Embed Size (px)
Citation preview
Circunferência e Polígonos.
Circunferência
Circunferência – é uma linha
fechada, cujos pontos estão a
igual distância de um ponto
fixo a que chamamos centro.
C é o centro;
[AC] é um raio;
[BH] é um diâmetro;
[EF] é uma corda.
[AB] é um diâmetro;
Os pontos A e B dividem a
circunferência em duas
semicircunferências.
Os pontos A e B marcados são extremos de um diâmetro.
Os pontos E e F dividem a circunferência em dois arcos diferentes:
Arco Menor EF que está contido numa semicircunferência (representado a
encarnado na figura).
Arco Maior EF que contém uma semicircunferência (representado a azul
na figura).
Quando escrevemos:
Arco EF – refere-se ao arco menor;
Arco EGF – refere-se ao arco maior.
Arco de circunferência
Simetrias numa Circunferência
Os eixos de simetria de uma circunferência são todas as retas que
passam pelo seu centro – tem uma infinidade de eixos de simetria.
tem uma infinidade de simetrias de reflexão e de
rotação.
Ângulos ao Centro e Arcos
Correspondentes
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da
circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência.
é um ângulo ao centro
Ao ângulo ao centro considerado corresponde o .
Se a amplitude do arco correspondente é também 70º.
A amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo ao
centro correspondente.
Amplitude de um arco de circunferência
AB 30ºCD 100ºHG
Porque a amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo
ao centro correspondente
EF
Exemplos:
Exercícios:
Numa circunferência, a cada ângulo ao centro, corresponde um
arco e, reciprocamente, a cada arco corresponde um ângulo ao
centro.
Numa circunferência, a cada ângulo ao centro, corresponde uma corda
e, reciprocamente, a cada corda corresponde um ângulo ao centro.
Ângulos ao Centro, Arcos e Cordas
Correspondentes
Igualdade de arcos, cordas e ângulos ao
centro correspondentes.
Numa circunferência, a ângulos ao centro iguais
correspondem arcos e cordas iguais.
Ângulo Inscrito num Arco de Circunferência
Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice sobre a
circunferência e os seus lados contêm cordas.
A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da
amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
ˆ2
ABAVB
ˆˆ
2
AOBAVB
ˆAB AOB
Ou ainda: ˆ ˆ2AB AOB AVB
A amplitude do arco (ou do ângulo ao centro) é o dobro
da amplitude do ângulo inscrito correspondente.
Exemplos:
A amplitude do ângulo
inscrito é metade da
amplitude do ângulo ao
centro correspondente.
A amplitude do arco é igual à
amplitude do ângulo ao centro
correspondente.
A amplitude do ângulo
inscrito é metade da
amplitude do ângulo ao
centro correspondente.
A amplitude do ângulo ao centro é
igual à amplitude do arco
correspondente.
Propriedades
Os ângulos inscritos no mesmo arco de
circunferência são geometricamente iguais.
Ângulos inscritos no mesmo arco
Qualquer ângulo inscrito
numa semicircunferência é
reto.
Ângulos inscritos numa
semicircunferência
Ângulos inscritos no
mesmo arco de
circunferência têm a
mesma amplitude
A amplitude do arco correspondente ao ângulo
(inscrito) de 130º é de 260º.
Logo,
Exemplos:
A amplitude do arco é o
dobro da amplitude do
ângulo inscrito
correspondente.
A amplitude do ângulo ao centro é
igual à amplitude do arco
correspondente.
Posição relativa de uma reta e de uma
circunferência
A reta s é secante à circunferência porque a interseta em dois pontos distintos (A e B).
A reta t é tangente à circunferência porque a interseta apenas num ponto (ponto T). Ao ponto T chamamos ponto de tangência.
A reta e é exterior à circunferência porque não a interseta.
T
Arcos compreendidos entre
cordas paralelas são
geometricamente iguais.
Cordas compreendidas entre cordas
paralelas são geometricamente iguais.
Arcos e Cordas compreendidos entre
retas paralelas
Qualquer reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência.
TA TO
Tangente a uma circunferência
A reta que é perpendicular a uma corda e
que passa pelo centro da circunferência
bisseta a corda.
Perpendicular ao ponto médio de uma
corda
Outros ângulos excêntricos e arcos
correspondentes
Os ângulos que não têm vértice no centro da circunferência
chamam-se ângulos excêntricos.
O ângulo excêntrico
BAC é também , por
definição um ângulo
inscrito no arco BC
Ângulos excêntricos com vértice no
interior da circunferência
Prolongando os lados DE e DF do ângulo, estes
intersetam a circunferência nos pontos M e N,
assinalados na figura. [FDM] é um triângulo. M
N
ˆ ˆ ˆFDE MFD DMF O ângulo externo de um triângulo é igual à soma
dos ângulos internos não adjacentes.
ˆ2 2
MN FEFDE ˆ
2
MN FEFDE
A amplitude de um ângulo com vértice no interior de uma
circunferência é igual a metade da soma das amplitudes dos arcos
compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos.
Ângulos excêntricos com vértice no
exterior da circunferência
Sejam P e Q pontos de interseção dos lados do
ângulo com a circunferência, como sugere a
figura.
ˆˆ ˆHPI GIP PGI O ângulo externo de um triângulo é igual à soma
dos ângulos internos não adjacentes.
A amplitude de um ângulo com vértice no exterior de uma
circunferência é igual a metade da diferença entre as amplitudes dos
arcos maior e menor que estão compreendidos entre os seus lados.
P
ˆ ˆ ˆPGI HPI GIP ˆ2 2
HI QPPGI
Q
2
HI QP
.
2
AB
Ângulo de um segmento
Ângulo de um segmento relativo a uma circunferência é o
ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência, um dos
lados é uma secante e o outro lado é tangente à
circunferência.
Área de um setor circular
Chama-se setor circular a uma parte de um círculo limitada por
dois raios e por um dos arcos que eles determinam.
2
360º 60º
3 x
3
2
23 60
360x
540
360
21,5 cm
2. Calcular o comprimento do arco AB.
360º 60º
6 x
cm 6 60
360x
360
360
1. Calcular a área do setor circular assinalado na figura.
AB cm
Na figura sabe-se que:
Determina o valor exato da área e do perímetro da zona
sombreada a azul na figura.
Exercício:
Polígonos
linha formada por segmentos de reta
consecutivos, não alinhados.
superfície plana limitada por uma linha poligonal
fechada
Linha poligonal aberta Linha poligonal fechada
Exemplos:
Linha poligonal:
Polígono:
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Polígono convexo Polígono côncavo
Tem pelo menos um ângulo
côncavo, maior que 180º
A partir de agora, quando falarmos em polígono estamos a referirmo-nos a
polígonos convexos
(se unirmos dois quaisquer
dos seus pontos, o
segmento de reta obtido
está sempre contido no
polígono)
(existem pelo menos dois
pontos que unidos formam
um segmento de reta que
não está contido no polígono)
Todos os seus ângulos são
convexos, menores que 180º
Ângulos externos e internos de um polígono
Num polígono é possível considerar dois tipos de
ângulos: os ângulos internos e os ângulos externos.
SOMA DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS
INTERNOS DE UM POLÍGONO
Polígono
N.º de lados
Exemplo
N.º de triângulos em que ficou
dividido
Soma dos ângulos internos de um polígono
Triângulo
3
1
180º
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
…
...
... ...
...
...
Polígono de 10 lados
...
...
...
...
...
...
Polígono de n lados
…
...
...
...
...
...
7
10
n
2
3
4
2x180º=360º
3x180º=540º
4x180º=720º
5 5x180º=900º
(n-2)x180º
8x180º=1440º 8
n-2
A soma Si das amplitudes dos ângulos
internos de um polígono (convexo) com n
lados é dada pela expressão:
Si=(n-2) x 180o
SOMA DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS
EXTERNOS DE UM POLÍGONO
Considera o polígono [ABCDE] e os seus ângulos externos a, b, c, d, e
Se recortarmos cada um dos ângulos externos
E depois juntarmos os ângulos externos pelos seus vértices.
A que é igual a soma das
amplitudes dos ângulos
externos deste polígono?
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um
polígono (convexo) é sempre igual a 3600.
Se=3600
ÂNGULOS DE POLÍGONOS REGULARES
COM N LADOS
Ângulo Soma das
amplitudes Amplitude de um ângulo
Interno
Externo
2 180ºSi n
360º
2 180ºnSii
n n
360ºSe
n n 180e i
Quadriláteros inscritos numa circunferência
Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a
soma das amplitudes de dois ângulos
opostos é 180º.
Polígonos Inscritos numa Circunferência
Um polígono está inscrito numa circunferência se todos os
seus vértices são pontos dessa circunferência.
Todos os polígonos regulares podem ser inscritos numa
circunferência.
O mesmo não acontece com os polígonos não regulares, à
exceção do triângulo.
Exemplo:
Como inscrever um pentágono regular numa circunferência?
Desenha uma circunferência;
Calcula a amplitude do ângulo ao centro que vai corresponder a cada
lado;
Sendo O o centro da circunferência, une O a um ponto qualquer da
circunferência.
Com um transferidor sobre esse segmento marca um ângulo de
vértice O e amplitude 72º. Por exemplo ;
360º72º
5
A partir de A (ou de B) e com a abertura do compasso igual a
marca os outros pontos: C, D e E;
Une os pontos de modo a obter o pentágono regular [ABCDE].
Procedendo deste modo, poderemos inscrever numa circunferência
qualquer polígono regular.
ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS
REGULARES INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
Exercício: Na figura está representada uma
circunferência de centro O, em que está
inscrito um hexágono regular.
Qual é a amplitude, em graus, dos ângulos
assinalados?
Área de um Polígono Regular
Exemplo: Como se pode determinar a área de um pentágono regular
qualquer?
Dividimos o pentágono em
cinco triângulos congruentes;
Quando decompomos um
polígono regular em
triângulos, verificamos que a
apótema do polígono coincide
com a altura de cada
triângulo.
Apótema de um Polígono Regular
– é o segmento de reta que une o
centro do polígono com o ponto
médio de qualquer dos lados.
Designando por l a medida do lado do pentágono vem:
Logo,
2
polígono regular
PerímetroA apótema
Exercício:
Na figura está representada uma
circunferência de centro O e raio 5 cm, em
que está inscrito um pentágono regular com
6 cm de lado.
Calcula a área do pentágono.
