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Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Indutância Mútua

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Introdução

• Indutância Própria

• Indutância Mútua

• Indutâncias acopladas

• Acoplamento perfeito

• Acoplamento imperfeito

• Transformador ideal

• Transformador Perfeito

• Transformador Real

• Modelos de transformadores

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Indutância Própria (Autoindutância)

• O indutor é um componente dos circuitos elétricos que representa o armazenamento de energia magnética.

• Quando uma corrente atravessa o fio, um campo magnético é criado no interior da bobina.

div L

dt

0

1( ) (0)

t

i v d iL

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Indutância Própria

“Quando um condutor é percorrido por uma corrente elétrica, surge em torno dele um campo magnético, cujo fluxo é proporcional à

intensidade da corrente”

André-Marie Ampère

Produção de um campo magnético

i

linhas de

campo

magnético

Lei de Ampère

Limalha de ferro

Fio de cobre Folha de

papel

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Indutância Própria

Os ímãs também produzem campos magnéticos

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Indutância Própria

Constatação:

• Para uma corrente constante (chave fechada), independentemente de quão elevado seja o valor da tensão aplicada, não há deslocamento do ponteiro do medidor.

Michael Faraday

Lei de Faraday

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Indutância Própria

Lei de Faraday

v

fluxo

Constatações:

• Ao aproximar ou afastar o ímã do solenóide (bobina) ocorre um deslocamento do ponteiro do medidor.

• Quando o ímã está parado, independentemente de quão próximo este esteja do solenóide, não há deslocamento do ponteiro do medidor.

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Indutância Própria

Lei de Faraday • “Quando um circuito elétrico é atravessado por um fluxo

magnético variável, surge uma f.e.m. (força eletro-motriz = tensão) induzida atuando sobre o mesmo.”

dv

dt

• “A f.e.m. (tensão) induzida no circuito é numericamente igual à variação do fluxo que o atravessa.”

Formas de se obter uma tensão induzida segundo a lei de Faraday:

• Provocar um movimento relativo entre o campo magnético e o circuito.

• Utilizar uma corrente variável para produzir um campo magnético (e um fluxo magnético) variável.

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Indutância Própria

Lei de Lenz

Heinrich Lenz

“A tensão induzida em um circuito fechado por um fluxo magnético variável

produzirá uma corrente de forma a criar um campo magnético cujo fluxo opõe-se

à variação do fluxo que a criou”

dv

dt

𝜙

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Indutância Própria

Lei de Lenz

𝜙

𝜙

11

Indutância Própria

Lei de Lenz

𝜙

𝜙

12

Indutância Própria

Primeiro considere um único indutor, uma bobina com N espiras, a

corrente através do condutor produz um fluxo magnético, .

Se o fluxo varia, a tensão induzida é:

dv N

dt

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Indutância Própria

Ou em termos de variação da corrente:

A indutância L, do indutor é dada, portanto, por:

Essa indutância é comumente denominada autoindutância (ou

indutância própria).

d div N

di dt

dL N

di

𝑣 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

Qualquer variação no

fluxo é provocada por

uma variação na

corrente.

dv N

dt

ou

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Indutância Mútua

Considerando duas bobinas com N1 e N2 espiras,

respectivamente. Com indutâncias próprias L1 e L2.

O fluxo magnético

emanando da bobina 1

tem duas

componentes:

Um componente que atravessa

apenas a bobina 1 (11 ) e, o outro

componente (12 ) se associa com

ambas as bobinas.

1 11 12

Fisicamente

separadas

Magneticamente

acopladas

Não existe corrente no

segundo indutor (L2).

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Indutância Mútua

Já que todo o fluxo 1 atravessa

a bobina 1, a tensão induzida na

bobina 1 é:

Apenas o fluxo 12 atravessa a

bobina 2, de modo que a tensão

induzida na bobina 2 seja

11 1

dv N

dt

122 2

dv N

dt

(Tensão auto-induzida)

(Tensão mutuamente

Induzida)

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Indutância Mútua

Já que os fluxos são produzidos pela

corrente i1 fluindo na bobina 1, então:

11 1

dv N

dt

122 2

dv N

dt

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1

𝑑𝑖1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

= 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙12

𝑑𝑖1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

= 𝑀21

𝑑𝑖1𝑑𝑡

Autoindutância da bobina 1

Indutância mutua da

bobina 2 em relação à

bobina 1

(Tensão auto-induzida)

(Tensão mutuamente

Induzida)

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Indutância Mútua

De forma semelhante:

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙2

𝑑𝑖2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

= 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21

𝑑𝑖2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

= 𝑀12

𝑑𝑖2𝑑𝑡

Autoindutância da bobina 2

Indutância mutua da

bobina 1 em relação à

bobina 2

𝜙2 = 𝜙22 + 𝜙21

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙2

𝑑𝑡

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21

𝑑𝑡

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Polaridade da Tensão Auto-induzida

A polaridade da tensão auto-induzida

é determinada pelo sentido de

referência da corrente e pela

polaridade de referência da tensão.

div L

dt

Convenção do receptor

L v

i +

-

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Polaridade da Tensão Mútua

A indutância mutua é sempre positiva (M), entretanto, a tensão

mutua pode ser positiva ou negativa (𝑀 𝑑𝑖 𝑑𝑡 ) . Utilizar a

convenção do ponto.

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Indutâncias Acopladas em Série

Bobinas acopladas em serie de duas formas diferentes

a) Conexão serie aditiva

b) Conexão serie subtrativa

1 2 2L L L M

1 2 2L L L M

“sentidos dos enrolamentos

são concordantes”

“sentidos dos enrolamentos

são discordantes”

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Convenção do Ponto

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Exemplo A

Aplicando a convenção do ponto.

LKT na malha de i1:

LKT na malha de i2:

No domínio da frequência

1 1 1 1 2

2 1 2 2 2

V R j L I j MI

V j MI R j L I

2 12 2 2 2

di div i R L M

dt dt

1 21 1 1 1

di div i R L M

dt dt

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Exemplo B

Aplicando a convenção do ponto.

LKT na malha de i1:

LKT na malha de i2:

1 1 1 2V Z j L I j MI

1 2 20 Lj MI Z j L I

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Modelo para análise de circuitos acoplados

Procedimento para resolver circuitos magneticamente acoplados:

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Energia em Circuitos Acoplados

A energia armazenada no indutor é:

Para indutores acoplados, a energia total armazenada depende das

indutâncias próprias e da indutância mútua.

É selecionado o sinal positivo se ambas as correntes entrarem ou

deixarem os terminais marcados com pontos das bobinas.

Caso contrario é selecionado o sinal negativo.

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2w Li

2 2

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2w L i L i Mi i 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 ± 2𝑀

*Indutores acoplados em serie

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Limite Superior para M

A energia armazenada no circuito não pode ser negativa, porque o

sistema é passivo.

Do qual, tem-se:

O grau com que a indutância mútua M se aproxima do limite superior é

especificado pelo coeficiente de acoplamento, dado por:

Onde 0 ≤ 𝑘 ≤ 1, ou de forma equivalente 0 ≤ 𝑀 ≤ 𝐿1𝐿2

1 2M L L

2 2

1 1 2 2 1 2

1 10

2 2L i L i Mi i

1 2

Mk

L L

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Coeficiente de acoplamento

Acoplamento perfeito: todo o fluxo

produzido por uma bobina

atravessa a outra bobina, então

k=1 e temos um acoplamento de

100%.

Para k<0,5, diz-se que as bobinas

estão livremente acopladas.

Para k>0,5, diz-se que as bobinas

estão firmemente acopladas.

Livremente

acopladas

Firmemente

acopladas

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Problema 13.15

Determine o equivalente de Norton para o circuito da figura abaixo

nos terminais a-b.

Rpta: 19.525∠87,06°

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Referências

1. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,

Pearson, 2008.

2. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

3. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.