Classificação da curvatura de vertentes em perfil via THIN plate

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas

DAN IE LA SO U ZA DOS AN JOS

CLASSIFICAÇÃO DA CURVATURA DE VERTENTES EM PERFIL VIA THIN PLATE SPLINE E INFERÊNCIA FUZZY

Presidente Prudente

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas

DAN IE LA SO U ZA DOS AN JOS

CLASSIFICAÇÃO DA CURVATURA DE VERTENTES EM PERFIL VIA THIN PLATE SPLINE E INFERÊNCIA FUZZY

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas da Universidade Estadual Paulista – Campus de Presidente Prudente, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas.

Orientadores: Prof. Dr. Messias Meneguette Jr.

Prof. Dr. João Osvaldo Rodrigues Nunes

Presidente Prudente 2008

Anjos, Daniela Souza dos.

A619c Classificação da curvatura de vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy / Daniela Souza dos Anjos. - Presidente Prudente: [s.n], 2008

xiv, 96 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista,

Faculdade de Ciências e Tecnologia Orientador: Messias Meneguette Júnior

Co-Orientador: João Osvaldo Rodrigues Nunes Banca: Nilton Nobuhiro Imai, Ricardo Luis Barbosa

Inclui bibliografia 1. Cartografia. 2. Modelo numérico de terreno. 3. Vertentes. I.

Autor. II. Título. III. Presidente Prudente - Faculdade de Ciências e Tecnologia.

CDD(18.ed. )623.71

Ficha catalográfica elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação –

Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação - UNESP, Câmpus de Presidente Prudente.

DEDICATÓRIA

Este trabalho é dedicado aos meus pais Jaime e Margarida e as minhas irmãs Camila e Fabrícia.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pelo dom da vida, pela sabedoria, discernimento e paciência

que mais do que nunca foram fundamentais.

A minha família, por estarem sempre presentes em minha vida, principalmente

nos momentos difíceis.

Aos meus orientadores Professores Doutores Messias Meneguette Jr e João

Osvaldo Rodrigues Nunes pelo aprendizado e pela confiança em mim depositada.

A todos os professores do departamento de matemática e de cartografia pela

fundamental importância em minha formação acadêmica durante a graduação e a pós-

graduação, em especial aos Professores Doutores Mônica Fürkotter pelo incentivo e

colaboração.

À Capes pela concessão da bolsa durante o desenvolvimento da pesquisa.

Aos colegas da sala de permanência do Programa de Pós Graduação em Ciências

Cartográficas pelas conversas, discussões e pelos cafés que tantas vezes resultaram em

valiosas sugestões, em especial a Priscila Midori e Maria Lígia Cherubim pela

disponibilidade que demonstraram durante esses anos de convívio.

A todos os funcionários da seção de pós-graduação, em especial a Erynat pela

competência e principalmente pelo carinho com que nos atendem.

Aos meus amigos Ana Carla, Amanda, Talita, Marcela, Mayra, Nívea e Luis

Otavio por todos os momentos de alegria e diversão, mas principalmente pela paciência

e companheirismo nos momentos de cansaço, apreensão e dificuldades.

Vocês são parte fundamental desse trabalho.

Obrigada.

EPÍGRAFE

“Por muito tempo tem sido um dos meus axiomas que as pequenas coisas são infinitamente mais importantes.”

Sir Arthur Conan Doyle

RESUMO

A representação do relevo ou terreno é uma componente fundamental no processo

cartográfico e dentre essas representações as que têm por objetivo analisar as diferentes

curvaturas de uma vertente, ou seja, classificar as vertentes de um determinado terreno

em retilíneas, côncavas ou convexas tem apresentado grande aplicabilidade em áreas

como a agricultura, a construção civil, o estudo de microbacias entre outros. Assim, o

desenvolvimento de algoritmos que classifiquem essas formas do relevo pode contribuir

muito para a produção de informações relevantes à tomada de decisões em diversas

áreas do conhecimento. Alguns algoritmos com esse intuito foram anteriormente

desenvolvidos, porém apresentam claras necessidades de melhoria por classificarem

apenas áreas pré-estabelecidas, não podendo ser utilizados para outras regiões. Visando

sanar a necessidade de implementações mais completas este trabalho apresenta a

metodologia utilizada na elaboração de um algoritmo para classificação de vertentes

através de ferramentas matemáticas até então pouco utilizadas nas Ciências

Cartográficas: a Thin Plate Spline (TPS) que será utilizada para adensar os dados de

vertentes do município de Presidente Prudente, gerando Modelos Numérico de Terreno

(MNTs) sob os quais a curvatura é calculada, e a Inferência Fuzzy que é uma ferramenta

utilizada para discriminar classes que por diversas razões não possuem limites rígidos

entre si, como é o caso das vertentes a serem analisadas, e, portanto, estará integrada a

um produto final que será parte do estudo, isto é, um sistema que forneça modelos de

classificação das vertentes em: retilíneas, côncavas e convexas e que possa ser

comparada ao mapa geomorfólogico existente.

Palavras chave: Curvatura de vertentes, Thin Plate Spline, Inferência Fuzzy.

ABSTRACT

The relief or terrain representation is an essential component in the cartographic

process. Representations which aim at classifying relief profiles of a certain terrain as

rectilinear, concave and convex have reached great applicability in areas such as

agriculture, civil construction, watershed studies, among others. Therefore, algorithms

that classify these forms of relief can much contribute to the production of relevant

information to the decision make in several areas of knowledge. The simplest algorithm,

based on curvature value only is clearly not sufficient, but the literature brings fairly

little in relation to a more adequate methodology. Attempting to contribute in the sense

to aggregate more information and intelligence into this kind of classification so to

achieve a more complete implementation, this work presents a methodology using two

mathematical tools of little use so far in the Cartographic Science: 1) Thin Plate Spline

(TPS) used to densify the existing data, for the Numerical Terrain Models on which the

curvature shall be calculated and, 2) Fuzzy Inference used to discriminate classes that

for several reasons do not possesses well defined boundaries, as is the curvature profile

case. The validation used known and previously chosen data from Presidente Prudente

so that a comparison with existing morphological map was possible.

Key words: Slope Curvature, Thin Plate Spline, Fuzzy Inference.

Classificação da Curvatura de Vertentes em Perfil via Thin Plate Spline e Inferência Fuzzy 8

Anjos, D.S. unesp

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - A inter-relação entre processos sociais e naturais é a base de compreensão

dos atuais estudos geomorfológicos. ................................................................................ 22

Figura 2 - Análise de vertentes no plano e em perfil. ..................................................... 24

Figura 3 – Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na

escal 1:25.000 e detealhe de uma área próxima a Vila Nova Prudente. ........................ 27

Figura 4 - Legenda do Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente

Prudente-SP na escala 1:25.000........................................................................................ 27

Figura 5 - Formas de aquisição: (a) dispersa (b) semi-regular (c) regular. ................... 31

Figura 6 - Modelo de superfície gerada via grade regular retangular. ...........................32

Figura 7 – Modelo de superfície gerada via grade triangular......................................... 33

Figura 8 - Lâmina fina de metal com pontos de pressão localizados na superfície ...... 36

Figura 9 – (a) 5 pontos de controle para interpolação; (b) Adensamento dos pontos

viaTPS. ............................................................................................................................... 38

Figura 10 – Função de Pertinência Triangular. ............................................................... 41

Figura 11 - Função de Pertinência Trapezoidal............................................................... 42

Figura 12 - Função de Pertinência Sigmoidal.................................................................. 42

Figura 13 – Função de pertinência Gaussiana. ................................................................ 42

Figura 14 - Funções sigmoidais........................................................................................ 43

Figura 15 - Funções Lineares. .......................................................................................... 43

Figura 16. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto união A B� . 44

Figura 17. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto intersecção

BA� ...................................................................................................................................45

Figura 18. (a) Diagrama do conjunto A (b) Diagrama do conjunto complementar de A

( A ). ..................................................................................................................................... 45

Figura 19 – Variável lingüística estatura de um homem adulto caracterizada pela

quíntupla <X,T(X), Ux,G,M>............................................................................................. 46

Figura 20 – Funções de pertinência associadas a variável lingüística estatura de um

homem adulto. ................................................................................................................... 47

Figura 21 – Modelo lingüístico tipo Mamdani................................................................ 51


Anjos, D.S. unesp

Figura 22 – Método de defuzzificação MM. ................................................................... 52

Figura 23 - Método de defuzzificação CA....................................................................... 53

Figura 24 – Método de defuzzificação MA. .................................................................... 53

Figura 25 - Fluxograma de atividades.............................................................................. 55

Figura 26 - Par estereoscópio contendo a área 1 (retilínea)............................................ 56

Figura 27 - Área de teste na Zona Oeste com o córrego São João em destaque (Área 1 -

retilínea). ............................................................................................................................ 57

Figura 28 - Par estereoscópio contendo as áreas de testes 2 (côncava) e 3 (convexa). 57

Figura 29 - Área de testes na Zona Leste do município (Área 2 - côncava). ............... 58

Figura 30 – Área de testes na Zona Leste do município ( Área 3 - convexa). .............. 58

Figura 31 – Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente

Prudente visualizada através do software MicroStation V8: (a) – visão total, (b) – visão

parcial. ................................................................................................................................ 59

Figura 32 - Ferramenta Element Information do software MicroStation V8: (a) –

Dados de criação na aba General, (b) -valores das coordenadas (x,y,z) de cada ponto de

uma curva de nível na aba Details.................................................................................... 60

Figura 33 – Exemplo de base digital planoaltimétrica georreferenciada local.............. 61

Figura 34 – (a) criação de uma base digital planoaltimétrica georreferenciada contendo

apenas os dados da área de interesse - (b) Acesso da base local pelo software dxf2xyz

2.0 - (c) transformação das coordenadas de interesse contidas na base local em um

arquivo .txt. ........................................................................................................................ 61

Figura 35 – Arquivo de armazenamento dos dados contendo coordenadas x,y,z de cada

ponto da área de interesse. ................................................................................................ 62

Figura 36 – Célula sobre a qual a curvatura em perfil é calculada para o ponto zi,j...... 66

Figura 37 – Ponto p1 pertencente a duas áreas de interesse............................................ 68

Figura 38 – Cálculo do valor da curvatura para o ponto p1 em duas interações

diferentes............................................................................................................................69

Figura 39 – Variação no valor da curvatura de acordo com a quantidade de pontos

analisadas para um mesmo terreno................................................................................... 70

Figura 40 – Fluxograma de um SIF. ................................................................................ 71


Anjos, D.S. unesp

Figura 41 – Interface do editor FIS (Sistema de Inferência Fuzzy) em ambiente Matlab.

............................................................................................................................................ 72

Figura 42 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada

variação do ângulo de inclinação...................................................................................... 73

Figura 43 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada sinal

da curvatura........................................................................................................................ 73

Figura 44 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de saída

curvatura............................................................................................................................. 74

Figura 45 – Regras Fuzzy relacionada as variáveis de entrada e saída do SIF.............. 74

Figura 46 – Área do município de Presidente Prudente em diversos representações: (a)

- mapa geomorfológico, (b) - base digital planoaltimétrica, (c) – MNT gerado pela

implementação................................................................................................................... 76

Figura 47 – Modelo Numérico de Terreno gerado via Thin Plate Spline...................... 77

Figura 48 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de

MNT com valor de incx = incy = 1m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava),

(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 78



(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 78



(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 79



(c) – Área 3 (convexa)....................................................................................................... 79

Figura 52 – Legenda para classificação de curvatura através da variável visual cor.... 79

Figura 53 - Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste expandidas –

(a) retilinea (b) concava (c) convexa................................................................................ 81

Figura 54 – Associação entre as variáveis de entrada e de saída fornecidas ao sistema:

............................................................................................................................................ 82

Figura 55 – Legenda da variável visual cor utilizada para distinção entre as classes...83


Anjos, D.S. unesp

Figura 56 – Área A: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente

Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura

de vertentes. ....................................................................................................................... 84

Figura 57 - Área B: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente


de vertentes. ....................................................................................................................... 85

Figura 58 - Área C: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente


de vertentes. ....................................................................................................................... 86

Figura 59 - Área D: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente


de vertentes. ....................................................................................................................... 87

Figura 60 – Área E: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente


de vertentes. ....................................................................................................................... 88


Anjos, D.S. unesp

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Classificação de vertentes em perfil............................................................... 16

Tabela 2 - Áreas de aplicabilidade do mapeamento geomorfológico. ...........................26

Tabela 3 – Intervalos de classificação da curvatura ........................................................ 82

Tabela 4 – Comparação dos resultados apresentados para a Área A no mapa

geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e

no MNT gerado. ................................................................................................................ 84

Tabela 5 - Comparação dos resultados apresentados para a Área B no mapa


no MNT gerado. ................................................................................................................ 85

Tabela 6 - Comparação dos resultados apresentados para a Área C no mapa


no MNT gerado. ................................................................................................................ 86

Tabela 7 - Comparação dos resultados apresentados para a Área D no mapa


no MNT gerado. ................................................................................................................ 87

Tabela 8 - Comparação dos resultados apresentados para a Área E no mapa


no MNT gerado. ................................................................................................................ 88

Tabela 9 - Comparação dos resultados apresentados para a todas as áreas no mapa


no MNT gerado. ................................................................................................................ 89


Anjos, D.S. unesp

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO................................................................................................................... 15

1.1 Objetivo ...........................................................................................................................18

1.2 Justificativa...................................................................................................................... 18

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................................... 21

2.1 Geomorfologia................................................................................................................. 21

2.1.1 Vertentes ................................................................................................................... 23

2.1.2 Geomorfologia Cartográfica.................................................................................... 25

2.1.3 Geologia e Geomorfologia do município de Presidente Prudente-SP.................. 28

2.2 Modelo Numérico do Terreno (MNT)........................................................................... 29

2.2.1 Aquisição dos dados (pontos de controle).............................................................. 30

2.2.2 Geração de Grades ................................................................................................... 31

2.2.2.1 Grades regulares retangulares .............................................................................. 31

2.2.2.2 Grades irregulares triangulares............................................................................. 32

2.3 Thin Plate Spline ............................................................................................................. 34

2.4 Inferência Fuzzy.............................................................................................................. 39

2.4.1 Funções de Pertinência ............................................................................................ 41

2.4.2 Operações com Conjuntos Fuzzy ............................................................................ 44

2.4.3 Variáveis Lingüísticas.............................................................................................. 45

2.4.4 Regras Fuzzy............................................................................................................. 47

2.4.5 Sistemas de Inferência Fuzzy................................................................................... 48

2.4.5.1 Sistema Mamdani..................................................................................................49

2.4.6 Defuzzificação.......................................................................................................... 51

3. MATERIAIS E MÉTODO................................................................................................ 54

3.1 Materiais Utilizados ........................................................................................................ 54


Anjos, D.S. unesp

3.2 Metodologia proposta ..................................................................................................... 55

3.2.1 Escolha das áreas de teste........................................................................................ 55

3.2.2 Coleta de dados topográficos................................................................................... 59

3.2.3 Modelo Numérico de Terreno via Thin Plate Spline ............................................. 62

3.2.4 Cálculo da Curvatura em Perfil ............................................................................... 66

3.2.5. Classificação da curvatura via Inferência Fuzzy ................................................... 70

3.2.6 Modelo Numérico de Terreno classificado de acordo com a curvatura ............... 75

3.2.7 Comparação com o Mapa Geomorfológico do município de Presidente Prudente

............................................................................................................................................ 76

4. RESULTADOS.................................................................................................................... 77

4.1 Geração do Modelo Numérico de Terreno.................................................................... 77

4.2 Classificação das áreas de teste...................................................................................... 78

4.3 Parâmetros das Funções de Pertinência......................................................................... 81

4.4 Áreas de Comparação ..................................................................................................... 83

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 90

5.1 Considerações e Conclusões...........................................................................................90

5.2 Recomendações............................................................................................................... 91

6 REFERÊNCIAS................................................................................................................... 92


Anjos, D.S. unesp

1. INTRODUÇÃO

Desde o conceito estabelecido em 1966 pela ICA (Associação Internacional de

Cartografia) a Cartografia apresenta-se como o conjunto de estudos e operações que tendo

por base os resultados de observações diretas e da análise de documentação, se volta para a

elaboração de mapas, cartas e outras formas de representação de objetos, elementos,

fenômenos e ambientes físicos e socioeconômicos.

Dentre as várias representações utilizadas pela cartografia como os mapas, as cartas

e as representações digitais, uma de grande importância é a representação digital de uma

superfície, que pode ser realizada de diferentes maneiras, levando em consideração o

objetivo que se deseja atingir.

As representações de superfície que tem por objetivo apresentar as diferentes

curvaturas verticais de uma vertente têm apresentado uma boa aplicabilidade, pois o estudo

dessas feições consideradas pela geomorfologia como unidades básicas do relevo e

fundamentais para explicar o desenvolvimento das paisagens, vêm sendo de grande

contribuição em diversas áreas do conhecimento como engenharia, defesa civil, construção

civil e agricultura, que se interessam pela usabilidade do solo de forma mais adequada e na

resolução e prevenção de problemas gerados pelos diferentes tipos de feições no sentido de

se obter melhores resultados no uso do solo, minimizando os impactos a ele associados

(VELOSO, 2002).

Como um elemento da superfície terrestre inclinado em relação à horizontal, as

vertentes apresentam um gradiente e uma orientação no espaço, e dessa forma podem ser

classificadas de acordo com sua curvatura que é dada pela proporção em que varia a

inclinação da tangente sobre dois pontos de um determinado arco. A classificação é feita

entre retilíneas, côncavas ou convexas e é uma variável que auxilia a tomada de decisões

nessas áreas, principalmente por estar relacionada aos processos de migração e acúmulo de

água, minerais e matéria orgânica no solo através da superfície.

Veloso (2002) classifica as vertentes, quando analisadas em perfil, como retilíneas

se possuem um ângulo constante, enquanto as que possuem variação angular são

consideradas côncavas ou convexas.


Anjos, D.S. unesp

Já Silveira et al. (2005), que utilizou a classificação das vertentes para indicar os

locais onde os processos de deposição e de erosão são mais atuantes, descreve as

classificações desse tipo de feição geomorfológica, em relação ao perfil, de maneira mais

detalhada, como mostra a tabela 1. Tabela 1 – Classificação de vertentes em perfil.

Tipo de Vertente Características

Côncava O ângulo de inclinação decresce da parte

mais alta para a parte mais baixa da

vertente.

Retilínea Possui ângulo de inclinação constante. ou

seja, é um segmento que não apresenta

curvatura.

Convexa O ângulo de inclinação aumenta da parte

mais alta para a parte mais baixa da

vertente.

A concavidade/convexidade de uma determinada vertente é influenciada por

diversos fatores, dessa forma, muitos podem ser os métodos utilizados para obter essa

classificação.

As classes de solos, por exemplo, se apresentam intimamente ligadas com a

morfologia do relevo e essa relação com a Geomorfologia reside principalmente, no estudo

dos aspectos ligados aos problemas de erosão nas vertentes, causados na sua maioria, pelo

escoamento superficial e de subsuperfície, ambos relacionados à curvatura da vertente

(NUNES, 2005).

Por meio da análise da morfologia de uma determinada área também é possível

obter dados relevantes quanto à classificação da curvatura de suas vertentes, pois ainda

segundo Nunes (2005) vertentes convexas estão geralmente associadas aos segmentos com

maior comprimento de rampa, enquanto as côncavas estão relacionadas às cabeceiras de

drenagem em vales com uma bacia de recepção sensivelmente alargada.

Outro exemplo relevante com mais detalhamento foi desenvolvido por Modenesi e

Hiruma (2004) na área do planalto de Campos do Jordão que é parte do bloco principal da

Serra da Mantiqueira e sofreu nas ultimas décadas o impacto de uma expansão urbana


Anjos, D.S. unesp

continua e desordenada que aumentou as condições naturais de instabilidade próprias do

planalto. Para estudar esse problema foi realizado um mapeamento geomorfológico de

detalhes em três áreas do vale do Capivari/Sapucaí-Guaçu, com base em trabalhos de

campo, interpretação de fotografias aéreas e imagens de satélite, no qual as vertentes

retilíneas com declividade de 25º a 40º foram classificadas através de fotos aéreas na escala

de 1:8.000 e da carta de declividade com escala de 1:10.000, o que caracteriza uma

classificação visual, que apesar de muito utilizada por gerar bons resultados é uma maneira

de classificação cara e trabalhosa na qual o pesquisador deve se dirigir a área.

A classificação de vertentes também pode ser obtida matematicamente, gerando

bons resultados sem as desvantagens do método manual. Para esse tipo de classificação é

necessário considerar que as vertentes côncavas têm valores de curvatura negativos, as

convexas valores positivos e as retilíneas apresentam valor de curvatura nulo. Porém é

muito difícil encontrar na natureza vertentes que possuam um valor de curvatura realmente

nulo, assim aquelas que apresentam valores de curvatura muito próximos de zero também

são consideradas retilíneas (VALERIANO, 2003).

Com o intuito de diminuir a demanda de trabalho manual e os custos desse tipo de

classificação Valeriano (2002) utilizou a disponibilidade crescente de bases de dados

topográficos aliada ao uso de Sistemas de Informação Geográficas (SIG) e buscou gerar um

método de classificação semi-automático de vertentes para as áreas de 6 microbacias do

estado de São Paulo (Ribeirão Preto, rios Jacuí, Bangu e Grande Ubatuba e córregos São

Joaquim e Soturninha) com diferentes características de relevo.

Para gerar esse método, Valeriano (2002) utilizou a krigagem para interpolar os dados

topográficos das 6 microbacias e concluiu que o principal mérito do método de

classificação de curvatura de vertentes pela análise de Modelos Digitais de Elevação foi a

maior eficiência obtida no trabalho de campo, após a realização de uma classificação digital

preliminar que resultou em boa precisão.

Considerando os aspectos abordados, verifica-se a necessidade do desenvolvimento

de uma implementação capaz de classificar a curvatura de vertentes em perfil a partir de

Modelos Numéricos de Terreno (MNTs) de diferentes regiões com mais rapidez e menor

custo. Para tanto, serão apresentados conceitos teóricos necessários ao entendimento e


Anjos, D.S. unesp

desenvolvimento do trabalho, a metodologia utilizada e por fim as análises e conclusões

acerca dos resultados obtidos.

1.1 Objetivo

O objetivo geral do trabalho é gerar uma metodologia utilizando ferramentas

matemáticas que leve a uma implementação capaz de tratar situações menos definidas, ditas

nebulosas, para bem distinguir, em perfil, as vertentes de um terreno de maneira semi-

automática, classificando-as com precisão próxima à obtida através do contato do

pesquisador com a área, bem como a elaboração de uma representação cartográfica dessa

classificação para as áreas de estudo, do município de Presidente Prudente, como produto

final.

Além do objetivo geral são considerados os seguintes objetivos específicos:

- Analisar as vertentes por meio de estereoscopia e de Modelos Numéricos de

Terreno (MNTs)

- Utilização da ferramenta matemática Thin Plate Spline (TPS) para adensamento dos

pontos de controle obtidos através da base digital planoaltimétrica do município de

Presidente Prudente;

- Utilização da ferramenta matemática Inferência Fuzzy para tomada de decisões na

presença de incertezas na classificação.

- Fortalecimento da inserção das ferramentas TPS e Inferência Fuzzy no meio

cartográfico.

1.2 Justificativa

A forma da superfície terrestre é essencial ao conhecimento dos processos que

ocorrem em um terreno devido a influência no fluxo de água, no transporte de sedimentos e


Anjos, D.S. unesp

poluentes, na natureza e na distribuição do habitat de plantas e animais, além de ser uma

expressão dos processos geológicos e do intemperismo (BLASZCZYNSKI, 1997).

As vertentes, que são uma das muitas feições geomorfológicas da superfície terrestre,

apresentam sempre uma inclinação em relação ao plano horizontal e por isso têm

conseqüências quanto à rapidez com que as águas das chuvas escorrem e com o nível de

encharcamento de um determinado terreno. Assim a falta de planejamento quanto ao uso e

ocupação das vertentes, bem como o desconhecimento das características geomorfológicas

e geológicas de uma área podem ocasionar problemas de infiltrações no solo, gerando

erosões, deslizamentos ou quedas de barreiras (NUNES, 2005).

Devido a essas características, a obtenção de bons resultados no uso ou ocupação de

áreas que contenham vertentes está intimamente ligada a um planejamento prévio com uma

descrição cuidadosa da forma das mesmas, tornando possível a análise das implicações

desse uso a curto e longo prazo.

Analisando esse cenário, a classificação do tipo de vertente se torna um dado de

grande importância em projetos que tem por intenção utilizar grandes áreas, como por

exemplo, projetos de construção civil, agricultura, estudo de microbacias, estabelecimento

de aterro sanitário, entre outros.

A utilização da análise estereoscópica de fotografias aéreas para o delineamento

manual das unidades de solo/paisagem com posterior constatação no campo é usual, porém

a modelagem e análise digital do terreno se justificam por representarem uma alternativa

rápida e econômica que pode ser aplicada para a quantificação e classificação do relevo,

permitindo a definição, em geral de forma semi-automática, das unidades morfológicas da

paisagem, utilizando atributos topográficos como a elevação, a declividade, a orientação e a

curvatura da superfície terrestre (VALERIANO, 2002).

Assim a obtenção da classificação de curvatura de vertentes em perfil de uma

maneira semi-automática foi perseguida pelo uso da interpolação Thin Plate Spline (TPS) e

da Inferência Fuzzy. O uso da TPS como método de interpolação em substituição a

krigagem se deu mais em função de fortalecer a inserção de outra ferramenta matemática

no meio cartográfico e se justifica devido aos bons resultados apresentados ao ser utilizada

em Modelos Digitais de Terreno (MDT) por Barbosa et al. (2003), pois quando comparados

com os resultados apresentados através de outros métodos de interpolação como a


Anjos, D.S. unesp

interpolação quíntica, por exemplo, a interpolação que utilizou TPS apresentou uma

visualização do MNT mais suave, o que evita o uso posterior de um método de suavização.

Por outro lado, a curvatura de uma vertente não pode ser considerada uma

característica exata, pois uma mesma vertente pode apresentar valores de curvatura que a

caracterizem como um tipo de vertente em uma determinada extensão e como outro tipo em

outra. Dessa forma, o uso da Inferência Fuzzy, que é considerada como a parte da lógica

matemática dedicada ao raciocínio incerto ou aproximado (ZADEH, 1965), representa um

caminho natural a ser agregado ao sistema de classificação das vertentes no sentido de se

obter discriminação mais condizente com a classificação manual, gerando classes

intermediárias no produto final.


Anjos, D.S. unesp

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Em função de ser uma aplicação menos comum dentro das Ciências Cartográficas,

decidiu-se como importante fazer um apanhado breve de conhecimentos mesmo que

aparentemente básicos na área. Assim o capítulo tem por objetivo apresentar os conteúdos

diretamente relacionados ao desenvolvimento do projeto e esta dividido em 4 seções. Na

Seção 2.1 são apresentados os conceitos relacionados a geomorfologia que estão

intimamente ligados a análise que se pretende realizar, a Seção 2.2 apresenta uma revisão

sobre Modelo Numérico de Terreno (MNT) e por fim as Seções 2.3 e 2.4 apresentam

respectivamente os conceitos referentes às ferramentas matemáticas Thin Plate Spline e

Inferência Fuzzy.

2.1 Geomorfologia

A geomorfologia é definida por Ab’Saber1 (1969, apud CASSETI, 2001) como uma

ciência que consiste em explicar as transformações do geo-relevo não apenas quanto à

forma, mas também quanto à função, pois os conhecimentos científicos advindos dessa

ciência têm contribuído técnica e metodologicamente para uma melhor compreensão das

dinâmicas e inter-relações entre os processos naturais e sociais que atuam sobre o relevo

como mostra a Figura 1.

1 Ab’ Saber, Aziz Nacib. Um conceito de geomorfologia a serviço das pesquisas sobre o quaternário. Geomorfologia, São Paulo, no 18, p. 1-23, 1969.


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Figura 1 – A inter-relação entre processos sociais e naturais é a base de compreensão dos atuais estudos

geomorfológicos. Fonte: (AMORIN e NUNES, 2006)

Essas análises do relevo, feitas pela geomorfologia, são realizadas através do estudo

das diversas feições geomorfológicas que são de fundamental importância para essa

ciência. Como existem inúmeras feições geomorfológicas na natureza, são apresentados

apenas os conceitos relacionados às principais morfologia de acordo com Guerra (1993):

� Topos – São as partes mais elevadas de um morro ou elevação. Usa-se, algumas

vezes, como sinônimo de cume. É um termo descritivo sendo comum dizer-se: no

topo do morro, no topo da montanha, no topo do planalto, etc.

� Fundos de Vale – Um fundo de vale pode ser entendido como a região de menor

altitude ou como a parte mais baixa do relevo em estudo, onde naturalmente se

encontram as águas correntes.

� Planícies Aluviais – Determinados rios, que se encontram em fundos de vale,

formam em suas margens, devido aos seus depósitos, planícies alargadas que são

denominadas planícies aluviais.

� Divisores de Água – São as linhas separadoras das águas pluviais, normalmente se

pensa em divisores formados por altas montanhas, todavia um divisor de águas não é

sempre formado por elevadas cristas.


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� Morros – São montes pouco elevados, cuja altitude é de aproximadamente 100 a

200m. Termo descritivo para o geomorfólogo e muito utilizado em topografia.

� Serras – É um termo usado na descrição da paisagem física de terrenos acidentados

com fortes desníveis, como escarpas de planaltos com altimetria de 50 a 100m,

escarpas de blocos falhados, escarpas de erosão, entre outros. Como é um vocábulo

usado com sentido muito amplo na linguagem corrente, vem sendo renegado pelos

geomorfólogos. Elas podem ser divididas devido a sua extensão em serras curtas e

serras longas.

Dentre todas as feições geomorfológicas existentes, a de grande importância nesse

trabalho é a vertente, e por esse motivo essa feição será apresentada de maneira mais

completa em uma seção específica.

2.1.1 Vertentes

As vertentes, que para a geomorfologia são unidades básicas do relevo e

fundamentais para explicar o desenvolvimento das paisagens, são descritas por Veloso

(2002) como um elemento da superfície terrestre inclinado em relação ao plano horizontal.

Guerra (1993) as define como planos de declives que divergem a partir das cristas

enquadrando o vale. Nas zonas montanhosas, elas podem ser abruptas e formarem

gargantas, estando mais próximas do leito dos rios. Quando as vertentes são relacionadas às

planícies fluviais, estas são de difícil delimitação, pois são mais afastadas do leito.

Essa é uma feição geomorfológica que pode apresentar formas muito variadas,

porém é possível classificá-las de acordo com a sua curvatura que pode ser analisada no

plano ou em perfil.

A curvatura no plano é a taxa de variação da declividade na direção ortogonal à da

orientação, enquanto a curvatura no perfil é a taxa de variação da declividade na direção da

orientação da vertente.

A análise dessa característica no plano está relacionada ao acúmulo de umidade e do

fluxo da água superficial e sub-superficial na vertente. A partir da curvatura no plano um


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terreno pode ser dividido em convergente, divergente ou reto. Terrenos convergentes são

aqueles em que as direções de maior declividade em diferentes pontos do terreno tendem a

se encontrar enquanto terrenos divergentes são aqueles em que as direções de maior

declividade em diferentes pontos tendem a separar-se. A convergência ou divergência no

plano pode ser observada numa carta em que a topografia está representada por curvas de

nível.

Já a curvatura em perfil é decisiva na aceleração ou desaceleração do fluxo da água

sobre o terreno e, portanto, influencia a erosão do solo. Sob o ponto de vista da curvatura

em perfil, um terreno pode ser côncavo quando apresenta valor de curvatura positivo,

convexo quando o valor é negativo ou retilíneo quando o valor de curvatura é nulo.

A Figura 2 apresenta uma ilustração dos possíveis tipos de vertentes, porém nessa

ilustração todos os perfis ortogonais e as linhas de topo são iguais, o que quase nunca

ocorre na natureza, onde geralmente são encontradas vertentes com convergência ou

divergência, dessa forma os limites de um corte são difíceis de serem determinados, sendo

significativa a intervenção do especialista.

Figura 2 - Análise de vertentes no plano e em perfil.

Fonte: Schimidt and Hewitt, 2004


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Também é praticamente impossível encontrar na natureza uma vertente que possua

um valor de curvatura literalmente nulo em relação ao perfil, assim são consideradas

vertentes retilíneas aquelas que apresentam valores muito próximos a zero.

2.1.2 Geomorfologia Cartográfica

O pensamento geomorfológico pode ser analisado através de duas escolas

diferentes, a anglo-americana e a alemã, a partir das quais passou a ser utilizada para

muitos fins, entre eles a geomorfologia cartográfica que tem por objetivo representar

através de mapas ou cartas as formas do relevo, ou seja, representar vertentes, topos, fundos

de vale, planícies aluviais, colinas, morros, serras entre outras feições, o que tem sido de

grande importância na elaboração de documentos cartográficos (CASSETI, 2001).

Para essa representação são utilizados mapas geomorfológicos que são definidos por

Tricart (1963) como um instrumento na pesquisa do relevo, sendo ao mesmo tempo o que

direciona a pesquisa e que quando concluído deve representar uma síntese como produto

desta.

Para Nunes et al. (2006) na elaboração de mapas geomorfológicos, o pesquisador

deve ter a preocupação de apresentar e demonstrar o mais didático possível, as

características de identificação e classificação (gênese e idade) do relevo, os processos

morfodinâmicos e morfogenéticos que nele ocorrem além considerar a fundamental

importância da escala de abordagem a ser utilizada, pois de acordo com a relação entre a

área mapeada e a escala, o documento apresentará um maior ou menor grau de

detalhamento.

Assim, os mapas geomorfológicos se caracterizam como uma importante

ferramenta, que contribui de forma fundamental em estudos de diagnósticos e prognósticos

tanto em áreas urbanas quanto rurais e que pode ser aplicada em diferentes categorias,

como apresenta a Tabela 2.


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Tabela 2 - Áreas de aplicabilidade do mapeamento geomorfológico.

Categoria de Uso Exemplos de aplicações do mapeamento geomorfológico

Uso da Terra Planejamento e conservação territorial (áreas naturais e culturais da

paisagem)

Regiões Agrícolas e

Florestais

Potencial de uso;

Potencial à erosão (perda de solo);

Áreas de recuperação ambiental;

Drenagem e irrigação.

Engenharia Civil Construção e planejamento de projetos de instalações industriais;

Construção de represas, reservatórios e canalizações e portos;

Proteção da costa;

Regularização de níveis de canais navegáveis

Prospecção/Exploração

Mineral

Recuperação de áreas mineradoras;

Recuperação de áreas de desmoronamento;

Criação e manutenção de depósitos materiais residuais.

Fonte: modificado de COOKE e DOORNKAMP 1990.

Referente ao município de Presidente Prudente, ao qual pertencem as áreas

utilizadas no trabalho, já foram realizados estudos que geraram como produto mapas

geomorfológicos em diferentes escalas. Alguns documentos como IPT (1981a) destacam a

geomorfologia regional, enquanto outros, como o mapeamento geomorfológico realizado

por Nunes et al. (2006), destacam aspectos da geomorfologia local e apresentam as

principais características geomorfológicas presente no perímetro urbano e suas adjacências

(Figura 3). Para sua elaboração foram utilizadas fotografias aéreas, na escala 1:25.000, do

vôo de setembro de 1995, imagens de satélite e de ortofotos de 2003 (escalas de 1:8.000 e

1:20.000) e principalmente trabalhos de campo para averiguação das informações

mapeadas.


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Figura 3 – Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na escal 1:25.000 e

detealhe de uma área próxima a Vila Nova Prudente.

Por ser uma ciência advinda de escolas diferentes, a geomorfologia cartográfica não

possui uma padronização dos símbolos utilizadas na elaboração dos mapas, dessa forma

cada pesquisador opta por utilizar símbolos mais próximos à realidade da área estudada,

aumentando assim a importância das legendas. A simbologia utilizada nesse mapeamento

para a interpretação das formas de relevo é apresentada na Figura 4.

Figura 4 - Legenda do Mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala

1:25.000. Fonte: Nunes, Freire e Perez. (2006).


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2.1.3 Geologia e Geomorfologia do município de Presidente Prudente-SP A geomorfologia de uma determinada área pode ser explicada, em grande parte,

pela geologia do local. Assim torna-se necessário descrever não só as características

geomorfológicas como também as características geológicas do município de Presidente

Prudente, área de estudo desse trabalho, mesmo que de maneira simplificada.

De acordo com o texto integrado ao mapa geomorfológico (NUNES et al., 2006), o

município de Presidente Prudente, morfoestruturalmente pertence à Bacia Sedimentar do

Paraná a qual é constituída por rochas sedimentares e ígneas (idade Mesozóica) e por

depósitos recentes (idade Cenozóica), tendo a formação Adamantina-Ka como a de maior

expressão e representatividade (62,2%).

Devido a sua representatividade a Formação Adamantina é a mais importante e

amplamente documentada pelas pesquisas geológicas desenvolvidas na região do Pontal do

Paranapanema, especialmente no município de Presidente Prudente. De acordo com o IPT

(1981b), é constituída por arenitos finos a muito finos, podendo apresentar cimentação e

nódulos carbonáticos com lentes de siltitos arenosos e argilítos ocorrendo em bancos

maciços, estratificação plano-paralela e cruzada de pequeno a médio porte.

O Mapa Geomorfológico do Estado de São Paulo na escala 1:500.000 (ROSS e

MOROZ, 1996), define que o município de Presidente Prudente além de pertencer

morfoestruturamente a Bacia Sedimentar do Paraná, pertence morfoesculturalmente ao

Planalto Ocidental Paulista, mais precisamente no Planalto Centro Ocidental.

Analisando a geomorfologia do Planalto Ocidental Paulista pertencente a 22a

Unidade de Gerenciamento de Recursos Hídricos do Pontal do Paranapanema (22ªUGRH),

os relevos foram classificados em três tipos básicos: Relevos de Agradação, em Planícies

Aluviais, Relevos colinosos e Relevos Residuais Suportados por Litologias Particulares e

especificamente no município de Presidente Prudente, predominam como formas de relevo

as colinas médias e baixas, cujas altitudes variam entre 300 a 480 m, e declividades médias

entre 5% a 20%.

Nunes et al. (2006) identificam em seu trabalho, três compartimentos de relevo no

município de Presidente Prudente que aproximadamente se associam, topograficamente,

com as seguintes formações geológicas e pedológicas:


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1. Topo suavemente ondulado das colinas convexizadas (430 a 480 metros),

com predomínio de formações de alteração do tipo manto de intemperismo ou regolito. Em

alguns setores, afloram os arenitos da Formação Adamantina, com ocorrência dos topos

para as médias altas vertentes de Latossolo Vermelho e, em alguns setores, Argissolo

Vermelho Amarelo;

2. Domínio das vertentes convexo-côncavas e retilíneas (420 a 450 metros),

com predomínio de depósitos coluviais (setor oeste) e afloramento da Formação

Adamantina (setor leste) e ocorrência de Argissolo Vermelho Amarelo e Neossolos

Regolíticos;

3. Planícies aluviais e alvéolos (380 a 420 metros), com predomínio de

Formações Aluviais Quaternárias e Planossolos Hidromórficos e Gleissolo.

De modo geral, conforme o Quadro apresentado no Anexo A foi possível

identificar que os compartimentos de relevo da área estudada apresentam diferenciações

morfológicas e de ocupação da paisagem.

2.2 Modelo Numérico do Terreno (MNT)

Modelos Numéricos de Terreno (MNT) vêm sendo muito utilizados em um grande

número de aplicações em ciências da Terra, ambientais e engenharias e são definidos por

Felgueiras (2001) como sendo uma representação matemática computacional da

distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da superfície

terrestre.

A elaboração de um MNT é indispensável para que uma superfície real seja

representada em meio digital e esse modelo pode estar representado por equações analíticas

ou uma rede de pontos, de modo a transmitir ao usuário as características espaciais do

terreno.

Diversas são as finalidades para as quais um MNT pode ser elaborado, entre estas,

destacam-se uma melhor visualização (em três dimensões) do local ou área de estudo, o

armazenamento de dados de altimetria para mapas topográficos, a análise de corte-aterro

para projeto de estradas e barragens, a facilidade na obtenção de cálculos volumétricos, a


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identificação explicita de divisores de água, a geração automática de vetores que

determinam as orientações das vertentes, entre outras não citadas.

Os dados de um MNT são representados pelas coordenadas xyz

� ��

onde z, é o

parâmetro a ser modelado e é função de x e y, ou seja: ( , )z f x y� . Estes dados são

usualmente adquiridos segundo uma distribuição regular ou irregular no plano xy, ou ao

longo de linhas com mesmo valor de z (curvas de nível).

Em um processo de modelagem numérica de terreno pode-se distinguir três etapas

de grande importância: aquisição dos dados, geração de grades e elaboração de produtos

representando as informações obtidas.

2.2.1 Aquisição dos dados (pontos de controle)

A aquisição dos pontos de controle para a elaboração de um MNT pode ser

realizada através de levantamentos de campo, digitalização de mapas, medidas

fotogramétricas a partir de modelos estereoscópicos ou ainda através de dados altimétricos

adquiridos via GPS, aviões ou satélites. O cuidado na escolha desses pontos, bem como a

quantidade de dados amostrados está diretamente relacionada à qualidade do produto final,

logo em aplicações nas quais se requer um grau de realismo maior, a quantidade de pontos

de controle e o cuidado na escolha desses pontos são decisivos.

As formas de obter os pontos de controle necessários para a elaboração de um MNT

são classificadas em dispersa, semi-regular ou regular (BRITO; COELHO, 2002).

A forma dispersa não segue qualquer ordem de aquisição, ou seja, os pontos são

adquiridos livremente no espaço a ser representado no MNT, a forma semi-regular segue

algum arranjo específico, sem, no entanto, possuir espaçamento constante entre os pontos

enquanto a forma regular é aquela em que todos os pontos estão igualmente espaçados tanto

no eixo x quanto no eixo y (Figura 5).


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(a) (b) (c)

Figura 5 - Formas de aquisição: (a) dispersa (b) semi-regular (c) regular. Fonte: adaptado Brito e Coelho, 2002.

2.2.2 Geração de Grades

As aplicações ou produtos de um MNT não são em geral elaborados sobre os dados

amostrados, mas sim sobre os modelos gerados no formato de grades. Este formato

simplifica a implementação dos algoritmos de aplicação e podem ser regulares ou

irregulares, tornando-os mais rápidos computacionalmente.

2.2.2.1 Grades regulares retangulares

Uma grade regular retangular é um modelo digital que aproxima superfícies através

de um poliedro de faces retangulares que consistem em estimar os valores de cota de cada

ponto da grade a partir do conjunto de amostras de entrada. Essas amostras de entrada

podem ser os pontos obtidos através de aquisição regular ou então um conjunto gerado

através de um método de interpolação quando os dados obtidos são irregularmente

espaçados (BRITO; COELHO, 2002). Assim os dados são arranjados como uma matriz de

linhas e colunas descrevendo dados planimétricos (x,y), onde os elementos das matrizes são

os valores de z (altimetria).

Quando se utiliza um método de interpolação no qual se faz uso de todas as

amostras para interpolar cada ponto da grade diz-se que a interpolação é global, porém

Felgueiras (2001) ressalta que é mais comum utilizar métodos de interpolação local, no

qual o valor de cota de cada elemento da grade é estabelecido a partir de uma quantidade

preestabelecida de elementos amostrais vizinhos ao ele, com os elementos mais afastados

perdendo importância na interpolação.


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Esse tipo de grade (Figura 6) apresenta como principal vantagem o fato de, dado seu

arranjo regular, poder ser armazenada e representada sem maior esforço computacional.

Entretanto, como em geral é advinda de interpolação, perde-se a precisão dos pontos

originais. A grade regular também não permite a inserção de linhas de quebra (breaklines),

o que impede que certas feições descontínuas sejam representadas fielmente.

Figura 6 - Modelo de superfície gerada via grade regular retangular.

Uma grade regular retangular também pode ser obtida a partir de outra, objetivando

uma melhora na resolução. Esse processo é conhecido como refinamento da grade.

2.2.2.2 Grades irregulares triangulares

Como a amostragem de um terreno é normalmente irregular, a idéia do modelo TIN

(Triangular Irregular Network) é adaptar o modelo à amostragem descrevendo a superfície

por triângulos elementares, onde os vértices são as amostras. Ao contrário do modelo de

grade regular retangular as amostras não estão ordenadas e a localização das arestas exige

um maior custo computacional.

Os dados para geração desse tipo de grade podem ser obtidos através de pontos,

linhas e polígonos; dados de restituição; breaklines; malhas regulares de MNT entre outros

(Tommaselli; Santos, 2000).


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Na modelagem da superfície por meio de grade irregular triangular, cada polígono

que forma uma face do poliedro é um triângulo. Os vértices do triângulo são geralmente os

pontos amostrados da superfície. Esta modelagem permite que informações morfológicas

importantes como as descontinuidades, representadas por feições lineares de relevo (cristas)

e drenagem (vales), sejam consideradas durante a geração da grade triangular,

possibilitando modelar a superfície do terreno preservando as feições geomorfológicas da

superfície. A Figura 7 apresenta um modelo de superfície gerado por meio de grade

triangular.

Figura 7 – Modelo de superfície gerada via grade triangular.

O modelo TIN apresenta a vantagem de possuir um pequeno número de

redundâncias se comparado à grade retangular, uma vez que a malha pode ser mais fina em

regiões de grandes variações e mais espaçada em regiões quase planas, além de modelar as

descontinuidades da superfície através de linhas e pontos característicos. Por utilizar os

próprios pontos amostrados para modelar a superfície, nesse método não existe a

necessidade de qualquer tipo de interpolação sobre os mesmos. A desvantagem da grade

irregular é que os procedimentos para obtenção de dados derivados de grades triangulares

tendem a ser mais complexos e conseqüentemente mais demorados e caros

computacionalmente que os da grade retangular (FELGUEIRAS, 2001).

Adotando-se critérios específicos para construção da rede triangular diversos

métodos de triangulação podem ser utilizados, entre eles a malha de Delaunay, mais


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conhecida como triangulação de Delaunay que utiliza o critério de maximização dos

ângulos para gerar a triangulação necessária e obter uma grade irregular triangular.

2.3 Thin Plate Spline

A Thin Plate Spline (TPS) é uma ferramenta matemática que também aparece na

literatura com outros nomes como spline de curvatura mínima, spline biharmônico e

superfície spline. O nome deriva de réguas flexíveis chamadas de splines que eram

utilizadas por empresas navais, de aviação e automobilísticas para desenhar curvas e

superfícies e pode ser ilustrada fisicamente como uma chapa fina de metal que se estende

para o infinito e se deforma de acordo com o deslocamento dos pontos de controle

estabelecidos (COSTA; CESAR, 2001).

O conceito TPS foi aplicado pela primeira vez, para análise de formas, por

Bookstein (1989) e é apresentado por Lancaster e Salkauskas (1990) como um método

alternativo para modelagem matemática de superfícies que possuam pontos de controle

obtidos de maneira dispersa.

Como essas funções modelam uma superfície infinita no qual pontos de carga

provocam uma deformação, a solução TPS é construída de modo a assegurar que a

superfície interpolante apresente mínima energia de deformação, com relação aos pontos de

carga impostos, sendo, portanto, suave (CASTANHO; TOZZI, 1996).

Thin Plate Splines são formadas através da combinação linear de funções radiais, o

que significa que os valores da função são obtidos pela diferença (ou distância) entre as

coordenadas do ponto onde a função deve ser avaliada e as coordenadas dos pontos de

referência, dessa forma a função apresenta um comportamento quase linear a medida que se

afasta dos pontos de carga. Assim, embora sejam funções de interpolação globais, as

influências de deformações locais tendem a diminuir a medida que se afasta do ponto de

deformação.

A função radial g(r) base do conceito TPS é dada pela Equação 1 (COSTA; CESAR,

2001):


Anjos, D.S. unesp

2 2

0 se 0( )

log( ) se 0r

g rr r r

��

��

(1)

na qual r é um valor real não negativo

2 2r x y� �

Assim uma TPS é gerada através de uma combinação linear de múltiplos termos

g(r). Como ilustração, para chegar a equação que define uma TPS, Castanho e Tozzi (1996)

usam os vértices k D ={(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)} que definem um quadrado pois devido as

características apresentadas pela função g(r) uma combinação linear de múltiplos termos

dessa função, como apresenta Equação 2, pode ser usada para modelar uma lâmina de

metal delgada.

� � � � � � � �2 2 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)z x y g x y g x y g x y g x y� � � � � � � � � � � �

(2)

Logo:

� �4

1( , ) ( 1) ( , )k

kk

z x y g x y D�

� � ��

(3)

A Equação 3 pode ser interpretada fisicamente como uma lamina fina de metal com

pontos de pressão localizados na superfície e indicados pelos vértices do quadrado como

apresenta a Figura 8.


Anjos, D.S. unesp

Figura 8 - Lâmina fina de metal com pontos de pressão localizados na superfície

e indicados pelos vértices (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Fonte: Castanho e Tozzi (1996).

Para uma lâmina delgada sujeita a uma curvatura suave, a energia de curvatura ou

deformação em um ponto é proporcional ao valor obtido pela Equação 4 para o próprio

ponto.

2 2 22 2 2

2 22z z zx x y y

� � � � � ��

(4)

O valor z(x,y) obtido na Equação 3 é o valor que garante a minimização da energia

de deformação dada pela Equação 5.

2

2 2 22 2 2

2 22R

z z z dxdyx x y y

� � � � � ��

��

(5)

Funções de mapeamento em x e em y podem ser descritas quando dados os pontos

de controle (xi,yi,zi), com i = 1,2,....n, as coordenadas x e y são conhecidas e z é o valor

desejado, assim o método para interpolação TPS pode ser descrito (Equação 6) através da

função bivariada z(x,y) apresentada por Bookstein (1989).


Anjos, D.S. unesp

2 20 1 2

1( , ) ln

n

i i ii

z x y a a x a y F r r�

� � � ��

(6)

Com

( , )k k kz z x y� e 1,2,...,k n�

2 2 2( ) ( )i i ir x x y y� � � �

e

0 1 2, , e iF a a a

sendo os n+3 coeficientes.

A equação 3 garante a superfície de interpolação TPS como uma superfície

suave pois sua primeira derivada parcial é continua.

Para gerar uma nova superfície que passa pelos n pontos e tenha todas as derivadas,

o termo r 2 ln r 2 pode ser trocado por r 2 ln(r i 2 + �), obtendo assim a Equação 7:

2 20 1 2

1

( , ) ln( )n

i i ii

z x y a a x a y F r r ��

� � � � ��

(7)

Com o parâmetro � sendo usualmente tomado entre 10-2 e 10-6, dependendo do grau

da variação da curvatura da superfície (YU,2001).

A TPS também pode ser escrita na forma matricial sendo descrita pela Equação 8:

AX B� (8)

com


Anjos, D.S. unesp

� � � � � ��

� � � � � �

2 2 2 2 2 212 12 13 13 1 1 1 1

2 2 2 2 2 212 12 23 23 2 2 2 2

2 2 2 2 2 213 13 23 23 3 3 3 3

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

1 2 3

0 ln ln ln 1

ln 0 ln ln 1

ln ln 0 ln 1

ln ln ln 10

1 1 1 1 1 0 0 00

n n

n n

n n

n n n n n n n n

n

r r r r r r x y

r r r r r r x y

r r r r r r x y

Ar r r r r r x y

x x x x

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

��

�

�

�

� � � � � ��

�

�

1 2 3

0 00 0 0ny y y y

� ��

,

1

2

3

0

1

2

n

FFF

XFaaa

� ��

� e

1

2

3

000

n

zzz

Bz

� ��

�

Assim, a matriz A que é simétrica e inversível, apesar dos elementos da diagonal

principal serem nulos, pode ser utilizada para resolver o sistema e determinar os

coeficientes, consequentemente obtendo o valor interpolado em qualquer ponto (x,y).

Como exemplo, são apresentados cinco pontos de controle e o respectivo

adensamento dos pontos após a interpolação via TPS (Figura 9).

(a) (b)

Figura 9 – (a) 5 pontos de controle para interpolação; (b) Adensamento dos pontos viaTPS. Fonte: Costa; César (2001).


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2.4 Inferência Fuzzy

Na teoria clássica dos conjuntos a pertinência de um elemento a um dado conjunto,

segundo algum critério, é baseada na função característica dada pela definição:

Seja U um conjunto universo, A um subconjunto de U ( A U� ), e x um elemento

particular de U, define-se a função característica como sendo uma função

� �: 0,1A U� � com

1, se ( )

0, se A

x Ax

x A�

��

(9)

A definição de função característica, como apresentada na Equação 9, realiza a

associação de todos os elementos do conjunto U aos elementos do conjunto {0,1}, o que

divide o conjunto universo em duas classes distintas, pertencentes e não pertencentes ao

conjunto A, com fronteiras bem definidas.

Muitas situações, porém, não podem ser analisadas matematicamente através da

teoria clássica dos conjuntos, pois mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a

situação não é apropriado responder simplesmente “sim” ou “não”, pertence ou não

pertence, mas sim algo como “talvez” ou “quase”.

Zadeh (1965) definiu uma lógica matemática dedicada ao raciocínio incerto ou

aproximado, chamada lógica fuzzy na qual um conjunto fuzzy é uma forma de caracterizar

classes que por diversas razões não possuem limites rígidos entre si, tendo como motivação

a rápida diminuição da qualidade da informação fornecida por modelos matemáticos

tradicionais, conforme o aumento da complexidade do sistema, ao perceber que essa

complexidade advinha do modo como as variáveis eram representadas e manipuladas, pois

desde que essas variáveis possam apenas representar o estado do fenômeno como existindo

ou não existindo, a matemática necessária para avalia-lo torna-se muito complexa (KLIR;

YUAN, 1996).

Segundo Moreira (2001), as vantagens dos modelos fuzzy são inúmeras quando

comparadas aos modelos convencionais que forçam os especialistas a definir regras rígidas


Anjos, D.S. unesp

que diminuem a habilidade de articular eficientemente soluções para problemas complexos,

tão comuns em processos naturais.

As análises baseadas em conjuntos fuzzy se diferenciam das análises booleanas que

normalmente estão disponível na maior parte dos softwares SIG, sendo necessária sua

implementação e segundo Burrough e Heuvelink 2(1992 apud MOREIRA, 2001) os

métodos booleanos estão muito mais sujeitos à propagação de erros em modelagens do que

os equivalentes fuzzy, e que a utilização da técnica fuzzy pode reduzir drasticamente a

propagação de erros através de modelos lógicos, fornecendo cenários mais confiáveis.

Matematicamente essa lógica, que também é conhecida como lógica nebulosa ou

lógica difusa, objetiva modelar, de modo aproximado, o raciocínio humano, manipulando

informações em um ambiente de incerteza e imprecisão, fornecendo resposta aproximada

baseada em conhecimento inexato, incompleto ou que não é totalmente confiável. Assim,

sua utilização é indicada sempre que se tiver que lidar com ambigüidade, abstração ou

ambivalência em modelos matemáticos.

Formalmente um conjunto fuzzy A é descrito por Zadeh (1965) como sendo:

AA ( , ( ))x x�� para todo, x U� (10)

onde, U denota um espaço definido de n objetos, e o conjunto nebuloso A em U; Aμ ( )x é a

função de pertinência conhecida como grade de associação de x em A, isto é, uma

graduação mapeável do membro x em A, que associe cada ponto de U a um número real no

intervalo [0,1] (Zadeh, 1965).

Nessa associação, o valor 1 representa o enquadramento perfeito ao conjunto difuso

e 0 corresponde ao membro que não pertence ao conjunto, por conseguinte, os valores entre

0 e 1 representam um enquadramento ao conjunto, porém esse enquadramento não é

totalmente perfeito. O valor da função de pertinência Aμ ( )x de um objeto x em A significa

2 Burrough, P. A.; Heuvelink, G. B. M. The sensitivity of boolean and continuous (Fuzzy) logical modelling to uncertain data. In: European Conference and Exhibition on Geographical Information Systems Munich, 3. (EGIS'92). Munich, Germany, 1992. Proceedings. Munich, Germany: EGIS'92. p. 1032-1041.


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dizer o grau de compatibilidade de um parâmetro (variável) relacionado ao conjunto A e ao

objeto x, ou seja, Aμ ( )x avalia o quanto x pode pertencer ao conjunto A.

Para que essa relação seja estabelecida é necessário que haja uma função de

pertinência relacionando os conjuntos. Esta função é o componente crucial de um conjunto

fuzzy e muitas operações são definidas em conformidade com a mesma (ZADEH, 1965).

2.4.1 Funções de Pertinência

Seja U um conjunto universo não vazio (U � � ). Um conjunto fuzzy A em U é

caracterizado por sua função de pertinência:

!Aμ : 0,1 ( )A

Ux x�

�

�

sendo ( )A x� interpretado como o grau de pertinência do elemento x no conjunto fuzzy A

para cada x U� (ZADEH,1965).

Como qualquer função da forma !Aμ : 0,1U � pode ser associada a um conjunto

fuzzy, a literatura já dispõe de famílias de funções de pertinência que são geralmente

utilizadas, como as funções lineares (triangulares e trapezoidais), sigmoidais e gaussianas

(PEDRICZ; GOMIDE, 1998).

� Função Triangular

! !

!

0 ; se

; se , ( )

; se ,

0 ; se x b

A

x ax a x a mm axb x x m bb m

�

"�# �# �# �� # �# �# $�

(12)

Figura 10 – Função de Pertinência Triangular.


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� Função Trapezoidal

!

!

!

0 ; se

; se ,

( ) 1 ; se ,

; se ,

0 ; se x b

A

x ax a x a mm a

x x m nb x x n bb n

�

"�# �# �

�##� � # �# �

�## $�

(13)

Figura 11 - Função de Pertinência Trapezoidal

� Função Sigmoidal

! !

!

2

A 2

0 ; se

2 ; se , μ ( )=

1 2 ; se ,

1 ; se x b

x a

x a x a mb a

xx b x m bb a

"�#

�� # % �� # �#

�� # � % �� # � #$#�

(14)

Figura 12 - Função de Pertinência Sigmoidal.

� Função Gaussiana

� � � �2- - ; se 1k x mA x e x U k� � & � $

(15)

Figura 13 – Função de pertinência Gaussiana.

Todas essas funções de pertinência apresentam parâmetros ou pontos de controle

que melhor modelam o que se pretende representar em qualquer das variações existentes

para cada uma das funções apresentadas.

A função sigmoidal (Figura 14) pode ser apresentada como monótona crescente

(1a), onde são necessários apenas os parâmetros a e m, da mesma forma, a curva monótona

decrescente (1b) que apresenta os pontos n e b como parâmetros. Já na curva simétrica (1c)


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os pontos a e b estão associados ao valor de pertinência 0 e o ponto m recebe o valor

máximo 1, este mesmo raciocínio vale para a curva (1d) onde a e b são pontos de controle

associados ao valor 0 e, m e n ao valor numérico máximo da função (EASTMAN, 2001).

Figura 14 - Funções sigmoidais.

Fonte: adaptado de Eastman 2001.

As funções de pertinência lineares, nas quais se enquadram funções triangulares e

trapezoidais, também apresentam variações (Figura 15) e são as mais simples de serem

implementadas, sendo assim amplamente utilizadas (Eastman, 2001).

Figura 15 - Funções Lineares.

Fonte: adaptado de Eastman 2001.


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A escolha do melhor formato de função de pertinência a ser utilizado em cada

aplicação nem sempre é obvia, e segundo Benini (2007) em sistemas fuzzy cujos parâmetros

podem ser completamente definidos por especialistas a escolha de funções triangulares e

trapezoidais é mais comum, pois a idéia de se definir regiões de pertinência total, média e

nula é mais intuitiva do que a especificação do valor médio e de dispersão, conceitos esses

ligados as funções gaussianas.

2.4.2 Operações com Conjuntos Fuzzy

Como na lógica clássica dos conjuntos, o processamento de informações fuzzy

também consiste de operações realizadas sobre os seus conjuntos. As operações básicas de

união, intersecção e complemento são definidas por Zadeh (1965) como:

Sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos em um universo de discurso U com

funções de pertinência Aμ ( )x e Bμ ( )x , respectivamente.

A união entre os conjuntos A e B é dada pelo valor máximo entre Aμ ( )x e Bμ ( )x ,

x U& � , formalmente:

( ) ( ) ( ) max( ( ), ( )) A B A B A Bx x x x x� � � � �� , x U& �

(16)

(a) (b)

Figura 16. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto união A B� .

A intersecção entre os conjuntos A e B é dada pelo valor mínimo entre Aμ ( )x e

Bμ ( )x , x U& � , formalmente:

( ) ( ) ( ) min( ( ), ( ))A B A B A Bx x x x x� � � � �� , x U& � (17)


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(a) (b)

Figura 17. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama do conjunto intersecção BA� .

O complemento do conjunto A é dado pela subtração de Aμ ( )x do valor unitário 1

para todo x U� , formalmente:

( ) 1- ( )AA x x� �� , x U& � (18)

(a) (b)

Figura 18. (a) Diagrama do conjunto A (b) Diagrama do conjunto complementar de A ( A ).

2.4.3 Variáveis Lingüísticas

As variáveis lingüísticas são variáveis expressas qualitativamente, ou seja, são

variáveis cujos valores são fornecidos ao sistema através de palavras ou frases, ao invés de

números.

Formalmente, uma variável lingüística fuzzy é caracterizada através da quíntupla

<X, T(X), Ux, G, M>, na qual X é nome da variável lingüística; T(X) representa o conjunto

de termos lingüísticos, Ux é o universo de discurso da variável lingüística X; G é a

gramática utilizada para gerar os termos T(X) e M é a regra que associa cada elemento de

T(X) a um conjunto fuzzy no universo Ux. Cada variável lingüística (X) possui um conjunto


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de termos fuzzy associados a ela, esses termos são determinados pelo conjunto de valores

que a variável pode assumir.

Como exemplo, a variável estatura de um homem adulto pode ter o conjunto de

termos T(X) = {baixo, médio, alto} que fornecem conceitos qualitativos a variável.

Quantitativamente esses valores são expressos através de uma função de

pertinência que os associa ao universo de discurso U = [Emin,Emax].

Figura 19 – Variável lingüística estatura de um homem adulto caracterizada pela quíntupla <X,T(X),

Ux,G,M>.

A Figura 19 apresenta a variável lingüística com rótulo X = estatura de um homem

adulto, com os conjuntos de termos T(X) = {baixa, média, alta} e um universo de discurso

arbitrado [140 cm, 220 cm]U � . Assim cada um dos valores pertencentes ao universo de

discurso pode ser escrito como:

M(baixa) = {(x,� baixa(x))'x�[140cm, 220cm]}

M(média) = {(x,� média(x))'x�[140cm, 220cm]}

M(alta) = {(x,� alta(x))'x�[140cm, 220cm]}

A Figura 20 ilustra três possíveis funções de pertinência para a variável lingüística

com rótulo X = “estatura de um homem adulto”, cada uma referente a um termo lingüístico


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do conjunto T(X) = {baixo, médio, alto}, sendo duas retangulares (baixa e alta) e uma

triangular (média).

Figura 20 – Funções de pertinência associadas a variável lingüística estatura de um homem adulto.

Através dessas funções qualquer valor pertencente ao universo de discurso U pode

ser escrito, como por exemplo 180 cm, que possui um único valor de pertinência

relacionado a cada uma delas.

� ��

� �

180 0,0

180 0,8

180 0, 2

baixa

média

alta

�

�

�

��#

� # ��

Assim a fuzzificação da medida 180cm, ou seja, a conversão em valores

compreensíveis para fuzzy é dada por:

180 0,0 " " 0,8 " " 0, 2 " "cm baixa média alta� ( � ( � (

2.4.4 Regras Fuzzy

Baseado nas variáveis lingüísticas, um processo de inferência fuzzy permite

elaborar sistemas através de um conjunto de regras fuzzy composto por proposições

condicionais.

As regras fuzzy descrevem situações específicas que podem ser submetidas à

análise de especialistas, e cuja a inferência conduz a algum resultado desejado. Cada regra

fuzzy, da mesma forma que uma afirmação clássica, é composta por uma parte antecedente


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ou premissa, proposições das quais saímos, e uma parte conseqüente ou de conclusão,

proposição final a qual chegamos como conseqüência das relações expressas nos

antecedentes (ORTEGA, 2001), e diferentemente da teoria clássica dos conjuntos, as regras

que envolvem as variáveis de entrada associadas a um conjunto fuzzy podem ser

parcialmente satisfeitas.

Segundo Benini (2007) uma inferência baseada em regras fuzzy pode ser

compreendida como uma função que mapeia um conjunto de uma ou mais variáveis de

entrada associadas a um conjunto fuzzy para uma ou mais variáveis de saída, também

associadas a um conjunto fuzzy, de um dado sistema.

Uma proposição fuzzy pode ser simples ou composta, dependendo do

comportamento da parte antecedente da regra, ou seja, quando a parte antecedente é do tipo

x é A a proposição é considerada simples porém quando é formada pela composição de

proposições simples através dos conectivos “e”, “ou” e “não” como por exemplo x é A ou x

é B é uma proposição considerada composta. Assim podem ser consideradas como

exemplos de regras fuzzy respectivamente simples e compostas as regras:

R1 – Se x A� então 1( )f x U� .

R2 – Se x A� ou x B� então 2( )f x U�

Em uma base de regras, quando mais de uma regra é acionada por um mesmo valor

do universo de discurso, as contribuições dessas diversas regras são combinadas por um

operador de agregação. Vários métodos podem ser utilizados para a agregação do conjunto

de regras, mas na maioria dos casos o antecedente é formado por proposições lingüísticas e

a distinção entre os modelos se dá de acordo com os conseqüentes das regras fuzzy (Benini,

2007).

2.4.5 Sistemas de Inferência Fuzzy

Os sistemas de inferência fuzzy são sistemas que mapeiam as entradas advindas de

um conjunto de dados resultante de medições ou observações experimentais em saídas


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� �y f x� , onde x é a entrada, y a saída do sistema de inferência fuzzy e f uma representação

quantitativa do mapeamento (BENINI, 2007).

Um sistema de inferência fuzzy possui estruturalmente quatro componentes

principais (JANG3 et al., 1997 apud DELGADO, 2002; AMENDOLA et al., 2005):

� um fuzzificador, que modele matematicamente as informações das variáveis de

entrada por meio de conjuntos fuzzy. É neste módulo que se mostra a grande

importância do especialista no processo a ser analisado, pois a cada variável de

entrada devem ser atribuídos termos lingüísticos que representem o estado desta

variável e a cada termo lingüístico, deve ser associado uma função de pertinência;

� uma base de conhecimentos, constituída por uma base de regras, que pode ser

considerada o núcleo do sistema, onde estão as declarações lingüísticas do tipo

“se...então” e uma base de dados composta pelas variáveis lingüísticas, as definições

dos respectivos universos de discursos e suas funções de pertinência.

� um método de inferência onde se definem quais são os conectivos lógicos usados

para estabelecer a relação fuzzy que modela a base de regras. É deste método que

depende o sucesso do sistema já que ele fornecerá a saída fuzzy a partir de cada

entrada fuzzy;

� um defuzzificador que converta a saída fuzzy para um valor numérico.

Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de inferência fuzzy que podem ser

implementados na lógica fuzzy: o tipo Mamdani e o tipo Takagi-Sugeno. Estes dois tipos

variam no modo em que as saídas são determinadas e são amplamente descritos no Fuzzy

Logic Toolbox do programa Matlab, ambiente que facilita sua implementação. O sistema

Mamdani, utilizado no trabalho, é descrito em uma secção específica.

2.4.5.1 Sistema Mamdani

Modelos lingüísticos tipo Mamdani são modelos cujas saídas são construídas pela

superposição das partes conseqüentes de regras individuais do tipo:

3 Jang, J.-S. (1993). ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23, N. 3, pp 665–685.


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Ri: Se x é Bi então y é Di

que podem ser interpretadas como o produto cartesiano dos conjuntos fuzzy Bi e Di

Ri = Bi × Di

ou seja, Ri é um subconjunto de x × y, cuja função de pertinência é dada por:

(19)

onde “min” (operador mínimo) é o operador de conjunção fuzzy.

Nesse modelo, a agregação dos conjuntos de regras é realizado através do operador

união sobre todas as n relações individuais. Assim,

1

n

ii

R R�

��

(20)

e a função de pertinência R (x,y)� da relação fuzzy R é dada por:

� � � �� i i i

n

R Ri=1

(x,y) = (x,y)=max min ,B Dx y� � � ��

(21) Assim, para um dado conjunto fuzzy A de entrada, o conjunto fuzzy de saída F será obtido

através da regra de inferência max-min com a seguinte função de pertinência:

!( ) ( )mi i iF y D y)�*� + ,

(22) onde é o , operador de conjunção mínimo, + é o operador de disjunção máximo e �i é o

grau de ativação da i-ésima regra, chamado de dof (degree of firing), que denota a

possibilidade de Bi dado A (Yager, Filev4, 1994 apud Ortega, 2001).

4 Yager R.R. & Filev D.P. 1994. Essential of Fuzzy Modelling and Control. Editora John Wiley, USA.

� � � �� i iR B(x,y) =min ,i Dx y� � �


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!( ) ( )i i x iposs B A B x A x) � - . � + ,/ 0

(23)

A figura 21 apresenta as entradas e saídas em um Modelo lingüístico tipo Mamdani.

Figura 21 – Modelo lingüístico tipo Mamdani.

Fonte: Ortega (2001).

2.4.6 Defuzzificação

Tanto os modelos lingüísticos tipo Mamdani quanto os tipo Takagi-Sugeno

fornecem como saída para o sistema um conjunto fuzzy. Em algumas situações os

resultados podem ser analisados como conjuntos fuzzy, porém muitas vezes é necessário

que essas saídas sejam apresentadas de forma numérica. Esse objetivo é alcançado pela

defuzzificação do sistema que consiste na determinação de um valor de estimação não

fuzzy. Existem muitas técnicas de realização desse processo e entre as mais utilizadas estão

o método da média dos máximos e o método do centro de área (centróide) e o método das

alturas (ORTEGA, 2001).

O método das médias dos máximos (MM) calcula a média de todos os valores de

saída que tenham os maiores graus de pertinência. Supondo que “y é B” é uma conclusão

fuzzy que deve ser defuzzificada, o MM pode se expresso como:

(24)

10

m

ii

yy

m��


Anjos, D.S. unesp

onde yi é cada um dos valores do universo de discurso que contém grau de pertinência

máximo e m é a quantidade de elementos que possui essa característica. Esse método

fornece como resultado o ponto médio do intervalo que contém o maior grau de pertinência

(figura 22).

Figura 22 – Método de defuzzificação MM.


O método do Centro de Área (CA) é a técnica de defuzzificação mais comumente

utilizada (Klir; Yuan, 1995; Yen; Langari, 1999 apud Ortega, 2001) e pode ser

compreendida como uma média ponderada onde ( )A x� funciona como o peso do valor x.

Para expressar a defuzzificação da conclusão fuzzy pelo método CA é necessário levar em

consideração se x é contínuo ou discreto, assim:

O método apresenta como desvantagem o seu alto custo computacional,

principalmente nos casos em que x é contínuo (Ortega, 2001). A figura 23 exemplifica o

resultado obtido através do método de defuzzificação do Centro de Área.

� ��

� ��

0

se discreto

( )se continuo

Ax

Ax

Ax

Ax

x xx

xy

x x dxx

x dx

��

�

�

� %###� %###�

��

(25)


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Figura 23 - Método de defuzzificação CA.


O método das alturas (MA) pode ser entendido como uma aproximação do método

do Centro de Área e é realizado em duas etapas distintas. A primeira etapa converte a

função de pertinência utilizada e os conseqüentes das regras para a teoria clássica, obtendo

o centro de gravidade respectivo, e posteriormente aplica a defuzzificação do centróide para

as regras com os conseqüentes clássicos, o que facilita os cálculos e reduz o custo

computacional. A Figura 24 ilustra um exemplo desse método de defuzzificação.

Figura 24 – Método de defuzzificação MA.



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3. MATERIAIS E MÉTODO

O presente capítulo apresenta os materiais utilizados, bem como a descrição dos

métodos para o cálculo da curvatura em perfil de vertentes do município de Presidente

Prudente e posterior classificação, utilizando as ferramentas matemáticas Thin Plate Spline

e Inferência fuzzy.

3.1 Materiais Utilizados

Para executar a pesquisa foram utilizados os seguintes materiais:

� Microcomputador Athlon 64;

� Estereoscópio de espelhos;

� Software MicroStation V8;

� Software Dxf2xyz 2.0;

� Compilador Borland Delphi 7.0;

� Fuzzy Logical Toolbox - Matlab 7;

� Fotografias aéreas do município de Presidente Prudente em uma escala de 1:25.000,

de um levantamento aerofotogramétrico de setembro de 1995 (vôo realizado pela

empresa Base aerofotogrametria e projetos s/a);

� Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente com

escala de 1.10.000.


Anjos, D.S. unesp

3.2 Metodologia proposta

Nesse capítulo são descritos os métodos utilizados no desenvolvimento do trabalho.

O fluxograma da Figura 25 apresenta a seqüência dos procedimentos metodológicos que

serão posteriormente detalhados em seções específicas.

Figura 25 - Fluxograma de atividades.

3.2.1 Escolha das áreas de teste

Para o desenvolvimento da pesquisa foram escolhidas áreas modelos sobre as quais

foram geradas as primeiras implementações. Os procedimentos relacionados à escolha

dessas áreas foram de fundamental importância para o bom resultado obtido no trabalho e

estão intimamente ligados ao conhecimento, análise e distinção das feições

geomorfológicas presentes na superfície terrestre através de estereoscopia (ANJOS, 2006).

Após a obtenção do conhecimento teórico um primeiro trabalho de campo foi

realizado para verificar a possibilidade de utilizar vertentes do município de Presidente

Prudente, por ser uma área com disponibilidade de fotografias aéreas, base digital de dados,

bem como a possibilidade de visitas freqüentes para coleta de dados, análises visuais e

validação dos resultados.

Convexa, Conv/Ret Retilínea, Ret/Conc

Côncava

Área 3 - convexa

Área 2 - côncava

Área 3. .txt

Área 2..txt

Área 1.txt

Coleta dos dados topográficos

Leitura dos dados (arquivos .txt)

Implementação em Delphi

Interpolação via Thin Plate Spline

MNT – qualquer área

MNT - Área 1, 2 e 3

Modelos Numéricos de Terreno

Sistema Fuzzy (SIF) - Matlab

Grau de curvatura

Tipo de curvatura

Classificação da Curvatura

MNT classificado de acordo com SIF (5 classes)

Espaçamento dos pontos em x e y

Validação dos resultados para as áreas de teste

Cálculo da Curvatura

MNT classificado (3 classes)

Novas áreas/ coletas de dados

topográficos

Comparação com o mapa

geomorfológico

Área 1 - retilínea

Escolha das áreas de teste

entrada saída


Anjos, D.S. unesp

Constatando a possibilidade de se trabalhar nessa área, foram realizadas análises de

fotografias aéreas do município de Presidente Prudente, em uma escala de 1:25.000, de um

levantamento aerofotogramétrico de setembro de 1995 (vôo realizado pela empresa Base

aerofotogrametria e projetos s/a) através de visão estereoscopica.

Essa etapa foi de fundamental importância para o desenvolvimento do trabalho, pois

definiu previamente áreas retilíneas, côncavas e convexas do município e para tanto foi

considerado que apesar de as vertentes, feições geomorfológicas analisadas no trabalho,

serem características em constantes modificações, essas não ocorrem com tamanha rapidez,

o que permitiu o uso de fotografias aéreas obtidas a mais de 10 anos, sem que houvesse

perda de informação relevante.

Em uma primeira análise, foram separadas duas grandes áreas do município de

Presidente Prudente, a Zona Leste e a Zona Oeste, que continham todos os tipos de

vertentes consideradas necessárias para a execução deste trabalho. Em uma segunda análise

das fotografias foram determinadas áreas menores, já definindo quais áreas seriam visitadas

durante o trabalho de campo, no qual as áreas de teste foram definidas.

A primeira área de estudo (Área 1), é uma vertente considerada retilínea de acordo

com a classificação visual de um especialista, se encontra na Zona Oeste do município, tem

como fundo de vale o córrego São João e esta localizada na zona rural próximo ao córrego do

Limoeiro. Essa área está contida nas fotografias aéreas nº 04 e nº 05 da faixa 02 do levantamento

fotogramétrico utilizado, como mostra a Figura 26.

Figura 26 - Par estereoscópio contendo a área 1 (retilínea).


Anjos, D.S. unesp

Durante o trabalho de campo para definição das áreas, foram coletadas imagens do

local, como mostra a Figura 27, que destaca o córrego São João.

Figura 27 - Área de teste na Zona Oeste com o córrego São João em destaque (Área 1 -retilínea).

Já a área 2 e a área 3, que são classificadas visualmente como vertentes côncava e

convexa respectivamente, estão localizadas na Zona Leste do município, próximo a uma

área residencial do bairro Vila Operária, e estão contidas nas fotografias aéreas de nº 10 e

nº 11 da faixa 04 do levantamento aerofotogramétrico utilizado, como mostra a Figura 28.

Figura 28 - Par estereoscópio contendo as áreas de testes 2 (côncava) e 3 (convexa).

A área escolhida como modelo de vertente côncava, é a que visualmente apresenta

maiores problemas, pois é uma vertente que sofreu ocupação desordenada e durante algum


Anjos, D.S. unesp

tempo foi utilizada como depósito de lixo pelos moradores da área. A Figura 29 apresenta

uma fotografia da vertente, obtida durante o trabalho de campo para escolha das áreas.

Figura 29 - Área de testes na Zona Leste do município (Área 2 - côncava).

Já a área escolhida como modelo de vertente convexa não é uma área ocupada por

moradias, porém se encontra muito próxima a vertente côncava citada, sendo assim um

provável local de ocupação, dentro de alguns anos, devido a natural expansão do município.

Uma fotografia da área é apresentada na Figura 30.

Figura 30 – Área de testes na Zona Leste do município ( Área 3 - convexa).


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3.2.2 Coleta de dados topográficos

Os dados topográficos necessários para calcular a curvatura das vertentes através de

um Modelo Numérico de Terreno são as coordenadas geográficas (x,y) e a coordenada z

(altimetria) referente a cada ponto (x,y) da área a ser analisada.

A coleta desses dados para o município de Presidente Prudente, área analisada neste

trabalho, foi realizada a partir da base digital planoaltimétrica georreferenciada do

município, em uma escala de 1:10.000, de propriedade da Secretaria de Planejamento da

Prefeitura Municipal de Presidente Prudente e elaborada a partir do levantamento

aerofotogramétrico da região, realizado em setembro de 1995 pela empresa Base

aerofotogrametria e projetos s/a, responsável também pela elaboração da base digital

planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente, que já passou por

atualizações, sendo que a ultima foi realizada no ano de 2003 pela empresa Engemap.

A visualização dessa base e o acesso aos dados nela contidos foram realizados através

do software MicroStation V8, que devido as suas ferramentas permite a visualização

integral ou parcial da base, bem como a seleção das áreas de interesse (Figura 31).

(a) (b)

Figura 31 – Base digital planoaltimétrica georreferenciada do município de Presidente Prudente visualizada através do software MicroStation V8: (a) – visão total, (b) – visão parcial.

Apesar da possibilidade de visualizar instantaneamente as coordenadas de cada um

dos pontos através da janela AccuDraw, visível no canto superior esquerdo da tela, o

MicroStation V8 também dispõe da ferramenta Element Information, que fornece

informações gerais da curva de nível selecionada na aba General e as coordenadas


Anjos, D.S. unesp

geográficas (x,y) e a altimetria z para cada um dos vértices da curva analisada na aba

Details (Figura 32).

(a) (b)

Figura 32 - Ferramenta Element Information do software MicroStation V8: (a) – Dados de criação na aba General, (b) -valores das coordenadas (x,y,z) de cada ponto de uma curva de nível na aba Details.

Como os dados apresentados pela ferramenta Element Information são referentes a

todos os vértices de uma única curva de nível e possuem caráter apenas informativo, para

realizar a coleta dos dados de cada área de maneira independente e gerar os arquivos de

armazenamento dos dados referentes a cada uma delas, tornou-se necessário gerar bases

digitais planoaltimétricas georreferenciadas locais, ignorando todas as informações

referentes às outras áreas do município como mostra a Figura 33.


Anjos, D.S. unesp

Figura 33 – Exemplo de base digital planoaltimétrica georreferenciada local.

A partir dessas bases locais o programa dxf2xyz2.0 foi utilizado para exportar os

dados dos arquivos .dwg para arquivos .txt contendo as coordenadas geométricas x,y e a

coordenada z de altimetria de toda a área analisada.

A seqüência de ações realizadas para gerar os arquivos de armazenamento dos dados

é apresentada na figura 34.

(a)

(b)

(c) Figura 34 – (a) criação de uma base digital planoaltimétrica georreferenciada contendo apenas os

dados da área de interesse - (b) Acesso da base local pelo software dxf2xyz 2.0 - (c) transformação das coordenadas de interesse contidas na base local em um arquivo .txt.

Após a realização dessas ações as coordenadas de cada área de interesse são

armazenadas em seu respectivo arquivo de dados sendo a primeira coluna referente à

coordenada geográfica x, a segunda referente à coordenada geográfica y e a terceira

referente à coordenada z contendo os dados altimétricos de cada ponto (x,y) como mostra a

Figura 35.


Anjos, D.S. unesp

Figura 35 – Arquivo de armazenamento dos dados contendo coordenadas x,y,z de cada ponto da área

de interesse.

3.2.3 Modelo Numérico de Terreno via Thin Plate Spline

Para representar as áreas de teste em meio digital foi gerada uma implementação em

ambiente Delphi, capaz de ler os dados coletados na base digital planoaltimétrica

georreferenciada do município e utilizá-los como pontos de controle para gerar uma grade

regular através do método de interpolação Thin Plate Spline.

Nessa implementação os valores ,i jr são obtidos através da distância de cada um dos

pontos de controle em relação a todos os outros pontos de acordo com a equação (26).

(26)

Após a obtenção dos dados referentes a distância entre os pontos de controle uma

matriz quadrada A de ordem n+3 é gerada, com n sendo o total de pontos amostrados, que

varia de acordo com o tamanho de cada área, e cada elemento ,i ja sendo dado por:

� �2 2, , ,lni j i j i ja r r ��

(27)

2 2, ( ) ( )i j i j i jr x x y y� � � �


Anjos, D.S. unesp

De acordo com a forma matricial para a interpolação via Thin Plate Spline

( AX B� ), os coeficientes necessários para interpolação podem ser obtidos, com:

12 13 1 1 1

21 23 2 2 2

31 32 3 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 10 1

0 1

101 1 1 1 1 0 0 0

0 0 00 0 0

n

n

n

n n n n n

n

n

a a a x ya a a x ya a a x y

Aa a a x y

x x x xy y y y

� ��

�

�

�

� � � � � ��

�

�

�

,

1

2

3

0

1

2

n

FFF

XFaaa

� ��

� e

1

2

3

000

n

zzz

Bz

� ��

�

Como a matriz A é uma matriz não singular, ou seja, possui determinante não nulo

pode se determinar cada um dos coeficientes ( 0, 1, 2, iF a a a ) e conseqüentemente interpolar

todos os pontos (x,y) através do cálculo da matriz inversa, pois 1X A B�� . Na

implementação esses cálculos são realizados através do método da Eliminação de Gauss

Jordan.

O método de Eliminação de Gauss Jordan (EGJ), que é uma variação do método de

Eliminação de Gauss, consiste em realizar operações básicas que não alteram a solução do

sistema AX B� , como por exemplo:

� multiplicação de uma equação (linha) por uma constante não nula;

� soma uma equação à outra;

� troca de posição de duas ou mais equações.

Primeiramente cada elemento ,i ja da matriz A (forma matricial da interpolação via

TPS) deve ser escrito como:

, , -1, - i j i j i ja a m a� % (28)

com , ,j i i im a a�

i = 1,2,3,...,n+3

j = i+1, i+2, .... ,n+3


Anjos, D.S. unesp

o que transforma a matriz A em uma matriz triangular equivalente da forma:

1, 1 1, 2 1, 3

2, 2 2, 3

11 12 13 1 1 1

22 23 2 2 2

33 3 ' 3 3

' ' ' ' 1 ' '0 ' ' ' 1 ' '0 0 ' 1 ' '

1 '

' 1 ' '0 0 00 0 0 0 0 ' ' '0 0 0 0 0 ' '0 0

n n n n n n

n n n n

n

n

n

nn n n

a a a a x ya a a x y

a a x y

Aa x y

a a aa a

� � � � � �

� � � �

�

�

�

�

� � ��

�

�

3, 30 0 0 0 'n na � �

� ��

Posteriormente cada elemento ,'i ja da matriz triangular A’ deve ser escrito como:

, , 1,' ' - * 'i j i j i ja a m a �� j (29)

com -1, , ' / 'i i i im a a�

i = n, n-1, ..., 1

j = n, ..., i

transformando a matriz triangular A’ em uma matriz diagonal equivalente da forma:

1, 1

2, 2

3, 3

11

22

33

'' 0 0 0 0 0 00 '' 0 0 0 0 00 0 '' 0 0 0 0

''0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 '' 0 00 0 0 0 0 '' 00 0 0 0 0 0 ''

n n

n n

n n

nn

aa

a

Aa

aa

a

� �

� �

� �

��

�

�

�

��

�

�

�

��

� ��

Porém nesse método que permite o cálculo direto da matriz inversa essas operações

devem ser realizadas ao mesmo tempo para a matriz A e para uma matriz identidade de

mesma ordem para que ao fim do processo a matriz inversa de ordem 3n � seja obtida

através das seguintes passagens:


Anjos, D.S. unesp

12 13 1 1 1

21 23 2 2 2

31 32 3 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0

10 0 0 0 1 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

n

n

n

n n n n n

n

n

a a a x ya a a x ya a a x y

a a a x y

x x x xy y y y

� ��

� �

� �

� �

� � � � � ��

� �

�

� �

� �

EGJ

11 12 13 1 1, 1 1 1

11 11 2 2, 1 2 2

11 3 3, 1 3 3

, 1

1, 1 1, 2 1, 3

2, 2 2, 3

' ' ' ' ' ' '0 ' ' ' ' ' '0 0 ' ' ' ' '

' ' '0 0 0

0 0 0 0 0 ' ' '0 0 0 0 0 ' '0 0 0

n n

n n

n n

n n nnn n

n n n n n n

n n n n

a a a a a x ya a a a x y

a a a x y

a xa y

a a aa a

�

�

�

�

� � � � � �

� � � �

�

�

�

� ��

�

�

11 12 13 1 1, 1 1, 2 1, 3

21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3

31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3

, 1 , 2 , 31 2 3

1,1 1,2 1,3 1,

3, 3

0 0 0 '

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n nn n n nn

n n n n n

n n

c c c c c c cc c c c c c cc c c c c c c

c c cc c c c

c c c c c

a

� � �

� � �

� � �

� � �

� � � �

� �

�

�

�

� � ��

�

�

�

1, 1 1, 2 1, 3

2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3

3,1 3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3

n n n n n n

n n n n n n n n n n n


c cc c c c c c cc c c c c c c

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� ��

�

�

EGJ

1, 1

2, 2

3, 3

11 12 1311

22

33

' ' ''' 0 0 0 0 0 00 '' 0 0 0 0 00 0 '' 0 0 0 0

''0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 '' 0 00 0 0 0 0 '' 00 0 0 0 0 0 ''

n n

n n

n n

nn

c c cdd

d

d

dd

d

� �

� �

� �

�

�

�

��

�

�

�

1 1, 1 1, 2 1, 3

21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3

31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3

, 1 , 2 , 31' 2 3

1,1 1,2 1,3 1, 1, 1

' ' ' '' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' '

' ' '' ' '

' ' ' ' '

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n nn n n nn

n n n n n n n n

c c c cc c c c c c cc c c c c c c

c c cc c c c

c c c c c c

� � �

� � �

� � �

� � �

� � � � � � �

�

�

�

� � ��

�

� 1, 2 1, 3

2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3

3,1 3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3

' '' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' '

n n n



cc c c c c c cc c c c c c c

� � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� ��

�

�

EGJ


Anjos, D.S. unesp

11 12 13 1 1, 1 1, 2 1, 3

21 22 23 2 2, 1 2, 2 2, 3

31 32 33 3 3, 1 3, 2 3, 3

'' '' '' '' '' '' ''1 0 0 0 0 0 0'' '' '' '' '' '' ''0 1 0 0 0 0 0'' '' '' '' '' '' ''0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

n n n n

n n n n

n n n n

c c c c c c cc c c c c c cc c c c c c c

� � �

� � �

� � �

��

��

��

��

�

�

�

�

, 1 , 2 , 31 2 3

1,1 1,2 1,3 1, 1, 1 1, 2 1, 3

2,1 2,2 2,3 2, 2, 1 2, 2 2, 3

3,1

'' '' '''' '' '' ''

'' '' '' '' '' '' '''' '' '' '' '' '' ''''

n n n n n nn n n nn



n n

c c cc c c c

c c c c c c cc c c c c c cc c

� � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� �

� � ��

�

�

�

3,2 3,3 3, 3, 1 3, 2 3, 3'' '' '' '' '' ''n n n n n n n n nc c c c c� � � � � � � �

� ��

Assim cada elemento , ''i jc da matriz C corresponde ao elemento da linha i e coluna j da matriz 1A� .

O que finalmente possibilita a interpolação dos pontos (x,y) de acordo com o

adensamento TPS e a elaboração do MNT na forma de grade regular utilizando as

ferramentas gráficas do ambiente Delphi.

3.2.4 Cálculo da Curvatura em Perfil

Dentre os muitos produtos derivados de um Modelo Numérico de Terreno se

encontra o valor da curvatura de vertentes, que é parte fundamental no desenvolvimento

deste trabalho e é dado por uma relação entre as derivadas de primeira e segunda ordem da

variável altitude e calculado para cada elemento ,i jz de acordo com os valores de seus

vizinhos como mostra a figura 36.

Figura 36 – Célula sobre a qual a curvatura em perfil é calculada para o ponto zi,j.


Anjos, D.S. unesp

A relação que expressa o valor da curvatura para cada ponto ,i jz é dada por

(MENDES, 1998):

(30)

com 2

2

12

ZDx

11

� % 2

2

12

ZEy

11

� % 2ZFy x

11 1

� ZGx

11

� ZHy

11

�

e , 1 , 1

2i j i jz zZ

x incx11

� ��

%

1, 1,

2i j i jz zZ

y incy11

� ��

%

2

, 1 , , 12 2

2i j i j i jz z zZx incx

11

� ��

2

1, , 1,2 2

2i j i j i jz z zZy incy

11

� ��

2

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

4i j i j i j i jz z z zZ

x y incx incy11 1

� � � � � � � ��

% %

Esse valor está diretamente ligado aos parâmetros incx e incy, distância entre um

ponto e o seu vizinho nos eixos x e y, obtidos em metros através das equações 31 e 32:

� �2 2

2 2

2 2 2pe

D G E H F G HCG H

% % � % % � % % %�

�


Anjos, D.S. unesp

_ _maior x menor xincxnp�

�

(31)

(32)

sendo np o número de pontos utilizados para gerar a grade regular do MNT.

A implementação utilizada gera Modelos Numéricos de Terreno para áreas de

vários tamanhos, assim um mesmo ponto p1 pode estar contido em duas diferentes áreas de

interesse como mostra a Figura 37.

Figura 37 – Ponto p1 pertencente a duas áreas de interesse.

A única maneira de fazer com que a diferença entre os valores de curvatura obtidos

para o ponto p1 em ambas as interações não seja significativo é fixar os valores de incx e

incy e fazer com que o número de pontos utilizados para gerar a malha varie de acordo com

o tamanho da mesma, para isso deve-se utilizar as variações das equações 31 e 32 dadas

por:

_ _maior y menor yincynp�

�


Anjos, D.S. unesp

(33)

(34)

Assim o valor da curvatura no ponto p1 será calculado de acordo com os mesmo

vizinhos ,i jz para ambas as áreas, como mostra a Figura 38, que por motivos didáticos

apresenta apenas os vizinhos no eixo y, obtidos através do valor incy.

Figura 38 – Cálculo do valor da curvatura para o ponto p1 em duas interações diferentes.

Fixando os valores de incx e incy a igualdade no valor da curvatura para cada ponto

é alcançada em detrimento da possibilidade de analisar a curvatura de vertentes de acordo

com o tamanho da mesma, pois a variação da distância entre os pontos através dos quais a

curvatura é calculada define se o resultado obtido expressa uma característica regional ou

uma característica local. A Figura 39 apresenta o resultado visual da convexidade ou

concavidade para pontos de uma mesma vertente de acordo com a proximidade dos

vizinhos analisados, ou seja, de acordo com a quantidade de pontos da malha sobre a qual o

MNT (de uma mesma área) é gerado. Através dessa figura é possível perceber que um

pequeno número de pontos para a grade consegue captar apenas grandes variações na

curvatura do terreno, enquanto valores menores conseguem captar variações menos

significativas, porém é importante ressaltar que o excesso de pontos para a grade não é

_ _maior x menor xnpxincx�

�

_ _maior y menor ynpyincy�

�


Anjos, D.S. unesp

interessante por tornar os pontos muito próximos e fazer com que os valores de curvatura

tendam a zero.

Figura 39 – Variação no valor da curvatura de acordo com a quantidade de pontos analisadas para um

mesmo terreno. A partir dessa constatação e da classificação manual existente para as áreas de teste

1, 2 e 3 foram realizados testes para definir valores para inc_x e inc_y capazes de fornecer

resultados condizentes com a classificação de um especialista.

3.2.5. Classificação da curvatura via Inferência Fuzzy

O valor da curvatura para um determinado ponto da vertente pode ser negativo, nulo

ou positivo caracterizando uma curvatura respectivamente convexa, retilínea ou côncava,

porém na prática os limites entre uma classe e outra não podem ser definidos de maneira


Anjos, D.S. unesp

tão rígida, pois uma mesma vertente pode apresentar curvatura negativa para um

determinado ponto e positiva para outro com uma transição suave entre as classes. Outra

dificuldade em modelar matematicamente os valores de curvatura de uma vertente é o fato

de ser praticamente impossível encontrar na natureza uma vertente que possua um valor de

curvatura literalmente nulo em relação ao perfil, assim são consideradas vertentes retilíneas

aquelas que apresentam valores muito próximos a zero, o que tornou necessária a obtenção

de um intervalo de valores de curvatura na vizinhança do valor zero que passou a ser

considerado como retilíneo.

Assim a inferência fuzzy se apresentou como um caminho natural a ser agregado ao

sistema de classificação das vertentes no sentido de se obter discriminação mais condizente

com a classificação manual.

O sistema de inferência fuzzy utilizou diferentes características da variável

curvatura, buscando obter uma classificação mais condizente com a realidade como saída

do sistema. Assim as varáveis lingüísticas de entrada do sistema foram definidas como o

grau da curvatura com o conjunto de termos T(X) ={inexpressivo, baixo e alto} e o tipo de

curvatura com os termos lingüísticos T(Y)={negativa, nula e positiva}. Essas variáveis

foram submetidas aos processos inerentes ao SIF com modelo lingüístico de Mamdani

através do software Matlab 7 como mostra o fluxograma da Figura 40 apresentando como

variável de saída a curvatura final com o conjunto de termos T(Z)={convexa,

convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava, côncava}.

Figura 40 – Fluxograma de um SIF.


Anjos, D.S. unesp

Para analisar esse sitema fuzzy em ambiente Matlab primeiramente foi necessário

determinar o número de variáveis de entrada e de saída a serem utilizadas. A Figura 41

apresenta a interface inicial do toolbox fuzzy, na qual as variáveis foram nomeadas e os

métodos de agregação e defuzzificação foram escolhidos.

Figura 41 – Interface do editor FIS (Sistema de Inferência Fuzzy) em ambiente Matlab.

Posteriormente cada variável de entrada e de saída teve os seus termos associados a

funções de pertinência com os coeficientes a, m, n e b das funções de pertinência

trapezoidais associadas aos termos lingüísticos de cada variável de entrada e de saída

utilizadas nesse trabalho sendo fornecidos ao sistema de acordo com as classificações

existentes para as áreas de testes e dos dados obtidos na bibliografia.

A variável lingüística de entrada “grau da curvatura” que possui os termos

lingüísticos inexpressivo, baixo e alto é apresentada ao sistema de acordo com as funções

de pertinência apresentadas na Figura 42 e possui fundamental importância, pois é ela quem

determina os coeficientes que limitam os pontos da vizinhança do valor zero a serem

considerados como pontos de curvatura nula.


Anjos, D.S. unesp

Figura 42 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada variação do ângulo de

inclinação.

Já a variável “tipo de curvatura” é apresentada como mostra a Figura 43 e é a

variável que diferencia vertentes côncavas, associadas a variações angulares negativas, de

vertentes conexas, associadas a variação angular positiva.

Figura 43 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de entrada sinal da curvatura.


Anjos, D.S. unesp

A variável de saída também deve ter cada um de seus termos associados a uma

função de pertinência como mostra a Figura 44.

Figura 44 - Funções de pertinência trapezoidais associadas à variável de saída curvatura.

Após a etapa de fuzzificação, foram fornecidas as regras fuzzy compostas

com antecedentes relacionados as variáveis de entrada e consequentes relacionados a

variável de saída. (Figura 45).

Figura 45 – Regras Fuzzy relacionada as variáveis de entrada e saída do SIF.


Anjos, D.S. unesp

Através dessas regras e dos possíveis valores de entrada o SIF forneceu novos

limites para as cinco classes da variável de saída curvatura para que os mesmo pudessem

ser utilizados na implementação gerando os MNTs classificados de acordo com a curvatura

das vertentes.

3.2.6 Modelo Numérico de Terreno classificado de acordo com a curvatura

Após a classificação dos valores de curvatura em cinco classes distintas (convexa,

convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava, côncava) através do Modelo Linguístico

Mamdani, utilizado em ambiente Matlab, as relações obtidas foram implementadas no

programa já desenvolvido em ambiente Delphi, capaz d elaborar Modelos Numéricos de

Terreno e calcular os valores de curvatura para cada um dos pontos. Assim cada ponto foi

classificado de acordo com a classe a que pertence possibilitando a apresentação dos MNT

em cinco cores diferentes, cada uma delas representando uma classe como produto final

desse trabalho.

Para essa representação foi realizado um breve estudo da variável visual cor,

utilizada na cartografia temática e segundo Slocum (1999) essa variável pode ser divida em

três tipos: Cor valor (lightness), Cor matiz (hue) e Cor saturação (saturation).

Cor valor é o termo aplicado para descrever a variação do mais claro para o mais

escuro de cada cor, é uma variável com escala finita de elementos que variam entre o

branco puro e o preto puro que podem ser distinguidas pelo olho humano. Por apresentar

essa variação do claro para o escuro, essa variável quando bem utilizada apresenta a nítida

sensação de ordem. Assim como cor valor, a cor saturação também apresenta a sensação de

ordem, pois está relacionada à pureza de cada cor.

Já Cor matiz é o termo utilizado para definir as sensações geradas pelas diferentes

cores e especificamente é a medida do comprimento de onda refletido ou emitido por cada

uma delas.

Como o objetivo da utilização da variável lingüística cor nesse trabalho é apenas de

distinção entre as classes, a variável cor matiz foi escolhida por ser considerada um dos

melhores tipos de variáveis para diferenciar espécies ou objetos. Porém como cores muito

claras e muito escuras ao serem utilizadas apenas para diferenciação podem ocasionar

erradamente a sensação de ordem, por isso a utilização dessa variável apresentou a

necessidade de muitos cuidados e alguns testes até a obtenção de um bom resultado.


Anjos, D.S. unesp

3.2.7 Comparação com o Mapa Geomorfológico do município de Presidente Prudente

Para realizar essa comparação foram selecionadas no mapa geomorfológico do

município de Presidente Prudente as mesmas áreas que anteriormente foram utilizadas para

gerar os MNTs utilizados para o cálculo da curvatura. Isso foi possível devido ao

georreferenciamento, tanto da base digital planoaltimétrica, na qual as coordenadas

geográficas e os dados de altimetria foram coletados, quanto do mapa geomorfológico.

Uma dessas áreas é apresentada primeiramente no mapa geomorfológico do

município, posteriormente na base de dados planoaltimétrica e por fim no MNT gerado pela

implementação via Thin Plate Spline e classificada de acordo com as saídas do sistema de

inferência fuzzy (Figura 46).

(a)

(b) (c)

Figura 46 – Área do município de Presidente Prudente em diversos representações: (a) - mapa geomorfológico, (b) - base digital planoaltimétrica, (c) – MNT gerado pela implementação.

Os resultados obtidos através da aplicação dessa metodologia e principalmente a

partir da comparação do MNT obtido com o mapa geomorfológico das áreas urbanas do

município de Presidente Prudente serão discutidos vis-á-vis em um capítulo específico.


Anjos, D.S. unesp

4. RESULTADOS Nesse capítulo são apresentados os testes realizados, bem como os resultados

obtidos para a classificação da curvatura de vertentes pela implementação gerada através da

conceituação teórica e da metodologia apresentadas nos capítulos anteriores.

4.1 Geração do Modelo Numérico de Terreno

A curvatura de uma vertente pode ser analisada como um produto derivado de um

Modelo Numérico de Terreno, dessa forma o primeiro resultado obtido pela implementação

foi a geração de MNTs de grades regulares com os pontos adensados via Thin Plate Spline,

de acordo com o proposto e analisado por Barbosa et al (2003), possibilitando a obtenção

de modelos mais suaves, sem linhas de quebra e próximos da realidade, facilitando assim a

visualização das áreas de interesse. A geração do MNT da área analisada também é uma

opção oferecida ao usuário na implementação final. Um exemplo é apresentado na Figura

47.

Figura 47 – Modelo Numérico de Terreno gerado via Thin Plate Spline.


Anjos, D.S. unesp

4.2 Classificação das áreas de teste

Após a geração correta dos MNTs, os primeiros resultados referentes a classificação

da curvatura de vertentes foram obtidos para as áreas de teste (Área 1, Área 2 e Área 3),

classificando-as apenas como côncava, retilínea ou convexa de acordo com intervalos

existentes na literatura. Para a classificação dessas áreas foram utilizados diferentes valores

de incrementos (1m, 3m, 5m e 7m) na busca por resultados condizentes com a realidade

observada em campo. Esses testes foram fundamentais para a escolha dos valores de

incremento (incx e incy) a ser utilizados para o adensamento e geração da grade dos MNTs.

Os resultados obtidos nessa primeira etapa são apresentados a seguir para as três

áreas de teste de acordo com a distância adotada entre os pontos do adensamento em:

� 1º teste (incx = incy = 1m)

(a) (b) (c)

Figura 48 – Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste através de MNT com valor de incx = incy = 1m: (a) - Área 1 (retilínea), (b) – Área 2 (côncava), (c) – Área 3 (convexa).

� 2º teste (inc_x = inc_y = 3m)

(a) (b) (c)



Anjos, D.S. unesp

� 3º teste (incx = incy = 5m)

(a) (b) (c)


� 4º teste (incx = incy = 7)

(a) (b) (c)


Como nessa etapa de teste cada área foi classificada entre côncava, convexa e

retilínea foram utilizadas cores diferenciar as classes de curvatura na saída dos MNTs.

Essas cores são apresentadas na legenda da Figura 52:

Figura 52 – Legenda para classificação de curvatura através da variável visual cor.

De acordo com os experimentos realizados nessa etapa, o valor de inc x e inc y que

apresentou Modelos Numéricos de Terreno mais condizentes com a realidade conhecida em

campo e com as classificações visuais feitas pelo especialista foi o valor de incremento


Anjos, D.S. unesp

intermediário de 5 metros, ou seja, a geração das grades regulares sobre as quais os MNTs

são elaborados é realizado utilizando pontos com distancia de 5 metros entre si.

Como esperado valores de incremento muito pequenos apresentaram forte tendência

a retilinização da curvatura das vertentes, devido a pequena distancia existente entre o

ponto da grade analisado e seus vizinhos, dessa forma áreas com curvaturas expressivas

foram classificadas como retilíneas, o que possibilitou o descarte dos valores 1m e 3m

Já grades geradas com valores de incremento superiores a 5m apresentaram como

resultado a classificação incorreta de áreas retilíneas, pois a grande distancia entre dois

pontos da grade levou a implementação a obter valores expressivos de curvatura para essas

áreas que sabidamente apresentam valores de curvatura inexpressivos.

Para a verificação dos resultados obtidos nessa etapa foram geradas e classificadas

três novas superfícies, cada uma delas referente a uma expansão das áreas de teste, ou seja,

para áreas que continham as vertentes de teste e sua vizinhança, e que devido as analises

estereoscópicas, os trabalhos de campo e a classificação visual possuíam características

geomorfológicas conhecidas. Os MNTs classificados de acordo com a curvatura para essas

áreas são apresentados na Figura 53.


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� Teste para áreas expandidas (incx = incy = 5 m)

(a) (b)

(c) Figura 53 - Classificação da curvatura de vertentes para as áreas de teste expandidas – (a) retilinea (b)

concava (c) convexa.

Os resultados apresentados para as áreas expandidas se mostraram de acordo com a

realidade vista em campo, o que fortaleceu o uso do valor fixado para a distância entre dois

pontos de controle no adensamento, possibilitando a realização de novos testes para a

definição de um novo intervalo para cada uma das classes levando em consideração as

áreas de incerteza e a falta de limites rígidos entre uma classe e outra.

4.3 Parâmetros das Funções de Pertinência

Os resultados obtidos através da associação entre as variáveis de entrada (grau de

curvatura e tipo de curvatura) e a variável de saída (curvatura) oferecidas ao Sistema de

Inferência Fuzzy se mostraram valiosos na obtenção de uma classificação mais condizente

com a realidade devido ao fato de serem consideradas vertentes retilíneas aquelas que


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possuem um valor de curvatura próximo ao valor zero e principalmente ao fato dos limites

entre uma classe e outra não serem rígidos o que é uma característica fundamental para o

tratamento dos dados através de Inferência Fuzzy.

As saídas do SIF para essas variáveis foram apresentadas de duas maneiras distintas,

a primeira gerada pelas regras fuzzy utilizadas e a segunda em forma de uma superfície de

associação entre as classes de entrada e saída como mostra a Figura 54.

Figura 54 – Associação entre as variáveis de entrada e de saída fornecidas ao sistema:

(a) – via regras fuzzy, (b) – via superfície de associação.

A analise dessas saídas possibilitou a classificação da curvatura em cinco classes

diferentes: convexa, convexa/retilínea, retilínea, retilínea/côncava e côncava, levando em

consideração também as áreas de transição entre uma classe e outra que foram consideradas

como áreas de incerteza. Os resultados obtidos para os limites dessas classes são

apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 – Intervalos de classificação da curvatura

Classes Intervalo

Convexa ,-0.006[-] 2

Convexa/Retilínea !005.0,006.0 ��

Retilínea ! 005.0,005.0�

Retilínea/Côncava !006.0,005.0

Côncava ,-0.006[-] 2


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4.4 Áreas de Comparação

Após a definição dos parâmetros utilizados nas funções de pertinência associadas a

cada termo lingüístico das variáveis de entrada e saída utilizadas no SIF, as respostas

obtidas foram utilizadas na implementação para a classificação da curvatura de vertentes

em perfil, passando essa a apresentar modelos classificados em cinco classes e não mais em

três como anteriormente. A variável lingüística cor é associada a cada termo de acordo com

a legenda apresentada na Figura 55.

Figura 55 – Legenda da variável visual cor utilizada para distinção entre as classes.

A partir dessa classificação a implementação passou a ser utilizada para outras áreas

do município de Presidente Prudente, apresentando como resultado três classes de certeza

(convexa, retilínea e côncava), de acordo com os valores obtidos através dos testes

realizados, e duas classes de incerteza (convexa/retilínea e retilínea/côncava).

A seguir são apresentados os resultados obtidos entre a comparação das informações

contidas no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente – SP na

escala 1:25.000 com as obtidas na implementação para classificação da curvatura de

vetentes em perfil via Thin Plate Spline e inferência fuzzy realizada nesse trabalho para

cinco áreas distintas do município, escolhidas de maneira arbitrária.

Considerando que os dados do mapa geomorfológico, utilizado como fonte de

comparação, são apresentados como uma tendência para cada uma das áreas enquanto o

MNT classifica cada ponto do terreno de acordo com a sua curvatura.

Assim a comparação entre as duas representações é realizada de acordo com a

localização, no mapa geomorfológico, dos símbolos que caracterizam vertentes côncavas,

retilíneas e convexas, mas também através da percepção dos fundos de vale para os quais as

vertentes se dirigem (direção da vertente).


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- Área A: (445 pontos de controle)

Figura 56 – Área A: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na

escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.

Tabela 4 – Comparação dos resultados apresentados para a Área A no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.

MNT gerado Mapa geomorfológico Classificação

correta Classificação

incorreta

Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

2 1 1 0 50% 50% 0%

Vertentes retilíneas

5 5 0 0 100% 0% 0%

Vertentes convexas

- - - - - - -

Total 7 6 1 0 83,33% 16,67% 0%


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- Área B: (396 pontos de controle)

Figura 57 - Área B: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na


Tabela 5 - Comparação dos resultados apresentados para a Área B no mapa geomorfológico do

perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado. MNT gerado Mapa

geomorfológico Classificação correta

Classificação incorreta

Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

5 3 1 1 60 20 20


5 5 0 0 100% 0% 0%

Vertentes convexas

- - - - - - -

Total 10 8 1 1 80% 10% 10%


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-Área C: (436 pontos de controle)

Figura 58 - Área C: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na


Tabela 6 - Comparação dos resultados apresentados para a Área C no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.



incorreta

Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

4 2 1 1 50% 25% 25%


4 3 0 1 75% 0% 25%

Vertentes convexas

- - - - - - -

Total 8 5 1 2 62,5% 12,5% 25%


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- Área D: (330 pontos de controle)

Figura 59 - Área D: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na


Tabela 7 - Comparação dos resultados apresentados para a Área D no mapa geomorfológico do




Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

3 2 1 0 66,7% 33,3% 0%


- - - - - - -

Vertentes convexas

1 1 0 0 100% 0% 0%

Total 4 3 1 0 75% 25% 0%


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- Área E: (417 pontos de controle)

Figura 60 – Área E: (a) - no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e (b) no MNT classificado de acordo com a curvatura de vertentes.

Tabela 8 - Comparação dos resultados apresentados para a Área E no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP na escala 1:25.000 e no MNT gerado.



incorreta

Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

4 2 2 0 50% 50% 0%


1 1 0 0 100% 0% 0%

Vertentes convexas

3 3 0 0 100% 0% 0%

Total 8 6 2 0 75% 25% 0%


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Conforme os resultados obtidos para as cinco áreas de comparação uma nova tabela

com resultados gerais pode ser apresentada (Tabela 9).

Tabela 9 - Comparação dos resultados apresentados para a todas as áreas no mapa geomorfológico do




Área de incerteza

% correta

% incorreta

% incerteza

Vertentes côncavas

18 10 6 2 56% 33% 11%


15 14 0 1 93% 0% 7%

Vertentes convexas

4 4 0 0 100% 0% 0%

Total 37 28 6 3 76% 16% 8%

Comparando-se os resultados obtidos pode-se observar que as vertentes retilíneas

apresentam um maior grau de classificações condizentes com o mapa geomorfológico,

obtendo apenas classificações corretas ou em áreas de incerteza, enquanto as áreas com

valores de curvatura mais expressivos apresentam um grau menor de classificações

condizentes além de obter classificações consideradas incorretas pelo método de

comparação utilizado.

Apesar da não obtenção de resultados condizente para a totalidade dos dados ao

metodologia utilizada se mostra capaz de classificar Modelos Numéricos de Terreno de

acordo com a sua curvatura em perfil, pois a incompatibilidade de parte dos resultados pode

ser explicada devido a diferença na quantidade de informação das duas representações, já

que no mapa geomorfológico do perímetro urbano de Presidente Prudente-SP em escala

1:25.000 apresenta uma quantidade de informações extramente menor que as obtidas por

essa metodologia. Dessa forma as informações pontuais para a curvatura em perfil obtidas

nessa trabalho se apresentam como uma possibilidade para as aplicações já realizadas com

os mapas bem como para novas aplicações, mais locais e que necessitam de maior

quantidade de informação quanto a característica curvatura de vertentes em perfil.


Anjos, D.S. unesp

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1 Considerações e Conclusões

Sendo a classificação da curvatura de vertentes em perfil um dado de grande

importância para diversas áreas do conhecimento que se interessam pela usabilidade do

solo e pela minimização dos impactos a ele associados, é possível concluir que a

metodologia apresentada, mostrou se capaz de classificar um Modelo Numérico de Terreno

de acordo com a curvatura de suas vertentes, vem contribuir de maneira relevante para a

automatização desse processo de classificação, possibilitando a obtenção de informações a

respeito da curvatura vertical de vertentes para qualquer área de um município que possua

uma base digital planoaltimétrica, o que até o momento só poderia ser realizado através de

estereoscopia para áreas mapeadas por fotografias aéreas ou através da visita de um

especialista a área analisada.

De acordo com os testes realizados para classificação das áreas de estudo foi

determinado a distância de 5 metros entre os pontos adensados pelo método Thin Plate

Spline e o uso da inferência fuzzy se mostrou eficaz na obtenção das cinco classes de

classificação, porém automatizar um processo como a classificação de vertentes em perfil,

que esta intimamente ligado as percepções de um especialista, requer muito cuidados, pois

muitas são as características que influenciam a concavidade/convexidade de uma vertente,

além das constantes modificações causadas nessas feições pelo homem e pelo tempo, assim

os bons resultados obtidos nesse trabalho se apresentam como uma possibilidade de

obtenção de informações relevantes quanto a essa característica para uma determinada área,

o que apenas otimiza os trabalhos de campo que continuam sendo de fundamental

importância para qualquer análise de terreno.


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5.2 Recomendações

Em face da metodologia e dos resultados obtidos recomenda-se para trabalhos

futuros:

� Investigar a possibilidade do uso de outras variáveis que também exerçam influência

sobre a curvatura vertical de vertentes, tornando o uso da ferramenta matemática

inferência fuzzy mais robusto;

� Buscar uma integração entre a implementação e a base digital planoaltimétrica do

município, facilitando o processo de coleta de dados e eliminando a possibilidade de

erros durante esse processo;

� Delimitar topos e fundos de vale no MNT, facilitando sua compreensão e a

comparação com outras representações da área;

� Buscar métodos menos visuais e mais técnicos para a realização de comparação com

os mapas geomorfológicos já existentes;

� Utilizar a teoria Neuro – fuzzy para aquisição dos parâmetros das funções de

pertinência;

� Investigar a possibilidade de normalização das coordenadas x, y dos pontos de

controle.


Anjos, D.S. unesp

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Anjos, D.S. unesp

ANEXO A – Identificação dos compartimentos de relevo do município de Presidente Prudente.

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Classificação da curvatura de vertentes em perfil via THIN plate