CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I (2º ANO) · INTRODUÇÃO Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 3 preço do dinheiro cedido e será função

GESTÃO DE EMPRESAS

CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I

(2º ANO)

INTRODUÇÃO

Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 1

1. INTRODUÇÃO

1.1. Aplicação do Rendimento

Os agentes económicos de uma economia auferem rendimentos da sua

actividade económica, que aplicam de acordo com as suas necessidades,

preferências, gostos e estilos de vida.

De acordo com a teoria económica, o rendimento das pessoas pode ser

aplicando de duas grandes formas: consumo ou poupança.

O consumo é entendido como o total da despesa em bens ou serviços que têm

um tempo de vida definido e são utilizados de uma forma específica. Esta

forma de aplicação do rendimento caracteriza-se por não gerar qualquer

retorno do capital investido.

A parcela de rendimento que não é afecta ao consumo designa-se por

poupança.

Ainda recorrendo à teoria económica podemos encontrar duas grandes formas

de aplicação da poupança: o entesouramento e o investimento.

O entesouramento consiste em manter, guardar o montante de rendimento

poupado sob a forma de moeda, o que não permitirá qualquer ganho ao longo

do tempo.

O investimento consiste em aplicar um determinado capital com o objectivo de

o multiplicar. Ao capital, montante de dinheiro poupado e aplicado em

investimento, chamaremos capital financeiro.

Este investimento pode ser concretizado essencialmente de duas formas

distintas:

Investimentos reais directos – construção de uma unidade fabril, aquisição

de um equipamento produtivo ou de um estabelecimento comercial, etc.)

Investimentos financeiros – depósito numa instituição financeira ou ainda

aquisição de títulos (acções, obrigações, opções, etc.) nos mercados

financeiros.

INTRODUÇÃO


ConsumoEntesouramento

Rendimento Investimentos Reais DirectosPoupança

Investimento

⎧⎪

⎧⎪⎪⎪

⎧⎨ ⎪⎨ ⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩ Investimentos Financeiros

O cálculo financeiro, enquanto disciplina, preocupa-se essencialmente com a

abordagem dos investimentos financeiros, ou seja, com o estudo das relações

matemáticas subjacentes ao processo de formação de juros.

1.2. Capital, juro e tempo

O capital objecto de um investimento financeiro é portanto, a quantidade de

moeda cedida pelo seu proprietário a outrém por um determinado período de

tempo acordado entre ambas as partes.

O tempo é o prazo durante o qual o capital é aplicado ou cedido. Na nossa

perspectiva de análise considerar-se-á que o tempo global da aplicação é o

somatório de n parcelas de tempo. A cada unidade de tempo chamaremos

período de capitalização.

O período de capitalização será mensal, trimestral ou anual consoante a

unidade de tempo considerada seja o mês, o trimestre ou o ano,

respectivamente.

O juro é o rendimento proveniente de um capital cedido (aplicado) por um

dado período de tempo. Nesta perspectiva o juro deve ser considerado como o

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

Período de capitalização

INTRODUÇÃO


preço do dinheiro cedido e será função do montante (capital) e do prazo em que

o seu proprietário esteve privado da sua utilização (tempo).

1.3. Juro e taxa de juro

No ponto anterior definimos que o juro aparece como uma compensação pelo

“sacrifício” de deixar de dispor, no momento, de determinada importância

capaz de proporcionar consumo imediato e certo em troca dessa

disponibilidade em data futura. Embora se entenda que uma parte dessa

compensação é objectiva, porque será exigida por todos ou a maior parte, mais

ou menos da mesma forma, o seu valor total é claramente subjectivo.

Se o proprietário do capital C0 cede pelo período de tempo t o seu capital a

outrém, no fim do tempo t vai receber o seu capital C0 mais o juro produzido.

Teremos então que definir qual a função que traduz a relação entre juro, capital

e tempo.

Consideremos o princípio fundamental do juro de acordo com o qual “o juro é

directamente proporcional ao valor capital no início de cada período”. De

acordo com este princípio o juro obtém-se multiplicando o capital inicial por

uma dada constante de proporcionalidade.

k k 1J C i−= ∗ FÓRMULA GERAL DO JURO PERIÓDICO

em que:

Jk – juro do período k.

Ck-1 – capital no início do período k.

i – constante de proporcionalidade.

Esta constante de proporcionalidade tem a designação de taxa de juro, podendo

ser definida como o rendimento gerado por um capital unitário num tempo

unitário.

INTRODUÇÃO


Podemos encontrar diversos factores determinantes na fixação da taxa de juro.

Entre esses factores encontramos certamente o perfil dos próprios credores,

nomeadamente a forma como lidam com situações de risco e consequentemente

a forma como o avaliam.

Entre os factores determinantes do valor da taxa de juro podemos destacar:

A desvalorização do dinheiro e a necessidade de repor o seu poder de

compra. A taxa de inflação poderá ser uma boa medida.

O risco de não reembolso – incumprimento.

A duração do negócio – tempo.

O nível de intervenção do Estado, encarecendo ou não o custo dos negócios,

através da criação de impostos sobre o crédito.

As condições dos mercados monetário e financeiro.

O tipo de negócio, nomeadamente o destino da aplicação e suas

especificidades.

A qualidade das partes envolvidas.

Vimos então que um determinado capital aplicado durante um certo período de

tempo sofre um acréscimo consequência do vencimento de juros. Assim,

teremos que o capital no final de um dado período k será:

k k 1 kC C J−= +

A este processo de acréscimo que o capital sofre ao longo do tempo iremos

chamar capitalização.

O processo de capitalização é portanto o processo que leva à formação do juro e

produz um capital acumulado (geralmente superior) no futuro:

0 1 2 n

C0 C1=C0+J1 C2=C1+J2 Cn=Cn-1+Jn

CAPITALIZAÇÃO

INTRODUÇÃO


Exemplo 1

Qual o capital acumulado daqui a um ano, por um depósito, feito hoje, de

5.000 €, se este for remunerado à taxa anual de 5%?

Representemos o capital inicial por Co e por C1 o valor acumulado no final de 1

período de capitalização.

C1 = Co + J1 ⇔ C1 = 5.000 + 5.000 * 0,05 = 5.250 €

1.4. Desconto e taxa de desconto

O desconto ou actualização é o processo inverso da capitalização, pelo qual se

calcula o valor actual (hoje) de um capital futuro, conhecido.

Enquanto o processo de capitalização transforma o capital inicial num capital

superior, o desconto transforma o capital num valor inferior.

O conceito de actualização só tem interesse se pretendermos recuar no tempo. A

sua aplicabilidade tem alguma relevância quando um devedor pretende

liquidar a sua dívida ou o credor tem necessidade de receber os seus créditos

antes da data de vencimento previamente acordada entre as partes.

Sendo um conceito semelhante ao do juro também o desconto depende do

tempo, antecipação do vencimento e do capital em referência.

0 1 2 n


ACTUALIZAÇÃO

INTRODUÇÃO


Esta dependência pode também ser representada por uma constante de

proporcionalidade que se designa por taxa de desconto (d):

k kD C d= ∗ 1

Se o juro é o incremento sofrido por um capital aplicado durante um período de

tempo então o desconto é a redução que esse capital sofre quando descontado

durante esse período de tempo. Teremos então:

k 1 k kC C D− = −

em que:

Dk – desconto do período k.

Ck-1 – capital no início do período k.

Ck – capital no fim do período k.

Exemplo 2

Quanto deverá ser pago, hoje, por uma dívida de 1.000 €, que se vence dentro

de um ano e será descontada à taxa anual de 10%?

C0 = C1 - D1 ⇔ C1= 1.000 - 1.000 * 0,10 = 900 €

1.5. Valor de um capital

Valor Acumulado

Se um determinado capital C0 for aplicado durante um espaço de tempo t e

gerar um juro Jt, no fim do período teremos:

Ct = C0 + Jt

Valor Actual

Inversamente teremos que C0 é o valor actual do capital Ct:

C0 = Ct - Dt 1 Admite-se que o desconto é calculado sobre o capital final. Como veremos mais à frente o

desconto poderá também ser calculado sobre o capital inicial.

CAPITALIZAÇÃO


2. CAPITALIZAÇÃO

2.1 Conceitos genéricos

Quando um capital é aplicado por um determinado período de tempo,

periodicamente há lugar à formação de juros. Assim, no final de cada período

de capitalização vence-se o chamado juro periódico. A questão que se coloca ao

investidor é: “O que fazer ao juro?”

O juro sai do processo de capitalização – neste caso estaremos perante uma

situação de capitalização em regime de juros simples;

O juro junta-se ao capital existente no início do período de capitalização

para dar lugar à formação de juros nos períodos subsequentes – nesta

situação estamos perante a capitalização em regime de juros compostos.

Por forma a estudar os dois regimes de capitalização indicados será conveniente

definir a seguinte terminologia:

Capital (C) – Quantidade de dinheiro (montante) com que vamos operar,

sem incluir a compensação para quem o disponibiliza.

Juro (J) – Compensação pelo investimento ou empréstimo.

Taxa de juro (i) – Juro por unidade de capital.

Período de capitalização – Unidade de tempo (dia, mês, trimestre, etc.), que

serve de base ao vencimento (cálculo) de juros.

Tempo – Define a duração do investimento, normalmente medido em “n”

períodos regulares.

2.2 Capitalização em regime de juro simples

Utilizado frequentemente em investimentos de curto prazo, caracteriza-se pelo

facto de não existirem juros sobre juros, mesmo que estes sejam pagos de uma

CAPITALIZAÇÃO


só vez, no final do investimento. Neste regime podemos identificar duas

variantes:

Regime simples puro

Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período são excluídos

do processo de capitalização. Este facto tem, basicamente, duas implicações:

O capital que vence juros é constante ao longo do processo:

C0 = C1 = C2 = C3 = ……….. = Cn

O juro periódico (Jk) também é constante ao longo do processo:

J1 = J2 = J3 = ……= Jk =….. = Jn = C0 * i

Em termos esquemáticos teremos:

O juro produzido periodicamente em regime simples é frequentemente

designado por juro simples (Jsimples).

Exemplo 3

Um capital de 5.000 € foi aplicado durante 3 anos, em regime de juro simples à

taxa anual de 10%.

a) Calcule o juro vencido em cada ano.

b) Calcule os juros totais vencidos.

c) Calcule a quantia a receber no final do 3º ano.

Resolução

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

J1 J2 J3 J4 Jn-2 Jn-1 C0+Jn

C0 C0 C0 C0 C0 C0 C0 C0

CAPITALIZAÇÃO


a) J1 = J2 = J3 = C0 * i = 5.000 * 0,10 = 500 €

b) JT = n * C0 * i = 3 * 500 = 1.500 €

c) C3 = C0 + J3 = 5.000 + 500 = 5.500 €

Regime dito simples

Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período não são

excluídos do processo de capitalização. Contudo nos períodos subsequentes

não vencem juros. No final do processo de capitalização o capital acumulado

resulta do somatório do capital inicial com a totalidade dos juros simples

vencidos.


O capital acumulado ao longo do processo de capitalização evolui de forma

linear como se pode constatar:

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

1 0 simples 0 0 0

2 1 simples 0 0 0

3 2 simples 0 0 0

k 0

C C J C C i C 1 i

C C J C 1 i C i C 1 2i

C C J C 1 2i C i C 1 3i

..................

C C 1 ki..................

= + = + ∗ = ∗ +

= + = + + ∗ = ∗ +

= + = + + ∗ = ∗ +

= ∗ +

∗n 0C = C 1+ ni

O juro periódico (Jk) será constante ao longo do processo:

J1 = J2 = J3 = ……= Jk =….. = Jn = C0 * i

Os juros totais (JT) do processo de capitalização serão:

n

T simples 0i 1

J J C i n=

= = ∗ ∗∑

0 1 2 n

C0 C1=C0+Jsimples C2=C1+Jsimples Cn=Cn-1+Jsimples

CAPITALIZAÇÃO


Exemplo 4

Um capital de 10.000 € foi aplicado durante 3 anos, em regime de juro dito

simples à taxa anual de 5%.

a) Calcule o juro vencido em cada ano.


c) Calcule a quantia a receber no final do 3º ano.

Resolução

a) J1 = J2 = J3 = C0 * i = 10.000 * 0,05 = 500 €.

b) JT = n * C0 * i = 3 * 500 = 1.500 €

c) C3 = C0 * ( 1 + n * i ) = 10.000 * ( 1 + 3 * 0,05 ) = 11.500 €

2.3 Capitalização em regime de juro composto

Os juros que se vencem periodicamente no final de cada período não são

excluídos do processo de capitalização. Estes juros são adicionados ao capital

vencendo juros nos períodos subsequentes, dando origem à formação daquilo

que na gíria se designa por juros de juros.


O capital acumulado ao longo do processo de capitalização, devido à formação

de juros de juros, evolui de forma exponencial como se pode constatar:

0 1 2 n


CAPITALIZAÇÃO


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1 0 1 0 0 0

22 1 2 1 1 1 0 0

2 33 2 3 2 2 2 0 0

kK 0

C C J C C i C 1 i

C C J C C i C 1 i C 1 i 1 i C 1 i

C C J C C i C 1 i C 1 i 1 i C 1 i..................

C C 1 i..................

= + = + ∗ = ∗ +

= + = + ∗ = ∗ + = ∗ + ∗ + = ∗ +

= + = + ∗ = ∗ + = ∗ + ∗ + = ∗ +

= ∗ +

nn 0C = C * 1+ i

O juro periódico(Jk), igualmente devido à formação de juros de juros,

aumentará também de forma exponencial ao longo do processo:

( )

( )

( )

( )

1 0

2 1 0

23 2 0

k 1K 0

n 1

J C iJ C i C 1 i i

J C i C 1 i i..................

J C 1 i i..................

i

−

−

= ∗

= ∗ = ∗ + ∗

= ∗ = ∗ + ∗

= ∗ + ∗

∗ ∗n 0J = C 1+ i

Os juros totais (JT)do processo de capitalização serão dados por:

nT n 0 0 0J C C C (1 i) C= − = ∗ + −

⎡ ⎤∗ ⎣ ⎦n

T 0J = C (1+i) - 1

O juro de juro periódico (JJk), ou seja, o juro produzido num dado período pela

totalidade dos juros vencidos anteriormente poderá ser determinado da

seguinte forma:

( )

( )

k 1K k simples 0 0JJ J J C 1 i i C i−= − = ∗ + ∗ − ∗

⎡ ⎤⎣ ⎦

k-1K 0JJ = C * 1+ i - 1 * i

Os juros de juros totais (JJT) produzidos durante todo o processo de

capitalização poderão ser determinados da seguinte forma:

CAPITALIZAÇÃO


( )

T T simplesJJ J J= −

⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

nT 0 0JJ = C * 1+ i - 1 - C * n * i

Exemplo 4

Um capital de 20.000 € foi aplicado durante 5 anos, em regime de juro composto

à taxa anual de 2%.

a) Calcule o capital acumulado no final do 5º ano.


c) Calcule os juros de juros totais vencidos.

d) Calcule os juros de juros do 3º e 4º anos.

Resolução

a) C5 = C0 * ( 1 + i )n = 20.000 * ( 1 + 0,02 )5 = 22.081,62 €

b) JT = Cn - C0 = 22.081,62 – 20.000 = 2.081,62 €.

c) JJT = JT - n * Jsimples = 2.081,62 – 5 * 20.000 * 0,02 = 81,62 €

d) JJ3 + JJ4 = C0 * [( 1 + i )2 – 1 ] * i + C0 * [( 1 + i )3 – 1 ] * i

JJ3 + JJ4 = 20.000 * [( 1 + 0,02 )2 – 1 ] * 0,02 + 20.000 * [( 1 + 0,02 )3 – 1 ] * 0,02

JJ3 + JJ4 = 40.64 €

2.4 Comparação prática dos diferentes regimes de capitalização

Exemplo 5

Admitamos um empréstimo de 3.000 €, negociado à taxa anual de 6%, por um

período de 5 anos. Para cada um dos regimes típicos, qual seria o montante a

receber no final de cada um dos anos?

CAPITALIZAÇÃO


Resolução

1. Regime simples puro

ANO Capital no início do período

Juros (6%)

Capital acumulado no fim do período Recebimento

1 3.000 180 3.180 180 2 3.000 180 3.180 180 3 3.000 180 3.180 180 4 3.000 180 3.180 180 5 3.000 180 3.180 3.180

2. Regime dito simples


Juros (6%)


1 3.000 180 3.180 0 2 3.000 180 3.360 0 3 3.000 180 3.540 0 4 3.000 180 3.720 0 5 3.000 180 3.900 3.900

3. Regime composto


Juros (6%)


1 3.000,00 180,00 3.180,00 0 2 3.180,00 190,80 3.370,80 0 3 3.370,80 202,25 3.573,05 0 4 3.573,05 214,38 3.787,43 0 5 3.787,43 227,25 4.014,68 4.014,68

CAPITALIZAÇÃO


2.5 Relação entre taxas de juro

Sendo a taxa de juro a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e

o capital acumulado por um capital inicial aplicado durante a unidade de

tempo, podem evidenciar-se algumas relações entre taxas de juro.

Vamos então definir e exemplificar os conceitos de taxas proporcionais, taxas

equivalentes, taxas nominais e taxas efectivas.

Analisaremos também a questão da fiscalidade e a sua influência nas taxas de

juro, abordando para tal os conceitos de taxas brutas e taxas líquidas.

2.5.1 Taxas proporcionais e taxas equivalentes

Taxas proporcionais

Duas taxas de juro, referidas a períodos diferentes, dizem-se proporcionais

quando a razão entre as taxas de juro é igual à razão entre os períodos de

capitalização.

Se considerarmos “m” o número períodos de capitalização que tem cada

período de referência da taxa de juro, então:

(m)

1/m

(m)1/m

iim

i i m

=

= ∗

RELAÇÃO DE PROPORCIONALIDADE

Sendo usual a taxa referir-se ao ano, a uma taxa de juro anual i (m),

corresponderá as seguintes taxas proporcionais:

Diária: (365)

1/365ii365

=

Mensal: (12)

1/12ii12

=

CAPITALIZAÇÃO


Trimestral: (4)

1/4ii4

=

Quadrimestral: (3)

1/3ii3

=

Semestral: (2)

1/2ii2

=

Exemplo 5

Considere uma taxa de juro anual de 10% em que o período de capitalização é

semestral. Determine a respectiva taxa proporcional.

Resolução

(2)

1/2i 0,10i 5%2 2

= = =

Taxas equivalentes

Duas taxas de juro, referidas a períodos diferentes, dizem-se equivalentes

quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo prazo, geram o

mesmo capital acumulado, independentemente do período de referência das

taxas ou do período de capitalização.

Dada a taxa de juro anual i e uma taxa de juro sub-anual i1/m então:

m1/m

1m

1/m

(1 i) (1 i )

(1 i ) (1 i)

+ = +

+ = +

RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Exemplo 6

Dada a taxa de juro anual de 10%, determine as respectivas taxas equivalentes

semestral, quadrimestral, trimestral, mensal e diária.

CAPITALIZAÇÃO


Resolução

1 12 2

1/2 1/2 1/2

1 13 3

1/3 1/3 1/3

1 14 4

1/4 1/4 1/4

1 112 12

1/12 1/12 1/12

(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 4,881%

(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 3,228%

(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 2, 411%

(1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 0,797%

(1

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

+1 1

365 3651/365 1/365 1/365i ) (1 i) (1 i ) (1 0,10) i 0,026%= + ⇔ + = + ⇔ =

2.5.2 Taxas nominais e taxas efectivas

Taxas nominais

Uma taxa nominal é uma taxa contratual (declarada), mas que não é a

efectivamente praticada. Na medida em que as taxas de juro normalmente

declaradas são anuais será utilizada a seguinte notação:

(2)

(3)

(4)

(6)

i Taxa anual nominal de capitalização semestral.

i Taxa anual nominal de capitalização quadrimestral.

i Taxa anual nominal de capitalização trimestral.

i Taxa anual nominal de capitalização b

=

=

=

=

(12)

(365)

imestral.

i Taxa anual nominal de capitalização mensal.

i Taxa anual nominal de capitalização diária.

=

=

CAPITALIZAÇÃO


Taxas efectivas

Uma taxa efectiva é uma taxa referida ao período de capitalização e com a qual

se calcula o valor dos juros. Para nos referirmos a taxas efectivas considerar-se-

á a seguinte notação:

1/2

1/3

1/4

1/6

1/12

1/365

i Taxa anual efectiva.

i Taxa semestral efectiva.

i Taxa quadrimestral efectiva.

i Taxa trimestral efectiva.

i Taxa bimestral efectiva.

i Taxa mensal efectiva.

i Taxa diária efectiva.

=

=

=

=

=

=

=

Exemplo 6

Dada a taxa de juro anual nominal de capitalização semestral de 10%,

determine:

a) A taxa de juro anual efectiva.

b) A taxa de juro quadrimestral efectiva.

c) A taxa de juro anual nominal de capitalização mensal.

d) A taxa de juro anual nominal de capitalização trimestral.

Resolução

(2)

1/2

2 21/2

i 0,10a) i 5%2 2

(1 i) (1 i ) (1 i) (1 0,05) i 10, 25%

= = =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

CAPITALIZAÇÃO


3 31/3 1/3 1/3

12 121/12 1/12 1/12

(12)1/12

4 41/4 1/4 1/4

(4)

b) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 3, 306%

c) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 0,816%

i i 12 0,00816 12 9,792%

d) (1 i ) (1 i) (1 i ) (1 0,1025) i 2, 47%

i

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

= ∗ = ∗ =

+ = + ⇔ + = + ⇔ =

1/4i 4 0,0247 4 9,88%= ∗ = ∗ =

2.5.3 Taxas brutas e taxas líquidas

De acordo com o sistema fiscal vigente em Portugal, os juros auferidos em

aplicações financeiras são normalmente sujeitos a imposto sobre o rendimento.

Devido a este facto, a taxa de juro efectivamente auferida por um investidor é

normalmente inferior à taxa de juro anunciada.

Considere-se o seguinte exemplo: Um banco oferece para uma aplicação a 1 ano

uma taxa de juro anual de 2%, vencendo-se os juros semestralmente. Se o valor

inicial da aplicação for 10.000 €, qual será o capital acumulado no final da

aplicação, sabendo que os juros estão sujeitos a imposto sobre o rendimento à

taxa de 20%?

(2)

1/2

1º sem.

1º sem.

2º sem.

2º sem.

i 0,02i 1%2 2

J 10.000 0,01 100 € IRS 100 0, 2 20 €

C 10.000 (100 20) 10.080 €

J 10.080 0,01 100,8 € IRS 100,8 0, 2 20,16 €

C 10.080 (100,8 20,16) 10.160,64 €

= = =

= ∗ = ⇒ = ∗ =

= + − =

= ∗ = ⇒ = ∗ =

= + − =

CAPITALIZAÇÃO


A questão que se levanta é: Qual a taxa de juro semestral efectivamente

auferida naquela aplicação, isto é, a taxa de juro semestral líquida de impostos?

A resposta poderá ser obtida através da seguinte expressão:

21/2(líquida) 1/2(líquida)10.000 (1 i ) 10.160,64 € i 0,8%∗ + = ⇒ =

Repare-se que a taxa encontrada poderia ser mais facilmente determinada se a

taxa i1/2 = 1% fosse considerada líquida da taxa de imposto sobre o rendimento,

isto é:

1/2(líquida)i 0,01 * (1 0,2) 0,8%= − =

Assim, se considerarmos que:

B

L

i taxa de juro anunciada (bruta)t taxa de imposto sobre o rendimentoi taxa de juro líquida de imposto sobre o rendimento

=

=

=

poder-se generalizar a relação entre taxas brutas e líquidas:

L Bi i (1 t)= ∗ −

Do exemplo considerado, poder-se-ia ter determinado de forma mais expedita o

capital acumulado no final da aplicação se fosse utilizada a taxa de juro líquida

de impostos e não a bruta:

22º sem.C 10.000 (1 0,008) 10.160,64 €= ∗ + =

ACTUALIZAÇÃO


3. ACTUALIZAÇÃO

3.1. Conceitos genéricos

Ao cálculo do valor actual de um capital que se vence no futuro chama-se, como

já se viu, actualização. Assim, do ponto de vista financeiro, deverá ser

indiferente para o credor receber o seu crédito na data de vencimento ou o seu

valor actual em data antecipada. Analogamente para o devedor terá de ser

indiferente pagar a sua dívida na data em que se vence ou o seu valor actual em

data antecipada.

Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos, então

o seu valor actual será dado por:

Cn-t = Cn – D

Em que D é o desconto.

O desconto é portanto o preço pago pela disponibilidade antecipada de um

dado capital por um certo lapso de tempo:

D = Cn – Cn-t

Tal como na capitalização, consoante o regime de juros, simples ou composto,

utilizado na determinação do valor actual, teremos diferentes modalidades de

desconto que passaremos de seguida a analisar.

0 n-t n

Cn-t Cn

t

ACTUALIZAÇÃO


3.2. Desconto em regime de juros simples

Em regime de juros simples vamos abordar dois tipos de desconto: o desconto

por dentro, também conhecido por desconto racional e o desconto por fora

também designado por desconto comercial.

Desconto por dentro

De acordo com esta modalidade de desconto, o cálculo do valor actual de um

capital futuro é obtido por aplicação do regime de capitalização dito simples.

Considerando um capital Cn, cujo vencimento será antecipado t períodos à taxa

de juro i , então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de desconto por

dentro, será dado por:

( )( )n n-tC = C * 1+ t * i ⇒ n

n-tCC =

1+ t * i

Mas por definição de desconto:

( ) ( ) ( )

nn n-t n n n

C 1 t * iD = C - C = C - = C * 1 - = C *1+ t * i 1+ t * i 1+ t * i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A este desconto chamar-se-á desconto por dentro (DD). Então:

( )⎡ ⎤∗

∗ ⎢ ⎥∗⎣ ⎦n

t iDD = C1+ t i

O exemplo seguinte permite-nos sistematizar o conceito de actualização de

acordo com o regime de desconto por dentro.

Exemplo 7

Considere que o Sr. António Costa detém crédito de 10.000 € que se vence daqui

a 4 meses. Por necessitar de liquidez imediata propôs ao credor a liquidação da

dívida antecipadamente, tendo este aceite. Sabendo que a referida dívida foi

ACTUALIZAÇÃO


descontada segundo as regras do regime de desconto por dentro à taxa de juro

anual de 5%, determine:

a) O valor recebido pelo Sr. António Costa.

b) O valor do desconto por dentro.

Resolução

a) 010.000C = = 9.836,07 €

41+ * 0,0512

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

4 0,0512DD = 10.000 - 9.836,07 = 10.000 = 163,93 €

41+ * 0,0512

∗∗⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3.3. Desconto por fora


capital futuro é obtido também por aplicação do regime de capitalização dito

simples. A diferença, face ao regime de desconto por dentro, reside no facto de

que agora os juros são determinados sobre o capital futuro e não sobre o valor

actual.

No desconto por fora a taxa de desconto1 é aplicada sucessiva e

cumulativamente em repetidos descontos. Primeiro desconta-se o valor

nominal (valor final) para o início do último período, depois desconta-se o valor

nominal para o início do penúltimo período e assim sucessivamente até se

chegar à data do momento actual.

1 Constante de proporcionalidade que reflecte o desconto “sofrido” por um capital unitário

num tempo unitário.

ACTUALIZAÇÃO



de desconto d, então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de

desconto por fora, será dado por:

( )( )( )

( )

n-1 n n n

n-2 n-1 n n

n-3 n-2 n n

C = C - C * d = C 1 - d

C = C - C * d = C 1 - 2 d

C = C - C * d = C 1 - 3 d......................

∗

∗ ∗

∗ ∗

n-t nC = C * 1 - t * d

Por definição de desconto por fora teremos:

( )n n-t n nDF = C - C = C - C 1 - t d∗ ∗

nDF = C * t * d

Como facilmente se conclui da dedução do desconto por fora este regime é

puramente convencional, não havendo qualquer teoria capaz de o legitimar.

Este regime, sendo utilizado apenas para prazos muito curtos, tem grande

aplicabilidade na actividade comercial sendo mesmo o mais aplicado na

actividade bancária.

A sua concepção é teoricamente fraca, havendo situações em que a sua

aplicação conduz a um valor actual absurdo. Repare-se que se

n t1t então C 0d −≥ ≤ , o que não faz sentido. Por esta razão, a modalidade do

desconto por fora só é utilizada em operações de muito curto prazo.

Vejamos então um exemplo que permitirá sistematizar o conceito de

actualização de acordo com o desconto por fora.

Exemplo 8

A empresa CFIN, SA. possui um crédito no valor de 20.000 € que se vence daqui

a 2 anos. Necessidades de tesouraria levam-na a propor ao seu devedor o

desconto por fora imediato, com vista a tornar disponível o seu valor actual.

ACTUALIZAÇÃO


Sabendo que a referida dívida foi descontada à taxa de desconto anual de 10%,

determine:

a) O valor do desconto por fora.

b) O valor recebido pela empresa CFIN.

Resolução

a) DF = 20.000 2 0,10 = 4.000 €∗ ∗

b) 0C = 20.000 - 4.000 = 20.000 (1 - 2 0,10) = 16.000 €∗ ∗

3.4. Desconto em regime de juros composto


capital futuro é obtido por aplicação do regime de capitalização composta.


de juro i , então o seu valor actual Cn-t, de acordo com o regime de desconto

composto, será dado por:

( ) ( )tn n-tC = C * 1+i ⇒ -t

n-t nC = C * 1+ i

Tendo em linha de conta a definição de desconto:

( )( )

( )( )

tt

n n-t n n n nt t1+ i 11D = C - C = C - C 1+ i = C * 1 - = C *

1+ i 1+ i− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

∗ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A este desconto chamar-se-á desconto composto (DC). Então:

( )( )

t

t1⎡ ⎤−

∗ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n1+ iDC = C

1+ i

O exemplo seguinte permite-nos sistematizar o conceito de actualização de

acordo com o regime de desconto composto.

ACTUALIZAÇÃO


Exemplo 9

Considere que o Sr. José Moreira detém crédito de 50.000 € que se vence daqui a

2 anos. Por necessitar de liquidez imediata propôs ao devedor a liquidação da

dívida antecipadamente, tendo este aceite. Sabendo que a referida dívida foi

descontada segundo as regras do regime de desconto composto à taxa de juro

semestral de 5%, determine:

a) O valor recebido pelo Sr. José Moreira.

b) O valor do desconto composto.

Resolução

a) -40C = 50.000 (1+0,05) 41.135,12 €∗ =

b) ( )( )

4

41+ 0,05 1

DC = 50.000 - 41.135,12 = 50.000 = 8864,88 €1+ 0,05

−∗

3.5. Comparação das diversas modalidades de desconto

A questão que se pode colocar é: qual dos três descontos estudados conduz a

um menor valor actual? Para responder à questão considere-se o seguinte

exemplo:

Exemplo 10

Considere-se um capital futuro (valor nominal) de 1.000 € e uma taxa de juro

(ou taxa de desconto) de 10% ao ano. Calcule o seu valor actual se faltarem 3

meses, 6 meses, 1 ano, 2 anos, 5 anos e 10 anos para o seu vencimento.

ACTUALIZAÇÃO


Resolução

Tempo até ao vencimento

Desconto por Dentro

Desconto por Fora

Desconto Composto

3 meses 975,61 € 975,00 € 976,45 €6 meses 952,38 € 950,00 € 953,46 €

1 ano 909,09 € 900,00 € 909,09 €2 anos 833,33 € 800,00 € 826,45 €5 anos 666,67 € 500,00 € 620,92 €10 anos 500,00 € 0,00 € 385,54 €

A análise do quadro apresentado permite tirar as seguintes principais

conclusões:

As três modalidades de desconto proporcionam valores actuais

relativamente aproximados para fracções do ano;

Qualquer que seja o prazo de antecipação do vencimento de um capital, a

modalidade de desconto que produz um valor actual mais baixo é a do

desconto por fora;

Para prazos de antecipação do vencimento de um capital inferiores ao ano,

a modalidade de desconto que produz um valor actual mais alto é a do

desconto composto;

Para prazos de antecipação do vencimento de um capital superiores ao ano,

a modalidade de desconto que produz um valor actual mais alto é a do

desconto por dentro;

Para prazos de antecipação do vencimento de um capital longos, a

modalidade de desconto por fora produz, como já tínhamos visto, um valor

actual absurdo;

ACTUALIZAÇÃO


3.6. Desconto bancário

Quando se definiu o desconto por fora disse-se que este tem grande

aplicabilidade na actividade comercial sendo mesmo muito aplicado na

actividade bancária.

Existe então um tipo de desconto, a que chamaremos de desconto bancário, de

letras e outros títulos de crédito, que se calcula com base no conceito de

desconto por fora.

Conceitos genéricos

O desconto bancário é, portanto, o preço pago a uma instituição bancária para

obter uma determinada quantia antecipadamente em relação ao seu

vencimento.

Nas modernas economias as entidades que fornecem bens e/ou serviços

proporcionam determinados prazos de pagamento. Isto é, o pagamento da

venda não acontece simultaneamente com a sua realização.

Mas, por vezes a entidade fornecedora tem necessidade de realizar o montante

da venda por questões de fundo de maneio, investimento, enfim para resolver

problemas de liquidez ou, ainda, por razões de segurança, na medida em que a

titulação do crédito por um título executivo facilita uma posterior cobrança

difícil.

Para tal emite um título de crédito.

Nesse título fica registado que o comprador deverá pagar uma certa quantia ao

fim de determinado prazo.

Mas a simples posse do título não dá liquidez ao credor. Para que ele possa

dispor imediatamente do capital terá de propor a uma instituição bancária a

negociação do título. Em caso de aprovação da operação, a instituição dará ao

fornecedor uma quantia pelo título e ao fim do prazo estipulado o devedor

liquidará o titulo junto do banco que adiantou o capital.

ACTUALIZAÇÃO


Na actividade comercial o título mais usado é a letra.

Pode-se então definir a letra como um título de crédito pelo qual uma entidade

(pessoa ou organização) dá ordem a outra para pagar determinada quantia, no

fim de um certo período de tempo a quem possuir o título.

A entidade que ordena o pagamento denomina-se sacador, a entidade que tem

de proceder ao pagamento é o sacado e o legítimo possuidor do título (o

portador) é o tomador ou endossado. Ao prazo estipulado chama-se

vencimento da letra.

Sendo a letra um título emitido pelo sacador, não basta a sua emissão para que

o sacado seja obrigado a pagar o título. Para que tal obrigação exista de facto,

em termos legais, tem de o sacado declarar que realmente deve aquela quantia.

Esta declaração de dívida chama-se aceite da letra.

Os principais intervenientes numa letra são portanto: Sacador, Sacado

(Aceitante) e o Tomador.

No entanto pode suceder que o sacado não tenha grande aceitação junto do

tomador e/ou do sacador não oferecendo garantia de crédito suficientes para a

emissão, endosso ou desconto da letra.

Para tal o sacador exige que haja uma outra entidade (pessoa ou organização)

que preste o seu aval ao sacado.

Esta entidade, no caso de incumprimento por parte do sacado, terá de substitui-

lo nas obrigações que assumiu perante o sacador.

Assim os intervenientes duma letra podem ser além do sacador, do sacado e do

tomador, o avalista.

Uma letra pode ser transferida, tendo por isso a capacidade de poder ser usada

como meio de pagamento.

A esta transferência da letra chamaremos endosso.

Pode ser endossada sucessivamente e em qualquer ponto da cadeia de endossos

pode ser pedido pelo novo tomador a prestação de um aval adicional.

ACTUALIZAÇÃO


Assim os intervenientes numa letra podem então ser:

No dia do vencimento o portador apresenta a letra ao sacado para liquidação.

No caso de o sacado não proceder ao pagamento do título, a letra deve ser

apresentada a protesto pelo sacador.

O protesto de uma letra, que deve ser feito em Cartório Notarial, é uma figura

jurídica prevista e legislada em articulação específica do Código Comercial.

Negociação do desconto bancário e produto líquido do desconto

A letra é, como já se viu, um título de crédito com capacidade para circular

entre diversas entidades.

Em qualquer ponto da circulação, a que chamamos cadeia de endossos, pode o

portador da letra tomar três atitudes.

1. Guardar a letra até ao seu vencimento, para que nessa data lhe seja pago

o valor nominal;

2. Transferir a letra, endossando-a a um credor, usando-a portanto como

meio de pagamento;

3. Endossar a letra a um banco, isto é, descontando o seu valor nominal,

realizando imediatamente o valor do crédito que a letra representava.

O que nos interessa agora analisar é o processo que conduz a realização

imediata do capital da letra, por desconto numa instituição bancária.

A operação de desconto traz vantagens para o portador e para o banco.

Avalista

Sacador

Sacado

1º Tomador 1º Endossante

1º Tomador 1º Endossante

Avalista

ACTUALIZAÇÃO


Para o possuidor da letra a vantagem reside no facto de lhe permitir realizar

imediatamente um capital que só estaria disponível ao fim de algum tempo, isto

é, possibilita-lhe a antecipação de um vencimento.

O banco tem a possibilidade de ganhar a diferença entre o capital que cede ao

portador da letra e o que irá receber do sacado no seu vencimento.

Quando uma entidade necessita de descontar uma letra inicia-se um processo

negocial entre o banco e o portador da letra.

Assim o portador da letra deverá propor ao banco o desconto da letra

preenchendo para tal um impresso próprio e anexando o respectivo título de

crédito.

No caso do banco responder afirmativamente ao pedido de desconto solicitado

pelo portador da letra, ser-lhe-á creditado na sua conta o valor nominal da letra

deduzido dos encargos de desconto.

Isto é, o portador suportará os custos da negociação da letra, que representam

no fundo o preço que ele paga para ter o montante da letra disponível

antecipadamente, relação ao vencimento acordado.

Os encargos de desconto são constituídos basicamente por:

Juros (J) - montante de juros relativos ao período de antecipação, que vai

desde a data de desconto até a data de vencimento (como legalmente se

concedem dois dias úteis de tolerância no pagamento de uma letra, para

efeitos de cálculos de juros somam-se dois dias úteis ao prazo de

antecipação). A taxa de juro incide sobre o valor nominal da letra, pois em

desconto bancário utiliza-se o desconto por fora.

VN Valor nominal da letra.n 2J VN i i Taxa de juro anual nominal acordada.360

n Nº de dias de antecipação do vencimento.

−

+= ∗ ∗ −

−

Comissão (C) - remuneração dos serviços da instituição de crédito que

negoceia o desconto. Este valor é calculado com base numa taxa que incide

ACTUALIZAÇÃO


sobre o valor nominal da letra e pode ser negociado com a instituição

bancária. A taxa negociada depende dos locais de desconto e pagamento do

título. Será superior se não forem coincidentes.

C VN c c Taxa da comissão bancária.= ∗ −

Imposto (I) - imposto com que o Estado tributa estas operações de desconto.

Incide sobre os juros e a comissão bancária.

s sI (J C) t t Taxa de imposto de selo.= + ∗ −

Diversos (D) - despesas diversas cobradas pelos serviços prestados pelo

banco. Estas despesas podem englobar rubricas tais como portes, telefones,

telegramas, ...

O valor do desconto bancário (DB) será então a soma de todos os encargos de

desconto:

( )

s

s

DB J C I D

n 2 n 2DB VN i VN c VN i VN c t D360 360

n 2DB VN i c 1 t D360

= + + +

+ +⎛ ⎞= ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎡ ⎤⎛ ⎞= ∗ ∗ + ∗ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Então o valor creditado na conta do portador da letra, a que chamaremos

produto líquido do desconto (PLD), será a diferença entre o valor nominal da

letra e o desconto bancário:

( )

( )

s

PLD VN DB

n 2PLD VN VN i c 1 t D360

= −

+⎡ ⎤⎛ ⎞= − ∗ ∗ + ∗ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

sn + 2PLD = VN * 1 - i * + c * 1+ t - D360

ACTUALIZAÇÃO


Taxa anual efectiva da operação de desconto bancário

Sendo o montante do desconto bancário o preço pago pelo portador de um

título de crédito pela antecipação de um vencimento, deve-se então calcular

qual é a taxa efectivamente suportada na operação de desconto bancário.

Esta taxa será calculada com base no valor realmente recebido, o produto

líquido do desconto, o valor nominal da letra e o tempo de antecipação da

realização de fundos:

n365

aVN PLD (1 i )= ∗ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

365n

aVNi = - 1PLD

Exemplo 11

Um comerciante, portador de uma letra de 2.000 €, por necessitar de liquidez,

propôs ao banco o seu desconto imediato quando faltavam 90 dias para o seu

vencimento. Sabendo que as condições negociadas com o banco foram:

Taxa de juro anual nominal: 8%

Comissão bancária: 0,4%

Taxa de imposto de selo: 4%

Portes: 5 €

determine:

a) O montante que o banco creditará na conta do comerciante.

b) A taxa anual efectiva da operação de desconto.

ACTUALIZAÇÃO


Resolução

a) ( )90 2PLD 2.000 1 0,08 0,004 1 0,04 5 1.944,74 €360+⎡ ⎤⎛ ⎞= ∗ − ∗ + ∗ + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

b) 36590

a2.000i = - 1 = 12,03%

1.944,74⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

RENDAS


4. RENDAS

4.1. Conceitos genéricos

Renda é uma sucessão de capitais (Tk) que se vencem periodicamente ao longo

do tempo, sendo que, o espaço que medeia o vencimento de capitais

consecutivos é constante.

Exemplo de uma renda: Um jovem casal, vai comprar uma casa com um

financiamento bancário de 50.000 Euros, contratado à taxa de 6%, a amortizar em 30

anos, mediante o pagamento de prestações mensais.

O negócio anterior configura uma situação de renda pois as entregas são em

datas conhecidas e com intervalos de tempos, entre elas todos iguais.

Ao intervalo de tempo entre cada vencimento, isto é, o tempo que vai de um

vencimento de capital até ao vencimento imediatamente a seguir, chamamos

período da renda.

Cada um dos capitais que vence periodicamente é o termo de renda.

4.2. Classificação das Rendas

De acordo com as diferentes situações em que se pode negociar uma renda,

poderemos classificar as rendas segundo quatro critérios:

Variabilidade dos seus termos:

Renda de termos constantes se todos os termos são iguais.

Renda de termos variáveis se ao longo do tempo os termos forem diferentes.

0 1 2 3 4 n-1 n

T1 T2 T3 T4 Tn-1 Tn

RENDAS


Número de termos:

Renda Temporária se o número de termos for finito.

Renda Perpétua se o número de termos for ilimitado.

Período de referência da taxa de juro:

Renda Inteira Se o seu período coincide com o período de referência da taxa de juro.

Renda Fraccionada Se o seu período não coincide com o período de referência da taxa de juro.

Existência de período de diferimento:

Renda Imediata Quando não existe um período de diferimento.

Renda Diferida Quando existe um período de diferimento.

Vencimento dos termos:

Renda Postcipada Os termos de renda vencem-se no final de cada período de renda.

Renda Antecipada Os termos de renda vencem-se no início de cada período de renda.

Finalidade:

Renda de Acumulação Se o objectivo da constituição da renda for obter um valor acumulado no futuro.

Renda de Rendimento Se o objectivo da constituição da renda for obter um rendimento periódico no futuro.

Renda de Amortização Se o objectivo da constituição da renda for amortizar um valor actual no futuro.

RENDAS


4.3. Rendas temporárias inteiras

4.3.1. Rendas imediatas de termos constantes e postcipados

Esquematicamente esta renda pode ser representada por:

Para determinar o valor actual da renda (C0) temos de actualizar todos os

termos da renda para o momento inicial (momento 0).

1 2 3 n0

1 2 3 n0

-1

0

Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)

C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)

C T (1 i)

− − − −

− − − −

−

⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

= ∗ + + + + + + + +

= ∗ +

n i

n1

1

n

0

n i0

1 (1 i)1 (1 i)

1 (1 i)C T i

C T

−

−

−

− +∗− +

− += ∗

= ∗

a

a

A expressão, a que atribuímos a designação n i a , permite calcular o valor

actual de uma renda com n termos iguais, postcipados e unitários à taxa de juro

i.

Exemplo 12

Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e postcipados de 350 €

cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a um ano? Considere uma taxa de

juro anual de 5%.

0 1 2 3 4 n-1 n

T T T T T T

RENDAS


Resolução

20

n i 20 5%0 1 (1 0,05)C T 350 350 4.361,77 €0,05

−− += ∗ = ∗ = ∗ =a a

Para determinar o valor futuro da renda (Cn) temos de capitalizar todos os

termos da renda para o momento final (momento n).

n 1 n 2 n 3n

n 1 n 2 n 3n

-1

n 1n


C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T

C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... 1

1 (1 i)C T (1 i)

− − −

− − −

−

⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= ∗ + + ∗ + + ∗ + + +

= ∗ + + + + + + +

− += ∗ + ∗

n i

n

1

n n

n 1

n

n

n in

1 (1 i)

(1 i) 1 (1 i)C T (1 i) 1 (1 i)

(1 i) 1C T i

C T

−

−

−

−

− +

+ − += ∗ ∗+ − +

+ −= ∗

= ∗

s

s

A expressão, a que atribuímos a designação n i s , permite calcular o valor

futuro de uma renda com n termos iguais, postcipados e unitários à taxa de juro

i.

Exemplo 13

Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e postcipados de 250 €

cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a um ano? Considere uma taxa de

juro anual de 5%.

RENDAS


Resolução

10

n i 10 5%10 (1 0,05) 1C T 250 250 3.144,47 €0,05+ −= ∗ = ∗ = ∗ =s s

4.3.2. Rendas imediatas de termos constantes e antecipados




(n 1)1 2 30

(n 1)1 2 30

-1Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)

C T T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C T 1 (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)

− −− − −

− −− − −⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= + ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

= ∗ + + + + + + + + +

n i

n

0 1

n

0

n i0

1 (1 i)C T1 (1 i)

1 (1 i)C T (1 i)i

C T (1 i)

−

−

−∗

∗

− += ∗− +

− += ∗ +

= ∗ +

a

a

Exemplo 14

Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e antecipados de 350 €

cada sabendo que o 1º termo vence-se hoje? Considere uma taxa de juro anual

de 5%.

0 1 2 3 4 n-1 n

T T T T T T

RENDAS


Resolução

20

n i 20 5%0 1 (1 0,05)C T (1 i) 350 (1 5%) 350 (1 0,05) 4.579,86 €0,05

−− += ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =a a



n n 1 n 2n

n n 1 n 2n

-1

nn


C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)

1 (C T (1 i)

− −

− −⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

= ∗ + + + + + + + +

−= ∗ + ∗

n i

n

1

n n

n 1

n

n

n in

1 i)1 (1 i)

(1 i) 1 (1 i)C T (1 i)(1 i) 1 (1 i)

(1 i) 1C T (1 i)i

C T (1 i)

−

−

−

−

+− +

+ − += ∗ ∗ ∗ ++ − +

+ −= ∗ ∗ +

= ∗ ∗ +

s

s

Exemplo 15

Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e antecipados de 250 €

cada sabendo que o 1º termo vence-se hoje? Considere uma taxa de juro anual

de 5%.

Resolução

10

n i 10 5%10 (1 0,05) 1C T (1 i) 250 (1 5%) 250 (1 0,05) 3.301,70 €0,05+ −= ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =s s

RENDAS


4.3.3. Rendas diferidas de termos constantes e postcipados


Para determinar o valor actual da renda (C0) temos que capitalizar C0 para o

momento m e actualizar todos os termos da renda para o momento m.

m 1 2 3 n0

m 1 2 3 n0

-1Soma de n termos em progressão geométrica com razão (1 i)

C (1 i) T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C (1 i) T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)

− − − −

− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

∗ + = ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

∗ + = ∗ + + + + + + + +

n i

nm 1

0 1

nm

0

mn i0

1 (1 i)C (1 i) T (1 i)1 (1 i)

1 (1 i)C (1 i) T i

C T (1 i)

−−

−

−

−

− +∗ + = ∗ + ∗− +

− +∗ + = ∗

= ∗ ∗ +

a

a

Exemplo 16

Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e postcipados de 350 €

cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 4 anos? Considere uma taxa de

juro anual de 5%.

Resolução

Prazo de diferimento ⇒ m = 3 anos

0 m m+1 m+2 m+n-1 m+n

T T T T

Período de diferimento

RENDAS


m 3n i 20 5%0

203

0

C T (1 i) 350 (1 5%)

1 (1 0,05)C 350 (1 0,05) 3.767,86 €0,05

− −

−−

= ∗ ∗ + = ∗ ∗ +

− += ∗ ∗ + =

a a



n 1 n 2 n 3n

n 1 n 2 n 3n

-1

n 1n


C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T

C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... 1

1 (1 i)C T (1 i)

− − −

− − −

−

⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= ∗ + + ∗ + + ∗ + + +

= ∗ + + + + + + +

− += ∗ + ∗

n i

n

1

n n

n 1

n

n

n in

1 (1 i)

(1 i) 1 (1 i)C T (1 i) 1 (1 i)

(1 i) 1C T i

C T

−

−

−

−

− +

+ − += ∗ ∗+ − +

+ −= ∗

= ∗

s

s

Exemplo 17

Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e postcipados de 250 €


juro anual de 10%.

Resolução


RENDAS


10n i 10 10%13

(1 0,10) 1C T 250 250 3.984,36 €0,10+ −= ∗ = ∗ = ∗ =s s

4.3.4. Rendas diferidas de termos constantes e antecipados


Para determinar o valor actual da renda (C0) temos que capitalizar C0 para o

momento m e actualizar todos os termos da renda para o momento m.

m 1 2 n0

m 1 2 n0

-1

m0


C (1 i) T T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C (1 i) T 1 (1 i) (1 i) ......... (1 i)

1 (C (1 i) T

− − −

− − −⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

∗ + = + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

∗ + = ∗ + + + + + + +

−∗ + = ∗

n i

n

1

nm

0

m 1n i0

1 i)1 (1 i)

1 (1 i)C (1 i) T (1 i)i

C T (1 i)

−

−

−

− +

∗

+− +

− +∗ + = ∗ +

= ∗ ∗ +

a

a

Exemplo 18

Qual o valor actual de uma renda de 20 termos anuais e antecipados de 500 €


juro anual de 10%.

0 m m+1 m+2 m+n-1 m+n

T T T T

Período de diferimento

RENDAS


Resolução


m 1 4n i 20 10%0

204

0

C T (1 i) 500 (1 10%)

1 (1 0,10)C 500 (1 0,10) 2.907,44 €0,10

− + −

−−

= ∗ ∗ + = ∗ ∗ +

− += ∗ ∗ + =

a a



n n 1 n 2n

n n 1 n 2n

-1

nn


C T (1 i) T (1 i) T (1 i) ......... T (1 i)

C T (1 i) (1 i) (1 i) ......... (1 i)

1 (C T (1 i)

− −

− −⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

= ∗ + + ∗ + + ∗ + + + ∗ +

= ∗ + + + + + + + +

−= ∗ + ∗

n i

n

1

n n

n 1

n

n

n in

1 i)1 (1 i)

(1 i) 1 (1 i)C T (1 i)(1 i) 1 (1 i)

(1 i) 1C T (1 i)i

C T (1 i)

−

−

−

−

+− +

+ − += ∗ ∗ ∗ ++ − +

+ −= ∗ ∗ +

= ∗ ∗ +

s

s

Exemplo 19

Qual o valor futuro de uma renda de 10 termos anuais e antecipados de 1.000 €


juro anual de 7%.

RENDAS


Resolução


10

n i 10 7%14 (1 0,07) 1C T (1 i) 1.000 (1 7%) 1.000 (1 0,07) 14.783,60 €0,07+ −= ∗ ∗ + = ∗ ∗ + = ∗ ∗ + =s s

4.4. Rendas temporárias fraccionadas

Uma das classificações de rendas desenvolvida no ponto 4.2. assentava na

relação entre o período da taxa de juro e o período da renda. No caso desses

dois períodos serem coincidentes tratava-se de uma renda inteira.

Por oposição podemos então definir uma renda temporária fraccionada como

uma sucessão de um número limitado de capitais que se vencem

periodicamente ao longo do tempo em que o período da taxa de juro é diferente

do período da renda.

O período da taxa será portanto igual a x períodos da renda. Para o caso

particular de x = 1 temos uma renda inteira.

Por exemplo se uma renda semestral for avaliada a uma taxa anual teremos

x = 2, isto é o período da taxa é igual a dois períodos da renda.

A solução que será utilizada para resolver o assincronismo entre o período da

taxa de juro e o período da renda consiste em utilizar a taxa de juro

equivalente referenciada ao período da renda. Vejamos o seguinte exemplo:

Exemplo 20

Determine o valor actual e futuro de uma renda de 10 termos trimestrais e

postcipados de 1.000 € cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 1 ano?

Considere uma taxa de juro anual de 10%.

RENDAS


Resolução

Período da renda: trimestre

Período da taxa de juro: ano

Como a renda é trimestral temos que calcular a taxa de juro trimestral

equivalente:

4 1/41/4 1/4(1 i) (1 i ) i (1 0,10) 1 2,411%+ = + ⇒ = + − =

Então, os valores actual e futuro da renda serão:

1/4

1/4

10n i 10 2, 411%0

10n i 10 2, 411%10

1 (1 0,02411)C T 1.000 1.000 8.792,45 €0,02411

(1 0,02411) 1C T 1.000 1.000 11.157,74 €0,02411

−− += ∗ = ∗ = ∗ =

+ −= ∗ = ∗ = ∗ =

a a

s s

Refira-se que a solução utilizada será válida para os vários tipos de rendas

estudados.

4.5. Rendas perpétuas

De acordo com a classificação das rendas desenvolvida no ponto 4.2. uma renda

perpétua é uma sucessão de capitais em número infinito.

Uma renda perpétua pode ser postcipada ou antecipada, imediata ou diferida,

constante ou variável e ainda inteira ou fraccionada.

Iremos somente estudar as rendas perpétuas de termos constantes, imediatas,

postcipadas ou antecipadas por serem aquelas que têm maior aplicabilidade na

actividade comercial e financeira.

RENDAS


4.5.1. Rendas imediatas de termos constantes e postcipados




n

n i

n

0

0

lim1 (1 i)C T i

TCi

→∞

−− += ∗

=

a

Exemplo 21

Determine o valor actual de uma renda perpétua de 10 termos anuais e

postcipados de 1.000 € cada sabendo que o 1º termo vence-se daqui a 1 ano?

Considere uma taxa de juro anual de 10%.

Resolução

01.000C 10.000 €0,10

= =

0 1 2 3 4

T T T T

RENDAS


4.5.2. Rendas imediatas de termos constantes e antecipados




n

n i

n

0

0

lim1 (1 i)C T (1 i)i

TC (1 i)i

→∞

−∗

∗

− += ∗ +

= +

a

Uma última nota para referir que o conceito de valor futuro não tem aplicação,

no caso das rendas perpétuas, pois não há um momento futuro em que seja

pago o último termo de renda.

0 1 2 3 4

T T T T T

AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS


5. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

5.1. Noção e características dos empréstimos financeiros

Um Empréstimo é uma operação financeira através da qual um dado indivíduo

(mutuante) cede a outro (mutuário) uma dada quantia C0, por um dado período

de tempo n, obrigando-se o segundo a devolver essa quantia, de uma só vez ou

em montantes fraccionados, acrescida de juros à taxa convencionada.

Diversos são os critérios de classificação dos empréstimos; o que mais interessa,

porém, no contexto do Cálculo Financeiro diz respeito ao processo de

amortização dos mesmos, ou seja, ao modo como esses empréstimos são

liquidados. São múltiplas as hipóteses neste domínio, sendo que, em qualquer

dos casos, deve observar-se o denominado princípio fundamental da

amortização de empréstimos, o qual estabelece que, à data do contrato, o valor

actual das obrigações do mutuante equivale ao valor actual das obrigações do mutuário.

Tal princípio decorre do próprio princípio da equivalência de capitais que

formalizámos anteriormente, pelo que podemos afirmar que o capital cedido

pelo mutuante é equivalente, no momento do contrato, ao montante dos

reembolsos a efectuar pelo mutuário, à taxa de juro acordada entre ambos.

5.2. Sistemas de amortização de empréstimos

Os vários sistemas de amortização de empréstimos distinguem-se atendendo,

fundamentalmente, a dois factores:

ao modo de reembolso do capital;

ao modo de pagamento dos juros.

No presente contexto, começaremos por tratar dos sistemas de reembolso

único em que o capital é reembolsado de uma só vez, sendo os juros pagos de

acordo com uma das seguintes hipóteses: pagamento periódico de juros ou

pagamento de juros no final.



Também os sistemas reembolsos periódicos em que o capital é amortizado de

modo escalonado ao longo do prazo do empréstimo serão alvo do nosso interesse.

Nos sistemas de amortização com reembolsos periódicos, há sempre lugar à

constituição de uma renda de amortização, uma vez que os termos são

entregues ao mutuante, reduzindo o montante do capital em dívida. Cada

termo da renda (que notaremos por Tk) é composto por duas parcelas:

uma parcela de juro (ou quota de juro), calculada sobre o valor do

capital em dívida no início de cada período, representada por Jk;

e uma parcela de reembolso (ou quota de capital), que amortiza parte do

capital em dívida e que designaremos por Mk.

Deste modo, o termo genérico da renda de amortização referente a um dado

período k será dado por:

k k kT = J + M

No que concerne à evolução das parcelas que compõem o termo da renda,

verificaremos que, ao longo da vida de um dado empréstimo, a parcela Jk será

sempre decrescente, uma vez que o montante do capital em dívida se reduz.

Quanto ao modo de evolução de Tk e de Mk, este é fixado pelas partes, podendo

obedecer a múltiplas hipóteses, à semelhança do que sucede com as rendas de

termos variáveis.

Porém, as situações mais vulgares são aquelas em que:

é constante o termo da renda de amortização (T),

ou é constante a quota de reembolso (M).

No contexto do nosso estudo, trataremos do sistema de reembolsos

progressivos ou sistema de prestações constantes - também conhecido por

sistema francês -, e do sistema de reembolsos constantes ou sistema de

prestações decrescentes, por vezes também designado por sistema italiano.



5.2.1. Sistemas de reembolso único

5.2.1.1. Sistema de reembolso único com pagamento periódico dos juros

Neste sistema, o montante inicial do empréstimo (C0) é liquidado no final do

prazo, sendo o juro, pago período a período, constante e igual a:

1 2 n 0J J J C i= = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ∗

Esquematicamente teremos:

Exemplo 22

A quantia de 5.000 € foi emprestada por um ano, tendo sido acordado que

seriam pagos juros mensais à taxa de 9% ao ano e o que o capital seria

devolvido no final do prazo. Calcule o montante de juro a entregar em cada

mês, o montante total pago a título de juros e o montante a entregar na última

prestação.

Resolução

Como o juro é pago mensalmente e a taxa que nos é indicada é uma taxa anual,

vamos primeiramente, recorrendo a uma relação de proporcionalidade, apurar

a taxa mensal que lhe corresponde. Logo, surge

1/129%i 0,75%12

= =

Uma vez conhecida a taxa mensal, o montante a pagar em cada mês será:

kJ 5.000 0,0075 37, 5 €= ∗ =

O montante total a pagar a título de juros será:

TJ 37, 5 12 450 €= ∗ =

0 1 2 3 4 n

+ C0 - J1 - J2 - J3 - J4 - (Jn+C0)



Por último, o montante a entregar no último período será:

0 nC J 5.000 37, 5 5.037, 50 €+ = + =

5.2.1.2. Sistema de reembolso único com acumulação de juro composto

Nesta possibilidade de amortização, deixa-se “correr” o empréstimo, não se

efectuando qualquer amortização de capital nem qualquer pagamento de juros.

No vencimento, o mutuário entrega ao mutuante o capital inicialmente cedido,

acrescido dos juros vencidos, calculados de acordo com o regime composto.

Assim o valor a liquidar no vencimento do empréstimo será:

( )nn 0C C 1 i= ∗ +

Esquematicamente teremos:

Exemplo 23

Uma empresa contraiu, hoje, um empréstimo no montante de 50.000 €

destinados à aquisição de um novo equipamento fabril. Daqui a quatro anos,

liquidará o montante de capital, bem como os juros acumulados de acordo com

o regime de capitalização composta à taxa anual de 6%. Calcule o montante a

entregar, após os 4 anos, à instituição que realizou o financiamento.

Resolução

O montante a liquidar passados quatro anos será:

( )44C 50.000 1 0,06 63.123,85 €= ∗ + =

0 1 2 3 4 n

+ C0 - C0∗(1+i)n



5.2.2. Sistemas de reembolsos periódicos

5.2.2.1. Sistema de prestações constantes (sistema francês)

Neste sistema, por decisão, é constante o termo da renda de amortização:

1 2 nT T T T= = ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =

Por seu turno, o termo genérico da renda de amortização (prestação) será:

k kT J M= +

Se T é constante por decisão e Jk é decrescente por definição, resulta que as

amortizações de capital, ou seja, os Mk terão de ser, necessariamente, crescentes

em k. Eis porque se designa este processo de amortização por sistema de

amortização progressiva. Em termos esquemáticos, a situação descrita surge

representada do seguinte modo:

O capital mutuado C0 corresponde ao valor actual de uma renda de

amortização com n termos constantes iguais a T. Se recordarmos a expressão

que permite calcular o valor actual de uma renda imediata, de termos

constantes e postecipados teremos:

nn i0

1 (1 i)C T Ti−− += ∗ = ∗a

Esta expressão permite-nos calcular o montante de capital mutuado (C0),

conhecer o valor do termo da renda (T), ou determinar qualquer um dos outros

factores, tal como sucedia no caso das rendas. Aliás, a aplicação dos

conhecimentos adquiridos aquando do estudo das rendas assume, no contexto

da amortização de empréstimos, um carácter recorrente.

No sistema francês pode-se estabelecer uma relação diferentes quotas de

capital. Assim, a relação entre uma dada quota de capital e a quota de capital

imediatamente anterior será dada por:

k k 1 k 1M M M i− −= + ∗

0 1 2 3 4 n-1 n

+ C0 - T - T - T - T - T - T



Em cada período, a quota de capital surge acrescida do montante de juros que

deixam de ser pagos, isto é, Mk-l × i. Sendo o montante dos juros pagos em cada

período k calculados sobre o montante do capital em dívida no início desse

período, esse capital diminui em Mk-l, uma vez que foi essa a amortização de

capital efectuada no período anterior.

Pondo em evidência, vem:

( )k k 1M M 1 i−= ∗ +

Podemos generalizar, estabelecendo a relação existente entre uma dada quota

de capital k+m e uma outra quota de capital k:

( )mk m kM M 1 i+ = ∗ +

Da mesma forma, podemos considerar o caso particular da relação que se

estabelece entre uma dada quota de capital k e a primeira amortização

efectuada, surgindo então:

( )k 1k 1M M 1 i −= ∗ +

Logo, genericamente, Mk cresce em progressão geométrica de razão (1 + i).

Tendo em atenção a relação existente entre as diferentes quotas de capital

podemos igualmente estabelecer que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n i

0 1 2 3 n

2 n 10 1 1 1 1

2 n 10 1

n i

0 1

C M M M M

C M M 1 i M 1 i M 1 i

C M 1 1 i 1 i 1 i

C M

−

−

= + + + ⋅⋅⋅⋅ +

= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +

⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦

= ∗s

s

Ao pretendermos determinar o montante de capital em dívida num

determinado momento – procedimento particularmente útil e necessário

quando queremos determinar os juros pagos num dado período k – ele vai

corresponder ao valor actualizado das prestações que se encontram por



liquidar. Notando por CDk o capital em dívida imediatamente após o

pagamento da prestação k, surge:

( )k

n k n - k i

1 (1 i)CD T Ti

−−− += ∗ = ∗a

Usando as quotas de capital podemos ainda estabelecer que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n - k i

k k 1 k 2 k 3 n

2 n k 1k k 1 k 1 k 1 k 1

2 n k 1k k 1

n-k i

k k 1

CD M M M M

CD M M 1 i M 1 i M 1 i

CD M 1 1 i 1 i 1 i

CD M

+ + +

− −+ + + +

− −+

+

= + + + ⋅⋅⋅ ⋅+

= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +

⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦

= ∗s

s

Porém, em vez de pretendermos conhecer qual o montante de capital ainda em

dívida, poderá ser necessário determinar qual o montante de capital já

amortizado, após o pagamento de uma dada prestação de ordem k. Tal

importância resulta da diferença entre o montante de capital mutuado (C0) e o

montante de capital ainda não amortizado (CDk), cuja fórmula acabámos de

encontrar. Logo, se designarmos por CAk o capital amortizado após o

pagamento da prestação de ordem k, como CAk + CDk = C0, vem:

( )k 0 0

n k n - k i

1 (1 i)CA C T C Ti

−−− += − ∗ = − ∗a

Outro processo de apurar este montante é o que decorre das amortizações de

capital efectuadas até ao momento k, ou seja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k i

k 1 2 3 k

2 k 1k 1 1 1 1

2 k 1k 1

k i

k 1

CA M M M M

CA M M 1 i M 1 i M 1 i

CA M 1 1 i 1 i 1 i

CA M

−

−

= + + + ⋅⋅⋅ ⋅ +

= + ∗ + + ∗ + + ⋅⋅⋅⋅ + ∗ +

⎡ ⎤= + + + + + ⋅⋅⋅⋅ + +⎣ ⎦

= ∗s

s



Esta última expressão permite-nos calcular o montante de capital já

amortizado após o pagamento de k prestações, sendo conhecido o valor da

primeira quota de capital.

O juro periódico será calculado tendo por base o montante do capital em dívida

no início do período a que o mesmo se reporta, teremos que:

k k 1J CD i−= ∗

Existem, porém, duas excepções, em que o cálculo do juro periódico surge mais

simplificado. É o caso das quotas de juro correspondentes à primeira e à última

prestações.

No caso da primeira prestação, o montante do capital em dívida coincide com o

próprio montante do empréstimo, pelo que:

1 0J C i= ∗

Já no que se refere à última prestação, o montante do capital em dívida no início

do período vai coincidir com a amortização efectuada nesse período, donde

surge:

n nJ M i= ∗

Por último, para se determinar a totalidade dos juros pagos durante a vida do

empréstimo teremos de subtrair à totalidade das prestações pagas (n∗T) o

capital mutuado (C0):

T 0J n T C= ∗ −

Exemplo 24

Um empréstimo no montante de 50.000 € vai ser liquidado nos próximos 10

anos através de prestações trimestrais constantes de capital e juros. Sabendo

que foi praticada uma taxa anual nominal de 12%, determine:

a) O valor de cada prestação trimestral.

b) O valor da 10ª quota de capital.



c) O valor do capital em dívida logo após o pagamento da 18ª prestação.

d) O capital amortizado após o pagamento da 20ª prestação.

e) A quota de juro incluída na 19ª prestação.

f) O valor dos juros totais pagos.

Resolução

a)

Estando na presença de uma taxa anual nominal e o empréstimo é liquidado

através de trimestralidades é necessário calcular a taxa trimestral que lhe

corresponde, isto é,

1/412%i 3%

4= =

Considerando que:

( ) 30

1/4 n i 3%01 1 0,03

50.000 30 50.0000,03

C T T T−− +

⇔ ⇔= ∗ = ∗ = ∗a a

obtém-se o valor de cada prestação trimestral constante de capital e juros:

T 2.550,96 €=

b)

O valor da 1ª quota de juro será:

1 0 1/4J C i 50.000 0,03 1.500 €= ∗ = ∗ =

Logo, o valor da 1ª quota de capital será:

1 1M T J 2.550,96 1.500 1.050,96 €= − = − =

Tendo o valor de M1 podemos determinar o valor de M10:

( ) ( )9 9

10 1 1/4M M 1 i 1.050,96 1 0,03 1.371,27 €= ∗ + = ∗ + =

c)

Logo após o pagamento da 18ª prestação o capital em dívida será:

1/418

1/4

12 12

1/4i 12 1 (1 i ) 1 (1 0,03)CD T T 2.550,96 25.392,30 €i 0,03=

− −− + − += ∗ ∗ = ∗ =a



d)

Logo após o pagamento da 20ª prestação o capital amortizado será:

( )1/420 1 1

1/4

2020 11/4i

1 20

1 0,03(1 i )CA M M 1.050,96 28.239,77 €i 0,03− −++

= ∗ = ∗ = ∗ =s

e)

O juro incluído na 19ª prestação é obtido da seguinte forma:

19 18 1/4J CD i 25.392,30 0,03 761,77 €= ∗ = ∗ =

f)

Os juros totais suportados durante toda a vida do empréstimo são:

T 0J n T C 30 2.550,96 50.000 26.528,80 €= ∗ − = ∗ − =

5.2.2.2. Sistema de reembolsos constantes

Neste sistema é constante a amortização ou reembolso de capital de cada termo

da renda:

1 2 nM M M M= = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =

Se M é constante por decisão e sendo Jk sempre decrescente, significa que Tk é, necessariamente, decrescente em k.

O termo genérico da renda de amortização (prestação) é dado por:

k kT J M= +

Porque a parcela de capital amortizado em cada período é sempre constante e

igual a M, então podemos concluir que a quota de juro a pagar em cada período

decresce em progressão aritmética à razão M∗i e logo a prestação evoluirá da

seguinte forma:

( )

2 1

2 1

3 1

k 1

T T M i

T T 2 M i

T T 3 M i

T T k 1 M i

= − ∗

= − ∗ ∗

= − ∗ ∗⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − − ∗ ∗



Em termos esquemáticos, a situação descrita surge representada do seguinte

modo:

O valor de M, ou seja, o valor da parcela de capital a amortizar em cada

período é, então, igual ao montante do capital inicial dividido pelo número de

prestações de capital a efectuar, isto é:

0CMn

=

Podemos, ainda, estabelecer que o capital amortizado após o pagamento de

uma dada prestação k corresponde a:

kCA k M= ∗

enquanto que o capital ainda em dívida após o pagamento dessa prestação k

corresponde a:

( )kCD n k M= − ∗

No que concerne à quota de juro a pagar num dado momento k, esta vai ser

calculada tendo por base o montante do capital em dívida no início do período.

Ora, nesse momento, já terão sido efectuadas k-1 amortizações, estando por

realizar n-(k-1), donde resulta que:

( )k k-1J CD i n - k - 1 M i⎡ ⎤= ∗ = ∗ ∗⎣ ⎦

Porque, como já foi referido, a quota de juro a pagar em cada período decresce

em progressão aritmética à razão M∗i então pode-se estabelecer uma relação

entre qualquer quota de juro k e a quota de juro do 1º período:

( )

2 1

2 1

3 1

k 1

J J M i

J J 2 M i

J J 3 M i

J J k 1 M i

= − ∗

= − ∗ ∗

= − ∗ ∗⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − − ∗ ∗

0 1 2 3 4 n-1 n

+ C0 - T1 - T2 - T3 - T4 - Tn-1 - Tn



Refira-se por último que os juros totais suportados durante a vida do

empréstimo poderão ser facilmente determinados através da seguinte

expressão:

n1 n

T ii 1

J JJ J n2=

+= = ∗∑

em que:

1 0 nJ C i e J M i= ∗ = ∗

Exemplo 25

Um empréstimo no montante de 20.000 € vai ser amortizado através de 20

reembolsos semestrais constantes de capital. Sabendo que foi praticada uma

taxa anual nominal de 10%, determine:

a) O valor da 10ª prestação a pagar.

b) O valor do capital em dívida logo após o pagamento da 13ª prestação.

c) O capital amortizado após o pagamento da 17ª prestação.

d) A quota de juro incluída na 10ª prestação.

e) O valor dos juros totais pagos.

Resolução

a)


através de semestralidades é necessário calcular a taxa semestral que lhe


1/210%i 5%

2= =

O valor de cada reembolso constante de capital será de:

0C 20.000M 1.000 €n 20

= = =



A quota de juro incluída na 1ª prestação ascenderá a :

1 0 1/2J C i 20.000 0,05 1.000 €= ∗ = ∗ =

e logo o valor da 1ª prestação será de:

1 1T J M 1.000 1.000 2.000 €= + = + =

Considerando a relação existente entre a 1ª prestação e a 10ª prestação obtém-se:

10 1 1/2T T 9 M i 2.000 9 1.000 0,05 1.550 €= − ∗ ∗ = − ∗ ∗ =

b)

Logo após o pagamento da 13ª prestação o capital em dívida será:

( )13CD 20 13 M 7 1.000 7.000 €= − ∗ = ∗ =

c)

Logo após o pagamento da 17ª prestação o capital amortizado será:

17CA 17 M 17 1.000 17.000 €= ∗ = ∗ =

d)

O juro incluído na 10ª prestação poderá ser obtido através da relação existente

com a 1ª quota de juro:

10 1 1/2J J 9 M i 1.000 9 1.000 0,05 550 €= − ∗ ∗ = − ∗ ∗ =

e)

O valor da última quota de juro é:

20 1/2J M i 1.000 0,05 50 €= ∗ = ∗ =

Os juros totais suportados durante toda a vida do empréstimo são:

1 20T

J J 1.000 50J 20 20 10.500 €2 2+ +

= ∗ = ∗ =



5.3. Construção de quadros de amortização

Os quadros de amortização têm como objectivo dar conta do "andamento" de

um determinado empréstimo, isto é, indicar que valores assumem, em cada

momento, os montantes do capital em dívida, da quota de juro, da quota de

capital, da prestação a pagar, ou ainda, fornecer informação relativa a outras

variáveis consideradas relevantes para o processo de amortização.

Podemos descrever os quadros de amortização como sendo quadros de dupla

entrada. Em linha, surge identificado o período de tempo k; enquanto isso, em

coluna, teremos a informação relativa aos elementos acima referenciados, do

modo que passamos a caracterizar mais circunstanciadamente.

A primeira coluna indica o valor do capital em dívida no início de cada

período.

A segunda coluna dá conta dos juros a pagar no período, sendo Jk obtido

multiplicando por i o valor do capital em dívida no início de k.

A terceira coluna informa quanto ao valor da amortização de capital

(reembolso) a efectuar em cada período, ou seja, quanto ao valor de Mk.

Por último, na quarta coluna inscrevem-se os valores referentes à prestação

efectivamente paga, ou seja, aos Tk, que resultam da adição dos valores de Jk e

de Mk.

Atendendo às características descritas, os quadros de amortização surgem com

a seguinte estrutura:

Período k Capital em dívida no início do período K

(CDk-1)

Juro (Jk)

Amortização (Mk)

Prestação (Tk)

1 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n



Exemplo 26

Um empréstimo no montante de 10.000 € vai ser liquidado através de 5

semestralidades. Sabendo que foi praticada uma taxa anual nominal de 8%,

construa o quadro de amortização caso seja adoptado o:

a) Sistema de prestações constantes (sistema francês).

b) Sistema de reembolsos constantes.

Resolução

a)


através de semestralidades é necessário calcular a taxa semestral que lhe


1/28%i 4%2

= =

Considerando que:

( ) 5

n i 4%0 5 1 1 0,04

C T 10.000 T 10.000 T 0,04

−

⇔ ⇔− +

= ∗ = ∗ = ∗a a

obtém-se o valor de cada prestação trimestral constante de capital e juros:

T 2.246,27 €=

O quadro de amortização correspondente será:

Semestre k CDk-1 Jk Mk T

1 10.000,00 400,00 1.846,27 2.246,27

2 8.153,73 326,15 1.920,12 2.246,27

3 6.233,61 249,34 1.996,93 2.246,27

4 4.236,68 169,47 2.076,80 2.246,27

5 2.159,88 86,40 2.159,88 2.246,27



b)

O valor de cada reembolso constante de capital será de:

0C 10.000M 2.000 €n 5

= = =

O quadro de amortização correspondente será:

Semestre k CDk-1 Jk M Tk

1 10.000 400 2.000 2.400

2 8.000 320 2.000 2.320

3 6.000 240 2.000 2.240

4 4.000 160 2.000 2.160

5 2.000 80 2.000 2.080

Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano)

FORMULÁRIO

A . CAPITALIZAÇÃO

1. Regime Simples

i CJ 0K ∗=

2. Regime Composto

n0n i)(1 CC +∗= 0

n0T Ci)(1 CJ −+∗= i i)(1 CJ 1-K

0K ∗+∗=

i n C -J JJ 0TT ∗∗= i C -J JJ 0KK ∗=

3. Regime Dito Simples

i) n (1 CC 0n ∗+∗= i CJ 0K ∗= i n CJ 0T ∗∗=

B. TAXAS DE JURO

m i i

(m)

1/m = 1i)(1 i 1/m

1/m −+=

C. ACTUALIZAÇÃO

1. Desconto Composto

-tnt-n i)(1 CC +∗= t

t

n i)(11 i)(1 CDC

+−+

∗=

2. Desconto por Dentro

i) t (1

CC n

t-n ∗+=

i t 1i t CDD n ∗+

∗∗=

3. Desconto por Fora

d) t (1 CC nt-n ∗−∗= d t CDF n ∗∗=

4. Desconto Bancário

( ) Dt1c360

2ti1VNPLD s −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∗−∗=

Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano)

D. RENDAS FINANCEIRAS

n

n i1 (1 i)

i

−− +=a

nn i

(1 i) 1 i

+ −=s

1. Rendas temporárias, imediatas e de termos constantes

n i0C T = ∗a n inC T = ∗s

n i0C T (1 i)= ∗ ∗ +a n inC T (1 i)= ∗ ∗ +s

2. Rendas temporárias, diferidas e de termos constantes

mn i0C T (1 i)−= ∗ ∗ +a n inC T = ∗s

m 1n i0C T (1 i)− += ∗ ∗ +a n inC T (1 i)= ∗ ∗ +s

3. Rendas perpétuas, imediatas e de termos constantes

0TCi

= 0TC (1 i)i

= ∗ +

E.AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

1. Sistema de Prestações Constantes (Sistema Francês )

n i0C T = ∗a n i0 1C M = ∗s

k kT M J= + nT M (1 i)= ∗ +

n k 1kT M (1 i) − += ∗ + k 1

k 1M M (1 i) −= ∗ +

n k ik k 1CD M −+= ∗s n k ikCD T −= ∗a

k ik 1CA M = ∗s n k ik 0CA C T −= − ∗a

k k 1J CD i−= ∗ T 0J n T - C= ∗

2. Sistema de Reembolsos Constantes

0CMn

= k kT M J= +

k 1T T (K 1) M i= − − ∗ ∗ nT M (1 i)= ∗ +

( )kCD n K M= − ∗ kCA K M= ∗

k 1J J (K 1) M i= − − ∗ ∗ [ ]kJ n (K 1) M i= − − ∗ ∗

k k 1J CD i−= ∗ 1 nT

J JJ n2+

= ∗

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CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I (2º ANO) · INTRODUÇÃO Cálculo e Instrumentos Financeiros I – Gestão de Empresas (2º Ano) Pag. 3 preço do dinheiro cedido e será função