CأپLCULO MENTAL COM NأڑMEROS RACIONAIS: UM ESTUDO Tese especialmente elaborada para a obtenأ§أ£o do

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of CأپLCULO MENTAL COM NأڑMEROS RACIONAIS: UM ESTUDO Tese especialmente elaborada para a...

  • UNIVERSIDADE DE LISBOA

    INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

    CÁLCULO MENTAL COM NÚMEROS RACIONAIS:

    UM ESTUDO COM ALUNOS DO 6.º ANO DE

    ESCOLARIDADE

    Renata Anjos Carvalho Carrapiço

    Orientador: Prof. Doutor João Pedro Mendes da Ponte

    Tese especialmente elaborada para a obtenção do grau de Doutor em

    Educação na especialidade de Didática da Matemática

    2016

  • UNIVERSIDADE DE LISBOA

    INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

    CÁLCULO MENTAL COM NÚMEROS RACIONAIS:

    UM ESTUDO COM ALUNOS DO 6.º ANO DE

    ESCOLARIDADE

    Renata Anjos Carvalho Carrapiço

    Orientador: Prof. Doutor João Pedro Mendes da Ponte

    Tese especialmente elaborada para a obtenção do grau de Doutor em Educação na

    especialidade de Didática da Matemática

    Júri:

    Presidente: Doutor Henrique Manuel Alonso da Costa Guimarães, Professor Associado e membro do

    Conselho Científico do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa

    Vogais:

    Doutora Joana Maria Leitão Brocardo, Professora Coordenadora, Escola Superior de Educação do

    Instituto Politécnico de Setúbal

    Doutora Margarida Maria Amaro Teixeira Rodrigues, Professora Adjunta, Escola Superior de Educação

    do Instituto Politécnico de Lisboa

    Doutor João Pedro Mendes da Ponte, Professor Catedrático, Instituto de Educação da Universidade de

    Lisboa

    Doutora Maria Leonor de Almeida Domingos dos Santos, Professora Associada com Agregação, Instituto

    de Educação da Universidade de Lisboa

    Doutor Henrique Manuel Alonso da Costa Guimarães, Professor Associado, Instituto de Educação da

    Universidade de Lisboa

    Doutora Hélia Margarida Aparício Pintão de Oliveira, Professora Auxiliar, Instituto de Educação da

    Universidade de Lisboa

    Doutora Ana Cláudia Correia Batalha Henriques, Professora Auxiliar, Instituto de Educação da

    Universidade de Lisboa;

    Trabalho financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e

    Tecnologia pela atribuição de uma bolsa com a referência SFRH/BD/69413/2010.

    2016

  • v

    Agradecimentos

    Ao Professor Doutor João Pedro Mendes da Ponte pelo interesse, pelas sugestões e

    críticas pertinentes e pela disponibilidade com que me apoiou no desenvolvimento deste

    estudo.

    À Catarina pelo apoio na fase final deste trabalho e por superar muitas vezes a ausência

    da mãe, que embora fisicamente longe sempre esteve perto.

    Ao Pedro pelo apoio e respeito pelas minhas opções profissionais e à Arminda e ao

    António pelo apoio familiar dado nos meus momentos de ausência.

    Às colegas, que designei por Margarida à Laura, pela amizade, disponibilidade e

    empenho que manifestaram na concretização deste estudo, pois sem elas este trabalho

    não teria sido possível de realizar.

    Aos alunos pelo interesse e empenho manifestado na participação no estudo.

    Ao Ministério da Educação e Ciência pela conceção de equiparação a bolseiro, sem a

    qual teria sido muito difícil desenvolver este trabalho.

    À Fundação para a Ciência e a Tecnologia, pela bolsa que me concedeu para a

    realização deste doutoramento (SFRH / BD / 69413 / 2010).

    Aos colegas e amigos que se mantiveram perto, apesar de muitas vezes longe e que de

    forma incondicional acompanharam o desenvolvimento deste trabalho.

    … e a todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuíram para a minha reflexão,

    provocando-me e incentivando-me a continuar.

    Catarina e Pedro … este trabalho também é vosso!

  • vii

    Resumo

    Este estudo visa compreender as estratégias e erros que os alunos do 6.º ano

    evidenciam em tarefas de cálculo mental e como evoluem estas estratégias ao longo de

    uma experiência de ensino centrada em tarefas de cálculo mental com números

    racionais positivos envolvendo as quatro operações em contextos matemáticos e não

    matemáticos e na discussão das suas estratégias.

    O quadro concetual foca aspetos relacionados com o desenvolvimento de

    estratégias de cálculo mental dos alunos, nomeadamente o uso de factos numéricos,

    regras memorizadas, relações numéricas e das representações mentais (modelos

    mentais, imagens e representações proposicionais) subjacentes ao uso destes factos,

    regras e relações. O estudo segue uma metodologia de design research, no quadro do

    qual foi construída uma experiência de ensino realizada em dois ciclos de

    experimentação. A comunicação na sala de aula, nomeadamente as discussões coletivas,

    desempenha um papel essencial nas dinâmicas desenvolvidas no trabalho com cálculo

    mental. Participam neste estudo duas professoras, Margarida e Laura e um total de 39

    alunos. A recolha de dados foi realizada com recurso a observação direta e participante

    da investigadora, gravações vídeo de episódios de aula e áudio das reuniões de

    preparação e reflexão pós-aula, recolha documental, notas de campo e entrevistas.

    Nas suas estratégias, os alunos recorrem maioritariamente a relações numéricas

    em todas as representações dos números racionais e ao uso de factos numéricos e regras

    memorizadas na representação fracionária numa fase inicial e pontualmente, ao longo

    da experiência, nas representações decimal e percentagem. Estas estratégias sugerem o

    recurso, por parte dos alunos, a representações proposicionais envolvendo relações

    numéricas, embora também se identifiquem modelos mentais e imagens. Modelos e

    imagens mentais parecem associar-se mais a estratégias de factos numéricos e regras

    memorizadas. Os erros dos alunos são essencialmente de origem concetual, embora se

    identifiquem erros percetuais e de procedimento. As estratégias dos alunos começam

    por ser mais focadas em factos e regras, na representação fracionária, para evoluir para

    estratégias de relações numéricas com as quatro operações dos números racionais,

    usando tanto a representação em fração como a decimal e a percentagem.

    Palavras-chave: Cálculo mental, números racionais, estratégias dos alunos, erros dos

    alunos.

  • ix

    Abstract

    This study aims to understand grade 6 students’ strategies and errors in mental

    computation tasks, and how these strategies evolve during a teaching experiment

    focused on mental computation tasks with positive rational numbers involving the four

    operations and mathematical and non-mathematical contexts and the discussion of

    students’ strategies. The conceptual framework focuses on aspects related to the

    development of students’ mental computation strategies, mainly, the use of numerical

    facts, memorized rules, numerical relationships, and mental representations (mental

    models, images, and propositional representations) underlying the use of these facts,

    rules, and relationships. The study follows a design research approach, where a teaching

    experiment was built and carried out in two experimental cycles. The communication in

    the classroom, especially whole class discussions, plays an essential role in the

    development of the mental computation processes. The participants in this study were

    two teachers, Margarida and Laura and 39 students. Data was collected using direct

    observation, with the researcher acting as a participant observer, video and audio

    recordings of classroom episodes, audio recordings of preparatory meetings and after-

    class reflections, document collection, field notes, and interviews.

    In their strategies, at the beginning of the teaching experiment, the students

    mainly use numerical relationships in all representations of rational numbers and

    numerical facts and memorized rules in fraction representation. Along the teaching

    experiment, strategies based on facts and rules promptly appear in decimal and percent

    representations. These strategies suggest the use of propositional representations in

    numerical relationships, but mental models and images can also be identified. Mental

    models and images appear to be more associated with strategies based on numerical

    facts and memorized rules. Students' errors are essentially conceptual, although

    perceptual and procedural errors can also be identified. Their strategies begin to be more

    focused on facts and rules, in fraction representation, and to evolve to strategies based

    on numerical relationships at the end of the experiment with the four operations of

    rational numbers, when using fractions, decimal and percent representation.

    Keywords: Mental computation, rational numbers, students’ strategies, students' errors.

  • Índice

    xi

    Índice

    CAPÍTULO 1: Introdução .............................................................................................. 1

    1.1. Conceito e importância do cálculo mental .....................................