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Busca Contra Adversário ou Jogos

Adversarial Search or Game playing

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Jogos

Em ambientes multiagentes, há pouca previsibilidade • Ações dos outros agentes• É preciso tratar as contingências

Em ambiente competitivos, há conflito de objetivos• Ex. negociação em comércio eletrônico

Nestes casos, temos “Busca contra adversário, ou simplesmente “jogo”

Em economia, na “teoria dos jogos”, considera-se um “jogo” qualquer ambiente multiagente onde o impacto de um agente sobre os outros é considerado “significativo”, não importa se os agentes são competitivos ou cooperativos.

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Jogos – Exercício

Tradicionalmente, a IA interessou-se sobretudo com um tipo particular de jogo• Dois jogadores (Two-player)• Soma-zero (Zero-sum): se um ganha, o outro perde• Discreto (discrete): todos os estados do jogo bem como as decisões

possíveis são valores discretos• Finite (finito): somente um número finito de estados e decisões• Determinístico (deterministic): sem “lançamento de dados”• Observável (perfect information): observável por ambos os jogadores

Histórico• Xadrez: desde anos 50, hoje atingiu nível de mestre• Damas e Othelo: hoje, melhor que qualquer humano• Gamão: hoje, nível de campeão• Go, nível amador

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Exercício: Quais desses são jogos: two-player, zero-sum, discrete, finite, deterministic, with perfect information

Fon

te:

http

://w

ww

.cs.

cmu.

edu

/~aw

m/t

utor

ials

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Exercício: Quais desses são jogos: two-player, zero-sum, discrete, finite, deterministic, with perfect information

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Jogos

Aplicações atrativas para métodos IA desde o início.• Sinônimo de inteligência• Ações bem definidas e ambiente acessível• Abstração (representação simplificada de problemas reais)

Porém desafiador:• Complexidade

– Xadrez: 35 movimentos possíveis por turno, 25 jogadas por jogador por partida => 3550 10154 (1040 nós distintos)

• Incerteza devido ao outro jogador;• Problema “contingencial”: agente deve agir antes de completar a

busca

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Formulando um jogo

Elementos essenciais da formulação de um jogo• Estado inicial: posições do tabuleiro + de quem é a vez• Estado final: posições em que o jogo acaba• Operadores: jogadas legais para um dado estado da partida• Função de utilidade (objetivo ou payoff): valor numérico para

os estados finais (pontuação)– Xadrez = +1, 0, -1; gamão = [-192,+192]

Busca: algoritmo minimax• Idéia: maximizar a utilidade (ganho) supondo que o adversário vai

tentar minimizá-la (todos jogam otimamente!)– O agente é MAX e o adversário é MIN

• Minimax faz busca cega em profundidade

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Formulando um jogo – Mais formalmente...

Um jogo do tipo two-player, zero-sum, discrete, finite, deterministic, with perfect information é uma quíntupla: (S, I, Succs, T, V), onde:

S Um conjunto finito de estados (observação: com informação suficiente para deduzir quem vai jogar em seguida)

I O estado inicial, que especifica como o jogo começa

Succs Uma função que toma um estado como entrada e retorna um conjunto de estados seguintes possíveis disponíveis para quem vai jogar

T Um subconjunto de S que indica os estados terminais: o conjunto de estados para os quais o jogo terminou

V Um mapeamento de estados finais para números reais. A pontuação que o jogador A ganha de B (se é negativo então A perde para B)

Convenção: Assume-se que A joga primeiroPor conveniência: assume-se turnos alternados: A joga, depois B joga

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Formulando um jogo

Busca: algoritmo minimax• Idéia: maximizar a utilidade (ganho) supondo que o adversário vai

tentar minimizá-la (todos jogam otimamente!)– O agente é MAX e o adversário é MIN

• Minimax faz busca cega em profundidade

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Jogo da velha (min-max)

Max(X)

x xx x x

x

x

x xMin(O)

x o ...x o x ox x

x

Min(O)

x o x o xo ...

Max(X)

... .........

...x o x x o xx o xx x

xx xxo

oo o

o o

-1 0 +1 Função utilidade

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Algoritmo Minimax

Passos• Gera a árvore inteira até os estados terminais.• Aplica a função de utilidade nas folhas. • Propaga os valores dessa função subindo a árvore através do

minimax• Determinar qual o valor que será escolhido por MAX

Formalmente: o valor minimax de um nó n é dado por• Minimax-Value(n) = Utility(n), se n é terminal maxssucesssors(n)Minimax-Value(s), se n é um nó Max

minssucesssors(n)Minimax-Value(s), se n é um nó Min

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Algoritmo

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Críticas

É completa e ótima mas...

Problemas• Tempo gasto é totalmente impraticável, porém o algoritmo

serve como base para outros métodos mais realísticos.• Complexidade: O(bm).

Para melhorar (combinar duas técnicas)1) Podar a arvore onde a busca seria irrelevante: poda alfa-beta

(alfa-beta pruning) 2) Substituir a profundidade n de min-max(n) pela estimativa de

min-max(n): função de avaliação

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Alpha-Beta Pruning (poda alfa-beta)

Função:• Não expandir desnecessariamente nós durante o minimax (mas

devolvendo o mesmo resultado)

Idéia: não vale a pena piorar, se já achou algo melhor

Mantém 2 parâmetros• - melhor valor (mais alto) encontrado até então para MAX• - melhor valor (mais baixo) encontrado até então para MIN

Teste de expansão:• não pode diminuir (não pode ser menor que um ancestral)• não pode aumentar (não pode ser maior que um ancestral)

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Alfa-Beta

A

B

3

Lembrar que min-max faz busca em profundidade

[-∞,3]

[-∞,+∞]

O melhor para MIN é 3e para MAX é +∞

12

A

B

3

[-∞,3]

[-∞,+∞]

Nada mudou...

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Alfa-Beta

12

A

B

3

[3,3]

[3,+∞]

Agora dá para saberque MIN vai escolher

no máx. 3

8

12

A

B

3

[3,3]

[3,+∞]

8 2

[-∞,2] C

Não vale mais a pena para MAX explorar C,

porque MIN vai escolher no máx. 2

e MAX já tem 3

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Alfa-Beta

12

A

B

3

[3,3]

[3,14]

8 2

[-∞,2] C

Realisticamante, 14 é o melhor para max

por enquantoD

14

[-∞,14]

12

A

B

3

[3,3]

[3,3]

8 2

[-∞,2] C D

14

[2,2]

5 2

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Balanço da poda alfa-beta

Poda não afeta o resultado final

Com um ordenamento perfeito das jogadas, complexidade = O(bm/2)

Bom exemplo de raciocínio sobre a relevância de se cálcular coisas (forma de meta-raciocício)

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Funções de Avaliação

Reflete as chances de ganhar: baseada no valor material• ex. valor de uma peça independentemente da posição das outras

Exemplo: Função Linear de Peso de propriedade do nó:• w1f1+w2f2+...+wnfn

• Ex. Os pesos (w) no xadrez poderiam ser o tipo de pedra do xadrez (Peão-1, ..., Rainha-9) e os (f) poderiam ser o número de cada peça no tabuleiro.

Escolha crucial: compromisso entre precisão e eficiência

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Função de avaliação (h) para o jogo da velha: sugestões?

X

0

X 0X

0

X

0

X

0

X tem 6 possibilidades0 tem 5 possibilidades

h = 6 - 5 = 1

h = 4 - 6 = = -2h = 5 - 4 = 1

Uso da Funções de Avaliação

Minimax de duas jogadas (two-ply) aplicado à abertura do jogo da velha

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Quando aplicar a função de avaliação?

Definir uma profundidade máxima ou iterativa não funciona devido à incerteza inerente ao problema

Solução: Procura Tranqüila (Quiescence search):• Idéia: evitar avaliação em situações a partir das quais pode haver

mudanças bruscas

• No caso do jogo da velha, toda posição é tranqüila mas no xadrez não.... (ex. um peça de xadrez a ser comida)

• Algoritmo: Se a situação (nó) é “tranqüila”, então aplica a função de avaliação, senão busca até encontrar uma situação “tranqüila”

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E aí: é útil mesmo?

Ainda pode ser complexo...• bm = 106, b=35 m=4

Olhar para frente 4-ply (quatro lances) é pouco para um nível profissional!• 4-ply ≈ novato humano• 8-ply ≈ PC típico, mestre humano• 12-ply ≈ Deep Blue, Kasparov

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Jogos com elementos de acaso

Há jogos com elementos de imprevisibilidade maior do que os tratados • Ex. gamão• Não sabemos quais são as jogadas legais do adversário• A árvore de jogos (game tree) usada não vai servir!

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Jogos com elementos de acaso

Nova árvore de jogos• Inclui nós de acaso, além dos nós MAX e MIN• Os ramos dos nós de acaso, correspondem ao resultados do

jogar dos dados do gamão, por exemplo– Cada ramo pode ter uma probabilidade associada

• Não podemos mais falar de valor-minimax de um nó, mas sim de valor-minimax esperado (expectiminimax value)

Expectiminimax (n) = Utility(n), se n é terminalmaxsSucesssors(n) Expectiminimax(s), se n é um nó Max

minsSucesssors(n) Expectiminimax(s), se n é um nó Min

sSucesssors(n) P(s).Expectiminimax(s), se n é um nó de acaso

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Árvore do Jogo Gamão

nós deacaso

Probabilidades

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Conclusões

Jogos é uma área excitante para se trabalhar

Ela ilustra várias questões importantes da IA

A perfeição é impossível => é preciso aproximar

Uma boa idéia é pensar sobre o que pensar

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Fontes

AIMA: Ler capítulo “Adversarial Search”

Tutorial “Game Tree Search Algorithms, including Alpha-Beta Search”, disponível em http://www.autonlab.org/tutorials/