Cálculo Estocástico - Instituto de Matemática e …dreifus/CEF/CEF.old.pdfProbabilidade, Processo Estocástico, Martingale A integral estocástica Equações diferenciais estocásticas

Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica

Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças

Cálculo Estocástico

H. Dreifus1

1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo

Caixa Econômica Federal/2010

H. Dreifus Cálculo Estocástico



Cálculo Estocástico I

Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View

1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito




Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)

Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica

4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida




ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais

Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale



3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica






Probabilidade

Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência





Probabilidade






Probabilidade






Variáveis Aleatórias

Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa


X : Ω→ R

Exemplo:X (cara) = 1

X (coroa) = −1






Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa


X : Ω→ R


X (coroa) = −1






Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa


X : Ω→ R


X (coroa) = −1






Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa


X : Ω→ R


X (coroa) = −1






Espaço de Eventos

Ω = cara, coroa


X : Ω→ R


X (coroa) = −1






Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?

















σ-álgebra

F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis

A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F





σ-álgebra


A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F





σ-álgebra


A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F





σ-álgebra


A ∈ F ;B ∈ F ⇒

A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F





Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição

ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]

Função Distribuição

FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)








FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)

Distribuição de X

PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)





Propriedades da Medida de Probabilidade

Para eventos A,B ∈ F

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

e, se A e B são disjuntos,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Além disto,

P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0





Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy





Exemplos de Distribuições

Binomial

P(X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.

Normal

fX (x) =1√2πσ

exp−(x − µ)2

2σ2

, x ∈ R

Fx =

∫ x

−∞fX (y)dy





Esperança, Variância e Momentos

EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções























Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95

onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)

P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0





Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95


P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0





Estimativas Úteis

P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)

Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95


P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0





Vetores Aleatórios

X = (X1,X2, ...,Xn)

é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.





Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição

Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades

PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades

FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X





































































Exemplos:

FX1(x1) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

fX (x)dx2dx3

fX (x) =1

(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1

2(x − µ)t Σ−1(x − µ)





Esperança, Covariância

EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)

Matriz de Covariância

[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )





















































Correlação

corr(X1,X2) =cov(X1,X2)

σX1σX2

=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )

σX1σX2





Independência e dependência

Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)






Dois eventos A1 e A2 são independentes se

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)

Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se

P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)






Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:

FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R


fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R







FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R


fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R





Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,

EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)





Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.





Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.





Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.





Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.

Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.














Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório





Processos Estocásticos.

DefiniçãoPasseio Aleatório





Definição

Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias

Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω





Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,

Xt (ω) : Ω→ R

é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,

Xt (ω) : t ∈ T → R

é uma função do tempo t






Xt (ω) : Ω→ R


Xt (ω) : t ∈ T → R







Xt (ω) : Ω→ R


Xt (ω) : t ∈ T → R






Distribuição

As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.

(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,

para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.





Exemplo

Processo Gaussiano

P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =

= Φ(x1)...Φ(xn)

0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.









Esperança, Covariância e Variância

A função esperança de X é dada por

µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T

A função de covariância de X e dada por

cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .

A função de variância e dada por

σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .





Estrutura de Dependência

Processos Estacionários

Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .

(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)





Estrutura de Dependência

Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se

Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ

para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,

Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1

são variáveis aleatórias independentes.





Passeio Aleatório

Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ

Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita





Passeio Aleatório







Passeio Aleatório







Passeio Aleatório







Distribuição de probabilidade no instante t

pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z

Matriz de Transição

Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k

Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z



Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z



Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z



Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z



Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1






pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z



Kjk (t) =

12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1





Dinâmica do Passeio Aleatório

Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)

Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,

P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z

P(A|Bk )P(B) = P(A)







P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)



P(A|Bk )P(B) = P(A)







P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)



P(A|Bk )P(B) = P(A)







P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)



P(A|Bk )P(B) = P(A)







P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)



P(A|Bk )P(B) = P(A)






Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)






Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos

pj(t + δ) =∑k∈Z

Kjkpk (t)





2K =

..

.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

..

.





pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)





pj(t + δ) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)

pj(t + δ)− pj(t) =12

pj+1(t) +12

pj−1(t)− pj(t)





Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆

px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12

px−∆(t)− px (t)

px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]






px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12


px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]






px (t + δ)− px (t) =12

px+∆(t) +12


px (t + δ)− px (t) =12

[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]





Considerando σ2δ = ∆2

px (t + δ)− px (t)δ

= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2

de forma que no limite δ → 0

∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)







= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2


∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)







= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]

2∆2


∂p∂t

(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)





p(t , x) =1

σ√

4πt

∫ ∞−∞

e−(x−y)2

4tσ2 p(0, y)dy














Movimento Browniano.

Propriedades da definição

Processos derivados do movimento browniano

Simulações de caminhos amostrais brownianos





















Movimento Browniano

Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:

ele começa no zero: B0 = 0;

possui incrementos independentes e estacionários;

para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);

possui caminhos amostrais contínuos.





Movimento Browniano










Movimento Browniano










Movimento Browniano










Movimento Browniano





Movimento Browniano

As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .





Movimento Browniano





Movimento Browniano





µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =

E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t





µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =






µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =






µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =






µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0

σ2B(t) = EB2

t = t

cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =

E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =






O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:

µB(t) = 0

cB(s, t) = min(s, t)





Auto-similaridade

Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por

(T HBt1 ...THBtn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.





Não diferenciabilidade

O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,

(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )

d= (BTt1 ...BTtn )

para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.





Variação ilimitada

Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que

supτ

n∑1

|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞

onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].





Processos Derivados do movimento Browniano

Movimento Browniano com drift

Xt = µt + σBt





Movimento Browniano Geométrico

Xt = eµt+σBt














Esperança Condicional.

Esperança condicional sob a condição discreta

Sobre σ-álgebras

A esperança condicional geral

Regras para o cálculo da esperança condicional

A propriedade da projeção de esperanças condicionais







Sobre σ-álgebras










Sobre σ-álgebras










Sobre σ-álgebras










Sobre σ-álgebras

















Martingais.

Propriedades definidoras

Exemplos

A interpretação de um martingal como um jogo não viciado





Martingais.


Exemplos






Martingais.


Exemplos





As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito










As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordinária

A integral de Riemann-Stieltjes





As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann ordinária

A integral de Riemann-Stieltjes














A integral de Ito.

Um exemplo motivador

A integral estocástica de Ito para processos simples

A integral estocástica geral de Ito





A integral de Ito.








A integral de Ito.

















O lema de Ito.

A regra da cadeia clássica para a diferenciação

Uma versão simples do lema de Ito

Versões estendidas do lema de Ito

A integral de Stratonovich e outras integrais





O lema de Ito.









O lema de Ito.









O lema de Ito.



























As equações diferenciais estocásticas de Ito.

O que é uma equação diferencial estocástica?

Resolvendo EDEs usando o lema de Ito

Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich






























A equação diferencial linear geral.

Equações lineares com ruído aditivo

Equações homogêneas com ruído multiplicativo

O caso geral

As funções de esperança e variância da solução








O caso geral









O caso geral









O caso geral















A aproximação de Euler

A aproximação de Milstein





A aproximação de Euler

A aproximação de Milstein




A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida










A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.

Uma breve excursão através das finanças

O que é uma opção?

Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções

A fórmula de Black e Scholes









































Uma técnica útil: a mudança de medida.

O que é a mudança da medida subjacente

Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida





Uma técnica útil: a mudança de medida.

O que é a mudança da medida subjacente

Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida














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