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Cinemática del solido rigido

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Cinemática del solido rigido

Física: profesor Antonio Florencia Cruz

Martes 25 de octubre de 2011

Marco Antonio Rosas Ibarra 5 D turno

vespertino 

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g j q y p g j

Cinemática del sólido rígido

La cinemática del sólido rígido es una aplicación de la cinemática al movimiento de un objetotridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido rígido puede considerarsecomo la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación. 

Concepto de sólido rígido

Figura 1. Concepto de sólido rígido.

Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos sedeforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas;embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables yentonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sóloconceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1.Indicaremos por ri y r j los vectores de posición de dos puntos, P i y P j, del sólido; la condición geoméde rigidez se expresa por

(1) 

La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinasi conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3que se indican en la Figura 1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres

parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros ocoordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomadcomo referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tresecuaciones

(2) 

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que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimoparámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis.Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad. 

Condición cinemática de rigidez

Figura 2. Condición geométrica de rigidez. La distancia entre dos puntos cualesquiera permanececonstante durante el movimiento.

Figura 3. Condición cinemática de rigidez. Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes asólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno depuntos materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero,afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de losdistintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (P i,P j) por ejemplo, podemos escribcondición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos condua

(1) 

que también podemos escribir en la forma

(2) 

donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P i corespecto a la P j. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores qintervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo veque tenga sus extremos fijos en el sólido rígido (como el rij) es perpendicular a su derivada con respal tiempo (i.e., a vij).

La ec. [2] puede escribirse en la forma

(3) 

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o también

(4) 

ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos P i y P j sobrerecta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idénticaproyección sobre la recta que definen.

Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique ladistancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste.

El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tiposmovimiento básicos: de traslación y de rotación.

Movimiento de traslación

Figura 4. Movimiento de traslación.

Figura 5. En el movimiento de traslación todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.

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Figura 6. Movimiento de traslación de las barquillas de la noria.

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto devista geométrico lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de traslación cuando todo segmerectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso dmovimiento.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se muestra en la Figu4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri-r j debe mantener constante su móen el transcurso de cualquier movimiento y, además,en virtud de la definición geométrica delmovimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección y sentido; entonces, siendun vector constante, podemos escribir

(1) 

y derivando con respecto al tiempo

(2) 

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cadainstante, la misma velocidad.

Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación delsólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse aaceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígidque se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectoriasrecorridas por sus diversos puntos son congruentes. En efecto, consideremos de nuevo dos puntoscualesquiera, Pi y P j, pertenecientes al sólido, y sean ri y r j sus vectores de posición con respecto a cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólidode modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahorar′  j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que definemovimiento de traslación se expresa en la forma

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(3) 

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante unintervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite duna poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridpor los distintos puntos del sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para la

trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad detraslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilíneacon celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslaciónuniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoriapuede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpopueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Essituación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la armade la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura,prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoriascirculares.

Movimiento de rotación

Figura 7. Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros.

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas eplanos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos dsólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describencircunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimientocircular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólidoserá tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuamayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por

(1) 

El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es

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(2) 

pero se verifica que ds = rdθ, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que 

(3) 

El cociente dθ /dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:

(4) 

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridadangular por la distancia r del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemescribir

(5) 

La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación quesupone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos lopuntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponduna celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angularcaracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular semide en radianes por segundo (rad/s).

Vector velocidad angular

Figura 8. Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje derotación.

En palabras más sencilla es el movimiento circular que hace la tierra sobre su propio eje.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módues la celeridad angular anteriormente definida, o sea

(1) 

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y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el só(regla de la mano derecha). Si designamos por e al versor que indica la dirección del eje, y cuyo sensea el definido por la regla anterior, tenemos

(2) 

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya direcci

sentido están definidos por la regla del tornillo. Llamando et y en a los versores tangencial y normal,respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse la forma

(3) 

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento delvector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todolos puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4) 

donde es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera dede rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre

eje de rotación.

Principio de superposición de movimientos

Figura 9. Principio de superposición de movimientos.

El principio de superposición de movimientos en un sólido rígido establece que

si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos que originan velocidadesv″, ... en un punto genérico P del sólido, la velocidad resultante v de ese punto genérico es la

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suma vectorial de las velocidades que le corresponde en cada uno de los movimientoscomponentes por separado.

Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente:

Si un sólido rígido esta animado de varios movimientos simultáneos, para cada uno de los cuse cumple la condición cinemática de rigidez, el movimiento resultante también cumple esacondición.

Composición de rotaciones

A partir de la definición del vector velocidad angular, y al quedar completamente representado por dvector el movimiento de rotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotacionesreducirá a sumar los vectores de velocidad angular que las representan, sin olvidar que dichos vectoson deslizantes. Consideraremos dos casos sencillos.

Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto

Figura 10. Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en esta figura.Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω2 alrededor de un cierto eje; a su vezeste eje está rotando con una velocidad angular ω1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La rotacióω2 suele denominarse rotación intrínseca; la rotación ω1 recibe el nombre de precesión. 

Consideremos un sólido rígido animado de dos rotaciones simultáneas, ω1 y ω2, cuyos ejes concurren el punto O (Figura 10). La velocidad de un punto genérico P del sólido será la suma de lasvelocidades, v1 y v2, que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e.,

(1) 

de modo que

(2) 

o sea que

el resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes concurren eun punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto y cuya velocidad angular es lasuma (vectorial) de las velocidades angulares correspondientes a las rotaciones componente

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Par de rotaciones

Figura 11. Un par de rotaciones equivale a una traslación.

Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente de dos movimientos de rotación, torno a ejes paralelos entre sí y de modo que las velocidades angulares correspondientes, localizadsobre dichos ejes, tengan el mismo módulo y sentidos opuestos (Figura 11); esto es, ω1=ω y ω2=-ωLos vectores ω y -ω constituyen un par de rotaciones. La velocidad de un punto genérico P del sólidserá

(3) 

o sea

(4) 

resultando ser independientes del punto P. Esto es, todos los puntos del sólido tienen la mismavelocidad. En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del sólido poseen, eun instante dado, la misma velocidad. En definitiva, podemos enunciar:

Un par de rotaciones equivale a una traslación cuya velocidad es la expresada por [4], o sea, momento del par.

Y recíprocamente:

Una traslación equivale a un par de rotaciones cuyo momento sea la velocidad de traslación.

Movimiento rototraslatorio

Figura 13. Movimiento general el sólido rígido.

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El movimiento más general del sólido rígido es el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado posuperposición de los dos movimientos básicos: el movimiento de traslación y el movimiento de rotac

Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto número de movimiende traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslación quedará completamente defipor la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1, v2, ... vm. Análogamente, cada una de lasrotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto esω1, ω2, ... ωn. Teniendo en cuenta que un movimiento de traslación es equivalente a un par de

rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido ríestará definido por un conjunto de rotaciones simultáneas, ω1, ω2, ... ωn, ωn+1, ... ωn+2m, cuyos ejes drotación pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 13). En definitiva, el movimiento del sólido estdescrito por un sistema de vectores deslizantes.

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultante del sistema dvectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,

(1) 

Por otra parte, el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto, P′, del sólido (i.e., lavelocidad del punto P′) está relacionado con el anterior mediante la expresión  

(2) 

siendo ω = Σωi la resultante general del sistema de vectores deslizantes (i.e., la velocidad angularresultante) que es un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial).

La expresión [33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P′ de un sólidorígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo, P, más la velocidad que le

correspondería al punto P′ en una rotación instantánea, ω, alrededor de un eje que pasase por el puP. En definitiva, podemos enunciar:

El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a unarotación de velocidad angular ω = Σωi alrededor de un eje paralelo a ω y que pasa por un punarbitrario del sólido, más una traslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema vectores ωi (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.

El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nosparezca, puede reducirse siempre a la superposición de dos movimientos básicos: uno de traslaciónotro de rotación. Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamente

determinada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad vP de un puntocualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los que denominaremos, conjuntamente, grupocinemático en P.

Eje instantáneo de rotación y deslizamiento

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Figura 16. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

En los apartados anteriores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general dsólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ωi (i=1, 2, ...), que lo representa. Así, la velocida

de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento de dicho sistema de vectores corespecto al punto considerado [8.1], y la velocidad de un segundo punto del sólido está relacionada cla del anterior por la expresión [8.2]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (egeneral); pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en la direcciónla velocidad angular resultante ω. En efecto, multiplicando escalarmente por ω ambos miembros deexp. [8.2], tenemos

(1) 

o sea

(2) 

que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantωi (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que en un instante dado,

el producto escalar de los dos vectores del grupo cinemático tiene el mismo valor en todos lospuntos del sólido; i.e., es invariante.

El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo si dicha velocidad eparalela a la velocidad angular resultante ω. Pero el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad

(momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuación

(3) 

que es la ecuación del eje central del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...), en un referencide origen en el punto O. Obviamente, vO representa la velocidad que le correspondería al punto O, ecaso de que perteneciera al sólido. Cuando el sistema de vectores deslizantes está constituido porvectores de velocidad angular ωi, el eje central del sistema de vectores recibe el nombre de ejeinstantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD queda definido como el lugar

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geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima o bien el lugar geométrico de los puntos desólido cuya velocidad es paralela a la dirección de la velocidad angular del mismo.

Obviamente, el módulo de la velocidad mínima puede determinarse proyectando la velocidad v de upunto cualquiera del sólido sobre la velocidad angular ω del mismo; esto es,  

(4) 

y su dirección es la del vector ω (i.e., la del EIRD).

Teorema de Chasles

Figura 17.

Cuando el invariante escalar del sistema de rotaciones es distinto de cero (i.e., ω•v≠0) es posible

reducir canónicamente el movimiento rototraslatorio a los dos movimientos básicos: rotación ytraslación. Tomando un punto E del eje central como centro de reducción, el sistema de rotacionesresulta ser equivalente a una rotación única, ω = Σωi, localizada sobre el eje central del sistema derotaciones, más una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje, con una velocidad vd, llamadvelocidad mínima o de deslizamiento, dada por

(1) 

que constituye la expresión del Teorema de Chasles:

El movimiento general de un sólido rígido resulta equivalente a una rotación pura alrededor deje central del sistema de

rotaciones ωi (i=1, 2, ...) más una traslación a lo largo de dicho eje.

Por esa razón el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje instantáneo derotación y deslizamiento y el movimiento resultante se denomina movimiento helicoidal tangente. 

Cuando el invariante escalar es nulo, o sea ω•v = 0, siendo v la velocidad de un punto genérico delsólido, se nos pueden presentar los siguientes casos:

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(1) Que sea ω = 0 y v = 0. Esta condición prevalecerá para cualquier punto del sólido. En ese instanel sólido se encuentra en reposo.

(2) Que sea ω = 0 y v ≠ 0. Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad. En ese instante, emovimiento del sólido es una traslación pura.

(3) Que sea ω ≠ 0 y v = 0. El sistema de rotaciones está definido por un sistema de vectoresdeslizantes concurrentes o paralelos. Se trata de una rotación pura alrededor de un eje que pasa p

el punto de concurrencia (propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta deacción de ω, aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω, por ser ω•v = 0.

(4) Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0. En este caso deberá ser v⊥ω, de modo que cada punto del sólido se moven un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea, al vector ω). Como para los puntos dicho eje deberá ser, además, v||ω, la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, el sópasará en cada instante por un estado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del ejeinstantáneo de rotación, pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Estemovimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneo derotación se encuentran instantáneamente en reposo.

Axoides. Representación de Poncelet

Figura 18.

Figura 19.

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Todo nuestro análisis anterior se refiere a un instante determinado y, así, la ecuación que define al einstantáneo de rotación y deslizamiento, depende de los valores instantáneos de ω y de vO, de modque representa una recta móvil en el espacio. En efecto, los vectores ω y vO pueden variar de uninstante a otro de modo que el eje instantáneo, en general, cambiará constantemente de posición, etranscurso del tiempo, tanto con respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio, como con respectotro sistema de ejes ligados al sólido rígido y que se muevan solidariamente con él. El eje instantánesólo estará indefinido en aquellos instantes en los que el movimiento del sólido sea una traslación p

En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a unreferencial de ejes fijos en el espacio (xyz), generando una superficie reglada que recibe el nombre axoide fijo. Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejesligados al sólido (x′y′z′ ), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil. Secomprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, que es el ejeinstantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoides son tangentes a lo largola recta mencionada. Además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación o deslizamientlo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con una velocidad vd que es la velocidad detraslación del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente la proyección del vector velocidv de cualquier punto del sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puede representar de formacontinua suponiendo que el sólido está ligado y se mueve solidariamente con una superficie móvil(axoide móvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta undeslizamiento a lo largo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento delsólido se debe al matemático y general francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

En el caso de que uno de los puntos del sólido permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoiddegeneran en conos tangentes entre sí a lo largo de una generatriz y el movimiento continuo dePoncelet se reduce a una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, ya que no habrá deslizamiento ser nula la velocidad de uno de los puntos del sólido. En la Figura 19 ilustramos este tipo demovimiento.

El sólido rígido (y el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular ω1 al mismo tiempo qel eje de ω1 gira con una velocidad angular ω2 alrededor de un eje fijo en el espacio. El resultado deestos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el ejeinstantáneo de rotación (puntos de velocidad instantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) generatriz común instantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω1 + ω2, como se ilustrala Figura 19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido.

Aceleración

Consideremos un punto genérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad. Siconsideramosun segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea v

O, la relación existe

entre ambas velocidades es de la forma

(1) 

donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje quepase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la aceleracaP del punto P; esto es,

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(2) 

o sea

(3) 

donde

  es la aceleración del punto O;

  es la aceleración tangencial del punto P en su rotación alrededor de un eje en ladirección de ω y que pasa por el punto O;

  es la aceleración normal del punto P respecto al eje anteriormente citado.

Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotación en torno a

eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a , o sea la aceleración relativa del pP respecto al punto O.

Vector aceleración angular

Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de roración no manteniene una direcciónconstante en el espació, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.

Definimos la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidadtiempo. Se denota por la letra griega y, al igual que la velocidad angular, tiene carácter vectorial. Pdefinición,

(1) 

siendo el vector velocidad angular del sólido rígido alrededor del eje de rotación. La aceleraciónangular se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional. 

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Si denominamos por el versor asociado al eje de rotación, de modo que sea , podemosescribir

(2) 

resultando que, en general, el vector no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimieplano), entonces será y el vector aceleración angular estará localizado sobre el eje derotación. Esto es,

(3) 

de modo que el módulo de la aceleración angular, , es la derivada de la celeridad angular crespecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su direccióes la del eje de rotación y su sentido es el de cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo,

pero es de sentido opuesto si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será

, aunque , ya que el versor del eje cambia de dirección en el transcurso delmovimiento. Puesto que es un versor, su derivada será un vector perpendicular a , esto es, al ejeinstantáneo de rotación. 

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular se expresará en la forma

(4) 

siendo la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definidpor ) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes

una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es y uncomponente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es .

Así pues, en general,

  el vector no tendrá la misma dirección que el vector .  el vector aceleración angular no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con eeje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en emovimiento plano. 

Movimiento plano

En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiela dirección del eje de rotación y viene dada por: