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Curso de Circuitos Eltricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8

Escola Politcnica Universidade de So Paulo

Curso de Circuitos Eltricos Volume 1 Captulo 8

Transformao de Laplace e Funes de Rede

L. Q. Orsini e D. Consonni

Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres


DESCRIO ENTRADA-SADA DE UM CIRCUITO RLC , LINEAR E

INVARIANTE NO TEMPO

u(t) = entrada ou excitao (causa)

y(t) = sada ou resposta (efeito)

A descrio entrada-sada deste circuito ser uma equao diferencial a

coeficientes constantes, relacionando u(t), y(t) e suas derivadas

RLC u(t) y(t)


Respostas dos Circuitos

y(t) = Livre + Forada (entrada (estado zero) zero) c.i.q.

y(t) = Transitrio + Permanente

(tende a zero para t , nos circuitos assintoticamente

estveis)

y(t) = resposta completa

R u(t) y(t)

excitao resposta condies iniciais


Resoluo de Circuitos

Modelo matemtico equao diferencial

Condies iniciais:

Resoluo Transformada de Laplace

R u(t) y(t)

excitao resposta

y t a y t a y t u tn n n( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + =1 1

yy( )&( )

00

0

1

=

=

y n n( ) ( )

=1

10


Teorema da Derivada:

[ resposta em [ resposta em estado zero] entrada zero]

D(s) polinmio caracterstico (mnico !)

[ y t a y t a y tn n n( ) ( )( ) ( ) ... ( )+ + +1 1 ] = [ u ( t ) ]

( ..... ) ( )s a s a s a Y sn n n n+ + + + = 1 1 1 . U s s a sn n( ) ( ) ...... + + + + 0 1 1 1 0 2

+ + + + +

... ( ... ) n n na a1 1 2 1 0

Y s U sD s

p sD sci( ) ( )( )

( )( ) = +


Teorema da Derivada

Caso Particular: c.i.q.

[ f (t) ] = s. F(s) - f (0-)

[ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0

-)

[ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) -

- sn-2. f(0-) - - f (n-1)(0

-)

[ f (t) ] = s. F(s)

[ f (n)(t) ] = sn. F(s)


Funo de Rede

ou

R u(t) y(t)

excitao resposta

G s Y sU s

( ) ( )( ) = c.i.q.

G s Ysz sU s

( ) ( )( ) =


P. V. I. Equaes diferenciais lineares a

coeficientes constantes + condies iniciais

(domnio do tempo)

Equaes algbricas na varivel complexa s

(domnio das freqncias complexas)

Soluo do P.V.I. (no domnio Funes de rede do tempo)

----1111 c.i.n.


G(s)

FUNO DE REDE ou

Funo de Transferncia ou

Funo de Sistema

Resposta Forada (Estado Zero) c.i.n.

ysz (t) = 1 [ Ysz(s) ]

c.i.n.

e(t) ysz (t)

E(s) Ysz(s)=G(s).E(s) G(s)


FUNO DE REDE

Representao grfica no plano s = + j

-1 -2 -3 -j1

j1

j

(2)

K = 10

F s s ss s s s

( ) = ++ + + +

10 2

4 3 23

6 14 14 5


Resoluo de Circuitos Modelo matemtico equao ntegro-diferencial

Teorema da Integral:

&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt+ + =z1 2

y( )0 0 =

sY s a Y s

as

Y ss

y d U s

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ +

+ +LNM

OQP

=

z

0 1

2

01 1

1


Obtendo Y(s) :

[ resposta em [ resposta em estado zero] entrada zero]

Polinmio caracterstico:

Funo de Rede:

Y s sU ss a s a

s a

s a s a( ) ( )=

+ ++

+ +

21 2

0 2 12

1 2

D s s a s a( ) = + +2 1 2

G s ss a s a

( ) =+ +2 1 2


Teorema da Integral

Para integral de - a t :

Para integral de 0- a t :

f d F s

s

f ds

t ( ) ( )( )

+

z zLNM OQP =

0

f d F s

s

t ( ) ( ) 0

zLNM OQP =


Clculo das Funes de Rede

S PARA REDES LINEARES INVARIANTES NO TEMPO

Aplicar a transformao de Laplace a uma descrio entrada-sada da rede, com condies iniciais nulas

Tipos de descrio entrada-sada:

a- Equao diferencial linear, a coeficientes constantes

b- Equao ntegro-diferencial linear, a coeficientes constantes

c- Sistemas de equaes diferenciais lineares a coeficientes constantes


REPRESENTAO ENTRADA-SADA

a1 - Por equao diferencial sem derivada no segundo membro:

=

=++++

nulas! iniciais condies )(

)()()()( 1)1(1)(tu

tyatyatyaty nnnn

&L

FUNO DE REDE:

nnnn asasas

sG++++

=

11

1

1)(L

EQUAO CARACTERSTICA:

0)( 111 =++++= nnnn asasassD L

PLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)



a2 - Por equao diferencial com derivada no segundo membro:

++++=

=++++

nulas! iniciais condies )()()()(

)()()()(1

)1(1

)(0

1)1(

1)(

tubtubtubtub

tyatyatyaty

mmmm

nnnn

&L

&L

FUNO DE REDE:

nnnn

mmmm

asasas

bsbsbsbsG

++++

++++=

11

1

11

10)(L

L


0)( 111 =++++= nnnn asasassD L

PLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)



b - Por equao ntegro-diferencial:

FUNO DE REDE:


&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt+ + =z1 2

condies iniciais nulas

G s ss a s a

( ) =+ +2 1 2

D s s a s a( ) = + + =2 1 2 0



c - Por sistema de equaes diferenciais:

Exemplo de 2a. ordem:

=+++

=+++

22222212121

12121211111).().().().(

uybDaybDauybDaybDa

onde D d /dt o operador de derivao.

Agora h 4 Funes de Rede :

Y1(s) / U1(s) Y1(s) / U2(s) Y2 (s) / U1(s) Y2(s) / U2(s)

A equao caracterstica :

0)(22222121

12121111=

++

++=

bsabsabsabsa

sD


Procedimento para a obteno da Funo de Rede

1- Escrever a equao do circuito ( relao entrada-sada entre y(t) e u(t) ) - Equao diferencial ordinria - Equao ntegro-diferencial - Sistema de equaes diferenciais

2- Aplicar Laplace com condies iniciais nulas

3- Resolver com relao a Y(s)

4- Determinar a relao: Y(s) / U(s)


TEOREMA DO VALOR INICIAL

Se F(s) = [ f (t) ], vale

lim [ s F(s) ] = lim f(t) = f(0+) s t 0+

TEOREMA DO VALOR FINAL

Se F(s) = [ f (t) ], vale

lim [ s F(s) ] = lim f(t) s 0 t

Nota:

Os dois teoremas so fracos! S valem se existirem os limites indicados!


Exemplo dos Teoremas dos valores inicial e final

2

4 3 2

: 0 , 0.05 , 20

3 2( ) :5 3 2

( ) : 1 0,11.exp( 4,4. ) 0,89.exp( 0, 29. ).cos(0,61. )0, 44.exp( 0, 29. ). (0,61. )

t

s sY ss s s s

y t t t tt sen t

=

+ +=

+ + +

= +

+

0

1

2

0 5 10 15 20

y(t)

t

y s F ss

( ) lim . ( )0 0+

= =

y s F ss

( ) lim . ( ) = =0

1


Exemplo de Circuito Redutvel

Em Laplace:

D(s) polinmio caracterstico D(s) =0 equao caracterstica

2 elementos armazenadores de energia 1 s plo :

es R2

R1

C1 C2 v1 v2

C dvdt

G v C dvdt

G v1 1 1 1 2 2 2 2 0+ =

(1a. L.K.)

v v es1 2+ = (2a. L.K.)

s C G s C G VV

C v C vE ss

1 1 2 2 1

2

1 10 2 20

1 1+ +L

NMOQPLNMOQP

=

LNM

OQP

( )( )

D s s C C G G( ) ( )= + + + 1 2 1 2

sG GC C1

1 2

1 2

=

+

+

( )( )


Exemplo de Circuito Degenerado

1a. L. K. :

Em Laplace:

Para = 1 e g = 1 D(s) = 0 Se Is (s) = 0 solues

is 1

e1

i1 1 i1 g.e1

+ + =g e e dedt

dedt

is. 1 1 1 1

( ) ( )1 11 1 + LNMOQP

= dedt

g e is

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )1 1 1 01 1 + = + s g E s I s es E s I s

s ge

s gs

11

1 11 0

1 1( ) ( )[( ) ( )]

( ). ( )[( ) ( )]= + +

+

D s s( ) ( )= 1 + (1- g)


FUNO DE REDE E RESPOSTA IMPULSIVA

G(s)

(t) g(t)

g(t) = resposta impulsiva = -1[ G(s)]

1 Ysz(s)=G(s).1=G(s) G(s)

U(s) Ysz(s)=G(s).U(s)

c.i.n.


INTEGRAL DE CONVOLUO

Funes f1(t) e f2(t), definidas em (-,)

Convoluo : (f1 * f2)( t ) ou f1(t)*f2(t)

f3(t)=f1(t) *f2(t) =

21)(.)( dtff

onde

t = varivel "externa"

= varivel "interna", ou de integrao

Para funes causais (nulas para t


PROPRIEDADES DA CONVOLUO

a) COMUTATIVA

f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)

b) DISTRIBUTIVA

f1 * (f2 + f3) = f1 * f2 + f1 * f3

c) ASSOCIATIVA

(f1 * f2) * f3 = f1 * (f2 * f3) = f1 * f2 * f3

d) ELEMENTO IDENTIDADE

(t), pois f1(t) * (t) = f1(t)


TRANSFORMADA DE LAPLACE DA CONVOLUO

Se forem

S1(s)= [ s1(t )] S2(s)= [ s2(t )] valem:

[ s1(t ) * s2(t )] = S1(s) . S2(s)

-1 [ S1(s).S2(s)] = s1(t) * s2(t)

A transformao de Laplace transforma a convoluo em produto!


RESPOSTA IMPULSIVA

g(t) Resposta da rede ao impulso unitrio em c.i.n.

g(t) =

1 [ G (s) ]

Resposta da rede (em c.i.n.) a qualquer excitao u(t):

y(t) = g ( t ) * u ( t )

ou

y(t) =

1 [ G (s) . U (s) ]

y(t) resposta forada ou resposta em estado zero da rede


RESPOSTA IMPULSIVA

a resposta de uma rede excitada por um impulso unitrio, a partir de condies iniciais nulas:

0 1 2 32

0

2

x( )t

0

t

REDE (c. i. n.)

(t) g(t)

g(t) (t)

t t


Resposta Impulsiva de um circuito sub-amortecido (oscilatrio)

= 0,1 seg-1 e 0 = 1 rad/s

g(t) = 1,005.exp(-0,1.t).sen(0,995.t)

0 5 10 15 20 -1

-0.5

0

0.5

1

t

g(t)

circuito sub-amortecido

G ss s

( ).

=

+ +

10 2 12


Resposta Impulsiva de um circuito em amortecimento crtico

= 1 seg-1 e 0 = 1 rad/s

g(t) = t.exp(-t)

G ss

( ) ( )= +11 2

0 2 4 6 8 -0.5

-0.25

0

0.25

0.5

g(t)

circuito em amortecimento crtico

t


Resposta Impulsiva de um transformador ressonante

(4 FCPs complexas)

REDE (c. i. n.)

(t) g(t)

(t)

g(t)

Impulso: 10 pcoulomb


FUNO DE REDE

G(s) = Y(s) / U(s) c.i.n. G(s) = Ysz / U(s) G(s) = [ g (t) ]

RESPOSTA IMPULSIVA

y (t) para u(t) = (t) c.i.n. g(t) =

1 [ G (s) ] RESPOSTA EM ESTADO ZERO

ysz(t) = g ( t ) * u ( t ) ysz(t) = 1 [ G (s) . U (s) ]

RESPOSTA COMPLETA Estado zero (forada) + Entrada zero (livre) OU

Transitria + Permanente


FUNO DE REDE E REGIME PERMANENTE SENOIDAL

FUNO DE REDE : G(s) = Y(s) / U (s) c.i.n.

y(t) =

1 [ G (s) . U (s) ]

resposta forada (transitrio + permanente)

U(s) Y(s) = G(s).U(s) G(s)


FUNO DE REDE E REGIME PERMANENTE SENOIDAL

TEOREMA IMPORTANTE:

RPS s j

resposta permanente

G(j) $U

$Y

G j YU

( )$

$ =

$ ( ). $Y G j U=

y t Y e j t( ) Re[ $. ]=


Clculo da Resposta em Regime Permanente Senoidal

Excitao senoidal com freqncia Todos os transitrios decaem a zero Na expresso G(s) = Y(s) / U (s)

substituir:

ser o fasor da resposta em R.P.S. do circuito

U s U( ) $ por

Y s Y( ) $ por G s G j( ) ( ) por

$Y


Funo de Rede e Regime Permanente Senoidal

Funo complexa Pode ser representada por duas curvas:

1- Curva de Resposta em freqncia

2- Curva de Defasagem

G j YU

( )$

$ =

M G j( ) ( ) =

( ) arg ( )= G j

G j M e j( ) ( ). ( ) =



Exemplo Circuito de 2a. ordem

G s ss s

( ) =+ +2 3 2

G j j j( )

=

+2 32

Frequency

0Hz 0.5Hz 1.0Hz 1.5Hz 2.0Hz 2.5Hz 3.0Hz1 V(Vs) 2 Vp(Vs)

0V

100mV

200mV

300mV

400mVm

du

lo

>>

-100d

-50d

0d

50d

100ddefasagem

M() e ()



Exemplo - Filtro Passa-Faixa

Frequency

100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHz1 V(4) 2 VP(4)

0V

200mV

400mV

600mVm

du

lo

>>

-800d

-600d

-400d

-200d

0ddefasagem

V(4) VP(4)

M() e ()


Funo de Rede e Resposta em Freqncia

Filtro Passa-Faixa

Frequency

20mHz 40mHz 70mHz 200mHz 400mHz 700mHz 1.1Hz 2.0Hz 4.0Hz 7.0HzIP(R1)- VP(1)

-100d

-50d

0d

50d

100dfas

e

SEL>>

I(R1) / V(1)10m

30m

100m

300m

1.0m

du

lo

M()

() 0

01 1 41= =LC

, rad / s


Funo de Rede e Regime Permanente

Entrada : es(t) = cos(3t)

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-1.0V

0V

1.0V

Sada :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA



Entrada : es(t) = cos(50 t )

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-1.0V

0V

1.0V

Sada :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA



Entrada: es(t) = cos(3 t) + cos(50 t )

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-2.0V

0V

2.0V

Sada :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA



Exemplo de Circuito de 2a. Ordem

Funo de transferncia

G s V sV s

R

sL R sC RsC R

s( ) ( )( )= = + ++

1

1

1 11 3

1 3


Grficos da Resposta em Freqncia G(j) obtidos com o PSPICE

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHzV(Vs)

0V

5V

10VVP(Vs)

-100d

0d

100d

SEL>>

f0 160 Hz

M()

()

f0 f1 f2


Programa em Matlab para construo dos grficos de entrada e sada

%arq. resperm.m (30/11/08) t=0:0.0001:0.05; pi=3.1416; v1=10*cos(100*pi*t)+10*cos(320*pi*t)+10*cos(700*pi*t); v2=0.3*cos(100*pi*t+0.5*pi)+10*cos(320*pi*t)+0.6*cos(700*pi*t-pi/2); subplot(2,1,1) plot(t,v1), grid on, title('Tensao de entrada') subplot(2,1,2) grid on plot(t,v2), grid on, title('Tensao de saida')

Entrada : Composio de 3 co-senides Amplitude : 10V Frequncias: f1, f0 e f2

Sada co-senide Amplitude : 10V Frequncia f0

Efeito de Filtragem !

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