Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física Ensino Médio, 3 ª Série RELATIVIDADE

Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física

Ensino Médio, 3ª Série

RELATIVIDADE

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Sumário

1. Introdução: Motivações para uma nova teoria

2. Cinemática relativística 2.1 Simultaneidade 2.2 Conceito de espaço-tempo 2.3 Transformações de Lorentz 2.4 Contração de comprimentos 2.5 Dilatação do tempo

3. Quantidade de movimento e massa relativística

4. Energia relativística

5. Neutrinos mais rápidos que a luz?


1. Introdução: Motivações para uma nova teoria

1905

A mecânica de Isaac Newton estava bem estabelecida nas suas três leis e, juntamente com a eletrodinâmica e a termodinâmica, a física parecia completa. Entretanto, existiam problemas que tal mecânica não conseguia explicar...

... surge então a necessidade de ver a mecânica de uma nova forma, e Albert Einstein cria a Teoria da Relatividade Especial (ou restrita) em 1905, propondo assim novos conceitos sobre espaço e tempo, sendo este último tratado agora como uma nova dimensão.

Imagens: (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac Newton / Public Domain e (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints & Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.


Uma famosa inconsistência da mecânica clássica (newtoniana) mostrou-se no eletromagnetismo, pois tais equações não eram invariantes, mediante às transformações de Galileu:

Transformações de Galileu

x

y

z

v

y’

z’

x’

x’ = x – vt

y’ = y

z’ = z

t’ = t (tempo)

O referencial em verde se move com velocidade v, na direção-x, em relação ao referencial em preto.


A transformação de Galileu nos mostra que o tempo transcorrido de um evento arbitrário é o mesmo para qualquer referencial, isto é, na mecânica newtoniana todos os observadores são simultâneos.

Exemplo:

v

Suponha que o relógio do menino que observa o trem esteja sincronizado com o do seu amigo que viaja no mesmo. Ambos decidem cronometrar a duração de uma ‘’bozinada’’ do trem. O que se observa é que no relógio de ambos serão registrados os mesmos valores !!

Imagem: Mia5793 / Public Domain.


Voltando ao problema clássico, como as leis físicas devem valer em qualquer referencial inercial, tal como o eletromagnetismo, uma alternativa usada para explicar essa inconsistência foi o fato de que as ondas eletromagnéticas (a luz, por exemplo) propagavam-se num referencial privilegiado, um meio que preenchia todo universo denominado éter.

Um meio material que se move com velocidade v em relação ao éter seria capaz de arrastar o mesmo. Assim, o problema do eletromagnetismo estaria resolvido, pois não depende mais de referencial, já que se propaga em um privilegiado.

Porém, em 1887, os físicos A. A. Michelson e E. W. Morley questionaram a existência do éter, realizando um experimento que ficou conhecido como a Experiência de Michelson – Morley.

Essa experiência tratava-se de medir a velocidade da terra em relação ao éter, usando um aparelho inventado por Michelson, denominado Interferômetro ótico.


Uma versão atual do interferômetro de Michelson

Imagens: (a) FL0 at de.wikipedia / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported e(b) Alex-engraver / Public Domain.


De uma maneira bem sucinta, temos uma fonte que emite um feixe de luz concentrado, no qual é dividido em dois, no divisor de feixe. Eles seguem direções perpendiculares, onde são refletidos por espelhos, chegando ao detector.

No Youtube, existem vários vídeos que reproduzem a experiência de Michelson – Morley, dentre eles:

http://www.youtube.com/watch?v=r_EdsNf-ljM http://www.youtube.com/watch?v=4KFMeKJySwA&feature=related

Se existisse o éter, haveria uma diferença no tempo de percurso dos feixes. Entretanto, observou-se que não! A partir disso desprezou-se a ideia da existência do éter.

Outra inconsistência da mecânica newtoniana é o fato dela não prever respostas corretas quando é aplicada a partículas muito rápidas, com velocidades próximas a da luz. O que se mostra experimentalmente é que a velocidade de tais partículas nunca ultrapassa a velocidade da luz, enquanto na mecânica newtoniana não existe esse limite.

Diante de tudo isso, surge a necessidade de uma nova teoria, e é Albert Einstein que propõe, em 1905, a famosa Teoria da Relatividade Especial.

http://www.youtube.com/watch?v=r_EdsNf-ljM

http://www.youtube.com/watch?v=4KFMeKJySwA&feature=related


Einstein inicia seu desenvolvimento da teoria da relatividade enunciando os dois famosos postulados da relatividade especial:

2. Cinemática relativística

“ As leis da física são as mesmas em qualquer referencial inercial.’’

“ A velocidade da luz tem o mesmo valor em qualquer

referencial inercial.”

Imag

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A velocidade da luz foi medida experimentalmente, no vácuo, obtendo o valor c = 3.108 m/s.

Um referencial inercial é aquele que está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU) em relação a um dado observador. Por exemplo, a terra é um referencial inercial para eventos locais e com curto intervalo de tempo. Um carro em velocidade constante é um referencial inercial, mas quando faz uma curva, deixa de ser, pois se torna um referencial acelerado.

Como diz o segundo postulado, o valor c é o mesmo para qualquer referencial inercial. Isso quer dizer que se você pudesse viajar com metade da velocidade de um pulso de luz (c/2), no mesmo sentido, esse ainda iria se mover com velocidade c em relação a você, e não c/2, como diz a mecânica clássica !!


2.1 Simultaneidade

No exemplo do menino que observa o trem, concluímos que todos os observadores são simultâneos. Se formos analisar um trem que se move com uma velocidade muito alta (por exemplo, 3/5 da velocidade da luz), será que os observadores continuam simultâneos? Einstein mostrou que não !!

Existe uma excelente simulação no site: http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-e-Contemporanea/Simultaneidade

Nele é apresentado um exemplo bem prático (proposto por Einstein na época) que

Dois eventos que são simultâneos para um observador em certo referencial inercial, não serão simultâneos em nenhum outro referencial que esteja se movendo

em relação ao primeiro.

http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-e-Contemporanea/Simultaneidade

http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-e-Contemporanea/Simultaneidade


2.2 Conceito de espaço-tempo

Nosso senso comum é baseado na mecânica clássica, isto é, espaço e tempo são grandezas independentes, sendo o tempo absoluto para qualquer referencial:

x

y

z

Nosso mundo é “tridimensional” (3d)

tempo

Tudo o que você vê, faz, movimenta etc, é limitado nessas 3 dimensões.

espaciais

Existe um ‘’relógio universal’’ que

cronometra todos os eventos em todos

referenciais inerciais.

Imag

em: W

oute

rhag

ens

/ C

reat

ive

Com

mon

s A

ttrib

utio

n-S

hare

A

like

3.0

Unp

orte

d.


Entretanto, para objetos que se movem com velocidades altíssimas (frações da velocidade da luz, por exemplo) o tempo não é mais absoluto, segundo a relatividade especial:

x

y

z(3d)

Na relatividade especial, não existe

espaço e tempo separados, eles agora

formam uma “entidade”: o espaço-tempo de Minkowski

(ou quadridimensional)

(1d)

+ =

Agora, cada referencial tem uma medida de tempo (“um relógio”), e

assim o tempo é tratado como uma nova dimensão, ou seja, o tempo é

relativo !!

4 dimensões

Imag

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ens

/ C

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ive

Com

mon

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A

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2.3 Transformações de Lorentz

Como seria a forma das transformações de Galileu, no contexto da relatividade especial?

Isto é, se o tempo é relativo como vimos, como relacionar intervalos de tempo medidos em diferentes referenciais inerciais? E as posições?

A resposta está nas transformações de Lorentz:

x

y

z

v

y’

z’

x’

x’ =

y’ = y

z’ = z

t’ =

22 /1 cv

vtx

22

2

/1

)/(

cv

xcvt

transformações de Lorentz


É bom salientar que, para demonstrar tais transformações, usam-se argumentos matemáticos mais sofisticados que estão disponíveis em livros de nível universitário.

Nota-se que, para baixas velocidades (v<<c), o termo v / c é desprezado das equações, e assim as transformações de Lorentz coincidem com as transformações de Galileu !! Isso significa que, em baixas velocidades, a mecânica newtoniana é suficiente para explicar eventos, mas falha em altas velocidades !

Há duas consequências imediatas das transformações de Lorentz: contração de comprimentos e a dilatação do tempo.

2.4 Contração de comprimentos

x

y

z

y’

z’

x’

v

x1’ x2’

x1 x2


Considere uma régua que se move juntamente com o referencial em verde.Das transformações de Lorentz, tiramos que

Fazendo x2’ - x1’ e considerando t1= t2 (pois no sistema em preto, x1 e x2 foram medidos no mesmo instante de tempo), teremos:

x2’ - x1’ =

E ainda, chamando x2’ - x1’ = L’ (comprimento da régua no referencial em verde ou comprimento próprio) e x2 - x1 = L (comprimento da régua no referencial em preto), teremos:

Note que para v≠0, L é sempre menor que L’ !!

22

11

/1 cv

vtx

22

22

/1 cv

vtx

x1’ = x2’ =

22

12

/1

)(

cv

xx

L’ = 22 /1 cv

L

contração de comprimento2

2

1'c

vLL


Desta expressão, concluímos que:

“ O comprimento de um corpo é máximo, quando medido em repouso em relação ao observador. Quando ele se move com

uma velocidade v relativa ao observador, seu comprimento medido contrai-se na direção do seu movimento pelo fator

enquanto as dimensões perpendiculares à direção do movimento não são afetadas.’’

22 /1 cv

É importante ressaltar que não há uma contração real do comprimento (física), ele continua o mesmo, o que muda é sua medida quando feita de referenciais diferentes.

Para facilitar a compreensão sobre contração de comprimentos, uma animação bem descontraída está disponível no site: http://www.youtube.com/watch?v=DvwtT6EHVs0&noredirect=1

http://www.youtube.com/watch?v=DvwtT6EHVs0&noredirect=1


Exemplo 1

Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma estação orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 . 108 m/s. Durante a passagem, em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que as extremidades dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as extremidades da plataforma (1). Determine:

A) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a nave abandonar toda a plataforma;

B) O comprimento de repouso da nave;

C) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.

Resolução

A) Este é um problema de cinemática, logo para L=100m e v = 2,0 . 108 m/s teremos:

ssssm

m

v

Lt 76

8

2

810.510.5,0

10.2

10

/10.2

100

http://www.bibliotecadigital.ufrgs.br/da.php?nrb=000506098&loc=2006&l=b3c62be931ef03cc


B) O comprimento de repouso da nave será o comprimento próprio (L’), pois o observador O está medindo o comprimento L já contraído pelo efeito relativístico. Como sabemos:

assim

Que é um comprimento maior, como se esperava.

C) Neste caso, o alienígena O’ verá a plataforma contraída do comprimento de repouso L’=100m. Assim:

2

2

1'c

vLL 22 /1

'cv

LL

mL 1347453,0

100

95

100

94

1

100

10.910.4

1

100

)10.3()10.2(

1

100'

16

16

28

28

mc

vLL 75)7453,0.(100

)10.3(

)10.2(1.1001'

28

28

2

2


2.5 Dilatação do tempo Considere o mesmo exemplo da nave alienígena. Se o alienígena O’ quisesse medir o tempo que a nave gasta para passar pelo observador O que está na plataforma, ele mediria:

onde L’ , neste caso, vale 134m (comprimento próprio) e v é a velocidade da nave. Por outro lado, se o observador O quisesse fazer esta mesma medida, o valor obtido por ele seria:

é chamado de tempo próprio, porque tal observador pode obtê-lo com um único cronômetro. L , neste caso, é o comprimento contraído do trem (100m). Destas duas equações, tiramos que:

, como , então:

v

Lt

'

v

Lt '

't

'

'

L

L

t

t

2

2

1' c

v

L

L

2

2

1

'

cv

tt

Dilatação do tempo


Note que para v≠0, Δt é sempre maior que Δt’ !!

“Um relógio avança com a máxima velocidade quando está em repouso em relação ao observador. Quando se move com uma

velocidade v relativa ao observador, a sua velocidade de avanço é diminuída pelo fator ’’ 22 /1 cv

Exemplo 2 : Paradoxo dos Gêmeos

Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40 anos de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência espacial americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é realizada numa nave que se move a uma velocidade de 2.108 m/s. O tempo gasto na viagem cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta voltar, a sua idade será a mesma que a do seu irmão?


Resolução

Como vimos na dilatação do tempo, o tempo próprio sempre é menor. Assim, o tempo passará mais lento para o astronauta do que para seu irmão. Chamando Δt’ o tempo de viagem cronometrado pelo astronauta e Δt = 10 anos o tempo da viagem cronometrado pela NASA (referencial da terra) temos que:

Logo ,concluímos que o astronauta estará com 46 anos após a viagem, enquanto seu irmão terá 50 anos, ou seja, o astronauta estará mais novo que seu irmão gêmeo !!

2

2

1

'

cv

tt

anos636,0.109

76,51.10

)10.3(

)10.4,2(1.101'

28

28

2

2

c

vtt


3. Quantidade de movimento e massa relativística

Sabemos que um corpo de massa m e módulo de velocidade v tem a seguinte quantidade de movimento (p):

Para que esse princípio seja válido também na relatividade, devemos corrigir o termo de massa, e a expressão da quantidade de movimento relativística será:

Onde m0 é a massa de repouso deste corpo, isto é, sua massa medida por um referencial que está em repouso em relação ao mesmo. Note que para velocidades muito menores que a da luz (c), a expressão da quantidade de movimento se reduz à forma clássica: .

mvp

2

2

0

1cv

vmp

vmp 0


Assim como a medida do comprimento se reduz e a do tempo se amplia, a massa de um corpo aumenta com a velocidade em relação a determinado referencial.

A expressão relativística da massa m de um corpo, observando a expressão da quantidade de movimento relativística, será:

É de se notar desta expressão, que, se formos aumentando a velocidade da partícula de tal forma que v = c, o denominador será zero e, assim, sua massa tenderia a infinito, algo sem sentido físico. Isso reforça de uma forma mais concreta a ideia:

2

2

0

1cv

mm

Massa relativística

A velocidade da luz no vácuo (c) é a maior velocidade possível para um corpo.

7

6

5

4

3

2

1

0 0,20c 0,40c 0,60c 0,80c 1,0c


Abaixo temos um gráfico da razão m / m0 em função da velocidade do corpo (em múltiplos de c). Note que, à medida que o corpo vai atingindo a velocidade da luz, sua massa aumenta até o limiar de massa infinita v=1,0c (situação em que a função diverge para infinito):

m/mº

Velocidade


Exemplo 3

Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo v = 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse referencial:

A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?B) A massa dessa partícula?C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?

Resolução

D) Basta aplicar a equação do momento relativístico:

• Note que, pela física clássica, esta resposta seria apenas o numerador (480 kg.m/s), ou seja, 60% do valor relativístico.

smkg

cv

vmp /.800

)6,0(

10.8,4

)10.0,3()10.4,2(

1

10.4,2.10.2

1

2

28

28

86

2

2

0


B) Basta aplicar a expressão da massa relativística:

C) Aplicando novamente a expressão da massa relativística para v = 2,9.108m/s:

Os resultados dos itens B e C mostram a tendência para o infinito da massa da partícula. No item B, a massa da partícula é 1,7 vezes sua massa de repouso, enquanto no item C, com um pequeno acréscimo na velocidade, sua massa se tornou 15 vezes maior que sua massa de repouso!

kg

cv

mm 6

6

28

28

6

2

2

0 10.3,3)6,0(

10.2

)10.0,3()10.4,2(

1

10.2

1

kg

cv

mm 5

28

28

6

2

2

0 10.4,1

)10.0,3()10.9,2(

1

10.2

1


4. Energia relativística

Einstein demonstrou que massa e energia são duas quantidades equivalentes e podem ser relacionadas pela famosa expressão:

em que m é sua massa, c a velocidade da Luz e E sua energia total. Por uma substituição direta, temos as conversões:

Para a massa de repouso m0, existe uma energia de repouso associada que vale:

Se esse corpo se movimenta, ele adquire também uma energia cinética Ec, que pode ser expressa levando em conta o acréscimo de massa Δm = m - m0 decorrente da sua velocidade v, isto é:

2mcE

200 cmE

20

220

2 ).(. cmmccmmcmEC

kgjoule

jouleskg17

16

10.1,10,1

10.0,90,1


Como: , podemos, então, obter uma expressão para energia cinética relativística desse corpo:

Pode-se demonstrar que a energia expressa em termos da quantidade de movimento relativística é dada por:

20

2

2

20

1

cm

cv

cmEC

Energia total relativística (E)

Energia de repouso (E0)

220

2 )()( cmpcE

220 /1/ cvmm


5. Neutrinos mais rápidos que a luz?

O experimento OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus) está localizado a 1.400 metros de profundidade, no Laboratório Gran Sasso, na Itália. Um detector ultra-sensível recebe um feixe de neutrinos disparado do laboratório CERN, na Suíça - onde está o famoso LHC (Large Hadron Collider) - que está localizado a mais de 730 quilômetros de distância.

O que os pesquisadores concluíram em 2011 é que os neutrinos estão chegando

60 nanossegundos antes do que deveriam. E isso só pode ser possível se eles estiverem viajando a uma velocidade maior do que a da luz !! Seguem aí alguns links de portais de notícias relatando tal acontecimento:

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=neutrinos-viajar-mais-rapido-luz&id=010130110923

http://veja.abril.com.br/noticia/ciencia/neutrinos-voltam-a-superar-velocidade-da-luz

http://oglobo.globo.com/ciencia/neutrinos-mais-rapidos-que-luz-ainda-desafiam-einstein-3266089






http://veja.abril.com.br/noticia/ciencia/neutrinos-voltam-a-superar-velocidade-da-luz




Quem tiver mais curiosidade e um pouco de habilidade em inglês pode observar o trabalho original publicado:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1109/1109.4897.pdf

Esse acontecimento deixou uma pergunta na sociedade científica que não quer calar: A relatividade especial precisa ser corrigida ou os Neutrinos são uma exceção na natureza?

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Tabela de ImagensSlide Autoria / Licença Link da Fonte Data do

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3a (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac Newton / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg

26/03/2012

3b (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints & Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg

26/03/2012

5 Mia5793 / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Taking_the_train,_transit,_subway_or_underground..jpg

26/03/2012

7a (a) FL0 at de.wikipedia / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aufbau-Michelson-Interferometer.jpg

26/03/2012

7b (b) Alex-engraver / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Michelson_stellar_interferometer.svg

26/03/2012

9 Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints & Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg

26/03/2012

12 Wouterhagens / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwatch_A.jpg

26/03/2012

13 Wouterhagens / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwatch_A.jpg

26/03/2012

31 Professor Albert Einstein, University of Berlin / The Solar Eclipse of May 29, 1919, and the Einstein Effect," The Scientific Monthly 10:4 (1920), 418-422, on p. 418 /Public Domain

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein_photo_1920.jpg

26/03/2012

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