Cinetica Linear

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BIOMECNICA CINTICA LINEARIII CINTICA LINEAR ...................................................................................................................................................... 2 III.1 A FORA ....................................................................................................................................................................... 2 III.2 A MASSA ...................................................................................................................................................................... 3 III.3 LEIS DE NEWTON............................................................................................................................................................ 3 III.3.1 Lei da Inrcia (1 Lei de Newton)....................................................................................................................... 3 III.3.2 Lei Fundamental da mecnica (2 lei de Newton)............................................................................................. 5 III.3.3 Lei da Aco e Reaco (3 lei de Newton) ....................................................................................................... 6 III.4 IMPULSO DE UMA FORA ................................................................................................................................................. 7 III.5 IMPACTO ...................................................................................................................................................................... 9 III.6 ESTABILIDADE E EQUILBRIO ............................................................................................................................................ 11 III.6.1 Centro de massa .............................................................................................................................................. 11 III.6.2 Anlise segmentar e clculo do centro de massa (CM) ................................................................................... 11 III.6.3 Centro de presso ............................................................................................................................................ 15 III.6.4 Estabilidade, treino de equilbrio/ proprioceptivo e reabilitao .................................................................... 16 III.7 TIPOS DE FORA: ALGUNS CASOS ESPECFICOS .................................................................................................................... 17 III.7.1 A fora gravtica .............................................................................................................................................. 17 III.7.2 A fora de reaco do solo .............................................................................................................................. 18 III.7.3 A fora de atrito .............................................................................................................................................. 21 III.7.4 Representao de foras: Diagrama de corpo livre......................................................................................... 26 III.7.5 A fora elstica ................................................................................................................................................ 27

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III Cintica linear

III.1 A foraNo captulo anterior o movimento foi descrito tendo em conta parmetros no tempo e no espao (posio, velocidade e acelerao) sem ter em conta as causas desse movimento, as foras e os mecanismos para a mudana do mesma. Neste captulo iremos comear o estudo da cintica ou dinmica do movimento. O termo dinmica tem origem do grego dynamike e significa forte. Em fsica, a dinmica/cintica um ramo que estuda as relaes entre as foras e os movimentos por elas produzidos. Segundo Enoka (2002) a fora um conceito usado para descrever a interaco fsica de um objecto com o meio que o rodeia. Deste modo, a fora pode ser considerada como um parmetro que tende a produzir uma alterao do estado de repouso ou de movimento de um objecto, isto , a fora a causa de mudanas no movimento. A fora uma grandeza vectorial. A unidade SI de fora o Newton (N), sendo 1N a fora necessria para produzir uma acelerao de 1m/s num objecto com massa de 1kg. As foras contribuem para diversas tarefas: colocar um objecto em movimento, parar o movimento de um objecto, alterar a direco em que se move um objecto, alterar a velocidade em que se move um objecto, equilibrar outras foras para manter um objecto em movimento constante ou parado, alterar a forma de um objecto. As foras mais comuns que afectam o movimento do corpo humano so as produzidas pela musculatura e sistema interno de ligamentos e tendes (foras internas), e as foras externas decorrentes da gravidade, inrcia e contacto. Assim, ao analisar uma tcnica desportiva necessrio ter em conta as seguintes foras externas: 1. fora gravtica 2. fora de reaco normal do solo (FRS) 3. fora de frico entre os apoios e o solo (fora de atrito) 4. resistncia do ar A fora nem sempre gera movimento num corpo, tal como pode existir movimento na ausncia de foras. Torna-se, assim, importante distinguir duas situaes: 1. 2. Equilbrio esttico: quando a resultante das foras nula e o objecto no sofre alterao na Equilbrio dinmico: quando a resultante das foras nula mas o corpo encontra-se em sua posio (repouso) movimento (com velocidade constante movimento rectilneo uniforme). A interaco de dois corpos raramente implica apenas uma fora. O efeito das foras que actuam em determinado sistema verificado pela fora resultante. Esta deriva da adio dos vectores de duas ou mais2

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foras que actuam no sistema e reflecte, assim, o efeito de rede de todas as foras que actuam em conjunto. A fora pode ser aplicada de uma forma concentrada ou de forma distribuda. Fora concentrada aquela que aplicada num nico ponto. Fora distribuda aquela que aplicada sobre uma rea e que pode ser aproximada a uma fora concentrada que tem o mesmo efeito resultante. Para haver interaco entre dois corpos, para ser gerada fora, no necessrio haver contacto entre eles. Deste modo pode ser feita a seguinte distino: 1. 2. Foras de contacto: como o prprio nome indica, so aquelas foras que so originadas Foras de campo: quando um objecto altera o movimento do outro sem precisar do contacto pelo contacto entre 2 objectos. Ex.: remate nos desportos colectivos directo. Ex.: fora gravtica e fora elctrica (manes) Por outro lado, as foras podem ser internas ou externas. As primeiras so aquelas que envolvem as interaces mecnicas no sistema msculo-esqueltico. Por exemplo, as foras exercidas pelos msculos nas articulaes. As foras externas derivam da massa corporal e do envolvimento (ex. fora gravtica, fora de atrito, etc.) sendo impostas ao corpo humano para alterar a sua energia mecnica.

III.2 A massaA massa a quantidade de matria, em kilogramas (kg), que um corpo possui, sendo uma propriedade intrnseca a este. Trata-se, portanto, de uma grandeza escalar cujo valor independente do envolvimento do objecto. Porm, a massa no deve ser confundida com a grandeza peso. O peso de um corpo o mdulo da fora gravitacional exercida pelo planeta sobre esse corpo, uma grandeza vectorial, expressa em Newton. Deste modo, um corpo com massa de 50kg pesar 490,5 N na Terra, enquanto que na Lua, por exemplo, o seu peso ser de 81,75N. Este conceito ser melhor explorado em tpicos seguintes.

III.3 Leis de NewtonAs leis de Newton foram publicadas pelo fsico e matemtico britnico Isaac Newton (1642-1727), no sculo XVII, no seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (vulgarmente conhecido por Principia). Estas leis consistem num conjunto de princpios sobre o movimento e so a base da mecnica. So leis fundamentais da natureza que no podem ser deduzidas ou provadas a partir de qualquer outro princpio. Torna-se, portanto, fundamental abordar este tema no estudo da dinmica.

III.3.1 Lei da Inrcia (1 Lei de Newton)

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Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Todo o corpo permanece no seu estado de repouso, ou de movimento uniforme rectilneo, a no ser que seja compelido a mudar esse estado devido aco de foras. De acordo com esta lei, a trajectria de um projctil seria rectilnea se no planeta Terra no existissem foras que actuassem sobre ele (atrito e gravidade).

Ilustrao - Sem atrito nem gravidade o projctil disparado por um canho manter-se-ia uma trajectria rectilnea (b) ao contrario do que se passa na realidade (a)

Imaginemos que, num passeio a cavalo, este assusta-se e trava bruscamente. A pessoa que ia em cima do cavalo projectada para a frente. Este facto explicado atravs da primeira lei de Newton, pois o cavalo pra e, segundo a lei, um corpo s altera o seu estado de movimento se actuar sobre ele uma fora. Como a fora s actua no cavalo, o cavaleiro continua o movimento que estava a ter, mas desta vez sem o cavalo. A pessoa s altera o seu movimento, ou seja, s cai do cavalo porque lhe so aplicadas duas foras: a resistncia do ar, e a fora da gravidade. O conceito de inrcia sustenta esta lei, tornando-se fundamental a sua descrio. A inrcia a resistncia que o corpo oferece a alterar o seu estado de movimento e medida atravs da massa. , portanto, a propriedade da matria de um objecto, que s revelada quando ele acelerado, ou seja, quando h mudana de velocidade. Quanto maior for a massa de um corpo, maior a dificuldade em alterar o seu movimento e, por isso, maior a sua inrcia. Por exemplo, se dois jogadores de rguebi estiverem a correr mesma velocidade, ir ser mais fcil placar o jogador mais leve j que este ir oferecer menor inrcia. As foras produzem movimento, seja interno, externo ou ambos. Contudo, existem momentos em que as foras realizadas sobre o corpo humano devem ser reduzidas para se prevenirem leses. Nas tarefas de arremesso, fundamental a quantidade de velocidade que um objecto ganha. Isto depender da magnitude da fora e do tempo em que esta actua. Assim, uma maior amplitude de movimento permitir a aplicao de uma fora durante mais tempo, resultando numa maior velocidade de sada do objecto arremessado. Existem outros eventos em que a reduo da intensidade da fora apropriado. Por exemplo: parar objectos ou o prprio corpo humano quando chega ao solo, em desportos como o cricket e o judo.

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S a fora pode, deste modo, alterar a quantidade de movimento de um objecto. A grandeza momento linear ( sua inrcia e da sua velocidade. Se s uma fora externa pode alterar a quantidade de movimento de um corpo ou objecto ento: ) ou quantidade de movimento uma grandeza vectorial que traduz, como o prprio nome indica a quantidade de movimento de determinado corpo ou objecto dependendo, por isso, da

O que significa que se a fora (resultante de foras) for nula a quantidade de movimento mantm-se constante e tem-se uma situao de conservao do momento linear.

Relembre a derivada de uma constante zero

A nvel de performance humana esta situao poder ser observada, por exemplo, nos movimentos que os patinadores realizam no solo (por exemplo piruetas) em que o peso se anula com a reaco normal do solo ou em colises ideais (sem perdas de energia). A nvel desportivo, temos como exemplo a coliso entre a bola de tnis e a raquete num servio, ou a mo do jogador de voleibol e a bola num remate.

Ilustrao: Exemplo comum de conservao do momento linear: as colises

III.3.2 Lei Fundamental da mecnica (2 lei de Newton) Lex II: Mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae, etfieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Se uma fora externa actua sobre uma partcula, esta move-se de acordo com a alterao instantnea da quantidade de movimento que esta fora gera. Isto significa que a acelerao de um corpo directamente proporcional resultante das foras aplicadas a um corpo e inversamente proporcional massa desse corpo.

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Vimos na 1 lei que o corpo s altera o seu estado de movimento se lhe for aplicada uma fora. Esta segunda lei afirma que, sendo aplicada uma fora externa num corpo, este adquire uma acelerao cuja intensidade depende da intensidade da fora aplicada. Quanto mais intensa for a fora resultante, maior ser a acelerao adquirida pelo corpo. Partindo desta lei pode ser deduzida a equao que permite o clculo da fora. Pela 1 Lei sabemos a fora a alterao da quantidade de movimento de um corpo

Relembrando a regra de derivao do produto

Onde: = quantidade de movimento ou momento linear = massa =velocidade = fora (externa) Que foras actuam na cabea de um futebolista quando este cabeceia a bola? Se a vi da bola quando contacta a cabea for 22m/s, a vf da bola quando sai da cabea do jogador for 17m/s, a massa da bola for 0.5kg e o tempo de contacto for 0.06s : F=ma a = (vf - vi) / t F = m (vf - vi) / t Como vi e vf tm sentidos opostos, tm sinais contrrios. F = 0.5 (17-(-22))/0.06 = 325 N Este um valor tpico de foras que acontecem durante o cabeceamento num jogo de futebol. Considerando que um jogador cabeceia a bola vrias vezes ao longo de um jogo, comum as concusses acontecerem. III.3.3 Lei da Aco e Reaco (3 lei de Newton) Lex III: Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sine corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. A toda a aco de um corpo sobre outro corresponde uma reaco do segundo sobre o primeiro, de igual mdulo e direco mas com sentido oposto.

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Sempre que uma fora actua sobre um corpo, uma fora igual mas oposta actua sobre este. Isto , para cada aco existe uma reaco contrria com a mesma intensidade. Assim, a aco e a reaco actuam em corpos diferentes. Um exemplo a partida de blocos numa corrida de 100m. A fora de aco aquela que o atleta aplica sobre os blocos e a fora de reaco aquela que exercida sobre o seu p. Quanto maior a fora exercida sobre os blocos, maior a fora de reaco. A fora de reaco sempre perpendicular superfcie sobre a qual aplicada. Neste exemplo da partida de blocos, ser um vector perpendicular ao bloco onde o p assenta. Esta lei pode representar-se graficamente por dois corpos A e B que actuam mutuamente um sobre o outro (neste exemplo distncia), como se mostra na ilustrao que se segue. SeA

FB forAco Reaco

a fora que A exerce sobre B, ento pela lei da aco e reaco, o corpo A deve ser igualmente actuado por uma reacoB FA exercida por B sobre A, de tal forma que

Ilustrao 1: Representao esquemtica da Lei da aco reaco

Note que, para esta lei se concretizar necessrio existirem sempre dois corpos diferentes. No entanto, como j vimos no incio deste captulo, bom relembrar que para haver interaco entre dois corpos no preciso que estes estejam em contacto (ver diferena entre foras de contacto e foras de campo).

III.4 Impulso de uma foraO movimento de um corpo depende no apenas da fora a que submetido mas tambm da durao da aplicao dessa fora. O impulso a grandeza vectorial que mede o efeito de uma fora resultante sobre um corpo ou sistema durante um determinado perodo de tempo. calculado atravs da expresso:

Graficamente o impulso ir traduzir-se na rea sob uma curva de fora/tempo (ver ilustrao seguinte), numericamente como o produto da fora mdia (N) e o tempo (s) (valor mdio para um intervalo de tempo) ou como o integral da fora e relao ao tempo (valor desta grandeza para cada instante da tarefa).

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Ilustrao Interpretao grfica do conceito de impulso (Adaptado de (R. Enoka, 2002)

O impulso aumenta quer com o aumento da intensidade da fora aplicada, quer com o aumento da durao de aplicao da fora. O impulso derivado de uma fora resultante externa actuando numa determinada direco sobre um sistema equivalente variao do momento linear do sistema nessa direco, durante o mesmo perodo de tempo.

A relao entre estas duas grandezas deriva directamente da 2 Lei de Newton e denominada por teorema do impulso e do momento.

Por exemplo, se filmarmos um atleta a executar um remate de voleibol e soubermos a massa ( ) da bola, podemos determinar o impulso aplicado a essa bola. Da filmagem retira-se a velocidade da bola antes ( ) e aps o contacto do ( ) e o tempo total em que a mo est em contacto com a bola ( ).

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Pelo teorema do impulso e do momento:

Como sabemos o tempo de contacto ( ), podemos determinar a fora media exercida pelo voleibolista durante o contacto:

III.5 ImpactoO termo Impacto significa pressionar junto de. O impacto est relacionado com as foras de contacto no desporto, uma coliso ou uma pancada entre dois ou mais objectos. Pode ocorrer vertical e horizontalmente como um movimento de queda ou quando um corpo parado por contactar com uma superfcie resistente, como por exemplo uma parede. Em termos do impacto que o corpo humano recebe, a preocupao orienta-se para a preveno de leses, particularmente em desportos de contacto, e ainda para a recuperao do equilbrio e estabilidade. Existem muitas actividades desportivas onde os objectos colidem uns com os outros (taco de golfe e bola, raquete de tnis e bola, etc.) num curto espao de tempo, envolvendo foras de contacto de grandes intensidades e resultando em alteraes rpidas de quantidade de movimento em um ou ambos os objectos que colidem. Para alm disso, durante o breve perodo do tempo de contacto, os dois objectos so submetidos a um perodo de deformao e a um perodo de restituio (regresso forma original). Por exemplo, uma bola de tnis est em contacto com as cordas de uma raquete por apenas alguns milisegundos. Na parte inicial do impacto, a bola achata-se e as cordas distorcem. Na parte final do impacto, quer a bola quer a raquete voltam sua forma inicial. Aps o impacto, as velocidades dos dois objectos esto dependentes das suas velocidades antes do impacto e da qualidade e natureza do impacto. Numa coliso perfeitamente elstica, as velocidades relativas dos dois objectos aps o impacto (velocidades de separao) so iguais, tal como as velocidades antes do impacto (velocidades de aproximao). Numa coliso inelstica, as velocidades relativas dos objectos aps o impacto so inferiores s velocidades antes do impacto e parte da energia total do movimento perdida (podendo transformar-se em calor associado ao processo de deformao e restituio). Assim, o impacto envolve uma coliso onde uma grande quantidade de fora actua durante um breve perodo de tempo. A fora actuante durante o impacto tem dois efeitos: parte da energia absorvida e perdida atravs da deformao dos objectos, e a restante fora altera a direco dos objectos. Existem dois tipos de impacto:

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Perfeitamente elstico: no se perde energia durante o impacto. A intensidade da velocidade relativa dos objectos aps o impacto igual velocidade antes do impacto. Perfeitamente plstico: os objectos deformam e permanecem juntos. A velocidade relativa entre os objectos nula aps o impacto. Grande parte dos impactos tem caractersticas intermdias. Para prevenir leses aquando do impacto, dois princpios devem ser considerados: 1. Quanto mais gradual for a perda de momento linear do corpo, menor a fora exercida no corpo. 2. Quanto maior a rea que recebe o impacto, menor a quantidade de fora aplicada por unidade de superfcie. Existem igualmente dois princpios a realar relativamente manuteno e recuperao do equilbrio aps uma situao de impacto: 1. O equilbrio melhorado quando existe uma grande base de suporte na direco da fora. 2. No momento do impacto, o CM est centrado o melhor possvel na base de suporte. Por exemplo, um atleta de salto em comprimento, ao chegar ao solo ir descer as ancas sobre os ps, aumentando assim a estabilidade. O coeficiente de restituio (e) um ndice que mede a elasticidade de um impacto. Varia entre 0 e 1. Um e igual a 1 reflecte uma coliso perfeitamente elstica, enquanto que um e igual a 0 reflecte uma coliso perfeitamente plstica (ou inelstica). Este ndice depende em grande parte da natureza dos materiais que constituem os objectos que colidem. igualmente afectado pela velocidade do impacto, pela forma e tamanho dos objectos, da localizao especfica em cada objecto onde ocorre a coliso e das suas temperaturas. Em termos quantitativos, o e a razo das velocidades relativas dos objectos que colidem antes e aps o impacto:

Onde:

so as velocidades dos dois objectos imediatamente aps o impacto e

so as

suas velocidades imediatamente antes do impacto. O sinal negativo na equao necessrio porque as velocidades antes e aps o impacto so em direces opostas. Para impactos entre, por exemplo, uma bola e o cho, a equao simplificada ficando: impacto de qualquer objecto sobre si 0. Do conhecimento adquirido acerca do movimento uniformemente variado, sabe-se que quando uma bola largada sobre uma superfcie fixa, a sua velocidade imediatamente antes do impacto determinada pela altura a que a bola largada: onde zero. Observando esta equao verifica-se assim que a velocidade proporcional raiz quadrada da altura. De forma similar, a altura que a bola alcana aps o impacto proporcional raiz quadrada da velocidade da bola imediatamente aps o impacto. , j que a velocidade do cho antes e aps o

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Assim, possvel simplificar mais a equao do coeficiente de restituio para este caso especfico: , onde corresponde altura do ressalto da bola e a altura a que a bola largada.

III.6 Estabilidade e equilbrioA estabilidade a capacidade de um objecto resistir a uma ruptura de equilbrio e de regressar ao seu estado original, caso esse equilbrio tenha sido perturbado. Quanto mais estvel for um corpo ou objecto, maior a sua capacidade de resistir a maiores foras. O equilbrio a capacidade de controlar a oscilao do corpo. Para se manter em equilbrio, o centro de massa de um atleta deve projectar-se no centro da sua base. Com objectos de forma regular fcil prever a localizao do centro de massa contudo, com as alteraes da forma do corpo humano durante o movimento, a localizao do centro de massa menos previsvel. Desta forma, essencial aprofundar um pouco o conhecimento do conceito de centro de massa e da sua forma de clculo para o corpo humano.

III.6.1 Centro de massa O centro de massa (CM) representa um ponto de equilbrio, um local onde todas as partes do corpo esto uniformemente distribudas e que independente de qualquer campo gravtico. Quanto ao centro de gravidade (CG), trata-se do ponto de aplicao da fora resultante do somatrio do conjunto de foras de atraco da Terra (o ponto de aplicao de vector que representa o peso do corpo). No ser humano, a posio do CG corresponde posio do CM. Como j foi referido acima, o centro de gravidade da totalidade do corpo humano depende da colocao relativa dos centros de gravidade dos corpos parciais. A sua determinao um aspecto fundamental na maioria das anlises biomecnicas. Como acontece com muitas foras, na anlise do movimento humano, o peso uma fora distribuda cujo efeito se representa como actuando numa posio central. Por exemplo, um diagrama de corpo livre mostra o contacto entre a cabea de um jogador e uma bola de futebol como ocorrendo num ponto, embora ele se distribua sobre uma rea grande da testa. Da mesma forma, o centro de massa nesse ponto do objecto o ponto sobre o qual a massa do objecto distribuda uniformemente. Assim, quando a massa do objecto redistribuda, que acontece normalmente no movimento humano, a posio do centro de massa tambm se move.

III.6.2 Anlise segmentar e clculo do centro de massa (CM) Diversos grupos dos investigadores dissecaram cadveres na tentativa de estimao de valores antropomtricos (pesos e posio dos centros de massa segmentares) para os diferentes segmentos do corpo humano, atravs da derivao de equaes de regresso.

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Cintica LinearTabela: Equaes de regresso com as estimativas do peso e da localizao do centro de massa de cada segmento corporal

Segmento Cabea Tronco Brao Antebrao Mo Coxa Perna P

Peso (N) 0.032 Fp +18.70 0.532Fp- 6.93 0.022 Fp + 4.76 0.013 Fp + 2.41 0.00'5 Fp + 0.75 0.127 FP - 14.82 0.044 FP - 1.75. 0.009 FP + 2.48.

Localizao CM (%) 66.3 52.2 50.7 41.7 51.5 39.8 41.3 40

Inicio da localizao Vertex C1 Articulao do ombro Articulao do cotovelo Articulao da mo Articulao da anca Articulao joelho P

Os pesos dos segmentos do corpo so estimados em funo do peso total do corpo, e as posies do CM so expressas em percentagem do comprimento do segmento, medido a partir da sua parte proximal. Assim, em funo da tabela acima apresentada, um indivduo com 750N de peso tem, por exemplo,

Peso do tronco = 0.532 750 6.93 = 392NO que perfaz 52.% do total do peso corporal. De forma semelhante,

Peso da mo = 0.005 750 + 0.75 = 4.5NO qual representa aproximadamente 0.6% do peso do corpo. Com a ajuda da tabela acima apresentada pode calcular-se a posio do centro de massa de cada segmento. Se o comprimento da coxa de um indivduo de 36 cm, ento o centro de massa fica situada a 39.8% da distncia da articulao coxofemural:

Localizao do CM = 36 0.398 = 14.3cm da articulao coxo femoralPara determinar as coordenadas da posio do centro de massa de todo o corpo durante o movimento , normalmente, usado um procedimento chamado anlise segmentar. Este procedimento considera o corpo humano como um conjunto de corpos rgidos (segmentos) e trata-os individualmente. Uma anlise segmentar envolve o clculo da massa e da posio do centro de massa (CM) para cada segmento do corpo e, a partir desta informao, o clculo da localizao do centro de massa para o corpo inteiro.

Ilustrao - Segmentao do corpo usada em dois estudos: esquerda , Chandler, Clauser, McConville, Reynolds, e Young, 1975 - 14 segmentos); direita Zatsiorsky e Seluyanov, 1983 os 16 segmentos

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O centro de gravidade da totalidade do corpo humano depende da colocao relativa dos centros de gravidade e da massa relativa de cada segmento. Esta definio implica que o corpo humano seja considerado dividido em vrios corpos rgidos e que para cada um seja conhecido o respectivo CG. De um modo geral considera-se que o CG (adulto jovem em posio anatmica normal) est localizado no bordo anterior da 2 vrtebra sagrada. No entanto, em cada execuo, o movimento a causa fundamental da variao da colocao instantnea do CG da totalidade do corpo. O Movimento, isto , a deslocao relativa dos "corpos rgidos", em que o "corpo articulado" est dividido, provoca uma alterao constante da resultante final para o conjunto. Cada um daqueles corpos rgidos tem um CG bem definido e considerado fixo. Para o clculo numrico do CG necessrio dominar os conceitos seguintes: Massas relativas: Considerando a massa do corpo como a unidade (massa do corpo = 1) cada segmento considerado tem uma massa relativa que dada por uma percentagem. Para determinar a massa aproximada de um segmento para um determinado executante basta aplicar as propores estabelecidas na tabela a baixo. Localizao dos centros de gravidade de cada segmento: Considerando o comprimento de cada um dos segmentos do modelo como a unidade (comprimento do segmento =1) h uma posio relativa do CM de cada segmento expressa numa percentagem presente na tabela que se segue. Essa posio dada em centmetros medidos a partir da articulao prximal de determinado segmento.

Tabela - Tabela de massas relativas e localizao dos centros de gravidade de cada segmento

Segmento Cabea+P Tronco Brao Antebrao Mo Coxa Perna P

Massas relativas 0,081 0,497 0,028 0,016 0,006 0,100 0,047 0,014

localizao dos C.G. de cada segmento 0,500 vrtex - 7cervical 0,500 c. glenohumeral - g. trocanter 0,436 c. glenohumeral - c. art.cotovelo 0,430 c. art.cotovelo - c. art.punho 0,506 c.art.punho - c. art. 2 falange 0,433 g.trocanter - cond. Femural 0,433 cond. Femural malolo 0,500 malolo - metatrsico-fal

A determinao numrica do CM compreende, assim, os seguintes passos: 1. Definir e localizar os pontos anatmicos que delimitam cada um dos segmentos que constituem o modelo grfico:

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Ilustrao - localizar pontos anatmicos

2. Determinar os valores das coordenadas ortogonais de cada ponto anatmico - (xdi , ydi coordenadas da extremidade distal de referncia; xpi , ypi - coordenadas da extremidade proximal de referncia). Teremos tantos conjuntos de coordenadas (xdi , ydi) , (xpi , ypi) quantos os pontos anatmicos necessrios para definir os segmentos do modelo definido. No nosso caso e para todo o corpo, i ter valores de 1 a 21. 3. Determinar a posio do centro de gravidade de cada segmento (xn,yn). Teremos tantos conjuntos de coordenadas (xn,yn) quantos os segmentos do modelo definido. Neste caso, n ter valores de 1 a 14. As coordenadas de posio do CG em cada segmento (xn,yn) so calculadas a partir do comprimento do segmento - relao algbrica entre as coordenadas da extremidade distal (xdi , ydi) e as coordenadas da extremidade proximal (xpi, ypi) - e do valor (Rn%) considerado como localizao do c.g. em relao ao respectivo comprimento total. Os valores de xdi , ydi, xpi , e, ypi so obtidos por digitalizao; os valores de (Rn%) so obtidos directamente na tabela usada.

xn , yn - Coordenadas do CG do segmento xdi , ydi - Coordenadas da extremidade distal de referncia xpi , ypi - Coordenadas da extremidade proximal de referncia Rn% - Valor percentual da localizao do CG de cada segmento 4. Associar a cada uma das coordenadas (xn , yn) uma massa relativa (mn). Isto , de acordo com a tabela, a cada segmento do modelo associado um valor ponderado da massa total do corpo. A associao de cada coordenada a cada massa obtida pelo produto dos dois valores: (mn xn) e (mn yn). O nmero n depende do nmero de segmentos considerados.

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5. Determinar a posio do CG da totalidade do conjunto de n segmentos ou da totalidade do corpo, considerando que o produto dos valores da massa total e dos valores das coordenadas que se desejam determinar igual soma dos produtos de cada massa parcial e do valores das respectivas coordenadas:

xcm = ycm =

mi xi m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... = mi m1 + m2 + m3 + ... mi yi m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + ... = mi m1 + m2 + m3 + ...

III.6.3 Centro de presso As foras de reaco entre um corpo e a superfcie que o suporta so distribudas por toda a rea de contacto. A fora pode ser totalizada numa fora resultante actuante num nico ponto. A este ponto chamase centro de presso. o ponto sobre o qual a fora de reaco do solo est equilibrada. Durante a posio vertical normal ocorrer, por vezes, o movimento da cabea. Este movimento vai causar osculao do centro de massa que, por sua vez, causa movimentao do centro de presso na regio p/solo. Este fenmeno denomina-se oscilao postural e normalmente ocorre nos planos sagital e frontal. Oscilao anteroposterior (plano sagital) Oscilao mediolateral (plano frontal) 5-7mm - jovem adulto 3-4mm - Jovem adulto

A oscilao postural pode ser afectada por diversos factores: idade, leses, obesidade, fadiga ou condies ambientais. Clarifica-se mais uma vez os fortes elos deste conceito com, por exemplo, a performance atltica e o risco de leso e com a populao idosa e o risco de queda. Na figura seguinte possvel observar que foram colocados oito transdutores de presso no p: dois sob o calcanhar, dois sob a parte mdia, trs sob a parte da frente do p e um sob o dedo grande do p. A sequncia dos diagramas mostra a distribuio da presso nestas posies nas vrias fases do apoio. Quando se mede a fora de reaco do solo com um plataforma de foras, a magnitude da fora representa a soma das presses distribudas da totalidade do p. A localizao (ponto de aplicao) da fora de reaco do solo no p corresponde ao centro de presso. Este o ponto central da presso exercida no p.

Ilustrao: Distribuio da presso, em oito pontos, no p de um atleta que corre a 3.3ms (Hennig and Milani, 1995)

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Ilustrao: Deslocamento do centro da presso durante a fase de apoio em dois atletas com tipos de apoio diferentes.

III.6.4 Estabilidade, treino de equilbrio/ proprioceptivo e reabilitao A base de suporte a rea delimitada por todos os pontos de contacto entre o corpo e a superfcie. possvel mover o centro de presso para qualquer ponto dentro da base de suporte mas impossvel movlo para fora da base de suporte e permanecer estvel ou equilibrado. Para permanecer em equilbrio, o centro de presso deve estar imediatamente abaixo do CM do corpo. Desta forma, para o corpo permanecer equilibrado, o CM deve situar-se no interior dos limites da base de suporte: equilbrio esttico. Quando o CM de massa do corpo avana, importante aplicar uma fora direccionada para a retaguarda de modo a parar o movimento e prevenir a perda de equilbrio. Ao movimentar-se rapidamente para a frente, o CM deve situar-se mais perto da parte posterior do corpo, uma vez que existe um grande deslocamento ao chegar fase de desacelerao. Desta forma existe uma grande distncia horizontal desde os limites da base de suporte, permitindo a existncia de maior equilbrio. Factores que aumentam a estabilidade: Maior quantidade de massa e momento de inrcia ( necessrio mais fora para acelerar) Maior atrito entre a superfcie de contacto e o apoio (as foras de atrito so utilizadas para retardar ou parar o movimento horizontal) Maior base de suporte (o CM pode deslocar-se para a frente sem ultrapassar os limites da base de suporte) Maior distncia horizontal entre o CM e os limites da base de suporte CM mais baixo ( produzida menor oscilao e tambm necessria menor fora para restaurar o equilbrio) Uma boa estabilidade e equilbrio so requisitos essenciais para ter sucesso em diversos desportos. Treino em ambientes instveis tem sido utilizado desde h muitos anos por atletas de artes marciais para melhorar a estabilidade, equilbrio e potncia. No entanto, ainda existe grande desacordo na comunidade do treino de fora relativamente a este tipo de treino, ao treino funcional e relao com a melhoria da performance. O factor primordial que deve orientar qualquer programa de exerccio a especificidade. (Santana, 2002) refere que este tipo de treino no melhor que outros mas deve sim, ser um complemento de outros mtodos de treino.

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O equilbrio pode definir-se como a capacidade do corpo se manter sozinho na posio direita, o que requere input proprioceptivo. A propriocepo definida como a recepo de estmulos internos no organismo. , portanto, um processo neurolgico. Durante um programa de reabilitao de um tornozelo, por exemplo, so utilizados testes especficos proprioceptivos e de equilbrio, testes clnicos de interaco sensorial em plataforma de equilbrio ou de foras que medem objectivamente a oscilao postural. Aps a aplicao dos testes, o prximo passo na cadeia da reabilitao o treino. O treino proprioceptivo pode melhorar o equilbrio dinmico (Gilman, 1996). As leses ao nvel do tornozelo ocorrem com mais frequncia quando o p est em contacto permanente com o solo sendo, desta forma, imprescindvel que o treino proprioceptivo seja feito em cadeia fechada. Caso este tipo de treino se torne demasiado doloroso devem utilizar-se exerccios em cadeia aberta progredindo gradualmente atravs da utilizao de bolas de estabilidade, plataformas e colches instveis, actividades com mudanas de direco (Hanney, 2000), etc. O treino em ambiente de instabilidade tem, sem dvida, lugar em programas de reabilitao da estabilidade e do equilbrio. Muitas aces dinmicas incluindo a marcha e a corrida so naturalmente instveis. Consistem numa srie de quedas interrompidas e difcil quantificar a estabilidade durante essas tarefas. Os equilbrios estticos e dinmicos so essenciais para a obteno de uma performance ptima. As aptides motoras como o chutar e o saltar em desportos de contacto (por exemplo o rguebi e o futebol) so realizadas frequentemente sob uma grande presso. Um equilbrio corporal inadequado pode resultar numa m performance e at leso.

III.7 Tipos de fora: alguns casos especficosIII.7.1 A fora gravtica Pouco se sabia sobre gravitao at ao sculo XVII, pois acreditava-se que os cus e a Terra eram governados por leis diferentes. A fora que mantinha a Lua presa Terra nada tinha que ver com a fora que nos mantm presos a esta. Newton foi o primeiro a pensar na hiptese de as duas foras possurem a mesma natureza. Deste modo, a lei da gravitao universal de Newton afirma que

"Todos os objectos no Universo atraem todos os outros objectos com uma fora direccionada ao longo da linha que passa pelos centros dos dois objectos, e que directamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da separao entre os dois objectos." Este princpio da atraco universal exprime-se matematicamente pela equao seguinte:

F=Onde: F = fora gravitacional entre dois objectos

Gm1m2 r2

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m1 = massa do objecto 1 m2 = massa do objecto 2 r = distncia entre os centros objectos G = constante universal da gravitao ( G

= 6, 67 1011 N m2 / kg 2 )

Estas foras da atraco entre objectos, excepo da atraco da Terra, so consideradas geralmente como insignificantes no estudo do movimento humano. O peso a expresso da quantidade de atraco gravitacional entre um objecto e a Terra expresso em Newton (N). O peso varia proporcionalmente com a massa - maior massa, maior atraco. Porque o peso representa a interaco entre um objecto e a Terra, o valor da interaco depende das suas massas respectivas e da distncia entre elas; consequentemente, a gravidade diminui quando a altitude acima do nvel do mar aumenta. Isto esclarece uma das vantagens em competir a altitude elevada nos eventos em que temos que vencer a gravidade (por exemplo, salto em comprimento, lanamento do peso). Em 1968, nos JO na Cidade do Mxico (2250m de altitude),as alteraes na acelerao devido gravidade modificaram significativamente a performance dos atletas. A acelerao devido gravidade era 0.3% inferior do Reino Unido, ajudando os atletas de modalidades de potncia de curta durao. Deste modo, o vector peso tem como ponto de aplicao o centro de gravidade do corpo, a sua direco vertical e o sentido descendente. III.7.2 A fora de reaco do solo De acordo com a Lei de Newton de Aco Reaco, para cada aco existe uma reaco com igual intensidade e direco mas de sentido oposto. Deste modo, a aco do peso (expresso da atraco que a Terra exerce sobre os diferentes corpos) acompanhada sempre por uma reaco que denominada fora de reaco normal do solo. A Reaco normal uma fora externa usada para a propulso dos movimentos, servindo assim para iniciar e controlar os mesmos. De acordo com a lei da acelerao de Newton, as foras externas que agem no corpo causam acelerao:

F = m.aOnde: F = soma das foras externas m = massa do sujeito a = acelerao

Ilustrao - Fora de Reaco do solo

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Deste modo, a fora resultante no eixo vertical para um sujeito que, por exemplo, d um salto, o somatrio do peso (P) com a fora de reaco do solo (R). Consequentemente,

Fz = Rz POnde: Fz = fora vertical que actua no corpo Rz = a fora vertical de reaco ao solo P = peso do corpo Pela segunda lei de Newton

Rz P = maz az = ( Rz P) / mOnde: az = magnitude da acelerao vertical. Deste modo, podem ser retiradas as seguintes concluses (presentes na tabela) acerca da relao entre a reaco normal do solo o peso e a acelerao. Rz vs. P Rz > P Rz = P Rz < P az az > 0 az = 0 az < 0

Tabela - Relao entre Rz e P, e na resultante az

A fora de reaco do solo pode ser medida atravs de uma plataforma de foras. Numa plataforma de foras existem quatro sensores triaxiais encaixados na placa que esto organizados de tal formas que a fora de reaco do solo pode ser medida em trs eixos: eixo mdiolateral (eixo X,), antero-posterior (eixo Y), e longitudinal (eixo Z). A ilustrao seguinte mostra as diferentes reaces normais do solo calculadas pelos sensores da plataforma. A resultante das foras de reaco normal do solo obtida somando as quatro reaces referidas (R=R1 + R2 + R3 + R4).

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Ilustrao Reaco Normal do solo medida na plataforma de foras

Como se pode observar na figura, a plataforma de foras fornece-nos dados das trs componentes da fora resultante que actua no p na fase de apoio. Essa resultante calculada como tendo apenas um ponto de aplicao no p. No entanto, o que se verifica que, na verdade, a fora no se aplica num ponto nico mas distribuda em vrias zonas do p. Como referido anteriormente, a fora da reaco do solo tem trs componentes: X, Y e Z, componentes (Rx, Ry Rz). De seguida exposto um exemplo deste tipo de curvas para a corrida. Os grficos seguintes mostram, ento, o padro tpico de actuao de cada uma destas componentes durante a fase de suporte na corrida.

Ilustrao: Curvas tpicas para as 3 componentes da FRS durante a fase de suporte na corrida in (Roger Enoka, 2002)

Ir ser feita uma anlise mais pormenorizada do padro de actuao da componente vertical da fora. A figura seguinte mostra o padro da fora de reaco do solo Rz durante a corrida lenta (jogging). O primeiro pico chamado pico do impacto (P1) e o 2 pico chamado de pico da propulso (P2). O pico do impacto est associado travagem do movimento no contacto inicial do p. O pico da propulso est associado propulso do corpo para a frente. Este tipo de informao vital para quem desenvolve sapatos de desporto de forma que possam projectar solas de sapatos que tenham ao mesmo tempo a capacidade de reduzir pico de impacto ao mesmo tempo que matem as caractersticas propulsivas do sapato.

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Ilustrao 2: padro da fora de reaco do solo na vertical (Rz) durante a corrida lenta

A fora de reaco do solo vertical mxima alcana 2 a 3 vezes o peso de corpo. Alguns dos factores que afectam o valor da fora de reaco so: estilo da passada (isto , como o p contacta o solo), a velocidade de corrida, o calado, a composio da superfcie do solo e a inclinao.

III.7.3 A fora de atrito Entre quaisquer duas partculas em contacto (em movimento ou no) existe sempre uma fora de frico o Atrito ( ). Existem dados experimentais que mostram que a fora de atrito entre duas partculas ou superfcies em contacto tem as seguintes caractersticas: - independente da rea de contacto entre as partculas; - depende das caractersticas dos materiais que constituem as partculas ou superfcies de contacto; - depende da fora normal entre as duas partculas; - depende da massa de um corpo. O atrito uma fora que se ope ao movimento de uma superfcie em relao a outra com a qual est em contacto. A existncia do atrito deve-se s superfcies que, embora paream lisas a olho nu, apresentam escala microscpica muitas salincias e reentrncias. So estas irregularidades nas superfcies de contacto que fazem com que a presso nesse local se eleve e as una intimamente, dificultando assim o movimento. Desta forma, quanto mais polidas e duras forem as superfcies de contacto entre dois corpos, menor ser a fora de atrito que se estabelece entre as referidas superfcies. No nosso dia-a-dia so inmeras as situaes em que surge a fora de atrito. Esta tanto pode possuir um carcter til como prejudicial. til pois sem ela no poderamos caminhar, andar de automvel, acender um fsforo ou at mesmo escrever. No entanto esta tambm pode ser prejudicial pois provoca o desgaste nos materiais e peas mecnicas em funcionamento e conduz dissipao de energia pelo aquecimento das peas. Para uma pessoa que caminha, o atrito possibilita que ela se desloque com segurana. Isto porque os nossos sapatos possuem solas de borracha que aderem bem ao solo. Este exemplo tambm se estende aos automveis. para criar uma maior aderncia, isto , maior atrito entre os

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pneus e a estrada, que estes possuem sulcos cavados. tambm para aumentar o atrito que o asfalto das estradas spero. O atrito de cada superfcie depende das caractersticas desta, isto , do seu grau de rugosidade. A constante adimensional que mede este grau denomina-se coeficiente de atrito. Os coeficientes de atrito no dependem da rea das superfcies de contacto mas sim da natureza das superfcies de contacto. Como tal, os seus valores raramente so conhecidos com uma preciso superior a 5%.

Se contacto,

= 0 , no existe atrito e se = 1 diz-se que o objecto est fixo. Quando dois objectos esto emser ligeiramente inferior quando estes se encontram a deslizar um sobre o outro, quando

vai

comparados com a situao em que ambos esto em repouso mas prestes a iniciar o deslize. Desta forma podem ser definidos dois tipos de atrito e respectivos coeficientes: Atrito Esttico: fora de atrito aplicada na superfcie do objecto quando este est em repouso. Atrito Dinmico: fora de atrito aplicada na superfcie do objecto quando este est em movimento. Valores aproximados dos coeficientes de atrito esttico so tabelados para vrias superfcies secas. Os valores correspondentes ao atrito dinmico (cintico) sero cerca de 25% menores pois, como vimos acima, mais fcil manter um objecto em movimento do que iniciar o movimento. Seguem-se alguns exemplos de coeficientes de atrito de diferentes superfcies. A fora de atrito vai, assim, depender do coeficiente de atrito e da reaco normal do solo.

Material Vidro sobre vidro Ao sobre ao Metal sobre metal Gelo sobre gelo Pneu sobre asfalto molhado Pneu sobre neve Teflon sobre teflon (ou sobre ao)

e0.94 0.74 0.15 0.10 0.60 0.30 0.04

c0.40 0.57 0.06 0.03 0.40 0.20 0.04

Tabela Coeficientes de atrito (tabela adaptada de Alonso Finn, 1967)

Ao empurrar uma caixa em repouso, dependendo da fora que aplicada sobre ela, esta pode ou no deslocar-se. Se a caixa permanecer em repouso, isto significa que tem de existir uma ou mais foras que a equilibrem. So as foras de atrito entre a base do corpo e a superfcie de apoio que tendem a contrariar a tendncia de deslizamento deste e equilibram a fora exercida. A esta fora de atrito chama-se atrito esttico. Quando se tenta empurrar um corpo e ele no se move, mesmo se aumentarmos a intensidade da

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fora, o corpo poder continuar a no se mover pois as foras de atrito tambm aumentam, continuando a equilibr-la. S a partir de uma determinada intensidade da fora aplicada que se consegue mover o corpo. Na situao esttica, o valor da intensidade da fora que traduz o resultado das interaces de atrito :

Em que: o coeficiente esttico a reaco normal do solo O valor mximo do coeficiente esttico o valor da intensidade da fora que preciso aplicar para que o corpo finalmente saia do repouso.ur F ur F ur F ur F

ur Fa

X

ur Fa

X

ur Fa

X

ur Fa

X

Ilustrao: Fora de Atrito - o bloco s comea a mover-se quando a fora aplicada for mais intensa que a fora de atrito

Se observarmos o ltimo desenho da ilustrao anterior, a fora aplicada excede, em intensidade, a fora de atrito, provocando o deslocamento do corpo. Quando esta situao acontece, as foras de atrito designam-se por foras de atrito cintico. A intensidade da fora de atrito cintico expressa por:

Em que: o coeficiente de atrito cintico a reaco normal do solo J foi referido que o valor do coeficiente de atrito cintico , em geral, menor do que o coeficiente de atrito esttico. Perante uma fora aplicada, a intensidade de fora de atrito esttico aumenta at atingir um valor mximo. Quando as superfcies entram em deslizamento relativo, a intensidade da fora de atrito diminui at um valor aproximadamente constante.

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Ilustrao: Variao da Fora de Atrito aplicada a um objecto. Atrito Esttico: sem movimento relativo. Atrito Dinmico: com movimento relativo

Se a fora de atrito tiver intensidade igual fora aplicada e o objecto est em movimento, a resultante das foras nula e a velocidade a que se desloca constante (MU). Se a intensidade da fora resultante for superior intensidade da fora de atrito, a resultante destas foras vai produzir uma acelerao de acordo com a 2 Lei de Newton. Se esta fora se mantiver constante, a acelerao tambm se vai manter constante e o movimento ir ser uniformemente variado (ver ilustrao que se segue).

Ilustrao A fora de atrito no movimento uniforme e no movimento uniformemente variado

Se a fora aplicada ao objecto for retirada, a fora de atrito vai fazer com que o objecto abrande progressivamente at ficar em repouso. Num plano inclinado, a representao das foras aplicadas ao objecto ligeiramente diferente.

Ilustrao Representao das foras: atrito, peso e reaco normal no plano inclinado

Assumindo a existncia de um equilbrio de foras tem-se:

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Na direco dos xx: Na direco dos yy: Se, para alm das foras representadas anteriormente, existir uma outra fora externa e assumindo a existncia de um equilbrio de foras pode-se escrever: Na direco dos xx: Na direco dos yy:

Ilustrao - Representao das foras: atrito, peso, reaco normal e fora externa aplicada ao objecto no plano inclinado

Tomemos por exemplo um tren na neve. Qual ser a acelerao de um sujeito que anda de tren numa superfcie coberta de neve com uma inclinao de 0,6 rad em relao horizontal.? Como mostrado na figura, o sistema (sujeito + tren) experimenta duas foras: gravidade (peso) e a fora de reaco do solo. ,

Deste modo, quando se resolvem este tipo de problemas as foras que actuam no corpo so separadas pelos eixos em que actuam e utilizada a 2 lei de Newton.

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De acordo com o sistema coordenadas da figura, as foras que agem no eixo dos xx so: a fora de atrito ( e a componente horizontal do peso ( ). No eixo dos yy, as foras que actuam .

no corpo so a reaco normal ( Assim para o eixo dos xx:

) e a componente vertical do peso (

E para o eixo dos yy:

A acelerao (horizontal) do sujeito pode assim ser calculada

III.7.4 Representao de foras: Diagrama de corpo livre A um diagrama que represente todas as foras actuantes num objecto chama-se diagrama de corpo livre. um mtodo usado frequentemente pelos fsicos para identificar todas as foras externas que agem sobre um corpo: Gravidade Fora de reaco do solo Atrito Resistncia do ar / foras de draga

Para cada uma destas foras (grandezas vectoriais) necessrio: defini-las verificar se esto a actuar ou no no sistema decidir a localizao do seu ponto de aplicao decidir qual a sua direco decidir qual a sua intensidade

Fazer diagramas livres do corpo envolve desenhar os vectores, representando com setas as diferentes foras que agem num dado objecto. Os vectores mostram os sentidos em que as foras esto a agir. Os diagramas de corpo livre so normalmente desenhados como figuras estilizadas tendo associado um

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sistema de coordenadas. H duas etapas no desenho de um diagrama livre do corpo: na primeira etapa define-se o sistema de que necessitamos para responder s perguntas que se pem relativamente ao comportamento mecnico de um dado sistema, que envolve geralmente o desenho de uma figura estilizada. Na segunda etapa, identifica-se todos as foras (neste caso, as foras externas) que esto a interagir com o sistema. Estas interaces so includas no diagrama livre do corpo como vectores da fora.

Ilustrao: Representao em diagrama livre do corpo: (a) figura real (b) identificao do sistema (c) incluso foras externas: atrito, peso e reaco do solo (Enoka, R. 2001)

O exemplo exposto na figura anterior mostra a representao de trs foras: atrito, reaco do solo e da gravidade. Note-se que os diagramas livres do corpo mostram somente as foras externas que agem no sistema e no aquelas que se exercem dentro do sistema (internas). Por exemplo, o diagrama livre do corpo da ilustrao anterior no mostra nenhumas foras do msculo que actua na articulao do joelho, mesmo que o quadricpete esteja em contraco. Esta fora no mostrada porque interna a este sistema.

III.7.5 A fora elstica Segundo a lei de Hooke: A fora (elstica) exercida por uma mola num objecto colocado numa superfcie horizontal, onde o atrito negligencivel, pode ser calculada por: Onde a constante elstica de equilbrio. uma caracterstica da mola, que mede a intensidade da deformao representa o alongamento da mola relativamente posio

por unidade de alongamento e a coordenada

Ilustrao: Sentido da Fora elstica in (Adelaide Bello, 2005)

Na expresso e ilustrao acima referidas est sintetizado:

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O sentido da fora elstica aponta sempre na direco da posio de equilbrio (0); o seu mdulo directamente proporcional ao mdulo do deslocamento do bloco em relao a esse ponto e nulo na posio de equilbrio; Quando x positivo, a fora elstica tem o sentido oposto ao do versor do eixo (apontando para a posio de equilbrio); Quando x negativo, a fora elstica tem o sentido do versor do eixo (apontando para a posio de equilbrio);

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