Circuitos 3 - Analise de Transitório

Curso de Anlise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Eltrica ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Prof. Fernando Nogueira de Lima 1

TRANSITRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONRIOS: ANLISE NO DOMNIO DO TEMPO

Acredite na sua capacidade de raciocnio. PENSE!


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


INTRODUO

Os conhecimentos matemticos relativos a equaes diferenciais so importantes ferramentas na anlise de sistemas lineares, tendo em vista a possibilidade de representao desses sistemas por meio de equaes diferenciais, denominadas equaes descritivas do sistema.

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES

Uma equao diferencial de ordem n dada por:

)()()()()( 011 11

txtyatydtd

atydtd

atydtd

an

n

n

n

nn=++++

(1)

A funo x(t) representa o sinal de entrada do sistema e denominada de funo de excitao. Os coeficientes ia so constantes e dependem dos valores dos parmetros do sistema. Restringiremos nosso interesse s equaes diferenciais tanto de primeira, quanto de segunda ordem devido a terem ampla aplicabilidade na representao de sistemas na rea de Engenharia Eltrica.

TRANSITRIOS EM SISTEMAS LINEARES ESTACIONRIOS SUBMETIDOS A SINAIS CONTNUOS: ANLISE CC

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE PRIMEIRA ORDEM

Uma equao diferencial linear homognea de primeira ordem dada por:

0)()( 0 =+ tyatydtd

(2)

Cuja soluo, denominada soluo homognea, pode ser determinada conforme segue:

)()( 0 tyatydtd

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Separando as variveis e integrando ambos os membros

dtatytdy

= 0)()(

201)(ln ctacty +=+

Aplicando exponencial e fazendo 12 ccc =

0( ) a t cy t e += , ou ceety ta0)( =

Fazendo, cek = e )()( tytyh = temos:

taketyh 0)(

= (3)

A constante k engloba as constantes de integrao e depende das condies iniciais. Nas aplicaes em Engenharia Eltrica essa constante depende da energia inicial armazenada no campo magntico dos elementos indutivos ou no campo eltrico dos elementos capacitivos, do sistema.

A soluo homognea est associada ao regime transitrio e representa o comportamento natural ou livre do sistema, por essa razo tambm conhecida como soluo natural ou livre do sistema.

EXEMPLO LITERAL 1

Considere que um circuito RC srie, submetido a um sinal de entrada ,)( Etx = encontra-se em regime permanente e que, em t=0, instantaneamente, o sinal de entrada retirado e em seu lugar chaveado um curto circuito. Determine a equao da corrente do circuito para 0t .

Inicialmente necessrio identificar as condies iniciais. Antes do chaveamento o capacitor estava plenamente carregado, ou seja:

0)0(0)0(;)0( === rveiEvC . Depois do chaveamento o capacitor ir se descarregar, assegurando uma circulao de corrente no circuito, assim:

( )( )( )

0

00

c

r

EiR

v E

v E

=

=

=

O capacitor no permite mudanas bruscas de tenso: (0 ) (0) (0 )C C Cv v v = = + .

O passo seguinte encontrar a equao descritiva do circuito que pode ser determinada com o auxlio da KirchhoffdeLei , da Lei de Ohm e das equaes que regem o comportamento fsico dos parmetros do sistema, como segue:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


LKT: 0)()( =+ tvtv cr (4)

Modelando a equao (4) em termos da corrente i(t), temos:

=+ 0)(1)( dttiC

tRi

Eliminando a integral

=+ 0)(1)( dtti

dtd

Cti

dtdR

Rearranjando, e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, temos a equao descritiva da corrente do circuito:

0)(1)( =+ tiRC

tidtd

(5)

Que uma equao diferencial linear homognea de primeira ordem, portanto conforme a equao (3) a soluo homognea associada ser:

( )t

RChi t k e

=

Que pode ser apresentada em funo da constante de tempo RC=

( )t

hi t k e

= (6)

Fazendo t=0

( )REkih ==0

Substituindo na equao (6) e fazendo ( ) ( )titi h= temos:

( )tEi t e

R

= , para 0t (7)

As equaes para as demais grandezas do circuito: )()( tvetv cr , podem ser facilmente obtidas, como segue:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


( )( )

( ) ( )

:

:

t

t t

t

r h

t

c r

Pela Lei de Ohm

v R i t E e

Pela Lei de Kirchhoff

v v E e

= =

= =

O comportamento das grandezas ao longo do tempo pode der observado na figura abaixo:

Fig.1 Comportamento fsico das grandezas do circuito RC srie

Analise a influncia da constante de tempo no comportamento das grandezas do circuito e observe que em cerca de cinco constantes de tempo o circuito praticamente j alcanou o regime permanente.

-E/R

E

-E


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES NO HOMOGENEAS DE PRIMEIRA ORDEM

Uma equao diferencial linear no homognea de primeira ordem dada por:

)()()( 0 txtyatydtd

=+ (8)

Essa equao diferencial admite para alm da soluo homognea outra soluo denominada soluo particular, de modo que a respectiva soluo geral :

)()()( tytyty ph += (9)

A soluo particular pode ser determinada utilizando uma funo auxiliar u(t), tambm denominada fator de integrao, como segue:

]( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )p p pd d dy t u t y t u t y t u tdt dt dt + = (10)

Multiplicando a equao (8) por u(t) e fazendo ( ) ( )py t y t= , temos:

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pd y t u t a y t u t x t u tdt

+ = (11)

Comparando as equaes (10) e (11):

)()( 0 tuatudtd

= (12)

]( ) ( ) ( ) ( )pd y t u t x t u tdt = (13)

Da equao (12)

taketu 0)(

+=

Substituindo na equao (13) e integrando os dois membros, temos:

0 0( ) ( )a t a tpd y t ke dt x t ke dtdt

+ + =

ou

0 0( ) ( )a t a tpy t ke k x t e dt+ +=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


A soluo particular , ento, dada por:

0 0( ) ( )p a t a ty t e x t e dt += (14)

Essa soluo est associada ao regime permanente e representa o comportamento forado do sistema, por essa razo tambm conhecida como soluo forada ou no natural do sistema.

Assim, a soluo geral de uma equao diferencial homognea de primeira ordem ser dada por:

0 0 0( ) ( )a t a t a ty t ke e x t e dt += + (15)

A constante k depende das condies iniciais e est associada energia inicial armazenada no campo magntico dos elementos indutivos ou no campo eltrico dos elementos capacitivos do sistema.

EXEMPLO LITERAL 2

Considere um sistema representado por um circuito RC srie, alimentado em t=0 por um sinal de entrada contnuo Etx =)( . Assumindo que a tenso inicial no capacitor 0)0( cc vv = determinar a equao para a corrente, i(t) srie do circuito.

As condies iniciais dos parmetros do sistema so:

( )00

0

(0)(0)(0)

C

r C

c C

E vi

Rv E v

v v

=

=

=

LKT: Etvtv cr =+ )()( (16)

Modelando (16) em funo da corrente i(t)

EdttiC

tRi =+ )(1)(

Derivando ambos os lados para eliminar a integral, temos:

Edtddtti

Cdtd

tRidtd

=+ ))(1()(


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Resolvendo e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, a equao descritiva da corrente do sistema ser:

0)(1)( =+ tiRC

tidtd

(17)

Trata-se de uma equao diferencial linear no homognea de primeira ordem. Assim sendo, a soluo homognea associada ser:

1( ) tRChi t k e

= (18)

Fazendo t=0 e )()( titi h=

RvE

ki C0)0( == Assim,

10( ) tC RCE vi t e

R

= (19)

Sendo RC= a constante de tempo do circuito, ento

0( )t

CE vi t eR

= , para 0t (20)

Conhecendo a equao da corrente srie do circuito possvel determinar as tenses no resistor e no capacitor, como segue:

( )( ) 0( )t

tr Cv Ri t E v e

= = (21)

01 1( ) ( )t

Cc

E vv t i t dt e dt

C C R

= = ou

( )0( )t

c Cv t E v e C

= + (22)

Onde C a constante de integrao

Fazendo t = 0 em (22), tem-se: ( ) 00)0( CCc vCvEv =+= ou EC =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Substituindo na equao (22), tem-se:

( )0( )t

Ec Cv t E v e += , para 0t (23)

Que tambm pode ser apresentada na forma

) 0( ) (1 t t

c Cv t E e v e += , para 0t (24)

Observe que a tenso no capacitor ou no resistor tambm poderia ser encontrada utilizando a KirchhoffdeLei . Por exemplo:

Etvtv cr =+ )()(

Etvtv rc += )()( (25)

Substituindo a equao (21) na equao (25), temos:

( )0( ) t

Ec Cv t E v e +=

Atente, tambm, para o fato de que as tenses tanto no resistor quanto no capacitor podem ser determinadas por meio das respectivas equaes descritivas que podem ser encontradas utilizando o mesmo procedimento adotado para determinar a corrente i(t), ou substituindo as equaes que regem o comportamento fsico dos parmetros do sistema na equao descritiva da corrente. De modo que as equaes caractersticas para ( )cv t e ( )rv t sero, respectivamente:

1( ) ( )c cd E

v t v tdt RC RC

+ = (26) e

0)(1)( =+ tvRC

tvdtd

rr (27)

O comportamento das variveis do sistema, ao longo do tempo, est apresentado nos grficos a seguir:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


(a)

(b) Fig.2 Comportamento das tenses EvbEva CC >< 00 );)

EXEMPLO LITERAL 3

Considere um sistema representado por um circuito RL srie, alimentado no instante t=0 por um sinal de entrada contnuo x(t) = E. Sabendo-se que a corrente inicial no indutor nula determinar as equaes das grandezas do circuito.

O circuito est submetido s seguintes condies iniciais:

Evv

i

L

r

=

=

=

)0(0)0(

0)0(

O indutor no permite mudanas bruscas de corrente: )0()0()0( +== iii

E

E-vc0

vc0

E

E-vc0

vc0


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


LKT: Etvtv Lr =+ )()(

Modelando em termos da corrente i(t)

EtidtdLtRi =+ )()(

Rearranjando e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, a equao descritiva da corrente ser:

LE

tiLR

tidtd

=+ )()( (28)

Trata-se de uma equao diferencial linear no homognea de primeira ordem, que admite duas solues: uma homognea e a outra particular. Assim sendo, a soluo geral determinada conforme segue:

)()()( tpithiti +=

A soluo homognea associada ser

( )R tL

hi t k e

=

E a soluo particular, por sua vez, dada por:

( )R Rt tL L

pE Ei t e e dtL R

+= =

Assim, a soluo geral ser:

( )RtL Ei t k e

R

+= (29)

Fazendo t=0

0)0( =+=REki p

Da,

REk =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Substituindo em (29), a soluo geral do sistema ser dada por:

tLR

eRE

RE

ti

=)( (30)

SendoRL

= a constante de tempo do circuito, ento

t

eRE

RE

ti

=)( , para 0t

ou

)1()( t

eRE

ti

= , para 0t

Conforme j apresentado, a partir da equao da corrente srie do circuito possvel determinar as tenses no resistor e no indutor, como segue:

( ) )( ) (1t t

r tv Ri t E E e E e

== = , para 0t (31)

==

)1()()( t

L eRE

dtdLti

dtdLtv

ou

( )t

tLv E e

= , para 0t (32)

Outra forma de determinar essas grandezas utilizar a KirchhoffdeLei , conforme apresentado a seguir para )(tvL :

LKT: Etvtv Lr =+ )()(

( ) ( )rLv t E V t= (33)

Substituindo a equao (32) em (33), temos:

)( ) (t

Lv t E E E e

=

ou

( )t

Lv t E e

= , para 0t


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


As tenses tanto no resistor quanto no indutor tambm podem ser determinadas por meio das respectivas equaes descritivas utilizando o mesmo procedimento adotado para determinar a corrente i(t) ou substituindo as equaes que regem o comportamento fsico dos parmetros do sistema na equao descritiva da corrente. De modo que as equaes caractersticas para )(tvL e )(tvr sero, respectivamente:

0)()( =+ tvLR

tvdtd

LL (34)

e

ELR

tvLR

tvdtd

rr =+ )()( (35)

O comportamento das grandezas do circuito, ao longo do tempo, est apresentado na figura abaixo:

Fig.3 - Comportamento das grandezas do circuito RL srie

E

E/R

-E/R


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 1

Considere um circuito RC srie, com R=5 ohm e C = 5 m F, submetido, no instante t=0, a um sinal contnuo (DC) de 120 volts. Sabendo-se que a tenso inicial no capacitor 0)0( =cv volts, determinar as equaes para a tenso no capacitor.

Pela equao (26) a equao descritiva dada por:

( ) 40 ( ) 4800c cd

v t v tdt

+ =

Cuja soluo geral, conforme a equao (15) ser,

120)( 40 += tketvC (36)

Fazendo t=0,

0120)0( =+= kvC Da, 120=k

Substituindo na equao (36):

40 120( ) 120C tv t e += ,

para 0t Ou

40 )( ) 120(1C tv t e= , para 0t

Que poderia ser obtida diretamente pela equao (24)

Fig.4 Forma de onda da tenso no capacitor


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 2

Considere um circuito RL srie, com R=10 ohm e L=20 m H, submetido, no instante t=0, a um sinal contnuo (DC) de 120 volts. Sabendo-se que a corrente inicial no indutor (0) 0Li = , determinar as equaes para a tenso no indutor.

Pela equao (34) a equao descritiva dada por:

( ) 500 ( ) 0LLd

v t v tdt

+ =

Cuja soluo geral, conforme a equao (15) ser,

tektvL

500)( = (37)

Fazendo t=0,

(0) 120Lv k= =

Substituindo na equao (37):

500( ) 120L tv t e= , para 0t

Que poderia ser obtida diretamente pela equao (32)

Fig.5 Forma de onda da tenso no indutor


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


DETERMINAO DAS EQUAES A PARTIR DA ANLISE FSICA DOS PARMETROS DO SISTEMA

Nos sistemas de primeira ordem submetidos a sinais de entrada do tipo contnuo possvel determinar as equaes das grandezas sem a necessidade do desenvolvimento matemtico anteriormente apresentado. Para tanto, necessrio identificar as condies iniciais e as condies finais da grandeza em anlise, e consider-las na equao (15), lembrando-se que a soluo particular corresponde ao regime permanente.

EXEMPLO NUMRICO 3

Considere um circuito RC srie, com R=5 ohm e C = 5 m F, submetido, no instante t=0, a um sinal contnuo (DC) de 12 volts. Sabendo-se que a tenso inicial no capacitor 2)0( =cV volts, determinar as equaes para todas as variveis do sistema.

Em regime permanente o capacitor estar com carga mxima, ou seja: a tenso em seus terminais ser igual ao sinal de entrada de 12 volts e, portanto, a corrente ser igual zero. Assim, as condies iniciais e finais do sistema sero:

2)0( =i A 0)( =i A =)0(rv 10 v 0)( =rv v

2)0( =cv v )(cv = 12 v

A soluo geral a soma da soluo homognea com a soluo particular. Assim, as equaes para cada grandeza do circuito, so facilmente obtidas, como segue:

a) Para a corrente )(ti

40 0( ) ti t k e += , onde )()( = itip

2)0( == ki

40( ) 2 ti t e= , para 0t

Fig. 6 Forma de onda da corrente do circuito


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


b) Para a tenso )(trv

40 0( ) trv t k e += , onde )()( = rrp vtv

10)0( == kvr

40( ) 10 trv t e= , para 0t

Fig. 7 Forma de onda da tenso no resistor

c) Para a tenso )(tvc

40 12( ) tcv t k e += , onde )()( = ccp vtv

212)0( =+= kvc 10=k

40 12( ) 10 tcv t e += , para 0t

Fig. 8 Forma de onda da tenso no capacitor


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 4

Considere um circuito RL srie, com R=5 ohm e L = 25 m H, submetido, no instante t=0, a um sinal contnuo (DC) de 50 volts. Sabendo-se que a energia inicial armazenada no campo magntico do indutor nula, determinar as equaes para todas as variveis do sistema.

Em regime permanente a corrente no indutor ser mxima, ou seja: a tenso em seus terminais ser igual zero. Assim, as condies iniciais e finais do sistema sero:

0)0( =i A 10)( =i A =)0(rv 0 v 50)( =rv v

50)0( =Lv v ( )Lv = 0 v

Assumindo que a soluo geral a soma da soluo homognea com a soluo particular, podemos facilmente determinar as equaes para cada grandeza do circuito, como segue:

a) Para a corrente )(ti

200 10( ) ti t k e += , onde )()( = itip

10010)0( ==+= kki

200 )( ) 10 (1 ti t e= , para 0t

Fig. 9 Forma de onda da corrente no circuito


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


b) Para a tenso )(trv

200 50( ) trv t k e += , onde )()( = rrp vtv

50050)0( ==+= kkvr

200 )( ) 50 (1 trv t e= , para 0t

Fig. 10 Forma de onda da tenso no resistor

c) Para a tenso )(tvL

200( )Lt

v t k e= , onde )()( = LLp vtv

50)0( == kvL

200( ) 50L tv t e= , para 0t

Fig. 11 Forma de onda da tenso no indutor


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE SEGUNDA ORDEM

Uma equao diferencial linear de segunda ordem do tipo:

0)()()( 0122

=++ tyatydtd

atydtd

(38)

Admite uma soluo homognea a qual pode ser determinada como segue:

Inicialmente necessrio transformar a equao (38) em uma equao de primeira ordem, o que possvel fazendo:

dtdD = (39)

Substituindo na equao (38),

0)()( 012 =++ tyaDaD (40)

De onde podemos destacar:

0012

=++ aDaD (41)

Que a equao caracterstica do sistema e admite duas solues ou razes. Assim, a equao (40) pode ser apresentada em funo das razes r1 e r2, como segue:

( )( ) 0)(21 = tyrDrD (42)

Assumindo

( ) )()(2 tutyrD = (43)

ento

( ) 0)(1 = turD

ou

0)()( 1 = turtDu

Utilizando a equao (39)

)()( 1 turtudtd

= (44)

Da, tr

ectu 11)(+

= (45)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Substituindo a equao (44) na equao (43)

trectyrty

dtd 1

12 )()(+

=

Que uma equao diferencial linear no homognea de primeira ordem, cuja soluo geral, utilizando a equao (15) ser:

12 2 1 2( ) r t r t r t r ty t ke e c e e dt+ + + = +

Rearranjando )()( )21(2 1 dteckety

trrtr

+++=

ou

1( )2 1 2( ) r t r r ty t e k c e dt + = + (46)

Resolvendo a integral

11 2

( )2 1 2 ( )1( ) ( )r t r r t

c ky t e c er r

+ + +=

Onde c a constante de integrao e k a constante da soluo homognea. Considerando )(2 kcc +=

1

1 2

2 1 22( ) ( )

r t r t r tce

cy t e er r

+

+=

Fazendo ( )211

1rr

ck

= e 22 ck = , a soluo homognea para Rrr 21 ser:

trk

treektyh 22

11)( += (47)

No o caso da equao caracterstica (41) apresentar rrr == 21 , a equao (46) ser:

1( ) rty t e k c dt = + ou

( )1( ) rty t k c t e= +

Fazendo k1 = k e k2 = c1 ento:

( )1 2 1 2( )h rt rt rty t k k t e k e k t e= += + (48)

Que corresponde soluo homognea do sistema quando rrr == 21


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Por fim, quando a equao caracterstica (41) apresentar 1 2r r C , onde

1,2r j =

Ento a equao (47) pode ser escrita na forma que segue:

( ) ( )1 2( )h

j t j tky t k e e + +=

Rearranjando e separando os expoentes reais dos expoentes complexos, tem-se:

1 2( )hj t j tt tky t k e e e e + = +

ou

1( 2( ) )hj t j tt ky t e k e e + = + (49)

Recorrendo s equaes de EULER:

)()cos()()cos(

tjsentetjsente

tjtj

=

+=

+

A equao (49) pode ser apresentada na seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) }{ 1 2( ) cos cosh ty t e k t jsen k t jsen t = + +

Separando as partes reais das imaginrias, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2 1 2cos( )h t k k t j k k sen ty t e + + =

Fazendo k1+k2 = c1 e j(k1 - k2) = c2, ento,

( ) ( )[ ]tsenctcety th 21 cos)( += (50)

Que a soluo homognea do sistema quando Crer 21

Para determinar os valores das constantes 21 kek ou 1 2c e c necessrio identificar duas condies iniciais para cada grandeza, quais sejam: o valor da grandeza e a respectiva derivada, no instante 0tt = . Essas constantes dependem da energia inicial armazenada nos campo eltrico e campo magntico, do sistema. Uma das condies o valor da varivel no instante inicial e a outra a primeira derivada dessa varivel nesse mesmo instante, que pode ser determinada a partir de uma das equaes apresentadas a seguir, tendo como referncia um circuito RLC srie, alimentado por um sinal v E= .


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


0(0) COv v Rid idt L

= , vem de ( ) ( )Ld

v t L i tdt

= e da LKT (51)

0(0)Cid

vdt C

= , vem de ( ) ( )C Cdi t C v tdt

= (52)

(0) (0) CO ORv v Rid d

v R i Rdt dt L

= =

, vem de Rv Ri= (Lei de Ohm) (53)

[ ](0) (0) (0)L R Cd dv v v vdt dt= , vem de: ( ) ( ) ( )L R Cv t v v t v t= ( KirchhoffdeLei ) (54)

As equaes descritivas de um circuito RLC srie so:

LKT: Etvtvtv cLr =++ )()()( (55)

Modelando a equao (55) em termos:

a) da corrente:

1( ) ( ) ( )dR i t L i t i t dt Edt C

+ + =

Eliminando a integral e rearranjando

0)(1)()(22

=++ tiLC

tidtd

LR

tidtd

b) da tenso no resistor:

EdttiC

tidtdLtvr =++ )(

1)()(

Fazendo Rtv

ti )()( = , e eliminando a integral

0)(1)()(22

=++ tvLC

tvdtd

LR

tvdtd

rrr

c) da tenso no capacitor: ( ) ( ) ( )C

dR i t L i t v t Edt

+ + =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Fazendo )()( tvdtdCti C= ,

( ) ( ) ( )C C Cd d dR C v t L C v t v t Edt dt dt

+ + =

ou 2

21( ) ( ) ( )C C C

d R d Ev t v t v t

L dt LC LCdt+ + =

d) da tenso no indutor:

1( ) ( )LR i t v i t dt EC+ + =

Fazendo = dttvLti L )(

1)( ,

1 1 1( ) ( )L L LR v t dt v v t dt dt EL C L

+ + =

ou

0)(1)()(22

=++ tvLC

tvdtd

LR

tvdtd

LLL

Observe que a equao caracterstica a mesma para todas as grandezas do sistema. O que difere de uma soluo para outra o fato de que as condies iniciais especficas de cada grandeza so diferentes e, conseqentemente, as constantes 21 kek ou 1 2c e c so, tambm, distintas. Em outras palavras, a soluo homognea genrica

em termos de 21 kek ou 1 2c e c a mesma para todas as grandezas do sistema.

EXEMPLO LITERAL 4

Considere um circuito RLC srie no qual chaveado um sinal de entrada contnuo. Sabendo-se que no instante inicial a energia armazenada tanto no campo magntico quanto no campo eltrico era nula, determine a equao para a corrente do circuito, aps o chaveamento.

LKT: Etvtvtv cLr =++ )()()(


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


A equao descritiva ser:

0)(1)()(22

=++ tiLC

tidtd

LR

tidtd

(56)

Cuja equao caracterstica correspondente tem a forma:

012 =++LC

DLRD

E admite a seguinte soluo:

212

2,1 2

4

=

LCLR

LR

r

Rearranjando,

212

2,11

22

=LCL

RL

Rr (57)

Ou, no caso de razes complexas:

2122

2,1 21

2

=L

RLC

jL

Rr

(58)

Que pode ser apresentada na forma que segue

njr =2,1


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Em funo dos valores dos parmetros: R, L e C do circuito a equao (57) admite trs solues: razes reais e diferentes, razes reais e iguais e, razes complexas e conjugadas. Essas solues correspondem a sistemas sobre amortecidos, criticamente amortecidos e oscilatrios, respectivamente e podem ser observadas nas figuras abaixo:

Fig.12- Forma de onda da corrente do circuito


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


RESUMO:

A soluo homognea para cada caso ser:

Se 0 Sobreamortecimento >

trk

treekti 2

21

1)( +=

Se = 0 Criticamente Amortecido

( ) rtetckti += 1)(

Se < 0 Oscilao

( ) ( )1 2( ) cos n nti t e c t c sen t = +

No caso das razes complexas alguns parmetros devem ser destacados:

naturalangularfrequnciaL

RLCn

=

=

2122

21

amortecidanonaturalangularfrequnciaLC

==

10

LR

2=

ntoamortecimedefatore t =

2 2 20 n =

2 2 20 n = +


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Dependendo da localizao das razes no plano complexo possvel identificar a estabilidade do sistema, conforme apresentado na figura abaixo:

Fig. 13 Localizao das razes no plano complexo

A estabilidade do sistema est diretamente associada aos parmetros R, L e C do circuito. Tendo a equao (57) ou (58) como referncia, analise a influncia da variao de cada parmetro na estabilidade de um sistema de segunda ordem.

Nos grficos da figura que segue possvel identificar a influncia da variao do parmetro R na estabilidade do sistema.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


(R>>>)

(R>)

(R


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 5

Um circuito srieLC submetido ao chaveamento de um sinal de entrada contnuo v=100 volts. Considerando que mFCmHL 5;20 == e que no instante inicial a energia armazenada no sistema era nula, determinar as equaes das grandezas do circuito.

LKT: 100)()( =+ tvtv CL

Modelando a corrente,

=+ 100)(1)( dttiC

tidtdL

A equao descritiva ser:

0)(1)(22

=+ tiLC

tidtd

0)(000.10)(22

=+ titidtd

Logo, a equao caracterstica,

0000.102 =+D

Apresenta as seguintes razes:

1002,1 jr =

Conforme a equao (50) A soluo correspondente ser:

1 2( ) cos(100) (100)i t c t c sen t= + (59)

1(0) 0i c= =

1 2( ) 100 (100) 100 cos(100)d i t c sen t c tdt

= +

2(0) 100 5000d i cdt

= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Da, 2 50c =

Ento, a equao (59) da corrente ser:

( ) 50 (100 )i t sen t= , para 0t

Pela equao que rege o comportamento fsico do indutor ( ) ( )Ld

v t L i tdt

= , logo:

( ) 100cos(100 )Lv t t= , para 0t

Por meio da LKT a tenso no capacitor ( ) 100 ( )C Lv t v t= , da:

[ ]( ) 100 1 cos(100 )Cv t t= , para 0t

Fig. 16 Comportamento das Tenses e da corrente do circuito


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 6

Um circuito srieRLC submetido ao chaveamento de um sinal de entrada contnuo v. Considerando as condies iniciais nulas, determinar a equao da corrente:

a) Para 0 Sobreamortecimento >

120102010

v v

RL mHC mF

=

= =

=

A equao descritiva correspondente ser:

2

2( ) ( ) 1 ( ) 0d i t R di t i t

dt L dt LC+ + =

ou 2

2( ) ( )500 5000 ( ) 0d i t di t i t

dt dt+ + =

A equao caracterstica

2 500 5000 0D D+ + =

Admite as seguintes razes:

( )22

500 500 200002L

r

=

1

2

10, 21489,79

r

r

=

=

A Soluo homognea associada ser:

10,21 489,791 2( ) t ti t k e k e = + (60)

1 2 2 1(0) 0i k k k k= + = =

10,21 489,791 2( ) 10, 21 489,79 6000t t

d i t k e k edt

= =

1 2(0) 10, 21 489,79 6000d i k kdt

= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1 1 1600010, 21 489,79 6000 12,51

479,58k k k + = = =

2 1 12,51k k= =

Substituindo k1 e k2 na equao (60)

10,21 489,79( ) 12,51 12,51t ti t e e = , para 0t


b) Para = 0 Criticamente Amortecido

( ) 1204205

v t v

RL mHC mF

=

= =

=

A equao descritiva correspondente dada por:

2

200 10000 0

d i di idt dt

+ + =

Que tem por equao caracterstica:

200 10000 0D D+ + =

Cujas razes so:

1 2 100r r= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Assim, a soluo homognea correspondente dada por,

100 1001 2( ) t ti t k e k te = + (61)

1(0) 0i k= =

100 100 1001 2 2( ) 100 100t t t

d i t k e k e k t edt

= +

2(0) 6000d i kdt

= =

Substituindo k1 e k2 na equao (61), tem-se:

100( ) 6000 ti t t e= , para 0t


c) Para < 0 Oscilao

( ) 1202205

v t v

RL mHC mF

=

= =

=


2

( ) 100 ( ) 10.000 ( ) 0

d di t i t i tdt dt

+ + =

Da, a equao caracterstica,

100 10.000 0D D+ + =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Admite as seguintes razes,

4

Sendo assim, a soluo homognea ser do tipo:

( ) ( )50 86,6 50 86,61 2( ) j t j thi t k e k e

+ = +

ou

[ ]50 1 2( ) cos(86,6 ) (86,6 )thi t e c t c sen t= + (62)

Pelas condies iniciais, considerando, ( ) ( )hi t i t= :

1(0) 0i c= =

1 2(0) 50 86,6 6000d i c cdt

= + =

2 286,6 6000 69,3c c= =

Substituindo as constantes c1 e c2 na equao (62), temos:

( ) 50( ) 69,3 86,6 ti t sen t e= , para 0t



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDA ORDEM

Equaes diferenciais lineares no homogneas de segunda ordem, na forma:

)()()()( 0122

txtyatydtd

atydtd

=++ (63)

Admitem como soluo geral:

)()()( tytyty ph +=

Que pode ser encontrada utilizando-se os mesmos procedimentos adotados para se determinar a soluo geral das equaes diferenciais no homogneas de primeira ordem.

EXEMPLO NUMRICO 7

Um circuito srieRLC no qual 10 ; 20 10R L mH e C mF= = = submetido ao chaveamento de um sinal de entrada contnuo v=100 volts. Considerando as condies iniciais nulas, determinar a equao da tenso no capacitor:


2

2 ( ) 500 ( ) 5000 ( ) 0C C Cd d

v t v t v tdt dt

+ + =

A Equao caracterstica

2 500 5000 0D D+ + =

Admite as seguintes razes:

1

2

10, 21489,79

r

r

=

=

A Soluo homognea associada ser:

10,21 489,791 2( ) t tCv t k e k e = +

Por sua vez, a soluo particular ser:

( ) 100Cpv t =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Assim, a soluo geral ser:

10,21 489,791 2( ) 100t tCv t k e k e = + + (64)

Pelas condies iniciais possvel identificar o seguinte sistema de equaes:

1 2(0) 100Cv k k + =

1 2(0) 10, 21 489,79 0Cdi

v k kdt

=

Resolvendo o sistema, tem-se:

1

2

102,132,13

kk

=

=

Substituindo k1 e k2 na equao (64)

10.21 489.79( ) 102.13 2.13 100t tCv t e e = + + , para 0t

Fig. 20 Forma de onda da tenso no capacitor


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


RESUMO:

EQUAO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGENEA DE PRIMEIRA ORDEM

0)()( 0 =+ tyatydtd

Soluo: 0( )h

a ty t ke

=

EQUAO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGENEA DE SEGUNDA ORDEM

2

1 02 ( ) ( ) ( ) 0d dy t a y t a y tdt dt

+ + =

Solues: tr

ktr

eektyh 221

1)( += Rrrquando 21 1 2( )h rt rty t k e k t e+= rrrquando == 21

( ) ( )1 2( ) costh n ny t e c t c sen t = + Crrquando 21

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES NO HOMOGENEAS

)()()( 0 txtyatydtd

=+

2

02 1( ) ( ) ( ) ( )d dy t a y t a y t x tdt dt

+ + =

Soluo:

)()()( tytyty ph += , onde

0 0( ) ( )p a t a ty t e x t e dt +=

NOTA: Essa equao para determinar a soluo particular do sistema mais utilizada quando o sinal de entrada x(t), ao qual est submetido o sistema, do tipo contnuo (DC). Para sinais de entrada do tipo alternado (AC) existem outros mtodos os quais so mais adequados e que sero apresentados a seguir no estudo de transitrios de sistemas submetidos a sinais alternados.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


TRANSITRIOS DE SISTEMAS LINEARES ESTACIONRIOS SUBMETIDOS A SINAIS ALTERNADOS: ANLISE AC

Um sistema de equao diferencial linear no homognea de ordem n dado por:

( ) )()()(...)()( 0111

1 txtyatydtd

atydtd

atydtd

n

n

nn

n

=++++

(65)

Considerando que x(t) seja um sinal alternado (AC) do tipo )( +tsen ou )cos( +t , a soluo geral ser:

)()()( tytyty ph += (66) Onde, =)(tyh Soluo homognea

=)(ty p Soluo particular

A soluo homognea pode ser encontrada conforme apresentado anteriormente na anlise de sistemas submetidos a sinais contnuos (DC). A soluo particular ou soluo em regime permanente, por sua vez, pode ser obtida por meio dos seguintes mtodos:

DETERMINAO DA SOLUO PARTICULAR

Mtodo 1: Coeficientes a Determinar

Nos sistemas submetidos a sinais alternados a soluo particular dada por:

( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen t = + + + (67) Onde, 1 2k e k , so constantes a determinar e ngulo de deslocamento do sinal de entrada em relao origem.

Se 0 = , ento a equao (67) ser:

( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen t = + (68)

A soluo particular (67) pode ser visualizada com o auxlio do diagrama vetorial, tendo como referncia o sinal x(t) ao qual est submetido o sistema, conforme apresentado a seguir:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


a) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )cosmV t +

Fig.21 Diagrama Vetorial da soluo particular

Onde, ( ) ( )2 2 cos 90k sen t k t + = +

12 2 2

1 2

2

1

( )k k kk

arctgk

= +

=

Assim, a soluo particular tendo como referncia o sinal x(t) de entrada ser:

( ) cos( )py t k t = + (69)

b) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )mV sen t +

Fig.22 Diagrama Vetorial da soluo particular

Anti-horrio (Sentido positivo para ngulos)

Anti-horrio (Sentido positivo para ngulos)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Onde,

( ) ( )cos2 2 90senk t k t + = + + 1

2 2 21 2

1

2

( )k k kk

arctgk

= +

=

Nesse caso, a soluo particular tendo como referncia o sinal de entrada x(t) ser:

( ) ( )py t k sen t = + + (70)

Observe que para o clculo do ngulo , a constante de referncia (k1 ou k2) do sinal de referncia fica sempre no denominador. Observe, tambm, que a constante k, assim como ngulo independe do valor e do sinal do ngulo . Sendo assim, o diagrama vetorial para efeito do clculo da constante k e do ngulo pode desconsiderar o eixo de referncia e o ngulo , que representa o deslocamento do sinal de entrada em relao origem.

Se )()( tsenVtx m =

( )( )tpy ksen t = + , onde 1

2 2 21 2( )k k k= +

1

2

karctg

k

=

O respectivo diagrama vetorial est apresentado a seguir:

Fig.23 Diagrama Vetorial da soluo particular para 0 =

Se ( )tVtv m cos)( = : ( )( )tpy ksen t = , onde

12 2 2

1 2( )k k k= +

2

1

karctg

k

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


O respectivo diagrama vetorial est apresentado a seguir:

Fig.24 Diagrama Vetorial da soluo particular para 0 =

EXEMPLO LITERAL 5

A soluo particular, em termos da corrente i(t) de um circuito RL srie, excitado por um sinal de entrada alternado v(t), pode ser determinada a partir da equao descritiva do sistema na forma que segue:

a) Para v(t) = ( )mV sen t +

Fig. 25 Circuito RL srie

1 2( ) cos( ) ( )pi t k t k sen t = + + + (72)

1 2( ) ( ) cos( )pd i t k sen t k tdt

= + + + (73)

Substituindo as equaes (72) e (73) em (71), tem-se:

[ ]1 2

1 2

( ) cos( )

cos( ) ( ) ( )mk sen t k t

VR k t k sen t sen tL L

+ + + +

+ + + = + (74)

Desenvolvendo e comparando os dois membros possvel identificar o seguinte sistema de equao:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (71)

R L

p p

p p

v t v t v t

dRi t L i t v tdt

v td Ri t i tdt L L

+ =

+ =

+ =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1 2mVRk k

L L + = (75)

2 1 0Rk kL

+ = (76)

Da equao (76)

2 1Rk kL

= (77)

Substituindo na equao (75)

2

1 12m

VRk kL L

=

2

1 2m

VRkL L

+ =

2 2 2

1 2m

VL RkL L

+ =

2

1 2 2 2m

V LkL L R

=

+

ou

1 2 2 2mV LkL R

=

+

Substituindo na equao (77), tem-se que:

2 2 2 2m

V LRkL L R

=

+

ou

2 2 2 2m

V Rk

L R=

+

Assim, conforme a equao (72) a soluo particular ser dada por:

2 2 2 2 2 2( ) cos( ) ( )m mpV L V R

i t t sen tL R L R

= + + +

+ + (78)

Utilizando a equao (70):

( ) ( )pi t ksen t = + + , onde 1

2 2 21 2( )k k k= +

1

2

k Larctg arctg

k R

= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Portanto, a soluo particular, tambm pode ser apresentada na forma que segue:

( )pLi t ksen t arctg

R

= + +

(79)

Sendo negativo o ngulo de defasagem da corrente em relao ao sinal de tenso que alimenta o circuito ser negativo. O que era de se esperar na medida em que o circuito indutivo e o indutor um elemento que no permite mudanas abruptas da corrente, assim:

Fig. 26 Defasagem entre a tenso e a corrente

b) Para ( )( ) cosmv t V t = + ,

Neste caso, a equao descritiva (71) pode ser apresentada na forma que segue:

( ) ( ) ( )1 2

1 2

( ) cos( )

cos cosm

k sen t k tVR k t k sen t t

L L

+ + + +

+ + + = + (80)

Rearranjando e igualando os dois membros possvel identificar o seguinte sistema de equaes:

1 2 0Rk kL

+ = (81)

2 1m

VRk kL L

+ = (82)

A corrente atrasada em relao tenso.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Da equao (81)

1 2Rk kL

= (83)


2 2m

VR Rk kL L L

+ = 2

2 2m

VRkL L

+ =

2 2 2 2m

V Lk

L R

=

+


1 2 2 2 0m

V LRkL L R

+ =

+

ou

1 2 2 2m

V Rk

L R=

+

Portanto, pela equao (72), a soluo particular ser:

( ) ( )2 2 2 2 2 2( ) cosm mpV R V L

i t t sen tL R L R

= + + +

+ + (84)

Ou conforme a equao (69) ( )( ) cospi t k t = + , onde ( )

12 2 2

1 2k k k= +

2

1

k Larctg arctg

k R

= =

Assim, a soluo particular tambm pode ser apresentada na forma que segue:

1( ) cospLi t k t tg

R

= +

(85)

O ngulo positivo, assim o ngulo de defasagem da corrente em relao ao sinal de tenso que alimenta o circuito ser negativo. O que era de se esperar na medida em que o circuito indutivo e o indutor um elemento que no permite mudanas abruptas da corrente, assim:

A corrente atrasada em relao tenso.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



EXEMPLO LITERAL 6

Refazendo o exemplo anterior, desta feita considerando o sistema representado por um circuito RC srie, a soluo em regime permanente ser obtida como segue:

Circuito RC:

Fig. 28 Circuito RC srie

a) para ( ) ( )mv t V sen t = + , a equao descritiva pode ser apresentada na forma que segue:

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

cos

1cos cosm

k sen t k tV

k t k sen t tRC R

+ + + +

+ + + + = + (87)

Da,

1 21 0k k

RC + = (88)

2 11 mVk k

RC R

+ = (89)

( )( )

( ) ( )1( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) (86)

R C

p p

p p

v t v t v t

Ri t i t dt v tC

d di t i t v tdt RC R dt

+ =

+ =

+ =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Da equao (89)

1 21k kRC

= (90)

Substituindo em (89)

2 21 1 mVk k

RC RC R

+ =

2 2 22 2 2 21 1m mV Vk k k

R C R R C R

+ = + =

2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 21

1m m

V VR C R C Ck kR C R R R C C

+ = =

+

( )( )

2

2 2 2 2 1m

RC Vk

R R C

=

+

2 22 2

2 21 1

m mV R V R

kR RC C

= =

+ +


1 22

11

mV R

kRC

RC

+

+

1 22

11

mV

kC

RC

=

+

Substituindo-se k1 e k2 na equao (71)

( ) ( )2 22 2

1( ) cos1 1

m mp

V V Ri t t sen t

CR R

C C

= + + +

+ +

Pela equao (70)

( )( )pi t sen t = + + , onde ( )1

2 2 21 2k k k= +

1

2

1karctg arctg

k RC

= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Da, a soluo particular ser:

1

2

( )pki t sen t arctgk

= + +

(91)

Neste caso, sendo positivo, o ngulo de defasagem da corrente em relao ao sinal de tenso que alimenta o circuito ser positivo. O que era de se esperar na medida em que o circuito capacitivo e o capacitor um elemento que no permite mudanas abruptas da tenso, assim:

Fig. 29 Defasagem entre tenso e corrente

b) Para ( ) += tVtv m cos)( , a equao descritiva pode ser apresentada na forma que segue:

( ) ( )1 2 cosk sen t k t + + + + ( ) ( )1 21 cos ( ) mVk t k sen t sen tRC R

+ + + = + (92)

Rearranjando e comparando o membro da esquerda com o membro da direita tem-se um sistema de duas equaes a duas incgnitas:

RV

RCkk m =+ 21 (93)

012 =+ RCkk (94)

Da equao (94)

121 kRC

k

= (95)

A corrente adiantada em relao tenso.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



11 12 2 2 2

1m mV Vkk kR C R R C R

= + =

2 2 2 2 2

1 12 2 2 2 21

1m m

V VR C R Ck kR C R R R C

+= =

+

22

11

mV R

kR

C

=

+


2 22

11

mV

kC

RC

=

+

Assim, a soluo particular, pela equao (71) ser:

( ) ( )2 22 2

1( ) cos1 1

m mp

V R Vi t t sen t

CR R

C C

= + +

+ +

(96)

Ou pela equao (69)

( )( ) cospi t k t = + , onde ( )1

2 2 21 2k k k= +

2

1

1karctg arctg

k RC

= =

Da, a soluo particular ser:

1( ) cospi t k t arctg RC

= +

(97)

Sendo negativo, o ngulo de defasagem da corrente em relao ao sinal de tenso que alimenta o circuito ser positivo. O que era de se esperar na medida em que o circuito capacitivo e o capacitor um elemento que no permite mudanas abruptas da tenso, assim:

A corrente adiantada em relao tenso.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Daqui por diante, por comodidade, os enunciados dos exemplos ficaro restritos: funo excitao, aos valores dos parmetros do circuito e s condies iniciais das grandezas do sistema.

EXEMPLO NUMRICO 7

Circuito RL srie:

( ) ( )100 10v t sen t= + ; 10R = ; 20L mH=

A equao caracterstica do sistema ser:

( )( ) 500 ( ) 5000 10d i t i t sen tdt + = + o

A soluo particular ter a forma:

( ) ( )1 2( ) cos 10 10pi t k t k sen t = + + +o o

1 2( ) ( 10 ) cos( 10 )pd i t k sen t k tdt

= + + +

A equao caracterstica pode ser apresentada como:

1 2

2 1

( 10 ) 500 ( 10 )100

cos( 10 ) 500 cos( 10 ) ( 10 )

k sen t k sen t

k t k t sen tL

+ + + +

+ + + = +

De onde podemos identificar o sistema de equaes que segue:

1 2

2 1

500 5000500 0

k kk k

+ =

+ =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Que admite as solues:

1

2

4,86,36

kk

=

=

Fig. 31 Diagrama vetorial da corrente em regime permanente

Assim, ( )( ) 10pi t k sen t = + +o , onde

Portanto, a soluo particular ser:

( )( ) 7,96 27,04pi t sen t= o

Pela Lei de OHM

( ) ( )rp pv t Ri t=

( )( ) 79,6 27,04rpv t sen t= o

Pela equao que rege o comportamento fsico da tenso no indutor:

( ) ( )Lp pd

v t L i tdt

=

( ) 60,02cos( 27,04)Lpv t t=

( ) ( )1

2 2 2

1

2

4,8 6,36

7,96

37,04

k

kk

arctgk

= +

=

=

= o

(10 )


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 8

Circuito RC srie:

( ) ( )200 30105

v t sen t

RC mF

= +

= =


( )20 7540cos 30di i tdt

+ = +

A soluo particular ter a forma:

( ) ( )1 2( ) cos 30 30pi t k t k sen t = + + +o o sendo

1 2( ) ( 30 ) cos( 30 )pd i t k sen t k tdt

= + + +

A equao caracterstica pode ser apresentada como segue:

1 2

2 1

( 30 ) 20 ( 30 )cos( 30 ) 20 cos( 30 ) 7540cos( 30 )

k sen t k sen tk t k t t

+ + + +

+ + + = +

De onde possvel identificar o sistema de equaes que segue:

1 2

2 1

377 20 0377 20 7540

k kk k

+ =

+ =

Que admite as seguintes solues:

1

2

1,05819,94

kk

=

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Fig. 32 Diagrama vetorial da corrente em regime permanente

Assim a soluo particular ser:

( )( ) 30pi t k sen t = + + , onde

ou

( )( ) 19,96 33,03pi t sen t= +

Pela Lei de OHM

( )( ) ( ) 199,6 33,03pv t R i t sen trp = = +

Pela equao que rege o comportamento fsico da tenso no capacitor

1( ) ( )Cp cpv t i t dtC=

( ) 10,59cos( 33,03 )Cpv t t= + ou

( ) 10,59cos( 146,96 )Cpv t t=

A ttulo de ilustrao ser determinada a tenso no capacitor por meio da respectiva equao descritiva:

1 ( )( ) ( )Cp Cpd v t

v t v tdt RC RC

+ =

( ) ( )1

2 2 2

1

2

1,058 19,94 19,94

3.03

k

karctg

k

= + =

= =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


onde 1 2( ) cos( 30 ) ( 30 )Cpv t k t k sen t = + + +

e

1 2( ) ( 30 ) cos( 30 ) 4000 ( 30 )Cpd

v t k sen t k t sen tdt

= + + + = +

Substituindo na equao descritiva, tem-se:

1 2

2 1

( 30 ) 20 ( 30 )cos( 30 ) 20 cos( 30 )

4000 ( 30 )

k sen t k sen tk t k t

sen t

+ + + +

+ + +

= +

De onde identificamos o sistema de equaes:

1 2

2 1

20 400020 0

k kk k

+ =

+ =

Que admite as solues:

1 10,58k =

2 0,5613k =

Portanto:

( ) 10,58cos( 30 ) 0,5613 ( 30 )Cpv t t sen t = + + + Ou

( ) 10,59 ( 56,96 )Cpv t sen t=

( ) 10,59cos( 146,96 )Cpv t t=

( ) 10,59cos( 33,03 )Cpv t t= +

A partir da soluo correspondente a um sinal de entrada do tipo senoidal possvel determinar os valores das constantes k1 e k2 para uma entrada do tipo cosenoidal, e vice-versa, como segue:

a) Exemplo numrico 8 com ( ) ( )100cos 10v t t= +

( )2 12

(cos)4,8

k k senk

=

=

( )1 21

(cos)6,36

k k senk

=

=

( )( ) 7,96cos 10pi t t = + , onde


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


2

1

37,04karctgk

= =

Assim, ( )( ) 7,96cos 27,04pi t t=

b) Exemplo numrico 9 com ( ) ( )200cos 30v t t= +

( )1 21

(cos)19,94

k k senk

=

=

( )2 12

(cos)1,058

k k senk

=

=

( )( ) 19,96cos 30pi t t = + , onde 2

1

3,03karctgk

= =

Assim, ( )( ) 19,96cos 33,03pi t t= +

Nos circuitos de segunda ordem esse mtodo exige um esforo matemtico relativamente significativo, tendo em vista a necessidade de se determinar a condio inicial da varivel em anlise, assim como a derivada de primeira e a de segunda ordem dessa varivel, no momento do chaveamento do sinal de entrada x(t). Nesses casos, o mtodo que utiliza o conceito de fasores mais adequado e ser apresentado a seguir.

DIAGRAMA DE IMPEDNCIAS

a) Ramo RC

Fig. 33 Triangulo de impedncia do ramo RC.

1

1 1,

C

C

Z R jX

XC

Z R onde jj C j

= +

=

= + =

( )1

21 22 2 22

1

1

1

Z

C

Z

Z R jC

Z

Z R X RC

arctgRC

=

= + = +

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


b) Ramo RL

Fig. 34 Triangulo de impedncia do ramo RL.

c) Ramo RLC

1 1Z R j L Z R j L jj C C = + + = +

1Z R j LC

= +

, onde:

XL=Reatncia Indutiva XC=Reatncia Capacitiva

Fig. 35 Triangulo de impedncia do ramo RLC.

( )1 12 2 2 2 22 2

L

L

Z

L

Z

Z R jXX LZ R j LZ

Z R X R L

Larctg

R

= +

=

= +

= + = +

=

1L

C

X L

XC

=

=

1LC

Indutivo

>

1LC

Capacitivo


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Mtodo 2: Utilizando o conceito de fasores, tendo como referncia o tipo da funo de excitao, seno ou coseno.

Em um circuito RLC srie, excitado por um sinal ( ) ( )m vv t V sen t = + , a soluo em regime permanente dada por:

( )( ) m v Zpi t I sen t = + (98) Onde,

mm

VIZ

=

Z = ngulo da impedncia Z v = ngulo de deslocamento da funo de excitao do sistema

Z = mdulo da impedncia Z

1X LC

=

, a reatncia equivalente do ramo RLC,

Assim,

12 2

2 1

mm

VI

R LC

=

+

, e

1

( )ZL

Ctg

R

=

Da,

12 2

2

1

( )1

mvp

LV CI t sen t arctg

RR L

C

= + +

(99)

Em um circuito RLC srie, alimentado por um sinal do tipo )cos( +t a soluo particular ser:

( )( ) cosm v Zpi t I t = + (100) Onde,

12 2

2 1

mm

VI

R LC

=

+

, e

1

( )ZL

Ctg

R

=

Ou seja,


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


12 2

2

1

( ) cos1

mvp

LV CI t t arctg

RR L

C

= + +

(101)

O ngulo z ser + ou dependendo de ( ) 0L CX X ou > <

L C

L C

X X negativoX X positivo

> =

< =

zeroXX CL ==

Para determinar a soluo correspondente aos circuitos RC, RL ou LC basta

fazer 0=L , 01 =C

ou 0=R , respectivamente.

EXEMPLO NUMRICO 9

Circuito RLC srie:

( ) ( )100 10v t sen t= +

102010

RL mHC mF

= =

=

A soluo particular associada ser:

( )( ) 10

7,274 36,03210

z

z

sm

ip t I en t

arctg

= +

= =

12 2

2

100

1

100 8,0912,36

m

m

I

R LC

I

=

=

+

=

Portanto: ( )( ) 8,09 26,032pi t sen t=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


EXEMPLO NUMRICO 10

Circuito RLC srie:

( ) 100 ( 30 )v t sen t=

102010

RL mHC mF

= =

=

A soluo particular associada ser:

( )cos( ) 307,274 36,032

10

z

z

mip t I t

arctg

=

= =

12 2

2

100

1

100 8,0912,36

m

m

I

R LC

I

=

+

= =

Portanto:

( ) 8,09 ( 66,032 )tpi sen t=

c) Mtodo 3: Utilizao de Integral

Neste caso a soluo particular dada por:

0 0( ) ( )pa t a t

i t e x t e dt

= (102)

Este mtodo dependendo do tipo de sinal de entrada x(t) do sistema exige habilidade na resoluo de integrais indefinidas. Para determinadas funes de excitao possvel utilizao de tabelas para a resoluo das respectivas integrais. Por ser pouco utilizado quando da anlise de sistemas submetidos a sinais alternados, no ser objeto de detalhamento.

DETERMINAO DA SOLUO GERAL DO SISTEMA

A soluo geral de um sistema linear e estacionrio dada pela soma da soluo homognea com a soluo particular.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


CICUITOS DE PRIMEIRA ORDEM

Na determinao da soluo geral de um sistema linear estacionrio de primeira ordem se faz necessrio identificar a condio inicial, referente ao instante zero, para cada grandeza.

EXEMPLO LITERAL 7 (MTODO I)

Circuito RL srie

LKT: ( ) ( ) ( )

r L mv t v t V sen t + = +

Tendo como equao descritiva

( )( ) ( )d R v ti t i tdt L L

+ = (103)

Logo, a soluo do sistema para corrente i(t), ser:

1 2( ) cos( ) ( )R

tLi t ke k t k sen t

= + + + + (104)

Pelo mtodo 1

1 2

1 2

( ) cos( ) ( )

( ) ( ) cos( )

p

p

i t k t k sen t

d i t k sen t k tdt

= + + +

= + + +


[ ]1 2 1 2 1( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )mRk sen t k t k t k sen t V sen tL L + + + + + + + = +

Rearranjando,

1 2 2 1( )( ) cos( ) ( )mVR R

sen t k k t k k sen tL L L

+ + + + + = +

Da,

1 2 2 1 0mVR Rk k e k k

L L L + = + =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Resolvendo esse sistema de equaes, tem-se:

2 2 2 2

1 2 2 2

m

m

V Rk

L RV L

kL R

=

+

=

+

Assim,

2 2 2 2 2 2( ) cos( ) ( )p m mV L V R

i t t sen tL R L R

= + + +

+ +

Utilizando a equao (70)

( )( )

( )

2 2 22 22

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22

22 2 2

22

22 2 2

( ) ( )m m

m

m

V LV Rk

R L R L

V R Lk

R L

Vk

R L

= ++ +

+=

+

=

+

2 2( )m

Vk

R L=

+

Larctg

R

=

( ) ( )pi t k sen t = +

2 2( ) ( )

( )pm

V Li t sen t arctgRR L

= +

+

Assim, a equao (104) ser:

( )22( )

Rt

L mV Li t k e sen t arctg

RR L

= + +

+

Fazendo t=0,


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


( )22(0) mV Li k sen arctg

RR L

= +

+

Da,

mV Lk sen arctgZ R

=

Portanto a soluo geral ser dada por:

( ) ( )2 22 2( )

Rt

LVm L Vm Li t sen arctg e sen t arctgR RR L R L

= + +

+ +

(105)

EXEMPLO LITERAL 8 MTODO I

Circuito RL srie:

LKT: ( ) ( ) ( )

r L mv t v t V sen t + = +

Tendo como equao descritiva

( )( ) ( )d R v ti t i tdt L L

+ =

Logo, a soluo do sistema para corrente i(t), utilizando o mtodo 2, ser: ( ) ( )

tm

ZVi t ke sen tZ

= + + (106) Onde,

ZL

arctgR

=

, conhecido como ngulo de fator de potn

Documents

Circuitos 3 - Analise de Transitório