Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO MULTIDISCIPLINAR – PAU DOS FERROS
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
BRUNO HENRIQUE ALVES VAZ
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
CONSIDERANDO A INÉRCIA EQUIVALENTE DE BRANSON
PAU DOS FERROS – RN
2017
BRUNO HENRIQUE ALVES VAZ
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
CONSIDERANDO A INÉRCIA EQUIVALENTE DE BRANSON
Monografia apresentada a Universidade Federal
Rural do Semi-Árido - UFERSA, Campus Pau
dos Ferros para a obtenção do título de
Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Wesley de Oliveira
Santos.
Co-orientador: Prof. Me. Matheus Fernandes
de Araujo Silva.
PAU DOS FERROS – RN
2017
© Todos os direitos estão reservados a Universidade Federal Rural do Semi-Árido. O conteúdo desta obra é de inteira responsabilidade do (a) autor (a), sendo o mesmo, passível de sanções administrativas ou penais, caso sejam infringidas as leis que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n° 9.610/1998. O conteúdo desta obra tomar-se-á de domínio público após a data de defesa e homologação da sua respectiva ata. A mesma poderá servir de base literária para novas pesquisas, desde que a obra e seu (a) respectivo (a) autor (a) sejam devidamente citados e mencionados os seus créditos bibliográficos.
O serviço de Geração Automática de Ficha Catalográfica para Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC´s) foi desenvolvido pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo (USP) e gentilmente cedido para o Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal Rural do Semi-Árido (SISBI-UFERSA), sendo customizado pela Superintendência de Tecnologia da Informação e Comunicação (SUTIC) sob orientação dos bibliotecários da instituição para ser adaptado às necessidades dos alunos dos Cursos de Graduação e Programas de Pós-Graduação da Universidade.
V393c Vaz, Bruno Henrique Alves.
Cálculo de deslocamentos em vigas de concreto
armado considerando a inércia equivalente de
Branson / Bruno Henrique Alves Vaz. - 2017.
39 f. : il.
Orientador: Wesley de Oliveira Santos.
Coorientador: Matheus Fernandes de Araujo
Silva.
Monografia (graduação) - Universidade Federal
Rural do Semi-árido, Curso de Engenharia Civil,
2017.
1. Rotina. 2. Método. 3. Matricial. 4.
Análise. I. Santos, Wesley de Oliveira , orient.
II. Silva, Matheus Fernandes de Araujo , co-
orient. III. Título.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Vanja Maria Granja Alves e Cosme Vaz da Silva (in memorian), por
todo incentivo, carinho e apoio em todas as etapas da minha vida.
Ao meu orientador e coorientador, Wesley de Oliveira Santos e Matheus Fernandes de
Araujo Silva, pela disponibilidade, incentivo, conselhos, por auxiliarem para que este trabalho
obtivesse êxito. E ao professor Paulo Henrique Araújo, pelas valiosas orientações que
tornaram esse trabalho melhor e mais relevante.
A minha namorada Niara, por estar comigo durante mais uma etapa de minha vida, por
ser minha referência e principalmente por me apoiar em todas as minhas decisões.
Aos meus familiares, que conviveram diariamente comigo durante essa jornada. Para
vocês o meu profundo agradecimento.
A minha avó, Terezinha dos Santos (in memorian), pela preocupação e carinho. Seus
ensinamentos estarão para sempre em minha memória.
Aos meus colegas e amigos de turma, por me ensinar a conviver com pessoas
diferentes a mim e pelo apoio.
“Só se pode alcançar um grande êxito quando
nos mantemos fiéis a nós mesmos. ”
Friedrich Nietzsche
RESUMO
Atualmente, na análise de estruturas de concreto armado os softwares são
programados para efetuar cálculos com análise de primeira ordem e as solicitações afetam as
deformações da estrutura. Porém o concreto não possui comportamento linear e quando
submetido a solicitações ele apresenta fissuras que reduz sua rigidez. Neste trabalho, foi
desenvolvida uma rotina com auxílio do software MATHCAD, com objetivo de analisar as
deformações em vigas de concreto armado submetidas a flexão simples aplicando a inércia
equivalente de Branson. Tais deformações, foram obtidas em vigas ensaiadas na literatura e
comparadas com as calculadas numericamente. As funções utilizadas na rotina tiveram por
base o método de Branson e análise matricial pelo método dos deslocamentos. A rotina requer
como parâmetros de entrada, as características geométricas e físicas da viga de concreto
armado. No final da rotina, são calculadas as deformações nos nós selecionados. Na
Engenharia Civil, cálculos analíticos em geral, estão passíveis a erros e demandam tempos de
reposta significativos. Portanto, o uso e desenvolvimento de ferramentas que forneçam ao
usuário maior praticidade na análise e comparação entre resultados numéricos e experimentais
em estruturas de concreto armado são de grande importância.
Palavras-Chave: Rotina. Método. Matricial. Análise.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Pórtico plano ........................................................................................................ 12
Figura 2.2 – Inserção de nó em um ponto estratégico .............................................................. 12
Figura 2.3 – Numeração de deslocamentos nodais em viga contínua ...................................... 16
Figura 3.1 – Esquema da metodologia ..................................................................................... 21
Figura 3.2 – Etapa de dados ..................................................................................................... 22
Figura 3.3 – Etapa função criação de elementos ...................................................................... 23
Figura 3.4 – Etapa função comprimento de barra .................................................................... 24
Figura 3.5 – Etapa da técnica de zeros e um ............................................................................ 25
Figura 3.6 – Etapa dos deslocamentos nodais .......................................................................... 26
Figura 3.7 – Etapa reações de apoio ......................................................................................... 26
Figura 3.8 – Etapa esforços de extremidades de barra ............................................................. 27
Figura 3.9 – Etapa diagramas de momentos fletores com sinais corrigidos............................. 28
Figura 3.10 – Etapa inércia de Branson .................................................................................... 29
Figura 4.1 – Dimensões da viga de referência ......................................................................... 30
Figura 4.2 – Curvas P-δ das vigas V1A, V1C e V2C............................................................... 31
Figura 4.3 – Disposição dos nós ............................................................................................... 32
Figura 4.4 – Gráfico comparativo de P x d para o experimental e o numérico. ....................... 33
Figura 4.5 – Aproximação para o gráfico P x d........................................................................ 33
Figura 4.6 – Dimensões da viga de referência ......................................................................... 35
Figura 4.7 – Curvas carga x deslocamento das vigas VT.E, VRA.E, VRC.E e
VRV.E............36
Figura 4.8 – Disposição dos nós ............................................................................................... 36
Figura 4.9 – Gráfico comparativo de P x d para o experimental e o numérico. ....................... 37
Figura 4.10 – Aproximação para o gráfico P x d...................................................................... 37
LISTA DE QUADROS
Quadro 4.1 – Propriedades da viga de referência ..................................................................... 30
Quadro 4.2 – Cargas e modo de ruína ...................................................................................... 31
Quadro 4.3 – Propriedades da viga de referência ..................................................................... 34
Quadro 4.4 – Cargas e modo de ruína ...................................................................................... 35
SUMÁRIO
CAPÍTULO 01: INTRODUÇÃO ............................................................................................ 9
1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................... 10
1.1.1 Objetivo geral ................................................................................................................ 10
1.1.2 Objetivos específicos ..................................................................................................... 10
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 10
CAPÍTULO 02: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................ 11
2.1 ANÁLISE MATRICIAL ................................................................................................ 11
2.2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ........................................................................... 12
2.3 CONCRETO ................................................................................................................... 19
CAPÍTULO 03: METODOLOGIA ...................................................................................... 21
3.1 ETAPAS DE DESENVOLVIMENTO DESTE ESTUDO ............................................ 21
3.2 DESCRIÇÃO DAS ETAPAS DA ROTINA DO MATHCAD ...................................... 21
CAPÍTULO 04: ANÁLISES COM A ROTINA .................................................................. 29
4.1 ENSAIO REALIZADO POR FERRARI (2012) ............................................................ 30
4.2 ANÁLISE COMPARATIVA DOS DESLOCAMENTOS EXPERIMENTAIS E
NUMÉRICOS ................................................................................................................. 32
4.3 ENSAIO REALIZADO POR MENEGHETTI (2007) ................................................... 34
4.4 ANÁLISE COMPARATIVA DOS DESLOCAMENTOS EXPERIMENTAIS E
NUMÉRICOS ................................................................................................................. 36
CAPÍTULO 05: CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................... 39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 40
9
CAPÍTULO 01: INTRODUÇÃO
Antigamente, a análise de estruturas era um processo demorado, pois algumas
estruturas mais complexas, com várias barras e ligações, necessitavam de uma equipe de
engenheiros estruturais mais experientes para realizar os cálculos. Além disso, não havia
muito conhecimento do comportamento das estruturas de concreto e, por isso, eram feitas
várias simplificações que consequentemente influenciavam na precisão dos resultados finais
(LEET, 2010).
Hoje em dia, existem softwares capazes de analisar uma variedade de estruturas com
rapidez e precisão. Muitos deles são programados para efetuar os cálculos com análise de
primeira ordem, ou seja, o comportamento do material é considerado elástico-linear
(linearidade física); além disso, as solicitações nos elementos não são afetadas pelas
deformações da estrutura (linearidade geométrica) (LEET, 2010).
O concreto, material estudado nesse trabalho, possui um comportamento anisotrópico,
ou seja, suas características variam de acordo com a direção analisada. Pinheiro (2010) afirma
que, quando submetido a carregamentos, o concreto apresenta deformações elásticas e
plásticas e também apresenta deformações oriundas de retração por secagem ou resfriamento.
Quando restringidas, as deformações por retração ou por variação de temperaturas causam
fissuração do concreto. Então, intrinsicamente, o concreto possui microfissuras na sua
estrutura interna. Quando submetido a um nível de tensões de aproximadamente 30% da sua
resistência à compressão essas fissuras tendem a se unir e se propagam de forma mais rápida
(MEHTA E MONTEIRO, 2014).
Além disso, o concreto apresenta uma baixa resistência à tração, diferentemente do
aço. No trabalho conjunto destes dois materiais, o concreto sofre fissuração intensa e o aço
absorve os esforços quando submetidos à tração. A fissuração do concreto altera de forma
extrema a rigidez dos elementos à flexão, afetando diretamente os deslocamentos decorridos
de um carregamento. A rigidez à flexão pode ser considerada de maneira aproximada por
meio da inércia equivalente de Branson (1965).
A análise matricial, que faz parte da análise estrutural, fornece os dados para a fase de
dimensionamento das estruturas e possibilita a automatização dos procedimentos de cálculo
dos métodos da flexibilidade e rigidez.
Como os métodos matriciais são longos e passiveis de erros, quando feitos
manualmente, torna-se necessário usar ferramentas que tornem o processo de cálculo
10
eficiente. Tendo isso em vista, optou-se nesse trabalho por usar o software MATHCAD, pois
ele permite a realização de rotinas de cálculos matriciais de forma rápida.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivo geral
Determinar as deformações em vigas de concreto armado via análise matricial
utilizando a inércia equivalente de Branson.
1.1.2 Objetivos específicos
Desenvolver uma rotina computacional para cálculo de deformações em vigas de
concreto armado, por meio do software MATHCAD.
Comparar as deformações no meio do vão obtidas com a rotina desenvolvida, nas
vigas de concreto armado, com os valores de deformação medidos em ensaios
disponíveis na literatura.
Revisão do modelo da inércia equivalente de Branson e verificação do estado de limite
de deformação submetidas à flexão;
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO
No capítulo 02, será apresentada uma idealização teórica através de uma reunião de
artigos, notas de aula e livros contidos na literatura que tratam sobre o tema deste trabalho. No
capítulo 03, é demonstrada a metodologia aplicada no trabalho e será apresentado o
funcionamento da rotina. Já no capítulo 04, é demonstrada a utilização da rotina para a
comparação com dois ensaios experimentais disponíveis na literatura. E por último, no
capítulo 05, são feitas as considerações finais do trabalho.
11
CAPÍTULO 02: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 ANÁLISE MATRICIAL
A análise estrutural é o primeiro passo para a elaboração de um projeto estrutural. Ela
tem como objetivo determinar os deslocamentos, esforços internos e as reações de apoio,
conhecendo-se as características da estrutura e sob quais solicitações ela está submetida.
(ARAGÃO FILHO, 2017)
Carelli (2010) afirma que, a análise matricial faz parte da análise estrutural e nela as
equações que regem a estrutura estudada, são solucionadas de forma matricial.
Para Aragão Filho (2017), a idealização estrutural é o passo mais importante para a
análise matricial, pois ela tem a função de formular um modelo matemático de elementos
discretos equivalente a estrutura real, permitindo desse modo a realização das operações
matriciais.
Na análise matricial as estruturas reticuladas são divididas em barras com
comprimentos estabelecidos, ligadas entre si por pontos nodais. As solicitações e
deslocamentos são discretizadas nos nós e o arranjo das barras que constitui a estrutura,
resulta em um sistema de equações que tem como resolução os métodos matriciais.
(CARELLI, 2010)
Soriano (2005) apresenta na Figura 2.1 como são indicadas em uma estrutura, as
numerações das barras, os pontos nodais (em negrito), os deslocamentos nodais livres ou
graus de liberdade (d1 a d6) e os deslocamentos dos apoios (d7 a d12), também chamado de
deslocamentos restringidos ou prescritos.
Essas indicações são de suma importância para os cálculos matriciais, pois desse modo
é possível comunicar a rotina como configura-se a estrutura e as direções dos seus
deslocamentos. A numeração dos deslocamentos começa a partir de 1 e segue o sistema de
coordenada global XYZ, numerando primeiramente o deslocamento de translação em X,
depois em Y e, por último a rotação em Z. (SORIANO, 2005)
A Figura 2.1 ainda apresenta, a estrutura sob ação de forças nodais externas de f1 a f6 e
as reações de apoio de f7 a f12, referenciadas da mesma forma que os deslocamentos nodais.
12
Figura 2.1- Pórtico plano
Fonte: SORIANO (2005)
Normalmente, o nó é composto por ligações entre barras, extremidades livres, apoios,
porém, um nó pode ser inserido em um ponto estratégico da estrutura, por exemplo no meio
de uma barra (dividindo-a em duas). (ARAGÃO FILHO, 2017)
A Figura 2.2 ilustra como é feita a inserção do nó fictício e como fica a numeração dos
deslocamentos nodais após a divisão.
Figura 2.2 – Inserção de nó em um ponto estratégico
Fonte: (ARAGÃO FILHO, 2017)
2.2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
De acordo com Soriano (2005), o método dos deslocamentos (também chamado de
método da rigidez) “determina um sistema de equações de equilíbrio, em que a matriz dos
13
coeficientes é chamada de matriz de rigidez e o vetor dos termos independentes, vetor das
forças nodais. ”
Segundo Carelli (2010), o método dos deslocamentos é considerado mais adequado
para a implementação computacional, comparado ao método das forças, pois possui um único
sistema principal.
A diferença do método dos deslocamentos para o método das forças, é que no
primeiro, as incógnitas primárias são deslocamentos escolhidos estrategicamente na estrutura,
já no segundo, as incógnitas primárias são reações e/ou esforços internos. (SORIANO, 2005)
A Equação 2.1 expressa o sistema de equações do método dos deslocamentos, com a
solução desse sistema obtém os deslocamentos nodais:
llllfdK~~~
(2.1)
Onde:
llK~
é a matriz de rigidez restringida que é igual a transposta da matriz de flexibilidade,
llllK
~
1
~
;
l
f~
é o vetor das forças nodais externas;
ld~
é o vetor dos deslocamentos nodais livres.
A Equação 2.1 de forma matricial expandida toma a forma da Equação 2.2:
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
f
f
f
f
f
f
d
d
d
d
d
d
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
(2.2)
é chamado de coeficiente de rigidez. Soriano (2005) afirma que, quando se faz
unitário o q-ésimo deslocamento nodal e mantém nulo os demais, o coeficiente de rigidez é
numericamente igual à força restritiva na direção do p-ésimo deslocamento nodal. Como
mostrado na Equação 2.3:
pqpq fdK
11 qppq dfK (2.3)
14
Fazendo unitário cada um dos deslocamentos nodais (d1 a d12) da Figura 2.1, enquanto
os demais são considerados nulos, obtém-se o sistema de equações de equilíbrio na forma
matricial expandida (Equação 2.4) ou de forma mais compacta (Equação 2.5):
12
7
6
1
12
7
6
1
12,127,126,121,12
12,7777671
12,6676661
12,1171611
|
|
|
|
|
|
f
f
f
f
d
d
d
d
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
(2.4)
p
l
p
l
pp
lp
pl
ll
f
f
d
d
K
K
K
K
~
~
~
~
~
~
~
~ (2.5)
Onde:
ld~
é o vetor dos deslocamentos nodais livres;
pd~
o vetor dos deslocamentos nodais prescritos;
l
f~
é o vetor das forças nodais externas;
p
f~
é o vetor das reações de apoio;
llK~
é a matriz de rigidez relativa aos deslocamentos nodais livres denominada matriz de
rigidez restringida;
ppK
~é a matriz de rigidez relativa aos deslocamentos nodais restringidos;
lpK~
é a submatriz de rigidez de acoplamento dos deslocamentos nodais livres com os
deslocamentos prescritos.
A Equação 2.5 ainda pode ser escrita de uma forma mais compacta (Equação 2.6):
~~~fdK (2.6)
Onde:
~K é chamada de matriz de rigidez não restringida ou global, pois ela relaciona os
deslocamentos nodais livres e prescritos;
~d é o vetor global dos deslocamentos nodais;
15
~
f é o vetor global das forças nodais.
Para Soriano (2005), a Equação 2.6 estende-se a qualquer tipo de estrutura em barras,
submetida a qualquer força externa e deslocamento prescrito. Porém, como ela leva em
consideração todos os deslocamentos nodais, livres e prescritos, os esforços nodais
correspondentes são dependentes, pois atendem as equações de equilíbrio. Isso torna a matriz
de rigidez singular, ou seja, seu determinante é nulo e consequentemente não existe matriz de
flexibilidade associada a esses esforços, pois a matriz de rigidez é igual a transposta da matriz
de flexibilidade.
Esse processo anterior oferece dificuldades para estruturas com diversas barras,
portanto é mais prático prescrever deslocamento unitário em cada extremidade da barra
separadamente e considera-las como biengastada para depois superpor os efeitos e no final
obter a configuração resultante dos deslocamentos nodais unitários prescrito na estrutura
(SORIANO, 2005). Para isso, utiliza-se a Equação 2.7:
G
i
G
i
G
i auk~~~
(2.7)
Onde:
G
ik~
é a matriz de rigidez da barra;
G
iu~
é o vetor dos deslocamentos nodais da barra;
G
ia~
é o vetor forças nodais da barra.
O índice G, presente nos coeficientes da Equação 2.7, denota que as grandezas estão
no referencial global e o i representa o número da barra. Lembrando que, K maiúsculo
corresponde ao coeficiente de rigidez da estrutura, enquanto que o k minúsculo corresponde
ao coeficiente de rigidez da barra.
Como há subdivisão da estrutura é necessário estabelecer dois sistemas de
coordenadas, uma para a barra e outro para a estrutura. O sistema de coordenadas tem a
finalidade de ordenar matricialmente as solicitações, do tipo força ou momento, e os
deslocamentos, de translação ou rotação, existente na estrutura. (CARELLI, 2010)
Os dois sistemas de coordenadas utilizados para a análise matricial da estrutura, são o
global e o local. O sistema de coordenadas globais está relacionado com os graus de liberdade
da estrutura, já o sistema de coordenadas locais está relacionado aos graus de liberdade dos
elementos que constituem a estrutura, ou seja, as barras. (CARELLI, 2010)
16
Impondo deslocamento unitário em cada uma das direções e mantendo nulo os demais
deslocamentos é possível obter o coeficiente de rigidez da estrutura, pela soma dos
coeficientes de rigidez de cada barra. Para vigas esse procedimento é simples, quando a
numeração adotada dos deslocamentos nodais é feita da esquerda para a direita, a matriz de
rigidez não restringida é obtida pela soma dos coeficientes de rigidez relativo aos
deslocamentos da extremidade direita de cada barra com os da esquerda da barra seguinte.
(SORIANO, 2005)
A Equação 2.8 mostra essa soma de forma genérica.
.
00
00
0000
0000
4
22
3
44
4
12
3
34
4
11
3
33
3
24
3
23
3
22
2
44
3
14
3
13
3
12
2
34
3
11
2
33
2
24
2
23
2
22
1
44
2
14
2
13
2
12
1
34
2
11
1
33
1
24
1
23
1
22
1
14
1
13
1
12
1
11
~
sim
kk
kkkk
kkkk
kkkkkk
kkkk
kkkkkk
kkk
kkkk
K (2.8)
Figura 2.3- Numeração de deslocamentos nodais em viga contínua
Fonte: SORIANO (2005)
A matriz de rigidez restringida da viga (Equação 2.9) é obtida eliminando da Equação
2.8 as linhas e colunas ímpares, pois os deslocamentos de rotação estão intercalados aos
deslocamentos verticais, que nas vigas são considerados restringidos. (SORIANO, 2005)
.
0
00
4
22
3
44
3
24
3
22
2
44
2
24
2
22
1
44
1
24
1
22
~
sim
kk
kkk
kkk
kk
Kll
(2.9)
Como as barras são analisadas separadamente da estrutura completa, utiliza-se de
artifícios que faça a comunicação entre elas e que numere automaticamente os deslocamentos
17
locais em cada barra. Para Soriano (2005), a matriz de conectividade das barras é utilizada
para efetuar a numeração local de deslocamentos, ela especifica na linha de ordem i o nó
inicial e o nó final de cada barra. E o vetor de correspondência dos deslocamentos efetua de
modo automático a numeração dos deslocamentos, para i-ésima barra de nós inicial j e final k,
com g igual ao número de deslocamentos nodais. Como mostrado na Equação 2.10 para o
caso de uma viga:
i
i
kg
kg
jg
jg
q
2)1(
1)1(
2)1(
1)1(
~
(2.10)
Onde os deslocamentos do n-ésimo nó da estrutura é dado por:
g(n-1) + 1 – Deslocamento de translação em Y;
g(n-1) + 2 – Rotação em Z.
Para Soriano (2005), é prático fazer a correspondência das numerações locais e globais
e efetuar diretamente, através de um algoritmo, as superposições das rigidezes das barras para
a obtenção da matriz de rigidez global, utilizando o vetor de correspondência (Equação 2.10).
Inicialização dos coeficientes da matriz K com valores nulos.
i = 1, 2, ... até o número de barras
Cálculo da matriz de rigidez da i-ésima barra no referencial global, .
Determinação do vetor de correspondência da i-ésima barra.
j = 1, 2, ... até o número de deslocamentos nodais da i-ésima barra.
k = 1, 2, ... até o número de deslocamentos nodais da i-ésima
barra
“Adota-se seta em forma de laço à esquerda de cada variável incremental
para especificar a região de atuação dessa variável, com a sequência de
incrementos especificada à direita do sinal de igual. No algoritmo anterior,
representa o coeficiente da linha, e
o j-ésimo e o k-ésimo
coeficientes do vetor de correspondência dos deslocamentos da i-ésima
barra, respectivamente; e representa o coeficiente da linha j e da coluna
k da matriz de rigidez dessa barra no referencial global.” (Soriano, 2005, p.
76).
18
Quando é feita uma numeração inicial dos deslocamentos nodais livres, seguidos dos
prescritos, tem-se o sistema de equações de equilíbrio da estrutura de forma repartida
(Equação 2.5) que fornece o sistema de equações da Equação 2.11:
pppplpl
lplplll
fdKdK
fdKdK
~~~~~
~~~~~
(2.11)
Da Equação 2.11 é possível obter as equações para os deslocamentos nodais livres e as
reações de apoio, Equação 2.12 e Equação 2.13, respectivamente:
lllplpllllfKdKfKd~~
1
~~~~
1
~
(2.12)
ppplplp
dKdKf~~~~~
(2.13)
Segundo Soriano (2005), o sistema da Equação 2.11 necessita que a numeração dos
deslocamentos siga primeiramente os deslocamentos nodais livres, seguido dos
deslocamentos nodais prescritos ou, quando seguir outra ordem, que se faça uma reordenação
do sistema de equações. Para procedimento automatizado e eficiente, numera-se os
deslocamentos na ordem da numeração dos pontos nodais e para isso utiliza-se a técnica de
zeros e um.
A técnica de zeros e um faz a modificação no sistema de equações de equilíbrio não
restringido (Equação 2.4), com a finalidade de prescrever um certo deslocamento segundo
a p-ésima direção coordenada, tomando a forma da Equação 2.14:
pnpn
pppp
p
pppp
pp
n
p
p
p
nn
nppp
nppppp
npp
dKf
dKf
d
dKf
dKf
d
d
d
d
d
Ksim
KK
KKK
KKKK
,
1,1
,11
,11
1
1
1
,
,11,1
,11,11,1
,11,11,11,1
.
001
0
0
(2.14)
Na Equação 2.14, n é o número total de equações e a modificação das forças nodais
devido ao referido deslocamento está de acordo com o vetor da equação 2.12.
Soriano (2005) afirma que, se forem prescritos deslocamentos capazes de impedir
todos os deslocamentos de corpo rígido da estrutura e que a mesma não possua mecanismos
internos, a matriz de rigidez será não singular, portanto é possível a resolução do sistema de
equações e consequentemente a obtenção do vetor de deslocamentos nodais .
19
2.3 CONCRETO
O concreto é um material anisotrópico, ou seja, não apresenta as mesmas característica
em suas três direções e devido a isso a análise linear torna-se imprecisa. Para uma análise
mais precisa, é necessário utilizar modelos que simule esse comportamento não-linear do
concreto. (CARVALHO, 2014)
Para cálculo de deslocamentos em vigas fletidas, um procedimento bem estabelecido
no meio técnico é a consideração da Inércia Equivalente de Branson (1965). Se trata de um
modelo simplificado que reflete a perda gradual de rigidez à flexão a medida que os
momentos fletores atuantes na seção transversal aumentam.
Segundo Carvalho (2014), o modelo simplificado de Branson, busca reproduzir o
efeito da fissuração do concreto provocadas por flexão, para deformações imediatas. Baseado
em expressões semiprobabilísticas e utilizando expressões empíricas, ele fornece uma inércia
média para o elemento de concreto, representando os trechos fissurados e não fissurados.
Esse modelo obtém o valor intermediário da inércia, entre o estádio I (estádio elástico)
e o estádio II (estádio de fissuração). A Equação 2.15 expressa a inércia de Branson:
II
n
at
r
I
n
at
r
m IM
MI
M
MI
1 (2.15)
Em que:
– É o momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio do vão
em vigas contínuas;
– Momento de inércia da peça no estádio I da seção bruta ou homogeneizada;
– Momento de inércia da peça no estádio II puro;
– Momento de fissuração do concreto;
– Momento atuante, de serviço, na seção mais solicitada;
n – É um índice que varia, entre 3 e 4, de acordo com a análise feita. Quando a análise
é apenas em uma seção da peça o valor de n será 4, já quando a análise é feita na peça ao
longo do seu comprimento o valor de n será 3.
A NBR 6118/14 adaptou a Equação 2.15 para o cálculo da rigidez equivalente de uma
viga de concreto, na avaliação da flecha imediata da mesma, dada pela Equação 2.16:
ccsII
a
rc
a
rcsteq IEI
M
MI
M
MEEI
33
0, 1 (2.16)
20
Em que:
– Momento de inércia da seção bruta de concreto;
– Momento de inércia da peça seção fissurada de concreto no estádio II, calculado
com o coeficiente
;
– Momento fletor na seção crítica do vão considerado; momento máximo no vão
para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços;
– Momento de fissuração do elemento estrutural, que deve ser reduzido à metade
para barras lisas;
– Módulo de elasticidade secante do concreto.
Ainda segundo a NBR 6118/14, o momento de fissuração , para verificação do
estado limite de deformação excessiva, pode ser calculado pela Equação 2.17:
t
cmct
ry
IfM
, (2.17)
Onde:
= 1,2 para seções em forma de “T” ou duplo “T”;
= 1,3 para seções I ou T invertido;
= 1,5 para seções retangulares;
– Momento de inércia da seção bruta de concreto;
– Resistência média à tração do concreto, dada segundo a NBR 6118/14 por:
;
– Distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada.
21
CAPÍTULO 03: METODOLOGIA
3.1 ETAPAS DE DESENVOLVIMENTO DESTE ESTUDO
O fluxograma da Figura 3.1 apresenta as etapas adotadas para o desenvolvimento
deste trabalho.
Figura 3.1 – Esquema da metodologia
Fonte: Autor (2017)
Para a elaboração da fundamentação teórica, foram feitas pesquisas em notas de aula,
artigos e livros sobre análise matricial, deformações em vigas de concreto armado e
desenvolvimento de rotinas através do software MATHCAD.
A formulação numérica do código desenvolvido tem por objetivo o cálculo das
deformações de vigas de concreto armado via análise matricial.
A etapa seguinte teve como objetivo a comparação entre os resultados obtidos pela
rotina e os provenientes de ensaios de vigas, presentes na literatura. A partir disso, para
validar a rotina, analisou-se a acurácia dos valores obtidos a partir de sua execução.
3.2 DESCRIÇÃO DAS ETAPAS DA ROTINA DO MATHCAD
A rotina está dividida em 9 etapas, denominadas dados, função criação de elementos,
função comprimento de barra, técnica de zeros e um, deslocamentos nodais, reações de
apoio, esforços de extremidades de barras, diagramas de momentos fletores com sinais
corrigidos e inércia de Branson.
22
Em dados, é possível inserir características da estrutura referentes a sua composição e
disposição, que são fundamentais para a análise matricial. A Figura 3.2 ilustra estes dados,
que são: número de pontos nodais, coordenadas dos pontos nodais, módulo de elasticidade
do concreto e do aço, vetor das forças nodais, número de deslocamentos nodais por ponto
nodal, seção transversal, matriz de direções restringidas, resistência característica do
concreto, coeficiente alfa, número de barras de aço, diâmetro da barra de aço e d’.
Em coordenadas dos pontos nodais cria-se um vetor, em que a inserção dos dados
deve considerar o sentido da esquerda para a direita da viga. O vetor das forças nodais alterna
em cada linha um tipo de força nodal, ou seja, linhas ímpares para esforços verticais e linhas
pares para esforços de rotação, suas direções positivas são apresentadas na Figura 2.1. A
matriz de direções restringidas fornece a rotina quais as vinculações dos nós por meio da
restrição das direções, atribui-se número 1 para as direções restringidas e número 0 para as
direções livres, a primeira coluna da matriz refere-se à direção y e a coluna 2 refere-se à
direção z.
Figura 3.2 – Etapa de dados
Fonte: Autor (2017)
23
Ainda na área de dados, com a inserção das informações inseridos, é feito o cálculo
automaticamente do número de barras (nbarras), inércia da seção transversal (Ib), área de aço
(As) e resistência média à tração do concreto (fctm).
Em função criação de elementos, apresentado na Figura 3.3, cria-se um vetor I que
recebe a inércia da seção transversal Ib e aplica a cada barra da viga.
Figura 3.3 – Etapa função criação de elementos
Fonte: Autor (2017)
Em função comprimento de barra (Figura 3.4), utilizam-se os dados fornecidos na
primeira etapa para calcular a função matriz de rigidez de barra de viga, matriz de
conectividade das barras, função vetor de correspondência de barras e a matriz de rigidez
global da viga.
A função matriz de rigidez de barra de vigas calcula o comprimento de cada barra por
meio da função L(i) e este valor é utilizado para calcular o matriz de rigidez k(i) de cada
barra; a matriz de rigidez é tem dimensões 4x4, pois cada nó da viga possui 2 graus de
liberdade. A matriz de rigidez das barras nomeia os nós de cada barra que forma a viga,
enquanto a função vetor de correspondência de barras nomeia os graus de liberdade de cada
uma, da esquerda para a direita. Nesse vetor, as linhas ímpares são os graus de liberdade da
direção y e as pares são da direção z. Depois dessas nomeações, é possível calcular a matriz
de rigidez global da viga somando-se as contribuições das matrizes de rigidez de cada barra.
24
Figura 3.4 – Etapa função comprimento de barra
Fonte: Autor (2017)
25
A Figura 3.5 apresenta a etapa técnica de zeros e um, na qual é feita uma mudança na
matriz de direções restringidas para um vetor de direções restringidas (dirrmod); o cálculo da
matriz de rigidez da técnica dos zeros e um é o vetor das forças nodais relacionados com esse
vetor de direções restringidas.
Figura 3.5 – Etapa da técnica de zeros e um
Fonte: Autor (2017)
Em deslocamentos nodais (Figura 3.6), aplica-se o produto da transposta da matriz de
rigidez da técnica dos zeros e um com o vetor das direções restringidas, para se obter os
deslocamentos nodais em cada nó. As linhas ímpares desse vetor estão relacionadas às
translações, as pares estão relacionadas às rotações em cada nó das barras.
26
Figura 3.6 – Etapa dos deslocamentos nodais
Fonte: Autor (2017)
A Figura 3.7 corresponde à etapa das reações de apoio na qual é calculada a matriz
das reações de apoio para cada nó da viga com direção restringida, por meio do produto entre
o coeficiente de rigidez e o deslocamento nodal subtraído da força nodal. Nessa matriz, a
primeira coluna refere-se à translação da direção y, enquanto a segunda se refere à rotação da
direção z.
Figura 3.7 – Etapa reações de apoio
Fonte: Autor (2017)
A etapa esforços de extremidades de barras tem por objetivo o cálculo da matriz dos
esforços internos das extremidades das barras da viga. As colunas ímpares dessa matriz estão
relacionadas aos esforços cortantes e as colunas pares estão relacionadas aos momentos
fletores, como apresentado na Figura 3.8.
27
Figura 3.8 – Etapa esforços de extremidades de barra
Fonte: Autor (2017)
Já a etapa diagramas de momentos fletores com sinais corrigidos (Figura 3.9) organiza
os momentos fletores da matriz de esforços internos em um vetor, no qual modificam-se seus
sinais de acordo com a convenção utilizada na análise usual de estruturas (momentos
positivos para baixo e negativos para cima). Além disso, nessa etapa, é plotado um gráfico do
diagrama de momento fletor da viga analisada.
28
Figura 3.9 – Etapa diagramas de momentos fletores com sinais corrigidos
Fonte: Autor (2017)
Por último, em inércia de Branson, são aplicadas as equações necessárias para o
cálculo da inércia de Branson, como por exemplo, momento médio das barras da viga,
momento de fissuração do concreto, módulo de elasticidade secante do concreto, linha neutra,
inércia da seção fissurada no estádio II e inércia de Branson, como ilustrado na Figura 3.10.
Depois, repete-se o código aplicando a inércia de Branson e o módulo de elasticidade
secante do concreto armado para a determinação dos deslocamentos da viga.
29
Figura 3.10 – Etapa inércia de Branson
Fonte: Autor (2017)
CAPÍTULO 04: ANÁLISES COM A ROTINA
Neste capítulo, apresentam-se as análises comparativas realizadas entre os resultados
obtidos pela rotina desenvolvida, na qual aplica-se a inércia equivalente de Branson, e os
dados de dois ensaios de flexão simples em duas vigas de concreto armado, disponíveis na
literatura.
30
As análises comparativas utilizam os dados referentes aos deslocamentos no meio do
vão em vigas de concreto armado submetidas a ensaios de flexão.
4.1 ENSAIO REALIZADO POR FERRARI (2012)
Ferrari (2012) realizou um ensaio de carregamento crescente até a ruína em vigas de
concreto armado submetidas a flexão simples em quatro pontos, para avaliar a eficiência de
reforços à flexão de vigas de concreto armado com tecido de fibra de carbono.
A peça estrutural utilizada para comparação com a rotina é a viga de referência (sem
reforço) ensaiada por Ferrari (2012), cujas características são apresentadas na Quadro 4.1:
Quadro 4.1 – Propriedades da viga de referência
Seção
transversal
(bw x h)
mm
Comprimento
total (mm)
Vão
livre
(mm)
Di
(mm)
Ds
(mm)
Cobrimento
(cm)
fck
(MPa) Aço
170 x 350 3600 3200 Duas
de 12
Duas
de 6,3 2 37,84 CA50
Fonte: Ferrari (2012)
A configuração da viga é apresentada na Figura 4.1.
Figura 4.1 – Dimensões da viga de referência
Fonte: Ferrari (2007)
Segundo Ferrari (2012), a viga de referência apresentou comportamento referente ao
domínio 2, ou seja, deformação excessiva da armadura longitudinal seguida por deformação
do concreto comprimido.
A Quadro 4.2 mostra as cargas e o modo de ruína para a viga de referência.
31
Quadro 4.2 – Cargas e modo de ruína
Pf (kN) Py (kN) Pu (kN) Modo de ruína
Viga de
referência 21,01 79,80 89,27 Deformação excessiva da armadura
Fonte: Ferrari Modificado (2012)
Onde Pf, Py e Pu são os valores em kN do carregamento de fissuração, de escoamento
da armadura longitudinal e de ruína da viga de referência, respectivamente.
O ensaio ainda gerou uma curva carga (P) versus deslocamento (δ) (Figura 4.2), que
será utilizada para as comparações como a rotina.
Figura 4.2 - Curvas P-δ das vigas V1A, V1C e V2C
Fonte: Ferrari Modificado (2007)
Onde V1A é a viga de referência e as demais são vigas com reforço. Para fazer as
comparações, foram coletados os dados de deslocamento e força por meio do software
GRAPHDATA, pois o trabalho de Ferrari (2012) não possuía todos os valores de
deslocamentos e cargas gerados no ensaio.
O GRAPHDATA é um software que possibilita extrair valores de gráficos que estão
em formato de imagem. Ele permite vetorizar a área correspondente a curva do gráfico e, por
32
meio disso, são extrair os valores de cada ponto da ordenada e abcissa, que podem ser
utilizados no EXCEL.
4.2 ANÁLISE COMPARATIVA DOS DESLOCAMENTOS EXPERIMENTAIS E
NUMÉRICOS
O comportamento da viga de referência V1A foi analisado por meio da rotina. Ela foi
dividida em 7 nós: um para o início da viga; dois para os apoios; dois para as cargas; um no
final da viga; e um no meio do vão, para que fosse possível calcular o deslocamento também
neste ponto. A Figura 4.3 mostra a disposição destes nós.
Figura 4.3 – Disposição dos nós
Fonte: Ferrari Modificado (2007)
Os parâmetros considerados na área dados da rotina são os mesmos citados
anteriormente, referentes às características da viga ensaiada por Ferrari (2012). Depois de
inseridos os dados iniciais, calcularam-se os deslocamentos para alguns valores de carga,
gerando assim uma curva carga versus deslocamento vertical no meio do vão. Na Figura 4.4,
são confrontados os dados dos deslocamentos numéricos com o experimental. E, na Figura
4.5, é feita uma aproximação na Figura 4.4 até valores de carga próximos de 55 kN.
33
Figura 4.4 – Gráfico comparativo de P x d para o experimental e o numérico.
Fonte: Autor (2017)
Figura 4.5 – Aproximação para o gráfico P x d
Fonte: Autor (2017)
Da Figura 4.5, nota-se que na fase elástica, a curva numérica da viga de referência tem
comportamento não linear e apresenta maior inclinação do que a experimental, ou seja, é mais
rígida. A curva para os valores numéricos simula o comportamento do ensaio experimental
até valores antes do comportamento não-linear do concreto.
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30
Car
ga
(kN
)
Descolamento (mm)
EXPERIMENTAL NUMÉRICO
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Car
ga
(kN
)
Deslocamento (mm)
EXPERIMENTAL NUMÉRICO
34
A viga de referência possui deslocamento de 0,138 mm para carga de fissuração, a
qual é aproximadamente 84,06% menor do que o deslocamento para carga de fissuração,
extraída dos resultados experimentais.
Para carga de escoamento da armadura longitudinal (Py), o deslocamento obtido na
análise numérica é de 7,069 mm, que é aproximadamente 43,80% menor do que o valor
obtido experimentalmente para o deslocamento quando ocorre escoamento da armadura.
No caso da carga de ruína (Pu), o deslocamento resultante da análise numérica foi de
8,471 mm; esse valor de deslocamento calculado numericamente é aproximadamente 66,63%
menor do que o valor extraído do deslocamento experimental para carga de ruína.
Portanto, os resultados apresentam em média 64,83% de diferença entre os valores
calculados com a rotina e os valores obtidos nos ensaios. Antes da fissuração do concreto essa
diferença foi maior que a média e isso ocorre devido, a inércia equivalente de Branson
representar a perda gradual da rigidez com o aumento dos momentos atuantes.
4.3 ENSAIO REALIZADO POR MENEGHETTI (2007)
Meneghetti (2007), assim como Ferrari (2012), realizou ensaios de carregamento
crescente até a ruína em vigas de concreto armado submetidas a flexão simples em quatro
pontos, com o intuito de avaliar a eficiência de reforços com tecido de fibra de carbono, vidro
e aramida.
Para avaliar o desempenho das vigas com tecido de fibra, Meneghetti (2007) ensaiou
vigas de referência sem reforço, com a intenção de realizar comparações. Essa viga foi
utilizada para a comparação com a rotina e seus dados são apresentados na Quadro 4.3:
Quadro 4.3 – Propriedades da viga de referência
Seção
transversal
(bw x h)
mm
Comprimento
total (mm)
Vão
livre
(mm)
Di
(mm)
Ds
(mm)
Cobrimento
(cm)
fck
(MPa) Aço
150 x 300 3000 2850 Duas
de 12
Duas
de 6,3 1,5 30 CA50
Fonte: Meneghetti (2007)
35
A configuração da viga é apresentada na Figura 4.6.
Figura 4.6 – Dimensões da viga de referência
Fonte: Meneghetti (2007)
Segundo Meneghetti (2007), a viga de referência apresentou comportamento referente
ao domínio 2, ou seja, fratura da armadura longitudinal seguida por deformação do concreto
comprimido.
A Quadro 4.4 mostra as cargas e o modo de ruína para a viga de referência.
Quadro 4.4 – Cargas e modo de ruína
Pf
(kN)
Desloca
mento
(mm)
Py
(kN)
Desloca
mento
(mm)
Pu
(kN)
Desloca
mento
(mm)
Modo de
ruína
Viga de
referência 20,24 1,65 79,80 14,64 89,27 81,67
Fratura das
barras de
aço
Fonte: Meneghetti Modificado (2007)
Onde Pf, Py e Pu são os valores em kN de carregamento de fissuração, de escoamento
da armadura longitudinal e de ruína da viga de referência, respectivamente.
O ensaio resultou em uma curva carga versus deslocamento (Figura 4.7), que será
utilizada para as comparações como a rotina.
36
Figura 4.7 - Curvas carga x deslocamento das vigas VT.E, VRA.E, VRC.E e VRV.E
Fonte: Meneghetti (2007)
Onde VT.E é a viga de referência e as demais são vigas com reforço de vidro, carbono
e aramida. Assim como em Ferrari (2012), para fazer as comparações, foram coletados os
dados de deslocamento e força por meio do software GRAPHDATA, pois o trabalho de
Meneghetti (2012) não apresentava todos os valores de deslocamentos e cargas gerados no
ensaio.
4.4 ANÁLISE COMPARATIVA DOS DESLOCAMENTOS EXPERIMENTAIS E
NUMÉRICOS
O comportamento da viga de referência VT.E foi analisado por meio da rotina. Ela foi
dividida em 6 barras e 7 nós, um para o início da viga (Nó 1), dois para os apoios (Nós 2 e 6),
dois para as cargas (Nós 3 e 5), um no final da viga (Nó 7) e um no meio do vão (Nó 4) para
que fosse possível calcular o deslocamento neste local. A Figura 4.8 apresenta a disposição
destes nós.
Figura 4.8 – Disposição dos nós
37
Fonte: Meneghetti Modificado (2007)
Os parâmetros considerados na área dados da rotina são os mesmos referentes às
características da viga ensaiada por Meneghetti (2007). Depois de inseridos os dados iniciais,
calcularam-se os deslocamentos para alguns valores de carga, até se obter uma curva carga
versus deslocamento vertical no meio do vão. Na Figura 4.9, são confrontados os dados dos
deslocamentos numéricos com o experimental e, na Figura 4.10, é ampliado a Figura 4.9 até
valores de carga próximos de 90 kN.
Figura 4.9 – Gráfico comparativo de P x d para o experimental e o numérico.
Fonte: Autor (2017)
Figura 4.10 – Aproximação para o gráfico P x d
Fonte: Autor (2017)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 20 40 60 80
Car
ga
(kN
)
Deslocamento (mm)
EXPERIMENTAL NUMÉRICO
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Car
ga
(kN
)
Deslocamento (mm)
EXPERIMENTAL NUMÉRICO
38
Na Figura 4.10, nota-se que, da fase elástica até a ruptura, a curva numérica da viga de
referência é mais rígida, ou seja, possui inclinação maior do que a experimental. A curva que
contém os deslocamentos numéricos simula o comportamento da curva que contém os valores
obtidos nos ensaios experimentais até valores antes da fase não-linear.
Analisando os deslocamentos causados pelas cargas de fissuração, escoamento da
armadura e ruína e comparando com os resultados numéricos, observou-se que a viga de
referência possui deslocamento de 0,889 mm para carga de fissuração, o qual é
aproximadamente 46,7% menor do que o deslocamento para carga de fissuração, extraída dos
resultados experimentais.
Para carga de escoamento da armadura longitudinal (Py), o deslocamento obtido na
análise numérica foi de 8,953 mm, que é aproximadamente 38,85% menor do que o valor
obtido experimentalmente para o deslocamento quando ocorre escoamento da armadura.
Para a carga de ruína (Pu), o deslocamento resultante da análise numérica foi de 12,896
mm; esse valor de deslocamento calculado numericamente é aproximadamente 84,21% menor
do que o valor extraído do deslocamento experimental para carga de ruína.
Então, nota-se que os resultados apresentam em média 56,39% de diferença entre os
valores obtidos com a rotina e os valores experimentais. Porém, o valor que apresentou maior
diferença foi para a carga de ruína, diferente da análise anterior. Essa diferença se deve ao
fato de que a curva para os deslocamentos calculados com a rotina não simula a fase não-
linear até a ruptura do concreto, ou seja, permanece linear.
39
CAPÍTULO 05: CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na Engenharia Civil, a utilização de ferramentas para análise estrutural permite ao
usuário maior praticidade, pois com elas é possível realizar comparações entre o
comportamento de estruturas de concreto armado, métodos numéricos e experimentais.
Este trabalho atingiu o seu objetivo geral que era o desenvolvimento de uma rotina que
fosse capaz de calcular as deformações em vigas de concreto utilizando a inércia de Branson
de forma automática, tendo em vista que esse processo é bastante trabalhoso quando feito
analiticamente.
Os resultados fornecidos utilizando o método da inércia equivalente de Branson
através da rotina foram considerados aceitáveis até cargas antes do comportamento não-linear
no ensaio do concreto, realizado em laboratório. Os deslocamentos calculados com a rotina
corresponderam aproximadamente ao dobro dos deslocamentos obtidos nos ensaios.
Como ponto negativo de utilizar o método da inércia equivalente de Branson, é que a
curva da rotina na fase não-linear, não possui o mesmo comportamento ao do ensaio
experimental, pois a curva possui comportamento linear até após a ruptura do material e isso
impossibilita a identificação de quando o material rompeu.
Vale salientar que este trabalho tem caráter apenas acadêmico, com ênfase no
desenvolvimento e utilização de uma rotina para calcular deformações e com esses resultados
formular conclusões utilizando os conceitos básicos de resistência dos materiais, análise
matricial e programação básica.
A complexidade da análise de estruturas de concreto armado e a baixa disponibilidade
de softwares livres que tratam desta análise, gera uma busca por outras formas de realizar essa
análise. Tendo isso em vista, o presente estudo mostra que é possível buscar maneiras
alternativas para essa análise, uma delas é a elaboração de rotinas para cálculo de
deformações em vigas de concreto armado aplicando a inércia equivalente de Branson.
40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARAGÃO FILHO, Luiz A. C. Moniz de. Curso de Análise Matricial de Estruturas.
Disponível em: <http://www.ime.eb.br/~moniz/pdf/introd.pdf>. Acesso em: 14 jul. 2017.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas
de Concreto Armado – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 238 p.
BRANSON, Dan. E., “Instantaneous and Time-Dependent Deflections on Simple and
Continuous Reinforced Concrete Beams,” HPR Report No. 7, Part 1, Alabama Highway
Department, Bureau of Public Roads, Aug. 1965, pp. 1-78.
CARELLI, Jackson Antonio. Análise Matricial de Estruturas. Universidade do Oeste de
Santa Catarina (UNOESC). Santa Catarina, 2010.
CARVALHO, Roberto Chust; FILHO, Jasson Rodrigues de Figueiredo. Cálculo e
detalhamento de estruturas usuais de concreto armado – Segundo a NBR 6118:2014. 4ª
edição – 1ª reimpressão. São Carlos, EdUFSCar, 2014.
FERRARI, Vladimir José. Reforço à flexão de vigas de concreto armado com manta de
polímero reforçado com fibras de carbono (PRFC) aderido a substrato de transição
constituído por compósito cimentício de alto desempenho. 2007. Tese de Doutorado.
Universidade de São Paulo.
FERRARI, Vladimir José; DE HANAI, João Bento. Flexural strengthening of reinforced
concrete beams with carbon fibers reinforced polymer (CFRP) sheet bonded to a
transition layer of high performance cement-based composite. Revista IBRACON de
Estruturas e Materiais, v. 5, n. 5, p. 596-626, 2012.
LEET, Keneth M.; UANG, Chia-Ming; GILBERT, Anne M. Fundamentos da Análise
Estrutural. 3ª Ed. Editora: Mcgraw-hill Interamericana, 2010.
MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. Concreto Microestrutura, Propriedade e Materiais.
2ª Edição. Ed.: IBRACON. ISBN.:978-85-98576213. Português, p. 751, 2014.
MENEGHETTI, Leila Cristina. Análise do comportamento à fadiga de vigas de concreto
armado reforçadas com PRF de vidro, carbono e aramida. 2007.
PTC – Mathcad Mechanical Engineering. Mathcad for Students. Disponível em:
<https://www.ptc.com/en/academic-program/products/ptc-mathcad>. Acesso em: 14 jul.
2017.
PINHEIRO, Libânio M. et al. ESTRUTURAS DE CONCRETO. 2010.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estrutura: formulação matricial e implementação
computacional. Vol. I. Editora: Ciência moderna, 2005.
