CIRCUITOS DIGITAIS -

8/13/2019 CIRCUITOS DIGITAIS -

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Cincia da Computao

Circuitos Digitais

Teoria de circuitos digitais usando portas

lgicas

Introduo a lgebra de Boole

Implementao e simplificao de circuitoslgicos com portas lgicas


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Circuitos digitaisso circuitos eletrnicos que baseiam o seu funcionamento

na lgica binria, em que toda a informao guardada e processada sob a

forma de !eros "#$ e uns "%$& 'sta representao conseguida usando dois

n()eis discretos de Tenso eltrica& 'stes n()eis so frequentemente

representados por * e + "do ingls low bai-o e high alto , respecti)amente$&

.s computadores, tele m)eis, *eitores de D/D, so alguns e-emplos de

aparel0os que baseiam a totalidade, ou parte, do seu funcionamento em circuitos

digitais&

Portas Lgicas

1ortas lgicas so dispositi)os, ou circuitos lgicos, que operam um ou mais

sinais lgicos de entrada para produ!ir uma e somente uma sa(da, dependente

da funo implementada no circuito& 2o geralmente usadas em circuitos

eletrnicos3 o comportamento das portas lgicas con0ecido pela tabela

)erdade que apresenta os estados lgicos das entradas e das sa(das&

4o in(cio da era da eletrnica, todos os problemas eram resol)idos por sistemas

analgicos, isto , sistemas lineares& 5penas em %678, o engen0eiro americano

Claude 'l9ood 20annon utili!ou as teorias da lgebra de Boole para a soluo

de problemas de circuitos de telefonia com rels, tendo publicado um trabal0o

denominado 2:mbolic 5nal:sis of ;ela: and 29itc0ing, praticamente

introdu!indo na rea tecnolgica o campo da eletrnica digital& 'sse ramo da

eletrnica emprega em seus sistemas um pequeno grupo de circuitos bsicos

padroni!ados con0ecidos como 1ortas *gicas&

ausncia de tenso "# )olt$ enquanto o n()el lgico %, > presena de tenso "aqual geralmente ? )olts$&


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5s portas lgicas so geralmente indicadas por seu nome em ingls& 5s portas

lgicas, seus correspondentes na lgica matemtica, bem como sua simbologia

pela norma 542I ' I'C so apresentadas na tabela a seguir@


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Auno 54D "'$@ 5ssume )alor % quando todas as )ari)eis forem iguais a % e

assume )alor !ero nos outros casos poss()eis&

Auno .; ".


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5 lgebra Booleana de dois elementos tambm utili!ada no c em engen0aria

eltrica3 aqui # e % representam os dois diferentes estados de um bit em um

circuito digital, tipicamente alta e bai-a )oltagem&

.s circuitos so descritos por e-press=es contendo )ari)eis, e as tais duas

e-press=es so iguais para todos os )alores das )ari)eis se e somente se o

circuito correspondente ti)er o mesmo comportamento de entradasa(da&

K frequente serem simplesmente escritos como ', .< ou 4. "so mais

comuns os seus equi)alentes em ingls@ 54D, .; e 4.T$&

4a descrio de circuitos tambm podem ser utili!ados 454D "4.T 54D$, 4.;

"4.T .;$ e .; ".; e-clusi)o$&

.s matemticos usam com frequncia L para .< e & para ' ")isto que sob alguns

aspectos estas opera=es so anlogas > adio e multiplicao noutras

estruturas algbricas$ e representam 4. com uma lin0a traada sobre ae-presso que est a ser negada&

.utra notao comum, com M "ou M para bro9sers que no suportam esse

caracter$ para ', / "ou )$ para .


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2o comuns, para os )alores # e %, as designa=es &also e veraeiro,

respecti)amente&

Operaes Bsicas

5s opera=es fundamentais da lgebra de Boole tm semel0ana com

opera=es aritmticas comuns, inclusi)e alguns s(mbolos so idnticos, mas no

so necessariamente coincidentes@

%$ .perao OU

$ .perao E

7$ .perao !O

# interpretado como falsoU e % )erdadeiroV

Opera"o OU

K similar > adio comum, mas a correspondncia no plena&

2(mbolo usual o mesmo da adio&

'-emplo@

Q 5 L B "lse igual a 5 ou B$&

multiplicao comum e 0 correspondncia, como poder ser )isto

adiante& 2(mbolo usual o mesmo da multiplicao&

'-emplo@

Q 5 X B "lse igual a 5 e B$&

Puitas )e!es, tambm de forma semel0ante > lgebra comum, o sinal de ponto

suprimido@ Q 5B&

. e comercial "Y$ um s(mbolo usado em algumas linguagens " Q 5 Y B$&

Opera"o !O


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Tambm denominada negao ou complemento, pode ser considerada similar

ao negati)o da lgebra comum&

'ntretanto, no 0 correspondncia plena porque a lgebra de Boole no usa

sinal negati)o& 2(mbolo usual uma barra acima "ou antes$ da )ari)el&

'-emplo@

Q "lse igual a no 5$& 5lguns outros s(mbolos so o sinal de e-clamao

" Q Z5$ e o apstrofo " Q 5[$&

.s postulados da lgebra de Boole definem os resultados das opera=es bsicas

informadas no tpico anterior&

Postulados

Postulados da opera"o OU

# L # Q #

# L % Q %

% L # Q %

% L % Q %

'lgumas re&erncias escrevem postulaos a ai(o. )as lembrar *ue # i(o

booleana, n(o e*uivale plenamente + ai(o comum plenamente + ai(o

comum por*ue, para esta ltima, - - eve ser /.%

Postulados da opera"o E

# X # Q #

# X % Q #

% X # Q #

% X % Q %

0m algumas re&erncias, s(o enominaos postulaos a multiplica(o. 1otar

*ue h e*uivalncia plena com a multiplica(o comum.%

Postulados da opera"o !O

# Q %

% Q #


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E#erc$cio@

2mitino as emonstraes, algumas ientiaes poem ser euzias a partir

os postulaos acima3

a4 5a opera(o 26

$ / 7 8

$ - 7 8

$ $ 7 8

b4 5a opera(o 0

$ 9 / 7 8

$ 9 - 7 8

$ 9 $ 7 8

c4 5a opera(o 1:2

; ; $ 7 8

%olu"o&

a4 5a opera(o 26

$ / 7 $

$ - 7 -

$ $ 7 $

$ $ 7 -

b4 5a opera(o 0

$ 9 / 7 /

$ 9 - 7 $

$ 9 $ 7 $

$ 9 $ 7 /

c4 5a opera(o 1:2

; ; $ 7 $

Propriedades e 'eore(as

)* Propriedade co(utativa

5 L B Q B L 5

5 X B Q B X 5


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+* Propriedade associativa

5 L "B L C$ Q 5 L "B L C$ Q 5 L B L C

5 X "B X C$ Q 5 X "B X C$ Q 5 X B X C

,* Propriedade distributiva

5 X "B L C$ Q 5XB L 5XC\

-* 'eore(as de .organ

/* Outras 0gualdades

1 2 1 3 B 4 1

1 2 1 3 B 4 1 2 B

51 2 B* 3 51 2 C* 4 1 2 B 3 C

6un"o Booleana


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4a prtica, podese di!er que uma funo que estabelece uma relao entre

um conunto de m )ari)eis de entrada com um conunto de n )ari)eis de sa(da&

Desde que os )alores das )ari)eis so discretos "apenas # e %$, o mapeamento

da funo pode ser apresentado em forma tabular, denominada tabela de

)erdade da funo& . quadro Tab #% d um e-emplo para trs entradas e duas

sa(das&

E#e(plo


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Conclus"o&

5 lgebra booleana importante na cincia computacional&


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1ara a obteno da equao a partir do circuito, iniciase a anlise pr-imo >s

entradas e escre)ese a equao de sa(da de cada porta lgica, at obter a

equao de sa(da final do circuito&

E#e(plos

2s parnteses nas e*uaes intermeirias, na saemplos ?a4 e ?c4 h parnteses ispensveis.

"e voc @souber o *ue est &azenoA, poe suprimi;los j nas e*uaes

intermeirias.

E8ua"o 9 tabela verdade

*embre que a tabela )erdade quem descre)e o too o funcionamento lgico

de um circuito digital combinacional, ou too o comportamento de uma equao

lgica& 5ssim, a tabela )erdade de)e contemplar todas as possibilidades deentrada do circuito`equao e cada sa(da correspondente& 5s entradas de)em

ser organi!adas na forma de uma contagem binria crescente&


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.:todo )

Decompor a equao em opera=es menores e obter as sa(das de cada

operao menor em colunas au-iliares, at obter a sa(da final& Caso sea dado o

Circuito e no a equao, obter a equao correspondente e ento aplicar omtodo&

E#e(plo

.:todo +

2ubstituir cada possibilidade de entrada na equao e obter o resultado& Caso

sea dado o circuito e no a equao, obter a equao correspondente e ento

aplicar o mtodo&

E#e(plo


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.:todo ,

5plicar cada possibilidade de entrada no circuito e obter a sa(da& Caso sea dada

a equao e no o circuito, obter o circuito correspondente e ento aplicar o

mtodo&

E#e(plo

E#erc$cio

Desen0e o circuito lgico para a equao A Q "] L ; $

1asso %@ Desen0ar a porta in)ersora que implementa &

1asso @ Desen0ar a porta U.


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E#presses Boolenas Obtidas de Circuitos Lgicos

Todo circuito lgico e-ecuta uma e-presso booleana e, por mais comple-o que

sea, formado pela interligao das portas lgicas bsicas&

1odemos obter a e-presso booleana que e-ecutada por um circuito lgico

qualquer& 1ara o procedimento, )amos obter a e-presso que o circuito da figura

abai-o e-ecuta@

/amos di)idir o circuito em partes@

4a sa(da 2%, teremos o produto 5&B, pois sendo este bloco uma porta ', sua

e-presso se sa(da ser@ 2% Q 5&B& Como 2 inetada em uma das entradas da

porta .< pertencente > segunda parte do circuito e na outra entrada est a

)ari)el C, a e-presso de sa(da ser 2 Q 2% L C&

1ara determinarmos a e-presso final, basta agora, substituirmos a e-presso

de 2% na e-presso acima, obtemos ento@

2 Q 5 & B L C que a e-presso que o circuito e-ecuta&


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2 Q 5 & B L C

E#e(plo de Circuito Lgico

Dada uma equao Booleana qualquer, poss()el desen0arse o circuito lgico

que a implementa& . circuito lgico composto das portas lgicas relacionadas>s opera=es que so reali!adas sobre as )ari)eis de entrada& .s resultados

das opera=es so condu!idos por fios, os quais, no desen0o, so

representados por lin0as simples&

.s passos a serem seguidos para se reali!ar o desen0o do circuito lgico a partir

de uma equao so praticamente os mesmos usados na a)aliao da

e-presso& Tomemos como e-emplo a equao, na tabela #%& Inicialmente,

identificamos as )ari)eis independentes, que no caso so , ] e & 1ara cada

uma destas, traamos uma lin0a "da esquerda para a direita$, representando os

fios que condu!em os )alores& Aeito isto, de)ese seguir desen0ando as portas

necessrias para representar cada uma das sube-press=es, na mesma ordem

tomada para a a)aliao, ou sea@

Tabela #%&

% parntesis "dos mais internos para os mais e-ternos$3

opera=es '3

7 opera=es .


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5 figura mostra o circuito lgico para a equao Q L ]& &


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18

2eguindo o processo descrito, temos@

2 Q 5 & B L C L C & D

Idem, para figura acima@

. c(rculos colocados nas terminais de entrada unto >s portas, representam

tambm in)ersores&


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19

2olucionando, temos@

F ual a e-presso e-ecutada pelo circuito da figura abai-o@

;esoluo@


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20

%i(pli


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21

%i(pli


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22

Com a e-presso agora sob a forma de somadeprodutos, de)emos procurar

por )ari)eis comuns dentre os )rios termos com a inteno de fatorar& .

primeiro e terceiro termo tm'! em comum, que pode ser fatorado@

Aig& % '-emplo %%

Q'!"B L B L 5 B $

que B L B Q % ento

Q 5C"%$ L 5 B

Q 5C L 5 B

1odemos agora fatorar 5, o que resulta em 5"C L B


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'ste resultado no pode mais ser simplificado& 5 implementao do circuito

mostrada na Aig& %"b$& K b)io que o circuito em "b$ bem mais simples do

que o circuito original "a$&

'-emplo %&

2implifique a e-presso ! Q 5BC L 5B C L 5 B C&

%olu"o

/amos )er dois modos diferentes de c0egar ao mesmo resultado&

)#too -3 .s primeiros dois termos na e-presso tm o produto 5B em comum*ogo&

Q 5B"C L C $ L 5 B C

Q 5B"%$ L 5 B C

Q 5B L 5 B C

1odemos fatorar a )ari)el'de ambos os termos@

Q 5"B L B C$

5plicando o teorema "%?$&

Q 5"B L C$

)#too B35 e-presso original ! Q 5BC L 5B C L 5 B C&

.s primeiros dois termos tm 'C em comum& . primeiro e o Jltimo termo tm

'!em comum& Como saber se de)emos fatorar'Cprimeiros dois termos ou'!

dos dois termos e-tremosj 4a )erdade, podemos fa!er ambos usando o termo

5BC duas )e!es& ' outras pala)ras, podemos reescre)er e-presso como

! Q 5BC L 5B C L 5 B C L 5BC


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.nde somamos um termo e-tra 5BC& Isto )alido e no altera o )alor da

e-presso, tendo em )ista que 5BC L 5BC Q 5BC kteorema "$& 5gora podemos

fatorar'Cdos dois primeiros termos e'!dos dois Jltimos termos@

! Q 5B"C L C L 5C" B L B$

Q 5B & % L 5C & %

Q 5B L 5C Q 5"B L C$

'ste naturalmente o mesmo resultado obtido com o mtodo %& 'sse artificio de

usar o mesmo termo duas )e!es sempre pode ser usado& De fato, o mesmo

termo duas )e!es sempre pode ser usado& De fato, o mesmo termo pode ser

usado mais de duas )e!es se for necessrio&

E#erc$cio&

% 2implificar um circuito com quatro portas lgicas&

% 1orta 4.T entrou 5 e saiu 5_

1orta '4D entrou B C saiu termo BC

7 ue a entrada da porta .;

F 2a(da da porta .; )ai ser "5_LBC$_ que ser entrada da porta '4D

untamente com termo 5C, logo a e-presso ser 51=2BC*=> 1 > B

"5_LBC$_ 5 B ;eescre)endo ficou assim@

Q 5B"5_ L BC$_ aplicando o teorema de Demorgan alterando termo .; parao termo '4D a simplificao ser assim@


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Q 5B"5 "BC$$ aplicando o teorema de Demorgan no)amente para o termo

BC a simplificao ser assim@

Q 5B "5 "B_ L C_$$ aplicando a propriedade distributi)a

Q 5B "B_ L C_$ e no)amente aplicando a propriedade distributi)a teremos&

Q 5BB_ L 5BC_ ue BB_ igual a # portanto podemos eliminalos

Q 5BC_ Tornado est simplificao&

' assim teremos a e-presso abai-o@

2implifique a equao abai-o&

Pri(eiro& 0denti


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Inicialmente, in)ertemos o primeiro termo& Depois, in)ertemos o segundo termo&

1or Jltimo, alteramos o operador .; para 54D&

;epare que foi acrescentado um parnteses ao segundo termo& Isso foi

necessrio porque agora e-iste um operador 54D fa!endo a operao com o

segundo termo& Como o segundo termo formado por mais de uma )ari)el

necessrio separlas&

'erceiro& 1plicar nova(ente o teore(a

5ps aplicarmos o teorema no segundo passo, surgiu outra in)erso composta

uais so os termos dessa in)erso compostaj 5 )ari)el B e a )ari)el&

5ssim, aplicamos o teorema in)ertendo o primeiro termo, in)ertendo o segundo

termo e alterando o operador 54D para o operador .;&

@uarto& 1plicar os outros teore(as

5gora no e-iste mais nen0uma in)erso compostaZ Basta aplicarmos os

teoremas para simplificar ainda mais a equao& 2endo assim, fa!emos@

$ 5plicamos a propriedade distributi)a


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Bibliografia@

*.

Documents

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