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alculo 3: C ´ alculo Vetorial – Parte II Prof. Angelo Aliano Filho UTFPR – Universidade Tecnol ´ ogica Federal do Paran ´ a Primeiro semestre de 2021 Aliano, A.F. (UTFPR) alculo 3 Primeiro semestre de 2021 1 / 35

Cálculo 3: Cálculo Vetorial Parte II

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Calculo 3: Calculo Vetorial – Parte II

Prof. Angelo Aliano Filho

UTFPR – Universidade Tecnologica Federal do Parana

Primeiro semestre de 2021

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 1 / 35

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 2 / 35

Superfıcies parametrizadas

As referencias para estas notas estao em [1], [2], [3] e [4]

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Superfıcies Parametrizadas

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 4 / 35

Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Definicao

Uma funcao vetorial nas variaveus u e v do tipo

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D

e denominada superfıcie parametrica

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Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Exemplo

Identifique a superfıcie deequacoes parametricas dadapor

r(u, v) = 2 cosui + v j + 2 sinuk

com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 4

−101

0 1 2 3 4

−2

0

2

xy

z

Figura: Superfıcie cilındrica

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 6 / 35

Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Exemplo

Identifique a superfıcie deequacoes parametricas dadapor

r(u, v) = 2 cosui + v j + 2 sinuk

com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 4

−101

0 1 2 3 4

−2

0

2

xy

z

Figura: Superfıcie cilındrica

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 6 / 35

Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Exemplo

Parametrize a esferax2 + y2 + z2 = a2

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Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Exemplo

Parametrize a superfıcie que seobtem ao girarmos a funcao y =sin(x) com 0 ≤ x ≤ 2π em torno doeixo x . 0

24

6

−0.50

0.5

−1

0

1

xy

z

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Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Plano tangente a r(u, v)

Sendor(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D

o ponto r(u0, v0), consideremos os vetores

rv =∂x∂v

(u0, v0)i +∂y∂v

(u0, v0)j +∂z∂v

(u0, v0)k

eru =

∂x∂u

(u0, v0)i +∂y∂u

(u0, v0)j +∂z∂u

(u0, v0)k.

Entao o vetor normal ao plano sera dado por n = ru × rv

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Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Area de uma superfıcie parametrizada

Se S : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D e uma superfıcielisa, entao sua area S pode ser computada por:

S =

∫∫D

‖ru × rv‖dA

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Superfıcies Parametrizadas

Superfıcies Parametrizadas

Exemplo

Calcule a area da superfıcie doparaboloide z = x2 + y2 que ficaabaixo de z = 9. −2

0

2−2

02

0

5

xy

z

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Integrais de Superfıcies

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Integrais de superfıcies de campo escalar

Suponhamos que uma lamina S 3–D cuja funcao densidade e conhe-cida por f (x , y , z) e ela seja descrita pela superfıcie parametrizada

S : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D.

Motivacao

A massa M de tal lamina pode sercalculada por:

M =

∫∫S

f (x , y , z) dS

onde dS = limn→∞ ∆Sk e o ele-mento de area da superfıcie.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Integrais de superfıcies de campo escalar

Definicao

A integral na superfıcie lisa e parametrizada sobre S da funcao f (x , y , z)e definida como∫∫

S

f (x , y , z)dS =

∫∫D

f (r(u, v))‖ru × rv‖dA

Quando f (x , y , z) = 1 a integral de superfıcie e a area de S.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Integrais de superfıcies de campo escalar

Exemplo

Compute∫∫S

x2 dS onde S e a esfera x2 + y2 + z2 = 1.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Integrais de superfıcies de campo escalar

Exemplo

Avalie∫∫S

y dS onde S : z = x + y2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 17 / 35

Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar

Integrais de superfıcies de campo escalar

Superfıcies orientadas

Agora, se S : r(u, v) parametrizada entao n pode ser calculado por:

n =ru × rv

‖ru × rv‖.

Por convencao, orientacao positiva e aquela que “aponta” para forada superfıcie, caso ela seja fechada.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial

Integrais de superfıcies de campo vetorial

Definicao – Integral de superfıcie em campo vetorial

Se F e um campo vetorial contınuo na superfıcie orientada S com vetornormal n, entao a integral de superfıcie de F sobre S e:∫∫

S

F · dS =

∫∫S

F · n dS,

e chamada de fluxo do campo F ao passar por S.

Obs.: fluxo significa (massa/tempo) por unidade de area.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial

Integrais de superfıcies de campo vetorial

Forma de operar

O fluxo pode ser calculado por:∫∫S

F · dS =

∫∫D

F(r(u, v)) · (ru × rv)dudv ,

quando S : r(u, v) estiver parametrizada nas variaveis u e v em D.

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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial

Integrais de superfıcies de campo vetorial

Exemplo

Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk atravessando aesfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 exteriormente.

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O Teorema do Divergente

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

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O Teorema do Divergente

O Teorema do Divergente

Teorema de Green em duas dimensoes

Vimos que ∫C

F · n ds =

∫∫R

div F dA

sendo F = F(x , y) um campo vetorial de duas dimensoes e C positiva-mente orientada.

Agora estenderemos isso para 3 dimensoes.

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O Teorema do Divergente

O Teorema do Divergente

Teorema do Divergente (1826)

Seja E uma regiao solida simples e S a fronteira de E (ou S = ∂E), po-sitivamente orientada (para fora) e fechada. Seja F(x , y , z) um campovetorial cujas funcoes componentes tem derivadas parciais contınuasem uma regiao aberta que contem E. Entao:∫∫

∂E

F · n dS =

∫∫∫E

div F dV .

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O Teorema do Divergente

O Teorema do Divergente

Exemplo

Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk na esfera unitariax2 + y2 + z2 = 1.

Exemplo

Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = x3i +[sin2 z

]√z2+1j + y2k na

superfıcie z = 4 − x2 − y2 com z ≥ 0 e com normal que se afasta daorigem.

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O Teorema do Divergente

O Teorema do Divergente

Exemplo

Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk na esfera unitariax2 + y2 + z2 = 1.

Exemplo

Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = x3i +[sin2 z

]√z2+1j + y2k na

superfıcie z = 4 − x2 − y2 com z ≥ 0 e com normal que se afasta daorigem.

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 26 / 35

O Teorema de Stokes

Sumario

1 Superfıcies Parametrizadas

2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial

3 O Teorema do Divergente

4 O Teorema de Stokes

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

Veremos uma versao extendida para o Teorema de Green.

Teorema de Stokes (1819–1853)

Seja S uma superfıcie orientada, regular por partes, cujo bordo C = ∂S e umacurva simples, fechada, regular por partes e orientada positivamente. Seja Fum campo vetorial cujas componentes sao de classe C1. Entao:∫

∂S

F · dr =

∫∫S

rot F · dS =

∫∫S

(rot F · n) dS,

isto e, a integral de linha no bordo de uma superfıcie S da componente tangen-cial de F e a integral de superfıcie sobre S da componente normal do rotacionalde F.

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

Teorema de Stokes (no plano)

Quando S e plana, entao n = k e dS = dA e assim:∫∂S

F · dr =

∫∫S

(rot F · k) dA,

que e o Teorema de Green.

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

Teorema de Stokes:∫∂S

F · dr =∫∫S

(rot F · n) dS.

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

A definicao a seguir e muito importante. Em R2, um conjunto R e sim-plesmente conexo se toda curva fechada em neste conjunto enlacarapenas pontos de R. Vemos uma extensao disto para tres dimensoes.

Definicao – simplesmente conexo em R3

Uma regiaoR ⊆ R3 e simplesmente conexa se qualquer curva fechadaem R puder ser comprimida em um ponto em R.

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

A definicao a seguir e muito importante. Em R2, um conjunto R e sim-plesmente conexo se toda curva fechada em neste conjunto enlacarapenas pontos de R. Vemos uma extensao disto para tres dimensoes.

Definicao – simplesmente conexo em R3

Uma regiaoR ⊆ R3 e simplesmente conexa se qualquer curva fechadaem R puder ser comprimida em um ponto em R.

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 31 / 35

O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

O mesmo resultado valido em R2 agora pode ser extendido em R3.

Teorema

Se rot F = 0 e dom(F) ⊆ R3 e simplesmente conexo (def. anterior), entaoF e conservativo.

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

O mesmo resultado valido em R2 agora pode ser extendido em R3.

Teorema

Se rot F = 0 e dom(F) ⊆ R3 e simplesmente conexo (def. anterior), entaoF e conservativo.

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 32 / 35

O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

Exemplo

Avalie∫C F·dr onde F(x , y , z) = −y2i+

x j + z2k e C e a curva que esta nainterseccao de y + z = 2 e o cilin-dro x2+y2 = 1 orientada no sentidoanti-horario quando vista de cima.

−10

1

−1 −0.5 0 0.5 1

0

1

2

3

xy

z

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O Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes

Exemplo

Avalie∫C F · dr onde F(x , y , z) = (z + y2)i + (y2 + 1)j + (y + ln(z2 + 1))k e C

e a curva parametrizada por r(t) = (2 cos t , 2 sin t , 10− 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

−20

2

−2 −1 0 1 2

8

10

12

xy

z

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O Teorema de Stokes

Referencias I

H. L. Guidorizzi, Um curso de calculo, vol. 2 .Grupo Gen-LTC, 2000.

J. Stewart, “Calculo vol. 2, 5a edicao,” Cengage Learning, SaoPaulo, 2009.

A. HOWARD, “Calculo, um novo horizonte. vol. 1 e 2,” 2000.

L. Leithold, M. d. G. G. del Villar, R. S. Reyes, and C. R. Orta, Elcalculo con geometrıa analıtica, vol. 2.Harbra, 1977.

Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 35 / 35