãodiagramas de difração

von Laue (1912) junto com Friedrich e Knipping descobriram a difração de raios-x por um cristal de sulfeto de cobre pentahidratado. Isso confirmou:

i) A natureza ondulatória dos raios-x

ii) A natureza periódica e regular dos cristais.

A simetria se manifesta na A simetria se manifesta na morfologia externa dos cristaismorfologia externa dos cristais

Hextetrahedral Forms (4i3m)Tetrahedron

Diploidal Forms (2/m3i)Pyritohedron

Pyritohedron

                                 

A pyritohedron has 30 edges, divided into two lengths: 24 and 6 in each group.

Face polygon irregular pentagon

Faces 12

Edges 30 (6+24)

Vertices 20 (8+12)

Symmetry group Th, [4,3+], (3*2)

Dual polyhedron Pseudoicosahedron

Properties convex

This crystal is a 'pyritohedron'. It looks This crystal is a 'pyritohedron'. It looks similarsimilar to regular dodecahedron to regular dodecahedron—but it's not! At the molecular level, iron pyrite has little cubic crystal —but it's not! At the molecular level, iron pyrite has little cubic crystal

cells. But these cubes can form a pyritohedroncells. But these cubes can form a pyritohedron

dodecahedron

icosahedron

Dodecahedron e Icosahedron possuindo simetria pentagonal são Dodecahedron e Icosahedron possuindo simetria pentagonal são incompatíveis com a simetria traslacionalincompatíveis com a simetria traslacional

Porém, em 1984...Porém, em 1984... Daniel Shechtman Daniel Shechtman

As velocidades de esfriamento alcançáveis pelo método de “melt-spinning” são da ordem de 10

4–107 graus kelvin por segundo (K/s).

Electron diffraction pattern of an icosahedral Ho-Mg-Zn quasicrystal

Padrão de Difração

O primeiro “tiling” de Penrose's usa pentágonos e outras três O primeiro “tiling” de Penrose's usa pentágonos e outras três formas: uma “estrela” de cinco pontas,um “barco“ e um formas: uma “estrela” de cinco pontas,um “barco“ e um

“diamante” “diamante”

Será uma pseudo-periodicidade?Será uma pseudo-periodicidade?

Teoria de twinning de Linus Pauling

Nature,317, 512-514, 1985

Schectman's is an interesting story, involving a Schectman's is an interesting story, involving a fierce battle against established science, ridicule fierce battle against established science, ridicule and mockery from colleagues and a boss who and mockery from colleagues and a boss who found the finding so controversial, he found the finding so controversial, he asked him to leave the lab..

Penrose “tilings” com só dois motivosPenrose “tilings” com só dois motivos

Roger Penrose in the foyer of the Mitchell Institute for Fundamental in the foyer of the Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Physics and Astronomy, Texas A&M University, standing on a floor , standing on a floor

with a Penrose tilingwith a Penrose tiling

Pipas e Dardos (Kites and Darts)

1

φ

Losangos

Uma variante de “tiling” que não é quseperiódica. Não é um Penrose tiling Uma variante de “tiling” que não é quseperiódica. Não é um Penrose tiling porque a sistemática de empacotamento não foi seguidaporque a sistemática de empacotamento não foi seguida

A “Proporção Divina” ou Razão Áurea (Golden Rate)

Razão áurea e números de Fibonacci

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Números de FibonacciNúmeros de Fibonacci

FFnn =F =Fn-1n-1+F+Fn-2n-2

Retângulos com a “razão áurea”

Comprimento das arestas seguem a sequência de Fibonacci

Uma curva conectando números de Fibonacci consecutivos da origem a uma forma muito especial chamada a “Espiral Áurea”

Razão Áurea, Números de Fibonacci e o Razão Áurea, Números de Fibonacci e o mundo que habitamosmundo que habitamos

Galáxias

Orelha humana

Over the centuries, it has been designed by trial and error, without the aid of computers. Over the centuries, it has been designed by trial and error, without the aid of computers. What is interesting is that it was not made to the Golden Ratio intentionally. What the What is interesting is that it was not made to the Golden Ratio intentionally. What the designers found was that the closer the design was to the Golden Ratio, the better the designers found was that the closer the design was to the Golden Ratio, the better the quality of sound. It appears that even sound waves and harmonics tend to the Golden quality of sound. It appears that even sound waves and harmonics tend to the Golden RatioRatio..

Os anéis de Saturno estão na razão áurea Os anéis de Saturno estão na razão áurea

Número de espirais na alcachofraNúmero de espirais na alcachofra

Obtenção de uma sequência quase periódica com Obtenção de uma sequência quase periódica com a repetição periódica de uma dada operação. a repetição periódica de uma dada operação.

1 1 2 3 5 81321

Sequência de Fibonacci e quasicristais de Sequência de Fibonacci e quasicristais de “quasesimetria” pentagonal“quasesimetria” pentagonal

Se a inclinação da reta é irracional, por exemplo na razão áurea, a estrutura projetada Se a inclinação da reta é irracional, por exemplo na razão áurea, a estrutura projetada unidimensional é um conjunto denso, não periódico, de sitios discretos. Limitando a unidimensional é um conjunto denso, não periódico, de sitios discretos. Limitando a

projecão a uma faixa de largura finita, o subespaço pode ser “tiled” com dois projecão a uma faixa de largura finita, o subespaço pode ser “tiled” com dois segmentos cujos comprimentos estão, precisamente, na razão áurea.segmentos cujos comprimentos estão, precisamente, na razão áurea.

Neste exemplo a rede recíproca coincide com a rede “direta” (quadrada de lado unitário). A transformada de Fourier antes da projeção na rede direta é a convolução da rede recíproca com a transformada da função escalão.

Mas,

Projeção num espaço corresponde a nível zero no espaçp conjugado

Fator de Estrutura

Al-Pd-Mn by Yamamoto (1993)Al-Pd-Mn by Yamamoto (1993)

octagonal QC:  V-Ni-Si  Cr-Ni-Si  Mn-Si  Mn-Si-Al  Mn-Fe-Si 

decagonal QC:   Al-TM (TM=Ir,Pd,Pt,Os,Ru,Rh,Mn,Fe,Co,Ni,Cr)   Al-Ni-Co *   Al-Cu-Mn  Al-Cu-Fe  Al-Cu-Ni  Al-Cu-Co *   Al-Cu-Co-Si *  Al-Mn-Pd *   V-Ni-Si  Cr-Ni   

dodecagonal QC:   Cr-Ni  V-Ni  V-Ni-Si 

icosahedral QC:   Al-Mn  Al-Mn-Si  Al-Li-Cu *   Al-Pd-Mn *   Al-Cu-Fe  Al-Mg-Zn Zn-Mg-RE * (RE=La,Ce,Nd,Sm,Gd,Dy,Y)   Ti-TM (TM=Fe, Mn, Co, Ni)   Nb-Fe  V-Ni-Si  Pd-U-Si   

Então, essa nova forma da matéria condensada Então, essa nova forma da matéria condensada existe no Universo só como criação tecnológica?existe no Universo só como criação tecnológica?

Proceedings of the National Academy of Sciences Proceedings of the National Academy of Sciences 

Evidence for the extraterrestrial origin of a natural quasicrystal. Evidence for the extraterrestrial origin of a natural quasicrystal. 

PNAS January 31, 2012 vol. 109 no. 5 1396-1401 PNAS January 31, 2012 vol. 109 no. 5 1396-1401

Luca BindiLuca Bindi

John M. EilerJohn M. Eiler

Yunbin GuanYunbin Guan

Lincoln S. HollisterLincoln S. Hollister

Glenn MacPhersonGlenn MacPherson

Paul J. SteinhardtPaul J. Steinhardt

Nan YaoNan Yao

The rock sample consists of grains of more ordinary metallic and The rock sample consists of grains of more ordinary metallic and silicon compounds interspersed with the quasicrystal grains, so it's silicon compounds interspersed with the quasicrystal grains, so it's not wholly a quasicrystal. Some structures in the rock are only not wholly a quasicrystal. Some structures in the rock are only formed under high shocks (unlike sedimentary or volcanic rocks), formed under high shocks (unlike sedimentary or volcanic rocks), and one particular silicate structure, known as stishovite, is most and one particular silicate structure, known as stishovite, is most strongly associated with meteorites. To confirm this suspicion, the strongly associated with meteorites. To confirm this suspicion, the researchers investigated the ratios of various oxygen isotopes, researchers investigated the ratios of various oxygen isotopes, 1818O/O/1616O and O and 1717O/O/1616O, and compared them to the ratios found on Earth O, and compared them to the ratios found on Earth in analogous minerals. Because of the differences in formation and in analogous minerals. Because of the differences in formation and environment, meteorites have a distinctive isotope signature environment, meteorites have a distinctive isotope signature compared to their chemically similar terrestrial cousins. The compared to their chemically similar terrestrial cousins. The scientific team found the sample containing the quasicrystals looked scientific team found the sample containing the quasicrystals looked like it had an extraterrestrial source. like it had an extraterrestrial source.

Extraterrestial quasicrystal of AlExtraterrestial quasicrystal of Al6363CuCu2424FeFe1313, first , first

synthesized in a lab in 1987synthesized in a lab in 1987

Fim de esta estória, mais este século Fim de esta estória, mais este século será verá o desenvolvimento de uma será verá o desenvolvimento de uma fascinante área na pesquisa de novos fascinante área na pesquisa de novos

materiais.materiais.